Aula 6 - Slides - Helio Radke Bittencourt

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<p>Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Prof. Hélio Radke Bittencourt</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>Na aula 5:</p><p>• Definições básicas</p><p>• Classificação de variáveis</p><p>• Tabelas de frequência / Gráficos</p><p>• Medidas de tendência central ou posição</p><p>• Medidas de variabilidade</p><p>O que você</p><p>vai aprender</p><p>nessa aula</p><p>• Vamos começar a construir as bases para</p><p>realização de inferências estatísticas:</p><p>• Amostragem</p><p>• Estimação por ponto</p><p>• Estimação por intervalo</p><p>• Cálculo do tamanho amostral (n)</p><p>O que você vai</p><p>precisar para</p><p>acompanhar</p><p>essa aula</p><p>• Microsoft Excel</p><p>Conjuntos de dados</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Amostra</p><p>População:</p><p>parâmetros Amostra:</p><p>estimadores</p><p>N</p><p>n</p><p>Média populacional </p><p>Desvio-padrão </p><p>Proporção p</p><p>ഥ𝑿</p><p>S</p><p>ෝ𝒑</p><p>Média amostral</p><p>Proporção amostral</p><p>Desvio-padrão amostral</p><p>Estatística</p><p>Descritiva</p><p>Inferencial</p><p>Amostragem Probabilidade</p><p>Estatística</p><p>Descritiva</p><p>Inferencial</p><p>Amostragem Probabilidade</p><p>Amostragem</p><p>Não-probabilísticas</p><p>Probabilísticas</p><p>Amostragem</p><p>Não-probabilísticas</p><p>Probabilísticas</p><p>Não é possível associar probabilidade de seleção aos elementos da população</p><p>É possível associar probabilidade de seleção aos elementos da população.</p><p>Requer seleção aleatória dos elementos (sorteio)</p><p>Amostragem</p><p>Não-probabilísticas</p><p>Probabilísticas</p><p>Quotas, Conveniência, Bola-de-neve, Tráfego, etc.</p><p>Amostragem Aleatória Simples</p><p>Amostragem Estratificada</p><p>Amostragem Sistemática</p><p>Amostragem por Conglomerados</p><p>Amostragem</p><p>Não-probabilísticas</p><p>Probabilísticas</p><p>Quotas, Conveniência, Bola-de-neve, Tráfego, etc.</p><p>Amostragem Aleatória Simples</p><p>Amostragem Estratificada</p><p>Amostragem Sistemática</p><p>Amostragem por Conglomerados</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Apesar de ser uma forma extremamente simples de seleção de elementos da população,</p><p>a AAS é considerada uma das melhores técnicas de amostragem.</p><p>Na AAS cada elemento da população tem igual probabilidade de seleção.</p><p>ETAPAS:</p><p>1º) Enumerar a população de 1 até N</p><p>2º) Sortear n números da população entre 1 e N (geralmente sem reposição).</p><p>3º) Compor a amostra com os elementos sorteados .</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Exemplo N=5</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostra n=2</p><p>Quantas amostras n=2 podemos extrair desta população?</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Exemplo N=5</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostra n=2</p><p></p><p>A B</p><p></p><p>A C</p><p></p><p>A D</p><p></p><p>A E</p><p></p><p>B C</p><p></p><p>B D</p><p></p><p>B E</p><p></p><p>C D</p><p></p><p>C E</p><p></p><p>D E</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Número de amostras possíveis sem reposição:</p><p>𝐶𝑛</p><p>𝑁 =</p><p>𝑁!</p><p>𝑛! × 𝑁 − 𝑛 !</p><p>Lembrando:</p><p>4! = 4 × 3 × 2 × 1</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Número de amostras possíveis sem reposição:</p><p>𝐶𝑛</p><p>𝑁 =</p><p>𝑁!</p><p>𝑛! × 𝑁 − 𝑛 !</p><p>=</p><p>5!</p><p>2! × 5 − 2 !</p><p>=</p><p>5 × 4 × 3 × 2 × 1</p><p>2 × 1 × 3 × 2 × 1</p><p>=</p><p>20</p><p>2</p><p>= 10</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Amostra</p><p>AB</p><p>AC</p><p>AD</p><p>AE</p><p>BC</p><p>BD</p><p>BE</p><p>CD</p><p>CE</p><p>DE</p><p>𝑃 𝑠𝑒𝑙𝑒çã𝑜 =</p><p>𝑛</p><p>𝑁</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>= 0,40 = 40%</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Amostra</p><p>AB</p><p>AC</p><p>AD</p><p>AE</p><p>BC</p><p>BD</p><p>BE</p><p>CD</p><p>CE</p><p>DE</p><p>𝑃 𝐴 =</p><p>𝑛</p><p>𝑁</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>= 0,40 = 40%</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Amostra</p><p>AB</p><p>AC</p><p>AD</p><p>AE</p><p>BC</p><p>BD</p><p>BE</p><p>CD</p><p>CE</p><p>DE</p><p>𝑃 𝐴 =</p><p>𝑛</p><p>𝑁</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>= 0,40 = 40%</p><p>𝑃 𝐸 =</p><p>𝑛</p><p>𝑁</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>= 0,40 = 40%</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>20 30 40 50 60X: idade</p><p>Agora vamos definir uma VARIÁVEL e atribuir</p><p>valores aos elementos da população</p><p>Parâmetros populacionais são:</p><p>𝜇 = 40</p><p>𝜎 =14,142</p><p>𝜎 =</p><p>20 − 40 2 +⋯+ 60 − 40 ²</p><p>5</p><p>=</p><p>𝜎 =</p><p>400 + 100 + 0 + 100 + 400</p><p>5</p><p>=</p><p>𝜎 =</p><p>1000</p><p>5</p><p>= 200 ≅ 14,142</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>20 30 40 50 60X: idade</p><p>i Amostra xi</p><p>1 AB 20;30</p><p>2 AC 20;40</p><p>3 AD 20;50</p><p>4 AE 20;60</p><p>5 BC 30;40</p><p>6 BD 30;50</p><p>7 BE 30;60</p><p>8 CD 40;50</p><p>9 CE 40;60</p><p>10 DE 50;60</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>20 30 40 50 60X: idade</p><p>i Amostra xi</p><p>1 AB 20;30</p><p>2 AC 20;40</p><p>3 AD 20;50</p><p>4 AE 20;60</p><p>5 BC 30;40</p><p>6 BD 30;50</p><p>7 BE 30;60</p><p>8 CD 40;50</p><p>9 CE 40;60</p><p>10 DE 50;60</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>20 30 40 50 60X: idade</p><p>i Amostra xi ത𝑿</p><p>1 AB 20;30 25</p><p>2 AC 20;40 30</p><p>3 AD 20;50 35</p><p>4 AE 20;60 40</p><p>5 BC 30;40 35</p><p>6 BD 30;50 40</p><p>7 BE 30;60 45</p><p>8 CD 40;50 45</p><p>9 CE 40;60 50</p><p>10 DE 50;60 55</p><p>A média das 10 médias amostrais:</p><p>ധ𝑋 =</p><p>σ𝑖=1</p><p>10 𝑋𝑖</p><p>10</p><p>=</p><p>25 + 30 +⋯+ 55</p><p>10</p><p>= 40</p><p>População</p><p></p><p>A B C D E</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>20 30 40 50 60X: idade</p><p>i Amostra xi ത𝑿</p><p>1 AB 20;30 25</p><p>2 AC 20;40 30</p><p>3 AD 20;50 35</p><p>4 AE 20;60 40</p><p>5 BC 30;40 35</p><p>6 BD 30;50 40</p><p>7 BE 30;60 45</p><p>8 CD 40;50 45</p><p>9 CE 40;60 50</p><p>10 DE 50;60 55</p><p>A média das 10 médias amostrais:</p><p>ധ𝑋 =</p><p>σ𝑖=1</p><p>10 𝑋𝑖</p><p>10</p><p>=</p><p>25 + 30 +⋯+ 55</p><p>10</p><p>= 40</p><p>Em média, as estimativas</p><p>coincidem com o parâmetro µ.</p><p>É o que chamamos de um</p><p>estimador não viciado.</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>i Amostra xi ത𝑿</p><p>1 AB 20;30 25</p><p>2 AC 20;40 30</p><p>3 AD 20;50 35</p><p>4 AE 20;60 40</p><p>5 BC 30;40 35</p><p>6 BD 30;50 40</p><p>7 BE 30;60 45</p><p>8 CD 40;50 45</p><p>9 CE 40;60 50</p><p>10 DE 50;60 55</p><p>Agora vamos analisar a variabilidade das estimativas quando n=2.</p><p>Média amostral</p><p>N</p><p>º</p><p>d</p><p>e</p><p>a</p><p>m</p><p>o</p><p>st</p><p>ra</p><p>s</p><p>As nossas estimativas variam de 25 até 55.</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>Vamos aumentar a amostra para n=3.</p><p>𝐶𝑛</p><p>𝑁 =</p><p>𝑁!</p><p>𝑛! × 𝑁 − 𝑛 !</p><p>=</p><p>5!</p><p>3! × 5 − 3 !</p><p>=</p><p>5 × 4 × 3 × 2 × 1</p><p>3 × 2 × 1 × 2 × 1</p><p>=</p><p>20</p><p>2</p><p>= 10</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>i Amostras xi ത𝑿</p><p>1 ABC 20;30;40 30</p><p>2 ABD 20;30;50 33,3</p><p>3 ABE 20;30;60 36,7</p><p>4 ACD 20;40;50 36,7</p><p>5 ACE 20;40;60 40</p><p>6 ADE 20;50;60 43,3</p><p>7 BCD 30;40;50 40</p><p>8 BCE 30;40;60 43,3</p><p>9 BDE 30;50;60 46,7</p><p>10 CDE 40;50;60 50</p><p>Vamos aumentar a amostra para n=3.</p><p></p><p>A B C D E</p><p>20 30 40 50 60</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>i Amostras xi ത𝑿</p><p>1 ABC 20;30;40 30</p><p>2 ABD 20;30;50 33,3</p><p>3 ABE 20;30;60 36,7</p><p>4 ACD 20;40;50 36,7</p><p>5 ACE 20;40;60 40</p><p>6 ADE 20;50;60 43,3</p><p>7 BCD 30;40;50 40</p><p>8 BCE 30;40;60 43,3</p><p>9 BDE 30;50;60 46,7</p><p>10 CDE 40;50;60 50</p><p>Vamos aumentar a amostra para n=3.</p><p></p><p>A B C D E</p><p>20 30 40 50 60</p><p>A média das 10 médias amostrais:</p><p>ധ𝑋 =</p><p>σ𝑖=1</p><p>10 𝑋𝑖</p><p>10</p><p>=</p><p>30 + 33,3 + ⋯+ 50</p><p>10</p><p>= 40</p><p>Amostragem Aleatória Simples (AAS)</p><p>i Amostras xi ത𝑿</p><p>1 ABC 20;30;40 30</p><p>2 ABD 20;30;50 33,3</p><p>3 ABE 20;30;60 36,7</p><p>4 ACD 20;40;50 36,7</p><p>5 ACE 20;40;60 40</p><p>6 ADE 20;50;60 43,3</p><p>7 BCD 30;40;50 40</p><p>8 BCE 30;40;60 43,3</p><p>9 BDE 30;50;60 46,7</p><p>10 CDE 40;50;60 50</p><p>Vamos aumentar a amostra para n=3.</p><p>Média amostral</p><p>N</p><p>º</p><p>d</p><p>e</p><p>a</p><p>m</p><p>o</p><p>st</p><p>ra</p><p>s</p><p>As nossas estimativas variam de 30 até 50.</p><p>n Estimativas</p><p>Min-Máx</p><p>ധ𝑋 Desvio-padrão</p><p>das estimativas</p><p>(Erro-padrão)</p><p>2 25-55 40 8,660</p><p>3 30-50 40 5,774</p><p>À medida que aumenta o tamanho amostral,</p><p>a variabilidade nas estimativas diminui.</p><p>Case</p><p>Pouso Novo</p><p>Fonte: https://www.pousonovo.rs.gov.br/noticia/55</p><p>N=1875 habitantes (Censo 2010)</p><p>Eleição de 2016: 1533 eleitores</p><p>Idade</p><p>Candidato</p><p>Aprendendo a usar a função aleatório do Excel.</p><p>Essa função gera números equiprováveis no intervalo (0;1).</p><p>x: números aleatórios</p><p>Funções geradoras de números pseudo-aleatórios:</p><p>=ALEATÓRIO()</p><p>Gera números ‘contínuos’ entre 0 e 1 .</p><p>=ALEATÓRIOENTRE(1;N)</p><p>Gera números inteiros entre 1 e N .</p><p>h</p><p>tt</p><p>p</p><p>s:</p><p>//</p><p>p</p><p>u</p><p>b</p><p>lic</p><p>d</p><p>o</p><p>m</p><p>ai</p><p>n</p><p>ve</p><p>ct</p><p>o</p><p>rs</p><p>.o</p><p>rg</p><p>/p</p><p>t/</p><p>ve</p><p>to</p><p>ri</p><p>al</p><p>-g</p><p>ra</p><p>ti</p><p>s/</p><p>Si</p><p>n</p><p>al</p><p>-d</p><p>e-</p><p>at</p><p>en</p><p>%</p><p>C</p><p>3</p><p>%</p><p>A</p><p>7</p><p>%</p><p>C</p><p>3</p><p>%</p><p>A</p><p>3</p><p>o</p><p>-d</p><p>e-</p><p>am</p><p>ar</p><p>el</p><p>o</p><p>-e</p><p>-p</p><p>re</p><p>to</p><p>/5</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>.h</p><p>tm</p><p>l</p><p>Por questões de praticidade, utilizaremos</p><p>amostragem com reposição. Isso quer dizer que, em</p><p>uma mesma amostra, existe probabilidade de um</p><p>mesmo eleitor ser selecionado mais de uma vez.</p><p>Experimento é uma demonstração do</p><p>TEOREMA DO LIMITE CENTRAL</p><p>que diz – em palavras simples – o seguinte:</p><p>“Em média, as estimativas de x-barra apresentam a mesma média</p><p>da população e, à medida que o tamanho amostral aumenta, a</p><p>variabilidade vai diminuindo. Além disso, a distribuição das</p><p>estimativas tende a apresentar comportamento similar a um sino,</p><p>quando o tamanho amostral cresce.”</p><p>Experimento é uma demonstração do</p><p>TEOREMA DO LIMITE CENTRAL</p><p>que diz – em palavras simples – o seguinte:</p><p>ത𝑋 ~ 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝜇; 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 − 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 =</p><p>𝜎</p><p>𝑛</p><p>𝑛 → ∞</p><p>Para Saber Mais</p><p>Animação do Teorema do Limite Central</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=SCNr_Lom5z8</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=SCNr_Lom5z8</p><p>Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Prof. Hélio Radke Bittencourt</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>Na vídeo anterior:</p><p>• Estimação a partir de uma amostra</p><p>• Os estimadores são variáveis aleatórias</p><p>• Estimativas descreveram uma forma</p><p>conhecida</p><p>O que você</p><p>vai aprender</p><p>nessa aula</p><p>• Principal modelo probabilístico contínuo:</p><p>Distribuição Normal ou Gaussiana</p><p>O que você vai</p><p>precisar para</p><p>acompanhar</p><p>essa aula</p><p>• Microsoft Excel</p><p>Modelos contínuos: probabilidade como área</p><p>Já vimos que o Histograma é a ferramenta gráfica que</p><p>permite termos ideia de qual modelo teórico está por trás de</p><p>variáveis quantitativas que estamos analisando.</p><p>Modelo Normal</p><p>Modelo que descreve uma variável contínua que possui dois parâmetros:</p><p>média () e desvio-padrão ().</p><p></p><p></p><p>: parâmetro</p><p>de locação</p><p>: parâmetro</p><p>de forma</p><p>X ~ Normal (; )</p><p>X(-∞; ∞)</p><p>Área total sob a curva = 1</p><p>Modelo Normal</p><p>Modelo que descreve uma variável contínua que possui dois parâmetros:</p><p>média () e desvio-padrão (). X ~ Normal (=175; =6)</p><p>Simétrica em</p><p>torno da média Área de 50%</p><p>P(X<175)=0,50</p><p>Modelo Normal</p><p>As probabilidades de encontrar um valor entre  + k são constantes.</p><p>Modelo Normal</p><p>As probabilidades de encontrar um valor entre  + k são constantes.</p><p>𝑃 𝜇 − 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎 = 0,6826</p><p>𝑃 𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎 = 0,9546</p><p>𝑃 𝜇 − 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎 = 0,9973</p><p>Modelo Normal</p><p>X ~ Normal (=175; =6)</p><p>𝑃 169 < 𝑋 < 181 = 0,6826</p><p>Voltando ao exemplo da altura.</p><p>Função densidade: f(x)</p><p>169 181</p><p>68,26%</p><p>Modelo Normal</p><p>X ~ Normal (=175; =6)</p><p>𝑃 169 < 𝑋 < 181 = 0,6826</p><p>𝑃 163 < 𝑋 < 187 = 0,9546</p><p>Voltando ao exemplo da altura.</p><p>Função densidade: f(x)</p><p>163 187</p><p>95,46%</p><p>Modelo Normal</p><p>X ~ Normal (=175; =6)</p><p>𝑃 169 < 𝑋 < 181 = 0,6826</p><p>𝑃 163 < 𝑋 < 187 = 0,9546</p><p>𝑃 157 < 𝑋 < 193 = 0,9973</p><p>Voltando ao exemplo da altura.</p><p>Função densidade: f(x)</p><p>157 193</p><p>99,73%</p><p>Modelo Normal X ~ Normal (=175; =6)</p><p>Voltando ao exemplo da altura.</p><p>Função densidade: f(x) Função acumulada: F(x)</p><p>50% 0,5</p><p>Função densidade</p><p>Função Acumulada</p><p>Modelo Normal</p><p>Normal-padrão ou Reduzida (Z)</p><p>Modelo Normal</p><p>Modelo Normal</p><p>X ~ Normal (=175; =6)</p><p>Voltando ao exemplo da altura.</p><p>𝑍 =</p><p>𝑋 − 𝜇</p><p>𝜎</p><p>𝑍 =</p><p>𝑋 − 175</p><p>6</p><p>Z ~ Normal (=0; =1)</p><p>Tabelada!</p><p>Z</p><p>P(Z<1,42)=0,9222</p><p>1,42</p><p>Modelo Normal</p><p>Modelo Normal</p><p>Escores Z</p><p>Indicam o número de desvios-padrão em relação à média:</p><p>Z = 0 significa que o valor é igual à média</p><p>Z = +1 significa que o valor está um desvio acima da média</p><p>Z = -1 significa que o valor está um desvio abaixo da média</p><p>Função densidade da Z</p><p>Função Acumulada da Z</p><p>Modelo Normal-padrão</p><p>Modelo Normal</p><p>Considere os resultados na prova de língua portuguesa do vestibular da UFRGS</p><p>a) Pela distribuição Normal, qual a probabilidade de um</p><p>aluno acertar 20 ou mais questões nesta prova?</p><p>𝑃 𝑋 ≥ 20 = 𝑃 𝑍 ≥</p><p>20 − 12,3418</p><p>4,4172</p><p>= 𝑃(𝑍 ≥ 1,73)</p><p>X ~ Normal (=12,3418; =4,4172)</p><p>Modelo Normal</p><p>X  N ( =12,3418 ; =4,4172 )</p><p>a) Pela distribuição Normal, qual a probabilidade</p><p>de um aluno acertar 20 ou mais questões nesta</p><p>prova?</p><p>𝑃 𝑍 ≥ 1,73 = 1 − 0,9582 = 0,0418 = 4,18%</p><p>Uso da padronização em alguns Vestibulares</p><p>𝑍 =</p><p>𝑁𝑜𝑡𝑎 −𝑀é𝑑𝑖𝑎</p><p>𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜</p><p>× 100 + 500</p><p>𝑍 =</p><p>𝑋 − 𝜇</p><p>𝜎</p><p>× 100 + 500</p><p>Por que somam 500 ?</p><p>• Para evitar notas negativas</p><p>Teorema do Limite Central</p><p>ത𝑋 ~ 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝜇; 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 − 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 =</p><p>𝜎</p><p>𝑛</p><p>𝑛 → ∞</p><p>Para Saber Mais</p><p>Vídeo sobre a padronização / Escores Z</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=2tuBREK_mgE</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=2tuBREK_mgE</p><p>Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Prof. Hélio Radke Bittencourt</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>Na vídeo anterior:</p><p>• Distribuição Normal</p><p>• Mais famoso modelo probabilístico contínuo</p><p>O que você</p><p>vai aprender</p><p>nessa aula</p><p>• Aplicações dos conhecimentos adquiridos</p><p>para realizarmos INFERÊNCIAS</p><p>População:</p><p>parâmetros</p><p>Amostra:</p><p>estimadoresN</p><p>n</p><p>Média populacional </p><p>Desvio-padrão </p><p>Proporção p</p><p>ഥ𝑿</p><p>S</p><p>ෝ𝒑</p><p>Média amostral</p><p>Desvio-padrão amostral</p><p>Estimação por ponto e por intervalo</p><p>Estimação por ponto</p><p>Consiste em dar um tiro único buscando acertar o valor do parâmetro.</p><p>Arma é o estimador.</p><p>Flechada é a estimativa.</p><p>Alvo é o parâmetro.</p><p>Nesse contexto:</p><p>Estimação por ponto</p><p>Estimador Parâmetro</p><p>Média ത𝑋 </p><p>Desvio-padrão s </p><p>Proporção Ƹ𝑝 p</p><p>Estimação por ponto</p><p>Estimador Parâmetro</p><p>Média ത𝑋 </p><p>Desvio-padrão s </p><p>Proporção Ƹ𝑝 p</p><p>Desvantagem da Estimação por ponto:</p><p>Não é possível associar</p><p>probabilidade de acerto.</p><p>https://gerarmemes.s3.us-east-2.amazonaws.com/memes/f7ca9cce.webp</p><p>Estimação por ponto</p><p>Consiste em cercar a estimativa pontual por uma região cuja</p><p>probabilidade de conter o parâmetro seja conhecida. A partir de agora</p><p>surge a necessidade de implantar uma nova notação:</p><p>1 -  = Nível de Confiança</p><p>A região de confiança é aquela que tem 1- de probabilidade de conter o parâmetro.</p><p>Valores típicos de confiança: 90%, 95% e 99%</p><p>Estimação por intervalo</p><p>N_10</p><p>Fr</p><p>e</p><p>q</p><p>u</p><p>e</p><p>n</p><p>c</p><p>y</p><p>52484440363228</p><p>90</p><p>80</p><p>70</p><p>60</p><p>50</p><p>40</p><p>30</p><p>20</p><p>10</p><p>0</p><p>Mean 39,02</p><p>StDev 2,466</p><p>N 500</p><p>Histogram of N_10</p><p>Normal</p><p>Estimativas geradas pelo</p><p>X-bar</p><p>95%</p><p>Que região é essa?</p><p>Como calculamos?</p><p>Estimação por intervalo</p><p>As probabilidades são o</p><p>Nível de Confiança 1 - </p><p>Estimação por intervalo</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>zX</p><p></p><p></p><p>2</p><p>I.C. para  com 1- de confiança =</p><p>Média da</p><p>amostra</p><p>Valor fixo</p><p>tabelado</p><p>Erro-</p><p>padrão</p><p>Valores típicos de z:</p><p>95% → z = 1,96</p><p>90% → z = 1,64</p><p>99% → z = 2,57</p><p>Pouso Novo</p><p>Fonte: https://www.pousonovo.rs.gov.br/noticia/55</p><p>Estimação por intervalo</p><p>IDADE</p><p>=47,14 anos</p><p>=16,55 anos</p><p>Amostra n=15:</p><p>53 50 25 41 32</p><p>40 67 44 51 46</p><p>43 79 18 73 50</p><p>ത𝑋 = 47,47</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = ത𝑋 ± 1,960 ×</p><p>𝜎</p><p>𝑛</p><p>= 47,47 ± 1,960 ×</p><p>16,55</p><p>15</p><p>= 47,47 ± 8,38</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 47,47 ± 8,38 = 39,09 ; 55,85 Com 95% de confiança o intervalo de 39,09</p><p>até 55,85 anos contém a verdadeira idade</p><p>média dos eleitores de Pouso Novo.</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>zX</p><p></p><p></p><p>2</p><p>I.C. para  com 1- de confiança =</p><p>Média da</p><p>amostra</p><p>Valor fixo</p><p>tabelado</p><p>Erro-</p><p>padrão</p><p>Em situações reais</p><p> é desconhecido</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>https://www.jstor.org/stable/2331554</p><p>B</p><p>io</p><p>m</p><p>et</p><p>ri</p><p>ka</p><p>V</p><p>o</p><p>l.</p><p>6</p><p>, N</p><p>o</p><p>. 1</p><p>(</p><p>M</p><p>ar</p><p>.,</p><p>1</p><p>9</p><p>0</p><p>8</p><p>),</p><p>p</p><p>p</p><p>. 1</p><p>-2</p><p>5</p><p>(</p><p>2</p><p>5</p><p>p</p><p>ag</p><p>es</p><p>)</p><p>I.C. para  com 1- de confiança =</p><p>Média da</p><p>amostra</p><p>Valor</p><p>tabelado</p><p>variável</p><p>Erro-</p><p>padrão</p><p>estimado</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− n</p><p>s</p><p>tX</p><p>n</p><p>2</p><p>,1</p><p></p><p>Assim, só precisamos de uma amostra para inferir sobre a média  de uma</p><p>população e, ainda, conseguimos associar uma probabilidade de acerto.</p><p>Distribuição t de Student</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>I.C. para  com 1- de confiança =</p><p>ሜ𝑋 ± 𝑡</p><p>𝑛−1,</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>×</p><p>𝑁 − 𝑛</p><p>𝑁 − 1</p><p>O fator de correção é colocado nos casos em que sabemos o tamanho da população.</p><p>Fator de correção para</p><p>populações finitas</p><p>Tabela t</p><p>Amostra n=15:</p><p>53 50 25 41 32</p><p>40 67 44 51 46</p><p>43 79 18 73 50</p><p>ത𝑋 = 47,47 𝑠 = 16,54</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = ത𝑋 ± 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>= 47,47 ± 𝑡14;0,025 ×</p><p>16,54</p><p>15</p><p>= 47,47 ± 9,16</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 47,47 ± 9,16 = 38,31 ; 56,63</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>2,145</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Com 95% de confiança o parâmetro está dentro do intervalo...</p><p>ou</p><p>Com 95% de confiança o intervalo contém o parâmetro...</p><p></p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Uma amostra de n=121 tíquetes de supermercado, escolhidos aleatoriamente</p><p>levaram a uma média de R$ 256,74 e um desvio-padrão de R$ 205,15.</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = ത𝑋 ± 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>= 𝑅$ 256,74 ± 𝑡120;0,025 ×</p><p>𝑅$ 205,15</p><p>121</p><p>=</p><p>Tabela t</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>Uma amostra de n=121 tíquetes de supermercado, escolhidos aleatoriamente</p><p>levaram a uma média de R$ 256,74 e um desvio-padrão de R$ 205,15.</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = ത𝑋 ± 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>= 𝑅$ 256,74 ± 𝑡120;0,025 ×</p><p>𝑅$ 205,15</p><p>121</p><p>=</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 𝑅$ 256,74 ± 1,980 ×</p><p>𝑅$ 205,15</p><p>121</p><p>= 𝑅$ 256,74 ± 𝑅$ 36,93</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 𝑅$ 219,81 ; 𝑅$ 293,67</p><p>Estimação por intervalo: média</p><p>ARQUIVO</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>• Intervalo de Confiança para média</p><p>• Como associar uma probabilidade de acerto</p><p>as nossas estimativas.</p><p>Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Prof. Hélio Radke Bittencourt</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>Na vídeo anterior:</p><p>• Intervalo de Confiança para média</p><p>O que você</p><p>vai aprender</p><p>nessa aula</p><p>• Intervalo de confiança para uma proporção</p><p>População:</p><p>parâmetros</p><p>Amostra:</p><p>estimadoresN</p><p>n</p><p>Média populacional </p><p>Desvio-padrão </p><p>Proporção p</p><p>ഥ𝑿</p><p>S</p><p>ෝ𝒑</p><p>Média amostral</p><p>Desvio-padrão amostral</p><p>Estimação por ponto e por intervalo</p><p>Proporção amostral</p><p>Consiste em cercar a estimativa pontual por uma região cuja</p><p>probabilidade de conter o parâmetro seja conhecida. A partir de agora</p><p>surge a necessidade de implantar uma nova notação:</p><p>1 -  = Nível de Confiança</p><p>A região de confiança é aquela que tem 1- de probabilidade de conter o parâmetro.</p><p>Valores típicos de confiança: 90%, 95% e 99%</p><p>Estimação por intervalo</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Uma proporção é um número entre 0 e 1 (0% e 100%) e em seu</p><p>cálculo os elementos do numerador também fazem parte do</p><p>denominador. Calculamos proporções para variáveis qualitativas, nas</p><p>quais a operação de média não se aplica.</p><p>Ƹ𝑝𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜𝑠 =</p><p>𝑁º 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜𝑠</p><p>𝑛</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Para estimar uma proporção satisfatoriamente, necessitamos de</p><p>amostras geralmente maiores do que no caso da média.</p><p>Exemplo n=5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>0</p><p>5</p><p>= 0%</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>1</p><p>5</p><p>= 20%</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>2</p><p>5</p><p>= 40%</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>3</p><p>5</p><p>= 60%</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>4</p><p>5</p><p>= 80%</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>5</p><p>5</p><p>= 100%</p><p>Pouso Novo</p><p>Fonte: https://www.pousonovo.rs.gov.br/noticia/55</p><p>CANDIDATOS</p><p>Candidato Proporção p</p><p>C1 43,3%</p><p>C2 30,5%</p><p>C3 26,2%</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Proporção estimada de votos do candidato C1</p><p>Amostra n=15 Vão votar no C1</p><p>Possíveis valores para</p><p>proporção amostral</p><p>0 0,0%</p><p>1 6,7%</p><p>2 13,3%</p><p>3 20,0%</p><p>4 26,7%</p><p>5 33,3%</p><p>6 40,0%</p><p>7 46,7%</p><p>8 53,3%</p><p>9 60,0%</p><p>10 66,7%</p><p>11 73,3%</p><p>12 80,0%</p><p>13 86,7%</p><p>14 93,3%</p><p>15 100,0%</p><p>Ƹ𝑝𝐶1</p><p>Simulação de 1000 amostras n=15</p><p>Estimação por intervalo</p><p>Para populações infinitas a distribuição de referência de Ƹ𝑝 é discreta: Binomial</p><p>Binomial Normal</p><p>Um n de pelo menos 30 casos é desejável para que a aproximação da</p><p>Binomial pela Normal seja razoável.</p><p>I.C. para p com 1- de confiança = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p>n</p><p>pp</p><p>zp</p><p>)ˆ1(ˆ</p><p>ˆ</p><p>2</p><p></p><p>Valores de z:</p><p>95% → z = 1,96</p><p>90% → z = 1,64</p><p>99% → z = 2,57</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>n= 30</p><p>n= 120</p><p>Exemplo: Uma amostra aleatória de n=120 pessoas escolhidas</p><p>aleatoriamente revelou que 12 eram canhotos.</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>12</p><p>120</p><p>= 0,10 = 10%</p><p>I.C. p 95% = 0,10 ± 1,96 ×</p><p>0,10×0,90</p><p>120</p><p>= 0,10 ± 0,054 = 0,046 ; 0,154</p><p>= 4,6% ; 15,4%</p><p>Com 95% de confiança o intervalo de 4,6% até 15,4%</p><p>contém a verdadeira proporção de canhotos na população.</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Considere o levantamento realizado em Março de 2019 pela BBC com 1725 britânicos.</p><p>Ao nível de confiança de 95%, podemos considerar que há empate técnico entre</p><p>Permanecer na Comunidade Européia (Remain, 54%) e Deixá-la (Leave 46%)?</p><p>I.C. para p 95% =</p><p>0,54 ± 1,96 ×</p><p>0,54 × 0,46</p><p>1725</p><p>= 0,54 ± 0,02352 =</p><p>=[0,51648 ; 0,56352]</p><p>Remain</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Considere o levantamento realizado em Março de 2019 pela BBC com 1725 britânicos.</p><p>Ao nível de confiança de 95%, podemos considerar que há empate técnico entre</p><p>Permanecer na Comunidade Européia (Remain, 54%) e Deixá-la (Leave 46%)?</p><p>I.C. para p 95% = 0,46 ± 1,96 ×</p><p>0,46 × 0,54</p><p>1725</p><p>= 0,46 ± 0,02352 =</p><p>=[0,43648 ; 0,48352]</p><p>Leave</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Considere o levantamento realizado em Março de 2019 pela BBC com 1725 britânicos.</p><p>Ao nível de confiança de 95%, podemos considerar que há empate técnico entre</p><p>Permanecer na Comunidade Européia (Remain, 54%) e Deixá-la (Leave 46%)?</p><p>[0,43648 ; 0,48352] [0,51648 ; 0,56352]</p><p>Leave Remain</p><p>0 10,5</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>E as pesquisas eleitorais nas Eleições</p><p>de 2022 no Brasil?</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Pesquisa eleitoral para o Estado de Minas Gerais: Datafolha com n=2650. Margem de erro de 2%</p><p>Fonte: Pesquisa 01/Out/2022, Datafolha, n=2650 registrada em MG-04343/2022 - TRE-MG</p><p>Retirando branco e nulo</p><p>%</p><p>51,6%</p><p>32,6%</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Pesquisa eleitoral para o Estado de Minas Gerais: Datafolha com n=2650. Margem de erro de 2%</p><p>I.C. para p 95% = 0,516 ± 1,96 ×</p><p>0,516 × 0,484</p><p>2650</p><p>= 0,516 ± 0,019 =</p><p>=[0,497 ; 0,535]</p><p>Z AK</p><p>0,326 ± 1,96 ×</p><p>0,326 × 0,674</p><p>2650</p><p>= 0,326 ± 0,018 =</p><p>=[0,308 ; 0,344]</p><p>Resultado Final TSE: 35,1%Resultado Final TSE: 56,2%</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Pesquisa eleitoral para o Estado de São Paulo: IPEC com n=2000. Margem de erro de 2%</p><p>Fonte: Pesquisa 01/Out/2022, IPEC, n=2000 registrada em SP-05847/2022 - TRE-SP</p><p>Retirando branco e nulo</p><p>%</p><p>38,0%</p><p>28,3%</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Pesquisa eleitoral para o Estado de São Paulo: IPEC com n=2000. Margem de erro de 2%</p><p>I.C. para p 95% = 0,38 ± 1,96 ×</p><p>0,38 × 0,62</p><p>2000</p><p>= 0,38 ± 0,021 =</p><p>=[0,359 ; 0,401]</p><p>FH TF</p><p>0,283 ± 1,96 ×</p><p>0,283 × 0,717</p><p>2000</p><p>= 0,283 ± 0,02 =</p><p>=[0,263 ; 0,303]</p><p>Resultado Final TSE: 42,32%Resultado Final TSE: 35,70%</p><p>Pouso Novo</p><p>Fonte: https://www.pousonovo.rs.gov.br/noticia/55</p><p>Estimação por intervaloEstimação por intervalo: proporção</p><p>CANDIDATOS</p><p>Candidato Proporção p</p><p>C1 43,3%</p><p>C2 30,5%</p><p>C3 26,2%</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Com 95% de confiança o parâmetro está dentro do intervalo...</p><p>ou</p><p>Com 95% de confiança o intervalo contém o parâmetro...</p><p>ො𝑝</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p>0 1</p><p>Estimação por intervalo: proporção</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>• Estimação por Intervalos de Confiança para</p><p>proporções</p><p>Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Prof. Hélio Radke Bittencourt</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>Na vídeo anterior:</p><p>• Intervalo de Confiança para média</p><p>• Intervalo de Confiança para proporção</p><p>O que você</p><p>vai aprender</p><p>nessa aula</p><p>• Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Conjuntos de dados</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Amostra</p><p>n ?</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Professor, qual o tamanho que deve ter a minha amostra?</p><p>Quantos elementos devo investigar?</p><p>Quantas repetições do experimento devo fazer?</p><p>Eu preciso de um cálculo de tamanho amostral.</p><p>QUESTÕES FREQUENTES</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p><a</p><p>h</p><p>re</p><p>f=</p><p>"h</p><p>tt</p><p>p</p><p>s:</p><p>//</p><p>b</p><p>r.</p><p>d</p><p>ep</p><p>o</p><p>si</p><p>tp</p><p>h</p><p>o</p><p>to</p><p>s.</p><p>co</p><p>m</p><p>/s</p><p>to</p><p>ck</p><p>-p</p><p>h</p><p>o</p><p>to</p><p>s/</p><p>si</p><p>gn</p><p>s-</p><p>sy</p><p>m</p><p>b</p><p>o</p><p>ls</p><p>.h</p><p>tm</p><p>l"</p><p>></p><p>H</p><p>an</p><p>d</p><p>so</p><p>m</p><p>e</p><p>b</p><p>u</p><p>si</p><p>n</p><p>es</p><p>sm</p><p>an</p><p>ta</p><p>lk</p><p>in</p><p>g</p><p>b</p><p>y</p><p>st</p><p>at</p><p>io</p><p>n</p><p>ar</p><p>y</p><p>te</p><p>le</p><p>p</p><p>h</p><p>o</p><p>n</p><p>e</p><p>in</p><p>o</p><p>ff</p><p>ic</p><p>e</p><p>-</p><p>b</p><p>r.</p><p>d</p><p>ep</p><p>o</p><p>si</p><p>tp</p><p>h</p><p>o</p><p>to</p><p>s.</p><p>co</p><p>m</p><p></</p><p>a></p><p>Professor, meu nome é</p><p>John e eu gostaria de</p><p>saber qual o tamanho da</p><p>minha amostra.</p><p>PRECISAMOS DE MAIS ELEMENTOS</p><p>PARA CONSEGUIR CALCULAR UM</p><p>TAMANHO AMOSTRAL</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Quais são as principais variáveis da minha investigação?</p><p>QUALITATIVAS QUANTITATIVAS</p><p>- Proporções - Média</p><p>- Desvio-padrão</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p></p><p>• Altura (cm)</p><p>• Peso (kg)</p><p>• Renda domiciliar (R$)</p><p>• Time para o qual torce Grêmio</p><p>Internacional</p><p>Outro</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>O tamanho amostral será maior em situações:</p><p>- Alta variabilidade</p><p>- Estimação de proporções</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Fração de amostragem</p><p>𝑛</p><p>𝑁</p><p>Proporção da população</p><p>que foi investigada</p><p>NÃO EXISTE UM PERCENTUAL FIXO MÁGICO</p><p>PARA A FRAÇÃO DE AMOSTRAGEM</p><p>Essa fração depende...</p><p>do próprio tamanho da população.</p><p>das características das variáveis que estão sendo</p><p>investigadas.</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Populações muito pequenas</p><p>- Uma única turma da Escola</p><p>- Cargos de chefia de uma empresa</p><p>- Moradores de um pequeno prédio</p><p>Recomenda-se a</p><p>realização de um</p><p>CENSO</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>De onde saem os subsídios para o cálculo do tamanho amostral?</p><p>• Amostra piloto</p><p>• Estudos anteriores</p><p>• Palpite (último caso)</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 1 – Tíquete do supermercado</p><p>Uma amostra de n=121 tíquetes de supermercado, escolhidos aleatoriamente</p><p>levaram a uma média de R$ 256,74 e um desvio-padrão de R$ 205,15.</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = ത𝑋 ± 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>= 𝑅$ 256,74 ± 𝑡120;0,025 ×</p><p>𝑅$ 205,15</p><p>121</p><p>=</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 𝑅$ 256,74 ± 1,980 ×</p><p>𝑅$ 205,15</p><p>121</p><p>= 𝑅$ 256,74 ± 𝑅$ 36,93</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 𝑅$ 219,81 ; 𝑅$ 293,67</p><p>Margem de erro</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 1 – Tíquete do supermercado</p><p>Uma amostra de n=121 tíquetes de supermercado, escolhidos aleatoriamente</p><p>levaram a uma média de R$ 256,74 e um desvio-padrão de R$ 205,15.</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = 𝑅$ 256,74 ± 𝑅$ 36,93</p><p>Margem de erro</p><p>Vamos imaginar que desejamos reduzir a margem de erro para R$ 20.</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>𝐼. 𝐶. 𝜇 95% = ത𝑋 ± 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>Margem de erro</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>𝑛 = 𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>×</p><p>𝑠</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜</p><p>𝑛 =</p><p>𝑡</p><p>𝑛−1;</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>× 𝑠</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜</p><p>2</p><p>𝑛 =</p><p>1,96 × 𝑠</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜</p><p>2</p><p>Para 95% fixamos o</p><p>valor pela Normal-</p><p>padrão (t com ∞ gl)</p><p>em 1,96</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 1 – Tíquete do supermercado</p><p>Uma amostra de n=121 tíquetes de supermercado, escolhidos aleatoriamente</p><p>levaram a uma média de R$ 256,74 e um desvio-padrão de R$ 205,15.</p><p>Vamos imaginar que desejamos reduzir a margem de erro para R$ 20.</p><p>𝑛 =</p><p>1,96 × 𝑠</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜</p><p>2</p><p>=</p><p>1,96 × 𝑅$ 205,15</p><p>𝑅$ 20</p><p>2</p><p>≅ 404,2 → 405</p><p>Com n=121 tínhamos margem de erro de aprox. R$ 37</p><p>Com n=405 teríamos margem de erro de aprox. R$ 20</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p></p><p>• Altura (cm)</p><p>• Peso (kg)</p><p>• Renda domiciliar (R$)</p><p>Exemplo 2 – Tamanho amostral depende da variável</p><p>ത𝑋 = 175; 𝑠 = 7</p><p>ത𝑋 = 80 ; 𝑠 = 12</p><p>ത𝑋 = 4000; 𝑠 = 2000</p><p>𝑛 =</p><p>1,96 × 7</p><p>0,02 × 175</p><p>2</p><p>≅ 15,4 → 16</p><p>Erro em 2% da média</p><p>𝑛 =</p><p>1,96 × 12</p><p>0,02 × 80</p><p>2</p><p>≅ 216,1 → 217</p><p>𝑛 =</p><p>1,96 × 2000</p><p>0,02 × 4000</p><p>2</p><p>= 2401</p><p>150 vezes maior</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Quando temos uma proporção.</p><p>𝐼. 𝐶. 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 95% = Ƹ𝑝 ± 1,96 ×</p><p>Ƹ𝑝 × (1 − Ƹ𝑝)</p><p>𝑛</p><p>Margem de erro</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜 = 1,96 ×</p><p>Ƹ𝑝 × (1 − Ƹ𝑝)</p><p>𝑛</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜² = 1,96² ×</p><p>Ƹ𝑝 × (1 − Ƹ𝑝)</p><p>𝑛</p><p>𝑛 =</p><p>1,96² × Ƹ𝑝 × (1 − Ƹ𝑝)</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜²</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 3 – Proporção de canhotos</p><p>Uma amostra aleatória de n=120 pessoas escolhidas aleatoriamente revelou que 12</p><p>eram canhotos.</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>12</p><p>120</p><p>= 0,10 = 10%</p><p>I.C. p 95% = 0,10 ± 1,96 ×</p><p>0,10×0,90</p><p>120</p><p>= 0,10 ± 0,054 = 0,046 ; 0,154</p><p>= 4,6% ; 15,4%</p><p>Vamos imaginar que desejamos reduzir a margem de erro para 2,5%</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 3 – Proporção de canhotos</p><p>Uma amostra aleatória de n=120 pessoas escolhidas aleatoriamente revelou que 12</p><p>eram canhotos.</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>12</p><p>120</p><p>= 0,10 = 10% 𝑛 =</p><p>1,96² × 0,10 × 0,90</p><p>0,025²</p><p>= 553,19 → 𝟓𝟓𝟒</p><p>Com n=120 tínhamos margem de erro de 5,4%</p><p>Com n=554 teríamos margem de erro de 2,5%</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 4 – Pesquisas Eleitorais</p><p>Fonte: https://www.poder360.com.br/agregador-de-pesquisas/</p><p>Histograma dos</p><p>tamanhos amostrais das</p><p>pesquisas eleitorais para</p><p>Presidente entre</p><p>Ago/2019 e Out/2022.</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>𝑛 =</p><p>1,96² × Ƹ𝑝 × (1 − Ƹ𝑝)</p><p>𝐸𝑟𝑟𝑜²</p><p>O numerador é maximizado quando Ƹ𝑝 = 0,50</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Margem de erro</p><p>Ta</p><p>m</p><p>a</p><p>n</p><p>h</p><p>o</p><p>a</p><p>m</p><p>o</p><p>st</p><p>ra</p><p>l (</p><p>n</p><p>)</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>E se a população for finita?</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Utilizamos um fator de correção para população finita</p><p>𝑛𝑓𝑖𝑛 =</p><p>𝑁 × 𝑛</p><p>𝑁 + 𝑛</p><p>Considerações sobre tamanho amostral</p><p>Exemplo 5– Cálculo do n em caso de N finito e infinito</p><p>Estimar a proporção de votos de um candidato no Brasil e em Pouso Novo com 2%</p><p>de margem de erro.</p><p>𝑛 =</p><p>1,96² × 0,50 × 0,50</p><p>0,02²</p><p>= 2401</p><p>BRASIL Pouso Novo</p><p>𝑛𝑓𝑖𝑛 =</p><p>1533 × 2401</p><p>1533 + 2401</p><p>= 936</p><p>Perceba que a fração de amostragem é muito diferente nos dois casos.</p><p>Resumo do</p><p>que vimos</p><p>até agora</p><p>• Amostragem</p><p>• Parâmetros e Estimadores</p><p>• Distribuição Amostral das médias</p><p>• Intervalos de Confiança para média</p><p>• Intervalos de Confiança para proporção</p><p>• Cálculo de tamanho amostral</p><p>Para Saber MaisCheckpoint</p><p>A A distribuição B é a que tem a maior média</p><p>B A distribuição B tem um desvio-padrão menor do que a C</p><p>C A distribuição B apresenta média de aproximadamente 100</p><p>e o maior desvio-padrão</p><p>D A média da distribuição A é aproximadamente a metade da</p><p>C</p><p>E A distribuição C apresenta o maior desvio-padrão</p><p>Para Saber MaisCheckpoint</p><p>Considere uma pesquisa eleitoral realizada com os dois candidatos que foram para o segundo turno. O tamanho</p><p>amostral foi de n=2000 eleitores extraídos de uma população que pode ser considerada infinita e os resultados foram:</p><p>Candidato A: 1200 eleitores na amostra</p><p>Candidato B: 800 eleitores na amostra</p><p>É correto afirmar que:</p><p>A A estimativa pontual para o candidato A é de obter 40% dos votos no 2º turno</p><p>B A estimativa pontual para o candidato B é de obter 60% dos votos no 2º turno</p><p>C Neste caso específico de 2º turno entre dois candidatos, a margem de erro seria igual para os dois candidatos.</p><p>D É mais provável que o candidato B seja o vencedor no 2º turno</p><p>E É certo e garantido que o candidato A vencerá a eleição no 2º turno.</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>1200</p><p>2000</p><p>= 0,60 = 60%</p><p>Ƹ𝑝 =</p><p>800</p><p>2000</p><p>= 0,40 = 40%</p><p>1</p><p>Slide 1: Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>Slide 30</p><p>Slide 31</p><p>Slide 32</p><p>Slide 33</p><p>Slide 34</p><p>Slide 35</p><p>Slide 36</p><p>Slide 37</p><p>Slide 38</p><p>Slide 39</p><p>2</p><p>Slide 1: Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>3</p><p>Slide 1: Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>4-</p><p>Slide 1: Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>5</p><p>Slide 1: Pensamento Lógico e Quantitativo</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Checkpoints_Helio_6</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p>