Cap 2 Estática dos fluidos

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<p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>2 – Estática dos fluidos</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>• Analisa a distribuição de pressão em um fluido estático e seus efeitos</p><p>sobre superfícies sólidas, corpos flutuantes e submersos.</p><p>• Condição hidrostática: a velocidade do fluido é nula e a variação da</p><p>pressão deve-se apenas ao peso do fluido.</p><p>Fluidoestática</p><p>2</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>A força líquida na direção x é</p><p>𝑑𝐹𝑥 = 𝑝𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝 +</p><p>𝜕𝑝</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧</p><p>𝑑𝐹𝑥 = −</p><p>𝜕𝑝</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧</p><p>𝑑𝐹𝑥 = −</p><p>𝜕𝑝</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑∀</p><p>Força e gradiente de pressão</p><p>3</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>De maneira análoga</p><p>𝑑𝐹𝑦 = −</p><p>𝜕𝑝</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑∀</p><p>𝑑𝐹𝑧 = −</p><p>𝜕𝑝</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝑑∀</p><p>Sendo o operador gradiente</p><p>∇=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>,</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>,</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑧</p><p>Podemos escrever</p><p>𝑭 = −𝜵𝒑𝒅∀ ou 𝒇 = −𝜵𝒑</p><p>Sabendo que 𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝑓 = 𝜌𝑎</p><p>𝜌𝑎 = −∇𝑝</p><p>A aceleração do fluido tem sentido contrário ao gradiente de pressão!</p><p>Força e gradiente de pressão</p><p>4</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚 Ԧ𝑎 ou Ԧ𝑓𝑒𝑥𝑡 = 𝜌 Ԧ𝑎</p><p>෍ Ԧ𝑓𝑒𝑥𝑡 = Ԧ𝑓𝑝 + Ԧ𝑓𝑔 + Ԧ𝑓𝑣 = 𝜌 Ԧ𝑎</p><p>Para fluido estático: Ԧ𝑎 = 0 e Ԧ𝑓𝑣 = 0</p><p>−∇𝑝 + 𝜌 Ԧ𝑔 = 0</p><p>∇𝑝 = 𝜌 Ԧ𝑔</p><p>Para Ԧ𝑔 = (0,0,−𝑔)</p><p>∇𝑝 = 𝜌(0,0,−𝑔)</p><p>𝒅𝒑</p><p>𝒅𝒛</p><p>= −𝝆𝒈</p><p>Para líquidos, 𝜌 ≅ 𝑐𝑡𝑒</p><p>𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = −𝝆𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)</p><p>Equilíbrio de um elemento de fluido</p><p>5</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>𝑝2 − 𝑝1 = −𝜌𝑔(𝑧2 − 𝑧1)</p><p>Equilíbrio de um elemento de fluido</p><p>6</p><p>Z</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Muitos equipamentos medem a diferença entre a pressão do fluido e a ambiente.</p><p>• Δp<0: pressão vacuométrica</p><p>• Δp>0: pressão manométrica</p><p>Pressão relativa e absoluta</p><p>𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + ∆𝑝</p><p>7</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 01</p><p>Calcular a pressão no fundo de um lago com 60 m de profundidade. A</p><p>pressão atmosférica é 91 kPa.</p><p>Pressão relativa e absoluta</p><p>8</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>• Como os gases são compressíveis (massa específica variável),</p><p>precisaremos utilizar a lei dos gases perfeitos, que nos dá</p><p>𝜌 =</p><p>𝑝</p><p>𝑅𝑇</p><p>𝑑𝑝</p><p>𝑑𝑧</p><p>= −</p><p>𝑝</p><p>𝑅𝑇</p><p>𝑔</p><p>න</p><p>1</p><p>2𝑑𝑝</p><p>𝑝</p><p>= −</p><p>𝑔</p><p>𝑅</p><p>න</p><p>1</p><p>2𝑑𝑧</p><p>𝑇</p><p>• Como T varia com z?</p><p>Pressão hidrostática nos gases</p><p>9</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>• Caso 1: T=cte</p><p>𝑝2 = 𝑝1𝑒</p><p>ൗ−𝑔(𝑧2−𝑧1)</p><p>𝑅𝑇</p><p>• Caso 2: 𝑇 = 𝑇0 − 𝐵𝑧</p><p>𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 1 −</p><p>𝐵𝑧</p><p>𝑇0</p><p>ൗ𝑔 𝑅𝐵</p><p>T0 = 288,16 K</p><p>B = 0,0065 K/m</p><p>Válido para 0<z<11000 m</p><p>Pressão hidrostática nos gases</p><p>10</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 02</p><p>Se a pressão ao nível do mar for de 101350 Pa, calcule a pressão</p><p>padrão a uma altitude de 5.000 m, usando</p><p>(a) a fórmula exata e</p><p>(b) uma hipótese isotérmica para uma temperatura padrão de 15 °C ao</p><p>nível do mar.</p><p>Pressão hidrostática nos gases</p><p>11</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>• Já que 𝑝2 − 𝑝1 = −𝜌𝑔(𝑧2 − 𝑧1), uma coluna estática de um ou mais líquidos ou</p><p>gases pode ser utilizada para medição de pressão e diferença de pressão.</p><p>Medição de pressão</p><p>Manômetro de coluna de líquido</p><p>Barômetro de Torricelli</p><p>12</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>• Manômetro de coluna de líquido:</p><p>A força exercida pela coluna de líquido no ponto 2 é:</p><p>𝐹𝑦− = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝐴 +𝑚𝑔 = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝐴 + 𝜌𝐴ℎ𝑔</p><p>Para a coluna estar em equilíbrio, é necessário existir</p><p>outra força vertical com sentido contrário</p><p>𝐹𝑦+ = 𝑃2𝐴</p><p>Como os pontos 1 e 2 estão no mesmo fluido e tem a</p><p>mesma elevação</p><p>𝑃1 = 𝑃2</p><p>Sendo 𝑃1 a pressão do gás</p><p>𝑃2𝐴 = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝐴 + 𝜌𝐴ℎ𝑔 ⇒ 𝑷𝟏 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 + 𝝆𝒉𝒈</p><p>Medição de pressão</p><p>Patm</p><p>g</p><p>13</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>• Barômetro de Torricelli:</p><p>A força exercida pela coluna de líquido no ponto é:</p><p>𝐹𝑦− = 𝑃𝐴 +𝑚𝑔 = 𝑃𝐴 + 𝜌𝐴ℎ𝑔</p><p>Mas a condição acima da coluna de líquido</p><p>normalmente é muito próxima do vácuo absoluto</p><p>𝑃 = 0 ⇒ 𝐹𝑦− = 𝜌𝐴ℎ𝑔</p><p>Para a coluna estar em equilíbrio, é necessário existir</p><p>outra força vertical com sentido contrário</p><p>𝐹𝑦+ = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝐴</p><p>𝑃𝑎𝑡𝑚𝐴 = 𝜌𝐴ℎ𝑔 ⇒ 𝑷𝒂𝒕𝒎 = 𝝆𝒈𝒉</p><p>Medição de pressão</p><p>P</p><p>14</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 03</p><p>Um barômetro de mercúrio está em uma sala a 25 °C e tem uma coluna</p><p>de 750 mm de altura. Sabendo que a massa específica do mercúrio é</p><p>13534 kg/m³, determine a pressão atmosférica. Qual seria a altura da</p><p>coluna se o fluido fosse água?</p><p>Medição de pressão</p><p>15</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 04</p><p>O uso clássico de um manômetro ocorre quando os dois ramos do tubo em U são</p><p>de mesmo comprimento, como na Figura, e a medida envolve uma diferença de</p><p>pressão entre dois pontos na horizontal. A aplicação típica é a medida da diferença</p><p>de pressão por meio de um medidor de vazão, como mostra a figura. Deduza uma</p><p>fórmula para a diferença de pressão pa – pb em termos dos parâmetros do sistema</p><p>da Figura.</p><p>Medição de pressão</p><p>16</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 05</p><p>Considere o manômetro de múltiplos fluidos mostrado na figura. Deduza uma</p><p>expressão para pa-pb.</p><p>Medição de pressão</p><p>17</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Considere a superfície plana de formato arbitrário</p><p>𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>18</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Decompondo a pressão em</p><p>𝑝 = 𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ</p><p>Considerando massa específica constante e integrando sobre a área</p><p>𝑭 = 𝒑𝒂𝑨 + 𝝆𝒈𝒉𝑪𝑮𝑨 ou 𝑭 = 𝒑𝑪𝑮𝑨</p><p>Essa força não atua no centroide (CG), mas no centro de pressão (CP), cujas</p><p>coordenadas são determinadas por</p><p>𝑥𝐶𝑃 = −</p><p>𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑦</p><p>𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 𝐴</p><p>𝑦𝐶𝑃 = −</p><p>𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑥</p><p>𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 𝐴</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>19</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Caso a pressão ambiente aja em ambos os lados da placa (ex. comportas e caso de</p><p>navio), ela pode ser desconsiderada. Assim</p><p>𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺𝐴</p><p>𝑥𝐶𝑃 = −</p><p>𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑦</p><p>ℎ𝐶𝐺𝐴</p><p>𝑦𝐶𝑃 = −</p><p>𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑥</p><p>ℎ𝐶𝐺𝐴</p><p>Atenção: Ixx é sempre positivo, logo, yCP é sempre negativo</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>20</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Algumas geometrias</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>21</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 06</p><p>A comporta na Figura tem 1,5 m de largura,</p><p>está articulada no ponto B e se apoia sobre</p><p>uma parede lisa no ponto A. Calcule a força</p><p>na comporta decorrente da pressão da água</p><p>do mar e as coordenadas do centro de</p><p>pressão.</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>22</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exercício extra: Entrega na próxima aula</p><p>P2.53: O painel ABC no lado inclinado de um tanque de água é um</p><p>triângulo isósceles com o vértice em A e a base BC = 2 m, como mostra</p><p>a Figura P2.53. Determine a força da água sobre o painel e sua linha de</p><p>ação.</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>23</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>A força pode ser decomposta em componente</p><p>vertical e horizontal. Para encontrar a</p><p>componente horizontal, vamos trabalhar com a</p><p>projeção vertical da curva, que é uma superfície</p><p>plana.</p><p>𝐹𝑥 = (𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺,𝑉)𝐴𝑉</p><p>Essa força não atua no centroide (CG), mas no</p><p>centro de pressão (CP), cujas coordenadas são</p><p>determinadas por</p><p>𝑥𝐶𝑃,𝑉 = −</p><p>𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑦,𝑉</p><p>𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺,𝑉 𝐴𝑉</p><p>𝑦𝐶𝑃,𝑉 = −</p><p>𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑥,𝑉</p><p>𝑝𝑎 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺,𝑉 𝐴𝑉</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>CGv</p><p>CPv</p><p>Fx</p><p>24</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Já a força vertical é causada pela coluna de fluido</p><p>acima da superfície</p><p>𝐹𝑦 = 𝑝𝑎𝐴𝐻 + 𝜌𝑔∀</p><p>∀ é o volume de fluido acima da superfície</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>CGv</p><p>CPv</p><p>Fx</p><p>25</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Para determinar o CP:</p><p>• Determina-se 𝑌𝐶𝑃𝑉 e 𝑋𝐶𝑃∀;</p><p>• Determina-se o ângulo 𝑡𝑔𝛽 = −</p><p>𝐹𝑉</p><p>𝐹𝐻</p><p>• Determina-se a equação da reta que passa por</p><p>(𝑋𝐶𝑃∀, 𝑌𝐶𝑃𝑉) e tem inclinação β</p><p>• Onde a reta intercepta a curva é o CP</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>CGv</p><p>CPv</p><p>Fx</p><p>𝑌𝐶𝑃𝑉</p><p>𝑋𝐶𝑃∀</p><p>F</p><p>𝛽</p><p>𝐶𝐺∀</p><p>CP</p><p>26</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 07</p><p>Uma barragem tem uma forma parabólica</p><p>𝑧</p><p>𝑧0</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>𝑥0</p><p>2</p><p>como mostra a Figura, com 𝑥0 = 3 m e 𝑧0= 7,2 m. O</p><p>fluido é a água, γ= 9.802 N/m3 e a pressão</p><p>atmosférica pode ser omitida. Calcule as forças FH e</p><p>FV sobre a barragem e sua linha de ação. A largura da</p><p>barragem é de 15 m.</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>27</p><p>Profa. Rafaela</p><p>Gomide Corrêa</p><p>Exemplo 08</p><p>Encontre uma fórmula algébrica para a força resultante vertical F sobre a barragem</p><p>Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>Superfície livre</p><p>Água</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>28</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>As forças verticais mostradas na figura estão</p><p>relacionadas com o peso do fluido acima da superfície</p><p>𝐹𝑉 1 = 𝛾∀1</p><p>𝐹𝑉 2 = 𝛾∀2</p><p>A força líquida atuante no corpo</p><p>𝐹𝐸 = 𝐹𝑉 2 − 𝐹𝑉 1 = 𝛾 ∀2 − ∀1</p><p>Mas ∀2 − ∀1= ∀𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜</p><p>𝐹𝐸 = 𝛾∀𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜</p><p>Sendo γ o peso específico do fluido.</p><p>Forças sobre corpos imersos</p><p>29</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>Para um corpo flutuante, haverá apenas uma força vertical</p><p>𝐹𝑉 = 𝛾∀</p><p>Nesse caso, ∀ é o volume deslocado e γ o peso específico do fluido.</p><p>Como está em equilíbrio estático</p><p>෍𝐹𝑌 = 0 → 𝐹𝑉 = 𝑃</p><p>Sendo P o peso do corpo.</p><p>Forças sobre corpos imersos</p><p>30</p><p>Profa. Rafaela Gomide Corrêa</p><p>CAPÍTULO 2</p><p>5, 6, 10, 12, 15, 17, 30, 31, 34, 35, 41, 51, 54, 63, 74, 84, 85, 108, 111.</p><p>WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. 6ed. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2011.</p><p>Exercícios sugeridos</p><p>31</p><p>Slide 1: 2 – Estática dos fluidos</p><p>Slide 2: Fluidoestática</p><p>Slide 3: Força e gradiente de pressão</p><p>Slide 4: Força e gradiente de pressão</p><p>Slide 5: Equilíbrio de um elemento de fluido</p><p>Slide 6: Equilíbrio de um elemento de fluido</p><p>Slide 7: Pressão relativa e absoluta</p><p>Slide 8: Pressão relativa e absoluta</p><p>Slide 9: Pressão hidrostática nos gases</p><p>Slide 10: Pressão hidrostática nos gases</p><p>Slide 11: Pressão hidrostática nos gases</p><p>Slide 12: Medição de pressão</p><p>Slide 13: Medição de pressão</p><p>Slide 14: Medição de pressão</p><p>Slide 15: Medição de pressão</p><p>Slide 16: Medição de pressão</p><p>Slide 17: Medição de pressão</p><p>Slide 18: Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>Slide 19: Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>Slide 20: Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>Slide 21: Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>Slide 22: Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>Slide 23: Forças hidrostáticas em superfícies planas</p><p>Slide 24: Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>Slide 25: Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>Slide 26: Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>Slide 27: Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>Slide 28: Forças hidrostáticas em superfícies curvas</p><p>Slide 29: Forças sobre corpos imersos</p><p>Slide 30: Forças sobre corpos imersos</p><p>Slide 31: Exercícios sugeridos</p>