Análise de Financiamentos

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<p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Valor presente – �nanciamento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você fará uma análise sobre �nanciamentos, sejam eles de um veículo, um imóvel,</p><p>entre outros, além de compreender sobre características de um �nanciamento e a utilização da</p><p>fórmula do valor presente para seu cálculo.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo</p><p>valor à vista é R$ 38.000,00. Uma loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais</p><p>sob a taxa efetiva de 1,51% a.m.</p><p>Qual será o valor da parcela dessa proposta de �nanciamento e como você faria para resolver</p><p>essa situação? Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos no �nanciamento com mais parcelas</p><p>Em nosso dia a dia, muitas vezes, somos colocados em situações nas quais são oferecidas</p><p>diversas formas de pagar alguma compra, como parcelar em valores mensais e iguais uma</p><p>geladeira, uma casa, um carro, entre outros. Mas, a�nal, como são realizados os cálculos em</p><p>diferentes �nanciamentos?</p><p>O �nanciamento tem como base de cálculo a série de juros compostos, que também pode ser</p><p>chamado de valor presente. Utilizamos a série de juros compostos quando estamos fazendo</p><p>cálculos de parcelas e prestações, mas com quantidades pequenas de parcelas, que não</p><p>precisam ser periódicas e nem iguais.</p><p>Já no caso de �nanciamento em juros compostos, com grande quantidade de parcelas</p><p>periódicas iguais, fazemos uso da fórmula do valor presente, um caso particular de séries de</p><p>juros compostos. O valor presente refere-se ao �nanciamento em juros compostos e por se tratar</p><p>de uma relação �nanceira a longo prazo, geralmente, suas parcelas ocorrem em relação mensal.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>No cálculo do valor presente, ou seja, no �nanciamento, faz-se uso da taxa de juros compostos, o</p><p>que consequentemente nos leva ao uso da taxa efetiva. Por isso, importante ressaltar que a taxa</p><p>nominal deve ser convertida para efetiva quando necessário fazer esse tipo de cálculo.</p><p>Um exemplo para compreender sobre o valor presente pode ser situação de um �nanciamento</p><p>imobiliário com 300 parcelas iguais e mensais sob uma taxa efetiva de 7,8% a.a. Neste caso,</p><p>temos uma quantidade grande de parcelas periódicas e iguais, além de trabalharmos com uma</p><p>taxa efetiva.</p><p>Figura 1 | Juros. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Financiamentos</p><p>Em nosso cotidiano é comum usar �nanciamentos para aquisição de bens. Um �nanciamento é</p><p>quando alguém empresta uma determinada quantia em dinheiro a uma pessoa ou a uma</p><p>empresa. Quando acontece um empréstimo de dinheiro, por exemplo, quem empresta cobra uma</p><p>porcentagem de juros sobre o valor emprestado, o que exige conhecimento para escolha da</p><p>melhor taxa de juros para cada situação.</p><p>É muito comum fazer uso de empréstimos de instituições bancárias, com um período pré-</p><p>determinado para sua liquidação e nessas situações o valor dos juros é calculado de acordo com</p><p>o valor do empréstimo, bem como conforme a taxa percentual aplicada pelo banco.</p><p>Muito se fala na aquisição de bens sem a necessidade de �nanciamentos, no entanto, tudo</p><p>depende do cenário e contexto de cada um, pois muitas vezes se realiza um �nanciamento para</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>a expansão de negócios lucrativos, �nanciamento de equipamentos, instalações, entre outros, o</p><p>que pode compensar no �nal das contas.</p><p>Existem diferentes tipos de �nanciamento, mas o exemplo a ser estudado nesta seção é do</p><p>cálculo de parcelas iguais e periódicas no regime de capitação de juros compostos, ou seja, taxa</p><p>efetiva.</p><p>Cálculo de prestações</p><p>Para o cálculo de �nanciamentos com parcelas periódicas e iguais, podemos usar a fórmula do</p><p>valor presente:</p><p>Onde:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>Tal fórmula apresenta uma vantagem em trabalhar com parcelamentos de número muito grande</p><p>de prestações iguais, como 60, 120, 180 parcelas. As parcelas sempre deverão ter vencimentos</p><p>periódicos, como mensais, bimestrais, semestrais, entre outros. Vejamos um exemplo:</p><p>Ana Alice comprou um aparelho celular em 10 parcelas mensais e iguais de R$ 150,00 sob taxa</p><p>efetiva de 2,5% a.m. Qual o valor à vista do aparelho celular?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>V P = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>V P =?</p><p>parc = 150,00</p><p>n = 10 parcelas mensais e iguais.</p><p>i = 2,5% a.m = 0,025 a.m</p><p>VP = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i</p><p>]</p><p>AV = V P = 150[ 1−(1+0,025)−10</p><p>0,025</p><p>]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor à vista do aparelho celular é de R$ 1.312,80.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo</p><p>valor à vista é R$ 38.000,00. Uma loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais</p><p>sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. Nesse cenário, qual é o  valor da parcela dessa proposta de</p><p>�nanciamento?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>n = 48 parcelas mensais e iguais.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>Onde:</p><p>AV = V P = 150[ 1−(1,025)</p><p>−10</p><p>0,025 ]</p><p>AV = V P = 150[ 1−0,7812</p><p>0,025</p><p>]</p><p>AV = V P = 150[ 0,2188</p><p>0,025 ]</p><p>AV = V P = 150 ⋅ 8,752</p><p>AV = V P = 1 312,80</p><p>V P = AV = R$38.000,00</p><p>parc =?</p><p>i = 1,51% a.m = 0,0151 a.m</p><p>VP = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>38.000 = parc[ 1−(1+0,0151)−48</p><p>0,0151</p><p>]</p><p>38.000 = parc[ 1−0,4871</p><p>0,0151 ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o �nanciamento proposto pelo vendedor resultará em 48 parcelas mensais e iguais a R$</p><p>1.118,74.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre �nanciamentos, leia o artigo Matemática �nanceira: uma abordagem</p><p>sobre �nanciamentos de Nilo César Costa Fernandes.</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>FERNANDES, N. C. C. Matemática �nanceira: uma abordagem sobre �nanciamentos. Dissertação</p><p>(Mestrado em Matemática em Rede Nacional). Centro de Ciências, Universidade Federal do</p><p>Ceará, Fortaleza, 2014. 2014. Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso</p><p>em: 18 nov. 2023.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 2</p><p>Valor Presente - Financiamento com Entrada</p><p>Valor presente – �nanciamento com entrada</p><p>38.000 = parc[ 0,5129</p><p>0,0151 ]</p><p>38.000 = parc ⋅ 33,9669</p><p>parc = 38.000</p><p>33,9669 = 1.118,74</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre �nanciamentos e empréstimos,</p><p>bem como o regime de capitalização de juros compostos com entrada. Tais conhecimentos são</p><p>aplicados em situações do nosso dia a dia, em �nanciamentos de habitação, móveis, entre</p><p>outros.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo</p><p>valor à vista é R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com</p><p>entrada de 20% do valor à vista.</p><p>Sendo assim, você deverá apresentar os</p><p>valores da entrada e das parcelas dessa proposta de</p><p>�nanciamento. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos no �nanciamento com entrada</p><p>Você já sonhou em comprar um carro novo ou casa própria? Muitas pessoas almejam realizar</p><p>tais sonhos, assim como outros, e para isso optam pelo �nanciamento para viabilizar as</p><p>compras. Porém, é necessário tomar algumas decisões importantes nesse processo de tomada</p><p>de decisão e uma delas é escolher entre fazer um �nanciamento com maior entrada ou mais</p><p>parcelas.</p><p>Essas decisões, assim como a escolha da taxa de juros, são importantes porque in�uenciam o</p><p>valor �nal do �nanciamento. Dependendo do valor �nanciado, escolher entre uma maior entrada</p><p>ou mais parcelas pode economizar e muito seu dinheiro.</p><p>Neste sentido, lembre-se que o �nanciamento faz uso, na maioria das vezes, do regime de</p><p>capitalização de juros compostos e a utilização do pagamento de uma entrada como parte do</p><p>valor �nanciado pode ajudar muito, diminuindo o valor dos juros a serem pagos no �nanciamento</p><p>como todo.</p><p>Um exemplo pode ser o da compra de uma casa no valor de R$ 200.000,00, em que a pessoa</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>pode dar uma entrada de R$ 50.000,00 no ato da contratação, restando �nanciar somente R$</p><p>150.000,00 para incidência de juros.</p><p>Figura 1 | Financiamento de imóvel. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Financiamento com entrada</p><p>Agora que você já compreendeu sobre a importância do pagamento de uma entrada no ato da</p><p>contratação de um �nanciamento, vamos conhecer a fórmula que nos auxilia para o cálculo do</p><p>valor das parcelas, o valor a ser �nanciado, a taxa de juros e quantidade de parcelas. Para isso,</p><p>vamos utilizar a fórmula do valor presente.</p><p>Substituindo “VP" por “AV-E" na equação passaremos a ter a equação que nos auxiliará a resolver</p><p>problemas de �nanciamento com entrada, como apresentado a seguir:</p><p>V P = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>Um exemplo de utilização dessa fórmula pode ser para o cálculo das prestações de um</p><p>�nanciamento no valor X com taxa de 1,5% a.m. em 48 parcelas mensais e iguais.</p><p>Parcelamento</p><p>Quando realizamos um �nanciamento para adquirir algum bem, estamos emprestando um</p><p>capital para pagar em parcelas, nesse caso especí�co, iguais e periódicas, com incidência de</p><p>juros no regime de capitalização composto.</p><p>Observe um exemplo em que podemos utilizar a fórmula do valor presente com entrada para</p><p>cálculo de parcelamentos.</p><p>Lucas vai comprar um computador cujo valor é R$ 5.400,00 em 10 parcelas mensais e iguais, sob</p><p>regime de juros compostos de 3,2% a.m. e entrada igual ao valor da parcela. Qual o valor da</p><p>entrada?</p><p>Extraindo as informações do problema, temos:</p><p>Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada, temos:</p><p>AV − E = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>AV : R$5.400,00</p><p>E :?</p><p>parc : E</p><p>n : 10</p><p>i : 3,2 %  a.m = 0,032</p><p>AV − E = parc. [ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 1−(1+0,032)−10</p><p>0,032</p><p>]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor da entrada será de R$ 571,80.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você deseja �nanciar em 48 vezes</p><p>mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00,</p><p>com entrada de 20% do valor à vista.</p><p>Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das parcelas dessa proposta de</p><p>�nanciamento.</p><p>Primeiramente, vamos calcular o valor da entrada:</p><p>20% do valor à vista:</p><p>Agora que temos o valor da entrada, vamos substituir os valores na fórmula do valor presente</p><p>com entrada:</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 1−(1,032)</p><p>−10</p><p>0,032 ]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 1−0,7298</p><p>0,032</p><p>]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 0,2702</p><p>0,032 ]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [8,4438]</p><p>5.400 − E = 8,4438E</p><p>5.400 = 8,4438E + E</p><p>5.400 = 9,4438E</p><p>5.400</p><p>9,4438 = E</p><p>E = 571,80</p><p>E = 20% ⋅ 38.000</p><p>E = 0,20 ⋅ 38.000</p><p>E = R$7.600,00</p><p>V P = R$38.000,00</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o �nanciamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas mensais e iguais a R$ 894,99.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre parcelamento, leia a dissertação Matemática Financeira: um</p><p>conhecimento necessário e importante para as pessoas de Ido José Schneider.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>SANTOS, J. C. Matemática �nanceira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S/A, 2016,</p><p>216 p.</p><p>SCHNEIDER, I. J. Matemática �nanceira: um conhecimento importante e necessário para a vida</p><p>das pessoas. Dissertação. Mestrado em Educação. Universidade de Passo Fundo, 2008.</p><p>E = R$7.600,00</p><p>parc =?</p><p>n = 48</p><p>i = 1,51 %  a.m = 0,0151 a.m</p><p>AV − E = parc[ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>38.000 − 7.600 = parc[ 1−(1+0,0151)−48</p><p>0,0151</p><p>]</p><p>30.400 = parc[ 1−0,4871</p><p>0,0151 ]</p><p>30.400 = parc ⋅ 33,9669</p><p>parc = 30.400</p><p>33,9669</p><p>= 894,99</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Aula 3</p><p>Valor Presente - Condições Especiais</p><p>Valor presente – condições especiais</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais nosso estudo sobre �nanciamentos, mais</p><p>especi�camente, quando temos condições especiais, ou seja, período de carência.</p><p>Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere que Joana pretende �nanciar</p><p>um veículo no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51%</p><p>a.m. com entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas que Joana pagará. Para isso,</p><p>vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos no �nanciamento com condições especiais</p><p>Muitas pessoas acabam optando pelo �nanciamento para aquisição de algum bem, seja ele um</p><p>carro, uma casa ou apartamento, entre outros. Porém, a escolha do �nanciamento pode</p><p>in�uenciar muito no valor �nal pago. Depende do valor da taxa de juros, quantidade de parcelas e</p><p>em alguns casos até �nanciamentos com condições especiais.</p><p>Um exemplo disso é o �nanciamento com período de carência, em que o início dos pagamentos</p><p>das parcelas ocorre após determinado tempo (k).</p><p>Os juros cobrados no período de carência ocorrem quando a pessoa não paga nenhuma parcela</p><p>durante um determinado tempo e depois tal valor é diluído nas demais parcelas. Observe o</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>esquema a seguir, em que temos o AV como valor à vista e ele é reajustado em função de k -1,</p><p>em que k é o período de carência. Após esse período, temos o VP que é o novo valor à vista</p><p>reajustado.</p><p>Um exemplo disso é quando uma pessoa contrata um �nanciamento para pagar a primeira</p><p>parcela após 90 dias, ou seja, os juros cobrados nesses 3 meses serão diluídos nas próximas</p><p>parcelas mensais.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Parcelamento</p><p>Podemos ter �nanciamentos com período de carência também com valor de entrada no início da</p><p>sua contratação. Assim, além do pagamento da primeira parcela iniciar em um prazo maior,</p><p>também deve-se dar uma entrada. Para isso, usamos a seguinte fórmula:</p><p>Em que,</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).</p><p>E: entrada.</p><p>Um exemplo dessa situação seria de uma pessoa que necessita</p><p>fazer um empréstimo para</p><p>comprar uma motocicleta e dará um valor de entrada, mas pagará a primeira parcela mensal</p><p>somente após 2 meses, como período de carência.</p><p>(AV − E)(1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Período de carência</p><p>Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um �nanciamento com período de</p><p>carência, ou seja, considerando juros compostos desde o ato da compra até a primeira parcela,</p><p>temos:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).</p><p>Vejamos um exemplo: uma bicicleta no valor de R$ 3.000,00 foi �nanciada por Lucas em 5</p><p>parcelas mensais e iguais, sob taxa efetiva de 3% a.m., iniciando os pagamentos após 5 meses</p><p>do ato da compra. Sendo assim, qual o valor das parcelas do �nanciamento realizado pelo</p><p>Lucas?</p><p>Extraindo as informações do problema, temos:</p><p>Substituindo os valores na fórmula do �nanciamento com período de carência, temos:</p><p>AV (1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>AV = R$3 000,00</p><p>k = 5 meses</p><p>n = 5 parcelas</p><p>i = 3 %  a.m = 0,03 a.m</p><p>AV (1 + i)k−1 = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i</p><p>]</p><p>3.000(1 + 0,03)5−1 = parc[ 1−(1+0,03)</p><p>−5</p><p>0,03 ]</p><p>3.000(1,03)5−1 = parc[ 1−(1,03)</p><p>−5</p><p>0,03 ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor de cada parcela será R$ 737,23.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere que Joana pretende �nanciar um veículo</p><p>no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com</p><p>entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas que Joana pagará.</p><p>Extraindo as informações do problema, temos:</p><p>n= 48 parcelas</p><p>Substituindo na fórmula do valor presente com condições especiais:</p><p>3.000(1,03)4 = parc[ 1−(1,03)</p><p>−5</p><p>0,03 ]</p><p>3.000 ⋅ 1,1255 = parc[ 1−0,8626</p><p>0,03</p><p>]</p><p>3.000 ⋅ 1,1255 = parc[ 0,1374</p><p>0,03 ]</p><p>3.376,5 = parc ⋅ 4,58</p><p>parc = 3.376,5</p><p>4,58</p><p>parc = 737,23</p><p>AV = R$38.000,00</p><p>E = R$7.600,00</p><p>k = 3 meses</p><p>i = 1,51 %  a.m = 0,0151 a.m</p><p>(AV − E)(1 + i)k−1  = parc[ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>(38.000 − 7.600)(1 + 0,0151)3−1 = parc[ 1−(1+0,0151)−48</p><p>0,0151 ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, esse �nanciamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas mensais e iguais de R$</p><p>922,20.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre �nanciamentos, acesse o livro Matemática Financeira e Comercial de</p><p>Ulysses Sodré.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>PUCCINI, A. L. Matemática �nanceira. Projeto Universidade Aberta, p. 8, 2007.</p><p>SODRÉ, U. Matemática comercial e �nanceira. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.</p><p>Aula 4</p><p>Determinação da Taxa de Juros do Valor Presente</p><p>Determinação da taxa de juros do valor presente</p><p>30.400 ⋅ 1,0304 = parc[ 1−0,4871</p><p>0,0151 ]</p><p>31.324,16 = parc ⋅ 33,9669</p><p>parc = 31.324,16</p><p>33,9669</p><p>= 922,20</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá como determinar a taxa de juros num �nanciamento no regime de</p><p>capitalização de juros compostos com parcelas iguais e periódicas, tanto pelo método de</p><p>Newton-Raphson como pelo uso da calculadora HP12C.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, suponha que você pretenda �nanciar um veículo com</p><p>a mesma taxa de juros que seu amigo usou para comprar um veículo no valor de R$ 30.000,00</p><p>em 48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa de juros compostos que foi</p><p>aplicada a esse �nanciamento?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Valor presente</p><p>Quando estamos trabalhando com �nanciamentos no regime de capitalização nos juros</p><p>compostos com uma quantidade maior de parcelas periódicas e iguais, fazemos uso da fórmula</p><p>do valor presente. Porém, pode haver situações em que temos que determinar a taxa de juros</p><p>imposta num �nanciamento.</p><p>Para determinar a taxa de juros compostos de um �nanciamento, fazemos uso das séries</p><p>uniformes que têm como base os Métodos Numéricos, ou seja, Métodos Iterativos, pois obtemos</p><p>a resposta esperada a partir da repetição de cálculos algumas vezes.</p><p>Um exemplo disso pode ser um �nanciamento em que se tem o valor �nanciado, o valor das</p><p>parcelas, quantidade das parcelas periódicas e iguais, mas não se sabe a taxa de juros imposta.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Figura 1 |  Financiamento de um imóvel. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Método para cálculo de taxa no �nanciamento</p><p>Um dos métodos numéricos que utilizamos para determinação da taxa num �nanciamento, que</p><p>apresentam o menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson. Para sua aplicação,</p><p>fazemos uso de uma série de funções, em que:</p><p>VP: Valor presente</p><p>parc: Valor da parcela periódica e igual</p><p>:Taxa de juros (chute)ij</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>A partir das funções acima, vamos conhecer o mecanismo do método:</p><p>1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ( ).</p><p>2º passo: substituir i_j na função da taxa de juros compostos f ( ).</p><p>Se   então   é a taxa de juros compostos imposta no �nanciamento.</p><p>Se    então    não é a taxa de juros compostos imposta no</p><p>�nanciamento, vá para o 3º passo.</p><p>3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos</p><p>, calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>.</p><p>4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos (</p><p>), da função da taxa de juros compostos f (</p><p>) e da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>, calcule a próxima taxa de juros compostos (</p><p>).</p><p>5º passo: com a nova taxa (</p><p>), determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa</p><p>fosse a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.</p><p>f(ij) = V P</p><p>parc ij + (1 + ij)</p><p>−n − 1</p><p>f'(ij) = V P</p><p>parc</p><p>− n(1 + ij)</p><p>−n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f '(ij)</p><p>ij</p><p>ij</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001 ij</p><p>|f(ij)| > 0, 0001 ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij+1</p><p>ij+1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Os passos deverão ser repetidos até que</p><p>Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de �nanciamento</p><p>Além do método de Newton-Raphson, podemos calcular a taxa de um �nanciamento com</p><p>parcelas iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C.</p><p>Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.</p><p>Digita valor presente Tecla CHS e Tecla PV</p><p>Digita quantidade de parcelas Tecla n</p><p>Digita valor da parcela Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Vejamos um exemplo: um computador custa R$ 2.000,00 e foi parcelado em 12 vezes mensais e</p><p>iguais a R$ 260,00, sob taxa de juros compostos. Determine a taxa de juros compostos aplicada</p><p>nesse �nanciamento.</p><p>Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:</p><p>Digita o valor presente 2000 Tecla CHS e Tecla PV</p><p>Digita quantidade de parcelas 12 Tecla n</p><p>Digita valor da parcela 260 Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, teremos o valor da taxa igual a 7,6062% a.m.</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij+1</p><p>ij+1</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, suponha que você pretenda �nanciar um veículo</p><p>com a mesma taxa de juros que seu amigo usou para comprar um veículo no valor de R$</p><p>30.000,00 em 48 vezes mensais e iguais</p><p>de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa de juros</p><p>compostos que foi aplicada ao �nanciamento de seu amigo considerando uma taxa para chute</p><p>inicial de 2% a.m.?</p><p>Primeiramente, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson, em que:</p><p>Substituindo na função taxa de juros, temos:</p><p>Agora, vamos considerar a função de Newton-Raphson a seguir:</p><p>Na sequência fazer as iterações até que tenhamos a condição de</p><p>Bloco 1</p><p>1º 2º 3º</p><p>Iterações</p><p>1ª 0,02 0,01461 19,7880</p><p>2ª 0,0126 0,0268 11,9914</p><p>3ª 0,0104 0,0039 9,0687</p><p>4ª 0,0100 0,0001 FIM</p><p>Bloco 2</p><p>4º</p><p>V P = 30000,00</p><p>parc = 789,89</p><p>ij = 2%a.m = 0,02 a.m</p><p>f '(ij) =</p><p>V P</p><p>parc</p><p>− n(1 + ij)</p><p>−n−1</p><p>f(ij) = 37,98 − 48(1 + ij)</p><p>−49</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>ij</p><p>ij F(ij) F ′(ij)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>0,0126</p><p>0,0104</p><p>0,0100</p><p>De acordo com o quadro, a taxa utilizada na 4ª iteração é aproximadamente 0,01, ou seja, 1%</p><p>a.m.</p><p>Podemos também seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:</p><p>Digita o valor presente 30 000 Tecla CHS e Tecla PV</p><p>Digita quantidade de parcelas 48 Tecla n</p><p>Digita valor da parcela 789,89 Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, teremos o valor aproximado da taxa igual a 1% a.m.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre negociação, leia o artigo Utilização do método de Newton-Raphson para</p><p>análise de planos de �nanciamento no centro comercial de Abaetetuba-PA de Manuel Costa.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>COSTA, M.; LIMA, R. C.; COSTA, J. F. S. Utilização do método de Newton-Raphson para análise de</p><p>planos de �nanciamento no centro comercial de Abaetetuba-PA. Conjecturas, v. 21, n. 6, p. 99-</p><p>114, 2021.</p><p>GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática �nanceira. Curso de graduação em Administração a</p><p>Distância, v. 1, 2014.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>ij+1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os diferentes tipos de</p><p>�nanciamento com o intuito de auxiliar na tomada de decisão que requer a escolha de um tipo de</p><p>�nanciamento é necessário abordar os seguintes conceitos:</p><p>O �nanciamento no regime de capitalização de juros compostos, com grande quantidade de</p><p>parcelas periódicas iguais, deve-se utilizar a seguinte fórmula do valor presente:</p><p>Onde:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>Se substituirmos o “VP" por “AV-E" na equação, temos a fórmula para resolução de</p><p>�nanciamentos com entrada:</p><p>Podemos também ter �nanciamentos com período de carência, em que o pagamento da primeira</p><p>parcela iniciará em um prazo maior e os juros serão diluídos nas demais parcelas. Nesse caso,</p><p>temos a fórmula para cálculo com entrada:</p><p>V P = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>AV − E = parc. [</p><p>1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que,</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).</p><p>E: entrada.</p><p>Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um �nanciamento com período de</p><p>carência, temos a seguinte fórmula:</p><p>Continuando os estudos sobre �nanciamento também podemos ter situações que necessitam</p><p>do cálculo da taxa de juros. Nesse caso, um dos métodos numéricos que utilizamos, que</p><p>apresentam o menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson.</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>A partir das funções acima, deve-se seguir os passos do método até encontrar a taxa adequada</p><p>ao problema.</p><p>Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um �nanciamento com</p><p>parcelas iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. Observe o passo a</p><p>passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.</p><p>Digita valor presente Tecla CHS e Tecla PV</p><p>(AV − E)(1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>f(ij) = V P</p><p>parc</p><p>ij + (1 + ij)</p><p>−n − 1</p><p>f'(ij) = V P</p><p>parc − n(1 + ij)</p><p>−n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f '(ij)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Digita quantidade de parcelas Tecla n</p><p>Digita valor da parcela Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, nesta unidade abordamos sobre tipos de aplicações da fórmula do valor presente em</p><p>�nanciamentos, bem como suas principais características.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!</p><p>Raquel e Luís estão reformando sua casa e realizaram uma compra de materiais de construção</p><p>que foi �nanciada em 12 parcelas mensais e iguais de R$ 370,50, com taxa de juros compostos</p><p>de 4,3% a.m. e entrada de R$ 300,00. Sendo assim, qual é o valor à vista da compra desse casal?</p><p>Após os estudos realizados, responda:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?</p><p>Você extrai as informações de forma correta dos problemas?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Clique aqui e acesse os slides do Dê o play!</p><p>Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:</p><p>Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada:</p><p>AV =?</p><p>E = 300,00</p><p>parc : 370,50</p><p>n : 12</p><p>i : 4,3 %  a.m = 0,043</p><p>AV − E = parc[ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>AV = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i ]+ E</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor à vista da compra foi de R$ 3.717,23.</p><p>Figura 1 | Mapa mental - análise de �nanciamentos</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9,</p><p>2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>,</p><p>AV = 370,50[ 1−(1+0,043)</p><p>−12</p><p>0,043 ]+ 300</p><p>AV = 370,50[ 1−0,6034</p><p>0,043</p><p>]+ 300</p><p>AV = 370,50[ 0,3966</p><p>0,043 ]+ 300</p><p>AV = 370,50[ 0,3966</p><p>0,043 ]+ 300</p><p>AV = 370,50 ⋅ 9,2233 + 300</p><p>AV = 3.417,23 + 300</p><p>AV = 3.717,23</p>