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<p>Universidade de Braśılia</p><p>Departamento de Matemática</p><p>Cálculo 1</p><p>Lista de Exerćıcios – Semana 14</p><p>Temas abordados : Integração por frações parciais; Comprimento de arco</p><p>Seções do livro: 8.4; 6.3</p><p>1) Se f : [a, b] → R é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo</p><p>gráfico de f é dado pela integral L =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>√</p><p>1 + f ′(x)2dx. Calcule esse comprimento em</p><p>cada um dos casos abaixo.</p><p>(a) f(x) =</p><p>1</p><p>2</p><p>(ex + e−x), para x ∈ [0, 2]</p><p>(b) f(x) =</p><p>1</p><p>3</p><p>(x2 + 2)3/2, para x ∈ [0, 3]</p><p>(c) f(x) =</p><p>√</p><p>1− x2, para x ∈ [−1/2, 1/2]</p><p>2) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a ≤ t ≤ b.</p><p>Suponha que x′ e y′ são funções cont́ınuas que não se anulam simultaneamente em [a, b]</p><p>e que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t = a para t = b.</p><p>Nessas condições, o comprimento de C é dado pela integral definida</p><p>L =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>√</p><p>x′(t)2 + y′(t)2dt.</p><p>Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.</p><p>(a) x(t) = r cos(t), y(t) = r sen(t), para 0 ≤ t ≤ 2π e r > 0</p><p>(b) x(t) = cos3(t), y(t) = sen3(t), para 0 ≤ t ≤ 2π</p><p>(c) x(t) = et − t, y(t) = 4et/2, para 0 ≤ t ≤ 3</p><p>(d) x(t) = t3, y(t) =</p><p>3</p><p>2</p><p>t2, para 0 ≤ t ≤</p><p>√</p><p>3</p><p>3) Para cada uma das funções abaixo, determine o formato da sua expressão em frações</p><p>parciais. Aqui, não é necessário calcular as constantes mas somente apresentar o formato</p><p>da soma.</p><p>(a)</p><p>3x+ 1</p><p>x2 + 3x− 4</p><p>(b)</p><p>2x+ 5</p><p>x3 − 2x2</p><p>(c)</p><p>x8 + 1</p><p>x4 + x3 + x2</p><p>(d)</p><p>x4 − 2x2 + 7</p><p>x3 + x</p><p>(e)</p><p>2x</p><p>(9− x2)2</p><p>(f)</p><p>x2 − 3x+ 8</p><p>x4 + 10x2 + 25</p><p>4) Calcule cada uma das integrais abaixo.</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>1</p><p>1− x2</p><p>dx (b)</p><p>∫</p><p>x+ 4</p><p>x2 + 5x− 6</p><p>dx</p><p>(c)</p><p>∫</p><p>x3</p><p>x2 + 2x+ 1</p><p>dx (d)</p><p>∫</p><p>1</p><p>(x+ 1)(x2 + 1)</p><p>dx</p><p>(e)</p><p>∫</p><p>ex</p><p>e2x + 3ex + 2</p><p>dx (f)</p><p>∫</p><p>x3 + 5x2 − 4x− 20</p><p>x2 + 3x− 10</p><p>dx</p><p>Lista de Exerćıcios – Semana 14 - Página 1 de 3</p><p>5) Calcule cada uma das integrais abaixo.</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>x</p><p>x2 + 1</p><p>dx (b)</p><p>∫</p><p>x</p><p>√</p><p>x+ 1dx</p><p>(c)</p><p>∫</p><p>x</p><p>x2 − 2x− 3</p><p>dx (d)</p><p>∫</p><p>4xexdx</p><p>(e)</p><p>∫</p><p>4xex</p><p>2</p><p>dx (f)</p><p>∫</p><p>cos(x)</p><p>sen2(x) + sen(x)− 6</p><p>dx</p><p>(g)</p><p>∫</p><p>1</p><p>x3 − x</p><p>dx (h)</p><p>∫</p><p>x cos(5x)dx</p><p>(i)</p><p>∫</p><p>ln(cos(x)) sen(x)dx (j)</p><p>∫</p><p>2x+ 3</p><p>x2(4x+ 1)</p><p>dx</p><p>RESPOSTAS</p><p>1) (a)</p><p>e2 + e−2</p><p>2</p><p>(b) 12 (c)</p><p>π</p><p>3</p><p>2) (a) 2πr (b) 6 (c) e3 + 2 (d) 7</p><p>3) Nas respostas abaixo, as letras maiúsculas são constantes reais.</p><p>(a)</p><p>3x+ 1</p><p>x2 + 3x− 4</p><p>=</p><p>A</p><p>x− 1</p><p>+</p><p>B</p><p>x+ 4</p><p>(b)</p><p>2x+ 5</p><p>x3 − 2x2</p><p>=</p><p>A</p><p>x</p><p>+</p><p>B</p><p>x2</p><p>+</p><p>C</p><p>x− 2</p><p>(c)</p><p>x8 + 1</p><p>x4 + x3 + x2</p><p>=</p><p>A</p><p>x</p><p>+</p><p>B</p><p>x2</p><p>+</p><p>Cx+D</p><p>x2 + x+ 1</p><p>+ (Ex4 + Fx3 +Gx2 +Hx+ I)</p><p>(d)</p><p>x4 − 2x2 + 7</p><p>x3 + x</p><p>=</p><p>A</p><p>x</p><p>+</p><p>Bx+ C</p><p>x2 + 1</p><p>+ (Dx+ E)</p><p>(e)</p><p>2x</p><p>(9− x2)2</p><p>=</p><p>A</p><p>3− x</p><p>+</p><p>B</p><p>(3− x)2</p><p>+</p><p>C</p><p>3 + x</p><p>+</p><p>D</p><p>(3 + x)2</p><p>(f)</p><p>x2 − 3x+ 8</p><p>x4 + 10x2 + 25</p><p>=</p><p>Ax+B</p><p>x2 + 5</p><p>+</p><p>Cx+D</p><p>(x2 + 5)2</p><p>4) Em todos os itens abaixo K ∈ R é uma constante de integração.</p><p>(a)</p><p>1</p><p>2</p><p>ln</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1 + x</p><p>1− x</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+K</p><p>(b)</p><p>5</p><p>7</p><p>ln |x− 1|+ 2</p><p>7</p><p>ln |x+ 6|+K</p><p>(c)</p><p>1</p><p>2</p><p>x2 − 2x+</p><p>1</p><p>1 + x</p><p>+ 3 ln |1 + x|+K</p><p>(d)</p><p>1</p><p>4</p><p>(− ln |x2 + 1|+ 2 ln |1 + x| + 2 arctan(x)) +K</p><p>(e) ln(ex + 1)− ln(ex + 2) +K</p><p>(f)</p><p>1</p><p>2</p><p>x(x+ 4) +K</p><p>Lista de Exerćıcios – Semana 14 - Página 2 de 3</p><p>5) Em todos os itens abaixo K ∈ R é uma constante de integração.</p><p>(a)</p><p>1</p><p>2</p><p>ln(x2 + 1) +K</p><p>(b)</p><p>2</p><p>5</p><p>(x+ 1)5/2 − 2</p><p>3</p><p>(x+ 1)3/2 +K</p><p>(c)</p><p>3</p><p>4</p><p>ln |x− 3|+ 1</p><p>4</p><p>ln |x+ 1|+K</p><p>(d) 4xex − 4ex +K</p><p>(e) 2ex</p><p>2</p><p>+K</p><p>(f)</p><p>1</p><p>5</p><p>ln | sen(x)− 2| − 1</p><p>5</p><p>ln | sen(x) + 3|+K</p><p>(g)</p><p>1</p><p>2</p><p>ln |x2 − 1| − ln |x|+K</p><p>(h)</p><p>x</p><p>5</p><p>sen(5x) + cos(5x) +K</p><p>(i) cos(x)− ln(cos(x)) +K</p><p>(j) −3</p><p>x</p><p>− 10 ln |x|+ 10 ln |1 + 4x|+K</p><p>Lista de Exerćıcios – Semana 14 - Página 3 de 3</p>