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<p>2</p><p>Questão Única</p><p>Encontre a solução �(�) para o problema do valor inicial (PVI) em cada uma das equações</p><p>diferenciais de 2ª ordem não-homogêneas com coeficientes constantes, a seguir, pelos métodos de</p><p>VARIAÇÃO DE PARÂMETROS, COEFICIENTES A DETERMINAR e TRANSFORMADA</p><p>DE LAPLACE, ou seja, três resoluções por item.</p><p>a) �"(�) + �′(�) = ���� ; �(�) = � ; �′(�) = �</p><p>b) �"(�) + �(�) = � ���(�) ; �(�) = −� ; �′(�) = �</p><p>c) �"(�) − ��(�) = ��� + � ; �(�) = � ; �′(�) = �</p><p>Dica: Digite cada item no endereço https://www.wolframalpha.com/ e verifique as respostas</p><p>antes de desenvolver sua resolução. Verifique o exemplo para o item “a”, abaixo:</p><p>3</p><p>4</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>a) �"(�) + �′(�) = ���� ; �(�) = � ; �′(�) = �</p><p>Método da VARIAÇÃO DE PARÂMETROS</p><p>i) Calcule a solução complementar �� = �� · �� + �� · ��</p><p>ii) Calcule a solução particular ��</p><p>�� ��</p><p>�′ �</p><p>Construa a equação matricial dada por [ ′ ′ ] · [ �] = [ ]</p><p>�� �� ′ �(�)</p><p>�� �� Obtenha �(�) = | | = � · �′ − �′ · �</p><p>�′ �′ � � � �</p><p>� �</p><p>Calcule �′ e obtenha �� = ∫ �′ ��</p><p>� �</p><p>�′ =</p><p>�</p><p>· |</p><p>� ��</p><p>| =</p><p>−��·�(�)</p><p>;</p><p>� �(�) �(�) �′</p><p>�(�)</p><p>5</p><p>�(�) ′</p><p>Calcule �′ e obtenha �� = ∫ �′ ��</p><p>� �</p><p>�′ =</p><p>�</p><p>�� � ��·�(�)</p><p>· | | =</p><p>�� �(�)</p><p>;</p><p>�(�)</p><p>Encontre solução particular</p><p>�� = �� · �� + �� · ��</p><p>iii) Escreva a solução geral</p><p>�(�) = �� + �� = �� · �� + �� · �� + ��</p><p>iv) Determine as constantes �� e �� e obtenha a solução �(�) para o PVI</p><p>�</p><p>6</p><p>Método dos COEFICIENTES A DETERMINAR</p><p>i) Escreva a solução complementar �� = �� · �� + �� · �� já obtida no método anterior</p><p>ii) Calcule a solução particular ��</p><p>(Qual utilizar: �� = � · ��� ou �� = � · � · ��� ?)</p><p>iii) Escreva a solução geral</p><p>�(�) = �� + �� = �� · �� + �� · �� + ��</p><p>iv) Determine as constantes �� e �� e obtenha a solução �(�) para o PVI</p><p>7</p><p>Método da TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>i) Obtenha �{�"(�) + �′(�) = ����} ���� �(�) = � � �′(�) = �</p><p>ii) Isole �(�) escreva o 2º membro em frações parciais</p><p>Dica:</p><p>���−��−�</p><p>�(�+�)(�−�)</p><p>≡</p><p>�</p><p>+</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>�+�</p><p>�</p><p>�−�</p><p>iii) Faça �−�{�(�)} utilizando a tabela e determine a solução �(�) do PVI</p><p>8</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>b) �"(�) + �(�) = � ���(�) ; �(�) = −� ; �′(�) = �</p><p>Método da VARIAÇÃO DE PARÂMETROS</p><p>i) Calcule a solução complementar �� = �� · �� + �� · ��</p><p>ii) Calcule a solução particular ��</p><p>�� ��</p><p>�′ �</p><p>Construa a equação matricial dada por [ ′ ′ ] · [ �] = [ ]</p><p>�� �� ′ �(�)</p><p>�� �� Obtenha �(�) = | | = � · �′ − �′ · �</p><p>�′ �′ � � � �</p><p>� �</p><p>Calcule �′ e obtenha �� = ∫ �′ �� [Dado: ∫ −����(�)���(�) �� = −����(�)]</p><p>� �</p><p>�′ =</p><p>�</p><p>· |</p><p>� ��</p><p>| =</p><p>−��·�(�)</p><p>;</p><p>� �(�) �(�) �′</p><p>�(�)</p><p>9</p><p>�(�) ′</p><p>Calcule �′ e obtenha �� = ∫ �′ �� [Dado: ∫ −�����(�) �� = −� − ���(�)���(�)]</p><p>� �</p><p>�′ =</p><p>�</p><p>�� � ��·�(�)</p><p>· | | =</p><p>�� �(�)</p><p>;</p><p>�(�)</p><p>Encontre solução particular</p><p>Dica: −����(�) − � ���(�) − ���(�)����(�) = −� ���(�) − ���(�)</p><p>�� = �� · �� + �� · ��</p><p>iii) Escreva a solução geral (agregue o termo linearmente dependente)</p><p>�(�) = �� + �� = �� · �� + �� · �� + ��</p><p>iv) Determine as constantes �� e �� e obtenha a solução �(�) para o PVI</p><p>�</p><p>10</p><p>Método dos COEFICIENTES A DETERMINAR</p><p>i) Escreva a solução complementar �� = �� · �� + �� · �� já obtida no método anterior</p><p>ii) Calcule a solução particular ��</p><p>(Qual utilizar: �� = � ���(�) + � ���(�) ou �� = � � ���(�) + � � ���(�) ?)</p><p>iii) Escreva a solução geral</p><p>�(�) = �� + �� = �� · �� + �� · �� + ��</p><p>iv) Determine as constantes �� e �� e obtenha a solução �(�) para o PVI</p><p>11</p><p>Método da TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>i) Obtenha �{�"(�) + �(�) = � ���(�)} ���� �(�) = −� � �′(�) = �</p><p>ii) Isole �(�) , escrevendo o 2º membro em frações parciais</p><p>Dica: � ≡</p><p>��−��+�+�</p><p>≡</p><p>(��+�)−(��−�)</p><p>≡</p><p>��+�</p><p>−</p><p>��−�</p><p>≡</p><p>�</p><p>−</p><p>��−�</p><p>(��+�)</p><p>�</p><p>(��+�)</p><p>�</p><p>(��+�)</p><p>�</p><p>(��+�)</p><p>�</p><p>(��+�)</p><p>�</p><p>��+� (��+�)</p><p>�</p><p>iii) Faça �−�{�(�)} utilizando a tabela e determine a solução �(�) do PVI</p><p>12</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>c) �"(�) − ��(�) = ��� + � ; �(�) = � ; �′(�) = �</p><p>Método da VARIAÇÃO DE PARÂMETROS</p><p>i) Calcule a solução complementar �� = �� · �� + �� · ��</p><p>ii) Calcule a solução particular ��</p><p>�� ��</p><p>�′ �</p><p>Construa a equação matricial dada por [ ′ ′ ] · [ �] = [ ]</p><p>�� �� ′ �(�)</p><p>�� �� Obtenha �(�) = | | = � · �′ − �′ · �</p><p>�′ �′ � � � �</p><p>� �</p><p>Calcule �′ e obtenha � = ∫ �′ �� [Dado: ∫(�� + �)�−�� �� = −</p><p>�</p><p>(�� + �)�−��]</p><p>� � � �</p><p>�′ =</p><p>�</p><p>· |</p><p>� ��</p><p>| =</p><p>−��·�(�)</p><p>;</p><p>� �(�) �(�) �′</p><p>�(�)</p><p>13</p><p>�(�) ′</p><p>Calcule �′ e obtenha � = ∫ �′ �� [Dado: ∫ −(�� + �)��� �� = −</p><p>�</p><p>(�� + �)���]</p><p>� � � �</p><p>�′ =</p><p>�</p><p>�� � ��·�(�)</p><p>· | | =</p><p>�� �(�)</p><p>;</p><p>�(�)</p><p>Encontre solução particular</p><p>�� = �� · �� + �� · ��</p><p>iii) Escreva a solução geral</p><p>�(�) = �� + �� = �� · �� + �� · �� + ��</p><p>iv) Determine as constantes �� e �� e obtenha a solução �(�) para o PVI</p><p>�</p><p>14</p><p>Método dos COEFICIENTES A DETERMINAR</p><p>i) Escreva a solução complementar �� = �� · �� + �� · �� já obtida no método anterior</p><p>ii) Calcule a solução particular ��</p><p>(Qual utilizar: �� = � � + � ou �� = � �� + � � + � ?)</p><p>iii) Escreva a solução geral</p><p>�(�) = �� + �� = �� · �� + �� · �� + ��</p><p>iv) Determine as constantes �� e �� e obtenha a solução �(�) para o PVI</p><p>15</p><p>Método da TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>i) Obtenha �{�"(�) − � �(�) = �� � + �} ���� �(�) = � � �′(�) = �</p><p>ii) Isole �(�) , escrevendo o 2º membro em frações parciais</p><p>Dica:</p><p>���+��+�� � � � �</p><p>��(�+�)(�−�)</p><p>≡</p><p>�</p><p>+</p><p>�� +</p><p>�+�</p><p>+</p><p>�−�</p><p>iii) Faça �−�{�(�)} utilizando a tabela e determine a solução �(�) do PVI</p>

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