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<p>Revisão de funções</p><p>MAT 146 - Cálculo I</p><p>Anderson L.A. de Araujo</p><p>Bhavinkumar Moriya</p><p>Fernanda Moura de Oliveira</p><p>Lais Santos</p><p>Universidade Federal de Viçosa</p><p>CCE</p><p>Departamento de Matemática</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções</p><p>1 Revisão de funções</p><p>Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Conceitos Preliminares</p><p>Começaremos o curso de Cálculo I com uma breve revisão de alguns</p><p>pré-requisitos necessários para um bom desempenho na disciplina.</p><p>Definição</p><p>Sejam A,B conjuntos não-vazios. Uma função f de A em B,</p><p>denotada por f : A→ B, é uma lei que associa a cada elemento</p><p>x ∈ A um único elemento y ∈ B. Denotamos y = f (x).</p><p>O conjunto A é chamado domínio de f e será denotado por</p><p>Dom(f ).</p><p>O conjunto B é o contradomínio de f .</p><p>A imagem de f é definida como</p><p>lm(f ) := {f (x) ∈ B; x ∈ A}.</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Uma função f : A→ B é dita uma função real a valores reais</p><p>se A,B ⊂ R. Neste curso, só trataremos de funções reais a</p><p>valores reais!</p><p>Dada uma função real f cujo domínio não tenha sido</p><p>explicitado, entenderemos por Dom(f ) o maior subconjunto de</p><p>R para o qual faz sentido a regra em questão. Neste caso,</p><p>devemos sempre levar em conta os seguintes fatos</p><p>fundamentais:</p><p>√</p><p>x ∈ R se e somente se x ≥ 0,</p><p>@ x</p><p>0 .</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Exemplo</p><p>1 Seja f uma função dada pela regra f (x) = x2+1</p><p>x2−1 . Então,</p><p>Dom(f ) =</p><p>{</p><p>x ∈ R; x2 − 1 6= 0</p><p>}</p><p>= R\{−1, 1}.</p><p>2 O domínio da função g(x) =</p><p>√</p><p>x + 1 é</p><p>Dom(g) = {x ∈ R; x + 1 ≥ 0} = [−1,∞).</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Definição</p><p>Seja f : A→ B uma função. O gráfico de f , é definido por</p><p>Graf(f ) :=</p><p>{</p><p>(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A</p><p>}</p><p>⊂ R2.</p><p>O gráfico de uma função é construído em um sistema de</p><p>coordenadas cartesianas constituído por dois eixos coordenados</p><p>ortogonais.</p><p>O eixo horizontal, ou eixo x , é o eixo das abscissas, onde</p><p>marcaremos a primeira coordenada do gráfico de f .</p><p>O eixo vertical, ou eixo y , é o eixo das ordenadas, onde</p><p>marcaremos a segunda coordenada do gráfico de f .</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>−3 −2 −1 1 2 3 xx</p><p>f (1)</p><p>f (2)</p><p>f (x)</p><p>0</p><p>y</p><p>Figura 1: Gráfico da função y = f (x)</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Observação</p><p>Geometricamente, o gráfico de uma função pode interceptar em no</p><p>máximo um ponto cada reta vertical.</p><p>Exemplo</p><p>Considere o seguinte subconjunto de R2 dado por</p><p>S =</p><p>{</p><p>(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1</p><p>}</p><p>Este conjunto de pontos não representa o gráfico de função</p><p>alguma. De fato, note que para x = 1</p><p>2 , ambos os pares (1</p><p>2 ,−</p><p>√</p><p>3</p><p>2 ) e</p><p>(1</p><p>2 ,</p><p>√</p><p>3</p><p>2 ) pertencem à S .</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>x1</p><p>2</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>y</p><p>Figura 2: Representação gráfica de S</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Função Constante</p><p>Uma função f : R→ R dada por f (x) = k , onde k é uma</p><p>constante real, denomina-se função constante. O domínio de f é</p><p>dado por Dom(f ) = R e o gráfico é</p><p>Graf(f ) = {(x , f (x)) : x ∈ R} = {(x , k) : x ∈ R}.</p><p>Portanto, o gráfico de f é uma reta paralela ao eixo−x , passando</p><p>pelo ponto (0, k).</p><p>A função f (x) = 3 é uma função constante e seu gráfico é</p><p>representado na figura a seguir.</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>x</p><p>3</p><p>0</p><p>y</p><p>Figura 3: Gráfico da função f (x) = 3</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Função Afim</p><p>Dizemos que f : R→ R é uma função afim, se f é dada por</p><p>f (x) = ax + b</p><p>onde a, b ∈ R e a 6= 0. O domínio de f é Dom(f ) = R e o gráfico é</p><p>uma reta passando pelos pontos (0, b) e</p><p>(−b</p><p>a , 0</p><p>)</p><p>. Além disso, a</p><p>reta é crescente se a > 0 e decrescente se a < 0. A seguir,</p><p>apresentamos os possíveis gráficos de f , dependendo dos sinais de a</p><p>e b.</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>x</p><p>b</p><p>−b</p><p>a</p><p>y</p><p>Caso 1: a, b > 0</p><p>x</p><p>b</p><p>−b</p><p>a</p><p>y</p><p>Caso 2: a > 0, b < 0</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>x</p><p>b</p><p>−b</p><p>a</p><p>y</p><p>Caso 4: a, b < 0</p><p>x</p><p>b</p><p>−b</p><p>a</p><p>y</p><p>Caso 3: a < 0, b > 0</p><p>Observação</p><p>A constante a é chamada coeficiente angular e é a tangente do</p><p>ângulo formado entre a reta e o eixo−x .</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Função Quadrática</p><p>Dizemos que f : R→ R é uma função quadrática, se f é da forma</p><p>f (x) = ax2 + bx + c</p><p>onde a, b, c ∈ R e a 6= 0. O domínio de f é Dom(f ) = R e o</p><p>gráfico é uma parábola. A concavidade da parábola depende do</p><p>sinal da constante a.</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Caso1 :a > 0</p><p>Neste caso, a parábola tem concavidade voltada para cima.</p><p>x</p><p>y</p><p>Figura 4: Gráfico de f (x) = x2 − x + 1</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Caso2 :a < 0</p><p>Neste caso, a parábola tem concavidade voltada para baixo.</p><p>x</p><p>y</p><p>Figura 5: Gráfico de f (x) = −x2 + x + 1</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Dada uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , seu gráfico</p><p>intercepta o eixo−y em (0, f (0)) = (0, c) e intercepta o eixo−x</p><p>nos pontos da forma (x , f (x)), onde</p><p>f (x) = 0 ⇔ ax2 + bx + c = 0</p><p>⇔ x = −b±</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a , ∆ = b2 − 4ac.</p><p>Portanto,</p><p>se ∆ > 0, o gráfico de f intercepta o eixo−x duas vezes,</p><p>se ∆ = 0, o gráfico de f intercepta o eixo−x apenas uma</p><p>vez,</p><p>se ∆ < 0, o gráfico de f não intercepta o eixo−x .</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>As coordenadas do vértice da parábola são dadas por V = (xv , yv ) ,</p><p>onde</p><p>xv = − b</p><p>2a</p><p>e yv = −∆</p><p>4a</p><p>= −b2 − 4ac</p><p>4a</p><p>Vejamos alguns exemplos.</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>x</p><p>y</p><p>−2</p><p>−2</p><p>1xv</p><p>yv</p><p>Figura 6: f (x) = x2 + x − 2</p><p>x</p><p>y</p><p>−1</p><p>yv</p><p>xv</p><p>Figura 7: f (x) = −2x2 + 2x − 1</p><p>Anderson L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p><p>Obrigado !</p><p>Anderson</p><p>L.A. de Araujo Bhavinkumar Moriya Fernanda Moura de Oliveira Lais SantosMAT 146 - Cálculo I</p><p>Revisão de funções</p><p>Conceitos Preliminares</p><p>Tipos Especiais de Funções</p>