Cálculo Técnico

Prévia do material em texto

<p>CÁLCULO TÉCNICO</p><p>2</p><p>SENAI-RS – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL</p><p>DEPARTAMENTO REGIONAL DO RIO GRANDE DO SUL</p><p>CONSELHO REGIONAL</p><p>Presidente Nato</p><p>Francisco Renan O. Proença – Presidente do Sistema FIERGS</p><p>Conselheiros Delegados das Atividades Industriais – FIERGS</p><p>Titulares Suplentes</p><p>Manfredo Frederico Koehler Deomedes Roque Talini</p><p>Astor Milton Schmitt Arlindo Paludo</p><p>Valayr Hélio Wosiack Pedro Antônio G. Leivas Leite</p><p>Representantes do Ministério da Educação</p><p>Titular Suplente</p><p>Edelbert Krüger Aldo Antonello Rosito</p><p>Representantes do Ministério do Trabalho e Emprego</p><p>Titular Suplente</p><p>Neusa Maria de Azevedo Elisete Ramos</p><p>Diretor do Departemento Regional do SENAI-RS</p><p>José Zortéa</p><p>DIRETORIA REGIONAL DO SENAI-RS</p><p>José Zortéa – Diretor Regional</p><p>Paulo Fernando Presser – Diretor de Educação e Tecnologia</p><p>Jorge Solidônio Serpa – Diretor Administrativo-Financeiro</p><p>3</p><p>SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL</p><p>CÁLCULO TÉCNICO</p><p>Porto Alegre</p><p>2004</p><p>4</p><p>Cálculo Técnico</p><p> 2004, SENAI-RS</p><p>Trabalho organizado por técnicos do Centro Tecnológico de Mecânica de Precisão</p><p>Plínio Gilberto Kroeff, sob a coordenação, orientação e supervisão da Unidade de</p><p>Negócios em Educação Profissional de Nível Básico e da Diretoria de Educação</p><p>Tecnológica do Departamento Regional do SENAI-RS</p><p>Coordenação Geral Paulo Fernando Presser DET</p><p>Coordenação Técnica Jaures de Oliveira DET/UNEP</p><p>Coordenação Local Boaz Ungaretti CETEMP</p><p>Revisão técnica Boaz Ungaretti</p><p>Maria Inês da Silveira Daudt</p><p>Diretor/CETEMP</p><p>Professora/CETEMP</p><p>Digitação, formatação e</p><p>revisão lingüística e</p><p>gramatical Regina Maria Recktenwald consultora</p><p>Normalização bibliográfica Nelson Oliveira da Silva Bibliotecário/CETEMP</p><p>Produção gráfica CEP SENAI de Artes Gráficas Henrique d' Ávila Bertaso</p><p>SENAI – Departamento Regional do Rio Grande do Sul</p><p>Av. Assis Brasil, 8787 – Bairro Sarandi</p><p>91140-001 – Porto Alegre, RS</p><p>Tel.: (51) 3347-8697 Fax: (51) 3347-8813 e-mail: unep@dr.rs.senai.br</p><p>SENAI – Instituição mantida e administrada pela Indústria.</p><p>A reprodução total ou parcial desta publicação por quaisquer meios, seja eletrônico, mecânico, fotocópia de</p><p>gravação ou outros, somente será permitida com prévia autorização, por escrito, deste Departamento Regional.</p><p>S 491c</p><p>SENAI.RS. Cálculo Técnico. Porto Alegre: Unidade de Negócios</p><p>em Educação Profissional / Diretoria de Educação e Tecnologia,</p><p>SENAI, 2004. 145 p. il.</p><p>1. Matemática I. Título</p><p>CDU - 51</p><p>5</p><p>SUMÁRIO</p><p>LISTA DE FIGURAS............................................................................................................11</p><p>INTRODUÇÃO.....................................................................................................................13</p><p>1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO .........................................................................................15</p><p>1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO.........................................................................15</p><p>1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA ...............................................................................17</p><p>1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO..................................17</p><p>1.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................18</p><p>2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS .......................................19</p><p>2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .............................................................................19</p><p>2.1.1 Propriedades fundamentais da adição ....................................................................19</p><p>2.1.2 Regra prática para efetuar a adição .........................................................................19</p><p>2.1.3 Como conferir uma soma .........................................................................................20</p><p>2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .....................................................................20</p><p>2.2.1 Regra prática para efetuar a subtração ...................................................................20</p><p>2.2.3 Como verificar se a subtração está certa ...............................................................21</p><p>2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS...............................................................21</p><p>2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação.........................................................22</p><p>2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação..........................................................22</p><p>2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa ..........................................................23</p><p>2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS.............................................................................24</p><p>2.4.1 Propriedades gerais da divisão................................................................................24</p><p>2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão ....................................................................25</p><p>2.4.3 Como verificar se a divisão está correta .................................................................27</p><p>3 NÚMEROS DECIMAIS .....................................................................................................31</p><p>3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS ..........................................................................31</p><p>3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................32</p><p>3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................................................32</p><p>3.3.1 Primeiro caso ............................................................................................................33</p><p>3.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................43</p><p>6</p><p>4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE.............................................................47</p><p>4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO ........................................................................................47</p><p>4.2 DIVISIBILIDADE.............................................................................................................47</p><p>4.2.1 Divisibilidade por 2 ...................................................................................................47</p><p>4.2.2 Divisibilidade por 3 ...................................................................................................47</p><p>4.2.3 Divisibilidade por 4 ...................................................................................................47</p><p>4.2.4 Divisibilidade por 5 ...................................................................................................47</p><p>4.2.5 Divisibilidade por 6 ...................................................................................................47</p><p>4.2.6 Divisibilidade por 9 ...................................................................................................48</p><p>4.2.7 Divisibilidade por 10..................................................................................................48</p><p>4.3 NÚMERO PRIMO...........................................................................................................48</p><p>4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................48</p><p>4.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................49</p><p>5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS .................................................................................................51</p><p>5.1 LEITURA DE FRAÇÕES................................................................................................51</p><p>5.2 TIPOS DE FRAÇÕES ....................................................................................................53</p><p>5.2.1 Fração própria ...........................................................................................................53</p><p>5.2.2 Fração imprópria .......................................................................................................53</p><p>5.2.3 Fração aparente (imprópria) .....................................................................................54</p><p>8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2 0÷ 2 = 1 0</p><p>32 ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2</p><p>5</p><p>3</p><p>15 =</p><p>8</p><p>32</p><p>8</p><p>32 =+</p><p>4</p><p>9</p><p>4</p><p>124</p><p>4</p><p>12 =+×=</p><p>3</p><p>14</p><p>3</p><p>243</p><p>3</p><p>24 =+×=</p><p>4</p><p>124</p><p>9 =</p><p>3</p><p>243</p><p>14 =</p><p>[ ]24</p><p>15</p><p>8</p><p>5</p><p>3</p><p>3</p><p>24</p><p>15</p><p>3</p><p>3</p><p>8</p><p>5 ⇔⇒÷</p><p>÷=× [ ]60</p><p>45</p><p>12</p><p>9</p><p>5</p><p>5</p><p>60</p><p>45</p><p>5</p><p>5</p><p>12</p><p>9 ⇔⇒÷</p><p>÷=×</p><p>55</p><p>Fração irredutível</p><p>b) 30 ÷ 2 = 15 0÷ 3 = 5 0</p><p>42 ÷ 2 = 21 ÷ 3 = 7</p><p>5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR</p><p>Reduzir é transformar as frações dadas em frações equivalentes de mesmo</p><p>denominador. Para isso, é necessário observar os seguintes passos:</p><p>1º Determinar o MMC dos denominadores das frações. O resultado é o novo</p><p>denominador.[</p><p>Exemplo: 3 ; 1 0 ; 2 0 MMC (4, 3, 5)</p><p>4 3 5</p><p>4 – 3 – 5 2</p><p>2 – 3 – 5 2</p><p>1 – 3 – 5 3 2 x 2 x 3 x 5 = 60</p><p>1 – 1 – 5 5</p><p>1 – 1 – 1 novo denominador</p><p>2º Dividir o MMC encontrado pelos denominadores das frações dadas.</p><p>a) →</p><p>4</p><p>3 60 ÷ 4 = 15</p><p>b) →</p><p>3</p><p>1 60 ÷ 3 = 20</p><p>c) →</p><p>5</p><p>2 60 ÷ 5 = 12</p><p>3º Multiplicar o quociente de cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O</p><p>produto é o novo numerador.</p><p>a)</p><p>b) 0</p><p>c)</p><p>Então:</p><p>60</p><p>45</p><p>154</p><p>153 =</p><p>×</p><p>×</p><p>60</p><p>20</p><p>203</p><p>201 =</p><p>×</p><p>×</p><p>60</p><p>24</p><p>125</p><p>122 =</p><p>×</p><p>×</p><p>60</p><p>24,</p><p>60</p><p>20,</p><p>60</p><p>45</p><p>5</p><p>2,</p><p>3</p><p>1,</p><p>4</p><p>3 =</p><p>56</p><p>Resumo: MMC (4, 3, 5) = 60</p><p>3 1 0 2 0</p><p>4 3 5</p><p>3 x 15 = 45 1 x 20 = 20 2 x 12 = 24</p><p>60 ÷ 4 = 15 60 ÷ 3 = 20 60 ÷ 5 = 12</p><p>45 0 20 0 24 0</p><p>60 60 60</p><p>5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Na comparação de frações, usam-se sinais próprios para indicar maior que e menor</p><p>que. São os sinais > e <, respectivamente.</p><p>Por esta razão, ao invés de escrever 3 0é maior que 3 , pode-se escrever.</p><p>4 8</p><p>Ao invés de escrever 3 0é menor que 3 , pode-se escrever .</p><p>8 4</p><p>5.7.1 Frações de mesmo denominador</p><p>Quando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo denominador, a</p><p>maior é aquela que tem maior numerador. Para comparar as frações que têm o</p><p>mesmo denominador, observem-se as figuras a seguir:</p><p>Nas duas figuras, a unidade está dividida em 5 partes iguais, mas na fração</p><p>tomam-se mais partes que na fração .</p><p>Então 0 é maior que , e escreve-se</p><p>Ou : é menor que , e escreve-se 0</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>3 >⇒</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>3 <⇒</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>3 >→</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2 <→5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>57</p><p>16</p><p>4</p><p>16</p><p>3</p><p>5.7.2 Frações de mesmo numerador</p><p>Quando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo numerador, a maior é</p><p>aquela que tem o menor denominador.</p><p>Nas duas frações toma-se o mesmo número de partes (3), mas a fração 0indica</p><p>que a mesma unidade foi dividida em mais partes e elas são menores.</p><p>Então, é maior que , e escreve-se .</p><p>Ou: é menor que , e escreve-se .</p><p>5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes</p><p>Quando se comparam duas ou mais frações que têm numeradores e denominadores</p><p>diferentes, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador antes de comparar.</p><p>Para reduzir e 0 ao mesmo denominador:</p><p>4 – 16 2</p><p>2 – 8 2</p><p>1 – 4 2</p><p>1 – 2 2</p><p>1 – 1</p><p>MMC (4, 16) = 16 → 162222 =×××</p><p>Reduzindo as frações ao mesmo denominador, encontram-se frações equivalentes:</p><p>16</p><p>4</p><p>4</p><p>1 = e</p><p>16</p><p>3 só pode ser igual a</p><p>16</p><p>3</p><p>Agora pode-se comparar as equivalentes: e .</p><p>Já se sabe que, se as duas frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem</p><p>o maior numerador.</p><p>tem maior numerador que</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>3 >→</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>3 <→</p><p>16</p><p>4</p><p>16</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>16</p><p>4</p><p>58</p><p>Então:</p><p>Pode-se escrever :</p><p>16</p><p>3</p><p>16</p><p>4 > .</p><p>Então: .</p><p>5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>5.8.1 Frações de mesmo denominador</p><p>Deve-se manter o denominador e somar os numeradores.</p><p>5.8.2 Frações de denominadores diferentes</p><p>Deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador; em seguida, conservando o</p><p>mesmo denominador, somam-se os numeradores.</p><p>mmc ( 5 e 3) =15 assim</p><p>5.8.3 Transformação de números naturais e números mistos em frações</p><p>impróprias</p><p>Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se</p><p>os números naturais e os números mistos em frações impróprias; uma vez realizada</p><p>a operação, simplificam-se ou extraem-se os inteiros.</p><p>mmc (1, 3, 5) = 15</p><p>5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>5.9.1 Frações de mesmo denominador</p><p>Deve-se manter o denominador e subtrair os numeradores.</p><p>↓↓</p><p>⇒=++ 6</p><p>8</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>113</p><p>4</p><p>6</p><p>8 ==</p><p>→+</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>15</p><p>7115</p><p>22</p><p>15</p><p>1012</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>4 ==+=+</p><p>⇒++ 5</p><p>4</p><p>3</p><p>125</p><p>15</p><p>2815</p><p>122</p><p>15</p><p>123575</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>7</p><p>1</p><p>5 ==++=++</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>2</p><p>8</p><p>5</p><p>8</p><p>7 ==−</p><p>16</p><p>3</p><p>4</p><p>1 ></p><p>59</p><p>5.9.2 Frações de denominadores diferentes</p><p>Deve-se reduzir as frações o mesmo denominador e, em seguida, aplicar a regra</p><p>anterior.</p><p>mmc (8, 5) = 40</p><p>OBSERVAÇÃO:</p><p>Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se</p><p>os números naturais em frações impróprias e, uma vez realizada a operação,</p><p>simplifica-se ou extraem-se os inteiros.</p><p>5.10 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Para multiplicar frações, efetua-se o produto dos numeradores (que será o novo</p><p>numerador) e, em seguida, o produto dos denominadores (o novo denominador)</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1 Transformam-se os números inteiros e os números mistos em frações</p><p>impróprias:</p><p>2 Quando no numerador e no denominador existirem fatores comuns, eles podem</p><p>ser simplificados mesmo que em frações diferentes:</p><p>usando o cancelamento teremos</p><p>5.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES</p><p>Para dividir frações deve-se conservar a primeira, trocar o sinal de dividir pelo de</p><p>multiplicar e inverter a segunda fração (o denominador passa a numerador, e vice-</p><p>versa). Em seguida, efetua-se a operação como se fosse de multiplicar.</p><p>⇒− 5</p><p>2</p><p>8</p><p>7</p><p>40</p><p>19</p><p>40</p><p>1635</p><p>5</p><p>2</p><p>8</p><p>7 =−=−</p><p>40</p><p>21</p><p>8</p><p>7</p><p>5</p><p>3 =×</p><p>4</p><p>11</p><p>16</p><p>44</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>11</p><p>1</p><p>4 ==××⇒×× 2</p><p>1</p><p>8</p><p>314</p><p>4</p><p>324</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>11</p><p>1</p><p>1 ==××</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>11</p><p>1</p><p>4 ××</p><p>60</p><p>Ao efetuar a divisão de frações usamos o procedimento de inversão.</p><p>. Troca-se o sinal de ( ÷ ) pelo de (×), inverte-se a fração</p><p>para e efetua-se a multiplicação.</p><p>OBSERVAÇÃO:</p><p>Transformam-se os números inteiros e os números mistos em frações impróprias.</p><p>. Invertendo e multiplicando tem-se ,e simplificando</p><p>pelo método do cancelamento tem-se .</p><p>5.12 CONVERSÃO DE FRAÇÕES</p><p>5.12.1 Conversão de frações ordinárias em números decimais</p><p>a) Para converter frações ordinárias em números decimais, basta efetuar a divisão</p><p>do numerador pelo denominador.</p><p>b) Para converter números mistos em números decimais, basta transformá-los em</p><p>frações ordinárias e proceder como em (a).</p><p>5.12.2 Conversão de números decimais em frações ordinárias ou números</p><p>mistos</p><p>Para converter um número decimal em fração segue-se o seguinte procedimento:</p><p>1.º Coloca-se o número 1 no denominador:</p><p>2.º Escrevem-se ainda no denominador tantos zeros quantas forem as casas (ou</p><p>posições decimais do número decimal):</p><p>0,5 tem uma casa decimal: 0, 5</p><p>uma casa</p><p>Então coloca-se um zero no denominador: (cinco décimos)</p><p>Como se lê, se escreve.</p><p>Exemplo: 0,25 = vinte e cinco centésimos:</p><p>25</p><p>14</p><p>5</p><p>7</p><p>5</p><p>2</p><p>7</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>⇒×=÷</p><p>7</p><p>5</p><p>5</p><p>7</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>3334</p><p>18 ÷=÷</p><p>4</p><p>324</p><p>11</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>11 ==×</p><p>25,041</p><p>4</p><p>1 =÷= 8125,01613</p><p>16</p><p>13 =÷=</p><p>4</p><p>13</p><p>4</p><p>13 = 25,3413 =÷</p><p>1</p><p>10</p><p>5</p><p>100</p><p>25</p><p>1</p><p>11</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>33</p><p>⇒×</p><p>61</p><p>6 REGRA DE TRÊS</p><p>Regra de três é a resolução de problemas por meio de proporções quando um dos</p><p>termos da proporção é desconhecido. Pode ser direta ou inversa, simples ou composta.</p><p>A mais habitualmente usada em oficina é a regra de três simples, direta ou inversa.</p><p>6.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES</p><p>Simples é aquela em que o problema é representado unicamente por uma proporção</p><p>cujo termo “X” se deseja conhecer.</p><p>Exemplo:</p><p>Se 15 parafusos custam R$ 20,00, quanto se pagará por 30 parafusos?</p><p>O problema resume-se no seguinte:</p><p>15 parafusos valem 20 reais</p><p>30 parafusos valem “X” reais</p><p>Pelo exame desses elementos vê-se</p><p>que com eles se pode estabelecer duas</p><p>razões: uma entre as quantidades de parafusos e outra entre seus respectivos</p><p>custos. Assim, tem-se:</p><p>razão entre os parafusos 15</p><p>30</p><p>razão ente os custos 20</p><p>X</p><p>Como as duas razões são iguais, pois a relação entre quantidades de objetos iguais</p><p>é a mesma entre seus respectivos preços, pode-se escrever:</p><p>R = R$ 40,00</p><p>Ao verificar o resultado vê-se que R$ 40,00 é de fato o custo dos parafusos. Na</p><p>verdade, se 15 parafusos custam R$ 20,00, 30 parafusos, que é o dobro de 15,</p><p>custarão R$ 40,00, que é o dobro de R$ 20,00.</p><p>X</p><p>20</p><p>30</p><p>15 =</p><p>15</p><p>2030X ×=</p><p>62</p><p>6.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA</p><p>Nota-se que, aumentando o número de parafusos, aumenta também o preço a ser</p><p>pago, o que indica que as grandezas do problema são diretamente proporcionais.</p><p>Isso significa que, aumentando um termo da razão, aumenta seu correspondente na</p><p>outra; diminuindo um termo na primeira razão, diminui seu correspondente na</p><p>segunda, e vice-versa.</p><p>No problema anterior foram comparados parafusos com parafusos e custos com</p><p>custos = grandezas da mesma espécie.</p><p>Veja-se agora o seguinte exemplo: Em 8 dias de trabalho um profissional preparou</p><p>120 peças. De quantos dias precisará o mesmo profissional para executar 300 peças</p><p>iguais?</p><p>É uma regra de três direta pois, para fazer mais peças, o profissional gastará mais</p><p>dias. Assim, tem-se:</p><p>Se em 8 dias preparou 120 peças, em “X” dias preparará 300 peças.</p><p>Logo: R = 20 dias</p><p>6.3 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA</p><p>Se 10 operários constroem uma peça em 4 dias de trabalho, quantos operários</p><p>construirão a mesma peça em 2 dias?</p><p>Ora, para construir a mesma tarefa em metade do tempo, claro está que se deve</p><p>dobrar o número de operários. Neste caso, as grandezas são inversamente</p><p>proporcionais porque, diminuindo uma delas, aumenta na outra razão o valor de sua</p><p>correspondente.</p><p>Ordenando os dados do problema proposto tem-se:</p><p>10 operários 4 dias</p><p>“X” operários 2 dias</p><p>Como a regra de três é inversa, invertem-se os termos na razão, onde se encontra</p><p>“X”. A nova proporção será:</p><p>R = 20 operários</p><p>300</p><p>120</p><p>X</p><p>8 =</p><p>120</p><p>8300X ×=</p><p>2</p><p>4</p><p>10</p><p>X =</p><p>2</p><p>410X ×=</p><p>63</p><p>Exemplo clássico da regra de três inversa é o problema das polias, ou engrenagens.</p><p>Observe-se na Figura 1 que as polias A e B estão ligadas por uma correia. Sabendo</p><p>que a polia A dá 240 rpm (rotações por minuto), calcular as rpm da polia B.</p><p>Figura 1 – Polias</p><p>A razão entre os diâmetros das duas polias é igual à razão inversa de suas rpm,</p><p>pois, quanto menor o diâmetro, maior a rpm da polia; quanto maior o diâmetro,</p><p>menor a rpm.</p><p>Sendo assim, a razão entre os diâmetros das polias A e B é , e a razão entre as</p><p>rpm é .</p><p>No entanto, tendo em vista que se trata de razões inversamente proporcionais,</p><p>arma-se a proporção invertendo a segunda razão. Tem-se, então:</p><p>Logo R = 160 rpm</p><p>Exemplos:</p><p>1 Calcular o diâmetro da polia maior da Figura 2.</p><p>Figura 2 – Diâmetro de polias</p><p>240</p><p>X</p><p>30</p><p>20 = 30</p><p>20240X ×=</p><p>30</p><p>20</p><p>X</p><p>240</p><p>64</p><p>Estabelecendo a proporção inversa, tem-se:</p><p>Ø24 cm 600 rpm 600 ═ X 0≡</p><p>Ø X 300 rpm 300 24</p><p>Nas engrenagens, a razão entre as velocidades é igual à razão inversa entre os</p><p>números de dentes das engrenagens.</p><p>2 Calcular a rpm da engrenagem B da Figura 3.</p><p>Figura 3 – Engrenagens de polias</p><p>Engrenagem A - 60 dentes 1 000 rpm</p><p>Engrenagem B - 80 dentes X rpm</p><p>Estabelecendo a proporção inversa, tem-se:</p><p>6.4 EXERCÍCIOS</p><p>1 Uma máquina produz 200 peças em 4 horas. Quantas peças produz em 1 hora?</p><p>2 Uma polia de 20 cm de diâmetro está ligada a outra cujo diâmetro é de 40 cm.</p><p>Qual é a rpm da polia menor se a maior gira com 240 rpm?</p><p>cm48ØX</p><p>cm24Ø2ØX</p><p>rpm300</p><p>cm24Ørpm600ØX</p><p>=</p><p>×=</p><p>×=</p><p>rpm750</p><p>80</p><p>100060X</p><p>1000</p><p>X</p><p>80</p><p>60 =×==</p><p>65</p><p>3 Calcular o número de rotações (rpm) da roda conduzida K, de 72 dentes,</p><p>sabendo que a roda condutora H, com 24 dentes, dá 300 rotações (rpm).</p><p>4 Uma casa é construída por 6 pedreiros em 120 dias. Em quantos dias será</p><p>construída a mesma casa se o número de pedreiros aumentar para 24?</p><p>5 Qual é a altura de um monumento que dá 87,50 m de sombra, sabendo-se que</p><p>um pé de árvore com altura de 15 m dá 37,50 m de sombra no mesmo horário?</p><p>6 Um tecelão fez com certa quantidade de fio 26,50 m de pano, tendo ¾ de metro</p><p>de largura. Quantos metros teria ele feito com a mesma quantidade de fio se o</p><p>pano tivesse ½ m de largura?</p><p>6.5 PORCENTAGEM</p><p>É comum ouvir-se expressões como estas:</p><p>“Nesta liquidação há redução de 15% (lê-se quinze por cento) nos preços”.</p><p>“O número de aprovações no vestibular foi de 30% (lê-se trinta por cento)”.</p><p>Veja-se o significado dessas expressões:</p><p>- Se a redução nos preços de qualquer objeto é de 15%, significa que há redução</p><p>de R$ 15,00 no preço de determinado objeto que custa R$ 100,00.</p><p>- Se a aprovação no vestibular foi de 30%, significa que 30 alunos em cada grupo</p><p>de 100 foram aprovados.</p><p>Diz-se, portanto:</p><p>- a porcentagem (ou percentagem) da redução na liquidação é de quinze por</p><p>centro, ou 15%;</p><p>- a porcentagem da aprovação dos alunos no vestibular foi de trinta por cento, ou</p><p>30%.</p><p>Percebe-se, assim, que os problemas de porcentagem são resolvidos através da</p><p>regra de três.</p><p>66</p><p>Exemplos:</p><p>1 Em uma classe de 40 alunos faltaram 15%. Quantos alunos faltaram?</p><p>Como se sabe, 15% significa que, se a classe tivesse 100 alunos, teriam faltado</p><p>15 deles. Mas, como a classe tem 40 alunos, é preciso determinar quantos</p><p>faltaram. Representa-se por X o número de alunos a determinar:</p><p>Alunos da turma alunos que faltaram</p><p>100 15 0</p><p>40 X</p><p>Faltaram 6 alunos.</p><p>2 Em uma turma de 45 alunos 36 foram aprovados. Qual é a percentagem de</p><p>aprovação?</p><p>45 alunos 36 aprovados</p><p>100 alunos X aprovados</p><p>A percentagem de aprovação foi de 80%.</p><p>3 Um televisor colorido que custava R$ 800,00 sofreu um desconto de 10%.</p><p>Quando o consumidor pagará por ele?</p><p>R$ 100,00 R$ 10,00 de desconto</p><p>R$ 800,00 X de desconto</p><p>O valor do desconto é R$ 80,00.</p><p>Valor a pagar: R$ 800,00 – R$ 80,00 ═ R$ 720,00.</p><p>4 Em um lote de 40 peças, 5% ficaram com defeito. Quantas peças ficaram boas?</p><p>100 peças 5 com defeito</p><p>40 peças X com defeito</p><p>2 peças ficaram com defeito. 40 – 2 ═ 38. 38 peças ficaram boas.</p><p>6X</p><p>100</p><p>1540X1540X100</p><p>X</p><p>15</p><p>40</p><p>100 =×=⋅=⋅=</p><p>80X</p><p>45</p><p>10036X</p><p>X</p><p>36</p><p>100</p><p>45 =×==</p><p>00,80$RX</p><p>100</p><p>10800X</p><p>X</p><p>10</p><p>800</p><p>100 =×==</p><p>2X</p><p>100</p><p>540X</p><p>X</p><p>5</p><p>40</p><p>100 =×==</p><p>67</p><p>6.5.1 Exercícios</p><p>1 De uma carga de 8 400 garrafas, apenas 7 728 chegaram intactas a seu destino.</p><p>Qual é a percentagem de garrafas que quebraram?</p><p>2 Em um curso de treinamento de 80 horas, somente recebe certificado quem</p><p>assiste a 80% das aulas. Para ter direito ao certificado, quantas horas no</p><p>máximo poderá faltar um participante?</p><p>3 De uma produção mensal de 15 000 peças fabricadas, 5% apresentam defeito.</p><p>Quantas peças estão em boas condições?</p><p>4 Em 120 litros de fluído refrigerante para o torno entram 20% de óleo solúvel e o</p><p>restante de água. Quantos litros de cada componente entram na mistura?</p><p>68</p><p>69</p><p>7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO</p><p>Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie tomada como</p><p>unidade.</p><p>O sistema adotado no Brasil e na maioria dos países do mundo para medir</p><p>comprimento ou distância é o Sistema Métrico Decimal, cuja unidade é o metro.</p><p>7.1 O METRO E SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS</p><p>Quando é necessário medir objetos pequenos que têm menos de um metro torna-se</p><p>incômodo medi-los em metros. Para isso, existem medidas menores derivadas do</p><p>metro, que são chamadas submúltiplos do metro. Também para medir distâncias ou</p><p>comprimentos maiores que o metro existem medidas derivadas maiores, que são os</p><p>múltiplos do metro.</p><p>No presente estudo dá-se ênfase às medidas menores que o metro, os submúltiplos</p><p>do metro, que interessam mais aos cursos na área da Mecânica.</p><p>unidades derivadas símbolo valor</p><p>múltiplos quilômetro</p><p>hectômetro</p><p>decâmetro</p><p>km</p><p>hm</p><p>dam</p><p>1 000 m</p><p>100 m</p><p>10 m</p><p>unidades metro m 1 m</p><p>submúltiplos decímetro</p><p>centímetro</p><p>milímetro</p><p>micrômetro</p><p>dm</p><p>cm</p><p>mm</p><p>µm</p><p>0,1 m</p><p>0,01 m</p><p>0,001 m</p><p>0,000001 m</p><p>O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um</p><p>intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo (CONMETRO, dez. 1988).</p><p>70</p><p>As réguas graduadas que se usam para fazer medidas em sala de aula têm as</p><p>mesmas divisões do metro. São fabricadas normalmente com 25 ou 30 centímetros.</p><p>Ao colocar quatro réguas de 25 centímetros uma ao lado da outra forma-se um</p><p>comprimento de 100 centímetros, que corresponde a um metro. Partindo do metro,</p><p>isto é, considerando-o como unidade, formam-se outras medidas de comprimento.</p><p>Exemplos:</p><p>Se o metro for dividido em 10 partes iguais, cada uma delas se chama decímetro.</p><p>Se o metro for dividido em 100 partes iguais, cada uma delas se chama centímetro.</p><p>Se o metro for dividido em 1 000 partes iguais, cada uma delas se chama milímetro.</p><p>Os símbolos dessas unidades menores que o metro são:</p><p>decímetro = dm</p><p>centímetro = cm</p><p>milímetro = mm</p><p>Após a análise das divisões que contém o metro, conclui-se que:</p><p>em um metro há dez decímetros: 10 dm</p><p>em um metro há cem centímetros: 100 cm</p><p>em um metro há mil milímetros: 1 000 mm</p><p>Pode-se dizer também que:</p><p>dez milímetros correspondem a um centímetro: 10 mm = 1 cm</p><p>dez centímetros correspondem a um decímetro: 10 cm = 1 dm</p><p>dez decímetros correspondem a um metro: 10 dm = 1 m</p><p>71</p><p>Para escrever medidas com metros e partes menores do metro, como decímetros,</p><p>centímetros e milímetros, é preciso conhecer suas posições. Exemplo:</p><p>Para localizar as posições nesta medida: 2,735 m</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>2, 7 3 5 metros</p><p>1.º parte-se da posição das unidades;</p><p>- nela tem-se os metros, porque a unidade</p><p>indicada ao lado da medida é metro;</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>de</p><p>cí</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>2, 7 3 5 metros</p><p>2.º à direita dos metros, depois da vírgula, ficam</p><p>os decímetros;</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>de</p><p>cí</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>ce</p><p>nt</p><p>ím</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>2, 7 3 5 metros</p><p>3.º depois dos decímetros ficam os centímetros;</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>de</p><p>cí</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>ce</p><p>nt</p><p>ím</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>m</p><p>ilí</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>s</p><p>2, 7 3 5 metros</p><p>4.º mais à direita ainda, depois dos centímetros,</p><p>ficam os milímetros.</p><p>Então, a medida 2,735 representa</p><p>2 metros, 7 decímetros, 3 centímetros e 5 milímetros.</p><p>7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILÍMETRO</p><p>O milímetro é uma unidade de medida muito pequena. No entanto, para medir com</p><p>exatidão, é necessário usar unidades de medidas ainda menores.</p><p>As unidades menores que o milímetro são formadas pela divisão do milímetro em</p><p>10, 100 e 1 000 partes:</p><p>– dividindo o milímetro em 10 partes iguais tem-se o décimo de milímetro, que vale</p><p>0,1 mm;</p><p>– dividindo-o em 100 partes iguais tem-se o centésimo de milímetro, que vale 0,01 mm;</p><p>– dividindo-o em 1 000 partes iguais tem-se o milésimo de milímetro, que vale 0,001 mm.</p><p>72</p><p>Pode-se dizer, também, que</p><p>– dez milésimos correspondem a um centésimo: 10 x 0,0010 mm = 0,01 mm</p><p>– dez centésimos correspondem a um décimo: 10 x 0,010 mm = 0,1 mm</p><p>– dez décimos correspondem a um milímetro: 10 x 0,10 mm = 1 mm.</p><p>Observe as medidas do furo e do eixo das figuras abaixo:</p><p>• O furo mede 20,082 mm;</p><p>• o eixo mede 20,002 mm, ou seja, 0,080 mm menos que o furo;</p><p>assim, a folga entre eles é de 0,080 mm;</p><p>• com esta folga pode-se introduzir o eixo no furo apenas empurrando com a mão.</p><p>Mudando as medidas, o ajuste entre o eixo e o furo se modifica.</p><p>Se o eixo for fabricado com 7 centésimos de milímetro a mais, sua medida vai ser</p><p>20,072 mm. Nesse caso, a folga será de 0,010 mm e o eixo vai precisar de</p><p>pequenas pancadas para ser introduzido no furo.</p><p>Um pequeno aumento na medida do eixo é capaz de modificar bastante o ajuste.</p><p>Por isso, em Mecânica, diferenças de centésimos e milésimos de milímetro precisam</p><p>ser medidas com cuidado.</p><p>73</p><p>Para medir com exatidão de décimos, centésimos e milésimos de milímetro usam-se</p><p>instrumentos especiais. Os instrumentos mais usados são o paquímetro, que mede</p><p>com exatidão de até centésimos de milímetro, e o micrômetro, que mede com</p><p>exatidão de até milésimos de milímetros.</p><p>O milésimo de milímetro é também chamado de micrômetro, símbolo µm.</p><p>7.3 TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS</p><p>Quando se escreve a mesma medida usando unidades diferentes diz-se que se está</p><p>transformando a medida de uma unidade para outra.</p><p>Se for pedido que se corte 1 cm de uma chapa e 0,01 m de outra chapa, cortam-se</p><p>dois pedaços de dimensões iguais, porque a medida de 1 cm é igual à medida de</p><p>0,01 m. A única diferença existente é quanto à unidade de medida que está sendo</p><p>utilizada.</p><p>1 cm 1 centímetro</p><p>0,01 m 1 centésimo de metro</p><p>Para transformar medidas é preciso que se saibam de cor as posições de todas as</p><p>unidades de comprimento. Isto é: faz-se necessário decorar a tabela de posições a</p><p>seguir.</p><p>Tabela de posições – Unidades de comprimento</p><p>km hm dam m dm cm mm dé</p><p>ci</p><p>m</p><p>o</p><p>de</p><p>m</p><p>ilí</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>ce</p><p>nt</p><p>és</p><p>im</p><p>o</p><p>de</p><p>m</p><p>ilí</p><p>m</p><p>et</p><p>ro</p><p>µµµµ</p><p>• • • • • • • • • •</p><p>Exemplos:</p><p>– Converter 32355 mm em m.</p><p>← vírgula</p><p>dam m dm cm mm</p><p>3 2 3 5 5</p><p>dam m dm cm mm</p><p>3 2, 3 5 5</p><p>Neste caso, deve-se correr a vírgula para a esquerda até m. Tem-se, então, 32,355 m.</p><p>74</p><p>– Converter 2,012 m em cm.</p><p>Vírgula →</p><p>m dm cm mm</p><p>2, 0 1 2</p><p>m dm cm mm</p><p>2 0 1, 2</p><p>Neste caso, deve-se correr a vírgula para a direita até cm. Tem-se, então, 201,2 cm.</p><p>Nem sempre a transformação é feita só por mudança da vírgula. Às vezes, é preciso</p><p>colocar ou tirar zeros das medidas, e até mesmo colocar ou tirar as vírgulas.</p><p>– Converter 2,1 m em mm.</p><p>m dm cm mm</p><p>2, 1</p><p>m dm cm mm</p><p>2 1 0 0</p><p>Neste caso, deve-se correr a vírgula para a direita até a casa dos milímetros e, na falta</p><p>de números, acrescentar zeros. Tem-se, então, 2 100 mm.</p><p>– Converter 2,45 m em cm.</p><p>m dm cm mm</p><p>2, 5 5</p><p>m dm cm mm</p><p>2 4 5,</p><p>Neste caso, a vírgula não tem razão de existir. Tem-se, então, 245 cm.</p><p>– Converter 7,3 dm em m.</p><p>m dm cm</p><p>7, 3</p><p>m dm cm</p><p>0, 7 3</p><p>Neste caso, deve-se correr a vírgula para a esquerda até a casa do metro e, na falta de</p><p>números, acrescentar zero. Tem-se, então, 0,73 m.</p><p>75</p><p>7.4 POLEGADA</p><p>Medida inglesa de comprimento equivalente a 25,40 mm.</p><p>A polegada divide-se em meios , quartos , oitavos , dezesseis avos ,</p><p>trinta e dois avos , sessenta e quatro avos , cento e vinte e oito avos .</p><p>Na Mecânica usam-se milésimos e décimos de milésimos de polegada.</p><p>7.5 CONVERSÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS E VICE-VERSA</p><p>Para converter polegadas em milímetros multiplica-se a polegada, ou fração, pelo</p><p>equivalente da polegada em milímetros: 25,4.</p><p>1.º exemplo:</p><p>Converter 2” em milímetros.</p><p>Tem-se: 2 x 25,4 = 50,8 milímetros</p><p>2.º exemplo:</p><p>Converter em milímetros.</p><p>Tem-se: x 25,4 = x 25,4 = 130,175 milímetros</p><p>3.º exemplo:</p><p>Converter em milímetros.</p><p>Tem-se: x 25,4 = 12,7 milímetros</p><p>Para converter milímetros em polegadas, divide-se o número de milímetros pelo</p><p>equivalente da polegada em milímetros.</p><p>4.º exemplo:</p><p>Converter em polegadas 130,175 mm.</p><p>Tem-se:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>8</p><p>8</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>16</p><p>16</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>32</p><p>32</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>64</p><p>64</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>128</p><p>128</p><p>"</p><p>8</p><p>15</p><p>"</p><p>8</p><p>15</p><p>"</p><p>8</p><p>41</p><p>"</p><p>2</p><p>1</p><p>"</p><p>2</p><p>1</p><p>"</p><p>8</p><p>15</p><p>25400</p><p>31755</p><p>25400</p><p>130175</p><p>4,25</p><p>175,130 ===</p><p>76</p><p>7.6 EXERCÍCIOS</p><p>1 Indicar em forma de fração os valores das medidas indicadas na figura.</p><p>A =</p><p>B =</p><p>C =</p><p>2 Indicar em forma de números mistos as medidas indicadas na figura.</p><p>A =</p><p>B =</p><p>C =</p><p>3 Indicar em forma de fração os valores de A, B e C indicados na figura.</p><p>A =</p><p>B =</p><p>C =</p><p>4 Calcular a medida “D” indicada na figura.</p><p>5 Calcular o comprimento “X” da peça indicada na figura.</p><p>77</p><p>6 Calcular o comprimento “X” da peça indicada na figura.</p><p>7 Calcular o comprimento “C” da peça indicada na figura.</p><p>8 Calcular o comprimento “C” da peça indicada na figura.</p><p>9 Calcular o comprimento “C” da peça indicada na figura.</p><p>78</p><p>7.7 PAQUÍMETRO</p><p>Paquímetro é o instrumento utilizado para a medição de peças quando a quantidade</p><p>não justifica</p><p>um instrumental específico e a precisão requerida não desce a menos</p><p>de 0,02 mm, 1” e 0,001” (Fig. 4).</p><p>128</p><p>Figura 4 − Paquímetro</p><p>É um instrumento finamente acabado, com superfícies planas e polidas. O cursor é</p><p>ajustado à régua de modo que permita sua livre movimentação com um mínimo de</p><p>folga. Geralmente é construído em aço inoxidável. Suas graduações referem-se a 20°.</p><p>A escala é graduada em milímetros e polegadas, podendo a polegada ser fracionária</p><p>ou milesimal. O cursor é provido de uma escala chamada nônio ou vernier, que se</p><p>desloca em frente às escalas da régua e indica o valor da dimensão tomada.</p><p>7.7.1 Princípio do Vernier de 0,1 mm</p><p>A escala do cursor, chamada nônio (designação dada pelos portugueses em</p><p>homenagem a Pedro Nunes, a quem é atribuída sua invenção) ou vernier</p><p>(denominação dada pelos franceses em homenagem a Pierre Vernier, que eles</p><p>afirmam ser o inventor), consiste na divisão no valor N de uma escala graduada fixa</p><p>por N.1 (número de divisões) de uma escala graduada móvel (Fig. 5).</p><p>Figura 5 − Escala</p><p>79</p><p>Tomando o comprimento total do nônio, que é igual a 9 mm (Fig. 5), e dividindo pelo</p><p>número de suas divisões (10), conclui-se que cada intervalo da divisão do nônio</p><p>mede 0,9 mm (Fig. 6).</p><p>Figura 6 − Nônio</p><p>Observando a diferença entre uma divisão da escala fixa e uma divisão do nônio</p><p>(Fig. 7), conclui-se que cada divisão do nônio é menor 0,1 mm do que cada divisão</p><p>da escala fixa. Essa diferença é também a aproximação máxima fornecida pelo</p><p>instrumento.</p><p>Figura 7 – Escala nônio</p><p>Assim sendo, fazendo coincidir o primeiro traço do nônio com o da escala fixa, o</p><p>paquímetro estará aberto em 0,1 mm (Fig. 8), coincidindo o segundo traço com 0,2 mm</p><p>(Fig. 9), o terceiro traço com 0,3 mm (Fig. 10), e assim sucessivamente.</p><p>Figura 8 – Posição 0,1 Figura 9 – Posição 0,2 Figura 10 – Posição 0,3</p><p>80</p><p>7.7.2 Paquímetro – Sistema inglês ordinário</p><p>Para efetuar leitura de medida em um paquímetro do sistema inglês ordinário, faz-se</p><p>necessário conhecer bem todos os valores dos traços da escala (Fig. 11).</p><p>Figura 11 – Sistema inglês ordinário</p><p>Assim sendo, ao deslocar-se o cursor do paquímetro até que o traço zero do nônio</p><p>coincida com o primeiro traço da escala fixa, a leitura da medida será 1/16” (Fig. 12),</p><p>no segundo traço, 1/8” (Fig. 13), no décimo traço, 5/8” (Fig. 14).</p><p>Figura 12 –</p><p>Posição 1/16”</p><p>Figura 13 –</p><p>Posição 1/8”</p><p>Figura 14 – Posição 5/8”</p><p>7.7.3 Uso do Vernier (Nônio)</p><p>Através do nônio pode-se registrar no paquímetro várias frações da polegada. O</p><p>primeiro passo é conhecer qual a aproximação (sensibilidade) do instrumento.</p><p>a = e a = 1/16 : 8 = 1/16 x 1/8 = 1/128”</p><p>n</p><p>e = 1/16” a = 1/128”</p><p>n = 8 divisões</p><p>Sabendo que o nônio possui oito divisões, sendo a aproximação do paquímetro</p><p>1/128”, pode-se conhecer o valor dos demais traços (Fig. 15)</p><p>Figura 15 – Nônio em polegadas</p><p>81</p><p>Observando a diferença entre uma divisão da escala fixa e uma divisão do nônio</p><p>(Fig. 16), conclui-se que cada divisão do nônio é menor 1/128” do que cada divisão</p><p>da escala fixa.</p><p>Figura 16 – Nônio e escala em polegadas</p><p>Assim sendo, se o cursor do paquímetro for deslocado até que o primeiro traço de</p><p>nônio coincida com o da escala fixa, a leitura da medida será 1/128” (Fig. 17), o</p><p>segundo traço 1/64” (Fig. 18), o terceiro traço 3/128” (Fig. 19), o quarto traço 1/32”, e</p><p>assim sucessivamente.</p><p>Figura 17 – Posição 1/128” Figura 18 – Posição 1/64” Figura 19 – Posição 3/128”</p><p>OBSERVAÇÃO:</p><p>Para a colocação de medidas, assim como para a leitura de medidas feitas em</p><p>paquímetro do sistema inglês ordinário, utilizam-se os processos a seguir descritos.</p><p>7.7.3.1 Processo para a colocação de medidas</p><p>1.º exemplo − Colocar no paquímetro a medida 33/128”.</p><p>Divide-se o numerador da fração pelo último algarismo do denominador.</p><p>O quociente encontrado na divisão será o número de traços por deslocar na escala</p><p>fixa pelo zero do nônio (4 traços). O resto encontrado na divisão será a concordância</p><p>do nônio, utilizando-se o denominador da fração pedida (128) (Fig. 20).</p><p>128</p><p>33 33 8</p><p>32 4</p><p>1</p><p>82</p><p>Figura 20 – Posição 33/128”</p><p>2.º exemplo − Colocar no paquímetro a medida 45/64” (Fig. 21).</p><p>Figura 21 – Posição 45/64”</p><p>7.7.3.2 Processo para a leitura de medidas</p><p>1.º exemplo − Ler a medida da Figura 22.</p><p>Figura 22 – Posição 49/128”</p><p>Multiplica-se o número de traços da escala fixa ultrapassados pelo zero do nônio</p><p>pelo último algarismo do denominador da concordância do nônio.</p><p>Soma-se o resultado da multiplicação com o numerador, repetindo o denominador</p><p>da concordância.</p><p>"</p><p>128</p><p>33</p><p>"</p><p>64</p><p>45</p><p>"</p><p>128</p><p>49</p><p>45 4</p><p>44 11</p><p>1</p><p>64</p><p>45</p><p>número de traços a</p><p>deslocar pelo zero do</p><p>nônio da escala fixa</p><p>concordância do nônio</p><p>utilizando o denominador da</p><p>fração pedida</p><p>+ "</p><p>128</p><p>49</p><p>6</p><p>x</p><p>"</p><p>128</p><p>1</p><p>=</p><p>83</p><p>2.º exemplo − Ler a medida da Figura 23.</p><p>Figura 23 – Posição 37/64”</p><p>3.º exemplo − Ler a medida da Figura 24.</p><p>Figura 24 - Posição 13/32”</p><p>4.º exemplo − Ler a medida da Figura 25.</p><p>Figura 25 – Posição 1 39/128”</p><p>OBSERVAÇÃO:</p><p>Em medidas como as do exemplo da Figura 25, abandona-se a parte inteira e faz-se</p><p>a contagem dos traços, como se fosse iniciada a operação. Ao final da aplicação do</p><p>processo, inclui-se a parte inteira antes da fração encontrada.</p><p>64</p><p>1</p><p>=+ "</p><p>64</p><p>37</p><p>9</p><p>x</p><p>número de traços da</p><p>escala fixa ultrapassados</p><p>pelo zero do nônio</p><p>concordância</p><p>do nônio</p><p>leitura da</p><p>medida</p><p>+ "</p><p>128</p><p>39</p><p>4</p><p>x</p><p>"</p><p>128</p><p>7</p><p>=</p><p>"</p><p>128</p><p>391</p><p>+ "</p><p>32</p><p>13</p><p>6</p><p>x</p><p>"</p><p>32</p><p>1</p><p>=</p><p>84</p><p>7.7.4 Exercícios</p><p>Fazer as leituras abaixo.</p><p>Respostas</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>11</p><p>12</p><p>13</p><p>14</p><p>85</p><p>7.7.5 Exemplos de paquímetros</p><p>Dos diversos tipos de paquímetros existentes, mostram-se alguns exemplos.</p><p>Figura 26 − Medição interna</p><p>Figura 27 − Medição externa Figura 28 − Medição de</p><p>profundidade</p><p>Figura 29 − Paquímetro de profundidade Figura 30 – Paquímetro com bicos longos para</p><p>medição em posição profunda</p><p>86</p><p>Figura 31− Paquímetro de altura Figura 32 − Paquímetro de altura equipado</p><p>com relógio comparador</p><p>Figura 33 − Paquímetro de nônio duplo para medição da</p><p>espessura de dente de engrenagem</p><p>87</p><p>8 GEOMETRIA PLANA</p><p>8.1 POLÍGONO</p><p>Polígono é a figura plana fechada formada por linha poligonal (quebrada) fechada.</p><p>8.1.1 Polígono regular</p><p>É aquele que tem seus lados e ângulos iguais.</p><p>Exemplos:</p><p>triângulo equilátero quadrado hexágono</p><p>8.1.2 Polígono irregular</p><p>É aquele que não possui todos os lados e ângulos iguais.</p><p>Exemplos:</p><p>retângulo trapézio losango</p><p>8.2 PERÍMETRO</p><p>O contorno de uma figura plana pode ser medido. Essa medida chama-se perímetro.</p><p>Para entender melhor, imagine-se uma figura com o contorno feito em arame. Para</p><p>medir seu perímetro, pode-se abrir o arame até que fique reto, e medir seu</p><p>comprimento.</p><p>88</p><p>A medição do perímetro através desse método é fácil, por ser um contorno de arame</p><p>que pode ser aberto. Mas isso não é possível quando se deseja medir o perímetro</p><p>de um objeto, pois não se pode abri-lo. Uma alternativa é medir o perímetro de um</p><p>objeto com um pedaço de barbante e depois medir o barbante com a rena. Fazendo</p><p>desse modo, pode acontecer de a medida não ser muito exata.</p><p>Cada parte do contorno de uma figura tem uma medida. Para calcular o perímetro,</p><p>basta somar as medidas das partes do contorno.</p><p>Exemplo: Calcular o perímetro da figura:</p><p>1...</p><p>5,0 cm</p><p>5,0 cm</p><p>2,5 cm</p><p>+ 2,5 cm</p><p>15,0 cm</p><p>Às vezes, é preciso medir o comprimento dos lados de uma figura ou objeto. Para</p><p>saber o perímetro da figura abaixo:</p><p>89</p><p>1.º – Mede-se cada lado do contorno.</p><p>2.º Somam-se as medidas dois lados: 2,3 cm + 2,9 cm + 3,0 cm + 2,8 cm =</p><p>2,3 cm</p><p>2,9 cm</p><p>3,0 cm</p><p>+ 2,8 cm</p><p>11,0 cm</p><p>Agora, já se pode dizer que o perímetro desta figura é 11 cm.</p><p>8.3 CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS</p><p>Área é a medida de uma superfície. Para medir uma superfície, isto é, a parte interna</p><p>de uma figura plana, antes de tudo é preciso lembrar que medir uma grandeza é</p><p>compará-la com uma unidade de medida.</p><p>Tomando como unidade a superfície interna de um pequeno quadrado, comparar a</p><p>superfície das figuras A e B com a do quadrado.</p><p>90</p><p>Quantas vezes a unidade, isto é, o quadrado,</p><p>cabe em cada figura? Para responder</p><p>a essa pergunta, começa-se comparando a figura A.</p><p>A superfície da figura A vale o mesmo que a superfície</p><p>de 32 quadrados.</p><p>Então, a medida da superfície de A é 32 unidades.</p><p>Do mesmo modo, pode-se medir a superfície da figura B.</p><p>Contam-se quantos quadrados cabem na figura B. Vê-se que sua superfície mede</p><p>32 unidades. Isso quer dizer que a superfície de A e de B têm a mesma medida.</p><p>Para medir superfícies, isto é, para calcular a área da superfície, também existem</p><p>unidades padrão de medida.</p><p>Utilizam-se as seguintes unidades de medida de superfície:</p><p>Unidades Símbolos</p><p>metro quadrado</p><p>decímetro quadrado</p><p>centímetro quadrado</p><p>milímetro quadrado</p><p>m2</p><p>dm2</p><p>cm2</p><p>mm2</p><p>91</p><p>Um centímetro quadrado é a área da superfície de um quadrado que tem 1 cm de</p><p>lado.</p><p>1 cm este pequeno quadrado tem 1 cm de lado.</p><p>1 cm sua área é chamada 1 centímetro quadrado.</p><p>O símbolo de centímetro quadrado é cm2.</p><p>Para medir uma superfície usando o cm2 como unidade, é preciso compará-la com o</p><p>cm2. Vejam-se os exemplos a seguir.</p><p>8.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE</p><p>Ao estudar medidas de comprimento verifica-se que uma mesma medida pode ser</p><p>dada em unidades diferentes; o mesmo ocorre com as unidades de medida de</p><p>superfície. Pode-se medir uma superfície usando o metro quadrado, o centímetro</p><p>quadrado ou qualquer outra unidade de medida de superfície. Assim, a medida é</p><p>dada na unidade que se escolheu.</p><p>Às vezes pode-se ter a medida em uma unidade, mas precisa-se dela em outra</p><p>unidade. Nesse caso, é só fazer a transformação. Já se viu que, para transformar</p><p>medidas de comprimento, a vírgula é deslocada de uma em uma posição.</p><p>Exemplo: 9,5280 m = 95,280 dm</p><p>dam m dm cm mm</p><p>9, 5 2 8 0</p><p>dam m dm cm mm</p><p>9 5, 2 8 0</p><p>‘</p><p>92</p><p>Com as unidades de superfície a transformação é um pouco diferente: é preciso</p><p>deslocar a vírgula de duas em duas posições.</p><p>Exemplo 1 − Transformar a medida 5,3820 m2 em cm2:</p><p>Primeiro é preciso lembrar que o lugar da unidade de medida é sempre o algarismo</p><p>que fica antes da vírgula.</p><p>dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>5, 38 20</p><p>dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>5 38 20 Resposta: 53 820 cm2</p><p>Exemplo 2 − Transformar a medida 15,75364 m2 em cm2:</p><p>dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>15, 75 36 4</p><p>dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>15 75 36, 4 Resposta: 157 536,4 cm2</p><p>A vírgula andou quatro posições para a direita até o cm2.</p><p>Exemplo 3 − Fazendo outra transformação, escrever a medida 112,5 dm2 em m2:</p><p>112,5 dm2 = 1,125 m2</p><p>Neste caso, a vírgula foi deslocada duas casas para a esquerda.</p><p>Exemplo 4 − Escrever a medida 9,8 m2 em dm2:</p><p>9,8 m2 = 980 dm2</p><p>Aqui foi preciso acrescentar um zero para preencher a posição do dm2, porque o</p><p>dm2 fica duas posições à direita do m2.</p><p>9,5 cm2 = 0,095 dm2</p><p>Aqui foram acrescentados dois zeros, porque a vírgula precisa andar duas posições</p><p>para ir do cm2 até o dm2.</p><p>93</p><p>Outra unidade de medida de superfície é o decímetro quadrado. Um decímetro</p><p>quadrado é a área de um quadrado que tem 1 dm de lado.</p><p>Em uma folha como esta é impossível representar com desenhos em escala natural</p><p>figuras que medem vários decímetros quadrados. O processo para medir áreas em</p><p>dm2 pode ser o mesmo que se usou para medir em cm2.</p><p>O milímetro quadrado é outra unidade de medida e superfície. Um milímetro</p><p>quadrado é a área de um quadradinho de 1 mm de lado.</p><p>Quantos mm2 cabem no cm2?</p><p>1 cm 10 mm</p><p>1 cm2 = 100 mm2</p><p>em um cm2 cabem 100 mm2 1</p><p>cm</p><p>10</p><p>m</p><p>m</p><p>O metro quadrado, a exemplo de outras unidades de medida maiores que o metro, é</p><p>utilizado para a medição de superfícies grandes, cujo processo para determinação</p><p>de medida das áreas é o mesmo que o usado anteriormente.</p><p>No quadro a seguir estão representadas as unidades de medida de superfície.</p><p>Unidades maiores que o metro quadrado Unidades menores que o metro quadrado</p><p>no</p><p>m</p><p>e quilômetro</p><p>quadrado</p><p>hectômetro</p><p>quadrado</p><p>decâmetro</p><p>quadrado</p><p>metro</p><p>quadrado</p><p>decímetro</p><p>quadrado</p><p>centímetro</p><p>quadrado</p><p>milímetro</p><p>quadrado</p><p>sí</p><p>m</p><p>bo</p><p>lo</p><p>km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>de</p><p>fin</p><p>iç</p><p>ão área de</p><p>quadrado</p><p>com 1 km</p><p>de lado</p><p>área de</p><p>quadrado</p><p>com 1 hm</p><p>de lado</p><p>área de</p><p>quadrado</p><p>com 1 dam</p><p>de lado</p><p>área de</p><p>quadrado</p><p>com 1 m</p><p>de lado</p><p>área de</p><p>quadrado</p><p>com 1dm</p><p>de lado</p><p>área de</p><p>quadrado</p><p>com 1 cm</p><p>de lado</p><p>área de</p><p>quadrado</p><p>com 1 mm</p><p>de lado</p><p>94</p><p>8.5 MODO PRÁTICO DE CALCULAR ÁREAS</p><p>Nem sempre é possível medir a superfície de uma figura contando as unidades de</p><p>medida que cabem nela. Existe um modo mais prático para calcular a área de uma</p><p>superfície.</p><p>8.5.1 Área do retângulo</p><p>Para calcular a área da superfície retangular, mede-se a largura e o comprimento do</p><p>retângulo, e depois multiplicam-se essas medidas: comprimento x largura.</p><p>Exemplo:</p><p>6 cm</p><p>3</p><p>cm</p><p>Medindo os lados do retângulo,</p><p>vê-se que tem 3 cm de largura e</p><p>6 cm de comprimento.</p><p>6 cm</p><p>3</p><p>cm Como o comprimento mede 6 cm,</p><p>ao longo dele cabe uma fila com 6 cm2.</p><p>6 cm</p><p>3</p><p>cm</p><p>Como a largura é 3 cm, quer</p><p>dizer que, no retângulo todo,</p><p>cabem três filas de 6 cm2.</p><p>6 cm</p><p>3</p><p>cm</p><p>Então, como 3 x 6 = 18, no</p><p>retângulo todo cabem 18 cm2.</p><p>Resultado, a área de retângulo de 3 cm por 6 cm é igual a 18 cm2. Conclui-se que a</p><p>área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura. Esta regra vale também</p><p>quando os lados têm uma medida decimal.</p><p>Exemplo: Calcular a área do retângulo abaixo.</p><p>95</p><p>Este retângulo tem 3,2 cm de largura e 7,4 cm de comprimento. É preciso multiplicar</p><p>7,4 por 3,2 para achar a área:</p><p>7,4</p><p>x 3,2</p><p>148</p><p>+ 222 0</p><p>23,68</p><p>Neste caso, a área do retângulo é 23,68 cm2. O resultado ficou em centímetros</p><p>porque os lados dos retângulos foram medidos em centímetros. Quando os lados</p><p>estão em milímetros, a área fica em mm2; quando estão em metros, fica em m2.</p><p>Às vezes, as medidas são dadas em unidades diferentes, e então não se pode</p><p>simplesmente multiplicar uma pela outra. Neste caso, para calcular a área é preciso</p><p>decidir em que unidade se deseja obter o resultado.</p><p>Exemplo:</p><p>Se for decidido obter o resultado em centímetros, deve-se transformar os 37 mm em</p><p>centímetros para, depois, calcular a área do retângulo.</p><p>37 mm = 3,7 cm</p><p>3,7 cm</p><p>x 5,5 cm</p><p>185</p><p>+ 185 0</p><p>Resposta: 20,35 cm2</p><p>8.5.2 Área do quadrado</p><p>O cálculo da área do quadrado é feito da mesma forma que o do retângulo, com a</p><p>diferença de, no quadrado, a largura e o comprimento terem a mesma medida.</p><p>96</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular a área de um quadrado com 31,5 mm de lado.</p><p>Como a figura é um quadrado, o comprimento é igual à largura.</p><p>comprimento = 31,5 31,5 mm</p><p>largura = 31,5 x 31,5 mm</p><p>157 5</p><p>315</p><p>+ 945 0</p><p>992,25 mm2</p><p>Resultado: a área do quadrado é 992,25 mm2.</p><p>Pode ser necessário calcular a área de uma figura que não é um retângulo nem um</p><p>quadrado. Exemplo:</p><p>Pode-se imaginar que a figura é formada por partes. Assim:</p><p>Desse modo, forma-se um quadrado de 32 mm mais um retângulo de 30 mm x 12 mm.</p><p>área do quadrado 32 x 32 = 1 024</p><p>área do retângulo 30 x 12 = 360</p><p>Total 1 024 + 360 = 1 384</p><p>Todas as medidas são em milímetros. Então, a área da figura é 1 384 mm2.</p><p>97</p><p>Há duas outras maneiras de imaginar a mesma figura.</p><p>Dessa maneira, forma-se um retângulo de 32 mm por 20 mm mais um retângulo de</p><p>62 mm por 12 mm.</p><p>áreas 32 x 20 = 640</p><p>62 x 12 = 744</p><p>Total 640 + 774 = 1 384 área da figura: 1 384 mm2</p><p>Dessa maneira, forma-se um retângulo de 32 mm por 62 mm, do qual deve ser</p><p>subtraído um retângulo de 20 mm por 30 mm.</p><p>áreas 32 mm x 62 mm = 1 984 mm2</p><p>20 mm x 30 mm = 600 mm2</p><p>Total 1 984 mm2 − 600 mm2 = 1 384 mm2 área da figura: 1 384 mm2</p><p>8.5.3 Área do paralelogramo</p><p>O retângulo EBCF é equivalente ao paralelogramo ABCD, porque os triângulos ABE</p><p>e DCF são iguais.</p><p>Logo, pode-se concluir que a área do paralelogramo é igual ao produto da base pela</p><p>altura.</p><p>hBA ⋅=</p><p>98</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular a área do paralelogramo de 3,.72 m de base e 1,8 m de altura.</p><p>Fórmula: A = B x h</p><p>A = 3,7 m x 1,8 m 3,72 m</p><p>x 1,8 m</p><p>2 976 m</p><p>base = 3,72 m 3 72 m 0</p><p>altura = 1,8 m 6,696 m2</p><p>Resultado: a área do paralelogramo é 6,696 m2.</p><p>8.5.4 Área do triângulo</p><p>Considerando o triângulo</p><p>ABC, traçado pelos vértices B e D paralelos aos lados AD</p><p>e AB, respectivamente, forma-se o paralelogramo ABCD, equivalente à soma dos</p><p>triângulos ABD e BCD.</p><p>Portanto, a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular a área do triângulo cuja base mede 14,7 m e a altura, 1,4 m.</p><p>Fórmula:</p><p>14,7 m</p><p>x 1,4 m</p><p>588</p><p>147 0</p><p>20,58 m2 2</p><p>00 5 10,29 m2</p><p>4</p><p>18</p><p>base = 14,7 m 0</p><p>altura = 1,4 m</p><p>Resultado: a área do triângulo é 10,29 m2.</p><p>2</p><p>hBA ⋅=</p><p>2</p><p>hBA ⋅=</p><p>2</p><p>4,17,14 mmA ⋅=</p><p>99</p><p>8.5.5 Área do trapézio</p><p>A diagonal, linha que une dois vértices não-consecutivos BD, divide o trapézio em</p><p>dois triângulos.</p><p>Sendo a área do trapézio equivalente à soma dos dois triângulos ABD e BDC, se</p><p>bases B1 e b2 respectivamente, e de mesmas alturas, a área do trapézio será igual</p><p>ao produto da semi-soma das bases pela altura.</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular a área do trapézio cujas medidas são:</p><p>base maior (b1) = 12 m 12 m</p><p>base menor (b2) = 8 m A = (12 m + 8 m) x 5 m + 8 m</p><p>altura (h) = 5 m 2 20 m 2</p><p>00 10 m</p><p>Fórmula: A = b1 + b2 . h x 5</p><p>2 50 m2</p><p>Resultado: a área do trapézio é 50 m2.</p><p>8.5.6 Área do losango</p><p>Traçando pelo vértice do losango paralelas às suas diagonais, forma-se o retângulo.</p><p>O retângulo cujas dimensões dos lados correspondem às dimensões das diagonais</p><p>do losango é formado por oito triângulos iguais (ABS, ACO, CDE, CEO, EFG, EGO,</p><p>GHA, GAO). Como o losango é constituído por quatro desses triângulos, então a</p><p>área do losango é a metade da área do retângulo.</p><p>Logo, a área do losango é a metade do produto de suas diagonais.</p><p>hbbA ⋅+=</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>CGAEA ×=</p><p>100</p><p>2RA ×= π</p><p>2</p><p>DR = 4</p><p>D</p><p>2</p><p>DA</p><p>22 π=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π=</p><p>4</p><p>DA</p><p>2π=</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular a área do losango sabendo que suas diagonais medem, respectivamente,</p><p>9 m e 4 m.</p><p>Fórmula: 9 m</p><p>x 4 m</p><p>36 2</p><p>16 18 m2</p><p>0</p><p>Resultado: a área do losango é 18 m2.</p><p>8.5.7 Área do círculo</p><p>Sendo “O” um ponto qualquer do plano e “R” número real maior que zero, define-se</p><p>o círculo de raio “R” como sendo o conjunto de todos os pontos “X” tais que suas</p><p>distâncias do ponto “O” sejam menores ou iguais ao número “R”.</p><p>C = perímetro</p><p>D = diâmetro do círculo</p><p>R = raio do círculo</p><p>A área do círculo é igual ao produto de π pelo quadrado do raio como</p><p>temos:</p><p>Exemplo:</p><p>Achar a área de um círculo de raio igual a 5 m.</p><p>Fórmula: A = π R2</p><p>A = 3,1416 x (5 m)² 3,1416</p><p>A = 3,1416 x 25 m² x 25</p><p>1 57080</p><p>+ 6 2832 0</p><p>78,5400</p><p>Resultado: a área do círculo é 78,54 m².</p><p>2RA ×= π</p><p>RRC ⋅=⋅⋅= ππ</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>DC ⋅= π</p><p>101</p><p>FORMULÁRIO</p><p>R</p><p>ET</p><p>Â</p><p>N</p><p>G</p><p>U</p><p>LO</p><p>baA ⋅=</p><p>Q</p><p>U</p><p>A</p><p>D</p><p>R</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>2aA =</p><p>TR</p><p>IÂ</p><p>N</p><p>G</p><p>U</p><p>LO</p><p>2</p><p>haA ⋅= PA</p><p>R</p><p>A</p><p>LE</p><p>LO</p><p>G</p><p>R</p><p>A</p><p>M</p><p>O</p><p>haA ⋅=</p><p>TR</p><p>A</p><p>PÉ</p><p>ZI</p><p>O</p><p>2</p><p>h)bB(A ⋅+=</p><p>LO</p><p>SA</p><p>N</p><p>G</p><p>O</p><p>2</p><p>dDA ⋅=</p><p>C</p><p>ÍR</p><p>C</p><p>U</p><p>LO</p><p>2RA ⋅π=</p><p>SE</p><p>TO</p><p>R</p><p>C</p><p>IR</p><p>C</p><p>U</p><p>LA</p><p>R</p><p>α em graus</p><p>360</p><p>RA</p><p>2⋅π⋅α=</p><p>α em radianos</p><p>2</p><p>RA</p><p>2⋅α=</p><p>C</p><p>O</p><p>R</p><p>O</p><p>A</p><p>C</p><p>IR</p><p>C</p><p>U</p><p>LA</p><p>R</p><p>)rR(A 22 −⋅π= SE</p><p>G</p><p>M</p><p>EN</p><p>TO</p><p>C</p><p>IR</p><p>C</p><p>U</p><p>LA</p><p>R</p><p>α em radianos</p><p>)sen(</p><p>2</p><p>RA</p><p>2</p><p>α−α⋅=</p><p>α</p><p>α</p><p>102</p><p>8.6 MEDIDA ENTRE AS FACES DE UM POLÍGONO REGULAR</p><p>Para determinar a medida A de um polígono, representado no exemplo pelo</p><p>hexágono, basta aplicar a seguinte fórmula: A = D 0</p><p>constante</p><p>Tabela das constantes pelas quais devem ser multiplicadas as medidas entre as</p><p>faces para se obter o diâmetro.</p><p>n.º de divisões constante n.º de divisões constante</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>1,41421</p><p>1,15470</p><p>1,08239</p><p>1,05146</p><p>1,03528</p><p>14</p><p>16</p><p>18</p><p>20</p><p>1,02572</p><p>1,01959</p><p>1,01545</p><p>1,01247</p><p>8.6.1 Exercícios</p><p>Determinar a medida “x” dos polígonos a seguir:</p><p>8.7 DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS EM PARTES IGUAIS</p><p>103</p><p>É comum, nos trabalhos em oficina, contar-se com o profissional que determina a</p><p>abertura do compasso para dividir uma circunferência em partes iguais. Para isso,</p><p>basta aplicar um cálculo simplificado com o auxílio da tabela que se apresenta na</p><p>página a seguir.</p><p>8.7.1 Aplicação da tabela de constante</p><p>Exemplo:</p><p>Determinar a abertura do compasso para dividir uma circunferência de Ø 44 mm em</p><p>cinco partes iguais.</p><p>Solução – Multiplica-se o diâmetro pela constante dada na tabela correspondente ao</p><p>número de divisões.</p><p>L = D x constante = 44 x 0,587 = 25,8</p><p>104</p><p>n.º de divisões constante n.º de divisões constante</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>11</p><p>12</p><p>13</p><p>14</p><p>15</p><p>16</p><p>17</p><p>18</p><p>0,866</p><p>0,707</p><p>0,587</p><p>0,500</p><p>0,433</p><p>0,382</p><p>0,342</p><p>0,309</p><p>0,281</p><p>0,258</p><p>0,239</p><p>0,222</p><p>0,207</p><p>0,195</p><p>0,183</p><p>0,173</p><p>19</p><p>20</p><p>21</p><p>22</p><p>23</p><p>24</p><p>25</p><p>26</p><p>27</p><p>28</p><p>29</p><p>30</p><p>31</p><p>32</p><p>33</p><p>34</p><p>0,164</p><p>0,156</p><p>0,149</p><p>0,142</p><p>0,136</p><p>0,130</p><p>0,125</p><p>0,120</p><p>0,116</p><p>0,111</p><p>0,108</p><p>0,104</p><p>0,101</p><p>0,098</p><p>0,095</p><p>0,092</p><p>8.8 ÂNGULOS</p><p>Ângulo é a figura formada por duas retas que tem um ponto em comum.</p><p>As retas que formam o ângulo chamam-se lados; o ponto de encontro dos lados</p><p>chama-se vértice do ângulo. Designa-se um ângulo pela letra do vértice. Assim, diz-</p><p>se ângulo Ô (Fig. 34).</p><p>Figura 34 – Ângulo Ô</p><p>8.8.1 Ângulos consecutivos</p><p>Dois ângulos são consecutivos (AÔB e BÔC na Fig. 35) quando possuem o vértice e</p><p>um lado comum.</p><p>105</p><p>No caso do ângulo da Figura 35, o lado comum é BO. Pode-se designar um ângulo</p><p>por uma letra ou um número (com acento circunflexo) colocado em seu interior ou</p><p>pelas letras que indicam o vértice e os lados, sendo que, nesse caso, a letra</p><p>representativa do vértice vem entre as duas outras. Assim, na Figura 35 tem-se</p><p>AÔB.</p><p>Figura 35 – Ângulos consecutivos</p><p>8.8.2 Ângulos adjacentes</p><p>São chamados adjacentes dois ângulos consecutivos cujos lados exteriores são</p><p>semi-retas opostas (AÔB e BÔC na Fig. 36).</p><p>Figura 36 – Ângulos adjacentes</p><p>8.8.3 Bissetriz</p><p>Chama-se bissetriz de um ângulo a semi-reta que, a partir do vértice, o divide ao</p><p>meio (OC na Fig. 37).</p><p>Figura 37 – Bissetriz</p><p>8.8.4 Ângulos opostos pelo vértice</p><p>Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas</p><p>opostas dos lados do outro (AÔB e A’ÔB’ na Fig. 38).</p><p>B</p><p>106</p><p>Figura 38 – Ângulos opostos pelo vértice</p><p>8.8.5 Ângulo reto</p><p>O ângulo reto é formado por perpendiculares (Fig. 39).</p><p>Figura 39 – Ângulo reto</p><p>8.8.6 Ângulo agudo</p><p>Diz-se que um ângulo é agudo quando é menor que um ângulo reto (Fig. 40).</p><p>Figura 40 – Ângulo agudo</p><p>8.8.7 Ângulo raso</p><p>Um ângulo é chamado raso quando seus lados são semi-retas opostas (AO e OB na</p><p>Fig. 41).</p><p>Figura 41 – Ângulo raso</p><p>107</p><p>8.8.8 Ângulos complementares, suplementares e replementares</p><p>Os ângulos são complementares quando sua soma vale um ângulo reto (90°). O</p><p>ângulo de 30°, por exemplo, é complemento de 60°, pois a soma (60° + 30°) é igual</p><p>a 90°.</p><p>São chamados suplementares quando sua soma vale um ângulo raso (180°). O</p><p>ângulo de 20° é suplemento de 160°, pois sua soma (160° + 20°) é igual a 180°. Já</p><p>nos ângulos replementares a soma vale um ângulo de 360°. O ângulo de 80° é</p><p>replemento de 280°, pois a soma (280° + 80°) é igual a 360°.</p><p>8.8.9 Medidas de ângulos</p><p>Para medir ângulos utiliza-se o grau “ ° ” e o radiano “rad”.</p><p>Um grau é definido como a medida do ângulo central submetido por um arco igual a</p><p>1/360 da circunferência que contém o arco. O grau, por sua vez, tem dois</p><p>submúltiplos: o minuto, cujo símbolo é uma aspa (’) que se coloca acima e à direita</p><p>do número, e o segundo, simbolizado por dupla aspa (”), escrita ao lado do número,</p><p>da mesma forma que o minuto. O sistema utilizado é o sexagesimal.</p><p>As relações entre o grau, o minuto e o segundo são as seguintes: 1 grau equivale a</p><p>60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos. Assim, 1 grau equivale a 3 600</p><p>segundos. 1° = 60’ = 3 600”</p><p>Exemplo: 32° 42’ 28”</p><p>Um radiano é definido como a medida de um ângulo central submetido por um arco</p><p>igual ao raio da circunferência que contém o arco. O sistema utilizado é o circular.</p><p>8.8.10 Adição de ângulos</p><p>Para a adição de ângulos somam-se entre si as parcelas homônimas. Ou seja: os</p><p>graus são somados entre si, os minutos entre si e os segundos entre si.</p><p>Exemplo:</p><p>a) 42° 27’ 48”</p><p>+ 22° 33’ 42”</p><p>64° 60’ 90”</p><p>Como 90” são constituídos por 1’ mais 30”, pode-se</p><p>escrever da seguinte forma:</p><p>64° 60’ 30”</p><p>+ 1’ 0</p><p>64° 61’ 30”</p><p>108</p><p>Como 61’ contêm 1° mais 1’, pode-se escrever: 65° 1’ 30”</p><p>a) 28° 35’ 47”</p><p>+ 12° 28’ 50”</p><p>40° 63’ 97”</p><p>que corresponde a 40° 64’ e 37” e, por fim, a 41° 4’ 37”.</p><p>8.8.11 Subtração de ângulos</p><p>Para subtrair ângulos procede-se da mesma forma que se usou para somá-los.</p><p>Exemplo:</p><p>43° 35’ 40”</p><p>– 12° 24’ 31”</p><p>31° 11’ 9”</p><p>OBSERVAÇÃO:</p><p>Caso o número que expressa os minutos ou segundos do subtraendo seja maior que</p><p>seu correspondente no minuendo, é preciso efetuar o empréstimo à unidade</p><p>imediatamente superior. Exemplo:</p><p>a) 24° 12’ 38”</p><p>– 12° 8’ 45”0</p><p>Como 45” do subtraendo é maior que 38” do minuendo, retira-se 1’ dos 12’ do</p><p>subtraendo, transforma-se este minuto em segundos e somam-se os últimos aos</p><p>38”.</p><p>24° 11’ 98”</p><p>– 12° 8’ 45”0</p><p>12° 3’ 53”</p><p>b) 33° 23’ 40”</p><p>– 28° 40’ 48”0</p><p>Transforma-se 1’ em 60”:</p><p>33° 22’ 100”</p><p>– 28° 40’ 48”0</p><p>Em seguida, transforma-se 1° em 60’:</p><p>32° 82’ 100”</p><p>– 28° 40’ 48”0</p><p>4° 42’ 52”</p><p>109</p><p>8.9 TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>Uma das aplicações da raiz quadrada é a resolução de certos problemas de</p><p>triângulos. Como exemplo tem-se aqueles em que, conhecidos dois lados do</p><p>triângulo retângulo, se procura determinar o terceiro lado. Com efeito, nos triângulos</p><p>retângulos – todos os que possuem um ângulo reto, isto é, 90° (Fig. 42) – o lado</p><p>maior é chamado hipotenusa, e os outros dois, catetos.</p><p>Figura 42 – Triângulo retângulo</p><p>Em todos os triângulos retângulos o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos</p><p>quadrados dos catetos (teorema de Pitágoras).</p><p>Figura 43 – Quadrados dos catetos</p><p>Observando o exemplo do triângulo retângulo da Figura 43, vê-se que os quadrados</p><p>formados pelos catetos b e c são, respectivamente</p><p>b2 = 82 = 64</p><p>c2 = 62 = 36</p><p>Somando os quadrados destes catetos, tem-se:</p><p>b2 + c2 = 64 + 36 = 100</p><p>110</p><p>A hipotenusa, por sua vez, mede 10 cm. Logo, seu quadrado é:</p><p>a2 = 102 = 100</p><p>Como b2 + c2 (soma do quadrado dos catetos) é também igual a 100, pode-se</p><p>escrever: a2 = b2 + c2</p><p>8.9.1 Exercícios – Relação de Pitágoras</p><p>1 Calcular a distância “X” entre os centros dos furos.</p><p>2 Calcular o comprimento “X” do cone.</p><p>3 Calcular a profundidade de fresar “P”.</p><p>4 Calcular o comprimento “A”.</p><p>111</p><p>9 GEOMETRIA ESPACIAL</p><p>9.1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS)</p><p>As figuras planas pertencem totalmente a um plano, por isso possuem duas dimensões:</p><p>comprimento e largura.</p><p>Observe-se, no plano ∝ , o retângulo e suas dimensões.</p><p>Figura 44 − Retângulo e suas dimensões</p><p>A mesma figura pode ser representada em outra posição.</p><p>Figura 45 − Retângulo e suas dimensões em posição alternada</p><p>112</p><p>Agora observe-se, no mesmo plano, uma figura geométrica.</p><p>Figura 46 − Figura geométrica</p><p>A figura tem três dimensões. As figuras geométricas que possuem três dimensões −</p><p>isto é, comprimento, largura e altura − chamam-se sólidos geométricos.</p><p>Um sólido geométrico nunca pertence a um só plano; sempre ocupa uma parte no</p><p>espaço. Por isso, os sólidos geométricos também são chamados figuras espaciais.</p><p>Assim como as retas são formadas a partir de pontos, os sólidos geométricos são</p><p>formados a partir de figuras planas.</p><p>9.1.1 Prismas</p><p>Quando um sólido geométrico é formado pelo deslocamento de um polígono em</p><p>direção determinada, recebe o nome de prisma.</p><p>Figura 47 − Prisma</p><p>As bases de um prisma são paralelas e congruentes, isto é, a base superior tem as</p><p>mesmas medidas da base inferior.</p><p>Os prismas recebem nomes de acordo com o polígono que lhes deu origem. Quando</p><p>a superfície plana que lhe dá origem é um quadrado, tem-se um prisma de base</p><p>quadrada. Mas, se a figura que dá origem ao prisma é um retângulo, tem-se um</p><p>prisma de base retangular.</p><p>113</p><p>Denomina-se prisma reto aquele que tem as arestas das faces laterais perpendi-</p><p>culares às bases.</p><p>prisma reto de base quadrada prisma reto de base retangular</p><p>prisma reto de base triangular prisma reto de base hexagonal</p><p>Figura 48 − Prismas retos</p><p>9.1.2 Pirâmides</p><p>A pirâmide é outro tipo de sólido geométrico.</p><p>Quando um sólido geométrico é formado a partir de um polígono em que todos os</p><p>pontos se ligam a um único ponto fora do plano chamado vértice do polígono,</p><p>recebe o nome de pirâmide.</p><p>Figura 49 − Pirâmide</p><p>O polígono a partir do qual é formada a pirâmide chama-se base de pirâmide. As</p><p>pirâmides recebem nomes de acordo com os polígonos que lhe deram origem.</p><p>114</p><p>pirâmide de base</p><p>quadrada</p><p>pirâmide de base</p><p>hexagonal</p><p>pirâmide de base</p><p>triangular</p><p>pirâmide de base</p><p>retangular</p><p>Figura 50 − Nome das pirâmides</p><p>9.1.3 Cilindro, cone e esfera</p><p>Os sólidos geométricos formados a partir de uma figura plana que gira em volta de</p><p>um eixo de rotação chamam-se sólidos de revolução.</p><p>Quando um sólido de revolução é formado a partir de um retângulo, recebe o nome</p><p>de cilindro reto.</p><p>Figura 51 − Cilindro</p><p>Quando um sólido de revolução é formado a partir de um triângulo com os ângulos</p><p>da base congruentes e o eixo de rotação passando pelo vértice e pelo meio da base,</p><p>recebe o nome de cone reto.</p><p>Figura 52 − Cone</p><p>115</p><p>Quando o sólido de revolução é formado a partir de um círculo com o eixo passando</p><p>por um de seus diâmetros, recebe o nome de esfera.</p><p>Figura 53 − Esfera</p><p>Como a esfera é formada a partir de um círculo, não é oca. Sua parte externa é</p><p>chamada de superfície da esfera ou superfície esférica.</p><p>9.2 CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS</p><p>Volume de um corpo é o espaço ocupado por ele. É o número que exprime sua</p><p>medida.</p><p>Para medir o volume é preciso escolher uma unidade de medida para compará-lo.</p><p>Essas unidades são os cubos, cujas arestas medem uma unidade de comprimento</p><p>do Sistema Internacional de Medidas.</p><p>Exemplos:</p><p>Cubo com 1 metro de aresta ou cubo com 1 decímetro de aresta</p><p>O metro cúbico é o volume de um cubo</p><p>com arestas que medem 1 metro.</p><p>O símbolo do metro cúbico é m3.</p><p>O decímetro cúbico é o volume de um cubo</p><p>com arestas que medem 1 decímetro.</p><p>O símbolo do decímetro cúbico é dm3.</p><p>Figura 54 – Volumes</p><p>O metro cúbico (m3) é a unidade legal dos volumes e é o volume de um cubo de 1 m</p><p>de aresta.</p><p>116</p><p>Quadro de unidades de volume</p><p>múltiplos Unidades Submúltiplos</p><p>quilômetro</p><p>cúbico</p><p>hectômetro</p><p>cúbico</p><p>decâmetro</p><p>cúbico</p><p>metro</p><p>cúbico</p><p>decímetro</p><p>cúbico</p><p>centímetro</p><p>cúbico</p><p>milímetro</p><p>cúbico</p><p>km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3</p><p>1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3</p><p>Como se vê no quadro dos múltiplos e submúltiplos, a variação dessa unidade é de</p><p>1 000 em 1 000. Constitui, portanto, um sistema milesimal, pois</p><p>1 m3 = 1 000 dm3</p><p>1 dm3 = 1 000 cm3</p><p>1 cm3 = 1 000 mm3</p><p>Na prática, somente se emprega o metro cúbico (m3) e seus submúltiplos.</p><p>9.2.1 Mudança de unidades de volume</p><p>A mudança de unidades é feita deslocando-se a vírgula três casas à direita (para a</p><p>unidade imediatamente inferior) ou três casas à esquerda (para a imediatamente</p><p>superior), suprindo de zeros caso faltem algarismos.</p><p>Exemplos:</p><p>a) Representar 21,7 m3 em cm3: Solução: m3 dm3 cm3</p><p>21, 700 000,</p><p>Resposta: 21,7 m3 = 21 700 000 cm3</p><p>b) Converter 38,467 cm3 em m3: Solução: m3 dm3 cm3 mm3</p><p>000, 000 038, 467</p><p>Resposta: 38,467 cm3 = 0,000 038 467 m3</p><p>9.2.2 Cálculo de volumes</p><p>De modo geral, o volume dos prismas e do círculo é calculado multiplicando-se a</p><p>área da base pela medida da altura. Isto é:</p><p>V = B . h onde b representa a área da base e h a medida da altura.</p><p>117</p><p>9.2.2.1 Volume do cubo − O cubo é o sólido limitado por seis faces congruentes. Seu</p><p>volume é calculado elevando-se a medida da aresta do cubo. Isto é:</p><p>V = a3</p><p>Se a = 20 cm, então:</p><p>V = a3</p><p>V = (20 cm)3</p><p>V = 20 cm x 20 cm x 20 cm</p><p>V = 8 000 cm3</p><p>9.2.2.2 Volume do paralelepípedo retângulo − É o sólido geométrico que possui seis</p><p>faces retangulares congruentes duas a duas. Seu volume é determinado pelo</p><p>produto de suas três dimensões. Isto é:</p><p>V = A.B.C</p><p>Se A = 3 cm</p><p>B = 10 cm</p><p>C = 5 cm, então:</p><p>V = A.B.C</p><p>V = 3 cm x 10 cm x 5 cm</p><p>V = 150 cm3</p><p>9.2.2.3 Volume do cilindro de revolução − É o sólido gerado por um retângulo que</p><p>gira em torno de um dos lados. Seu volume é obtido multiplicando-se a área da base</p><p>(πr2) pela medida da altura (h). Isto é:</p><p>Se D = 20 cm</p><p>r = 10 cm</p><p>h = 20 cm, então:</p><p>V = π.r2.h</p><p>V = 3,14. (10 cm)2 . 20 cm</p><p>V = 6 280 cm3</p><p>9.2.2.4 Volume da pirâmide − É o sólido limitado por um polígono qualquer e por</p><p>triângulos que têm vértices comuns. O polígono é a base e os triângulos são as</p><p>faces da pirâmide; as pirâmides classificam-se de acordo com as bases.</p><p>hr ⋅⋅= 2V π</p><p>118</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅⋅⋅ hr 2</p><p>3</p><p>1 π</p><p>3</p><p>2 hrV ⋅⋅= π</p><p>O segmento de reta perpendicular à base a partir do vértice comum chama-se altura</p><p>da pirâmide.</p><p>Determina-se o volume da pirâmide multiplicando um terço da área da base pela</p><p>altura. Isto é:</p><p>Sb = área da base</p><p>h = altura</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular o volume da pirâmide de base retangular abaixo representada (medidas em</p><p>mm):</p><p>V = 125 000 mm³</p><p>9.2.2.5 Volume do cone − É o sólido gerado por um triângulo retângulo que gira em</p><p>torno de um de seus catetos. Seu volume é obtido pelo produto de um terço da área</p><p>pela altura (h). Isto é:</p><p>Se D = 12 cm</p><p>r = 6 cm</p><p>h = 10 cm, então:</p><p>V = 1 π r2 h</p><p>3</p><p>V = 1 . 3,14 . (6 cm)2 . 10 cm</p><p>3</p><p>V = 376,800 cm3</p><p>Sb = X . YhSb ⋅⋅=</p><p>3</p><p>1V</p><p>75h</p><p>500050100Sb</p><p>hSb</p><p>3</p><p>1V</p><p>=</p><p>=×=</p><p>⋅⋅=</p><p>( ) 755000</p><p>3</p><p>1V ⋅⋅=</p><p>119</p><p>( )bBbB AAAAhV ⋅++⋅=</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅++⋅= rRrRhV 22</p><p>3</p><p>.π</p><p>9.2.2.6 Volume do tronco de pirâmide</p><p>onde:</p><p>h = medida da altura</p><p>AB = área da base maior</p><p>Ab = área da base menor</p><p>9.2.2.7 Volume do tronco de cone</p><p>onde:</p><p>π = 3,14</p><p>h = medida da altura</p><p>R = medida do raio maior (D/2)</p><p>r = medida do raio menor (d/2)</p><p>9.2.2.8 Volume da esfera</p><p>ou</p><p>onde:</p><p>π = 3,14</p><p>r = medida do raio de esfera</p><p>D = diâmetro</p><p>3</p><p>3</p><p>4 rV ⋅⋅= π</p><p>6</p><p>3DV ⋅= π</p><p>120</p><p>3</p><p>2 hrV ⋅⋅= π </p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅++⋅= rRrRhV 22</p><p>3</p><p>.π</p><p>9.2.3 Formulário para o cálculo de volumes</p><p>cubo</p><p>V = a3</p><p>paralelepípedo</p><p>retângulo</p><p>V = A.B.C</p><p>cilindro</p><p>V = π r2 . h</p><p>pirâmide</p><p>cone tronco de cone</p><p>tronco de pirâmide esfera</p><p>hSb ⋅⋅=</p><p>3</p><p>1V</p><p>( )bBbB AAAAhV ⋅++⋅=</p><p>3 6</p><p>3DV ⋅= π</p><p>121</p><p>10 TRIGONOMETRIA</p><p>Neste capítulo será estudado um meio de calcular os lados e ângulos de um</p><p>triângulo retângulo mediante determinadas relações que são chamadas relações</p><p>trigonométricas. Para isso, primeiramente é preciso que o aluno esteja seguro do</p><p>que se chama de cateto e cateto adjacente.</p><p>Observar o triângulo retângulo abaixo e completar as frases:</p><p>AB e AC são os ........................................</p><p>BC é a ........................................................</p><p> é ângulo reto;</p><p>B e ......... são ângulos agudos.</p><p>Continuando a observar:</p><p>.</p><p>AB é o cateto adjacente ao ângulo B.</p><p>AC é o cateto oposto ao ângulo B.</p><p>AC é o cateto adjacente ao ângulo Ĉ.</p><p>AB é o cateto oposto ao ângulo Ĉ</p><p>122</p><p>Adjacente é o mesmo que vizinho, junto, contíguo.</p><p>Considere-se o triângulo retângulo ABC.</p><p>Ĉ é o ângulo agudo considerado.</p><p>BC é a hipotenusa.</p><p>AC é o cateto oposto ao ângulo Ĉ.</p><p>AC é o cateto adjacente (vizinho,</p><p>contíguo ou junto) ao ângulo Ĉ.</p><p>B é o ângulo agudo considerado.</p><p>BC é a ..............................................................</p><p>AC é o ........................................... ao ângulo B.</p><p>AC é o ....................................adjacente (vizinho,</p><p>contíguo ou junto) ao ângulo B.</p><p>10.1 SENO DE UM ÂNGULO AGUDO</p><p>Seja o ângulo agudo Â, de lados AB e AC.</p><p>Tendo em vista a semelhança entre os triângulos, pode-se estabelecer que os lados</p><p>correspondentes são proporcionais. Valem, então, as seguintes razões de mesmo</p><p>valor:</p><p>O valor comum dessas razões chama-se seno da medida do ângulo A e indica-se:</p><p>seno Â.</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ) ...</p><p>"</p><p>""</p><p>'</p><p>'' ===</p><p>ABm</p><p>CBm</p><p>ABm</p><p>CBm</p><p>ABm</p><p>BCm</p><p>hipotenusa</p><p>oposto cateto sen =</p><p>123</p><p>10.1.1 Exercícios</p><p>1 Observar os exemplos e completar as igualdades:</p><p>sen Z = .................</p><p>sen X =..................</p><p>sen 75° =...................</p><p>sen 15° =...................</p><p>sen 30° =..............</p><p>sen 60° = .............</p><p>2 Conferir suas respostas, porém, por favor, não copiar. Só olhar para este final de</p><p>folha depois de tudo feito.</p><p>0</p><p>A</p><p>BX =ˆsen</p><p>A</p><p>CY =ˆsen</p><p>B</p><p>C=°70sen</p><p>B</p><p>D=°20sen</p><p>100</p><p>5030sen =°</p><p>100</p><p>6,8660sen =°</p><p>E</p><p>DZ =sen</p><p>E</p><p>CX =sen</p><p>F</p><p>G=°75sen</p><p>F</p><p>H=°15sen</p><p>25</p><p>5,1230sen =°</p><p>25</p><p>65,2160sen =°</p><p>124</p><p>10.2 CO-SENO DE UM ÂNGULO AGUDO</p><p>Seja ainda um ângulo agudo Â, de lados AB e AC.</p><p>Os segmentos BC, B’ C’, B” C”,... perpendiculares a AC, determinam triângulos</p><p>retângulos semelhantes. Pode-se então, escrever:</p><p>∆ ABC = ∆ AB’ C’ = ∆ AB” C”</p><p>Em virtude da semelhança dos triângulos, pode-se estabelecer que os lados</p><p>correspondentes são proporcionais, do mesmo modo que se viu em seno. Assim,</p><p>estão valendo as seguintes razões de mesmo valor:</p><p>Pois bem. O valor comum dessas razões chama-se co-seno da medida do ângulo Â</p><p>e indica-se: cos Â.</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>– É preciso ler com atenção cada relação que vai sendo explicada, para que se</p><p>possa compreender bem as funções trigonométricas, que são de grande interesse</p><p>na Oficina.</p><p>– Os exercícios propostos devem ser feitos sempre individualmente, mesmo que</p><p>sejam trabalhosos. Em breve, o aluno estará dominando perfeitamente o assunto.</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ) ...</p><p>"</p><p>""</p><p>'</p><p>'' ===</p><p>ABm</p><p>CAm</p><p>ABm</p><p>CAm</p><p>ABm</p><p>ACm</p><p>hipotenusa</p><p>adjacente cateto cos =</p><p>125</p><p>10.2.1 Exercícios</p><p>1 Observar os exemplos e completar as igualdades:</p><p>cos P =.........................</p><p>cos R =..........................</p><p>cos 12°30’ =......................</p><p>cos 67°30’ = .....................</p><p>2 Corrigir:</p><p>0</p><p>C</p><p>DY =ˆcos</p><p>C</p><p>BZ =ˆcos</p><p>100</p><p>998cos =°</p><p>100</p><p>9,1382cos =°</p><p>G</p><p>EP =cos</p><p>G</p><p>FR =cos</p><p>20</p><p>25,19'3012cos =°</p><p>20</p><p>64,7'3067cos =°</p><p>126</p><p>10.3 TANGENTE DE UM ÂNGULO</p><p>Seja novamente o ângulo agudo Â, de lados AB e AC.</p><p>Os segmentos BC, B’ C’, B” C”,... perpendiculares a AC, determinam triângulos</p><p>retângulos. Escreve-se, então:</p><p>∆ ABC ≅ ∆ AB’ C ≅ ∆ AB” C”</p><p>Pela semelhança dos triângulos, os lados correspondentes são proporcionais, e</p><p>pode-se escrever as razões de mesmo valor:</p><p>O valor dessas razões chama-se tangente da medida do ângulo  e indica-se: tg Â.</p><p>0</p><p>10.3.1 Exercícios</p><p>1 Observar os exemplos e completar as igualdades:</p><p>tg Ĉ = .......................</p><p>tg B = ............................</p><p>Completou com: D e F. Muito bem! Pode continuar.0</p><p>F D</p><p>B</p><p>CtgW =</p><p>C</p><p>BX tg =</p><p>adjacente cateto</p><p>oposto cateto tg =</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ) ...</p><p>"</p><p>""</p><p>'</p><p>'' ===</p><p>ACm</p><p>CBm</p><p>ACm</p><p>CBm</p><p>ACm</p><p>BCm</p><p>127</p><p>10.4 CO-TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO</p><p>Seguindo os mesmos passos para o estabelecimento das relações trigonométricas</p><p>seno, co-seno e tangente, pode-se obter uma quarta relação trigonométrica, assim</p><p>definida:</p><p>Reunindo estas relações trigonométricas, o aluno vai completar:</p><p>1.ª cateto oposto denomina-se: SENO = sen</p><p>hipotenusa</p><p>2.ª cateto adjacente denomina-se CO-SENO = .....................</p><p>3.ª cateto ................... denomina-se: ......................... = tg</p><p>............................</p><p>4.ª ......................... denomina-se CO-TANGENTE = .............</p><p>O aluno deve procurar memorizar estas fórmulas, pois irá aplicá-las com muita</p><p>freqüência. Serão mais usadas seno, co-seno e tangente.</p><p>10.4.1 Exercícios</p><p>1 Dado o triângulo retângulo abaixo,</p><p>Calcular o valor do sen., cos. e tg. do ângulo B.</p><p>oposto cateto</p><p>adjacente cateto de tangente-co =</p><p>6,0</p><p>5</p><p>3sen ===</p><p>BC</p><p>ACB</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........cos ===</p><p>BC</p><p>ABB</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........</p><p>.........</p><p>.......... ===tgB</p><p>128</p><p>2 Dado o triângulo retângulo abaixo,</p><p>calcular o valor do sen.,</p><p>cos. e tg. do ângulo Ĉ.</p><p>10.5 APLICAÇÃO PRÁTICA</p><p>10.5.1 Exercícios</p><p>1 Determinar a inclinação do carro porta-ferramentas para tornear o ângulo da</p><p>peça abaixo:</p><p>Solução − Monta-se um triângulo com as medidas existentes e determina-se o</p><p>ângulo de inclinação.</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........ˆsen ===C</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........ˆcos ===C</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........</p><p>.........</p><p>..........ˆ ===Ctg</p><p>129</p><p>Tem-se o triângulo:</p><p>Pode-se resolver com qualquer das funções que envolvem os dois catetos (tg.</p><p>ou cotg.). No caso, utiliza-se a tangente.</p><p>E com esse número procura-se na tabela de tangente o ângulo correspondente.</p><p>A inclinação deve ser 18°26’.</p><p>2 Determinar o diâmetro de um eixo para que em uma de suas extremidades seja</p><p>feito um quadrado de 10 mm de lado.</p><p>X = diagonal do quadrado = hipotenusa</p><p>do triângulo = Ø do eixo</p><p>No triângulo tem-se um lado e quer-se determinar a hipotenusa. Precisa-se,</p><p>então, de uma função que envolva um dos lados do triângulo e a hipotenusa</p><p>(seno ou co-seno).</p><p>Aplica-se o co-seno:</p><p>3333,0</p><p>15</p><p>5 === αα tg</p><p>adjacentecateto</p><p>opostocatetotg</p><p>hipotenusa</p><p>adjacentecateto=αcos</p><p>αcos</p><p>adjacentecatetohipotenusa =</p><p>( ) 7071,045cos =°</p><p>7071,0</p><p>10mmhipotenusa =</p><p>mm 14,1 eixo do Ø =</p><p>130</p><p>3 Calcular as distâncias “AC” e “BC”.</p><p>4 Calcular os diâmetros “D1” e “D2”.</p><p>5 Determinar “L”.</p><p>131</p><p>TABELA DE SENO - 0° a 45°</p><p>Minutos</p><p>Graus</p><p>0 10 20 30 40 50 60</p><p>Graus</p><p>0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 89</p><p>1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 0,0349 88</p><p>2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0436 0,0465 0,0494 0,0523 87</p><p>3 0,0523 0,0552 0,0581 0,0610 0,0640 0,0669 0,0698 86</p><p>4 0,0698 0,0727 0,0756 0,0785 0,0814 0,0843 0,0872 85</p><p>5 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016 0,1045 84</p><p>6 0,1045 0,1074 0,1103 0,1132 0,1161 0,1190 0,1219 83</p><p>7 0,1219 0,1248 0,1276 0,1305 0,1334 0,1363 0,1392 82</p><p>8 0,1392 0,1421 0,1449 0,1478 0,1507 0,1536 0,1564 81</p><p>9 0,1564 0,1593 0,1622 0,1650 0,1679 0,1708 0,1736 80</p><p>10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880 0,1908 79</p><p>11 0,1908 0,1937 0,1965 0,1994 0,2022 0,2051 0,2079 78</p><p>12 0,2079 0,2108 0,2136 0,2164 0,2193 0,2221 0,2250 77</p><p>13 0,2250 0,2278 0,2306 0,2334 0,2363 0,2391 0,2419 76</p><p>14 0,2419 0,2447 0,2476 0,2504 0,2532 0,2560 0,2588 75</p><p>15 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728 0,2756 74</p><p>16 0,2756 0,2784 0,2812 0,2840 0,2868 0,2896 0,2924 73</p><p>17 0,2924 0,2952 0,2979 0,3007 0,3035 0,3062 0,3090 72</p><p>18 0,3090 0,3118 0,3145 0,3173 0,3201 0,3228 0,3256 71</p><p>19 0,3256 0,3283 0,3311 0,3338 0,3365 0,3393 0,3420 70</p><p>20 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557 0,3584 69</p><p>21 0,3584 0,3611 0,3638 0,3665 0,3692 0,3719 0,3746 68</p><p>22 0,3746 0,3773 0,3800 0,3827 0,3854 0,3881 0,3907 67</p><p>23 0,3907 0,3934 0,3961 0,3987 0,4014 0,4041 0,4067 66</p><p>24 0,4067 0,4094 0,4120 0,4147 0,4173 0,4200 0,4226 65</p><p>25 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358 0,4384 64</p><p>26 0,4384 0,4410 0,4436 0,4462 0,4488 0,4514 0,4540 63</p><p>27 0,4540 0,4566 0,4592 0,4617 0,4643 0,4669 0,4695 62</p><p>28 0,4695 0,4720 0,4746 0,4772 0,4797 0,4823 0,4848 61</p><p>29 0,4848 0,4874 0,4899 0,4924 0,4950 0,4975 0,5000 60</p><p>30 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125 0,5150 59</p><p>31 0,5150 0,5175 0,5200 0,5225 0,5250 0,5275 0,5299 58</p><p>32 0,5299 0,5324 0,5348 0,5373 0,5398 0,5422 0,5446 57</p><p>33 0,5446 0,5471 0,5495 0,5519 0,5544 0,5568 0,5592 56</p><p>34 0,5592 0,5616 0,5640 0,5664 0,5688 0,5712 0,5736 55</p><p>35 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854 0,5878 54</p><p>36 0,5878 0,5901 0,5925 0,5948 0,5972 0,5995 0,6018 53</p><p>37 0,6018 0,6041 0,6065 0,6088 0,6111 0,6134 0,6157 52</p><p>38 0,6157 0,6180 0,6202 0,6225 0,6248 0,6271 0,6293 51</p><p>39 0,6293 0,6316 0,6338 0,6361 0,6383 0,6406 0,6428 50</p><p>40 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539 0,6561 49</p><p>41 0,6561 0,6583 0,6604 0,6626 0,6648 0,6670 0,6691 48</p><p>42 0,6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799 0,6820 47</p><p>43 0,6820 0,6841 0,6862 0,6884 0,6905 0,6926 0,6947 46</p><p>44 0,6947 0,6967 0,6988 0,7009 0,7030 0,7050 0,7071 45</p><p>60 50 40 30 20 10 0</p><p>Graus Minutos Graus</p><p>TABELA DE CO-SENO - 45° a 90°</p><p>132</p><p>TABELA DE SENO - 45° a 90°</p><p>Minutos</p><p>Graus 0 10 20 30 40 50 60 Graus</p><p>45 0,0000 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 0,7193 44</p><p>46 0,7193 0,7214 0,7234 0,7254 0,7274 0,7294 0,7314 43</p><p>47 0,7314 0,7333 0,7353 0,7373 0,7392 0,7412 0,7431 42</p><p>48 0,7431 0,7451 0,7470 0,7490 0,7509 0,7528 0,7547 41</p><p>49 0,7547 0,7566 0,7585 0,7604 0,7623 0,7642 0,7660 40</p><p>50 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753 0,7771 39</p><p>51 0,7771 0,7790 0,7808 0,7826 0,7844 0,7862 0,7880 38</p><p>52 0,7880 0,7898 0,7916 0,7934 0,7951 0,7969 0,7986 37</p><p>53 0,7986 0,8004 0,8021 0,8039 0,8056 0,8073 0,8090 36</p><p>54 0,8090 0,8107 0,8124 0,8141 0,8158 0,8175 0,8192 35</p><p>55 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274 0,8290 34</p><p>56 0,8290 0,8307 0,8323 0,8339 0,8355 0,8371 0,8387 33</p><p>57 0,8387 0,8403 0,8418 0,8434 0,8450 0,8465 0,8480 32</p><p>58 0,8480 0,8496 0,8511 0,8526 0,8542 0,8557 0,8572 31</p><p>59 0,8572 0,8587 0,8601 0,8616 0,8631 0,8646 0,8660 30</p><p>60 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732 0,8746 29</p><p>61 0,8746 0,8760 0,8774 0,8788 0,8802 0,8816 0,8829 28</p><p>62 0,8829 0,8843 0,8857 0,8870 0,8884 0,8897 0,8910 27</p><p>63 0,8910 0,8923 0,8936 0,8949 0,8962 0,8975 0,8988 26</p><p>64 0,8988 0,9001 0,9013 0,9026 0,9038 0,9051 0,9063 25</p><p>65 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124 0,9135 24</p><p>66 0,9135 0,9147 0,9159 0,9171 0,9182 0,9194 0,9205 23</p><p>67 0,9205 0,9216 0,9228 0,9239 0,9250 0,9261 0,9272 22</p><p>68 0,9272 0,9283 0,9293 0,9304 0,9315 0,9325 0,9336 21</p><p>69 0,9336 0,9346 0,9356 0,9367 0,9377 0,9387 0,9397 20</p><p>70 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446 0,9455 19</p><p>71 0,9455 0,9465 0,9474 0,9483 0,9492 0,9502 0,9511 18</p><p>72 0,9511 0,9520 0,9528 0,9537 0,9546 0,9555 0,9563 17</p><p>73 0,9563 0,9572 0,9580 0,9588 0,9596 0,9605 0,9613 16</p><p>74 0,9613 0,9621 0,9628 0,9636 0,9644 0,9652 0,9659 15</p><p>75 0,9659 0,9667 0,9674 0,9681 0,9689 0,9696 0,9703 14</p><p>76 0,9703 0,9710 0,9717 0,9724 0,9730 0,9737 0,9744 13</p><p>77 0,9744 0,9750 0,9757 0,9763 0,9769 0,9775 0,9781 12</p><p>78 0,9781 0,9787 0,9793 0,9799 0,9805 0,9811 0,9816 11</p><p>79 0,9816 0,9822 0,9827 0,9833 0,9838 0,9843 0,9848 10</p><p>80 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872 0,9877 9</p><p>81 0,9877 0,9881 0,9886 0,9890 0,9894 0,9899 0,9903 8</p><p>82 0,9903 0,9907 0,9911 0,9914 0,9918 0,9922 0,9925 7</p><p>83 0,9925 0,9929 0,9932 0,9936 0,9939 0,9942 0,9945 6</p><p>84 0,9945 0,9948 0,9951 0,9954 0,9957 0,9959 0,9962 5</p><p>85 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974 0,9976 4</p><p>86 0,9976 0,9978 0,9980 0,9981 0,9983 0,9985 0,9986 3</p><p>87 0,9986 0,9988 0,9989 0,9990 0,9992 0,9993 0,9994 2</p><p>88 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 1</p><p>89 0,99985 0,99989 0,99993 0,99996 0,99998 0,999996 1,00000 0</p><p>60 50 40 30 20 10 0</p><p>Graus Minutos Graus</p><p>TABELA DE CO-SENO - 0° a 45°</p><p>133</p><p>TABELA DE TANGENTE - 0° a 45°</p><p>Minutos</p><p>Graus</p><p>0 10 20 30 40 50 60</p><p>Graus</p><p>0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 89</p><p>1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 0,0349 88</p><p>2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0437 0,0466 0,0495 0,0524 87</p><p>3 0,0524 0,0553 0,0582 0,0612 0,0641 0,0670 0,0699 86</p><p>4 0,0699 0,0729 0,0758 0,0787 0,0816 0,0846 0,0875 85</p><p>5 0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022 0,1051 84</p><p>6 0,1051 0,1080 0,1110 0,1139 0,1169 0,1198 0,1228 83</p><p>7 0,1228 0,1257 0,1287 0,1317 0,1346 0,1376 0,1405 82</p><p>8 0,1405 0,1435 0,1465 0,1495 0,1524 0,1554 0,1584 81</p><p>9 0,1584 0,1614 0,1644 0,1673 0,1703 0,1733 0,1763 80</p><p>10 0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914 0,1944 79</p><p>11 0,1944 0,1974 0,2004 0,2035 0,2065 0,2095 0,2126 78</p><p>12 0,2126 0,2156 0,2186 0,2217 0,2247 0,2278 0,2309 77</p><p>13 0,2309 0,2339 0,2370 0,2401 0,2432 0,2462 0,2493 76</p><p>14 0,2493 0,2524 0,2555 0,2586 0,2617 0,2648 0,2679 75</p><p>15 0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836 0,2867 74</p><p>16 0,2867 0,2899 0,2931 0,2962 0,2994 0,3026 0,3057 73</p><p>17 0,3057 0,3089 0,3121 0,3153 0,3185 0,3217 0,3249 72</p><p>18 0,3249 0,3281 0,3314 0,3346 0,3378 0,3411 0,3443 71</p><p>19 0,3443 0,3476 0,3508 0,3541 0,3574 0,3607 0,3640 70</p><p>20 0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 0,3805 0,3839 69</p><p>21 0,3839 0,3872 0,3906 0,3939 0,3973 0,4006 0,4040 68</p><p>22 0,4040 0,4074 0,4108 0,4142 0,4176 0,4210 0,4245 67</p><p>23 0,4245 0,4279 0,4314 0,4348 0,4383 0,4417 0,4452 66</p><p>24 0,4452 0,4487 0,4522 0,4557</p><p>0,4592 0,4628 0,4663 65</p><p>25 0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841 0,4877 64</p><p>26 0,4877 0,4913 0,4950 0,4986 0,5022 0,5059 0,5095 63</p><p>27 0,5095 0,5132 0,5169 0,5206 0,5243 0,5280 0,5317 62</p><p>28 0,5317 0,5354 0,5392 0,5430 0,5467 0,5505 0,5543 61</p><p>29 0,5543 0,5581 0,5619 0,5658 0,5696 0,5735 0,5774 60</p><p>30 0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969 0,6009 59</p><p>31 0,6009 0,6048 0,6088 0,6128 0,6168 0,6208 0,6249 58</p><p>32 0,6249 0,6289 0,6330 0,6371 0,6412 0,6453 0,6494 57</p><p>33 0,6494 0,6536 0,6577 0,6619 0,6661 0,6703 0,6745 56</p><p>34 0,6745 0,6787 0,6830 0,6873 0,6916 0,6959 0,7002 55</p><p>35 0,7002 0,7046 0,7089 0,7133 0,7177 0,7221 0,7265 54</p><p>36 0,7265 0,7310 0,7355 0,7400 0,7445 0,7490 0,7536 53</p><p>37 0,7536 0,7581 0,7627 0,7673 0,7720 0,7766 0,7813 52</p><p>38 0,7813 0,7860 0,7907 0,7954 0,8002 0,8050 0,8098 51</p><p>39 0,8098 0,8146 0,8195 0,8243 0,8292 0,8342 0,8391 50</p><p>40 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642 0,8693 49</p><p>41 0,8693 0,8744 0,8796 0,8847 0,8899 0,8952 0,9004 48</p><p>42 0,9004 0,9057 0,9110 0,9163 0,9217 0,9271 0,9325 47</p><p>43 0,9325 0,9380 0,9435 0,9490 0,9545 0,9601 0,9657 46</p><p>44 0,9657 0,9713 0,9770 0,9827 0,9884 0,9942 0,7071 45</p><p>60 50 40 30 20 10 0</p><p>Graus</p><p>Minutos</p><p>Graus</p><p>TABELA DE CO-TANGENTE - 45° a 90°</p><p>134</p><p>TABELA DE TANGENTE - 45° a 90°</p><p>Minutos</p><p>Graus</p><p>0 10 20 30 40 50 60</p><p>Graus</p><p>45 0,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295 1,0355 44</p><p>46 1,0355 1,0416 1,0477 1,0538 1,0599 1,0661 1,0724 43</p><p>47 1,0724 1,0786 1,0850 1,0913 1,0977 1,1041 1,1106 42</p><p>48 1,1106 1,1171 1,1237 1,1303 1,1369 1,1436 1,1504 41</p><p>49 1,1504 1,1571 1,1640 1,1708 1,1778 1,1847 1,1918 40</p><p>50 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276 1,2349 39</p><p>51 1,2349 1,2423 1,2497 1,2572 1,2647 1,2723 1,2799 38</p><p>52 1,2799 1,2876 1,2954 1,3032 1,3111 1,3190 1,3270 37</p><p>53 1,3270 1,3351 1,3432 1,3514 1,3597 1,3680 1,3764 36</p><p>54 1,3764 1,3848 1,3934 1,4019 1,4106 1,4193 1,4281 35</p><p>55 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733 1,4826 34</p><p>56 1,4826 1,4919 1,5013 1,5108 1,5204 1,5301 1,5399 33</p><p>57 1,5399 1,5497 1,5597 1,5697 1,5798 1,5900 1,6003 32</p><p>58 1,6003 1,6107 1,6212 1,6319 1,6426 1,6534 1,6643 31</p><p>59 1,6643 1,6753 1,6864 1,6977 1,7090 1,7205 1,7321 30</p><p>60 1,7321 1,7437 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917 1,8040 29</p><p>61 1,8040 1,8165 1,8291 1,8418 1,8546 1,8676 1,8807 28</p><p>62 1,8807 1,8940 1,9074 1,9210 1,9347 1,9486 1,9626 27</p><p>63 1,9626 1,9768 1,9912 2,0057 2,0204 2,0353 2,0503 26</p><p>64 2,0503 2,0655 2,0809 2,0965 2,1123 2,1283 2,1445 25</p><p>65 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286 2,2460 24</p><p>66 2,2460 2,2637 2,2817 2,2998 2,3183 2,3369 2,3559 23</p><p>67 2,3559 2,3750 2,3945 2,4142 2,4342 2,4545 2,4751 22</p><p>68 2,4751 2,4960 2,5172 2,5386 2,5605 2,5826 2,6051 21</p><p>69 2,6051 2,6279 2,6511 2,6746 2,6985 2,7228 2,7475 20</p><p>70 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770 2,9042 19</p><p>71 2,9042 2,9319 2,9600 2,9887 3,0178 3,0475 3,0777 18</p><p>72 3,0777 3,1084 3,1397 3,1716 3,2041 3,2371 3,2709 17</p><p>73 3,2709 3,3052 3,3402 3,3759 3,4124 3,4495 3,4874 16</p><p>74 3,4874 3,5261 3,5656 3,6059 3,6470 3,6891 3,7321 15</p><p>75 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617 4,0108 14</p><p>76 4,0108 4,0611 4,1126 4,1653 4,2193 4,2747 4,3315 13</p><p>77 4,3315 4,3897 4,4494 4,5107 4,5736 4,6382 4,7046 12</p><p>78 4,7046 4,7729 4,8430 4,9152 4,9894 5,0658 5,1446 11</p><p>79 5,1446 5,2257 5,3093 5,3955 5,4845 5,5764 5,6713 10</p><p>80 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970 6,3138 9</p><p>81 6,3138 6,4348 6,5606 6,6912 6,8269 6,9682 7,1154 8</p><p>82 7,1154 7,2687 7,4287 7,5958 7,7704 7,9530 8,1443 7</p><p>83 8,1443 8,3450 8,5555 8,7769 9,0098 9,2553 9,5144 6</p><p>84 9,5144 9,7882 10,0780 10,3854 10,7119 11,0594 11,4301 5</p><p>85 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267 14,3007 4</p><p>86 14,3007 14,9244 15,6048 16,3499 17,1693 18,0750 19,0811 3</p><p>87 19,0811 20,2056 21,4704 22,9038 24,5418 26,4316 28,6363 2</p><p>88 28,6363 31,2416 34,3678 38,1885 42,9641 49,1039 57,2900 1</p><p>89 57,2900 68,7501 85,9398 114,5887 171,8854 343,7737 1,0000 0</p><p>60 50 40 30 20 10 0</p><p>Graus</p><p>Minutos</p><p>Graus</p><p>TABELA DE CO-TANGENTE - 0° a 45°</p><p>135</p><p>11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE</p><p>11.1 DISTINÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME</p><p>É necessário fazer a distinção entre capacidade e volume: capacidade é o espaço</p><p>vazio de qualquer recipiente, suficiente para conter dentro de si alguma coisa, e</p><p>volume refere-se à corpulência ou vulto de um objeto. A capacidade é um vazio; o</p><p>volume é um maciço. Assim sendo, pode-se dizer que a capacidade de um</p><p>vasilhame é o mesmo que volume de um bloco de pedra.</p><p>A unidade legal de capacidade é o litro (l), que deriva do sistema métrico. Litro é a</p><p>capacidade ocupada por e dm3.</p><p>nome abreviatura equivalência</p><p>múltiplos quilolitro</p><p>hectolitro</p><p>decalitro</p><p>kl</p><p>hl</p><p>dal</p><p>1 000 litros</p><p>100 litros</p><p>10 litros</p><p>unidade litro l 1 litro</p><p>submúltiplos decilitro</p><p>centilitro</p><p>mililitro</p><p>dl</p><p>cl</p><p>ml</p><p>0,1 litro</p><p>0,01 litro</p><p>0,001 litro</p><p>11.1.1 Transformação de medidas</p><p>Como as unidades variam de dez em dez, a conversão é feita deslocando-se a</p><p>vírgula uma casa à direita (para a unidade imediatamente inferior) ou à esquerda</p><p>(para a unidade imediatamente superior), suprindo de zeros caso faltem algarismos.</p><p>Exemplo – Transformar 27,418 hl em l.</p><p>Solução – kl hl dal l dl</p><p>2 7 4 1, 8</p><p>Portanto, 27,418 hl = 2741,8 l</p><p>136</p><p>11.1.2 Relação entre unidade de capacidade e volume</p><p>A relação entre as unidades de capacidade e volume é</p><p>1 l = 1 dm3</p><p>O litro é o volume de 1 decímetro cúbico. Isso quer dizer que o volume de líquido</p><p>que cabe em um recipiente de 1 dm3 é chamado de 1 litro. Portanto: se qualquer</p><p>valor for expresso em unidades de volume, basta convertê-lo em dm3 e fazer a</p><p>relação em unidade de capacidade (l).</p><p>Figura 55 – Litro</p><p>Exemplos:</p><p>a) Converter 18,3 m3 em l.</p><p>Solução:</p><p>18,3 m3 = 18,300 dm3</p><p>18300 dm3 = 18300 l</p><p>18,3 m3 = 18300 l</p><p>b) Converter 41306 dl em dam3.</p><p>Solução:</p><p>41306 dl = 4130,6 l</p><p>capacidade volume</p><p>=</p><p>4130,6 l 4130,6 dm3</p><p>4130,6 dm3 = 0,0041306 dam3</p><p>41306 dl = 0,0041306 dam3</p><p>137</p><p>11.2 MEDIDA DE MASSA</p><p>É preciso que se conheça a distinção entre massa e peso: massa é a quantidade de</p><p>matéria de um corpo; é uma propriedade constante dos corpos que não depende do</p><p>local onde se encontram, e peso é a força de atração exercida pela terra sobre a</p><p>massa de um corpo.</p><p>11.2.1 Unidade fundamental</p><p>A unidade fundamental é denominada quilograma e representada pelo símbolo kg.</p><p>O quilograma é a massa de 1 dm3 e água destilada à temperatura de 4°C.</p><p>Na prática, usa-se também como se fosse unidade principal, a milésima parte do</p><p>quilograma, denominada grama. Tomando o grama como fundamental, veja-se uma</p><p>tabela que compreende alguns múltiplos usuais:</p><p>nomes símbolos valores</p><p>quilograma</p><p>hectograma</p><p>decagrama</p><p>kg</p><p>hg</p><p>dag</p><p>1 000 g</p><p>100 g</p><p>10 g</p><p>grama g 1 g</p><p>decigrama</p><p>centigrama</p><p>miligrama</p><p>dg</p><p>cg</p><p>mg</p><p>0,1 g</p><p>0,01 g</p><p>0,001 g</p><p>OBSERVAÇÃO:</p><p>É do uso corrente, também, a tonelada (t), equivalente a 1 000 kg, muito empregada</p><p>nas medidas de grandes massas.</p><p>11.2.2 Mudança de unidade</p><p>As mudanças de unidade são feitas de modo análogo às das unidades de</p><p>comprimento.</p><p>Exemplo – Converter 42,73 kg em decigramas.</p><p>42,73 kg = 427,3 hg = 4273 dag = 42730 g = 427300 dg</p><p>kg hg dag g dg</p><p>0 1 2 3 4</p><p>138</p><p>11.2.3 Exercícios</p><p>1 Efetuar as operações e apresentar os resultados em quilogramas:</p><p>a) 48,5 dag + 12,05 dg + 15 cg =</p><p>b) 5 t + 25 kg – 2 t + 28 dag =</p><p>2 Calcular em quilogramas a massa de ar contida em uma sala de 4,5 m de</p><p>comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura. A massa de 1 dm3 de ar é</p><p>aproximadamente 1,293 g.</p><p>3 Uma lata contendo água pura até seus 2/3 tem 2 750 kg de massa; se estiver</p><p>vazia, tem 1 520 kg. Calcular o volume em cm3.</p><p>11.3 MASSA ESPECÍFICA</p><p>Massa específica (ou densidade) de uma substância é a massa dessa substância</p><p>por unidade de volume. Assim, quando se diz, por exemplo, que a massa específica</p><p>de ferro fundido é 7,2, significa que o ferro fundido tem 7,2 gramas por centímetro</p><p>cúbico.</p><p>Se, ao invés de centímetros cúbicos, se tomar o volume em dm3, o número que</p><p>indica a massa específica representa kg (quilogramas). Assim, o 7,2 do ferro fundido</p><p>quer dizer que esse material tem 7,2 kg por dm3 de massa.</p><p>No quadro a seguir tem-se a indicação</p><p>5.2.4 Número misto ............................................................................................................54</p><p>5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE-</p><p>VERSA..........................................................................................................................54</p><p>5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES..........................................................................................54</p><p>5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES....................................................................................54</p><p>5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR .............................................55</p><p>5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES .....................................................................................56</p><p>5.7.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................56</p><p>5.7.2 Frações de mesmo numerador ................................................................................57</p><p>5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes ..........................................57</p><p>5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................58</p><p>5.8.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................58</p><p>5.8.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................58</p><p>5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.........................................................................................58</p><p>5.9.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................58</p><p>5.9.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................59</p><p>5.10 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES ................................................................................59</p><p>5.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES...............................................................................................59</p><p>5.12 CONVERSÃO DE FRAÇÕES ......................................................................................60</p><p>5.12.1 Conversão de frações ordinárias em números decimais .....................................60</p><p>5.12.2 Conversão de números decimais em frações ordinárias ou números mistos ...60</p><p>7</p><p>6 REGRA DE TRÊS.............................................................................................................61</p><p>6.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES..........................................................................................61</p><p>6.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA............................................................................62</p><p>6.3 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA .........................................................................62</p><p>6.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................64</p><p>6.5 PORCENTAGEM...........................................................................................................65</p><p>6.5.1 Exercícios ..................................................................................................................67</p><p>7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO ...................................................................69</p><p>7.1 O METRO E SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS....................................................69</p><p>7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILÍMETRO..........................................71</p><p>7.3 TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS ...............................................................................73</p><p>7.4 POLEGADA ...................................................................................................................75</p><p>7.5 CONVERSÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS E VICE-VERSA.............................75</p><p>7.6 EXERCÍCIOS.................................................................................................................76</p><p>7.7 PAQUÍMETRO...............................................................................................................78</p><p>7.7.1 Princípio do Vernier de 0,1 mm ................................................................................78</p><p>7.7.2 Paquímetro – Sistema inglês ordinário ...................................................................80</p><p>7.7.3 Uso do Vernier (Nônio) .............................................................................................80</p><p>7.7.4 Exercícios ..................................................................................................................84</p><p>7.7.5 Exemplos de paquímetros ........................................................................................85</p><p>8 GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................87</p><p>8.1 POLÍGONO....................................................................................................................87</p><p>8.1.1 Polígono regular........................................................................................................87</p><p>8.1.2 Polígono irregular .....................................................................................................87</p><p>8.2 PERÍMETRO..................................................................................................................87</p><p>8.3 CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS ................................................................89</p><p>8.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE.............................91</p><p>8.5 MODO PRÁTICO DE CALCULAR ÁREAS ....................................................................94</p><p>8.5.1 Área do retângulo......................................................................................................94</p><p>8.5.2 Área do quadrado......................................................................................................95</p><p>8.5.3 Área do paralelogramo .............................................................................................97</p><p>8.5.4 Área do triângulo.......................................................................................................98</p><p>8.5.5 Área do trapézio ........................................................................................................99</p><p>8.5.6 Área do losango ........................................................................................................99</p><p>8.5.7 Área do círculo ........................................................................................................100</p><p>8.6.1 Exercícios ................................................................................................................102</p><p>8.7.1 Aplicação da tabela de constante ..........................................................................103</p><p>8.8 ÂNGULOS ...................................................................................................................104</p><p>8.8.1 Ângulos consecutivos ............................................................................................104</p><p>8</p><p>8.8.2 Ângulos adjacentes.................................................................................................105</p><p>8.8.3 Bissetriz ...................................................................................................................105</p><p>8.8.4 Ângulos opostos pelo vértice ................................................................................105</p><p>8.8.5 Ângulo reto ..............................................................................................................106</p><p>8.8.6 Ângulo agudo ..........................................................................................................106</p><p>8.8.7 Ângulo raso .............................................................................................................106</p><p>8.8.8 Ângulos complementares, suplementares e replementares ................................107</p><p>8.8.9 Medidas de ângulos ................................................................................................107</p><p>8.8.10 Adição de ângulos.................................................................................................107</p><p>da massa específica de diversos metais.</p><p>Com esses dados, pode-se resolver em mecânica diversos problemas de massa ou</p><p>volume. A fórmula será sempre:</p><p>massa = massa específica x volume</p><p>139</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular a massa de uma peça de bronze cujo volume é de 15 cm3. Como a massa</p><p>específica do bronze é 8,6, tem-se:</p><p>massa = 8,6 x 15 cm3</p><p>massa = 129 gramas</p><p>O resultado aparece em gramas porque o volume foi dado em cm3. Se fosse em</p><p>dm3, o resultado seria em kg (quilogramas).</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular o volume de uma peça de latão com 68 gramas de massa.</p><p>Aqui, o problema é inverso: já se conhece a massa; procura-se o volume logo para</p><p>encontrá-lo deve-se efetuar a divisão.</p><p>Portanto, lembrando que a massa específica do latão é 8,5 e substituindo na fórmula</p><p>os dados do problema, tem-se:</p><p>O resultado é em cm3 porque a massa foi dada em gramas. Se fosse em</p><p>quilogramas, se teria o volume em dm3.</p><p>Tabela de massa específica (grama/centímetro cúbico)</p><p>aço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>alumínio . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>antimônio . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>bronze . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>carbono . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>chumbo . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>cobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>crômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>7,9</p><p>2,7</p><p>6.7</p><p>8,6</p><p>3,5</p><p>11,3</p><p>8,9</p><p>6,9</p><p>estanho . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>ferro fundido . . . . . . . . . . . . .</p><p>latão . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>níquel . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>tungstênio . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>vanádio . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>zinco . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>7,3</p><p>7,8</p><p>7,2</p><p>8,5</p><p>8,8</p><p>19,1</p><p>5,5</p><p>7,1</p><p>específicamassa</p><p>massavolume =</p><p>5,8</p><p>68gvolume =</p><p>38cmvolume =</p><p>140</p><p>141</p><p>12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc</p><p>Para efetuar o corte de um material por meio de uma ferramenta, é necessário que o</p><p>material ou a ferramenta se movimente um em relação ao outro. O meio para</p><p>determinar ou comparar a rapidez do movimento é a velocidade de corte.</p><p>Portanto, a velocidade é o espaço percorrido pela ferramenta ou peça cortando um</p><p>material em um determinado espaço de tempo.</p><p>A velocidade de corte é representada pelas iniciais Vc, e sua unidade é m/min ou</p><p>m/seg.</p><p>m/min</p><p>Vc =</p><p>m/seg</p><p>12.1 ROTAÇÕES</p><p>Denominam-se rotações o número de voltas que um eixo, peça ou ferramenta de</p><p>corte dá em torno de si mesma em determinado espaço de tempo. Quando o espaço</p><p>de tempo é o minuto, diz-se rpm – rotações por minuto; quando é representado em</p><p>qualquer outra unidade de tempo, diz-se simplesmente n.</p><p>rpm – rotações por minuto</p><p>– 1</p><p>unidade min = 1 0</p><p>min</p><p>n – rotações por qualquer tempo</p><p>– 1</p><p>unidade n t = 1 0 n 1 ; 1 ; 1 0</p><p>t seg min n</p><p>142</p><p>12.2 DESIGNAÇÃO</p><p>d = diâmetro</p><p>n = rotações por minuto (rpm)</p><p>Vc = velocidade de corte</p><p>velocidade c = espaço 0</p><p>tempo determinado</p><p>espaço do ponto P a 1 rotação por minuto = π . d</p><p>espaço do ponto P a n rotações = π . d . n, ou pode-se definir:</p><p>V = circunferência x rotações por minuto</p><p>V = d . π . rpm</p><p>V = d . π . n</p><p>Como a Vc é geralmente fornecida através de tabelas, e o diâmetro é determinado</p><p>medindo-se a peça, o problema na Oficina será sempre determinar a rpm, ou seja, n.</p><p>Onde:</p><p>“Vc” em m/min</p><p>“d” em mm</p><p>“n” em rotações por minuto.</p><p>Exemplo:</p><p>Determinar a rpm necessária para usinar um cilindro de aço 1020 com ferramenta de</p><p>aço rápido, conforme desenho abaixo (medidas em mm):</p><p>π⋅</p><p>=</p><p>d</p><p>Vcn</p><p>π⋅</p><p>⋅=</p><p>d</p><p>1000Vcn</p><p>π⋅</p><p>=</p><p>d</p><p>Vcn</p><p>143</p><p>Solução:</p><p>Os problemas para determinar a rpm devem ser resolvidos em duas partes:</p><p>a) Reúnem-se todos os dados necessários: ø de desbaste, ø de acabamento, Vc de</p><p>desbaste e acabamento.</p><p>b) Monta-se a fórmula e substituem-se os valores.</p><p>A velocidade de corte adequada para este material é:</p><p>Vc para desbaste = 25 m/min</p><p>Vc para acabamento = 35 m/min</p><p>diâmetro – analisa-se o desenho.</p><p>Neste caso, o ø de desbaste é 100 mm e o ø de acabamento é de 80 mm.</p><p>Ø para desbaste = 100 mm</p><p>Ø para acabamento = 80 mm</p><p>c) Monta-se a fórmula e substituem-se os valores:</p><p>0</p><p>Resposta:</p><p>Para desbaste, regular a máquina para 80 rpm.</p><p>Para acabamento, regulá-la para 140 rpm.</p><p>π⋅</p><p>⋅=</p><p>d</p><p>Vc 1000rpm</p><p>( )</p><p>min</p><p>80</p><p>min100</p><p>100025desbasterpm rotações</p><p>mm</p><p>mm =</p><p>⋅⋅</p><p>⋅=</p><p>π</p><p>( )</p><p>min</p><p>140</p><p>min80</p><p>100035acabamentorpm rotações</p><p>mm</p><p>mm =</p><p>⋅⋅</p><p>⋅=</p><p>π</p><p>144</p><p>12.3 TABELA</p><p>TORNO</p><p>Ferramenta de aço rápido Ferramenta de metal duro</p><p>Material a</p><p>ser usinado</p><p>Desbaste a)</p><p>Acabamento b) Velocidade de</p><p>corte em m/min</p><p>avanço em</p><p>mm</p><p>Penetração</p><p>em mm</p><p>Velocidade de</p><p>corte em m/min</p><p>avanço em</p><p>mm</p><p>Penetração</p><p>em mm</p><p>a) 20...40 1,0 8,0 50...70 1,5 10,0</p><p>aço macio</p><p>b) 50...60 0,1 0,5 150...200 0,1 1,0</p><p>a) 10...20 0,8 6,0 20...40 1 8,0</p><p>aço liga</p><p>b) 20...30 0,1 0,5 50...100 0,1 1,0</p><p>a) 10...20 1,5 10,0 30...50 1,5 10,0</p><p>ferro fundido</p><p>b) 40...50 0,1 0,5 80...100 0,1 1,0</p><p>a) 50...70 0,5 6,0 150...220 0,5 6,0metal não</p><p>ferroso b) 100...120 0,2 2,0 200...300 0,2 2,0</p><p>a) 80...100 0,5 6,0 200...300 0,5 6,0</p><p>metal leve</p><p>b) 100...120 0,1 1,0 250...500 0,1 1,0</p><p>a) 100...200 0,3 3,0 200...300 0,3 3,0</p><p>plástico</p><p>b) 150...300 0,1 1,0 400...600 0,1 1,0</p><p>FRESADORA</p><p>Desbaste a)</p><p>Acabamento b) Fresa de aço rápido Fresa de metal duro Pastilhas de metal duro</p><p>Material a</p><p>ser usinado Velocidade de</p><p>corte em m/min</p><p>avanço por</p><p>dente em mm</p><p>Velocidade de</p><p>corte em</p><p>m/min</p><p>avanço por</p><p>dente em mm</p><p>Velocidade de</p><p>corte em</p><p>m/min</p><p>avanço por</p><p>dente em mm</p><p>a) 30...40 0,1...0,2 80...150 0,1...0,3 80...150 0,1...0,3</p><p>aço carbono</p><p>b) 30...40 0,05...0,1 100...300 0,1...0,2 100...300 0,1...0,2</p><p>a) 25...30 0,1...0,2 80...150 0,1...0,3 80...150 0,1...0,3aço liga até</p><p>750 N/mm² b) 25...30 0,005...0,1 100...300 0,1...0,2 100...300 0,1...0,2</p><p>a) 15...20 0,1...0,15 60...120 0,1...0,3 60...120 0,1...0,3aço liga até</p><p>1000 N/mm² b) 15...20 0,05...0,1 80...150 0,06...0,15 80...150 0,06...0,15</p><p>a) 20...25 0,15...0,3 70...120 0,1...0,3 70...120 0,1...0,3</p><p>ferro fundido</p><p>b) 20...25 0,1...0,2 100...160 0,1...0,2 100...160 0,1...0,2</p><p>a) 60...150 0,2...0,3 150...400 0,08...0,15 150...400 0,08...0,15ligas de</p><p>cobre b) 60...150 0,1...0,2 150...400 0,05...0,1 150...400 0,05...0,1</p><p>a) 150...250 0,2...0,3 350...800 0,1...0,2 350...800 0,1...0,2</p><p>metal leve</p><p>b) 200...300 0,1...0,2 400...1200 0,08...0,15 400...1200 0,08...0,15</p><p>145</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>DI PIERO NETTO, Scipeone ...[et al.]. Elementos de Matemática. São Paulo: Saraiva,</p><p>s.d.</p><p>GIOVANI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANI JR., José Ruy. Matemática</p><p>completa. São Paulo: FTD, 2003.</p><p>INMETRO. Quadro Geral de Unidades de Medida; Resolução do CONMETRO</p><p>nº12/1988. 2. ed. Brasília, SENAI/DN, 2000.</p><p>SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Departamento Regional</p><p>do Rio Grande Sul. Material Instrucional; Cálculo técnico. Porto Alegre: SENAI-RS,</p><p>s.d.</p><p>8.8.11 Subtração de ângulos ...........................................................................................108</p><p>8.9 TEOREMA DE PITÁGORAS........................................................................................109</p><p>8.9.1 Exercícios – Relação de Pitágoras.........................................................................110</p><p>9 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................................111</p><p>9.1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS) ...................................................111</p><p>9.1.1 Prismas ....................................................................................................................112</p><p>9.1.2 Pirâmides .................................................................................................................113</p><p>9.1.3 Cilindro, cone e esfera ............................................................................................114</p><p>9.2 CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .........................................115</p><p>9.2.1 Mudança de unidades de volume...........................................................................116</p><p>9.2.2 Cálculo de volumes.................................................................................................116</p><p>9.2.3 Formulário para o cálculo de volumes ..................................................................120</p><p>10 TRIGONOMETRIA........................................................................................................121</p><p>10.1 SENO DE UM ÂNGULO AGUDO...............................................................................122</p><p>10.1.1 Exercícios ..............................................................................................................123</p><p>10.2 CO-SENO DE UM ÂNGULO AGUDO ........................................................................124</p><p>10.2.1 Exercícios ..............................................................................................................125</p><p>10.3 TANGENTE DE UM ÂNGULO ...................................................................................126</p><p>10.3.1 Exercícios ..............................................................................................................126</p><p>10.4 CO-TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO ...............................................................127</p><p>10.4.1 Exercícios ..............................................................................................................127</p><p>10.5 APLICAÇÃO PRÁTICA ..............................................................................................128</p><p>10.5.1 Exercícios ..............................................................................................................128</p><p>11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE....................................................................135</p><p>11.1 DISTINÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME........................................................135</p><p>11.1.1 Transformação de medidas ..................................................................................135</p><p>11.2 MEDIDA DE MASSA..................................................................................................137</p><p>11.2.1 Unidade fundamental ............................................................................................137</p><p>11.2.2 Mudança de unidade .............................................................................................137</p><p>9</p><p>11.2.3 Exercícios ...............................................................................................................138</p><p>11.3 MASSA ESPECÍFICA ................................................................................................138</p><p>12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc ....................................................................................141</p><p>12.1 ROTAÇÕES...............................................................................................................141</p><p>12.2 DESIGNAÇÃO ...........................................................................................................142</p><p>12.3 TABELA .....................................................................................................................144</p><p>REFERÊNCIAS .................................................................................................................145</p><p>10</p><p>11</p><p>LISTA DE FIGURAS</p><p>Figura 1 – Polias ..................................................................................................................63</p><p>Figura 2 – Diâmetro de polias ..............................................................................................63</p><p>Figura 3 – Engrenagens de polias........................................................................................64</p><p>Figura 4 − Paquímetro .........................................................................................................78</p><p>Figura 5 − Escala .................................................................................................................78</p><p>Figura 6 − Nônio ..................................................................................................................79</p><p>Figura 7 – Escala nônio .......................................................................................................79</p><p>Figura 8 – Posição 0,1 ........................................................................................................79</p><p>Figura 9 – Posição 0,2 ........................................................................................................79</p><p>Figura 10 – Posição 0,3 .......................................................................................................79</p><p>Figura 11 – Sistema Inglês Ordinário ...................................................................................80</p><p>Figura 12 – Posição 1/16” ....................................................................................................80</p><p>Figura 13 - Posição 1/8” .......................................................................................................80</p><p>Figura 14 – Posição 5/8” ......................................................................................................80</p><p>Figura 15 - Nônio em polegadas ..........................................................................................80</p><p>Figura 16 - Nônio e escala em polegadas ............................................................................81</p><p>Figura 17 – Posição 1/128” ..................................................................................................81</p><p>Figura 18 – Posição 1/64” ....................................................................................................81</p><p>Figura 19 – Posição 3/128” ..................................................................................................81</p><p>Figura 20 - Posição 33/128” .................................................................................................82</p><p>Figura 21 - Posição 45/64” ...................................................................................................82</p><p>Figura 22 - Posição 49/128” .................................................................................................82</p><p>Figura 23 - Posição 37/64” ...................................................................................................83</p><p>Figura 24 - Posição 13/32” ...................................................................................................83</p><p>Figura 25 - Posição 1 39/128” .............................................................................................83</p><p>Figura 26 − Medição interna.................................................................................................85</p><p>Figura 27 − Medição externa................................................................................................85</p><p>Figura 28 − Medição de profundidade..................................................................................85</p><p>Figura 29 − Paquímetro de profundidade .............................................................................85</p><p>Figura 30 – Paquímetro com bicos longos, para medição em posição profunda ..................85</p><p>Figura 31 − Paquímetro de altura.........................................................................................86</p><p>12</p><p>Figura 32 − Paquímetro de altura equipado com relógio comparador ..................................86</p><p>Figura 33 − Paquímetro de nônio duplo para medição da espessura de dente de</p><p>engrenagem.......................................................................................................86</p><p>Figura 34 – Ângulo Ô .........................................................................................................104</p><p>Figura 35 – Ângulos consecutivos......................................................................................105</p><p>Figura 36 – Ângulos adjacentes .........................................................................................105</p><p>Figura 37 – Bissetriz...........................................................................................................105</p><p>Figura 38 – Ângulos opostos pelo vértice...........................................................................106</p><p>Figura 39 – Ângulo reto......................................................................................................106</p><p>Figura 40 – Ângulo agudo ..................................................................................................106</p><p>Figura 41 – Ângulo raso .....................................................................................................106</p><p>Figura 42 – Triângulo retângulo .........................................................................................109</p><p>Figura 43 − Quadrados dos catetos ...................................................................................109</p><p>Figura 44 − Retângulo e suas dimensões ..........................................................................111</p><p>Figura 45 − Retângulo e suas dimensões em posição alternada........................................111</p><p>Figura 46 − Figura geométrica ...........................................................................................112</p><p>Figura 47 − Prisma.............................................................................................................112</p><p>Figura 48 − Prismas retos ..................................................................................................113</p><p>Figura 49 − Pirâmide..........................................................................................................113</p><p>Figura 50 − Nomes das pirâmide........................................................................................114</p><p>Figura 51 − Cilindro............................................................................................................114</p><p>Figura 52 − Cone ...............................................................................................................114</p><p>Figura 53 − Esfera..............................................................................................................115</p><p>Figura 54 - Volumes...........................................................................................................115</p><p>Figura 55 – Litro .................................................................................................................136</p><p>13</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Em grego mathema vem da raiz manthanein, que quer dizer aprendizagem.</p><p>Este fascículo tem caráter instrumental. Serve como um conjunto de ferramentas e</p><p>estratégias para serem aplicadas a diversas áreas do conhecimento, assim como</p><p>para a atividade profissional.</p><p>Elaborado de forma concisa e clara, trata-se de valioso subsídio em sala de aula,</p><p>que permite otimizar a gestão de tempo e o rendimento do grupo, transformando-se</p><p>em ferramenta essencial para o desempenho do professor, assim como promover a</p><p>preparação do aluno para que execute os cálculos matemáticos básicos necessários</p><p>à interpretação e ao pleno desempenho na execução de projetos, operacionalização</p><p>de máquinas, ferramentas e equipamentos para a confecção de produtos industriais.</p><p>14</p><p>15</p><p>1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO</p><p>Números naturais são todos os números inteiros e positivos do zero até o infinito (∞).</p><p>1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO</p><p>Os objetos podem ser contados em grupos maiores ou menores, conforme a</p><p>conveniência. Assim, contam-se ovos em dúzia, pentes em centos, grampos em</p><p>grosas. Dúzias e centos passam a ser base de contagem. Quando se compram duas</p><p>dúzias de ovos, deve-se receber duas vezes uma dúzia.</p><p>Nem sempre é fácil avaliar um total quando não se tem com que compará-lo. O</p><p>hábito de comparar as quantidades contadas nos dedos das mãos talvez tenha</p><p>contribuído para que se estabelecesse o sistema decimal de numeração.</p><p>No sistema decimal de numeração, a base de contagem é dez. Logo, são</p><p>necessárias 10 unidades para formar uma dezena ( )10110 =× , dez dezenas para</p><p>formar uma centena ( )1001010 =× e dez centenas para formar uma unidade de</p><p>milhar ( )100010010 =× .</p><p>O sistema decimal representa as quantidades usando a regra da posição decimal.</p><p>Cada posição indica um tipo de grupo: unidade, dezenas, centenas, milhar etc., e</p><p>cada algarismo indica a quantidade de grupos:</p><p>{ }∞= ,.....5,4,3,2,1N</p><p>1000</p><p>100</p><p>10</p><p>1</p><p>16</p><p>Um número com um algarismo: por exemplo, o algarismo 2, só tem uma posição: é a</p><p>posição das unidades. As outras posições aparecem à esquerda da posição das</p><p>unidades.</p><p>Posição das</p><p>unidades</p><p>2</p><p>Um número com dois algarismos – como 82 – tem duas posições: a das unidades e</p><p>das dezenas, que fica logo à esquerda da posição das unidades. Isso indica que a</p><p>dezena vale 10 vezes mais que a unidade.</p><p>posição das</p><p>dezenas</p><p>posição das</p><p>unidades</p><p>8 2</p><p>Um número com três algarismos – como 982 – tem três posições: a das unidades, a</p><p>das dezenas e a das centenas. A posição das centenas fica logo à esquerda da</p><p>posição das dezenas. Isso indica que a centena vale 10 vezes mais que a dezena.</p><p>Posição das</p><p>centenas</p><p>posição das</p><p>dezenas</p><p>posição das</p><p>unidades</p><p>9 8 2</p><p>Um número com quatro algarismos – como 1 982 – tem quatro posições: a das</p><p>unidades, a das dezenas, a das centenas e a das unidades de milhar. Logo à</p><p>esquerda da posição das centenas fica a posição das unidades de milhar. Isso</p><p>indica que a unidade de milhar vale 10 vezes mais que a centena.</p><p>Posição das</p><p>unidades de</p><p>milhar</p><p>posição das</p><p>centenas</p><p>posição das</p><p>dezenas</p><p>posição das</p><p>unidades</p><p>1 9 8 2</p><p>Cada posição representa um grupo que é 10 vezes maior que o grupo que fica na</p><p>posição logo à direita. Por exemplo, a centena é 10 vezes maior do que a dezena.</p><p>unidades</p><p>de milhar centenas dezenas unidades</p><p>A isso se chama regra da posição decimal. Ao utilizá-la, pode-se usar mais posições</p><p>colocando novos algarismos para a esquerda; as posições representam grupos cada</p><p>vez maiores.</p><p>17</p><p>No exemplo a seguir estão marcadas as posições do número 71 329 081 (setenta e</p><p>um milhões, trezentos e vinte e nove mil e oitenta e um).</p><p>7 dezenas</p><p>de milhão</p><p>1 unidade</p><p>de milhão</p><p>3 centenas</p><p>de milhar</p><p>2 dezenas</p><p>de milhar</p><p>9 unidades</p><p>de milhar</p><p>0 centenas 8 dezenas 1 unidade</p><p>7 1 3 2 9 0 8 1</p><p>campo do milhão campo do milhar campo da centena</p><p>1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA</p><p>A decomposição de um número em classes de três algarismos é feita com um</p><p>pequeno intervalo entre os algarismos que separam as classes. Não se deve usar</p><p>sinais, como o ponto ou a vírgula. Vejam-se os exemplos:</p><p>85 307 → lê-se oitenta e cinco mil, trezentos e sete (unidades).</p><p>9 666 201 → lê-se nove milhões, seiscentos e sessenta e seis mil e duzentos e um</p><p>(unidades).</p><p>3 567 908 315 → lê-se três bilhões, quinhentos e sessenta e sete milhões, novecentos</p><p>e oito mil e trezentos e quinze (unidades).</p><p>1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO</p><p>Cada algarismo significativo de um número tem dois valores: o valor absoluto e o</p><p>valor relativo.</p><p>Valor absoluto é o que ele tem isoladamente do número a que pertence, e valor</p><p>relativo é aquele que o algarismo recebe de acordo com o lugar que ocupa no</p><p>número. Veja-se o exemplo:</p><p>No número 4 602 tem-se que:</p><p>valores relativos</p><p>2 – representa as unidades simples ............................................ 2</p><p>0 – representa as dezenas .......................................................... 00</p><p>6 - representa as centenas ......................................................... 600</p><p>4 – representa as unidades de milhar ........................................4 000</p><p>4 602</p><p>18</p><p>1.4 EXERCÍCIOS</p><p>1) Dizer quais os algarismos que representam as unidades simples, as dezenas e as</p><p>centenas do número 453.</p><p>Solução: em 453 tem-se:</p><p>3..... unidades .... simples .....3</p><p>5..... dezenas ....... ....... ...50</p><p>4..... centenas ...... ....... ..400</p><p>2) Quantas unidades, dezenas e centenas há em 726 unidades?</p><p>Solução: em 726 há</p><p>7 centenas e 2 dezenas; e, como cada centena vale dez dezenas, o</p><p>total de dezenas é 72.</p><p>7 x 100 = 700 → 7 centenas</p><p>70 x 10 = 700 → 70 dezenas</p><p>2 x 10 = 20.... → 2 dezenas</p><p>3) Qual é o valor relativo de 5 em cada um dos números: 12 502 e 36 715?</p><p>Solução:</p><p>em 12 502 tem-se 500 como valor relativo</p><p>em 36 715 tem-se 5 como valor relativo</p><p>4) Quantas dezenas há em 850 unidades? E quantas centenas?</p><p>5) Observar o número 293 e dizer qual é o algarismo de maior valor absoluto e qual</p><p>é o algarismo de maior valor relativo.</p><p>6) No número 3 472, quais são os algarismos das unidades simples, das dezenas e</p><p>das centenas e das unidades de milhar?</p><p>7) Escrever o menor e o maior número formado por dois algarismos significativos</p><p>diferentes.</p><p>8) Qual é o valor relativo de 8 em cada um dos números: 8 315 e 12 080?</p><p>19</p><p>2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS</p><p>2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS</p><p>Adição é a operação que permite reunir todas as unidades de diversos números em</p><p>um só número. O resultado desta operação chama-se soma ou total, e os números</p><p>que se somam, parcelas ou termos. Esta operação permite resolver todos os</p><p>problemas práticos nos quais ocorre o ato de reunir ou juntar os objetos da mesma</p><p>espécie ou as medidas de diversas grandezas referentes à mesma unidade.</p><p>2.1.1 Propriedades fundamentais da adição</p><p>São duas as propriedades fundamentais:</p><p>2.1.1.1 Comutativa – A ordem das parcelas não altera a soma.</p><p>Exemplos: 4 + 3 é igual a 3 + 4 (ambas valem 7)</p><p>6 + 8 + 1 = 8 + 6 + 1 = 1 + 8 + 6 (todas valem 15).</p><p>2.1.1.2 Associativa – A adição de vários números não se altera se algumas de suas</p><p>parcelas forem substituídas por sua soma efetuada.</p><p>Exemplo: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 ou</p><p>8 + 3 + 5 = 11 + 5</p><p>NOTA:</p><p>Inversamente pode-se aplicar a propriedade dissociativa, isto é, substituir parcela</p><p>por outras que a tenham por soma.</p><p>Exemplo: 11 + 5 = (8 + 3) + 5</p><p>2.1.2 Regra prática para efetuar a adição</p><p>Para somar diversos números naturais, escrevem-se uns embaixo dos outros, de</p><p>modo que fiquem dispostos em colunas ou em algarismos da mesma ordem. Em</p><p>outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de</p><p>dezenas, centenas embaixo de centenas...</p><p>20</p><p>Exemplo: Para somar 125 + 13 + 9, escreve-se da seguinte maneira:</p><p>125</p><p>+ 13</p><p>9</p><p>Somam-se os algarismos da última coluna à direita, escreve-se embaixo dela o</p><p>algarismo que representa as unidades simples da soma; as dezenas, caso existam,</p><p>são somadas aos algarismos da coluna das dezenas. Procede-se da mesma forma</p><p>até a última coluna à esquerda, quando se obtém o resultado total.</p><p>No exemplo: 1</p><p>125</p><p>13</p><p>+ 9</p><p>147</p><p>2.1.3 Como conferir uma soma</p><p>Pode-se comparar o resultado de uma soma através da prova real, que é baseada</p><p>na propriedade comutativa. Desse modo, pode-se refazer a operação depois de ter</p><p>trocado a ordem das parcelas. Na prática, equivale a fazer a adição de baixo para</p><p>cima. Se estiver correta, encontra-se o mesmo resultado.</p><p>Exemplo:</p><p>1 024 89</p><p>20 132 20 132</p><p>+ 89 + 1 024</p><p>21 245 21 245</p><p>2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS</p><p>Subtração é a operação que envolve ou representa a idéia de tirar, deduzir ou</p><p>diminuir. O número do qual se tiram unidades é chamado minuendo; o que é tirado</p><p>dele chama-se subtraendo, e o resultado é chamado resto ou diferença.</p><p>A subtração só é possível quando o subtraendo é menor que o minuendo ou, no</p><p>máximo, igual a ele. Se os termos forem iguais, o resultado será nulo.</p><p>2.2.1 Regra prática para efetuar a subtração</p><p>Para efetuar a subtração de dois números escreve-se o subtraendo embaixo do</p><p>minuendo, de modo que fiquem dispostos em colunas os algarismos de mesma</p><p>ordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas</p><p>embaixo de dezenas e centenas embaixo de centenas.</p><p>21</p><p>Exemplo: 8 563 – 928 8 563</p><p>– 928</p><p>resultado: 7 635</p><p>2.2.3 Como verificar se a subtração está certa</p><p>Quando se faz uma subtração pode-se tirar a prova, isto é, pode-se verificar se a</p><p>subtração está correta. Para isso, soma-se o subtraendo com o resto ou diferença.</p><p>Exemplo: 8 563 7 635</p><p>– 928 + 928</p><p>7 635 8 563</p><p>A subtração está certa, porque o número 8 563 – obtido como resultado na adição –</p><p>coincide com o minuendo da subtração, que também é 8 563.</p><p>2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS</p><p>Multiplicar é somar parcelas iguais.</p><p>Exemplo: 4 + 4 + 4 = 12</p><p>4 x 3 = 12 ⇒ que se lê: quatro multiplicado por três ou quatro vezes três.</p><p>Nesta adição, a parcela (4) que se repete é chamada multiplicando; o número de</p><p>vezes (3) que a parcela aparece é chamado multiplicador, e o resultado (12) chama-</p><p>se produto.</p><p>Desse modo, tem-se a seguinte definição: Multiplicação é a operação que permite</p><p>somar um número chamado multiplicando tantas vezes como parcela quantas forem</p><p>as unidades do outro número, chamado multiplicador.</p><p>A multiplicação é indicada por um X colocado entre os dois números chamados</p><p>fatores. Costuma-se, também, indicar a multiplicação de dois números por um ponto</p><p>colocado entre os fatores.</p><p>Exemplo: 1234 =×</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1.ª Quando o multiplicando ou o multiplicador for 0, o produto será nulo.</p><p>Exemplo:</p><p>050 =× ⇒ porque 000000 =++++</p><p>2.ª Quando o multiplicando for 1, o produto será igual ao multiplicador.</p><p>Exemplo:</p><p>441 =× ⇒ porque 41111 =+++</p><p>22</p><p>3.ª Ao multiplicar um número natural por 2, obtém-se o dobro desse número; por 3,</p><p>o triplo; por 4, o quádruplo etc.</p><p>Exemplos:</p><p>5 x 2 = 10 5 + 5 = 10</p><p>5 x 3 = 15 5 + 5 + 5 = 15</p><p>5 x 4 = 20 5 + 5 + 5 + 5 = 20</p><p>2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação</p><p>São duas as propriedades fundamentais:</p><p>2.3.1.1 Comutativa – A ordem dos fatores não altera o produto.</p><p>Exemplo: 4 x 3 é igual a 3 x 4 (ambas iguais a 12).</p><p>2.3.1.2 Distributiva em relação à soma e à diferença indicada – Para multiplicar uma</p><p>soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma de suas</p><p>parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os</p><p>resultados.</p><p>Exemplos: (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3</p><p>(7 – 4) x 5 = 7 x 5 - 4 x 5</p><p>Esta propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos</p><p>os termos.</p><p>2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação</p><p>Mostram-se duas regras:</p><p>1.ª A multiplicação de dois números naturais de um só algarismo é feita de memória.</p><p>Os resultados dessas multiplicações encontram-se na tábua de multiplicação de</p><p>Pitágoras. Como exemplo, veja-se como saber o resultado da multiplicação 7 x 8:</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9X</p><p>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>2 2 4 6 8 10 12 14 16 18</p><p>3 3 6 9 12 15 18 21 24 27</p><p>4 4 8 12 16 20 24 28 32 36</p><p>5 5 10 15 20 25 30 35 40 45</p><p>6 6 12 18 24 30 36 42 48 54</p><p>7 7 14 21 28 35 42 49 56 63</p><p>8 8 16 24 32 40 48 56 64 72</p><p>9 9 18 27 36 45 54 63 72 81</p><p>23</p><p>Procura-se o número 8 na primeira coluna vertical e acompanha-se a linha do 8 na</p><p>horizontal; depois busca-se o número 7 na primeira linha horizontal e acompanha-se</p><p>a coluna do 7 na vertical. Onde as duas linhas se encontram, acha-se o resultado.</p><p>Solução: 7 x 8 = 56</p><p>2.ª A multiplicação de um número natural qualquer por outro de um só algarismo é</p><p>feita multiplicando-se o valor absoluto do multiplicador por cada um dos</p><p>algarismos do multiplicando, a partir da direita.</p><p>De cada produto parcial escreve-se o algarismo das unidades, enquanto as</p><p>dezenas se juntam ao produto parcial sucessivo.</p><p>O último produto obtido é</p><p>escrito por completo.</p><p>Exemplo: 8329 x 7</p><p>1º) 6379 =× 2º) 1472 =×</p><p>3º) 2173 =× 4º) 5678 =×</p><p>2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa</p><p>2.3.3.1 Prova real – É feita refazendo-se a operação depois de trocada a ordem dos</p><p>fatores. Pela propriedade comutativa, deve-se encontrar o mesmo resultado se a</p><p>operação estiver certa.</p><p>Exemplo: 236 25</p><p>X 25 x 236</p><p>1180 150</p><p>472 75</p><p>5 900 50 .</p><p>5 900</p><p>2.3.3.2 Também é possível fazer a prova dividindo o produto da multiplicação (5 900)</p><p>pelo multiplicador (25). Para que o cálculo esteja correto, deve-se obter como</p><p>resultado o multiplicando (236).</p><p>20</p><p>6+</p><p>23</p><p>2+</p><p>58</p><p>2+</p><p>58303</p><p>7</p><p>8329</p><p>622</p><p>×</p><p>24</p><p>Exemplo: 5 900 25</p><p>50 0 236</p><p>090</p><p>75 0</p><p>150</p><p>150</p><p>000</p><p>2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS</p><p>Divisão é a operação que permite verificar quantas vezes um número está contido</p><p>em outro. O maior número (o que contém) chama-se dividendo; o menor (o que está</p><p>contido), divisor; o número de vezes que o dividendo contém o divisor é chamado</p><p>quociente.</p><p>Se o divisor está contido exatamente um certo número de vezes no dividendo, a</p><p>divisão é exata; caso contrário, é aproximada.</p><p>Chama-se resto a diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente.</p><p>A divisão é indicada pelos sinais : ou ÷ que se lêem “dividido por”.</p><p>Exemplo:</p><p>– divisão exata</p><p>15 é o dividendo</p><p>15 : 3 = 5 onde 3 é o divisor</p><p>5 é o quociente.</p><p>– divisão aproximada</p><p>17 3 onde 17 é o dividendo</p><p>15 5 3 é o divisor</p><p>02 5 é o quociente</p><p>2 é o resto.</p><p>2.4.1 Propriedades gerais da divisão</p><p>1.ª Um número dividido por si mesmo resulta como quociente a unidade.</p><p>Exemplo: 188 =÷ porque 818 =×</p><p>2.ª Um número dividido pela unidade resulta como quociente o próprio número.</p><p>Exemplo: 155 =÷ porque 515 =×</p><p>25</p><p>3.ª Zero dividido por qualquer outro número resulta como quociente zero.</p><p>Exemplo: 070 =÷ porque 070 =×</p><p>4.ª Não tem sentido a divisão quando o divisor é zero.</p><p>Assim, por exemplo, =÷ 07 ? (impossível), pois não existe número algum que,</p><p>multiplicado por 0, dê 7.</p><p>Quando um número é dividido por 2 costuma-se dizer que se tomou sua metade; por</p><p>3, sua terça parte; por 4, sua quarta parte etc.</p><p>Para as divisões exatas vale, também, a propriedade distributiva, isto é:</p><p>( ) 31232431224 ÷+÷=÷+</p><p>( ) 31232431224 ÷−÷=÷−</p><p>Do estudo feito, observa-se que:</p><p>a) O resto de uma divisão aproximada é sempre menor que o divisor.</p><p>Exemplo: 39 5 10 7</p><p>35 0 7 7 1</p><p>04 3</p><p>b) O resto de uma divisão exata é zero.</p><p>Exemplo: 24 8</p><p>24 0 3</p><p>00</p><p>2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão</p><p>1.ª Lembrando da tábua de multiplicação de Pitágoras, pode-se fazer de memória</p><p>as divisões em que o divisor tem um só algarismo e o quociente é menor que 10.</p><p>Assim, por exemplo, na divisão de 30 por 4 o quociente é 7 e o resto é 2, porque</p><p>30 = 7 x 4 + 2</p><p>2.ª Para dividir um número qualquer por outro, separa-se no dividendo, a partir da</p><p>esquerda, um número que tenha o divisor no mínimo uma vez e no máximo nove</p><p>vezes. A parte separada é o primeiro dividendo parcial.</p><p>Exemplo: 5 639 15</p><p>Divide-se o número que foi separado no dividendo (56) pelo divisor (15), obtendo</p><p>o primeiro algarismo do quociente (3).</p><p>5 639 15</p><p>3</p><p>26</p><p>A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (3) pelo divisor (15) e</p><p>subtrai-se o produto do primeiro dividendo parcial (56), tendo como resultado o</p><p>resto parcial (11).</p><p>5 639 15</p><p>45 0 3</p><p>11</p><p>Divide-se o segundo dividendo parcial (113) pelo divisor (15) e encontra-se o</p><p>segundo algarismo do quociente (7).</p><p>5 639 15</p><p>45 0 37</p><p>113</p><p>A seguir multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (7) pelo divisor (15) e</p><p>subtrai-se o produto (105) do segundo dividendo parcial (113), tendo como</p><p>resultado o resto parcial (8).</p><p>5 639 15</p><p>45 0 37</p><p>113</p><p>105</p><p>008</p><p>À direita do resto obtido (8) baixa-se o algarismo seguinte do dividendo (9);</p><p>obtém-se, assim, o terceiro dividendo (89), que é o último desta divisão.</p><p>5 639 15</p><p>45 0 37</p><p>113</p><p>105 0</p><p>0089</p><p>Divide-se o terceiro dividendo (89) pelo divisor (15) e encontra-se o terceiro</p><p>algarismo do quociente (5).</p><p>5 639 15</p><p>45 0 375</p><p>113</p><p>105 0</p><p>0089</p><p>A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (5) pelo divisor (15) e</p><p>subtrai-se o produto do terceiro dividendo (89).</p><p>27</p><p>5 639 15</p><p>45 0 375</p><p>113</p><p>105 0</p><p>0089</p><p>75</p><p>14</p><p>Está terminada a divisão. Obteve-se como resultado do cálculo 375 e como resto, 14.</p><p>2.4.3 Como verificar se a divisão está correta</p><p>Faz-se a prova real. A prova real da divisão é feita multiplicando-se o quociente</p><p>(375) pelo divisor (15) e somando este produto com o resto (14). Se a operação</p><p>estiver correta, deve-se encontrar o dividendo (5 639).</p><p>5 639 15</p><p>45 0 375</p><p>113 x 15</p><p>105 0 5 625</p><p>0089 + 14</p><p>75 5 639</p><p>14</p><p>2.4.4 Divisão de números naturais com zeros no final dos números</p><p>Para facilitar a divisão de números naturais com zeros no final dos números, deve-se</p><p>cortar o mesmo número de zeros no dividendo e no divisor e fazer a divisão</p><p>normalmente, como já aprendido. Exemplos:</p><p>1 680 40 6 000 80</p><p>16 0 42 56 0 75</p><p>008 040</p><p>8 0 40 0</p><p>0 00</p><p>2.5 POTÊNCIA</p><p>Chama-se potência de um número o produto cujos fatores são todos iguais a ele.</p><p>Exemplo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243</p><p>Representação: 35 = 243 → lê-se três elevado à quinta potência.</p><p>- o número 3 é denominado base;</p><p>- o número 5, expoente ou grau;</p><p>- o número 243, produto de todos os fatores repetidos, é a</p><p>potência.</p><p>28</p><p>2.5.1 Regras práticas de potenciação</p><p>1.ª Para multiplicar potências semelhantes (com mesmos expoentes) multiplicam-se</p><p>as bases e conserva-se o expoente.</p><p>Exemplos: 34 x 44 = 124 82 x 42 = 322</p><p>2.ª Para dividir potências semelhantes dividem-se as bases e conserva-se o expoente.</p><p>Exemplos: 83 ÷ 23 = 43 42 ÷ 22 = 22</p><p>3.ª Para multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes e conserva-se a</p><p>base.</p><p>Exemplos: 32 x 33 x 34 = 32+3+4 = 39</p><p>73 x 74 = 73+4 = 77</p><p>4.ª Para dividir potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os</p><p>expoentes.</p><p>Exemplos: 37 ÷ 34 = 37-4 = 33</p><p>54 ÷ 53 = 54-3 = 51</p><p>5.ª Para elevar uma potência a outra potência multiplicam-se os expoentes.</p><p>Exemplos: (22)5 = 210</p><p>(33)4 = 312</p><p>6.ª Para elevar uma fração a uma potência elevam-se os dois termos a essa potência.</p><p>Exemplos:</p><p>7.ª Qualquer número diferente de zero, elevado a um expoente negativo, é igual ao</p><p>inverso do mesmo número, com expoente positivo.</p><p>Exemplo:</p><p>8</p><p>1</p><p>2</p><p>12 3</p><p>3 ==−</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>a) 18 = 1 (um) 1 elevado qualquer expoente será sempre 1.</p><p>b) 21 = 2 qualquer número elevado a expoente 1 não se altera.</p><p>c) 70 = 1 qualquer número elevado a expoente zero será sempre 1.</p><p>35</p><p>333</p><p>5</p><p>3 =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>29</p><p>2.5.2 Exercícios</p><p>1. Calcular as potências:</p><p>2. Calcular o quadrado de 133.</p><p>3. Calcular o quadrado de 125.</p><p>4. Calcular o cubo de 3.</p><p>5. Calcular o cubo de 9.</p><p>6. Calcular a diferença entre o cubo de 6 e o quadrado de 7.</p><p>7. Calcular o produto da diferença entre o quadrado de 11 e o quadrado de 9 por 15.</p><p>8. Calcular a divisão do cubo de 8 pelo quadrado de 4.</p><p>9. Calcular as seguintes expressões:</p><p>82 + 33 + 52 + 122 + 112 + 73 =</p><p>132 - 92 + 152 - 202 + 63 + 42 =</p><p>=</p><p>=</p><p>=÷</p><p>=×</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>2</p><p>35</p><p>42</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>4 )8</p><p>40 )7</p><p>33 )6</p><p>22 )5</p><p>7 )4</p><p>175 )3</p><p>5 )2</p><p>7 )1</p><p>( )</p><p>( )</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=×</p><p>=÷</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>1 )16</p><p>5</p><p>3 )15</p><p>42 )14</p><p>26 )13</p><p>1000 )12</p><p>100 )11</p><p>8 )10</p><p>2 )9</p><p>30</p><p>10. Controle mensal da produção de uma indústria de ferramentas segundo a</p><p>capacidade horária de fabricação das máquinas, por setor.</p><p>Calcular as unidades fabricadas.</p><p>Especificação do produto Setor Produção horária Horas trabalhadas Unidades</p><p>fabricadas</p><p>chaves de boca ¾”</p><p>alicate bico redondo</p><p>martelo modelo 00/20</p><p>chave Allen</p><p>brocas ½”</p><p>alargadores 3/8”</p><p>chave de fenda 4x¼”</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>D</p><p>14 500</p><p>324</p><p>867</p><p>285</p><p>620</p><p>255</p><p>117</p><p>35</p><p>25</p><p>40</p><p>38</p><p>27</p><p>18</p><p>29</p><p>Total das unidades fabricadas</p><p>O quadro abaixo representa a produção mensal de uma máquina. Sabendo que a</p><p>empresa trabalha 21 dias por mês, à razão de 8 horas por dia, calcular o número de</p><p>peças fabricadas.</p><p>a) durante 1 dia de trabalho</p><p>b) durante 1 hora de trabalho.</p><p>Especificação do produto Produção mensal Produção diária Produção horária</p><p>peça 7-04</p><p>peça 185/B</p><p>peça 04-12</p><p>peça BC-7</p><p>peça KL-24</p><p>peça 35-12</p><p>peça ZY</p><p>peça 400.02</p><p>672</p><p>840</p><p>1 344</p><p>2 016</p><p>2 520</p><p>1 512</p><p>7 392</p><p>1 008</p><p>31</p><p>3 NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Decimal é o número que tem uma parte (inteira) à esquerda da vírgula e outra parte,</p><p>a decimal, à direita. Exemplo: 3,125. Os algarismos à esquerda da vírgula representam</p><p>o número de unidades inteiras, e os números à direita da vírgula representam,</p><p>sucessivamente, décimos, centésimos, milésimos etc. dessa unidade.</p><p>O grupo de algarismos à esquerda da vírgula denomina-se parte inteira; o da direita,</p><p>parte decimal.</p><p>3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Exemplos de leitura dos números decimais:</p><p>trezentos e quatorze centésimos</p><p>sete mil, quatrocentos e oitenta e cinco milésimos</p><p>duzentos e cinco centésimos</p><p>dois mil e cinco milésimos.</p><p>Na outra forma de leitura, é necessário conhecer os décimos, centésimos e milésimos,</p><p>e também as posições decimais. Lê-se primeiramente o número que representa a parte</p><p>inteira, seguido do nome unidades, e depois a parte decimal, dando a designação da</p><p>unidade representada pelo último algarismo da direita. Se a parte inteira for nula, lê-</p><p>se somente a parte decimal. São exemplos:</p><p>⇒623,15 15 inteiros e 623 milésimos</p><p>⇒72,2 2 inteiros e 72 centésimos</p><p>⇒8543,3 3 inteiros e 8 543 décimos de milésimos</p><p>⇒01856,0 1 856 centésimos de milésimos</p><p>⇒02,0 2 centésimos</p><p>⇒001,0 1 milésimo</p><p>→= 100</p><p>31414,3</p><p>→= 1000</p><p>7485485,7</p><p>→= 100</p><p>20505,2</p><p>→= 1000</p><p>2005005,2</p><p>32</p><p>O quadro a seguir apresenta as posições decimais do número 4,918463.</p><p>in</p><p>te</p><p>iro</p><p>s</p><p>dé</p><p>ci</p><p>m</p><p>os</p><p>ce</p><p>nt</p><p>és</p><p>im</p><p>os</p><p>m</p><p>ilé</p><p>si</p><p>m</p><p>os</p><p>dé</p><p>ci</p><p>m</p><p>os</p><p>d</p><p>e</p><p>m</p><p>ilé</p><p>si</p><p>m</p><p>o</p><p>ce</p><p>nt</p><p>és</p><p>im</p><p>os</p><p>de</p><p>m</p><p>ilé</p><p>si</p><p>m</p><p>o</p><p>m</p><p>ili</p><p>on</p><p>és</p><p>im</p><p>o</p><p>quatro inteiros, novecentos e</p><p>dezoito mil e quatrocentos e</p><p>sessenta e três milionésimos</p><p>4, 9 1 8 4 6 3</p><p>Se for necessário escrever um número decimal que tenha partes ainda menores que</p><p>o milionésimo, pode-se usar posições cada vez mais para a direita.</p><p>3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Compor é formar um número juntando seus grupos.</p><p>Exemplos:</p><p>Qual é o número que contém 3 dezenas, 2 unidades, 8 décimos, 4 centésimos e 5</p><p>milésimos? O número decimal formado é: 32,845</p><p>Qual é o número que contém 4 unidades, 6 décimos, 2 centésimos e 3 milésimos?</p><p>O número decimal formado é: 4,623</p><p>Por outro lado, decompor um número decimal é dar o valor de cada algarismo dele.</p><p>Exemplos:</p><p>43,265 – A posição dos algarismos indica que esse número é formado por:</p><p>4 dezenas, 3 unidades, 2 décimos, 6 centésimos e 5 milésimos.</p><p>21,874 – Ele é formado por:</p><p>2 dezenas, 1 unidade, 8 décimos, 7 centésimos e 4 milésimos.</p><p>3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Comparar números decimais consiste em descobrir qual é o maior. Quando dois</p><p>números decimais têm as unidades inteiras diferentes, é muito fácil saber qual é o</p><p>maior. Neste caso, o maior é aquele que tem a parte antes da vírgula, inteira, maior.</p><p>33</p><p>Exemplos:</p><p>Qual é o maior: 2,31 ou 1,52? Logo se vê que 2,31 é maior que 1,52, porque 2 é</p><p>maior que 1. Do mesmo modo, o número 11,03 é maior que 9,12 porque 11 é maior</p><p>que 9 e o número 12,5 é maior que 10,628 porque 12 é maior que 10.</p><p>Mostra-se agora como descobrir o número decimal que é maior quando as unidades</p><p>inteiras são iguais.</p><p>3.3.1 Primeiro caso</p><p>Observando os números 3,15 e 3,12, verifica-se que têm unidades inteiras iguais</p><p>antes da vírgula, e também a mesma quantidade de posições depois da vírgula. Os</p><p>dois números têm duas posições decimais depois da vírgula. Neste caso, é só</p><p>comparar: é maior o número que tem a parte decimal maior. Assim, 3,15 é maior que</p><p>3,12, porque 15 é maior que 12.</p><p>3.3.2 Segundo caso</p><p>Observando agora os números 6,15 e 6,7, vê-se que têm unidades inteiras iguais e</p><p>partes decimais com quantidade diferente de posições depois da vírgula. O primeiro</p><p>tem dois algarismos depois da vírgula, e o segundo só tem um. Neste caso, para</p><p>saber qual é o maior, iguala-se a quantidade de casas decimais colocando zeros no</p><p>número que tiver menos casas. Assim: 6,15 e 6,70. Em seguida, vê-se qual dos</p><p>dois tem a parte decimal maior.</p><p>No exemplo, 6,7 é maior que 6,15 porque:</p><p>– as partes inteiras são iguais (6 e 6);</p><p>– ao igualar o número de casas vê-se que 70 é maior que 15.</p><p>Em outro exemplo:</p><p>8,3 é maior que 8,125 porque:</p><p>– as partes inteiras são iguais (8 e 8);</p><p>– ao igualar o número de casas da parte decimal colocando zeros deixam-se os</p><p>dois números com três casas: 8,300 e 8,125;</p><p>– vê-se que 300 é maior que 125.</p><p>3.4 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS DECIMAIS</p><p>3.4.1 Adição de números decimais</p><p>Para somar um número decimal deve-se escrever os números de maneira que as</p><p>vírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a</p><p>soma exatamente como se faz com os números naturais. Depois, para completar a</p><p>soma, coloca-se a vírgula no resultado.</p><p>34</p><p>Exemplo: Efetuar a soma: 5,135 + 103,61 + 237,402= 346,147 5,135</p><p>103,61</p><p>+ 237,402</p><p>346,147</p><p>A vírgula do resultado da soma deve ficar abaixo das demais vírgulas.</p><p>Às vezes torna-se necessário somar números inteiros (números sem vírgulas) com</p><p>números decimais (números com vírgula). Neste caso, para a montagem da conta</p><p>considera-se que há uma vírgula logo após o número inteiro.</p><p>Exemplo: Efetuar a soma: 8,23 + 13= 21,23 8,23</p><p>+ 13,00</p><p>21,23</p><p>Observe-se que a vírgula que se considera existir no número 13 ficou</p><p>embaixo da vírgula do número decimal.</p><p>3.4.1.1 Soma de medidas – Para somar medidas, o procedimento é o mesmo</p><p>utilizado para efetuar adições ou subtrações de números naturais e números</p><p>decimais. As medidas a ser somadas precisam estar na mesa unidade.</p><p>Exemplo: Para somar 3,2 m + 25,1 m</p><p>3,2 m a unidade de medida é o metro</p><p>+ 25,1 m a unidade de medida é o metro</p><p>28,3 m a unidade de medida é o metro</p><p>3.4.2 Subtração de números decimais</p><p>Para subtrair um número decimal, deve-se escrever os números de maneira que as</p><p>vírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a</p><p>subtração exatamente como é feito com números naturais. Depois, para completar a</p><p>subtração, é necessário colocar a vírgula no resultado.</p><p>Exemplo: Efetuar a seguinte subtração:</p><p>228,943 - 117,540 228,943</p><p>– 117,540</p><p>111,403</p><p>A vírgula do resultado da subtração deve ficar abaixo das demais vírgulas.</p><p>Às vezes precisa-se subtrair números inteiros (números sem vírgula) de números</p><p>decimais (números com vírgula), ou subtrair números decimais (números com</p><p>vírgulas) de números inteiros (números sem vírgula).</p><p>35</p><p>Exemplos: 9,453 5</p><p>- 7 - - 3,22</p><p>Para facilitar a operação, coloca-se a vírgula no número natural e preenchem-se as</p><p>posições vazias com zeros.</p><p>9,453 5,00</p><p>- 7.000- - 3,22</p><p>Depois, efetua-se a operação:</p><p>9,453 5,00</p><p>- 7.000- - 3,22</p><p>2,453 1,78</p><p>3.4.3 Multiplicação de números decimais</p><p>3.4.3.1 Multiplicação de números decimais por números naturais – Inicialmente, faz-</p><p>se a multiplicação como nos números naturais.</p><p>12,6</p><p>x 4</p><p>504</p><p>Agora só falta pôr a vírgula no resultado.</p><p>Dos números que foram multiplicados, um possui uma casa decimal (12,6, isto é, um</p><p>algarismo depois da vírgula). Neste caso, o resultado ficará com uma casa decimal,</p><p>uma casa após a vírgula:</p><p>12, 6 este fator tem uma posição decimal</p><p>x 40</p><p>50, 4 o produto ou resultado tem uma posição decimal</p><p>Quando se multiplica um número decimal que tem duas posições decimais por um</p><p>número natural, o resultado também fica com duas posições decimais, isto é, dois</p><p>algarismos depois da vírgula.</p><p>Exemplo:</p><p>2, 14 este fator tem duas posições decimais</p><p>x 2 0</p><p>4, 28 o produto ou resultado tem duas posições decimais.</p><p>36</p><p>Quando se multiplica um número decimal que tem três posições decimais por um</p><p>número natural, o resultado também fica com três posições decimais, isto é, três</p><p>algarismos depois da vírgula. Exemplo:</p><p>2, 314 este fator tem três posições decimais</p><p>x 5 0</p><p>11, 570 o produto ou resultado tem três posições decimais.</p><p>Da mesma maneira, ao multiplicar um número decimal com quatro casas decimais</p><p>por um número natural, o resultado terá quatro casas decimais, e assim por diante.</p><p>3.4.3.2 Multiplicação de números decimais por números decimais – Também neste</p><p>caso, a única diferença entre a multiplicação com números naturais e a multiplicação</p><p>com números decimais é a vírgula. Exemplo:</p><p>2,7 uma casa decimal Serão somadas as casas decimais e contadas</p><p>x 1,4 0 uma casa decimal no resultado, da direita para a esquerda.</p><p>108</p><p>+ 27</p><p>3,78 duas casas decimais</p><p>− − , 7 2 casas ,78 duas casas após a vírgula</p><p>− − , 4</p><p>Outros exemplos:</p><p>13,58 duas casas decimais</p><p>x 3,6 0 uma casa decimal</p><p>8148</p><p>+4074 0</p><p>48,888 três casas decimais</p><p>Neste exemplo, o resultado ficou com três casas decimais, porque os dois fatores</p><p>juntos têm três casas decimais após a vírgula.</p><p>14,59 duas casas decimais</p><p>x 1,25 0 duas casas decimais</p><p>7295</p><p>2918</p><p>+ 1459 0</p><p>18,2375 quatro casas decimais</p><p>Neste exemplo, o resultado ficou com quatro casas decimais porque os dois fatores</p><p>juntos têm quatro casas decimais.</p><p>37</p><p>3.4.4 Divisão de números decimais</p><p>A divisão é o processo inverso da multiplicação. Assim, nesta operação, ao invés de</p><p>somar, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo do número de</p><p>posições decimais do divisor.</p><p>Exemplo:</p><p>4 , 9 5 0 ÷ 2, 7 5 = 1 , 8</p><p>três duas uma</p><p>posições posições posição</p><p>decimais decimais decimal</p><p>3.4.4.1 Divisões cujo dividendo tem maior número de posições decimais que o divisor</p><p>1.º exemplo: 3,22 ÷ 2,3 =</p><p>Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem</p><p>naturais.</p><p>3,22 2,3 322 230 método de igualar as casas decimais</p><p>- 2 3 0 1,4 ou 230 1,......</p><p>0 92 092</p><p>- 92 para continuar, coloca-se um zero ao lado do 92.</p><p>00 920 230</p><p>920 ...,4</p><p>000 Resultado: 1,4</p><p>Para colocar a vírgula no quociente, contam-se as casas decimais do dividendo e</p><p>subtrai-se do número de casas decimais do divisor.</p><p>3,22 ÷ 2,3 =</p><p>2 – 1 = 1</p><p>Nesta divisão, o quociente terá 1 casa decimal, ou seja: 1,4.</p><p>2.º exemplo: 12,744 ÷ 5,4</p><p>12,744 5,4</p><p>- 10 8 0 2,36</p><p>01 94</p><p>- 1 62</p><p>0 324</p><p>- 324</p><p>000</p><p>38</p><p>O dividendo tem três posições decimais, e o divisor tem uma posição decimal. Como</p><p>3 - 1 = 2, o quociente terá duas posições decimais.</p><p>Assim: 12,744 ÷ 5,4 = 2,36</p><p>3 - 1 = 2</p><p>3.º exemplo:</p><p>Tendo-se uma divisão cujo dividendo tem uma ou mais posições decimais e o divisor</p><p>é número natural que não tem posições decimais, ou seja, zero posições decimais.</p><p>Inicialmente faz-se a divisão como segue:</p><p>83,7 ÷ 27 = 3,1</p><p>83,7 27</p><p>- 81 0 3,1</p><p>02 7</p><p>- 2 7</p><p>0 0</p><p>Para colocar a vírgula, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo, que</p><p>é um, do número de posições decimais do divisor, que é zero. Então: 1 – 0 = 1</p><p>83,7 ÷ 27 = 3,1</p><p>1 - 0 = 1</p><p>4.º exemplo:</p><p>116,55 ÷ 63 =</p><p>116,55 63</p><p>- 63 0 1,85</p><p>53 5</p><p>- 50 4 0</p><p>03 15</p><p>- 3 15</p><p>0 00</p><p>Para colocar a vírgula, tem-se duas posições decimais no dividendo menos zero</p><p>posições decimais no divisor:</p><p>116,55 ÷ 63 = 1,85</p><p>2 - 0 = 2</p><p>39</p><p>3.4.4.2 Divisões cujo dividendo e divisor têm o mesmo número de posições decimais</p><p>1.º exemplo:</p><p>46,8 ÷ 7,8</p><p>Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem</p><p>naturais.</p><p>46,8 7,8</p><p>- 46 80 6</p><p>00 0</p><p>O dividendo tem uma posição decimal. O divisor também tem uma posição decimal.</p><p>46,8 ÷ 7,8 = 6</p><p>1 - 1 = 0</p><p>O quociente é um número sem posições decimais.</p><p>2.º exemplo:</p><p>8,16 ÷ 0,68 = 12</p><p>8,16 0,68</p><p>- 6 8 0 12</p><p>1 36</p><p>- 1 36 0</p><p>0 00</p><p>O quociente é um número que tem apenas unidades inteiras, sem partes decimais,</p><p>porque o dividendo e o divisor têm o mesmo número de posições decimais.</p><p>3.4.4.3 Divisões cujo dividendo tem menor número de posições decimais que o divisor</p><p>1.º exemplo:</p><p>53,9 ÷ 3,85 =</p><p>O dividendo tem uma posição decimal; o divisor tem duas posições decimais. Pode-se</p><p>calcular zeros à direita de um número decimal depois da vírgula, sem mudar seu</p><p>valor. Se for colocado um zero no dividendo, ficam duas posições decimais, tanto no</p><p>dividendo como no divisor:</p><p>53,90 ÷ 3,85 =</p><p>40</p><p>Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem</p><p>naturais.</p><p>53,90 3,85</p><p>- 38 5 0 14</p><p>15 40</p><p>- 15 40 0</p><p>00 00</p><p>O quociente é um número sem posição decimal, porque:</p><p>53,90 ÷ 3,85 = 14</p><p>2 – 2 = 0</p><p>2.º exemplo:</p><p>59,5 ÷ 2,125 = 28</p><p>59,500 2,125</p><p>- 42 50 0 28</p><p>17 000</p><p>- 17 000 0</p><p>00 000</p><p>O quociente é um número sem posição, porque:</p><p>59,500 ÷ 2,125 = 28</p><p>3 – 3 = 0</p><p>3.º exemplo:</p><p>Quando o dividendo tem somente unidades inteiras, pode-se colocar vírgula no</p><p>dividendo e acrescentar zeros:</p><p>202 ÷ 50,5 =</p><p>202,0 50,5</p><p>- 202 0 0 4</p><p>000 0</p><p>O quociente é um número sem posição decimal, porque:</p><p>41</p><p>202,0 ÷ 50,5 = 4</p><p>1 – 1 = 0</p><p>3.4.4.4 Divisões com aproximação – Já foi visto que, para determinar as posições</p><p>decimais do quociente de uma divisão, basta contar as posições decimais do</p><p>dividendo e do divisor e subtrair uma da outra.</p><p>1.º exemplo:</p><p>3,3 ÷ 1,2 = 2</p><p>3,3 1,2</p><p>– 2,40 2</p><p>0 9</p><p>O quociente é um número sem posições decimais, e sobra o resto 9.</p><p>2.º exemplo:</p><p>3,30 ÷ 1,2 = 2,7</p><p>3,30 1,2</p><p>- 2 4 0 2,7</p><p>0 90</p><p>84 0</p><p>06</p><p>O quociente possui uma casa decimal, e sobra resto 6.</p><p>3.º exemplo:</p><p>3,300 ÷ 1,2 = 2,75</p><p>3,300 1,2</p><p>- 2 4 0 2,75</p><p>0 90</p><p>- 84 0</p><p>060</p><p>- 60</p><p>00</p><p>O quociente possui duas posições decimais. Sabe-se que é possível colocar zeros à</p><p>direita de um número decimal depois da vírgula sem mudar seu valor.</p><p>Então, 3,3 = 3,30 = 3,300</p><p>42</p><p>O dividendo e o divisor são os mesmos nas divisões anteriores,</p><p>3,3 ÷ 1,2 = 2</p><p>3,30 ÷ 1,2 = 2,7</p><p>3,300 ÷ 1,2 = 2,75</p><p>mas o quociente é diferente em cada exemplo. Isso significa que, quanto mais zeros</p><p>forem colocados no dividendo, mais posições decimais terá o quociente.</p><p>Ao continuar a conta – colocando zeros no dividendo – está-se fazendo uma</p><p>aproximação.</p><p>4.º exemplo:</p><p>1,5 ÷ 0,8 = 1</p><p>Esta é uma conta sem aproximação decimal.</p><p>1,5 0,8</p><p>– 8 0 1</p><p>0 7</p><p>5.º exemplo:</p><p>1,50 ÷ 0,8 = 1,8</p><p>Esta é uma conta com aproximação de décimos, porque o quociente ficou com uma</p><p>posição decimal.</p><p>1,50 0,8</p><p>- 8 0 1,8</p><p>0 70</p><p>- 64 0 aproximação de décimos</p><p>Se for desejado, pode-se continuar a conta anterior até a casa dos centésimos,</p><p>milésimos..., desde que se continue a dispor de resto. Basta, para isso, ir</p><p>acrescentando zeros no dividendo.</p><p>1,500 0,8 1,5000 0,8</p><p>- 8 0 1,87 - 8 0 1,875</p><p>0 70 0 70</p><p>- 64 0 aproximação de centésimos - 64 0 aproximação de milésimos</p><p>060 060</p><p>- 56 - 56 0</p><p>04 040</p><p>40</p><p>00</p><p>43</p><p>3.4.4.5 Divisões com números decimais por 10, 100, 1 000 etc. – Para dividir um</p><p>número decimal por 10, 100, 1 000... deve-se deslocar a vírgula para a esquerda</p><p>tantas casas quantos forem os zeros do algarismo divisor. Na falta de casas</p><p>decimais no número que está sendo dividido, é preciso completar com zero a</p><p>posição decimal que está faltando.</p><p>1.º exemplo:</p><p>Para dividir um número por 10, desloca-se a vírgula uma casa</p><p>para a esquerda:</p><p>375,12 ÷ 10 = 37,512</p><p>289,75 ÷ 10 = 28,975</p><p>0,32 ÷ 10 = 0,032</p><p>2.º exemplo:</p><p>Para dividir um número por 100, desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda:</p><p>843,2 ÷ 100 = 8,432</p><p>43,8 ÷ 100 = 0,438</p><p>0,2 ÷ 100 = 0,002</p><p>3.º exemplo:</p><p>Para dividir um número por 1 000, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda:</p><p>1 042,4 ÷ 1 000 = 1,0424</p><p>9 651,3 ÷ 1 000 = 9,6516</p><p>74,8 ÷ 1 000 = 0,0748</p><p>3.5 EXERCÍCIOS</p><p>Calcular os comprimentos “C” indicados nas seguintes peças:</p><p>A B</p><p>44</p><p>C D</p><p>E F</p><p>G</p><p>45</p><p>H</p><p>Achar a profundidade de corte “P” necessária para dar forma quadrada ao eixo</p><p>representado abaixo.</p><p>Qual é a espessura da parede “E” da tubulação da figura a seguir?</p><p>46</p><p>Calcular o diâmetro “Ø” e a dimensão “X” da figura.</p><p>Calcular o comprimento C da figura.</p><p>Calcular na figura abaixo:</p><p>a) C =</p><p>b) Os espaços entre os pontos do intervalo 1 e 2.</p><p>∅</p><p>47</p><p>4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE</p><p>4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO</p><p>Um número é múltiplo de outro quando sua divisão por ele é exata.</p><p>Assim, 21 é múltiplo de 7 e de 3, pois 21 ÷ 7 = 3</p><p>21 ÷ 3 = 7</p><p>4.2 DIVISIBILIDADE</p><p>4.2.1 Divisibilidade por 2</p><p>Um número é divisível por 2 quando o último algarismo (de suas unidades) é 0, 2, 4,</p><p>6 ou 8. Isto é: divisíveis por 2 são todos os números pares.</p><p>4.2.2 Divisibilidade por 3</p><p>Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus</p><p>algarismos é divisível por 3.</p><p>Exemplo: o número 37 212 é divisível por 3 porque 3 + 7 + 2 + 1 + 2 = 15, que é</p><p>múltiplo de 3.</p><p>4.2.3 Divisibilidade por 4</p><p>Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos da direita formam</p><p>um número divisível por 4.</p><p>Exemplos: os números 316, 7 620 e 156 732 são divisíveis por 4.</p><p>4.2.4 Divisibilidade por 5</p><p>Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.</p><p>Exemplos: 220, 785, 250, 135, 170 e 485.</p><p>4.2.5 Divisibilidade por 6</p><p>Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.</p><p>Exemplos: 282, 180, 2 334, 192 e 72.</p><p>48</p><p>4.2.6 Divisibilidade por 9</p><p>Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus</p><p>algarismos é divisível por 9.</p><p>Exemplo: o número 1 836 é divisível por 9 porque 1 + 8 + 3 + 6 = 18, que é divisível</p><p>por 9.</p><p>4.2.7 Divisibilidade por 10</p><p>Um número é divisível por 10 quando termina em 0.</p><p>Exemplos: 20, 50, 100, 2 000.</p><p>4.3 NÚMERO PRIMO</p><p>Um número é primo quando é divisível só por si e pela unidade (1).</p><p>Exemplos: a) 3 ÷ 3 = 1 b) 17 ÷ 17 = 1 c) 29 ÷ 29 = 1</p><p>3 ÷ 1 = 3 17 ÷ 1 = 17 29 ÷ 1 = 1</p><p>4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM</p><p>Mínimo múltiplo comum – MMC de dois ou mais números é o menor número</p><p>diferente de zero que é divisível por todos eles ao mesmo tempo.</p><p>Na prática, escrevem-se os números em linha horizontal, dividem-se todos pelos</p><p>fatores primos comuns e, separadamente, pelos não-comuns, até obter quocientes</p><p>iguais à unidade.</p><p>Exemplo: esta é a disposição de dados para extrair o MMC dos números 36, 90 e 120:</p><p>o MMC é o produto de todos os divisores, à direita do traço vertical. Isto é:</p><p>MMC (36, 90, 120) = 23 x 32 x 5 =360</p><p>8 x 9 x 5 =360</p><p>36 – 90 -120 2</p><p>18 – 45 - 60 2</p><p>09 – 45 - 30 2</p><p>09 – 45 - 15 3</p><p>03 – 15 - 05 3</p><p>01 - 05 - 05 5</p><p>01 - 01- 01</p><p>49</p><p>4.5 EXERCÍCIOS</p><p>1 Calcular o MMC dos números:</p><p>a) 220, 110 e 50</p><p>b) 25, 15 e 90</p><p>c) 400, 1 200 e 1 500</p><p>d) 45, 60 e 75</p><p>e) 680 e 920</p><p>f) 750 e 370</p><p>g) 6, 12, 24 e 18</p><p>h) 8, 24, 18 e 16</p><p>2 Decompor os números 168, 180 e 300 em seus fatores primos, determinando o</p><p>MMC entre esses números.</p><p>3 Escrever à direita de 36 um algarismo tal que o número formado seja divisível</p><p>por 3.</p><p>4. Qual é o menor número que se deve somar a 453 para torná-lo divisível por 9?</p><p>50</p><p>51</p><p>5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS</p><p>Para representar uma ou mais partes do inteiro são necessários dois números: o</p><p>primeiro indica o número de partes que foram tomadas do inteiro, e é chamado</p><p>numerador; o segundo, diferente de zero, indica em quantas partes, de mesma</p><p>forma e tamanho, foi dividido o inteiro, e chama-se denominador.</p><p>Exemplo:</p><p>. numerador</p><p>denominador</p><p>O inteiro foi dividido em quatro partes iguais e foi tomada somente uma parte. A</p><p>parte tomada representa um quarto do todo.</p><p>desenhar figura 0 ( )avosdezesseiscinco</p><p>16</p><p>5= (( (((999</p><p>O inteiro foi dividido em dezesseis partes iguais e foram tomadas somente cinco</p><p>partes.</p><p>5.1 LEITURA DE FRAÇÕES</p><p>Para ler uma fração, diz-se primeiro o numerador e depois o denominador. Mas não</p><p>basta dizer os dois números, um depois do outro: conforme o denominador, lê-se a</p><p>fração de modo diferente.</p><p>Exemplos:</p><p>4</p><p>1=</p><p>52</p><p>Denominador lê-se Exemplo</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>meio, meios</p><p>terço, terços</p><p>quarto, quartos</p><p>quinto, quintos</p><p>sexto, sextos</p><p>sétimo, sétimos</p><p>oitavo, oitavos</p><p>nono, nonos</p><p>1 0</p><p>2</p><p>1 0 2 0</p><p>3 3</p><p>1 0 3 0</p><p>4 4</p><p>1 0 4 0</p><p>5 5</p><p>1 0 5 0</p><p>6 6</p><p>1 0 6 0</p><p>7 7</p><p>1 0 7 0</p><p>8 8</p><p>1 0 8 0</p><p>9 9</p><p>Além desses denominadores, as frações podem ter qualquer outro denominador,</p><p>diferente de zero.</p><p>Para ler frações com denominador 10, 100 e 1 000:</p><p>- quando o denominador é 10, diz-se décimo ou décimos:</p><p>1 0 lê-se um décimo</p><p>10</p><p>3 0 lê-se três décimos</p><p>10</p><p>- quando o denominador é 100, diz-se centésimo ou centésimos:</p><p>1 0 lê-se um centésimo</p><p>100</p><p>3 0 lê-se três centésimos</p><p>100</p><p>27 0 lê-se vinte e sete centésimos</p><p>100</p><p>53</p><p>- quando o denominador é 1 000, diz-se milésimo ou milésimos:</p><p>1 0 lê-se um milésimo</p><p>1000</p><p>27 0 lê-se vinte e sete milésimos</p><p>1 000</p><p>53 0 lê-se cinqüenta e três milésimos</p><p>1 000</p><p>Se o denominador é um número maior que 10 e diferente de 100, 1 000..., lê-se o</p><p>número que representa o denominador seguido da palavra avos:</p><p>3 0 lê-se três onze avos</p><p>11</p><p>6 0 lê-se seis quinze avos</p><p>15</p><p>1 0 lê-se um vinte avos</p><p>20</p><p>4 0 lê-se quatro cento e um avos</p><p>101</p><p>5.2 TIPOS DE FRAÇÕES</p><p>5.2.1 Fração própria</p><p>O numerador é menor que o denominador.</p><p>5.2.2 Fração imprópria</p><p>O numerador é maior que o denominador. Suponha-se um círculo dividido em seis</p><p>partes. Cada parte corresponde a um sexto do círculo.</p><p>Na figura a seguir, o número de partes corresponde a nove sextos:</p><p>3</p><p>2=</p><p>4</p><p>3=</p><p>numerador menor</p><p>denominador maior</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>6 +</p><p>6</p><p>9=</p><p>numerador maior</p><p>denominador menor</p><p>54</p><p>24</p><p>8 =</p><p>5.2.3 Fração aparente (imprópria)</p><p>O numerador é igual ou múltiplo do denominador. Representam números inteiros</p><p>que se obtêm dividindo o numerador pelo denominador.</p><p>→ inteiros → inteiros</p><p>5.2.4 Número misto</p><p>É a soma de um número inteiro, diferente de zero, com uma fração própria.</p><p>Exemplo:</p><p>5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE-</p><p>VERSA</p><p>Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplica-se o denominador</p><p>pelo inteiro e adiciona-se o numerador, mantendo o mesmo denominador.</p><p>Exemplos:</p><p>Para fazer a operação inversa – transformar a fração imprópria em número misto –,</p><p>o quociente será o inteiro, o resto será o numerador e o denominador será o mesmo.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 9 | 4 → b) 14 | 3 →</p><p>8 2 12 4</p><p>1 02</p><p>5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES</p><p>Multiplicando ou dividindo ambos os termos de uma fração por um mesmo número,</p><p>diferente de zero, obtém-se uma fração de mesmo valor que a anterior.</p><p>Exemplos:</p><p>a) b)</p><p>5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Com base no princípio anterior, sempre que os termos de uma fração admitem</p><p>divisores comuns, diferentes de 1, pode-se simplificá-la (torná-la irredutível).</p><p>a) 16 ÷ 2 =</p>