Trabalho 03 - Cálculo Numérico

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO</p><p>CAMPUS MACAÉ PROF. ALOISIO TEIXEIRA</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>PROF. FELIPE SALES</p><p>TRABALHO 03: CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>ANDRÉ FELIPE DE OLIVEIRA CARVALHO</p><p>DRE: 118024140</p><p>MACAÉ - RIO DE JANEIRO</p><p>2019</p><p>Exercício 8.24: Encontre a melhor aproximação para no intervalo , da forma:</p><p>Resposta: , , .</p><p>Algoritmo implementado no Scilab:</p><p>//Exercício 8.24</p><p>clear; clc</p><p>a=0</p><p>b=2*%pi</p><p>function y=f(x) //Função de dados</p><p>y=sin(3*x)</p><p>endfunction</p><p>function y=g(x)</p><p>y=[1 cos(x) sin(x)] //Funções geradoras</p><p>endfunction</p><p>n=10</p><p>//Variáveis Auxiliares</p><p>m=length(g(0)) //Quantidade de funções geradoras</p><p>h=(b-a)/(2*n)</p><p>//Rotina</p><p>for i=1:m do</p><p>for j=i:m do</p><p>//Cálculo da integral</p><p>s1=0, s2=0</p><p>for k=1:(n-1) do s1=s1+g(a+(2*k-1)*h)(i)*g(a+(2*k-1)*h)(j)</p><p>s2=s2+g(a+2*k*h)(i)*g(a+2*k*h)(j)</p><p>end</p><p>I=h*(g(a)(i)*g(a)(j)+4*s1+2*s2+4*g(b-h)(i)*g(b-h)(j)+g(b)(i)*g(b)(j))/3</p><p>//Fim do cálculo da integral</p><p>G(i,j)=I</p><p>G(j,i)=G(i,j)</p><p>end</p><p>//Cálculo da outra integral</p><p>s1=0, s2=0</p><p>for k=1:(n-1) do s1=s1+(g(a+(2*k-1)*h)(i)*f(a+(2*k-1)*h))</p><p>s2=s2+(g(a+2*k*h)(i)*f(a+2*k*h))</p><p>end</p><p>I=h*(g(a)(i)*g(a)(j)+4*s1+2*s2+4*g(b-h)(i)*g(b-h)(j)+g(b)(i)*g(b)(j))/3</p><p>//Fim cálculo da outra integral</p><p>B(i)=I</p><p>end</p><p>//Resolução do Sistema linear</p><p>A=[G B]</p><p>for i=1:m do</p><p>l=i //Pivotamento parcial</p><p>for k=(i+1):m do</p><p>if abs(A(k,i))>abs(A(l,i)) then</p><p>l=k</p><p>end</p><p>end</p><p>L=A(i,:) //Troca de linhas</p><p>A(i,:)=A(l,:)</p><p>A(l,:)=L</p><p>A(i,:)=A(i,:)/A(i,i)</p><p>for k=1:m do //Escalonamento</p><p>if k~=i then</p><p>A(k,:)=A(k,:)-(A(k,i)/A(i,i))*A(i,:)</p><p>end</p><p>end</p><p>end</p><p>c=A(:,m+1) //Coeficientes procurados</p><p>function y=s(x)</p><p>y=g(x)*c</p><p>endfunction</p><p>fplot2d(a:0.01:b,f,2)</p><p>fplot2d(a:0.01:b,s,5)</p><p>disp('Os coeficientes são:')</p><p>disp(c)</p><p>Projeto 8.20:</p><p>A madeira com uma grande porcentagem de nós não é tão resistente quanto a madeira sem nós. Foram estabelecidas normas para determinar a relação de resistência entre uma viga com nós e uma viga sem nós.</p><p>Para vigas ou pranchas os nós são medidos na face estreita da viga. A relação de resistência percentual R depende da largura L da face e do tamanho T do nó. Uma tabela parcial destas relações de resistência é dada a seguir:</p><p>a) Encontre expressão da forma , que aproxime a tabela.</p><p>Resposta:</p><p>Algoritmo implementado no Scilab:</p><p>//Projeto 8.20</p><p>clear;clc</p><p>A0 = [1 12.5 75;1 25 75;1 37.5 75;</p><p>1 50 75;1 65.5 75;1 12.5 100;</p><p>1 25 100;1 37.5 100;1 50 100;</p><p>1 65.5 100;1 12.5 125;1 25 125;</p><p>1 37.5 125;1 50 125;1 65.5 125;</p><p>1 12.5 150;1 25 150;1 37.5 150;</p><p>1 50 150;1 65.5 150]</p><p>B0 = [85;72;57;35;18;90;78;67;55;47;</p><p>125;82;73;64;56;150;85;77;70;61]</p><p>B = A0'*B0</p><p>A = A0'*A0</p><p>m = size(A)*[1;0]</p><p>A = [A B]</p><p>for i = 1:m do</p><p>l = i</p><p>for k = (i+1):m do</p><p>if abs(A(k,i)) > abs(A(l,i)) then</p><p>l = k</p><p>end</p><p>end</p><p>L = A(i,:)</p><p>A(i,:) = A(l,:)</p><p>A(l,:) = L</p><p>A(i,:) = A(i,:)/A(i,i)</p><p>for k = 1:m do</p><p>if k~= i then</p><p>A(k,:) = A(k,:) - (A(k,i)/A(i,i))*A(i,:)</p><p>end</p><p>end</p><p>end</p><p>C = A(:,m+1)</p><p>disp(C)</p><p>a = C(1,1)</p><p>b = C(2,1)</p><p>c = C(3,1)</p><p>function z=R(T, L)</p><p>z = a + b*T + c*L</p><p>endfunction</p><p>disp(R(45,90))</p><p>b) Determine a proporção de resistência para nós de 45 mm com largura de face de 90 mm.</p><p>Resposta: .</p><p>Exercício 10.16: A função é dada pela seguinte tabela:</p><p>Calcular para usando polinômio de interpolação sobre 4 pontos.</p><p>Resposta:	.</p><p>Algoritmo implementado no Scilab:</p><p>//Exercício 10.16</p><p>clear; clc</p><p>//Entrada</p><p>x = [0.02 0.03 0.04 0.05]</p><p>y = [3.3547 2.9591 2.6813 2.4679]</p><p>//Variaveis auxiliares</p><p>n=length(x)</p><p>A=zeros(n,n)</p><p>//Construçao da matriz de diferenças divididas</p><p>for i=1:n do</p><p>A(i,1)=y(i)</p><p>end</p><p>for j=2:n do //demais colunas</p><p>for i=1:(n-j+1) do</p><p>A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i))</p><p>end</p><p>end</p><p>s=0</p><p>function w=P(z)</p><p>for i=2:n do</p><p>p=1</p><p>for j=1:(i-1) do</p><p>p=p*(z-x(j))</p><p>end</p><p>s=s+A(1,i)*p</p><p>end</p><p>w=A(1,1)+s</p><p>endfunction</p><p>X=poly(0,'X')</p><p>disp(P(X))</p><p>disp(P(0.0378))</p><p>O melhor polinômio interpolador que aproxima a função acima é. Logo, .</p><p>Projeto 10.9:</p><p>A lei de Ohm diz que , onde é a voltagem, é a corrente e a resistência, isto é, o gráfico de x é uma reta de coeficiente angular que passa pela origem. Vários tipos de resistores, entretanto, não possuem essa propriedade linear. Tal resistor é chamado de um resistor não linear, ou um VARISTOR. Muitos tubos de vácuo são varistores. Geralmente, a relação entre a corrente e a voltagem para um varistor pode ser aproximada por um polinômio da forma:</p><p>Considere agora um circuito consistindo de um resistor e um varistor , como na figura a seguir:</p><p>As equações para o circuito são:</p><p>e portanto,</p><p>Suponha que num certo experimento, os seguintes dados foram obtidos:</p><p>a) Calcule a voltagem total e a voltagem quando Volts e Ohms, usando polinômio de interpolação sobre todos os pontos.</p><p>Resposta: e .</p><p>Temos que é função de , então interpolando pela tabela acima, obtemos:</p><p>.</p><p>Algoritmo implementado no Scilab:</p><p>//Projeto 10.9A</p><p>clear;clc</p><p>x = [0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5]</p><p>y = [0 0.0125 0.06 0.195 0.5 1.0875 2.1 3.71 6.12 9.5625]</p><p>n = length(x)</p><p>function w=I(z)</p><p>s = 0</p><p>for i = 1:n do</p><p>p = 1</p><p>for j = 1:n do</p><p>if j ~= i then</p><p>p = p*(z-x(j))/(x(i)-x(j))</p><p>end</p><p>end</p><p>s = s + y(i)*p</p><p>end</p><p>w = s</p><p>endfunction</p><p>X = poly(0,'X')</p><p>disp(L(X))</p><p>R = 10</p><p>E2 = 2.3</p><p>function y=f(t)</p><p>y = R*I(t) + t</p><p>endfunction</p><p>E = f(E2)</p><p>disp(E)</p><p>E1 = E - E2</p><p>disp(E1)</p><p>b) Use interpolação inversa de grau 2 para calcular a tensão no varistor quando Volts e Ohms.</p><p>onde .</p><p>como , temos que</p><p>Algoritmo implementado no Scilab:</p><p>//Projeto 10.9B</p><p>clear;clc</p><p>y = [0 0.5 1]</p><p>x = [0 0.0125 0.06]</p><p>n = length(x)</p><p>function w=L(z)</p><p>s = 0</p><p>for i = 1:n do</p><p>p = 1</p><p>for j = 1:n do</p><p>if j ~= i then</p><p>p = p*(z-x(j))/(x(i)-x(j))</p><p>end</p><p>end</p><p>s = s + y(i)*p</p><p>end</p><p>w = s</p><p>endfunction</p><p>X = poly(0,'X')</p><p>disp(L(X))</p><p>R1=10</p><p>E1=10</p><p>function y=f(s)</p><p>y = R*L(s) + s</p><p>endfunction</p><p>image3.png</p><p>image2.png</p><p>image1.png</p><p>image5.png</p><p>image4.png</p>