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02_Algebra_booleana_portas_logicas

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todos os temos são somados (OR)
† Exemplo
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
F = !A.B.!C + !A.B.C + A.!B.C + A.B.!C 
→ !A.B.!C
→ !A.B.C
→ A.!B.C
→ A.B.!C
144
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Produto de somas
† Para cada linha da tabela verdade onde a saída é 0, cria-se um 
termo soma
† Em cada termo soma as variáveis de entrada iguais a 1 aparecem 
negadas e aquelas iguais a 0 aparecem não negadas
† Em seguida todos os temos são multiplicados (AND)
† Exemplo
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
F = (A+B+C).(A+B+!C).(!A+B+C).(!A+!B+!C) 
→ A+B+C
→ A+B+!C
→ !A+B+C
→ !A+!B+!C
145
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Soma de produtos
- Saída = 1
- Variáveis = 0 aparecem 
negadas na expressão
Produto de somas
- Saída = 0
- Variáveis = 1 aparecem 
negadas na expressão
146
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
→ !A . B
→ A . !B
→ A + B
→ !A + !B
F = (A + B).(!A + !B) 
F = !A.B + A.!B 
Equações equivalentes
F = (A + B).(!A + !B)
F = (A + B).!A + (A + B).!B (Distributividade)
F = !A.(A + B) + !B.(A + B) (Comutatividade)
F = !A.A + !A.B + !B.A + !B.B (Distributividade)
F = 0 + !A.B + !B.A + 0 (AND: X . !X = 0)
F = !A.B + !B.A (OR: X + 0 = X)
F = !A.B + A.!B (Comutatividade)
147
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
→ !A . !B . !C
→ !A . !B . C
→ !A . B . !C
→ !A . B . C
→ A . B . !C
→ A . B . C
F = !A.!B.!C + !A.!B.C + !A.B.!C + !A.B.C +
A.B.!C + A.B.C
→ !A + B + C
→ !A + B + !C
F = (!A + B + C).(!A + B + !C)
Equações equivalentes
148
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
→ !A . !B . !C . !D
→ !A . !B . C . D
→ !A . B . C . !D
→ A . !B . !C . D
→ A . B . !C . D
→ A . B . C . D
F = !A.!B.!C.!D + !A.!B.C.D + !A.B.C.!D + 
A.!B.!C.D + A.B.!C.D + A.B.C.D→ A + B + C + !D
→ A + B + !C + D
→ A + !B + C + D
→ A + !B + C + !D
→ A + !B + !C + !D
→ !A + B + C + D
→ !A + B + !C + D
→ !A + B + !C + !D
→ !A + !B + C + D
→ !A + !B + !C + D
F = (A + B + C + !D).(A + B + !C + D).
(A + !B + C + D).(A + !B + C + !D).
(A + !B + !C + !D).(!A + B + C + D).
(!A + B + !C + D).(!A + B + !C + !D).
(!A + !B + C + D).(!A + !B + !C + D)
Equações equivalentes
149
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Projeto de circuitos baseado em tabela-verdade
† A tabela verdade é usada para descrever o comportamento 
do circuito
Tabela verdade
Equação booleana
Especificação
Circuito lógico
150
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Paridade é um método utilizado para detectar erro na transmissão 
de um conjunto de bits
† Se o número de bits em 1 a ser transmitido é impar, o bit de 
paridade deve ser 1, afim de tornar par o número total de bits em 1
† O receptor verifica o número total de bits em 1 (dados + bit de 
paridade). Se o número de bits em 1 for ímpar, um erro de 
transmissão é detectado
Circuito 
A
a
b
c
P
Circuito 
B
Transmissão paralela de 3 bits (a,b e c) mais o bit de paridade (P)
=1
=1
=1
=1
Ex. PC Ex. Impressora
151
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Paridade é um método utilizado para detectar erro na transmissão 
de um conjunto de bits
† Se o número de bits em 1 a ser transmitido é impar, o bit de 
paridade deve ser 1, afim de tornar par o número total de bits em 1
† O receptor verifica o número total de bits em 1 (dados + bit de 
paridade). Se o número de bits em 1 for ímpar, um erro de 
transmissão é detectado
Circuito 
A
a
b
c
P
Circuito 
B
Transmissão paralela de 3 bits (a,b e c) mais o bit de paridade (P)
=1
=1
=0
=0
Ex. PC Ex. Impressora
152
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Paridade é um método utilizado para detectar erro na transmissão 
de um conjunto de bits
† Se o número de bits em 1 a ser transmitido é impar, o bit de 
paridade deve ser 1, afim de tornar par o número total de bits em 1
† O receptor verifica o número total de bits em 1 (dados + bit de 
paridade). Se o número de bits em 1 for ímpar, um erro de 
transmissão é detectado
Transmissão paralela de 3 bits (a,b e c) mais o bit de paridade (P)
a
b
c
P
Circuito 
B
Ex. PC Ex. Impressora
Gera os dados a 
serem transmitidos
Gera o bit de 
paridade
153
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Tabela verdade
a b c P
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
a
b
c
P
Circuito 
B
Ex. PC Ex. Impressora
154
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Tabela verdade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
a
b
c
P
Circuito 
B
Ex. PC Ex. Impressora
155
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Equação booleana
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
a
b
c
P
Circuito 
B
Ex. PC Ex. Impressora
P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.!b.!c + a.b.c 
→ !a.!b.c
→ !a.b.!c
→ a.!b.!c
→ a.b.c
→ a + b + c
→ a + !b + !c
→ !a + b + !c
→ !a + !b + c
P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+b+!c).(!a+!b+c)
156
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Circuito lógico
Negação (equivale a um inversor)
P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.!b.!c + a.b.c 
!a.!b.c
!a.b.!c
a.!b.!c
a.b.c
!a.!b.c + !a.b.!c + a.!b.!c + a.b.c
157
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Gerador de paridade
† Circuito lógico
P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+b+!c).(!a+!b+c)
a+b+c
a+!b+!c
!a+b+!c
!a+!b+c
(a+b+c).(a+!b+!c).(!a+b+!c).(!a+!b+c)
158
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Logisim
159
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Igualdade de 2 números de 2 bits
† A: A1 A0
† B: B1 B0
† Igual ← 1 quando A = B, senão 0
=
IguaisA
B
2
2
160
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Igualdade de 2 números de 2 bits
A1 A0 B1 B0 Iguais
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
161
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Igualdade de 2 números de 2 bits
A1 A0 B1 B0 Iguais
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
→ !A1.!A0.!B1.!B0
→ !A1.A0.!B1.B0
F = !A1.!A0.!B1.!B0 + !A1.A0.!B1.B0 + 
A1.!A0.B1.!B0 + A1.A0.B1.B0
→ A1.!A0.B1.!B0
→ A1.A0.B1.B0
162
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Igualdade de 2 números de 2 bits
F = !A1.!A0.!B1.!B0 + !A1.A0.!B1.B0 + 
A1.!A0.B1.!B0 + A1.A0.B1.B0
163
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detecção de maioria de votos
† O sistema tem 4 entradas de votos (v1, v2, v3, v4)
† Cada uma é ativada por um votante
„ voto = 0: voto contra
„ voto = 1: voto a favor
† Maioria ← 1 quando a maioria das entradas de votos está
ativa
Maioria
v1
v2
v3