AP2_PreCalculoEng_gabarito_2024_1

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<p>AP2 – Pré-Cálculo para Engenharia – GABARITO</p><p>USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.</p><p>Considere a função f : R→ R dada por f(x) = 4x+ 2 + |x− 2|.</p><p>Questão 1 [1,0 ponto] Construa o gráfico de f , determinando os pontos de interseção com os</p><p>eixos.</p><p>Solução:</p><p>Usando a definição de módulo,</p><p>f(x) =</p><p>{</p><p>4x+ 2 + (x− 2), x ≥ 2</p><p>4x+ 2− (x− 2), x < 2</p><p>=</p><p>{</p><p>5x, x ≥ 2</p><p>3x+ 4, x < 2 (1)</p><p>O gráfico é a união de duas retas, com inclinações distintas dado abaixo.</p><p>Questão 2 [1,0 ponto] Usando o gráfico constrúıdo na questão 1, explique por que f é injetora e</p><p>Imf = R.</p><p>Solução:</p><p>Como podemos ver, traçando retas horizontais, cada reta intersecta o gráfico de f em um único</p><p>ponto. Isto mostra que f é injetora. Agora, projetando o gráfico no eixo vertical, cobrimos todo a</p><p>reta. Portanto Imf = R.</p><p>Questão 3 [1,0 ponto] Determine f−1.</p><p>Solução:</p><p>Pré-Cálculo para Engenharia AP2 2</p><p>Como f é injetiva e o contradoḿınio é igual a Imf , então f possui inversa e vale</p><p>f(f−1(y)) = y.</p><p>Para obtermos a inversa, vamos trabalhar em dois casos:</p><p>(i) x ≥ 2 e (ii) x < 2, de acordo com a expressão em (1).</p><p>(i) Para x ≥ 2, temos que f(x) = 5x. Assim, para f−1(y) ≥ 2, vemos que</p><p>f(f−1(y)) = y ⇔ 5f−1(y) = y ⇔ f−1(y) = y</p><p>5 ,</p><p>lembrando que f−1(y) ≥ 2 e então y</p><p>5 ≥ 2, ou seja, y ≥ 10.</p><p>(ii) No caso em que x < 2, temos que f(x) = 3x+ 4 e quando f−1(y) < 2, temos</p><p>f(f−1(y)) = y ⇔ 3f−1(y) + 4 = y ⇔ f−1(y) = y − 4</p><p>3 ,</p><p>lembrando que f−1(y) < 2 ou seja, y−4</p><p>3 < 2 e então y < 10. Reunindo o que obtivemos em (i) e</p><p>(ii) conclúımos que</p><p>f−1(y) =</p><p></p><p>y</p><p>5 , y ≥ 10</p><p>y − 4</p><p>3 , y < 10</p><p>Questão 4 [2,0 pontos] Considere o gráfico da função f a seguir, definida por</p><p>f(x) = 1 + 2 sen</p><p>(</p><p>x</p><p>2 −</p><p>π</p><p>6</p><p>)</p><p>. Obtenha os zeros da função f .</p><p>Solução:</p><p>Para obtermos os zeros de f(x), devemos resolver a equação f(x) = 0, ou seja,</p><p>1 + 2 sen</p><p>(</p><p>x</p><p>2 −</p><p>π</p><p>6</p><p>)</p><p>= 0 ⇔ sen</p><p>(</p><p>x</p><p>2 −</p><p>π</p><p>6</p><p>)</p><p>= −1</p><p>2 .</p><p>Mas, como x pertence ao intervalo</p><p>[</p><p>π</p><p>3 ,</p><p>13π</p><p>3</p><p>]</p><p>, então</p><p>π</p><p>6 ≤</p><p>x</p><p>2 ≤</p><p>13π</p><p>6 ⇒ 0 ≤ x</p><p>2 −</p><p>π</p><p>6︸ ︷︷ ︸</p><p>=θ</p><p>≤ 2π.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Pré-Cálculo para Engenharia AP2 3</p><p>Assim, para que sen(θ) = −1/2, com 0 ≤ θ ≤ 2π, devemos ter</p><p>θ = 7π</p><p>6 ou θ = 11π</p><p>6 .</p><p>Lembrando que θ = x</p><p>2 −</p><p>π</p><p>6 , conclúımos que as ráızes procuradas são</p><p>x = 8π</p><p>3 ou x = 12π</p><p>3 = 4π.</p><p>USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 5 A 7.</p><p>A quantidade, em miligramas, de uma certa droga no organismo de uma pessoa após t horas é dada</p><p>por D = D0e</p><p>−kt. Sabe-se que a dose inicial aplicada é de 120 miligramas, e que após 2 horas a droga</p><p>está reduzida à metade da dose inicial no organismo.</p><p>(Considere ln 2 ∼= 0.7 e ln 10 ∼= 2.3)</p><p>Questão 5 [0,5 ponto] Determine o valor de D0.</p><p>Solução:</p><p>No instante t = 0, temos que a dose D é igual a 120. Logo,</p><p>120 = D0e</p><p>−k·0 = D0e</p><p>0 = D0,</p><p>donde D0 = 120.</p><p>Questão 6 [1,0 ponto] Determine o valor de k.</p><p>Solução:</p><p>Se t = 2, temos</p><p>60 = 120e−2k,</p><p>e assim e−2k = 1/2. Aplicando o logaritmo de base e em ambos os membros, temos</p><p>−2k = ln 1/2 = ln 1− ln 2 = − ln 2.</p><p>Logo, k = ln 2/2 ∼= 0, 35.</p><p>Questão 7 [1,5 ponto] Após quanto tempo a droga estará reduzida a 10 por cento da dose</p><p>inicialmente aplicada.</p><p>Solução:</p><p>Temos que 10 por cento de 120 é 12. Assim,</p><p>12 = 120e−tk,</p><p>donde e−tk = 1/10. Considerando novamente o logaritmo de base e em ambos os membros, temos</p><p>−tk = − ln 10,</p><p>e como k = ln 2/2, conclúımos que t = 2 ln 10</p><p>ln 2 . Este valor é aproximadamente 6, 6 horas.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Pré-Cálculo para Engenharia AP2 4</p><p>Questão 8 [2,0 pontos] Considere a função f(x) = ln</p><p>(</p><p>x2 − 4</p><p>5x− 10</p><p>)</p><p>. Encontre, se existir, x ∈ R</p><p>tal que f(x) = 0.</p><p>Solução:</p><p>Temos que o ln u = 0 se, e somente se u = 1.</p><p>Logo,</p><p>x2 − 4</p><p>5x− 10 = 1 ⇒ x2 − 4 = 5x− 10</p><p>Dáı, temos que resolver a equação x2 − 5x+ 6 = 0, o que resulta em x = 2 ou x = 3. Como 2 não</p><p>pertence ao doḿınio da função f , temos que a única solução de f(x) = 0 é, portanto, x = 3.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>