INVESTIMENTO

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<p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Unidade 4</p><p>Investimento</p><p>Aula 1</p><p>Valor Futuro - Aplicações</p><p>Valor futuro e aplicações</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você se aprofundará nos estudos relacionados a investimentos, desde sua de�nição,</p><p>utilização e como podemos usar fórmulas matemáticas para calcular investimentos com</p><p>depósitos periódicos e iguais.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você fez uma aplicação para utilizar o</p><p>dinheiro em uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação mensal de R$</p><p>20.000,00, durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Investimentos</p><p>Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é um investimento, que é considerando</p><p>qualquer valor capaz de gerar um lucro, seja em um período de curto, médio ou longo prazo.</p><p>As pessoas optam por investir seu dinheiro para adquirir algo no futuro, seja uma viagem,</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>compra um imóvel ou móvel, para ter rendimentos, rendas, entre outros. Um investimento é toda</p><p>aplicação de dinheiro visando ganhos. Vejamos alguns exemplos de aplicação:</p><p>Caderneta de poupança.</p><p>Fundos.</p><p>Ações.</p><p>Antes de escolher um investimento, faz-se necessário planejar e estudar os demais tipos de</p><p>investimentos existentes no mercado. Para isso, alguns conceitos discutidos na Matemática</p><p>Financeira podem contribuir bastante.</p><p>Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Cálculo do valor futuro</p><p>Ao trabalharmos com investimentos, podemos utilizar o cálculo do valor futuro, que está</p><p>embasado no resultado de uma aplicação com depósitos iguais e periódicos. Para determinar o</p><p>valor futuro, usamos a seguinte fórmula matemática:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.</p><p>dep: refere-se ao valor do depósito.</p><p>n: número total de depósitos periódicos e iguais.</p><p>i: taxa de juros compostos.</p><p>Um exemplo disso pode ser uma pessoa que queira aplicar um determinado valor sempre no</p><p>mesmo dia, em uma aplicação que renda um valor x de taxa de juros compostos. Após um</p><p>determinado período de depósitos, se obtém o valor �nal, ou seja, o valor futuro.</p><p>Resultado de aplicações</p><p>Para encontrarmos o resultado de uma aplicação, ou seja, o valor futuro, ou valor de depósitos</p><p>periódicos e iguais, ou período, fazemos uso da fórmula do valor futuro. Para melhor</p><p>compreender, observe um exemplo:</p><p>Em uma determinada instituição �nanceira, uma aplicação que paga uma taxa de juros</p><p>compostos de 1,2% a.m. após dois anos apresentou um valor futuro de R$ 8.839,27. Sendo</p><p>assim, qual o valor dos depósitos mensais e iguais que foram realizados nesse período?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>n: 24 depósitos periódicos e iguais.</p><p>Substituindo na fórmula:</p><p>Temos,</p><p>VF = dep. [ (1+i)n−1</p><p>i ]</p><p>V F :  R$ 8. 839, 27</p><p>dep :?</p><p>V F = dep[ (1+i)</p><p>n</p><p>−1</p><p>i ]</p><p>8 839,27 = dep[ (1+0,012)</p><p>24</p><p>−1</p><p>0,012 ]</p><p>8 839,27 = dep[ 0,3315</p><p>0,012</p><p>]</p><p>8 839,27 = dep ⋅ 27,6250</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor de cada depósito foi de R$ 319,97.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você fez uma aplicação para realização</p><p>de uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação mensal de R$ 20.000,00,</p><p>durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>VF: Resultado �nal da aplicação.</p><p>dep: R$ 20.000,00 por mês.</p><p>n: 36 depósitos periódicos e iguais, pois trata-se de depósitos mensais durante três anos.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>Temos,</p><p>Logo, o resultado da aplicação �nal é de R$ 894.000,00.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre investimentos, leia o artigo Análise de investimentos de Luiz Henrique</p><p>Figueira Marquezan.</p><p>dep = 8 839,27</p><p>27,6250</p><p>= 319,97</p><p>V F = dep[ (1+i)n−1</p><p>i</p><p>]</p><p>i : 1,20% a.m</p><p>VF = 20.000[ (1+0,012)</p><p>36</p><p>−1</p><p>0,012 ]</p><p>V F = 20.000[ 1,5364−1</p><p>0,012 ]</p><p>V F = 20.000 ⋅ 44,70</p><p>V F = R$894.000,00</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A.. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:</p><p>Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MARQUEZAN, L. H. F.; BRONDANI, G. Análise de investimentos. Revista eletrônica de</p><p>contabilidade, v. 3, n. 1, p. 35-35, 2006.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 2</p><p>Determinação da Taxa de Juros do Valor Futuro</p><p>Determinação da taxa de juros do valor futuro</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais seu conhecimento sobre os investimentos, sejam eles</p><p>para compra de um veículo, um imóvel, entre outros. Você vai também compreender sobre como</p><p>calcular o valor da taxa de juros imposta em um rendimento e fazer uso da calculado HP – 12C</p><p>para seu cálculo.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que o dono de uma multinacional pretende</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante seis meses. Sabendo</p><p>que essa mesma aplicação resultou, num período de quatro meses, no valor de R$ 48.763,64,</p><p>depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de juros dessa aplicação?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Taxa de juros no investimento</p><p>Quando estamos pensando em fazer um investimento, é necessário estar ciente da in�uência do</p><p>cenário econômico, assim como a taxa de juros também pode impactar diretamente a sua</p><p>estrutura. Além disso, a taxa de juros é bastante utilizada no mercado de crédito como um todo,</p><p>por esse motivo é importante estar atento às suas variações.</p><p>Compreender e conseguir determinar a taxa de juros pode contribuir para melhores resultados</p><p>nas aplicações �nanceiras, já que ela afeta de maneira direta a rentabilidade da maioria dos</p><p>investimentos disponibilizados no mercado.</p><p>Um exemplo disso pode ser de duas �nanceiras oferecendo taxas de juros distintas; mesmo que</p><p>o valor da diferença entre ela seja pequeno, opte sempre pela menor e as melhores condições,</p><p>pois isso pode impactar o seu rendimento futuro.</p><p>Figura 1 | Taxa de juros no investimento. Fonte: Freepik.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Métodos para o cálculo de taxa</p><p>Muitas vezes necessitamos determinar a taxa imposta em investimentos. Nesse caso, podemos</p><p>fazer uso do Método de Newton-Raphson para valor futuro, o qual apresenta o menor número de</p><p>iterações. Para sua aplicação, fazemos uso de uma série de funções, em que:</p><p>VF: valor futuro</p><p>parc: valor do depósito periódico e igual</p><p>: taxa de juros (chute)</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>Mecanismo do método:</p><p>1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo</p><p>Se</p><p>ij</p><p>f(ij) = V F</p><p>dep ij − (1 + ij)</p><p>n</p><p>+ 1</p><p>f'(ij) = V F</p><p>dep − n(1 + ij)</p><p>n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>ij</p><p>f(ij)</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>ij</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Se</p><p>3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos</p><p>4º passo: usando os valores da taxa</p><p>de juros compostos</p><p>5º passo: com a nova</p><p>Os passos deverão ser repetidos até que:</p><p>Exemplo disso é quando pretende saber qual o valor dos depósitos periódicos e iguais, as</p><p>quantidades das parcelas e o resultado da aplicação.</p><p>Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de</p><p>investimento</p><p>Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com</p><p>depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C.</p><p>Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.</p><p>|f(ij)| > 0,0001</p><p>ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(ij+1)</p><p>(i(j+ 1))</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Digita valor futuro Tecla CHS e Tecla FV</p><p>Digita quantidade de depósitos Tecla n</p><p>Digita valor do depósito Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Observe um exemplo:</p><p>João Lucas depositou todos os meses, durante 15 meses, o valor de R$ 2.000,00 em um</p><p>investimento. Esse investimento resultou um montante �nal de R$ 34.586,83. Qual é a taxa de</p><p>juros compostos paga por essa aplicação?</p><p>Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:</p><p>Digita o valor futuro 34 586,83 Tecla CHS e Tecla FV</p><p>Digita quantidade de depósitos 15 Tecla n</p><p>Digita valor do depósito 2 000 Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, teremos o valor da taxa igual a 2% a.m.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que o dono de uma multinacional pretende</p><p>fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante seis meses. Sabendo</p><p>que essa mesma aplicação resultou, em um período de quatro meses, o valor de R$ 48.763,64,</p><p>depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de juros dessa aplicação?</p><p>1ª Etapa: determinando a taxa de juros compostos da aplicação:</p><p>n: 4</p><p>dep: R$ 12.000,00/mês</p><p>Substituindo na função da taxa de juros compostos, temos?</p><p>V F : R$48.763,64</p><p>ij</p><p>f(ij) =</p><p>V F</p><p>dep</p><p>ij − (1 + ij)</p><p>n + 1</p><p>f(ij) =</p><p>48.763,64</p><p>12.000 ij − (1 + ij)</p><p>4 + 1</p><p>f(ij) = 4,0636ij − (1 + ij)</p><p>4</p><p>+ 1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Substituindo na função da taxa de juros compostos</p><p>Substituindo na função da taxa de juros compostos</p><p>Observe na tabela como �ca as iterações:</p><p>Bloco 1</p><p>1º 2º 3º</p><p>Iterações</p><p>1ª 0,02 -0,0012 -0,1812</p><p>2ª 0,0134 -0,0002 -0,0992</p><p>3ª 0,0114 -0,0001 FIM 9,0687</p><p>Bloco 2</p><p>4º</p><p>0,0134</p><p>0,0114</p><p>0,0100</p><p>Logo, a taxa imposta nesse investimento é de 1,14% a.m.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre investimentos, leia a dissertação O efeito dos atributos dos mercados na</p><p>escolha de investimentos de Simone Hilário da Silva Brasileiro.</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo:</p><p>f'(ij) =</p><p>V F</p><p>dep</p><p>− n(1 + ij)</p><p>n−1</p><p>f'(ij) = 4,0636 − 4(1 + ij)</p><p>3</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>ij F(ij) F ′(ij)</p><p>ij+1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Editora Atlas, 2012.</p><p>BRASILEIRO, S. H. S. et al. O efeito dos atributos dos mercados na escolha de investimentos.</p><p>2018.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 3</p><p>Amortização</p><p>Amortização</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você conhecerá sobre os sistemas de amortização para �nanciamentos, seja de um</p><p>imóvel, um carro, entre outros. Abordaremos suas principais características, assim como vamos</p><p>aprender a realizar cálculos para o sistema SAC e PRICE.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você vai �nanciar uma obra em 4</p><p>parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que o sistema</p><p>de amortização é o SAC e o valor �nanciado é de R$ 306.000,00, qual valor das parcelas?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Sistemas de amortização</p><p>É muito comum as pessoas optarem por �nanciamentos para compra da sua casa própria, carro,</p><p>para realizar uma viagem, algum item para sua casa, entre outros. Muito se discute sobre valores</p><p>abusivos de juros que podem ser cobrados em alguns �nanciamentos, por isso é necessário</p><p>conhecer e compreender os tipos de �nanciamentos para optar pelo melhor cenário.</p><p>No Brasil, para �nanciamentos, de uma forma geral, podemos utilizar diversos métodos, mas em</p><p>especí�co, nesta aula, abordaremos sobre os dois métodos de amortização da dívida de</p><p>compra:</p><p>SAC (Sistema de Amortização Constante).</p><p>PRICE (Sistema Francês de Amortização).</p><p>Um exemplo desses métodos pode ser o �nanciamento de uma casa pela SAC e um carro pelo</p><p>sistema PRICE.</p><p>Figura 1 | Financiamento de um automóvel. Fonte: Freepik.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Sistema SAC</p><p>O SAC - Sistema de Amortização Constante tem como característica a diminuição do valor das</p><p>parcelas ao longo do tempo. Para o cálculo de suas parcelas temos que primeiramente calcular o</p><p>valor da amortização, pois a parcela será composta sempre pela mesma amortização, a�nal ela</p><p>é constante, mais o valor dos juros.</p><p>Fórmula para cálculo da Amortização</p><p>Em que,</p><p>Am: Amortização</p><p>VP: Valor presente</p><p>n: Quantidade parcelas</p><p>Fórmula para cálculo da Parcela</p><p>Em que,</p><p>Am: amortização</p><p>: valor da parcela</p><p>: juros</p><p>Fórmula para cálculo dos Juros</p><p>Em que,</p><p>i: taxa de juros</p><p>Am</p><p>Am = V P</p><p>n</p><p>Pk</p><p>Pk = Am+ Jk</p><p>Pk</p><p>Jk</p><p>Jk</p><p>Jk = Dk−1. i</p><p>Jk</p><p>Dk−1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Fórmula para cálculo da Dívida</p><p>Em que,</p><p>: dívida atual</p><p>: dívida</p><p>Am: amortização</p><p>Um exemplo desse tipo de sistema é para �nanciamento de compra de imóveis.</p><p>Sistema PRICE</p><p>O PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem iguais.</p><p>Tem maior aplicação em �nanciamentos de veículos.</p><p>Fórmula para cálculo da Parcela:</p><p>Em que,</p><p>parc: valor da parcela</p><p>VP: valor presente</p><p>n: quantidade parcelas</p><p>i: taxa de juros</p><p>Fórmula para cálculo da Amortização</p><p>Em que,</p><p>Amk: amortização</p><p>parc: valor da parcela</p><p>: valor dos juros</p><p>Dk</p><p>Dk+1 = Dk −Am</p><p>D(k+ 1)</p><p>Dk</p><p>parc =</p><p>V P .i.(1+i)n</p><p>(1+i)</p><p>n</p><p>−1</p><p>Am</p><p>Amk = parc− Jk</p><p>Jk</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Fórmula para cálculo dos Juros</p><p>Em que:</p><p>: juros</p><p>: dívida anterior</p><p>I: taxa de juros</p><p>Fórmula para cálculo da Dívida</p><p>Em que,</p><p>: dívida anterior</p><p>: dívida</p><p>Amk: amortização</p><p>Um exemplo desse tipo de método são �nanciamentos de veículos, em que as parcelas são</p><p>constantes ao longo de todo �nanciamento.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você vai �nanciar uma obra em 4</p><p>parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que o sistema</p><p>de amortização é o SAC e o valor �nanciado é de R$ 306.000,00, qual valor das parcelas?</p><p>Dívida ( ) Amortização</p><p>(Am)</p><p>Juros ( ) Parcela ( )</p><p>306 000,00 76 500,00</p><p>229 500,00 76 500,00 11 199,60 87 699,60</p><p>153 000,00 76 500,00 8 399,70 84 899,70</p><p>76 500,00 76 500,00 5 599,80 82 099,80</p><p>0,00 76 500,00 2 799,90 79 288,90</p><p>306 000,00   333 999,00</p><p>Jk</p><p>Jk = Dk−1. i</p><p>Jk</p><p>Dk−1</p><p>Dk</p><p>Dk = Dk−1 −Amk</p><p>Dk−1</p><p>Dk</p><p>Dk</p><p>Dk+1 = Dk −Am</p><p>Am = V P</p><p>n</p><p>Jk</p><p>Jk = Dk−1. i</p><p>Pk</p><p>Pk = Am+  Jk</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para melhor compreender a nossa tabela:</p><p>Observe que a nossa dívida inicial  =306 000.</p><p>Para calcularmos a amortização (coluna II), dividimos o valor do �nanciamento por R$</p><p>306.000,00 pela quantidade de parcelas (4).</p><p>Na terceira coluna, temos que o cálculo dos juros será a multiplicação da dívida anterior</p><p>pela taxa de juros.</p><p>E, por �m, na quarta coluna, somamos a amortização e valor dos juros para determinação</p><p>do valor das parcelas.</p><p>Sendo assim, o valor das parcelas será R$ 87.699,60; R$ 84.899,70; R$ 82.099,80; R$ 79.288,90;</p><p>R$ 333.999,00.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre �nanciamentos, leia o artigo SAC ou PRICE? de Debora Borges Ferreira.</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>FERREIRA, D. B. Sac ou PRICE? Revista do Professor de Matemática, n. 85, p. 42-45, SBM, Rio de</p><p>Janeiro, 2014.</p><p>FERNANDES, N. C. C. Matemática �nanceira: uma abordagem sobre �nanciamentos. 2014.</p><p>Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso em: 18 nov. 2023.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 4</p><p>Método Hamburguês</p><p>Método Hamburguês</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Dk</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá sobre o cheque especial, bem como utilizar o método hamburguês</p><p>para calcular valor de juros do cheque especial. Para melhor compreender sobre o tema, imagine</p><p>que você controla todo �uxo de caixa de uma empresa. Observe o extrato bancário:</p><p>Data Histórico Movimento Saldo</p><p>01 Transporte   1.000,00 +</p><p>03 Clientes 400.000,00 +</p><p>05 Fornecedores 150.000,00 -</p><p>05 Funcionários 100.000,00 -</p><p>10 Encargos �scais 170.000,00 -</p><p>13 Clientes 50.000,00 +</p><p>15 Pagamento de</p><p>reforma</p><p>17.541,51 -</p><p>22 Pagamento de</p><p>manutenção</p><p>20.000,00 -</p><p>28 Pagamento de</p><p>material de</p><p>construção</p><p>85.000,00 -</p><p>30 Clientes 100.000,00 +</p><p>30 Juros do cheque</p><p>especial</p><p>A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao dia. Qual</p><p>o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa</p><p>no último dia do mês?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Conta garantida</p><p>Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é uma conta garantida, pois trata-se de um</p><p>empréstimo rotativo destinado às empresas clientes da instituição �nanceira. O dinheiro �ca</p><p>disponível da conta bancária do cliente e a empresa, de acordo com o limite contratado, pode</p><p>fazer seu uso para suprir eventuais necessidades de �uxo de caixa.</p><p>Porém, quando o dinheiro é utilizado, são cobrados valores de juros que incidem somente sobre</p><p>os valores utilizados nos dias úteis, sendo debitados mensalmente da conta garantida e o limite</p><p>utilizado pode ser coberto a qualquer momento, por meio de créditos na conta garantida.</p><p>Podemos dizer que a conta garantida é quase a mesma coisa que cheque especial, com a</p><p>diferença que conta garantida é um produto especí�co para pessoas jurídicas. É comum</p><p>também, na pessoa jurídica, que a conta garantida seja separada da conta da pessoa física.</p><p>Um exemplo de conta garantida é quando uma empresa faz uso do dinheiro disponibilizado pela</p><p>instituição bancária para pagamentos de salários e depois de alguns dias cobre esse dinheiro e</p><p>mais o adicional dos juros pelo período utilizado.</p><p>Figura 1 | Empréstimo bancário. Fonte: Freepik.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Cheque especial</p><p>Hoje em dia, com tantos imprevistos, muitas vezes, o nosso dinheiro não é su�ciente para sanar</p><p>as despesas do mês, bem como podem aparecer alguns gastos de emergência. Diante desse</p><p>contexto, o cheque especial é um tipo de crédito que o banco disponibiliza em sua conta</p><p>corrente, como se fosse um empréstimo pré-aprovado que �ca ali disponível diretamente na</p><p>conta para usar a qualquer momento.</p><p>Algumas instituições bancárias também oferecem um período no qual aquele limite disponível</p><p>pode ser utilizado sem a aplicação de juros, por até 10 dias sem incidência de juros.</p><p>A partir do cheque especial, o limite �ca disponível para usar sempre que a pessoa precisar, fácil</p><p>e prático, mas é necessário cautela, pois muitas pessoas cometem o erro de usar o limite do</p><p>cheque especial como se fosse uma extensão da conta corrente, o que pode ocasionar num</p><p>endividamento fora do controle.</p><p>Cálculo dos juros do cheque especial</p><p>Com intuito de contribuir para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta</p><p>garantida, a serem cobrados ao �nal de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque</p><p>especial, podemos utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:</p><p>Em que,</p><p>J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.</p><p>i: taxa de juros simples ao dia.</p><p>IOF: Imposto sobre Operações Financeiras ao dia.</p><p>SD: saldo devedor.</p><p>d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você controla todo �uxo de caixa de</p><p>uma empresa. Observe o extrato bancário:</p><p>Data Histórico Movimento Saldo</p><p>01 Transporte   1.000,00 +</p><p>J = (i+ IOF)∑SD. d</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>03 Clientes 400.000,00 +</p><p>05 Fornecedores 150.000,00 -</p><p>05 Funcionários 100.000,00 -</p><p>10 Encargos �scais 170.000,00 -</p><p>13 Clientes 50.000,00 +</p><p>15 Pagamento de</p><p>reforma</p><p>17.541,51 -</p><p>22 Pagamento de</p><p>manutenção</p><p>20.000,00 -</p><p>28 Pagamento de</p><p>material de</p><p>construção</p><p>85.000,00 -</p><p>30 Clientes 100.000,00 +</p><p>30 Juros do cheque</p><p>especial</p><p>A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao dia. Qual</p><p>o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa</p><p>no último dia do mês?</p><p>Ao analisar o extrato bancário, vamos adicionar os valores positivos, subtrair os valores</p><p>negativos e quando o saldo �car negativo multiplicar cada valor pela quantidade de dias que o</p><p>saldo se manteve negativo.</p><p>Sendo assim, temos que:</p><p>Substituindo os valores na fórmula:</p><p>Logo, os juros a serem cobrados serão de R$ 1.313,01.</p><p>∑SD. d = 279 364,08</p><p>i = 0,47% a. d = 0,0047 a. d</p><p>IOF = 0,07 %  a. d = 0,0007 a. d</p><p>J = (i + IOF)∑SD. d</p><p>J = (0,0047 + 0,0007 ). 279364,08</p><p>J = 0,0047.279364,08</p><p>J = R$1.313,01</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre conta garantida e cheque especial, leia o artigo Gestão do capital de giro</p><p>de pequenas empresas de Valdineide Santos Araújo.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas. Revista</p><p>Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a</p><p>investimentos e os diferentes tipos sistemas de amortização a �m de aplicá-los na resolução de</p><p>problemas �nanceiros, é necessário abordar os seguintes conceitos:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Ao trabalharmos com investimentos com depósitos iguais e periódicos, podemos utilizar o</p><p>cálculo do valor futuro, a partir da seguinte fórmula matemática:</p><p>Em que:</p><p>VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.</p><p>dep: refere-se ao valor do depósito.</p><p>n: número total</p><p>de depósitos periódicos e iguais.</p><p>i: taxa de juros compostos.</p><p>Além dessa fórmula do valor futuro, às vezes precisamos determinar a taxa imposta em</p><p>investimentos. Nesse caso, podemos fazer uso do Método de Newton-Raphson:</p><p>VF: valor futuro.</p><p>parc: valor do depósito periódico e igual.</p><p>: taxa de juros (chute).</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>Mecanismo do método</p><p>1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo  .</p><p>2º passo: substituir i_j  na função da taxa de juros compostos  .</p><p>Se  , então   é a taxa de juros compostos imposta na aplicação.</p><p>Se  , então   não é a taxa de juros compostos imposta na aplicação,</p><p>vá para o 3º passo.</p><p>3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos</p><p>VF = dep. [ (1+i)n−1</p><p>i ]</p><p>ij</p><p>f(ij) = V F</p><p>dep ij − (1 + ij)</p><p>n + 1</p><p>f'(ij) = V F</p><p>dep</p><p>− n(1 + ij)</p><p>n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001 ij</p><p>|f(ij)| > 0,0001 ij</p><p>ij</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>, calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>.</p><p>4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos</p><p>, da função da taxa de juros compostos</p><p>, e da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>, calcule a próxima taxa de juros compostos (i_(j+1) ), que deverá substituir a última taxa</p><p>que não deu certo.</p><p>5º passo: com a nova</p><p>determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse</p><p>a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.</p><p>Os passos deverão ser repetidos até que:</p><p>Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com</p><p>depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C.</p><p>Agora, em nosso dia a dia, podemos optar por diversos tipos de �nanciamentos, dois deles são o</p><p>SAC e o PRICE. O SAC – Sistema de Amortização Constante tem como característica ter suas</p><p>parcelas num comportamento decrescente, ou seja, as parcelas diminuem ao longo do tempo.</p><p>Já o PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem</p><p>iguais. Tem maior aplicação em �nanciamentos de veículos.</p><p>E, por �m, para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta garantida, a serem</p><p>cobrados ao �nal de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque especial, podemos</p><p>utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(i(j+ 1))</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(i(j+ 1))</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que,</p><p>J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.</p><p>i: taxa de juros simples ao dia.</p><p>IOF: Imposto sobre operações �nanceiras ao dia.</p><p>SD: Saldo devedor.</p><p>d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!</p><p>Carlos pretende realizar uma viagem cujo custo é de R$ 6.400,00. Ele tem R$ 450,00 para aplicar</p><p>mensalmente num investimento, que paga uma taxa de juros compostos de 1,07% a.m. Sendo</p><p>assim, quantos depósitos mensais deverão ser feitos para atingir o valor da viagem?</p><p>Ao �nal dos estudos, responda:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em casa situação problema?</p><p>Você extrai as informações dos problemas de forma correta?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Dê o Play!</p><p>Clique aqui para acessar os slides do Dê o play!</p><p>Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:</p><p>VF: R$ 6.400,00</p><p>dep: 400,00</p><p>n: ?</p><p>i: 1,07% a.m = 0,0107 a.m</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>J = (i+ IOF)∑SD. d</p><p>V F = dep[ (1+i)n−1</p><p>i ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para tombar expoente, vamos multiplicar por ln</p><p>Logo, serão necessários aproximadamente 13 meses de depósitos para atingir o valor</p><p>necessário para a viagem.</p><p>Figura 1 | Mapa mental - investimentos</p><p>ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas. Revista</p><p>Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:</p><p>Editora Atlas, 2012.</p><p>6400 = 450[ (1+0,0107)n−1</p><p>0,0107 ]</p><p>6400</p><p>450</p><p>= [ (1,0107)n−1</p><p>0,0107</p><p>]</p><p>14,22.  0,0107 + 1 = (1,0107)n</p><p>1,1522 = (1,0107)n</p><p>ln1,1522 = ln(1,0107)</p><p>n</p><p>ln1,1522 = n. ln1,0107</p><p>0,1417 = n. 0,0106</p><p>n = 0,1417</p><p>0,0106</p><p>= 13,37</p>