Slides Equivalência de Capitais

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<p>Equivalência de Capitais</p><p>Engenharia Econômica</p><p>III. Equivalência de Capitais</p><p>Valor do $ no Tempo</p><p>Conceito Básico</p><p>Valor do $ no</p><p>Tempo</p><p>R$ 100.000 R$ 110.000</p><p>juros</p><p>10%aa</p><p>Hoje Após um Ano</p><p>R$ 100.000</p><p>Hoje Após um Ano</p><p>≠ R$ 100.000</p><p>Considere um empréstimo de $1.000 por um período de 5 anos, taxa de juros</p><p>10%aa, que pode ser pago de três maneiras diferentes:</p><p>Final do</p><p>Ano</p><p>Plano</p><p>A</p><p>Plano</p><p>B</p><p>Plano</p><p>C</p><p>0 - - -</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Total</p><p>100</p><p>100</p><p>100</p><p>100</p><p>1.100</p><p>1.500</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>1.610,51</p><p>1.610,51</p><p>263,80</p><p>263,80</p><p>263,80</p><p>263,80</p><p>263,80</p><p>1.319</p><p>Os três planos são equivalentes!!!</p><p>Pagamento</p><p>anual dos juros</p><p>Pgto ao final,</p><p>juros compostos</p><p>Pgtos anuais iguais,</p><p>juros compostos</p><p>Cn = C0(1+i)n = 1000(1+0,1)5</p><p>=VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo)</p><p>=VF(0,1;5;0;1000;0)</p><p>Pagamentos = ?</p><p>=PGTO(taxa;nper;VP;VF;tipo)</p><p>=PGTO(0,1;5;1000;;)</p><p>J=i.C0</p><p>J=0,1.1000</p><p>tipo: 0, final de</p><p>período; 1, início</p><p>de período</p><p>1. Relações de Equivalência Envolvendo Pagamento Simples</p><p>1.1. Valor futuro de um único pagamento</p><p>O valor futuro representa o valor do capital em uma data futura.</p><p>𝐶𝐶𝑛𝑛 = 𝐶𝐶0 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝐶𝐶𝑛𝑛 = Capital na data n</p><p>𝐶𝐶0 = Capital na data zero</p><p>𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒏𝒏</p><p>F</p><p>P</p><p>𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒏𝒏 Fator de valor futuro de um único pagamento</p><p>1 2 3 4 ... nn-1</p><p>P</p><p>F=?</p><p>Exemplo:</p><p>Uma TV custa à vista $ 2.300. Se o cliente comprar o televisor com a condição de</p><p>pagá-lo apenas ao final de três meses, quanto deverá desembolsar? Considere</p><p>que a taxa de juros é de 4,5% am.</p><p>1 2 3</p><p>2.300</p><p>F=?</p><p>𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒏𝒏</p><p>𝑭𝑭 = 2.300 1 + 0,045 3</p><p>𝑭𝑭 = 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟐𝟐𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔</p><p>1.2. Valor presente de um único pagamento no futuro</p><p>Denominamos de valor presente, ao valor na data zero de um capital a</p><p>ser desembolsado no futuro.</p><p>1 2 3 4 ... nn-1</p><p>P=?</p><p>F</p><p>𝐶𝐶𝑛𝑛 = 𝐶𝐶0 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝑃𝑃 =</p><p>𝐹𝐹</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>1</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>Fator de valor atual de único pagamento</p><p>simples</p><p>Exemplo:</p><p>Quanto representa em valores de hoje um pagamento que será realizado em 90</p><p>dias no valor de $ 4.600? Considere uma taxa de 3,0%am.</p><p>1 2 3</p><p>P=?</p><p>4.600</p><p>𝑃𝑃 =</p><p>𝐹𝐹</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝑃𝑃 =</p><p>4600</p><p>1 + 0,03 3 𝑃𝑃 = 4.209,65</p><p>Definição:</p><p> Denomina-se série uniforme de pagamentos a uma</p><p>sucessão de recebimentos ou desembolsos do mesmo</p><p>valor, ocorrendo em intervalos regulares de tempo.</p><p>2. Relações de Equivalência Envolvendo Série Uniforme de</p><p>Pagamento</p><p>Tipos:</p><p> Valor futuro de uma série uniforme;</p><p> Valor presente de um série uniforme;</p><p> Série gradiente uniforme.</p><p>2.1. Valor futuro de uma série uniforme</p><p>1 2 3 4</p><p>...</p><p>nn-3</p><p>F</p><p>n-1n-20</p><p>U U U U U U U U...</p><p>𝐹𝐹 = 𝑈𝑈 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 2 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+ 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−2 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1</p><p>Multiplicando os dois lado da equação por (1+i)</p><p>𝐹𝐹 1 + 𝑖𝑖 = 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 2 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+ 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>Vamos subtrair: II- I</p><p>I</p><p>II</p><p>𝐹𝐹 1 + 𝑖𝑖 = 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 2 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+ 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛II</p><p>I 𝐹𝐹 = 𝑈𝑈 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 2 + 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+ 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1</p><p>𝐹𝐹 1 + 𝑖𝑖 − 𝐹𝐹 = 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 𝑈𝑈II- I</p><p>𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝑖𝑖 − 𝐹𝐹 = 𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 𝑈𝑈</p><p>𝐹𝐹 =</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 𝑈𝑈</p><p>𝑖𝑖</p><p>𝐹𝐹 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>𝑖𝑖</p><p>Fator futuro de uma série uniforme</p><p>de pagamentos.</p><p>Exemplo:</p><p>Uma pessoa pretende comprar um automóvel zero Km que custa $ 38.000.</p><p>Para isso fará uma poupança na qual depositará uma quantia “U” mensalmente</p><p>em um ativo financeiro. Qual deve ser o valor de “U” para se conseguir</p><p>comprar o automóvel em dois anos? A aplicação financeira rende 1,0% am.</p><p>1 2 3 4</p><p>...</p><p>2421</p><p>F</p><p>23220</p><p>U U U U U U U U...</p><p>...</p><p>𝐹𝐹 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>𝑖𝑖</p><p>38000 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 0,01 24 − 1</p><p>0,01</p><p>1.408,79, menor que 38000÷24 = 1.583,33</p><p>=PGTO(taxa; nper; VP;VF; [tipo])</p><p>=PGTO(0,01;24;;38000;0) = -R$ 1.408,79</p><p>=PGTO(0,01;24;;38000;1) = -R$ 1.394,84 para Us no início de período.</p><p>2.2. Valor presente de uma série de pagamentos</p><p>1 2 3 4</p><p>...</p><p>nn-3</p><p>P</p><p>n-1n-20</p><p>U U U U U U U U...</p><p>...</p><p>𝑃𝑃 =</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 2 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−2 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>Multiplicando os dois lados da equação por (1+i)</p><p>𝑃𝑃 1 + 𝑖𝑖 =</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 +</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 2 +</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 +</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝑃𝑃 1 + 𝑖𝑖 = 𝑈𝑈 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 1 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 2 + ⋯+</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−2 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1</p><p>I</p><p>II</p><p>𝑃𝑃 =</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖</p><p>+</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 2 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 3 + ⋯+</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−2 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝑃𝑃 1 + 𝑖𝑖 = 𝑈𝑈 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 1 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 2 + ⋯+</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−2 +</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1</p><p>I</p><p>II</p><p>II - I 𝑃𝑃 1 + 𝑖𝑖 − 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈 −</p><p>𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑃𝑃 =</p><p>𝑈𝑈 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛</p><p>𝑃𝑃 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 � 𝑖𝑖</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 � 𝑖𝑖</p><p>Fator de valor presente de uma série</p><p>uniforme.</p><p>Subtraindo: II - I</p><p>Colocando U em evidência e passando o i para o outro lado da equação</p><p>Exemplo:</p><p>A empresa de calçados Moderna Ltda tomou emprestado de um Banco a</p><p>quantia de $60.000 para serem pagas em três parcelas iguais, sendo os</p><p>pagamentos efetuados em 30, 60 e 90 dias. Se a taxa de juros cobrada pelo</p><p>banco é de 3% am, quanto a empresa deverá pagar mensalmente?</p><p>Fluxo de caixa do ponto de vista do banco</p><p>U</p><p>1 2 3</p><p>60.000</p><p>U U</p><p>𝑃𝑃 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 � 𝑖𝑖</p><p>60.000 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 0,03 3 − 1</p><p>1 + 0,03 3 � 0,03</p><p>𝑼𝑼 = 𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟐𝟐</p><p>=PGTO(taxa; nper; vp; [vf]; [tipo])</p><p>=PGTO(0,03;3;60000;;0) = -R$ 21.211,82 correto p/ o exemplo</p><p>=PGTO(0,03;3;60000;;1) = -R$ 20.594,00</p><p>1 2 3 n...0</p><p>U U U U</p><p>F</p><p>1 2 3 n...0</p><p>U U U U</p><p>P</p><p>𝐹𝐹 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>𝑖𝑖</p><p>𝑃𝑃 = 𝑈𝑈</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1</p><p>1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 � 𝑖𝑖</p><p>Atenção</p><p>O que as fórmulas fazem?</p><p> Exercícios até o final da lista 2</p><p>Engenharia Econômica</p><p>III. Equivalência de Capitais</p><p>Número do slide 3</p><p>Número do slide 4</p><p>Número do slide 5</p><p>Número do slide 6</p><p>Número do slide 7</p><p>Número do slide 8</p><p>Número do slide 9</p><p>Número do slide 10</p><p>Número do slide 11</p><p>Número do slide 12</p><p>Número do slide 13</p><p>Número do slide 14</p><p>Número do slide 15</p><p>Número do slide 16</p><p>Número do slide 17</p>