Apostila Matematica - Versao Alunos - Prof Silvio

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<p>Matema tica</p><p>Prof. Me. Sí lvio R. Castela o</p><p>2</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Sumário</p><p>Revendo Números - Conjuntos Numéricos ................................................................................... 4</p><p>Números Reais – Resumo operacional.......................................................................................... 5</p><p>Transformando fração em decimal ........................................................................................... 5</p><p>Transformando decimal exato em fração ................................................................................. 6</p><p>Operações com Frações ............................................................................................................ 7</p><p>Potenciação ................................................................................................................................... 8</p><p>Potência de expoente inteiro .................................................................................................... 8</p><p>Exemplos: Calcule o valor das potências: ............................................................................. 8</p><p>Exercícios: Calcule o valor das expressões: ........................................................................... 9</p><p>Potência de expoente não inteiro ............................................................................................. 9</p><p>Exemplos: .............................................................................................................................. 9</p><p>Exercício: Calcular as raízes: ................................................................................................ 10</p><p>Porcentagem ............................................................................................................................... 11</p><p>Percentual de um valor ........................................................................................................... 11</p><p>Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual ................................................ 12</p><p>Variação percentual ................................................................................................................ 13</p><p>Variações percentuais sucessivas............................................................................................ 15</p><p>1ª Lista de Exercícios de Matemática.......................................................................................... 16</p><p>Expressões Algébricas ................................................................................................................. 21</p><p>Monômio ................................................................................................................................. 21</p><p>Monômios semelhantes .......................................................................................................... 21</p><p>Binômio ................................................................................................................................... 22</p><p>Trinômio .................................................................................................................................. 22</p><p>Polinômio ................................................................................................................................ 22</p><p>Valor numérico de expressões algébricas ................................................................................... 23</p><p>Produtos Notáveis ................................................................................................................... 24</p><p>Exercícios: ................................................................................................................................ 24</p><p>Equação do 1º grau ..................................................................................................................... 26</p><p>Exemplos: Resolva as equações: ............................................................................................. 26</p><p>Aplicações (Problemas do 1º grau) ......................................................................................... 29</p><p>Exercícios: Resolva os problemas: ........................................................................................... 29</p><p>Inequação do 1º grau .................................................................................................................. 32</p><p>3</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Equação do 2º grau ..................................................................................................................... 37</p><p>Problemas com equação do 2° grau ........................................................................................... 39</p><p>Inequação do 2º grau .................................................................................................................. 44</p><p>Logaritmo .................................................................................................................................... 47</p><p>Sistemas de equações de 1º grau ............................................................................................... 50</p><p>Regra de Três Simples ................................................................................................................. 54</p><p>Regra de Três Composta ............................................................................................................. 57</p><p>Material Extra – Aplicações e Exercícios Diversos ...................................................................... 60</p><p>Depreciação ............................................................................................................................. 60</p><p>2ª - Lista de Exercícios de Matemática ................................................................................... 67</p><p>4</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Revendo Números - Conjuntos Numéricos</p><p>• Números Naturais: são os números que surgiram de nossa necessidade de fazer</p><p>contagens. O conjunto dos números naturais é representado por:</p><p>ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … }</p><p>• Números Inteiros: são os números resultantes da subtração de dois números</p><p>naturais. O conjunto dos números inteiros é representado por:</p><p>ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … }</p><p>• Números Racionais: são os números resultantes da divisão de dois números inteiros.</p><p>Um número racional pode ser representado por meio de uma fração, ou seja, pode</p><p>ser escrito na forma</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>em que 𝑎 é um número inteiro e 𝑏 é um número inteiro</p><p>diferente de zero. O conjunto dos números racionais é representado por:</p><p>ℚ = {𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 =</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ∗}</p><p>onde ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … }.</p><p>Exemplos de números racionais:</p><p>a)</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>b) −</p><p>56</p><p>11</p><p>=</p><p>c) 8</p><p>d) −15</p><p>e)</p><p>25</p><p>6</p><p>=</p><p>• Números Irracionais: são os números que não podemos escrever na forma de fração</p><p>com numerador e denominador sendo números inteiros, ou ainda, números</p><p>irracionais são os números cuja representação decimal é infinita e não periódica.</p><p>Representamos o conjunto dos números irracionais pela letra 𝕀.</p><p>Exemplos de números irracionais:</p><p>a) 𝜋 = 3,141592653589. ..</p><p>b) 𝑒 = 2,71828182845 …</p><p>c) √2 = 1,414213562373 …</p><p>5</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>• Números Reais: são os números obtidos pela união dos números racionais com os</p><p>números irracionais. O conjunto dos números reais pode ser representado por:</p><p>ℝ = ℚ ∪ 𝕀</p><p>Números Reais – Resumo operacional</p><p>Transformando fração em decimal</p><p>Para passar um número racional da forma fracionária para a forma decimal basta dividir</p><p>o numerador pelo denominador. Exemplos:</p><p>a)</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>b) −</p><p>56</p><p>11</p><p>=</p><p>Assim, quando transformamos uma fração em numeral decimal, podemos obter:</p><p>• Um</p><p>decimal exato: um numeral que tem um número finito de algarismos (diferentes</p><p>de zero). Exemplos:</p><p>a)</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>b)</p><p>−15</p><p>8</p><p>=</p><p>• Uma dízima periódica: um numeral formado por infinitos algarismos com um grupo</p><p>de algarismos que se repetem periodicamente (que é o período da dízima periódica).</p><p>Exemplos:</p><p>a)</p><p>2</p><p>9</p><p>=</p><p>b)</p><p>25</p><p>6</p><p>=</p><p>c) −</p><p>56</p><p>11</p><p>=</p><p>Quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, dizemos que a fração é a</p><p>geratriz da dízima periódica.</p><p>Veremos, ainda, que é possível saber se uma fração equivale a um decimal exato ou gera</p><p>uma dízima periódica, antes de efetuarmos a divisão do numerador pelo denominador.</p><p>6</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Transformando decimal exato em fração</p><p>Frações de denominador 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, … equivalem</p><p>a decimais exatos. Por exemplo:</p><p>a)</p><p>7</p><p>10</p><p>= b)</p><p>22</p><p>100</p><p>= c)</p><p>72357</p><p>1000</p><p>=</p><p>Todo decimal exato equivale a uma fração em que o numerador é o numeral decimal</p><p>sem vírgula e o denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as</p><p>casas decimais do numeral dado. Por exemplo:</p><p>a) 0,21 = b) 1,729 = c) 215,42 =</p><p>Os denominadores 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, … apresentam</p><p>como fatores primos apenas os números 2 e 5. Assim, tendo uma fração irredutível</p><p>(numerador e denominador primos entre si) e não aparente (numerador não é múltiplo</p><p>do denominador), decompomos o denominador em fatores primos, daí:</p><p>• Se o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5, a fração equivalerá a uma outra</p><p>com denominador 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, … e, portanto,</p><p>a fração equivalerá a um decimal exato.</p><p>• Se o denominador contiver fatores primos diferentes de 2 e de 5, a fração equivalerá</p><p>a uma dízima periódica.</p><p>7</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Operações com Frações</p><p>𝑓𝑟𝑎çã𝑜 =</p><p>𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟</p><p>𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟</p><p>Adição</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑎.𝑑+𝑏.𝑐</p><p>𝑏.𝑑</p><p>Subtração</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>−</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑎.𝑑−𝑏.𝑐</p><p>𝑏.𝑑</p><p>Multiplicação</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>×</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑎.𝑐</p><p>𝑏.𝑑</p><p>Divisão</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>÷</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>×</p><p>𝑑</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>𝑎.𝑑</p><p>𝑏.𝑐</p><p>Exemplos:</p><p>a)</p><p>25</p><p>8</p><p>+</p><p>12</p><p>5</p><p>=</p><p>múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48,....</p><p>múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,....</p><p>b)</p><p>25</p><p>8</p><p>−</p><p>12</p><p>5</p><p>=</p><p>c)</p><p>25</p><p>8</p><p>×</p><p>12</p><p>5</p><p>=</p><p>d)</p><p>25</p><p>8</p><p>÷</p><p>12</p><p>5</p><p>=</p><p>e)</p><p>25</p><p>8</p><p>×</p><p>12</p><p>5</p><p>+</p><p>35</p><p>2</p><p>×</p><p>23</p><p>4</p><p>=</p><p>f) (</p><p>25</p><p>8</p><p>)</p><p>2</p><p>× (</p><p>12</p><p>5</p><p>)</p><p>−2</p><p>=</p><p>8</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Potenciação</p><p>Potência de expoente inteiro</p><p>Sejam 𝑚 e 𝑛 números inteiros positivos e 𝑎 um número real. Então:</p><p>1) </p><p>vezes</p><p>............</p><p>n</p><p>n aaaaa =</p><p>2) 10 =a</p><p>3) aa =1</p><p>4) 0 com</p><p>1</p><p>=− a</p><p>a</p><p>a</p><p>n</p><p>n</p><p>5) mnmn aaa +=.</p><p>6) 0 , = − aaaa mnmn</p><p>7) ( ) mnmn aa .=</p><p>8) ( ) nnn</p><p>baba .. =</p><p>9) 0 com =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>n</p><p>nn</p><p>10) 0 e 0 com </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>ba</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>nn</p><p>Exemplos: Calcule o valor das potências:</p><p>a) 23 =</p><p>b) (−2)4 =</p><p>c) 50 =</p><p>d) 2−3 =</p><p>e) 3−2 =</p><p>f) (</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>−2</p><p>=</p><p>9</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>g)</p><p>37</p><p>34</p><p>=</p><p>h) 0, 53 =</p><p>i) 0, 23 =</p><p>k) 10−2 =</p><p>l) (</p><p>5</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>m) ((−1)3)4 =</p><p>Exercícios: Calcule o valor das expressões:</p><p>a) 53 =</p><p>b) 4−2 =</p><p>c) (−2)3 =</p><p>d) (</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>3</p><p>=</p><p>e)</p><p>1</p><p>4</p><p>+ 53 − 2−4 =</p><p>Potência de expoente não inteiro</p><p>Sejam 𝑚 e 𝑛 números inteiros positivos e a um número real, definimos:</p><p>1) 𝑎</p><p>𝑚</p><p>𝑛 = √𝑎𝑚𝑛</p><p>= ( √𝑎</p><p>𝑛</p><p>)</p><p>𝑚</p><p>quando √𝑎</p><p>𝑛</p><p>existe</p><p>2) 𝑎−</p><p>𝑚</p><p>𝑛 =</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>𝑚</p><p>𝑛</p><p>com 𝑎 ≠ 0</p><p>Exemplos:</p><p>a) 4</p><p>3</p><p>2 =</p><p>b) (−64)</p><p>4</p><p>3 =</p><p>c) 25</p><p>−1</p><p>2 =</p><p>10</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Observação: (−25)</p><p>3</p><p>2 ⇒ não é um número real, pois, não existe √−25 no conjunto dos</p><p>números reais.</p><p>Exercício: Calcular as raízes:</p><p>a) √49 =</p><p>b) √−125</p><p>3</p><p>=</p><p>c) √0,04 =</p><p>d) √0,0083 =</p><p>11</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Porcentagem</p><p>As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões centesimais,</p><p>percentagem ou porcentagem.</p><p>Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento).</p><p>Ou seja,</p><p>𝑝</p><p>100</p><p>= 𝑝%</p><p>Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para obter a</p><p>taxa unitária, basta dividir o numerador por 100.</p><p>80% =</p><p>80</p><p>100</p><p>= 0,80</p><p>47% =</p><p>47</p><p>100</p><p>= 0,47</p><p>100% =</p><p>100</p><p>100</p><p>= 1</p><p>270% =</p><p>270</p><p>100</p><p>= 2,70</p><p>8% =</p><p>8</p><p>100</p><p>= 0,08</p><p>Percentual de um valor</p><p>Para calcular 𝑥% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número 𝑥/100.</p><p>Exemplo: Calcular 30% de 500.</p><p>12</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exemplo: Calcular 20% de 30% de 40% de 1.000.</p><p>Portanto, 20% de 30% de 40% de 1.000 é igual a ____.</p><p>Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual</p><p>Este tópico é importante, pois quando queremos expressar algum crescimento ou</p><p>desconto, sempre o fazemos em termos percentuais. Para transformar uma fração</p><p>ordinária ou um número qualquer em taxa percentual, basta multiplicá-la por 100%.</p><p>Exemplo: Transformar a fração 5/2 em taxa percentual.</p><p>Resolução:</p><p>Exemplo: Transformar a fração 3/8 em taxa percentual.</p><p>Resolução:</p><p>Exemplo: Transformar o número 0,4 em forma de taxa percentual.</p><p>Resolução:</p><p>Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a vírgula</p><p>duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, então deveremos</p><p>adicionar zeros a direita.</p><p>13</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Variação percentual</p><p>I. Imagine a seguinte situação. Você pretende comprar um computador que custa R$</p><p>1.500,00. Como bom “comprador”, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de</p><p>“ajudinha” se você efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor então</p><p>informa que se o pagamento for feito assim, haverá um desconto de R$ 300,00. Ou</p><p>seja, você pagará apenas R$ 1.200,00. Ótimo negócio...!!</p><p>II. Imagine agora outra situação. Você pretende comprar um automóvel no valor de R$</p><p>80.000,00. Como bom “comprador”, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de</p><p>“ajudinha” se você efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor então</p><p>informa que se o pagamento for feito assim, haverá um desconto de R$ 300,00. Ou</p><p>seja, você pagará apenas R$ 79.700,00. Ótimo negócio!?</p><p>Em valores absolutos, o desconto do valor do computador foi igual ao desconto do valor</p><p>do automóvel. Qual dos dois descontos foi mais significativo em relação ao valor inicial</p><p>do objeto? Obviamente um desconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$</p><p>1.500,00 é bem mais representativo do que um desconto de R$ 300,00 em um produto</p><p>que custa R$ 80.000,00.</p><p>Pois bem, a maneira de comparar esses descontos é a chamada variação percentual.</p><p>Definição</p><p>A razão entre a diferença de valores (valor final menos o valor inicial) e o preço inicial,</p><p>expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual.</p><p>Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 na data 0 e valor final</p><p>𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 em uma data futura. A variação percentual dessa grandeza entre as datas</p><p>consideradas é o número 𝑖 (expresso em porcentagem) dado por:</p><p>É comum querermos saber qual é a participação percentual de uma parte do todo. Por</p><p>exemplo, imagine que em um grupo de 300 pessoas, 120 são homens. Como</p><p>calculamos a participação percentual dos homens? Ora, basta dividir a “parte” pelo</p><p>“todo”. E para transformar o resultado em porcentagem, devemos multiplicar o</p><p>resultado por 100%.</p><p>120</p><p>300</p><p>∙ 100% = 40%</p><p>Isto significa que 40% das 300 pessoas são</p><p>homens.</p><p>14</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>𝑖 =</p><p>𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>Voltemos aos nossos exemplos:</p><p>I. 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 1.500 e 𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1.200</p><p>Assim, a taxa percentual é: 𝑖 =</p><p>1.200−1.500</p><p>1.500</p><p>=</p><p>−300</p><p>1.500</p><p>= −20%</p><p>II. 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 80.000 e 𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 79.700</p><p>Assim, a taxa percentual é: 𝑖 =</p><p>79.700−80.000</p><p>80.000</p><p>=</p><p>−300</p><p>80.000</p><p>= −0,375%</p><p>Observe que o desconto no pagamento do computador foi de 20% e o desconto no</p><p>pagamento do carro foi de apenas 0,375%. Apesar de os valores absolutos dos</p><p>descontos terem sido iguais, percentualmente a diferença foi gritante.</p><p>Exemplo: Guilherme decidiu comprar uma televisão no valor de R$ 1.200,00. Esperou o</p><p>seu salário entrar no início do mês, para que ficasse mais “folgado”. Quando então foi à</p><p>loja efetuar o pagamento, soube que o preço da televisão tinha subido para R$ 1.500,00.</p><p>Qual foi o percentual de aumento no preço da televisão?</p><p>𝑖 =</p><p>𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>=</p><p>1.500 − 1.200</p><p>1.200</p><p>=</p><p>300</p><p>1.200</p><p>= 0,25 = 25%</p><p>Portanto, o aumento foi de 25%.</p><p>Vamos comparar o que aconteceu no caso do computador e no caso da televisão.</p><p>I. O computador custava R$ 1.500,00 e sofreu um desconto de 20%. Assim, o valor</p><p>pago foi de R$ 1.200,00.</p><p>II. A televisão custava R$ 1.200,00 e sofreu um aumento de 25%. Assim, o valor</p><p>pago foi de R$ 1.500,00.</p><p>Observação:</p><p>Se 𝑖 > 0, a taxa percentual é de crescimento.</p><p>Se 𝑖 < 0, o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto).</p><p>15</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Variações percentuais sucessivas</p><p>Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse pagar essa</p><p>mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, com o desconto</p><p>concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para calcular o valor após o</p><p>desconto, devemos multiplicar o valor original por 70% = 70/100.</p><p>Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por</p><p>(100% − 𝑝%).</p><p>Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por</p><p>(100% + 𝑝%).</p><p>Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar (100% + 20%) = 120%.</p><p>Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu um</p><p>aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a mercadoria</p><p>sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual a variação</p><p>percentual acumulada?</p><p>Resolução: Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que</p><p>pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. Pagará,</p><p>portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o aumento,</p><p>vale:</p><p>140% de $300,00 = 140/100 ∙ 300 = 420.</p><p>A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não pagará o</p><p>valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto. O cliente pagará</p><p>100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o desconto,</p><p>vale: 75% de $ 420,00 = 75/100 ∙ 420 = $ 315,00.</p><p>Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00.</p><p>𝑖 =</p><p>𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>=</p><p>315 − 300</p><p>300</p><p>=</p><p>15</p><p>300</p><p>= 0,05 = 5%</p><p>A variação percentual acumulada é de 5%.</p><p>16</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>1ª Lista de Exercícios de Matemática</p><p>1) Determine o valor das seguintes expressões:</p><p>a) ( ) ( ) ( ) =+−+−−−− 46153729183642</p><p>b) =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>5</p><p>3</p><p>1</p><p>c) =+− 2,132,523,0125,0</p><p>2) Calcular o valor das seguintes expressões numéricas na forma de fração e na forma</p><p>decimal.</p><p>a)</p><p>2</p><p>3</p><p>× (1 +</p><p>7</p><p>3</p><p>) =</p><p>b) 0,35 × (10 − 3,7) +</p><p>8</p><p>5</p><p>=</p><p>c) (</p><p>15</p><p>12</p><p>+</p><p>16</p><p>13</p><p>) × (</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>) =</p><p>d)</p><p>1</p><p>0,23+0,15</p><p>+ 10 =</p><p>e)</p><p>4</p><p>3</p><p>×(</p><p>12</p><p>5</p><p>−</p><p>8</p><p>3</p><p>)</p><p>5</p><p>3</p><p>3) Determine:</p><p>a) 𝑚𝑚𝑐(15, 60) =</p><p>b) 𝑚𝑚𝑐(36, 48) =</p><p>17</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>4) O valor da expressão matemática (2 + 4 . 5) – (9 – 4 . 3) é:</p><p>a) 18</p><p>b) 25</p><p>c) 27</p><p>d) 32</p><p>e) 35</p><p>5) Para a biblioteca de uma escola comunitária foram comprados 543 livros a R$35,00</p><p>cada um e 45 atlas a R$50,00 cada um. A conta vai ser paga pelos 525 alunos da</p><p>escola, cada aluno contribuindo com a mesma quantia. Marque a expressão</p><p>matemática CORRETA, que permite obter o valor pago por cada aluno.</p><p>a) 543 . R$35,00 + 45 . R$50,00 : 525</p><p>b) 543 + 45 . (R$35,00 + R$50,00 ) : 525</p><p>c) (543 . R$35,00) + 45 . R$50,00 : 525</p><p>d) (543 . R$35,00 + 45 . R$50,00 ) : 525</p><p>6) O valor da expressão matemática</p><p>14</p><p>3</p><p>+</p><p>5</p><p>2</p><p>×</p><p>4</p><p>3</p><p>é:</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>e) 8</p><p>7) Um número natural dividido por 18 resulta como quociente 26 e o resto é o maior</p><p>possível. Qual é esse número?</p><p>8) Qual é o maior número que divide 18, 27 e 36?</p><p>9) Dois rolos de corda de 200 metros e 240 metros de comprimento precisam ser</p><p>cortados em pedaços iguais e no maior comprimento possível. Quantos pedaços</p><p>serão obtidos?</p><p>18</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>10) No mês de março, Jorge jogou tênis nos dias ímpares e Rafael, nos dias múltiplos</p><p>de 3. Quantas vezes ambos jogaram tênis no mesmo dia?</p><p>11) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os</p><p>senadores, 6 anos, e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os</p><p>três cargos, em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorreu,</p><p>novamente, em:</p><p>a) 1995</p><p>b) 1999</p><p>c) 2001</p><p>d) 2002</p><p>e) 2005</p><p>12) João, Antônio e Luís viajam regularmente para Brasília. João viaja de 15 em 15 dias,</p><p>Antônio, de 12 em 12 dias e Luís, de 6 em 6 dias. Hoje eles viajaram juntos. Daqui a</p><p>quantos dias eles viajarão juntos novamente?</p><p>13) Calcule as seguintes porcentagens:</p><p>a) 12% de 600 =</p><p>b) 8% de 300 =</p><p>c) 20% de 800 =</p><p>d) 47,5% de 2.000 =</p><p>19</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>14) Numa empresa, entre cada 150 funcionários, 30 são técnicos especializados. Calcule</p><p>a porcentagem de técnicos especializados desta empresa.</p><p>15) Uma mercadoria sofreu dois aumentos consecutivos: o primeiro de 15% e o segundo</p><p>de 20%. Calcule a porcentagem equivalente se o aumento fosse feito de uma única</p><p>vez.</p><p>16) Um trabalhador obteve um aumento de 30% no seu salário e recebeu R$1.365,00.</p><p>Determine o valor do salário antes do aumento.</p><p>17) Por qual o valor deverá ser vendido um bem comprado por R$150,00, para que se</p><p>tenha um lucro de 20% sobre o custo?</p><p>18) Uma pessoa devia R$10.000,00 e pagou R$5.320,00. Qual a porcentagem da dívida</p><p>que foi paga?</p><p>20</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>19) Numa cidade, o preço de uma corrida de táxi é constituído de uma parcela fixa de</p><p>R$3,50 mais R$1,20 por quilômetro rodado. Uma pessoa viajou do bairro A para o</p><p>bairro B, pagando um total de R$16,70. O número de quilômetros rodados é:</p><p>a) um número primo</p><p>b) um número maior que 12</p><p>c) um múltiplo de 5</p><p>d) um divisor de 51</p><p>e) um racional não inteiro</p><p>20) Pedro Américo e Cândido Portinari foram grandes pintores brasileiros e Leonardo</p><p>da Vinci foi um notável artista italiano. Pedro Américo nasceu em 1843. Já</p><p>Leonardo nasceu 391 anos antes de Pedro Américo e 451 anos antes de Portinari.</p><p>Em que ano Portinari nasceu?</p><p>a) 1903</p><p>b) 1904</p><p>c) 1905</p><p>d) 1906</p><p>e) 1907</p><p>21) Um autor recebe 12% de direitos autorais de um livro que é vendido por R$47,00.</p><p>Para que o autor ganhe R$2.200,00 de direitos autorais, quantos livros ele deverá</p><p>vender, aproximadamente?</p><p>a) 500 livros</p><p>b) 280 livros</p><p>c) 390 livros</p><p>d) 564 livros</p><p>e) 470 livros</p><p>21</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Expressões Algébricas</p><p>Conceito: Expressão algébrica é uma expressão matemática composta</p><p>por números,</p><p>letras, operações e possivelmente sinais indicativos de prioridade.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 2𝑥𝑦3</p><p>b) 3𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥4</p><p>c) 3𝑦5 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥4 − 2 − 𝑥2</p><p>Monômio</p><p>É uma expressão algébrica que não contém operações de adição e nem de subtração.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 2𝑥𝑦3</p><p>b)</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑧4</p><p>c) 3</p><p>Monômios semelhantes</p><p>São os que possuem exatamente a mesma parte literal.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 3𝑎²𝑥 e 5𝑎²𝑥</p><p>b) 5𝑐 e −3𝑐</p><p>c) 5𝑎²𝑏²𝑐 e 7𝑎²𝑏²𝑐</p><p>Uma soma ou uma diferença de dois monômios semelhantes pode ser reduzida a um</p><p>só monômio.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 3𝑎2𝑥 + 5𝑎2𝑥 =</p><p>b) 5𝑐 − 3𝑐 = 2𝑐</p><p>c) 5𝑎2𝑏2𝑐 + 7𝑎2𝑏2𝑐 =</p><p>d) 5𝑎2𝑏2𝑐 − 7𝑎2𝑏2𝑐 =</p><p>22</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Não é possível reduzir uma soma ou diferença entre dois monômios quando eles não</p><p>são semelhantes.</p><p>Binômio</p><p>É uma soma ou uma diferença de dois monômios.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 2𝑥𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑧4</p><p>b) 3𝑦3 −</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥4</p><p>c) 2𝑥𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>Trinômio</p><p>É a soma ou diferença de três monômios.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 2𝑥𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑧4 − 𝑥</p><p>b) 3𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥4 − 2</p><p>c) 2𝑥𝑦3 −</p><p>2</p><p>3</p><p>+ 𝑚</p><p>d) 𝑥 − 𝑦 + 𝑤𝑥</p><p>Polinômio</p><p>É a soma ou diferença de mais que três monômios.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 2𝑥𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑧4 − 𝑥 + 𝑚</p><p>b) 3𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥4 − 2 − 𝑥2</p><p>c) 2𝑥𝑦3 +</p><p>2</p><p>3</p><p>+ 𝑚 − 3𝑦𝑥3 − 𝑟</p><p>Exemplos de operações com expressões algébricas.</p><p>Adição e subtração: basta eliminar os sinais indicativos de prioridades e reduzir os</p><p>monômios semelhantes.</p><p>a) (2𝑥 + 5𝑦 − 2) + (3𝑥 + 𝑦) =</p><p>b) (2𝑥 + 5𝑦 − 2) − (3𝑥 + 𝑦) =</p><p>23</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Multiplicação e divisão:</p><p>Para multiplicarmos expressões algébricas, devemos multiplicar cada monômio da</p><p>primeira expressão por cada monômio da segunda expressão.</p><p>Para dividirmos expressões algébricas, devemos colocá-las na forma de fração e</p><p>simplificar a expressão obtida.</p><p>a) (4𝑥2𝑦𝑧) . (3𝑥3𝑦2) =</p><p>b) 4𝑥3𝑦 ÷ 5𝑥2𝑦 =</p><p>Valor numérico de expressões algébricas</p><p>Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica consiste em substituir o valor da</p><p>variável 𝑥 pelo valor solicitado na questão e efetuar as operações indicadas. Para evitar</p><p>confusão entre operações, recomendamos que a substituição de 𝑥 pelo valor numérico</p><p>seja feito entre parênteses.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Calcular o valor de 3𝑥 + 1 para 𝑥 = 2.</p><p>2) Calcular o valor de 3𝑥 + 1 para 𝑥 = −2.</p><p>3) Calcular o valor de 3𝑥2 − 2𝑦³ + 1 para 𝑥 = 5 e 𝑦 = 2.</p><p>4) Calcular o valor de 3𝑥2 − 2𝑦³ + 1 para 𝑥 = −5 e 𝑦 = −3.</p><p>24</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Produtos Notáveis</p><p>1) (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏²</p><p>2) (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏²</p><p>3) (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏²</p><p>Exercícios:</p><p>1) Qual a expressão algébrica resultante da operação literal (2a + 3b) - (3a - 2b)?</p><p>a) -a - b</p><p>b) a + b</p><p>c) -a - 5b</p><p>d) -a + 5b</p><p>e) 0</p><p>2) O desenvolvimento da expressão algébrica (𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛) − (𝟒𝒚 − 𝟑𝒙 + 𝒛) é?</p><p>3) O valor numérico da expressão algébrica 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 para 𝒙 = −𝟑 é?</p><p>4) A equação 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟑𝒙 pode ser usada para resolver o seguinte problema:</p><p>a) A quinta parte de um número real mais 4 unidades é igual ao seu terço. Qual é este</p><p>número?</p><p>b) O quíntuplo de um número real acrescido de 4 unidades é igual à sua terça parte.</p><p>Qual é este número?</p><p>c) Um número real mais cinco unidades é igual a 4 vezes sua terça parte. Qual é este</p><p>número?</p><p>d) A um número real foram acrescidas 4 unidades e, em seguida, este resultado foi</p><p>multiplicado por cinco e o que se obteve foi o triplo do mesmo número. Qual é este</p><p>número?</p><p>e) O quíntuplo de um número real mais 4 unidades é igual ao seu triplo. Qual é este</p><p>número?</p><p>25</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>5) Desenvolver os produtos indicados:</p><p>a) (𝑥 + 3)2 =</p><p>b) (2𝑥 − 5)2 =</p><p>c) (3𝑥 − 1). (3𝑥 + 1) =</p><p>d) (√𝑥 − 𝑦). (√𝑥 + 𝑦) =</p><p>e) (2𝑎𝑥 + 𝑏)2 =</p><p>6) O valor numérico da expressão 2𝑥² + 8, para 𝑥 igual a −3 é:</p><p>a) 17</p><p>b) 18</p><p>c) 26</p><p>d) 34</p><p>26</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Equação do 1º grau</p><p>Chama-se equação do 1º grau, na variável ,x a qualquer expressão algébrica que possa</p><p>ser reduzida à forma:</p><p>𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, com 𝑎 um número real diferente de zero e 𝑏 um número real qualquer.</p><p>Solução: chama-se solução ou raiz de uma equação a um valor real (número) que</p><p>substituído na equação a torne verdadeira.</p><p>Conjunto solução:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>a</p><p>b</p><p>S .</p><p>Exemplo: Considerar a equação .0102 =−x</p><p>Para ,5=x a expressão reduz-se a 2. (5) − 10 = 0 o que é verdadeiro, portanto, 5=x</p><p>é uma raiz da equação dada. Conjunto solução: 𝑆 = {5}.</p><p>Para obter com facilidade a solução de uma equação do 1º grau, podemos utilizar o</p><p>processo dedutivo, que consiste em isolar a variável x , realizando para isto operações</p><p>inversas na ordem inversa.</p><p>Exemplos: Resolva as equações:</p><p>a) 2𝑥 − 10 = 0</p><p>b) 4𝑥 = 12</p><p>c)</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 =</p><p>3</p><p>4</p><p>27</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>d)</p><p>𝑥+1</p><p>3</p><p>=</p><p>𝑥−5</p><p>9</p><p>e) 10 + 𝑥 = 9 − 2𝑥</p><p>Exercícios: Resolva as equações:</p><p>a) 3𝑥 = 9</p><p>b)</p><p>3</p><p>4</p><p>𝑥 =</p><p>2</p><p>5</p><p>c)</p><p>10𝑥−4</p><p>6</p><p>=</p><p>8𝑥−20</p><p>4</p><p>d) 0,2𝑥 =</p><p>1</p><p>5</p><p>e) 2𝑥 + 6 = 𝑥 + 18</p><p>28</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>f) 5𝑥 – 3 = 2𝑥 + 9</p><p>g) 3(2𝑥 – 3) + 2(𝑥 + 1) = 3𝑥 + 18</p><p>h) 2𝑥 + 3(𝑥 – 5) = 4𝑥 + 9</p><p>i) 2(𝑥 + 1) – 3(2𝑥 – 5) = 6𝑥 – 3</p><p>j) 𝑥 – (2𝑥 – 1) = 23</p><p>k) 2𝑥 – (𝑥 – 1) = 5 – (𝑥 – 3)</p><p>29</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Aplicações (Problemas do 1º grau)</p><p>Exemplos:</p><p>1) Os candidatos a um emprego compareceram para um teste e foram divididos em</p><p>três turmas: na primeira havia</p><p>3</p><p>2</p><p>deles, na segunda</p><p>4</p><p>1</p><p>e na terceira os demais 15</p><p>candidatos. Ao todo, quantos eram os candidatos?</p><p>Resolução:</p><p>2) Um pagamento foi acrescido de 50% de seu valor, resultado em um total a ser pago</p><p>de R$ 300,00. Qual o valor da dívida original?</p><p>Resolução:</p><p>Exercícios: Resolva os problemas:</p><p>1) Um pagamento foi acrescido de 25% de seu valor, resultado em um total a ser pago</p><p>de R$ 500,00. Qual o valor da dívida original?</p><p>30</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>2) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo, resultando</p><p>um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto?</p><p>3) Duas pessoas têm juntas R$ 135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que</p><p>uma possui o dobro da outra?</p><p>4) O peso bruto de um produto é 1000 g. Sabendo-se que a embalagem corresponde a</p><p>4% do peso bruto, qual é o peso líquido do produto?</p><p>5) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu</p><p>cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à</p><p>metade da dívida e o segundo pagamento, R$ 300,00. Qual o valor da dívida, se o</p><p>último pagamento era de 20% da dívida original?</p><p>6) Um produto é anunciado em uma loja com pagamento em duas vezes sem juros, ou</p><p>a vista com desconto de 20%. Se uma pessoa pagou a vista R$ 400,00 pelo produto,</p><p>qual o valor das prestações para a compra a prazo?</p><p>31</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>7) Lendo 20 páginas por dia, Maria terminou</p><p>um livro levando 5 dias a mais que Carla,</p><p>que lia 28 páginas por dia. Quantas páginas têm o livro?</p><p>8) João, de 42 anos, é pai de Maria, de 12 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai</p><p>será o dobro da idade da filha?</p><p>9) Um operário ganha R$ 12,00 por dia em que utiliza o vale-refeição e R$ 15,00 quando</p><p>não o utiliza. Num mês de 30 dias, em que recebeu R$ 393,00, quantos dias utilizou</p><p>o vale-refeição?</p><p>32</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>10) Tendo sido contratado um novo funcionário com salário de R$ 720,00, o salário</p><p>médio dos empregados de um escritório passou de R$ 900,00 para R$ 880,00.</p><p>Quantos funcionários havia antes da nova contratação?</p><p>11) Numa cidade, uma corrida de táxi custa R$ 4,00 mais a quantia de R$ 0,75 por</p><p>quilômetro rodado.</p><p>a) Quantos quilômetros têm uma corrida que custa R$ 10,00?</p><p>b) Quanto custa uma corrida de x quilômetros?</p><p>Inequação do 1º grau</p><p>Conceito: Chama-se inequação do 1º grau, na variável ,x a qualquer expressão algébrica</p><p>que possa ser reduzida a uma das formas:</p><p>a) 0+bax</p><p>b) 0+bax</p><p>c) 0+bax</p><p>d) .0 , , com ,0 + aRbRabax</p><p>Observação: em desigualdades, toda vez que multiplicamos ou dividimos ambos os</p><p>membros por um número negativo, devemos inverter o sinal da desigualdade.</p><p>33</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exemplos: Resolva as inequações:</p><p>1) 063 −x</p><p>2) 04 −x</p><p>3) 3223 +− xx</p><p>4) xx −15</p><p>34</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exercício: Resolva as inequações:</p><p>1) 5𝑥 ≥ 20</p><p>2) 2𝑥 ≤ 4</p><p>3) −4𝑥 ≥ 16</p><p>4)</p><p>1</p><p>5</p><p>𝑥 ≥</p><p>3</p><p>8</p><p>5)</p><p>1−𝑥</p><p>4</p><p>< 10</p><p>6)</p><p>9</p><p>5</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>4</p><p>≤</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥 + 1</p><p>7) 0,4𝑥 −</p><p>1</p><p>2</p><p>≤ −0,2𝑥 + 3</p><p>8) −</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>7</p><p>≥ −𝑥 + 5</p><p>35</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exercícios de aplicação - Problemas</p><p>1) Uma pessoa sai de casa com R$ 300,00. Pretende adquirir por R$ 160,00 uma</p><p>passagem de ida e volta para um balneário e acredita que gastará R$ 25,00 por dia</p><p>com outras despesas no local. Quanto tempo ele pode ficar hospedado nesse</p><p>balneário, se reservar R$ 40,00 para uma emergência qualquer?</p><p>Resolução:</p><p>2) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela</p><p>equação 𝑞 = 100 − 2𝑝. Determinar os valores de p para os quais a quantidade</p><p>vendida é de no mínimo 40 unidades.</p><p>Resolução:</p><p>3) Um feirante vende seu produto com margem de lucro de 40% sobre o preço de</p><p>custo. Se adquirir a unidade por R$ 2,00, qual a quantidade que deverá vender para</p><p>lucrar no mínimo R$ 120,00?</p><p>Resolução:</p><p>36</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>4) Uma pessoa economizou R$ 400,00 para pagar prestações de dois carnês em atraso.</p><p>O primeiro carnê tem prestações fixas de R$ 50,00 e o segundo tem prestações fixas</p><p>de R$ 80,00. Qual o número máximo de prestações que ele poderá pagar do segundo</p><p>carnê, se for obrigado a quitar pelo menos duas prestações do primeiro carnê?</p><p>Resolução:</p><p>5) No problema anterior, se o primeiro carnê tem apenas quatro prestações a pagar,</p><p>qual o número mínimo e máximo de prestações que ele pode pagar do segundo</p><p>carnê?</p><p>Resolução:</p><p>6) Um hotel tem acomodações para 50 hóspedes. Cada hóspede gasta R$ 40,00 em</p><p>acomodação por dia. Sabe-se que 40% dos hóspedes utilizam o restaurante do hotel</p><p>e gastam em média R$ 10,00 por pessoa. Quantos hóspedes o hotel deverá abrigar</p><p>para ter receita diária:</p><p>a) De no mínimo R$ 1.000,00.</p><p>b) Entre R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00.</p><p>37</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Equação do 2º grau</p><p>Chama-se equação do 2º grau na variável 𝑥 a qualquer expressão algébrica que possa</p><p>ser reduzida à forma:</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com 𝑎 ∈ 𝑅∗, 𝑏 ∈ 𝑅 e 𝑐 ∈ 𝑅.</p><p>Os números reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são chamados coeficientes da equação.</p><p>Quando todos os coeficientes forem não nulos, a equação é denominada equação</p><p>completa do 2º grau. Nesse caso, o melhor processo de determinação das soluções da</p><p>equação é a solução geral dada por:</p><p>𝑥 =</p><p>−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>2𝑎</p><p>ou</p><p>𝑥 =</p><p>−𝑏 ± √∆</p><p>2𝑎</p><p>onde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>Se ∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes.</p><p>Se ∆ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais.</p><p>Se ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.</p><p>Exemplos: Resolver as equações:</p><p>a) 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0</p><p>38</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>b) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0</p><p>c) −𝑥2 + 10𝑥 − 21 = 0</p><p>d) 𝑥2 + 4𝑥 = 0</p><p>e) 𝑥2 − 4 = 0</p><p>39</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Problemas com equação do 2° grau</p><p>1) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. (R: 9 ou -10)</p><p>2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse</p><p>número. (R: 3 e -4)</p><p>3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R: 1)</p><p>4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse</p><p>número (R: 10 e -8)</p><p>40</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número.</p><p>Calcule esse número (R: 5)</p><p>6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número.</p><p>Calcule esse número. (R: 0 e 4)</p><p>7) O quadrado menos o quádruplo de um número é igual a 5. Calcule esse número. (R:</p><p>5 e -1)</p><p>8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é</p><p>esse número? (R: 6 e -3)</p><p>41</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 7 menos</p><p>3. Qual é esse número? (R: 3 e ½)</p><p>10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é</p><p>esse número? (R: 6 e -3)</p><p>11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R: -8 e 7)</p><p>12) Um número ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse</p><p>número? (R: -7 e 5)</p><p>13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número?</p><p>(R: 8 e -5)</p><p>42</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o</p><p>dobro desse número seja igual a 40. (R: 4)</p><p>15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse</p><p>número seja igual a 48. (R: 8)</p><p>16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse</p><p>número? (R: 1 e 2)</p><p>17) Qual é o número, cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? (R: 5, -8)</p><p>18) O quadrado de um número diminuído de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse</p><p>número. (R: 5 e -3)</p><p>43</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26.</p><p>(R: 7 e -4)</p><p>20) Se do quadrado de um número, negativo subtraímos 7, o resto será 42. Qual é esse</p><p>número? (R: -7)</p><p>21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse</p><p>número é 77. Calcule o número. (R: 7)</p><p>22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13</p><p>ou -11, -13)</p><p>23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede.</p><p>Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)</p><p>44</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Inequação do 2º grau</p><p>Conceito: Chama-se inequação do 2º grau na variável 𝑥 a</p><p>qualquer expressão algébrica</p><p>que possa ser reduzida a uma das formas:</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0</p><p>Com 𝑎 ∈ 𝑅∗, 𝑏 ∈ 𝑅 e 𝑐 ∈ 𝑅.</p><p>Exemplos: Resolver as inequações:</p><p>a) 𝑥2 − 7𝑥 + 12 > 0</p><p>45</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>b) 𝑥2 − 7𝑥 + 12 < 0</p><p>c) −𝑥2 + 12𝑥 − 20 > 0</p><p>46</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exercício: Determinar dois números inteiros positivos, com soma 20 e com produto</p><p>menor que 40.</p><p>47</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Logaritmo</p><p>Conceito: Se 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 e 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 0, então o número real 𝑦 tal que</p><p>𝑎𝑦 = 𝑥 é denominado logaritmo de 𝑥 na base 𝑎 e denota-se 𝑦 = log𝑎 𝑥.</p><p>Exemplos:</p><p>a) log2 8 =</p><p>b) log4 16 =</p><p>c) log10 1000 =</p><p>d) log2 (</p><p>1</p><p>8</p><p>) =</p><p>Casos especiais:</p><p>1) Se 𝑎 = 10, dizemos que 𝑦 é o logaritmo decimal de 𝑥 e denotamos: 𝑦 = log 𝑥</p><p>2) Se 𝑎 = 𝑒, (𝑒 vale aproximadamente 2,718281) dizemos que 𝑦 é o logaritmo natural</p><p>de 𝑥 e denotamos: 𝑦 = ln 𝑥</p><p>Propriedades dos logaritmos (com 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)</p><p>1) log𝑎 1 = 0</p><p>2) log𝑎 𝑎 = 1</p><p>3) log(𝑚. 𝑛) = log 𝑚 + log 𝑛</p><p>4) log</p><p>𝑚</p><p>𝑛</p><p>= log 𝑚 − log 𝑛</p><p>5) log 𝑚𝑛 = 𝑛. log 𝑚</p><p>6) log𝑏 𝑎 =</p><p>log𝑐 𝑎</p><p>log𝑐 𝑏</p><p>48</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exemplo: Resolva as seguintes equações exponenciais:</p><p>a) 3𝑥 = 12</p><p>b) 2𝑥 = 30</p><p>49</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exercícios</p><p>1) Calcule, aplicando a definição de logaritmo:</p><p>a) 128log 2 b) 27log 3 c) 32log</p><p>2</p><p>1</p><p>d) 7log7 e) 5,0log 2</p><p>f) 10log 01,0</p><p>g) 27log</p><p>3</p><p>h) 3</p><p>100 10log i)</p><p>2</p><p>1</p><p>log</p><p>4</p><p>j) 𝑙𝑜𝑔 12 6</p><p>k) 27log</p><p>3</p><p>1</p><p>l) 1log</p><p>2</p><p>5</p><p>m) 310log −</p><p>2) Dados 3010,02log  , 4771,03log  e 6989,05log  , calcular (usando as</p><p>propriedades):</p><p>a) 6log b) 30log c) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>15</p><p>log d) 10log</p><p>e) 54log f) 56,2log g) 3 12log h) 150log</p><p>3) Determine x nas igualdades:</p><p>a) x=64log 2 b) 2625log =x c) 0log =x</p><p>4) Problema: (Aplicação de logaritmo) Calcule por quanto tempo deve permanecer</p><p>aplicado, a juros compostos, o capital de R$10.000,00, à taxa de 2% ao mês, para que o</p><p>montante produzido seja R$12.682,42.</p><p>(Use: 1032,0268242,1log  e 0086,002,1log  ; aplique a fórmula abaixo).</p><p>Fórmula do montante a juros compostos:</p><p>niCM )1.( +=</p><p>onde: M é o montante, C o capital inicial, i a taxa de juros e n é o tempo de</p><p>aplicação.</p><p>5) Calcule por quanto tempo deve permanecer aplicado, a juros compostos, o capital de</p><p>R$1.000,00, à taxa de 1% ao mês, para que o montante produzido seja R$1.126,83.</p><p>(Use: 051858,012683,1log  e 00432137,001,1log  ; e aplique a fórmula dada</p><p>acima).</p><p>50</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Sistemas de equações de 1º grau</p><p>Um sistema é apresentado, em geral, na forma:</p><p>{</p><p>𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐</p><p>𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓</p><p>Solução de um sistema é um par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reais que satisfazem às</p><p>duas equações simultaneamente.</p><p>Exemplo: Resolva o sistema abaixo pelo método da adição, pelo método da substituição</p><p>e pelo método da comparação:</p><p>{</p><p>5𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>−4𝑥 + 9𝑦 = 1</p><p>Resolução:</p><p>a) Método da adição</p><p>{</p><p>5𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>−4𝑥 + 9𝑦 = 1</p><p>b) Método da substituição</p><p>{</p><p>5𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>−4𝑥 + 9𝑦 = 1</p><p>51</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>c) Método da comparação</p><p>{</p><p>5𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>−4𝑥 + 9𝑦 = 1</p><p>Exercícios: Resolver os sistemas:</p><p>a) {</p><p>10𝑥 + 𝑦 = 11</p><p>5𝑥 − 3𝑦 = 2</p><p>b) {</p><p>−𝑥 + 6𝑦 = 14</p><p>5𝑥 + 3𝑦 = 29</p><p>c) {</p><p>2𝑥 − 9𝑦 = −47</p><p>−𝑥 + 20𝑦 = 101</p><p>d) {</p><p>10𝑥 + 3𝑦 =</p><p>13</p><p>2</p><p>𝑥 + 5𝑦 = 3</p><p>e) {</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑥 + 𝑦 = 6</p><p>𝑥 +</p><p>2</p><p>5</p><p>𝑦 = 6</p><p>f) {</p><p>𝑥 = 4𝑦 + 1</p><p>𝑦 = 2𝑥 + 1</p><p>52</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>g) {</p><p>−0,4𝑥 − 𝑦 = 5,8</p><p>𝑥 + 0,3𝑦 = −3,5</p><p>h) {</p><p>2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0</p><p>3𝑥 + 2𝑦 − 34 = 0</p><p>i) {</p><p>𝑥 + 𝑦 = 1</p><p>3𝑥 + 3𝑦 = 4</p><p>j) {</p><p>2𝑥 + 3𝑦 = 0</p><p>3𝑥 − 2𝑦 = 0</p><p>k) {</p><p>𝑥 + 𝑦 = 1</p><p>3𝑥 + 3𝑦 = 3</p><p>Aplicações/Problemas:</p><p>1) A quantidade de equilíbrio para um produto é a quantidade 𝑞 a ser produzida e</p><p>comercializada tal que o custo de produção é igual a receita das vendas. Se a</p><p>equação da receita é 𝑅 = 10𝑞 e o custo é 𝐶 = 4𝑞 + 1800, qual é a quantidade de</p><p>equilíbrio para esse produto?</p><p>2) O preço de equilíbrio de mercado para um produto é o preço de venda do produto</p><p>que equilibra a quantidade que os produtores estão dispostos a oferecer e a</p><p>quantidade que os consumidores estão dispostos a adquirir. Se a equação que dá a</p><p>oferta do produto for 𝑞 = 0,1𝑝 − 40 e a equação que mede a demanda do</p><p>consumidor for 𝑞 = 500 − 0,2𝑝, qual o ponto de equilíbrio desse mercado?</p><p>53</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>3) A diferença entre as idades de 2 pessoas é 15 anos. Daqui há 2 anos, a mais velha</p><p>terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma?</p><p>4) Um sistema é indeterminado quando apresenta uma infinidade de soluções. Isso</p><p>ocorre quando as duas equações expressam a mesma relação entre as variáveis o</p><p>que significa que na verdade temos apenas uma equação para relacionar as</p><p>variáveis. Para encontrar soluções, temos que atribuir um valor para uma variável e</p><p>calcular o valor correspondente da outra variável.</p><p>Mostrar que o sistema</p><p>{</p><p>2𝑥 + 6𝑦 = 6</p><p>4𝑥 + 2𝑦 = 12</p><p>é indeterminado e encontrar as soluções do sistema para 𝑥 = 0 e para 𝑥 = 4.</p><p>5) Um sistema não tem solução quando apresenta como composição de suas equações</p><p>uma terceira equação que não tem solução.</p><p>Mostrar que o sistema abaixo não tem solução.</p><p>{</p><p>2𝑥 + 3𝑦 = 5</p><p>4𝑥 + 6𝑦 = 12</p><p>54</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Regra de Três Simples</p><p>É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B,</p><p>relacionando dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma</p><p>proporção em que se conhecem três termos e o quarto é o procurado.</p><p>A regra de três simples consiste em montarmos uma tabela, comparando em cada</p><p>coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação.</p><p>Essa equação terá a mesma forma da tabela quando as grandezas forem diretamente</p><p>proporcionais. No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da</p><p>equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Cinco metros de um tecido custam R$8,00. Quanto vou pagar por nove metros do</p><p>mesmo tecido?</p><p>2) Quinze operários levam 10 dias para realizar um trabalho. Para fazer, em 6 dias, o</p><p>mesmo trabalho, o número de operários deverá ser igual a:</p><p>a) 19</p><p>b) 21</p><p>c) 23</p><p>d) 25</p><p>55</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>3) Oito funcionários produzem 40 bicicletas em cinco dias de trabalho. Para o mesmo</p><p>período, ou seja, cinco dias de trabalho. Quantas bicicletas seriam produzidas por</p><p>dez funcionários?</p><p>a) 60</p><p>b) 57</p><p>c) 55</p><p>d) 50</p><p>4) Andando com velocidade de 4km/h, Pedro vai do trabalho a casa em 12 minutos. Se</p><p>aumentasse em 50% sua velocidade, em quantos minutos Pedro faria esse mesmo</p><p>percurso?</p><p>a) 6</p><p>b) 7</p><p>c) 8</p><p>d) 9</p><p>56</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exercícios</p><p>1) A Produção de uma tecelagem era</p><p>de 8.000 metros de tecido/dia. Com a</p><p>admissão de mais 300 operários, a indústria passou a produzir 14.000 metros de</p><p>tecido/dia. Qual era o número de operários antes da admissão dos 300?</p><p>2) Sabe-se que 8 kg de café cru resultam em 6 kg de café torrado. Quantos quilos,</p><p>de café cru, devem ser levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado?</p><p>3) Para transportar um certo volume de areia para uma construção foram utilizados</p><p>30 caminhões, carregados com 4 m3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhões</p><p>com capacidade para 12m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para</p><p>fazer tal serviço?</p><p>4) Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de</p><p>páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página?</p><p>57</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>5) Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade</p><p>B em 16 minutos. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da</p><p>volta?</p><p>Regra de Três Composta</p><p>É uma regra que envolve três ou mais grandezas diretamente ou inversamente</p><p>proporcionais.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Para alimentar 12 porcos durante 20 dias são necessários 400 kg de farelo. Quantos</p><p>porcos podem ser alimentados com 600 kg de farelo durante 24 dias?</p><p>2) Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8</p><p>datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas?</p><p>58</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>3) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas</p><p>camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas?</p><p>Exercícios</p><p>1) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles</p><p>comeriam 75 kg de ração?</p><p>a) 10 dias</p><p>b) 12 dias</p><p>c) 14 dias</p><p>d) 18 dias</p><p>2) Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3</p><p>dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas</p><p>por dia?</p><p>a) 4 dias</p><p>b) 6 dias</p><p>c) 9 dias</p><p>d) 12 dias</p><p>59</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>3) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de</p><p>6 horas ganhariam:</p><p>a) R$ 16.560,00</p><p>b) R$ 17.560,00</p><p>c) R$ 26.560,00</p><p>d) R$ 29.440,00</p><p>4) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de</p><p>gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia?</p><p>a) R$ 1.026,00</p><p>b) R$ 2.052,00</p><p>c) R$ 3.078,00</p><p>d) R$ 4.104,00</p><p>60</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Material Extra – Aplicações e Exercícios Diversos</p><p>Depreciação</p><p>Definições Básicas</p><p>Em qualquer processo produtivo onde se verifica a interação entre os elementos que</p><p>compõem o capital fixo da empresa produtora, observa-se que ao longo da elaboração</p><p>dos bens ou serviços há uma gradual perda de valor inicial do fator de produção – os</p><p>ativos da empresa (máquinas, equipamentos, instalações, veículos etc.). O valor pelo</p><p>qual foi adquirido o bem (valor inicial) vai diminuindo ao longo da vida útil ou produtiva</p><p>do ativo e ao final da qual se têm um valor de sucata, de revenda ou valor residual. A</p><p>diferença entre o valor de compra do bem e o seu valor residual, no fim de certo tempo,</p><p>chama-se depreciação. Depreciação é, portanto, a desvalorização, a perda de valor</p><p>inicial ou desgaste físico ou funcional sofrido durante o processo de produção.</p><p>Sob a ótica fiscal e contábil, a depreciação é importante, pois a legislação permite que a</p><p>mesma seja descontada periodicamente do lucro para fins de pagamento de tributos</p><p>como o Imposto de Renda. Sob a ótica gerencial é imprescindível na apuração dos custos</p><p>de produção, na análise de investimentos entre outros.</p><p>Existem vários métodos para estimativa da depreciação periódica, tais como: Linear,</p><p>Cole e Exponencial, Produção, Declínio de Balanço. Para efeitos fiscais, a legislação</p><p>admite o Método Linear, ou qualquer outro inferior a ele.</p><p>Num plano de depreciação, apresenta-se ao fim de cada exercício, a cota de</p><p>depreciação, o valor do fundo de provisão para depreciação, o valor atual do bem e o</p><p>saldo a depreciar, conceituados a seguir:</p><p>Cota de Depreciação – É a parcela de desvalorização periódica do ativo, e varia de</p><p>acordo com o método de depreciação utilizado.</p><p>Valor do Fundo de Depreciação – É a soma das cotas de depreciação até um período</p><p>determinado, ou seja, é a depreciação acumulada até o período considerado.</p><p>Valor Atual do Ativo – Representa o quanto o ativo vale em determinada data, ou seja,</p><p>o quanto ainda não desvalorizou.</p><p>Saldo a Depreciar – Representa o quanto falta a depreciar até o valor residual (de</p><p>revenda) do ativo.</p><p>A HP-12C possui programas internos que nos permitem calcular cada parcela de</p><p>depreciação pelos métodos Linear, Cole (Soma dos Dígitos) e Declínio de Balanço.</p><p>61</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Após a introdução dos dados, para calcular a parcela de depreciação periódica pela HP-</p><p>12C, basta digitar a ordem da parcela desejada e após visualizá-la através das teclas:</p><p>❖ 〈 f 〉 〈 SL 〉 pelo Método Linear</p><p>❖ 〈 f 〉 〈 SOYD 〉 pelo Método da Soma dos Dígitos</p><p>❖ 〈 f 〉 〈 SD 〉 pelo Método Declínio de Balanço</p><p>O saldo a depreciar encontra-se armazenado na memória da pilha operacional Y e,</p><p>portanto, basta pressionar 〈 X≷Y 〉 para que a mesma apareça no visor.</p><p>Método Linear 〈 SL 〉</p><p>Neste método a parcela periódica de depreciação é a mesma para todos os períodos da</p><p>vida útil do bem, sendo obtida dividindo o valor a depreciar do bem pelo número de</p><p>períodos de sua vida útil, como definido a seguir:</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎çã𝑜 =</p><p>𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙</p><p>𝑉𝑖𝑑𝑎 Ú𝑡𝑖𝑙</p><p>Roteiro para cálculo da Depreciação Linear – Pela HP-12C</p><p>1. Pressione 〈 f 〉 〈 REG 〉 para zerar os registradores</p><p>2. Digite o valor de aquisição e pressione a tecla 〈 PV 〉</p><p>3. Digite o valor residual, se não houver, digite zero e pressione a tecla 〈 FV 〉</p><p>4. Digite a vida útil em períodos correspondentes a unidade de tempo desejada e</p><p>pressione a tecla 〈 n 〉</p><p>5. Para obter a depreciação periódica digite o número de ordem “t” da parcela</p><p>desejada e pressione 〈 f 〉 〈 SL 〉</p><p>6. Pressione a tecla 〈 X≷Y 〉 e obtenha o saldo a depreciar</p><p>7. Com o saldo a depreciar no visor, pressione 〈 RCL 〉 〈 FV 〉 〈 + 〉 para obter o valor</p><p>atual 8. Em sequência, para obter a depreciação acumulada pressione: 〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉</p><p>〈 - 〉</p><p>Observação: O PV que representa o valor de aquisição não pode ser inserido com sinal</p><p>negativo para o cálculo da depreciação.</p><p>62</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Exemplo 1: Móveis e utensílios de uma empresa foram adquiridos por R$30.500,00.</p><p>Sabendo-se que a vida útil é de dez anos e o valor residual é R$2.000,00, calcular pelo</p><p>critério linear:</p><p>a) o valor da sexta parcela anual de depreciação;</p><p>b) o saldo a depreciar após o abatimento da sexta parcela;</p><p>c) o valor atual após a sexta parcela;</p><p>d) a depreciação acumulada até a sexta parcela.</p><p>Resolução pela HP-12C</p><p>Teclas Visor Observações</p><p>〈 f 〉 〈 REG 〉 0,00 Limpa os registradores</p><p>30500 〈 PV 〉 30.500,00 Insere o valor de aquisição</p><p>2000 〈 FV 〉 2.000,00 Insere o valor residual</p><p>10 〈 n 〉 10,00 Insere a vida útil</p><p>6 〈 f 〉 〈 SL 〉 2.850,00 Sexta parcela de depreciação</p><p>〈 X≷Y 〉 11.400,00 Saldo a depreciar após a sexta parcela</p><p>〈 RCL 〉 〈 FV 〉 〈 + 〉 13.400,00 Valor atual do ativo após a sexta parcela</p><p>〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉 〈 - 〉 17.100,00 Depreciação acumulada até a sexta parcela</p><p>Construção da Planilha</p><p>Para compor a planilha de depreciação devemos inicialmente introduzir os dados nos</p><p>registradores: 〈 PV 〉, 〈 FV 〉 e 〈 n 〉.</p><p>Após inseridos os dados as tabelas são resolvidas</p><p>através das teclas “t” 〈 f 〉 〈 SL 〉</p><p>conforme descrito no roteiro anterior.</p><p>Exemplo 2: Móveis e os utensílios de uma empresa foram adquiridos por R$30.500,00.</p><p>Sabendo-se que a vida útil é de cinco anos e o valor residual é R$2.000,00, montar a</p><p>planilha de depreciação pelo método Linear.</p><p>Período</p><p>(anos)</p><p>Quota de</p><p>Depreciação</p><p>Depreciação</p><p>Acumulada</p><p>Valor Atual Saldo a Depreciar</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>63</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Resolução pela HP-12C</p><p>Teclas Visor Observações</p><p>〈 f 〉 〈 REG 〉 0,00 Limpa os registradores</p><p>30500〈 PV 〉 30.500,00 Insere o valor de aquisição</p><p>2000〈 FV 〉 2.000,00 Insere o valor residual</p><p>5 〈 n 〉 5,00 Insere a vida útil</p><p>1 〈 f 〉 〈 SL 〉 5.700,00 Primeira parcela de depreciação</p><p>〈 X≷Y 〉 22.800,00 Saldo a depreciar após a primeira parcela</p><p>〈 RCL 〉 〈 FV 〉 〈 + 〉 24.800,00 Valor atual do ativo após a primeira parcela</p><p>〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉 〈 - 〉 5.700,00 Depreciação acumulada até a primeira parcela</p><p>2 〈 𝑓 〉 〈 𝑆𝐿 〉 5.700,00 Segunda parcela de depreciação</p><p>〈 𝑋 ≷ 𝑌 〉 17.100,00 Saldo a depreciar após a segunda parcela</p><p>〈 𝑅𝐶𝐿 〉 〈 𝐹𝑉 〉 〈 + 〉 19.100,00 Valor atual do ativo após a segunda parcela</p><p>〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉 〈 - 〉 11.400,00 Depreciação acumulada até a segunda parcela</p><p>3 〈 𝑓 〉 〈 𝑆𝐿 〉 5.700,00 Terceira parcela de depreciação</p><p>〈 𝑋 ≷ 𝑌 〉 11.400,00 Saldo a depreciar após a terceira parcela</p><p>〈 𝑅𝐶𝐿 〉 〈 𝐹𝑉 〉 〈 + 〉 13.400,00 Valor atual do ativo após a terceira parcela</p><p>〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉 〈 - 〉 17.100,00 Depreciação acumulada até a terceira parcela</p><p>4 〈 𝑓 〉 〈 𝑆𝐿 〉 5.700,00 Quarta parcela de depreciação</p><p>〈 𝑋 ≷ 𝑌 〉 5.700,00 Saldo a depreciar após a quarta parcela</p><p>〈 𝑅𝐶𝐿 〉 〈 𝐹𝑉 〉 〈 + 〉 7.700,00 Valor atual do ativo após a quarta parcela</p><p>〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉 〈 - 〉 22.800,00 Depreciação acumulada até a quarta parcela</p><p>5 〈 𝑓 〉 〈 𝑆𝐿 〉 5.700,00 Quinta parcela de depreciação</p><p>〈 𝑋 ≷ 𝑌 〉 0,00 Saldo a depreciar após a quinta parcela</p><p>〈 𝑅𝐶𝐿 〉 〈 𝐹𝑉 〉 〈 + 〉 2.000,00 Valor atual do ativo após a quinta parcela</p><p>〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉 〈 - 〉 28.500,00 Depreciação acumulada até a quinta parcela</p><p>64</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Planilha de Depreciação</p><p>Período</p><p>(ano)</p><p>Quota de</p><p>Depreciação</p><p>Depreciação</p><p>Acumulada</p><p>Valor Atual</p><p>Saldo a</p><p>Depreciar</p><p>0 30.500,00 28.500,00</p><p>1 5.700,00 5.700,00 24.800,00 22.800,00</p><p>2 5.700,00 11.400,00 19.100,00 17.100,00</p><p>3 5.700,00 17.100,00 13.400,00 11.400,00</p><p>4 5.700,00 22.800,00 7.700,00 5.700,00</p><p>5 5.700,00 28.500,00 2.000,00 0,00</p><p>Exercícios</p><p>1) Calcule pelo método Linear. O bem possui as seguintes características: Valor de</p><p>aquisição R$120.000,00 vida útil 10 anos e valor residual R$40.000,00.</p><p>a) A quarta parcela anual de depreciação;</p><p>b) O saldo a depreciar após a quarta parcela;</p><p>c) A depreciação acumulada até a quarta parcela inclusive;</p><p>d) O valor atual após a quarta parcela.</p><p>Resolução: a)</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎çã𝑜 =</p><p>𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙</p><p>𝑉𝑖𝑑𝑎 Ú𝑡𝑖𝑙</p><p>Roteiro para cálculo da Depreciação Linear – Pela HP-12C</p><p>1. Pressione 〈 f 〉 〈 REG 〉 para zerar os registradores</p><p>2. Digite o valor de aquisição e pressione a tecla 〈 PV 〉</p><p>3. Digite o valor residual, se não houver, digite zero e pressione a tecla 〈 FV 〉</p><p>4. Digite a vida útil em períodos correspondentes a unidade de tempo desejada e</p><p>pressione a tecla 〈 n 〉</p><p>5. Para obter a depreciação periódica digite o número de ordem “t” da parcela</p><p>desejada e pressione 〈 f 〉 〈 SL 〉</p><p>6. Pressione a tecla 〈 X≷Y 〉 e obtenha o saldo a depreciar</p><p>7. Com o saldo a depreciar no visor, pressione 〈 RCL 〉 〈 FV 〉 〈 + 〉 para obter o valor</p><p>atual 8. Em sequência, para obter a depreciação acumulada pressione: 〈 RCL 〉〈 PV 〉〈 X≷Y 〉</p><p>〈 - 〉</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎çã𝑜 =</p><p>120.000 − 40.000</p><p>10</p><p>=</p><p>80.000</p><p>10</p><p>= 8.000</p><p>65</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>A quarta parcela de depreciação é de 8.000</p><p>b) O saldo a depreciar após a quarta parcela;</p><p>Saldo a depreciar = Restam 6 parcelas de 8.000 = 6 . 8.000 = 48.000</p><p>c) A depreciação acumulada até a quarta parcela inclusive;</p><p>Depreciada acumulada = 4 . 8.000 = 32.000</p><p>d) O valor atual após a quarta parcela.</p><p>Valor atual = valor de aquisição – depreciação acumulada até a n parcela</p><p>Valor atual = 120.000 - 32.000 = 88.000</p><p>2) Para uma máquina adquirida por R$5.000,00, vida útil de 7 anos e valor residual</p><p>nulo. Calcule a sexta parcela de depreciação, saldo a depreciar, valor atual e a</p><p>depreciação acumulada, pelo método de depreciação Linear.</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎çã𝑜 =</p><p>5.000 − 0</p><p>7</p><p>= 714,29</p><p>Período</p><p>(ano)</p><p>Quota de</p><p>Depreciação</p><p>Depreciação</p><p>Acumulada</p><p>Valor Atual</p><p>Saldo a</p><p>Depreciar</p><p>0 5.000,00 5.000,00</p><p>1 +714,29 +714,29 +4.285,71 +4.285,71</p><p>2 +714,29 +1.428,58 +3.571,45 +3.571,42</p><p>3 +714,29 +2.142,87 +2.857,13 +2.857,13</p><p>4 +714,29 +2.857,16 +2.142,84 +2.142,84</p><p>5 +714,29 +3.571,45 +1.428,55 +1.428,55</p><p>6 +714,29 +4.285,71 +714,29 +714,29</p><p>7 +714,29 +5.000,00 -0.00 -0.03</p><p>A sexta parcela é de 714,29</p><p>O saldo a depreciar é de 714,29</p><p>O valor atual é de 714,29</p><p>A depreciação acumulada é de +4.285,71</p><p>66</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>3) Monte a planilha de depreciação para pelo método Linear de um automóvel</p><p>comprado por R$18.000,00 com vida útil de 5 anos e valor residual R$5.000,00.</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎çã𝑜 =</p><p>18.000 − 5.000</p><p>5</p><p>= +2.600,00</p><p>Período</p><p>(ano)</p><p>Quota de</p><p>Depreciação</p><p>Depreciação</p><p>Acumulada</p><p>Valor Atual</p><p>Saldo a</p><p>Depreciar</p><p>0 18.000 13.000</p><p>1 2.600 2.600 15.400 10.400</p><p>2 2.600 5.200 12.800 7.800</p><p>3 2.600 7.800 10.200 5.200</p><p>4 2.600 10.400 7.600 2600</p><p>5 2.600 13.000 5.000 0</p><p>4) Uma empresa comprou um equipamento por R$25.000,00. A sua vida útil</p><p>esperada é de 5 anos e seu valor residual é nulo. Pede-se: o plano de depreciação</p><p>pelo método Linear.</p><p>𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎çã𝑜 =</p><p>25.000 − 0</p><p>5</p><p>= 5.000</p><p>Período</p><p>(ano)</p><p>Quota de</p><p>Depreciação</p><p>Depreciação</p><p>Acumulada</p><p>Valor Atual</p><p>Saldo a</p><p>Depreciar</p><p>0 25.000 25.000</p><p>1 5.000 5.000 20.000 20.000</p><p>2 5.000 10.000 15.000 15.000</p><p>3 5.000 15.000 10.000 10.000</p><p>4 5.000 20.000 5.000 5.000</p><p>5 5.000 25.000 0 0</p><p>67</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>2ª - Lista de Exercícios de Matemática</p><p>1) Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto por um custo</p><p>fixo de R$5.000,00 mais um custo variável de R$2,50 por unidade fabricada. Portanto, o</p><p>custo operacional, que representaremos por 𝑦, é dado em função do número de</p><p>unidades fabricadas, que representaremos por 𝑥. Expresse, por meio de uma fórmula</p><p>matemática, a lei dessa função.</p><p>2) A Organização Mundial da Saúde recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14</p><p>𝑚2 de área verde por habitante. A área verde mínima 𝑦 de uma cidade é dada em função</p><p>do número 𝑥 de habitantes. Escreva a fórmula matemática que expresse a lei dessa</p><p>função.</p><p>3) Dada a função 𝑓, definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5, quando 𝑥 = 1 obtemos:</p><p>a) 𝑓(1) = −5</p><p>b) 𝑓(1) = −2</p><p>c) 𝑓(1) = 1</p><p>d) 𝑓(1) = 2</p><p>e) 𝑓(1) = 5</p><p>4) Considere a função do 2º grau: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − 6. O gráfico cruza o eixo 𝑥 nos</p><p>pontos:</p><p>a) ( 2 , 0 ) e ( −3 , 0 )</p><p>b) ( 0 , −2 ) e (0 , 3 )</p><p>c) (−2 , 0 ) e (3 , 0 )</p><p>d) ( 3 , −2 ) e (3 , −2 )</p><p>e) (−2 , 0 ) e ( −3, 0 )</p><p>68</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>5) O gráfico mostra o faturamento obtido mês a mês por certa empresa.</p><p>De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, em relação ao faturamento mensal,</p><p>a) o de junho foi o menor do 1.º semestre.</p><p>b) esse cresceu continuamente de janeiro a junho.</p><p>c) entre maio e julho, houve uma recuperação e, em seguida, uma queda.</p><p>d) o de setembro correspondeu à média mensal entre</p><p>agosto e outubro.</p><p>e) o mínimo anual foi atingido em dezembro.</p><p>6) Considere a função do 1º Grau 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 8. Determine os valores de 𝑥 para que</p><p>se tenha:</p><p>a) 𝑓(𝑥) = 0 b) 𝑓(𝑥) = 2</p><p>0</p><p>1000</p><p>2000</p><p>3000</p><p>4000</p><p>5000</p><p>6000</p><p>7000</p><p>8000</p><p>9000</p><p>10000</p><p>jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez</p><p>Faturamento (R$)</p><p>69</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>7) Trace abaixo o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1</p><p>− − − −     </p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>70</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>8) Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3</p><p>− − − −     </p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>71</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>9) Num jogo de futebol, o preço da arquibancada era R$15,00 e o da cadeira</p><p>numerada, R$25,00. Se 4800 pessoas compareceram ao estádio e a renda foi de</p><p>R$90.000,00, quantas pessoas ficaram na arquibancada?</p><p>10) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi</p><p>entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada</p><p>caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco,</p><p>o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:</p><p>a) 110</p><p>b) 120</p><p>c) 130</p><p>d) 140</p><p>e) 150</p><p>11) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30 notas.</p><p>Quantas notas possuo de cada valor?</p><p>12) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B, terei</p><p>que desembolsar R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 7 unidades do</p><p>produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um dos produtos?</p><p>13) No supermercado comprei arroz a R$ 2,00/kg e feijão a R$ 3,00/kg, pagando</p><p>R$ 13,00. Na vendinha do seu Joaquim o arroz teria custado R$ 3,00/kg e o feijão</p><p>R$ 4,50/kg, pagando R$ 19,50 no total. Quantos quilogramas foram comprados de</p><p>cada item?</p><p>14) Considere um bem com as seguintes características: Valor de aquisição</p><p>R$34.000,00 vida útil 10 anos e valor residual R$12.000,00. Obtenha pelo critério</p><p>linear o saldo a depreciar após a quarta parcela.</p><p>72</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>15) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.</p><p>Condições dos planos:</p><p>Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo</p><p>período.</p><p>Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo</p><p>período.</p><p>Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número 𝑥 de consultas</p><p>dentro do período pré-estabelecido. Sendo assim:</p><p>a) Determine a função correspondente ao plano A;</p><p>b) Determine a função correspondente ao plano B;</p><p>c) Esboce o gráfico das funções correspondentes aos planos A e B no mesmo plano</p><p>cartesiano.</p><p>d) Determine em qual situação o plano A é mais econômico;</p><p>e) Determine em qual situação o plano B é mais econômico;</p><p>f) Determine em qual situação os dois planos se equivalem.</p><p>16) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo</p><p>variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo 𝑥 o número de peças unitárias</p><p>produzidas, determine:</p><p>a) A lei da função que fornece o custo de produção de 𝑥 peças;</p><p>b) O custo de produção de 400 peças.</p><p>17) Um motorista de táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada mais R$ 1,00 por quilômetro</p><p>rodado. Assim o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados.</p><p>Faça o que se pede em cada item:</p><p>a) Qual o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 5 quilômetros?</p><p>b) Qual o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 10 quilômetros?</p><p>c) Construa um modelo linear que descreva o preço da corrida em função do número 𝑥</p><p>de quilômetros percorridos.</p><p>d) Quantos quilômetros percorreu uma corrida que custou R$ 20,00?</p><p>e) Esboce o gráfico do modelo linear.</p><p>73</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>18) O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de</p><p>cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa</p><p>uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na</p><p>venda de 𝑥 livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros.</p><p>19) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00,</p><p>mais uma parte variável de 4% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga</p><p>vender R$450.000,00, calcule o valor de seu salário.</p><p>20) Considere um bem com as seguintes características: Valor de aquisição</p><p>R$29.000,00 vida útil 5 anos e valor residual R$10.000,00. Pelo critério linear a terceira</p><p>parcela anual de depreciação é:</p><p>e) R$3.500,00</p><p>f) R$3.200,00</p><p>g) R$3.400,00</p><p>h) R$3.000,00</p><p>i) R$3.800,00</p><p>21) Considere um bem com as seguintes características: Valor de aquisição</p><p>R$29.000,00 vida útil 5 anos e valor residual R$10.000,00. Pelo critério linear a</p><p>depreciação acumulada até a terceira parcela inclusive é:</p><p>a) R$9.600,00</p><p>b) R$10.200,00</p><p>c) R$9.000,00</p><p>d) R$11.400,00</p><p>e) R$10.500,00</p><p>22) Monte a planilha de depreciação utilizando o método Linear de um automóvel</p><p>comprado por R$27.000,00 com vida útil de 5 anos e valor residual R$13.000,00.</p><p>74</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>Período</p><p>(ano)</p><p>Quota de</p><p>Depreciação</p><p>Depreciação</p><p>Acumulada</p><p>Valor Atual Saldo a Depreciar</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>22) Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de</p><p>tintas serão necessários para pintar 450 m², nas mesmas condições?</p><p>23) Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por</p><p>dia, em quanto tempo ela leria o mesmo livro?</p><p>24) Nos Estados Unidos a medida de comprimento usada para calcular longas distâncias</p><p>é a milha, que corresponde a aproximadamente 1,6 Km. Quantos Km percorreu um</p><p>automóvel que viajou 87 milhas?</p><p>25) Trabalhando 8 horas por dia, durante 14 dias, Maurício recebeu R$2.100,00. Se</p><p>trabalhar 6 horas por dia, durante quantos dias ele deve trabalhar para receber</p><p>R$2.700,00?</p><p>26) Em 3 horas, no período da manhã, 10 pessoas confeccionaram bandeirinhas para a</p><p>festa junina da escola. À tarde, 15 pessoas irão confeccionar o dobro de</p><p>bandeirinhas. Quanto tempo levarão para isso?</p><p>27) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições,</p><p>15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?</p><p>75</p><p>Material de Aula do Prof. Sílvio Castelão</p><p>28) A Produção de uma tecelagem era de 8.000 metros de tecido/dia. Com a admissão</p><p>de mais 300 operários, a indústria passou a produzir 14.000 metros de tecido/dia.</p><p>Qual era o número de operários antes da admissão dos 300?</p><p>29) Para alimentar 12 porcos durante 20 dias são necessários 400 kg de farelo. Quantos</p><p>porcos podem ser alimentados com 600 kg de farelo durante 24 dias?</p><p>30) Para confeccionar 1600 metros de tecido, com largura de 1,80 metros, a Tecelagem</p><p>Nortefabril S.A. consome 320 quilogramas de fio. Qual é a quantidade de fio</p><p>necessária para produzir 2100 metros do mesmo tecido com largura de 1,50 metros?</p><p>31) Em 5 dias, funcionando 15 horas/dia, uma máquina produz 2000 peças. Quantas</p><p>peças ela produz em 8 dias, funcionando 12 horas/dia?</p>