GEX101_aula_8- exponencial2

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 GEX101 – MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 
Turmas 02A, 07A, 09A, 10A 
Aulas 15 e 16 
 08 e 11 de março de 2013 
 
Professora Isabel Amorim 
Capítulo 3 do livro: 
Connallly, Hughes-Hallett, Gleason, et al.; Funções para modelar variações: uma preparação para o 
cálculo. 3ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS (continuação) 
 
A função exponencial mais importante é descrita como em que e=2,71828182... é a base natural. 
Mas como poderia ser natural usar uma base irracional tal como e? 
Na aula de hoje vamos estudar as funções exponenciais com base e e você vai perceber que algumas 
fórmulas de cálculo são bem mais simples se e for usado como base para funções exponenciais. 
 
1.1 Introdução: crescimento contínuo e o número e 
Suponha que R$1,00 for investido em uma conta bancária que rende 100% de juros uma vez ao ano e que 
nenhum outro depósito ou saque tenha sido realizado. Após um ano teremos: 
 
Se investirmos R$1,00 em uma conta bancária que rende 50% de juros duas vezes ao ano, então após um 
ano teremos: 
 
 
 
 
 
 
O saldo é maior porque os juros recebidos nos primeiros 6 meses também recebem juros referentes ao 
segundo período de seis meses. 
Similarmente, se investirmos R$1,00 em uma conta bancária que rende 25% de juros quatro vezes ao ano, 
então, após um ano teremos: 
 
 
 
 
 
 
A tabela 1 apresenta o saldo após um ano, quando os juros são calculados com uma frequência cada vez 
maior. 
Frequência Saldo aproximado Frequência Saldo aproximado 
1(anualmente) R$2,00 365(diariamente) R$2,714567 
2(semestralmente) R$2,25 8760(a cada hora) R$2,718127 
4(trimestralmente) R$2,441406 525.600(a cada minuto) R$2,718279 
12(mensalmente) R$2,613035 31.536.000 (a cada segundo) R$2,718282 
Tabela 1: Saldo aproximado para várias frequências. 
A medida que a frequência cresce, o saldo cresce porque os juros ganham mais juros. Mas observe que 
por mais que a frequência aumente, o saldo nunca chega a ultrapassar R$2,7182. 
A medida que a frequência aumenta, o saldo se aproxima de 2,7182828... 
Este número irracional foi introduzido em 1727 pelo matemático Euler e recebeu um nome especial em 
sua homenagem: e. 
O número irracional e= 2,7182818284590452353... é usado como base natural da função exponencial. 
 
1.2 A função exponencial com base e 
2 
 
A função exponencial que nos interessa é 
  xf x e
 
O número e pode ser encontrado da seguinte forma: 
Considere o valor de 
 
1
1 hh
 para h próximo de zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando h
0
 temos que 
 
1
1 hh

e 
 
Podemos dizer que 
 
1
0
lim 1 h
h
e h

 
, que significa que 
 
1
1 he h 
, para h próximo de zero. 
 
Qualquer base positiva b pode ser escrita como uma potência de e: 
 
Se então k é positivo. 
Se então k é negativo. 
 
A função exponencial pode ser escrita em termos e: 
 
 
 
A constante k é denominada taxa de crescimento contínuo. 
 
Para a função exponencial , a taxa de crescimento contínuo, k, é obtida resolvendo . 
Logo: 
 
Se então f(x) é crescente. 
Se então f(x) é decrescente. 
 
O valor da taxa de crescimento contínuo, k, pode ser dado em decimal ou percentagem. 
Veja que quando a é igual a 1 temos 
  xf x e
 
 
Propriedade: 
  x y yxf x y e e e  
 
 
 Exemplo 1: 
Obtenha a taxa de crescimento contínuo para cada uma das seguintes funções e esboce o gráfico de cada 
uma delas: 
a) b) c) 
Solução: 
h  11 hh 
0,1 2,5937 
0,01 2,7048 
0,001 2,7169 
0,0001 2,7181 
0,00001 2,7182 
0,000001 2,7182 
3 
 
a) A função tem uma taxa de crescimento contínuo de 20%. 
b) A função tem uma taxa de crescimento contínuo de 50%. 
c) A função tem uma taxa de crescimento contínuo de -20%. Observação: O sinal 
negativo no expoente indica que está decrescendo. (veja o gráfico) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
A cafeína é liberada do corpo a uma taxa contínua de 17% por hora. Qual a quantidade de cafeína que 
permanece no corpo 8 horas após ter-se ingerido uma xícara de café contendo 100mg de cafeína? 
 
Solução: 
Se C for a quantidade de cafeína no corpo, t horas após o café ter sido ingerido, então: 
 
Após 8 horas temos: 
 .