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Economia Matemática
Prova 1
4 de novembro de 2020
Instruções:
1. A prova é individual.
2. A prova vale 10 pontos.
3. A prova tem 96 horas de duração a partir do momento de sua publicação no TIDIA.
4. Explicite os seus raciocínios de forma clara e detalhada.
5. A resolução deve obrigatoriamente ser digitada.
6. As expressões matemáticas devem obrigatoriamente ser digitadas usando o formato mate-
mático, como nas notas de aula, no livro ou nas questões desta prova.
7. A resolução deve ser enviada para o e-mail do professor em dois arquivos: (i) no formato
do editor de texto utilizado; e (ii) em formato pdf.
8. Ambos os arquivos devem ser nomeados da seguinte maneira: �Economat - P1 - Prova 1 -
Nome Completo do Aluno - Número de Matrícula�. Exemplo: �Economat - P1 - Maximiliano
Barbosa da Silva - 123456789�. Esse deve ser o mesmo título do e-mail enviado para o
professor.
1. (3,0 pontos) Considere os cinco últimos algarismos do seu número de matrícula. Chame-os de
a, b, c, d, e. Por exemplo, 210edcba. As seguintes cinco matrizes são matrizes de coe�cientes
de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número
de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b1 = ... = bm = 0, e (ii)
para um lado direito geral b1, ..., bm? Justi�que suas respostas.
1
(a)
[
1 4 1
a b c
]
(b)
[
6 4
d e
]
(c)
[
b 4 1
a b c
]
(d)
 1 4 3
d e a
0 e a
 (e)
 3 2
b c
3 1

2. (2,0 pontos) Seja uma economia habitada porN indivíduos, indexados por i = 1, ..., N . Nesta
economia existem cinco bens, cujos preços são p1, p2, p3, p4 e p5. O indivíduo i ∈ {1, ..., N}
possui dotação eil do bem l ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. A demanda do indivíduo i pelo bem l é dada por:
xi
l =
5∑
j=1
pje
i
j
5pl
.
O mercado do bem l está em equilíbrio quando a sua demanda é igual à sua oferta, ou seja:
N∑
i=1
xi
l =
N∑
i=1
eil ≡ el.
Mantendo em mente que os sobrescritos acima são índices ao invés de expoentes, �xe um dos
preços igual a 1 e encontre os demais pela regra de Cramer.
3. (2,0 pontos) Seja a matriz E abaixo. Prove que det (E) = 0.
E =

(1− n) e1 e2 ... en
e1 (1− n) e2 ... en
...
...
. . .
...
e1 e2 ... (1− n) en
 .
4. (3,0 pontos) Considere uma população de n > 1 indivíduos que formam um rede de conexões
sociais recíprocas. Essa rede é representada por uma matriz (de adjacência) G de tama-
nho n × n. Os elementos dessa matriz dizem se dois indivíduos estão conectados ou não.
Especi�camente, 
gii = 0 para todo i = 1, ..., n
gij = 0 se i e j não estão conectados, i 6= j
gij = 1 se i e j estão conectados, i 6= j.
Por exemplo, considere a rede social ilustrada abaixo.
2
A sua matriz de adjacência é a seguinte:
G =

0 1 0 0 0
1 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0
 .
(a) (1,5 ponto) Suponha n > 2 e que essa sociedade se divide em dois tipos de indivíduos:
os ímpares {1, 3, ...} e os pares {2, 4, ...}. Não existem conexões entre indivíduos de um
mesmo tipo, apenas entre indivíduos de tipos diferentes. Suponha que cada indivíduo
ímpar esteja conectado a todos os indivíduos pares. Se n for par, a matriz de adjacência
é invertível? E se n for ímpar? Prove.
(b) (1,5 ponto) Um passeio entre dois indivíduos i e j numa rede social é uma sequência de
links (não necessariamente distintos) entre eles. Por exemplo, na �gura acima, {l4} é
um passeio do indivíduo 3 até o indivíduo 4. Da mesma forma, a sequência {l4, l5, l6, l4}
é outro passeio de 3 até 4. A sequência {l4, l4} é um passeio do indivíduo 3 até ele
mesmo. O comprimento de um passeio é igual ao seu número de links. Proponha uma
fórmula em termos de G que calcula o número de passeios de comprimento x ∈ N entre
dois indivíduos quaisquer (distintos ou não) da rede social. Sugestão: teste com n = 2,
então teste com n = 3 e então generalize.
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