Lista 2 - Integral Indefinida por Susbtituição

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<p>ENGENHARIA ELÉTRICA</p><p>ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II</p><p>INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO</p><p>Passo 1. Faça uma escolha para u, digamos )(xgu = .</p><p>Passo 2. Calcule )(' xg</p><p>dx</p><p>du</p><p>= .</p><p>Passo 3. Faça a substituição )(xgu = , dxxgdu )('= .</p><p>Obs.: Neste ponto, toda integral deve estar em termos de u; nenhum x deve</p><p>continuar. Se isto não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para u.</p><p>Passo 4. Calcule a integral resultante, se possível.</p><p>Passo 5. Substituir u por )(xg ; assim, a resposta final estará em termos de x.</p><p>EXERCÍCIOS - LISTA 2</p><p>1. Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas.</p><p>a) ( ) 1;12 2232 +=+ xudxxx</p><p>b) xudxxx cos;sencos3 =</p><p>c)  = xudxx</p><p>x</p><p>;sen</p><p>1</p><p>d)  +=</p><p>+</p><p>54;</p><p>54</p><p>3 2</p><p>2</p><p>xu</p><p>x</p><p>dxx</p><p>e)  −=</p><p>−</p><p>4;</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>xudx</p><p>x</p><p>x</p><p>f) ( ) 14;14sec 2 +=+ xudxx</p><p>g) 22 21;21 yudyyy +=+</p><p>h) ( )( ) ++=+++ 37;3772 2</p><p>5</p><p>4</p><p>2 xxudxxxx</p><p>2</p><p>i)  +=</p><p>+</p><p>1;</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>eudx</p><p>e</p><p>e</p><p>j) ( ) tudttt sen1;cossen1</p><p>9</p><p>+=+</p><p>k) xu</p><p>xx</p><p>dx</p><p>ln;</p><p>ln</p><p>=</p><p></p><p>l) ttt edtee 222 1;1 ++</p><p>m)  −=− xudxe x 5;5</p><p>2. Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.</p><p>a)  dxe x2</p><p>b) ( ) − dxxx</p><p>322</p><p>c)  dxx8cos</p><p>d)  x</p><p>dx</p><p>2</p><p>e) ( ) − dxx</p><p>5</p><p>13</p><p>f)  dxx3sen</p><p>g)   dxxtgx 44sec</p><p>h) dxx 5sec 2</p><p>i)  + dttt 127 2</p><p>j) </p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>254</p><p>k) </p><p>+</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>13</p><p>2</p><p>l)</p><p>( )</p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>2</p><p>31</p><p>1</p><p>m)</p><p>( )</p><p>+</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>32 14</p><p>n) ( )dxxx  23cos</p><p>o)   dxxe x cossen</p><p>p)   dxex x43</p><p>q) dxex x</p><p></p><p>−</p><p>322</p><p>r)  −</p><p>−</p><p>−</p><p>+</p><p>dx</p><p>ee</p><p>ee</p><p>xx</p><p>xx</p><p>s) dx</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>5</p><p>sen</p><p>t)  xe</p><p>dx</p><p>u) dy</p><p>y</p><p>e</p><p>y</p><p></p><p>v) dttt  3cos3sen 5</p><p>w)  dye y</p><p>3</p><p>Gabarito:</p><p>1.</p><p>a)</p><p>( )</p><p>24</p><p>21</p><p>1 ,</p><p>24</p><p>x k k+ + </p><p>b)</p><p>41</p><p>cos ,</p><p>4</p><p>x k k− + </p><p>c)</p><p>2cos ,x k k− + </p><p>d)</p><p>23</p><p>4 5 ,</p><p>4</p><p>x k k+ + </p><p>e)</p><p>31</p><p>ln 4 ,</p><p>3</p><p>x k k− + </p><p>f)</p><p>( )</p><p>( )</p><p>4 11</p><p>,</p><p>4 cos 4 1</p><p>sen x</p><p>k k</p><p>x</p><p>+</p><p>+ </p><p>+</p><p>g)</p><p>( )</p><p>3</p><p>22</p><p>1</p><p>1 2 ,</p><p>6</p><p>y k k+ + </p><p>h)</p><p>( )</p><p>9</p><p>25</p><p>5</p><p>7 3 ,</p><p>9</p><p>x x k k+ + + </p><p>i)</p><p>ln 1 ,xe k k+ + </p><p>j)</p><p>( )</p><p>101</p><p>1 ,</p><p>10</p><p>sent k k+ + </p><p>k)</p><p>( )ln ln ,x k k+ </p><p>4</p><p>l)</p><p>( )</p><p>3</p><p>21</p><p>1 ,</p><p>3</p><p>te k k+ + </p><p>m)</p><p>51</p><p>,</p><p>5</p><p>xe k k−− + </p><p>2.</p><p>a)</p><p>21</p><p>2</p><p>xe</p><p>b)</p><p>8 6 4 21</p><p>3 4 ,</p><p>8</p><p>x x x x k k− + − + + </p><p>c)</p><p>1</p><p>8 ,</p><p>8</p><p>sen x k k+ </p><p>d)</p><p>1</p><p>ln ,</p><p>2</p><p>x k k+ </p><p>e)</p><p>( )</p><p>61</p><p>3 1 ,</p><p>18</p><p>x k k− + </p><p>f)</p><p>1</p><p>cos3 ,</p><p>3</p><p>x k k− + </p><p>g)</p><p>1</p><p>sec4 ,</p><p>4</p><p>x k k+ </p><p>h)</p><p>1</p><p>5 ,</p><p>5</p><p>tg x k k+ </p><p>i)</p><p>( )</p><p>3</p><p>21</p><p>7 12 ,</p><p>21</p><p>t k k+ + </p><p>j)</p><p>21</p><p>4 5 ,</p><p>5</p><p>x k k− − + </p><p>5</p><p>k)</p><p>32</p><p>1 ,</p><p>3</p><p>x k k+ + </p><p>l)</p><p>1</p><p>,</p><p>3 9</p><p>k k</p><p>x</p><p>+ </p><p>−</p><p>m)</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>,</p><p>16 4 1</p><p>k k</p><p>x</p><p>− + </p><p>+</p><p>n)</p><p>( )21</p><p>3 ,</p><p>6</p><p>sen x k k+ </p><p>o)</p><p>,sen xe k k+ </p><p>p)</p><p>41</p><p>,</p><p>4</p><p>xe k k+ </p><p>q)</p><p>321</p><p>,</p><p>6</p><p>xe k k−− + </p><p>r)</p><p>ln ,x xe e k k−− + </p><p>s)</p><p>1 5</p><p>cos ,</p><p>5</p><p>k k</p><p>x</p><p> </p><p>+  </p><p> </p><p>t)</p><p>,xe k k−− + </p><p>u)</p><p>2 ,</p><p>y</p><p>e k k+ </p><p>6</p><p>v)</p><p>( )</p><p>61</p><p>3 ,</p><p>18</p><p>sen t k k+ </p><p>w)</p><p>2 ,ye k k+ </p>