11 ano geometria espaço

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<p>Geometria analítica</p><p>Equações de planos no espaço</p><p>O essencial</p><p>Formas de definir um plano</p><p>Um plano pode ser definido por:</p><p>• três pontos não colineares que lhe pertençam;</p><p>• duas retas concorrentes nele contidas;</p><p>• uma reta nele contida e um ponto exterior</p><p>à reta que lhe pertença;</p><p>• duas retas estritamente paralelas nele contidas;</p><p>• um ponto que lhe pertença e uma reta normal ao</p><p>plano.</p><p>Dado um vetor 𝑣 e um plano 𝛼, diz-se que o vetor 𝑢 é normal ao plano 𝛼</p><p>se for nulo ou, não sendo nulo, se as retas de vetor diretor 𝑣 forem</p><p>perpendiculares a 𝛼.</p><p>Dado um vetor não nulo 𝑣 normal a um plano 𝛼 e um ponto 𝑃𝑜 ∈ 𝛼, para</p><p>todo o ponto 𝑃,</p><p>𝑃 ∈ 𝛼 ⇔ 𝑃𝑜𝑃 ∙ 𝑣 = 0.</p><p>Vetor normal a um plano</p><p>Fixado um referencial ortonormado do espaço e dado um vetor não nulo</p><p>𝑣(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) e um ponto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), existe um único plano 𝛼 que passa</p><p>por 𝑃0, tal que 𝑣 é normal a 𝛼, tendo-se que 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛼 se, e somente</p><p>se, 𝑃𝑜𝑃 ∙ 𝑣 = 0, isto é, 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛼 se, e somente se:</p><p>𝒗𝟏 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒗𝟐 𝒚 − 𝒚𝟎 + 𝒗𝟑 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝟎</p><p>Vetor normal a um plano</p><p>Equação cartesiana do plano</p><p>Fixado um referencial ortonormado do espaço, qualquer equação da</p><p>forma:</p><p>𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎</p><p>onde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ (0,0,0) representa um plano e qualquer</p><p>plano admite uma equação cartesiana desta forma e esse plano é</p><p>normal ao vetor de coordenadas 𝑎, 𝑏, 𝑐 .</p><p>Condição de paralelismo de planos</p><p>Dados planos 𝛼 e 𝛽 e vetores 𝑣𝛼 e 𝑣𝛽 não nulos, normais,</p><p>respetivamente, a 𝛼 e 𝛽, 𝛼 e 𝛽 são paralelos se, e somente se,</p><p>𝑣𝛼 e 𝑣𝛽 forem colineares.</p><p>Condição de perpendicularidade de planos</p><p>Dados planos 𝛼 e 𝛽 e vetores 𝑢𝛼 e 𝑢𝛽 não nulos, normais,</p><p>respetivamente, a 𝛼 e 𝛽 são perpendiculares se, e somente se,</p><p>𝑢𝛼 e 𝑢𝛽 forem perpendiculares.</p><p>Vetor paralelo a um plano</p><p>Dado um plano 𝛼, um vetor 𝑣 diz-se «paralelo a 𝛼» se 𝑣 for nulo ou,</p><p>não sendo nulo, se for vetor diretor de uma reta de 𝛼.</p><p>Equação vetorial do plano</p><p>Dado um plano 𝛼, um ponto 𝑃0 ∈ 𝛼 e dois vetores, 𝑢 e 𝑣 ,</p><p>não colineares, paralelos a 𝛼, para todo o ponto 𝑃 do espaço:</p><p>𝑃 ∈ 𝛼 ⟺ ∃𝑠, 𝑡 ∈ 𝐼𝑅: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑠𝑢 + 𝑡 𝑣</p><p>a equação</p><p>𝑷 = 𝑷𝟎 + 𝒔𝒖 + 𝒕𝒗, 𝒔, 𝒕 ∈ 𝑰𝑹</p><p>designa-se por equação vetorial do plano 𝛼.</p><p>Sistema de equações paramétricas de um</p><p>plano</p><p>Dado um plano 𝛼, um ponto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∈ 𝛼 e dois vetores,</p><p>𝑢(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e 𝑣 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 , não colineares, paralelos a 𝛼, para todo o</p><p>ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃 ∈ 𝛼 se e somente se existem números reais 𝑠, 𝑡 tais</p><p>que:</p><p>𝑥 = 𝑥0 + 𝑠𝑢1 + 𝑡𝑣1 ∧ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑠𝑢2 + 𝑡𝑣2 ∧ 𝑧 = 𝑧0 + 𝑠𝑢3 + 𝑡𝑣3.</p><p>Este sistema designa-se por sistema de equações paramétricas do</p><p>plano 𝜶.</p>