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GUIDG.COM 1 
 
19/6/2012 – Medidas físicas 
 
Obs.: Requerimentos: Um pleno entendimento de matemática básica, medidas, algarismos significativos, notação 
cientifica, unidades SI, conceitos básicos da Teoria de Erros e noções de cálculo diferencial e integral. 
Tabela geral de derivadas (você pode obter no site). 
Esse estudo foi direcionado ao curso de MEF da UDESC-CCT Joinville. 
Para obter um bom desempenho procure refazer todos os exercícios demonstrados. 
Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. 
 
 
Conceitos básicos da Teoria de 
Propagação de Erros 
 
 
 
1. Uma breve introdução 
 
Como pré-requisito espera-se que você tenha um domínio dos conceitos citados nas observações, para assim 
prosseguir com este estudo, o qual entrará em mais detalhes mas não se aprofundando intensamente, é como as 
apostilas dizem “seguiremos uma receita da teoria de erros”. 
 
Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas 
medidas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome 
erro propagado da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que 
contenham erros, é certo que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros 
irem se acumulando toda vez que manipulamos matematicamente as medidas envolvidas no cálculo. Este é o 
motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo menos com 
valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalmente. Isto será usado nas 
disciplinas de física experimental. 
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2. Equação do erro indeterminado 
 
Considere uma medida indireta “y” como sendo uma função de outras medidas diretas “x1 , x2 , x3 , … , xn ”, em 
termos matemáticos escrevemos isto como: y = f x1 , x2 , x3 , … , xn
` a
 . Assim podemos definir a diferencial desta função 
(ou variação da função) em termos das variações de cada uma das variáveis ( x1 , x2 , x3 , … , xn ) como sendo: 
 
dy = ∂f∂x1
ffffffffffdx1 + ∂f∂x2
fffffffffffdx2 + …+ ∂f∂xnfffffffffffdxn 
Onde 
∂f
∂x i
ffffffffff
=
∂y
∂x i
ffffffffff
 é a derivada parcial da função em relação ao xi , ou seja derivamos a função apenas em relação ao xi 
escolhido. Então podemos substituir as diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De 
outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de ∆x ), ficando assim: 
 
∆y = ∂f∂x1
ffffffffff∆x1 + ∂f∂x2
fffffffffff∆x2 + …+ ∂f∂xnfffffffffff∆xn (00) 
 
Agora visualizaremos em um gráfico de uma medida indireta que apresenta apenas uma variável: 
 
 
Se y i é uma função de xi yi = f x i
` aB C
, e fazendo x . = xiF ∆x i , 
então podemos obter a incerteza de y i pela projeção da incerteza ∆xi . E 
escrevemos assim: 
∆ y i =
∂ y i
∂x i
fffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆x i (01) 
Interpretando: temos que a incerteza de y i , que chamaremos de ∆y i , será 
a derivada parcial da função y i em relação à xi , multiplicada pelo desvio 
da medida xi , que chamaremos de ∆xi . Assim este valor poderá ter 
qualquer sinal, mas como procuramos sempre pelo maior erro, colocamos a 
expressão em módulo (veja que é o que difere da expressão 00). 
 
A expressão 01 tem aplicação quando a medida indireta depender apenas de uma variável independente (no caso xi ), mas 
caso a medida indireta dependa ou esteja envolvida com mais variáveis independentes ( x1 , x2 , x3 , … , xn ), fazemos a soma 
dos módulos das derivadas parciais multiplicadas pelos seus respectivos erros. Veja abaixo: 
 
Para uma função dependente de mais de uma variável y = f x1 , x2 , x3 , … , xn
` a
, usamos a seguinte expressão: 
 
∆y = ∂f∂x1
ffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆x1 +
∂f
∂x2
fffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆x2 + …+
∂f
∂xn
fffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆xn (02) 
 
Veja que essa expressão é uma expansão da primeira, e se chama equação do erro indeterminado. 
 
 
3. Derivadas parciais (um breve exemplo). 
 
Antes de aplicarmos a teoria para obtenção do desvio da medida indireta (através da equação do erro indeterminado), vejamos 
um pouco mais sobre derivadas parciais de funções. Como já foi dito anteriormente as técnicas, regras e fórmulas 
desenvolvidas para diferenciar funções a uma variável podem ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, 
considerando-se que uma das variáveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação às variáveis restantes. 
 
Exemplo: Considere a função f a duas variáveis, dada por f x, y` a= x 2 + 3xy@4y2 
Para obtermos a derivada parcial em relação à x, consideramos a segunda variável y como constante (isto é seu valor não se 
altera). Assim derivamos a função: 
 
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∂
∂x
ffffffff
x 2 + 3xy@ 4y2
b c
=
dx 2
dx
fffffffffff+ 3y dxdxffffffff@ d4y
2
dx
fffffffffffffff
= 2x + 3y@ 0 = 2x + 3y
 
 
Veja que quando derivamos parcialmente à x , derivamos apenas os termos que estão envolvidos com a variável x, já os que 
não estão, neste caso (@4y2 ), são zerados (é justamente isso que quer dizer derivada parcial). Agora derivemos 
parcialmente à variável y. 
 
∂ x 2 + 3xy@4y2
b c
∂y
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
dx 2
dy
fffffffffff+ 3x dydyffffffff@4 dy
2
dy
fffffffffff
= 0 + 3x@4.2y = 3x@8y
 
 
Agora associando ao erro da medida indireta que pode ser uma função com mais de uma variável, temos que o erro propagado 
é a soma dos módulos dessas derivadas parciais (justamente porque as derivadas parciais são infinitésimos, isto é valores muito 
pequenos, que tendem à zero), assim vemos que a definição da equação do erro indeterminado fica mais fácil de entender. O 
procedimento para encontrar as derivadas parciais é denominado diferenciação parcial. 
 
4. Exercícios demonstrados. 
 
1 – Considere que foram medidas a altura (h) e o raio (r) de uma calota esférica. A partir dos dados abaixo 
calcule o volume dessa calota. 
 
x. = xF ∆x` a 
h = 155,3 F 0,7` amm 
r = 389,0 F 1,9` amm 
 
V = 13
ffffpih2 3r@h` a
 
Resolução: Primeiramente devemos colocar os valores no formato adequado para depois poder substituir os 
valores na equação do erro indeterminado. Assim temos: 
 
h. =h
fff
F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e r . = rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm 
Legenda: 
x´ implica em uma medida acompanhada do desvio ou erro x. = xF ∆x` a. 
h
fff
 indica que a medida da altura pode ser a média ou valor mais provável (isso quando for fornecido mais de um 
valor), (a expressão pode ser encontrada em Conceitos básicos da Teoria de erros). 
F indica que o valor pode contribuir positivamente como negativamente para a medida. 
∆x, parax= h,r ou… representa o desvio ou erro da medida direta. 
 
A medida indireta deve ser apresentada assim: V. = VF ∆V, onde o ∆V é o erro propagado da medida indireta e 
é obtido através da equação do erro indeterminado. 
 
Primeiro calculamos o volume a partir da expressão fornecida: 
 
V= 13
ffffpih2 3r@h` a = 13ffffpi 3rh2@h3
b c
=
1
3
ffffpi 3B389,0B155,3 2@155,3 3b c 
 
Colocando os valores na calculadora, obtemos: 25 551 904,72mm3 , como as medidas diretas possuem 4 
algarismos significativos, de acordo com os critérios de arredondamento esse valor deve ser arredondado para 
4 as também, mas antes colocamos o valor em notação científica e depois arredondamos: 
 
2,5 5 5fff1 90472B10 7 mm3 = 2,555B10 7 mm3 
 
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Agora que já temos o valor do volume, basta obtermos a eq. do erro indeterminado e calcular o erro da medida 
indireta. Para isso diferenciemos parcialmente a função do volume em relação as suas variáveis: 
 
V = pi3
fffffh2 3r@h3b c Q ∆V = ∂V∂hfffffffff
LLLLL
MMMMM∆h + ∂V∂rfffffffff
LLLLL
MMMMM∆r
∆V = ∂∂h
ffffffffpi
3
fffffh2 3r@h3b cD E
LLLLLL
MMMMMM∆h +
∂
∂r
fffffffpi
3
fffffh2 3r@h3b cD E
LLLLLL
MMMMMM∆r
 
∆V = ∂∂h
ffffffffpi
3