Estudo dirigido - João Vitor Miranda

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<p>Nome do/a Aluno/a: João Vitor Miranda de Araújo</p><p>Curso:</p><p>Disciplina: Disciplina isolada - Método Numérico Computacional</p><p>Tutor/a: Letícia L. Queiroz</p><p>Estudo Dirigido</p><p>Referências:</p><p>PILLING, Sergio. II – Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções</p><p>reais.</p><p>Universidade do Vale do Paraíba. Disponível em:</p><p>(https://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt2.pdf). Acesso em: 23/08/2024.</p><p>BELLON, Olga R. Métodos Numéricos - Notas de Aula. Junho de 2007. Disponível em:</p><p>(https://www.inf.ufpr.br/nicolui/grad/ci202/Docs/NotasAula/Cap-04.pdf). acesso em:</p><p>23/08/2024.</p><p>Contextualização</p><p>Para encontrar as raízes de funções, existem diversos métodos no Cálculo. São</p><p>eles: Método da Bisseção; Método da Falsa Posição, também chamada de Regula</p><p>Falsi; Método da Iteração do Ponto Fixo; Método de Newton-Raphson; Método da</p><p>Secante. Cada método tem suas vantagens e limitações, e a escolha entre eles</p><p>depende das características da função e das condições iniciais. Métodos mais</p><p>sofisticados, como o método de Newton-Raphson e o método da secante, geralmente</p><p>convergem mais rapidamente, mas podem falhar em certos casos. Métodos mais</p><p>simples, como a bisseção, são mais robustos, mas podem ser mais lentos para</p><p>convergir.</p><p>https://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt2.pdf</p><p>https://www.inf.ufpr.br/nicolui/grad/ci202/Docs/NotasAula/Cap-04.pdf</p><p>Questão:</p><p>Considere a função f(x)=ex−3x2 e utilize os métodos numéricos para encontrar</p><p>uma aproximação da raiz real da equação f(x)=0. Utilize o método de Newton-Raphson</p><p>para encontrar uma aproximação da raiz. Inicie o método com uma suposição inicial</p><p>x0â�� e realize duas iterações, apresentando os cálculos intermediários.Compare os</p><p>resultados obtidos pelos dois métodos em termos de convergência e eficiência. Discuta</p><p>a influência da escolha da condição inicial no desempenho dos métodos.</p><p>Solução:</p><p>O Método de Newton-Raphson é iterativo e a fórmula é dada por:</p><p>onde ƒ′(x) é a derivada da função ƒ(x).</p><p>Passo 1: Derivada da Função</p><p>A função é f(x)=ex−3x2</p><p>Derivando em relação a x:</p><p>Passo 2: Escolha da Condição Inicial</p><p>Escolhemos uma suposição inicial x0=0.5</p><p>primeira iteração:</p><p>segunda iteração:</p><p>agora usando x1= 1,1652</p><p>O resultado de x2 foi de 1,39413.</p><p>Discussão</p><p>Convergência e Eficiência</p><p>O Método de Newton-Raphson geralmente converge rapidamente quando a</p><p>suposição inicial está próxima da raiz real. Neste exemplo, observamos que a raiz está</p><p>se aproximando rapidamente após apenas duas iterações.</p><p>A escolha da condição inicial x0 é crucial para o desempenho do método. Se a</p><p>condição inicial estiver muito distante da raiz, o método pode divergir ou convergir mais</p><p>lentamente. Neste caso, a escolha de x0=0,5 nos forneceu uma boa aproximação,</p><p>levando a uma convergência rápida.</p><p>Conclusão</p><p>O Método de Newton-Raphson, com a suposição inicial adequada, é uma</p><p>ferramenta poderosa para encontrar raízes de funções não lineares, demonstrando alta</p><p>eficiência e rápida convergência.</p>