CÁLC II ENG Aula 16

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<p>AULA Nº 16</p><p>CÁLCULO II ENGENHARIA</p><p>PROF. CLAUDIO POSSANI</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Nesta aula vamos iniciar o estudo dos “campos</p><p>conservativos”.</p><p>Eles se constituem num tipo especial de campos</p><p>vetoriais com propriedades geométricas e físicas</p><p>importantes.</p><p>Estas propriedades fazem com que os campos</p><p>conservativos tenham muitas aplicações.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Um campo vetorial 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) diz-se Gradiente</p><p>se existir uma função (campo escalar)</p><p>𝝋 = 𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 com a propriedade que</p><p>𝜵𝝋 = 𝑭</p><p>É importante que 𝝋 e 𝑭 estejam definidos no</p><p>mesmo domínio.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>A função 𝝋 chama-se Função Potencial de 𝑭.</p><p>Se 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = (𝑷 𝒙, 𝒚, 𝒛 , 𝑸 𝒙, 𝒚, 𝒛 , 𝑹 𝒙, 𝒚, 𝒛 ) a</p><p>condição 𝜵𝝋 = 𝑭 se expressa por</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒙</p><p>= 𝑷 e</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒚</p><p>= 𝑸 e</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒛</p><p>= 𝑹</p><p>em todos os pontos do domínio.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>O campo 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟑𝒙𝟐𝒚Ԧ𝒊 + 𝒙𝟑 Ԧ𝒋 + 𝟐𝒌 é um</p><p>campo gradiente com função potencial</p><p>𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒛</p><p>Se somarmos uma constante à função 𝝋</p><p>obtemos outra função potencial.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Na aula 12 nós mostramos que</p><p>𝑿 𝒙, 𝒚 = (𝟐𝒙, 𝟑𝒙𝒚) não é um campo gradiente.</p><p>Também na aula 12 mostramos que o campo</p><p>𝑿 𝒙, 𝒚 = (𝟐𝒙, 𝟑𝒚) é o gradiente de</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 +</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝒚𝟐 + 𝑪</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Teorema: se 𝑭 é gradiente e 𝜵𝝋 = 𝑭 então</p><p>𝜸׬</p><p>𝑭𝒅𝒓 independe de 𝜸 e só depende dos</p><p>pontos inicial, 𝜸 𝒂 , e final, 𝜸 𝒃 e vale</p><p>𝜸׬</p><p>𝑭𝒅𝒓 = 𝝋 𝜸 𝒃 − 𝝋(𝜸 𝒂 )</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Esta última expressão significa que o trabalho</p><p>realizado por um campo gradiente é igual à</p><p>diferença de potencial.</p><p>É o que ocorre no caso da força peso sob a</p><p>ação da gravidade.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Calcule ׬𝜸</p><p>𝟑𝒙𝟐𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟑𝒅𝒚 + 𝟐𝒅𝒛 sendo</p><p>𝜸 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒕 ,</p><p>𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒𝝅</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Vimos que este campo é gradiente com função</p><p>potencial 𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒛</p><p>𝜸 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒕 ⇒ 𝜸 𝟎 = (𝟏, 𝟎, 𝟎) e</p><p>𝜸 𝟐𝝅 = (𝟏, 𝟎, 𝟐𝝅)</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>𝛾׬</p><p>Ԧ𝐹𝑑𝑟 = 𝜑 𝛾 𝑏 − 𝜑 𝛾 𝑎 = 𝜑 1,0,2𝜋 − 𝜑 1,0,0</p><p>= 13 ∙ 0 + 2 ∙ 2𝜋 − (13 ∙ 0 + 2 ∙ 0) = 4𝜋</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Teorema: se 𝑭 é gradiente e 𝜸 é uma curva</p><p>fechada então 𝜸׬</p><p>𝑭𝒅𝒓 = 𝟎.</p><p>Demonstração:</p><p>𝜸 uma curva fechada ⇒ 𝜸 𝒂 = 𝜸(𝒃)</p><p>න</p><p>𝜸</p><p>𝑭𝒅𝒓 = 𝝋 𝜸 𝒃 − 𝝋 𝜸 𝒂 = 𝟎</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Calcule 𝛾׬</p><p>5𝑥4𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑥 − 𝑥5𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 sendo 𝛾 a</p><p>circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 16, percorrida no sentido</p><p>anti-horário.</p><p>Como Ԧ𝐹 𝑥, 𝑦 = 5𝑥4𝑐𝑜𝑠𝑦 Ԧ𝑖 − 𝑥5𝑠𝑒𝑛𝑦Ԧ𝑗 = 𝛻𝜑(𝑥, 𝑦)</p><p>com 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑥5𝑐𝑜𝑠𝑦 e 𝛾 é fechada segue que</p><p>𝛾׬</p><p>5𝑥4𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑥 − 𝑥5𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 = 0</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Teorema: são equivalentes:</p><p>(I) 𝜵𝝋 = 𝑭</p><p>(II) ׬𝜸</p><p>𝑭𝒅𝒓 = 𝝋 𝜸 𝒃 − 𝝋(𝜸 𝒂 )</p><p>(III) ׯ 𝑭𝒅𝒓 = 𝟎</p><p>Se 𝑭 satisfaz qualquer uma destas condições</p><p>ele se chama CONSERVATIVO.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Calcular ׬𝜸</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝒅𝒙 +</p><p>𝒚</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝒅𝒚 onde 𝜸 é a curva</p><p>esboçada a seguir, ligando 𝟒, 𝟎 a (𝟑, 𝟎) .</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>x</p><p>y</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Para saber se 𝑭 𝒙, 𝒚 =</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 Ԧ𝒊 +</p><p>𝒚</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 Ԧ𝒋 é</p><p>conservativo precisamos resolver:</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒙</p><p>=</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒚</p><p>=</p><p>𝒚</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Para saber se 𝑭 𝒙, 𝒚 =</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 Ԧ𝒊 +</p><p>𝒚</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 Ԧ𝒋 é</p><p>conservativo precisamos resolver:</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒙</p><p>=</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 ⇒ 𝝋 𝒙, 𝒚 =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝐥𝐧 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒈(𝒚)</p><p>𝝏𝝋</p><p>𝝏𝒚</p><p>=</p><p>𝒚</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 ⇒ 𝝋 𝒙, 𝒚 =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒉(𝒙)</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Logo 𝝋 𝒙, 𝒚 =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 é função potencial e</p><p>Portanto o campo é conservativo.</p><p>Observe que</p><p>𝑫𝒐𝒎 𝑭 = 𝑫𝒐𝒎 𝝋 = ℝ𝟐 − (𝟎, 𝟎)</p><p>𝜸 𝒃 = 𝟑, 𝟎 , 𝜸 𝒂 = (𝟒, 𝟎)</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>න</p><p>𝛾</p><p>Ԧ𝐹𝑑𝑟 = 𝜑 𝛾 𝑏 − 𝜑 𝛾 𝑎 =</p><p>𝜑 3,0 − 𝜑 4,0 =</p><p>1</p><p>2</p><p>ln 32 + 02 −</p><p>1</p><p>2</p><p>ln 42 + 02 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑙𝑛9 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑙𝑛16 = 𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛4 = 𝑙𝑛</p><p>3</p><p>4</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Teorema: Seja 𝒇 = 𝒇 𝒙, 𝒚 um campo escalar de</p><p>classe 𝑪𝟐. Então o rotacional do gradiente de 𝒇 é</p><p>nulo, isto, é</p><p>𝒓𝒐𝒕(𝜵𝒇 𝒙, 𝒚 ) = 𝟎</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>(I) 𝛻𝜑 = Ԧ𝐹 ⇔ (II) ׬𝛾</p><p>Ԧ𝐹𝑑𝑟 = 𝜑 𝛾 𝑏 − 𝜑(𝛾 𝑎 ) ⇔</p><p>⇔ (III) ׯ Ԧ𝐹𝑑 Ԧ𝑟 = 0</p><p>𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 0</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Pergunta natural: a recíproca é verdadeira ?</p><p>𝑹𝒐𝒕(𝑭) = 𝟎 ⇒ 𝑭 é conservativo ?</p><p>A resposta, no caso geral, é NÃO.</p><p>Sob certas condições pode ser SIM</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Exemplo importante:</p><p>𝑭 𝒙, 𝒚 =</p><p>−𝒚</p><p>𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>Ԧ𝒊 +</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>Ԧ𝒋</p><p>Indicado por 𝒅𝜽.</p><p>Campo gerado por uma corrente constante</p><p>num fio ideal e comprido.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Calcule ׬𝜸</p><p>−𝒚</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝒅𝒙 +</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝒅𝒚 onde 𝜸 é a</p><p>circunferência do plano 𝒙𝒚 de raio 𝒓 percorrida no</p><p>sentido anti-horário, 𝜸 𝜽 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 ,</p><p>𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>𝜸′ 𝜽 = (−𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽, 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽)</p><p>න</p><p>𝜸</p><p>−𝒚</p><p>𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>𝒅𝒙 +</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>𝒅𝒚 =</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅 −𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽</p><p>𝒓𝟐</p><p>−𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 +</p><p>𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽</p><p>𝒓𝟐</p><p>𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 =</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅</p><p>𝟏 𝒅𝜽 = 𝟐𝝅</p><p>Quando a curva é fechada dizemos que a integral</p><p>de linha é uma “circuitação” e indicamos por</p><p>ׯ 𝑭𝒅𝒓</p><p>Assim ׯ 𝒅𝜽 = 𝟐𝝅</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Sendo 𝑭 o campo 𝒅𝜽 temos 𝒓𝒐𝒕𝑭 = 𝟎</p><p>𝑹𝒐𝒕 𝑭 = (</p><p>𝝏𝑸</p><p>𝝏𝒙</p><p>−</p><p>𝝏𝑷</p><p>𝝏𝒚</p><p>)𝒌</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>𝝏𝑸</p><p>𝝏𝒙</p><p>=</p><p>𝝏(</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)</p><p>𝝏𝒙</p><p>=</p><p>𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙 ∙ 𝟐𝒙</p><p>(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐</p><p>=</p><p>=</p><p>−𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>𝝏𝑷</p><p>𝝏𝒚</p><p>=</p><p>𝝏(</p><p>−𝒚</p><p>𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)</p><p>𝝏𝒚</p><p>=</p><p>−𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − (−𝒚 ∙ 𝟐𝒚)</p><p>(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐</p><p>=</p><p>=</p><p>−𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐</p><p>Logo 𝑹𝒐𝒕 𝑭 =</p><p>𝝏𝑸</p><p>𝝏𝒙</p><p>−</p><p>𝝏𝑷</p><p>𝝏𝒚</p><p>𝒌 = 𝟎</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>Mas como ׯ 𝒅𝜽 = 𝟐𝝅 então o campo não satisfaz</p><p>a condição (III) da definição de campo</p><p>conservativo, logo não é um campo deste tipo.</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>(I) 𝜵𝝋 = 𝑭 ⇔ (II) ׬𝜸</p><p>𝑭𝒅𝒓 = 𝝋 𝜸 𝒃 − 𝝋(𝜸 𝒂 ) ⇔</p><p>⇔ (III) ׯ 𝑭𝒅𝒓 = 𝟎</p><p>𝑹𝒐𝒕(𝑭) = 𝟎</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p>