Apostila Conjuntos e Intervalos Numéricos topico 2

Prévia do material em texto

<p>Tópico 2 - Conjuntos e Intervalos</p><p>Numéricos</p><p>1 Conjuntos Numéricos</p><p>1.1 Conjunto N dos Números Naturais</p><p>O conjunto dos números naturais é representado pela letra N:</p><p>N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}</p><p>Observações:</p><p>• Alguns livros e autores de Matemática definem o conjunto dos números naturais</p><p>iniciando com o zero (0).</p><p>• Os números naturais formam uma sequência que "não tem fim", ou seja, existem</p><p>infinitos números naturais. Usamos reticências para indicar esse fato.</p><p>1.2 Conjunto Z Números Inteiros</p><p>Z = {...,−2,−1, 0,+1,+2,+3, ...}</p><p>Subconjuntos de Z</p><p>• Números inteiros diferentes de zero</p><p>Z− {0} = Z∗ = {...,−2,−1,+1,+2,+3, ...}</p><p>• Números inteiros não negativos</p><p>Z+ = {0,+1,+2,+3, ...}</p><p>• Números inteiros não positivos</p><p>Z− = {0,−1,−2,−3, ...}</p><p>• Números inteiros positivos</p><p>Z∗</p><p>+ = {+1,+2,+3, ...}</p><p>• Números inteiros negativos</p><p>Z∗</p><p>− = {−1,−2,−3, ...}</p><p>1.3 Conjunto Q dos Números Racionais</p><p>Número racional é todo número que pode ser escrito na forma</p><p>a</p><p>b</p><p>, onde:</p><p>• a e b são números inteiros;</p><p>• b ̸= 0</p><p>1</p><p>Números Racionais Positivos e Negativos</p><p>Então, são números racionais:</p><p>Os números intei-</p><p>ros positivos:</p><p>Os números inteiros</p><p>negativos:</p><p>Os números fracio-</p><p>nários positivos:</p><p>Os números fracio-</p><p>nários negativos:</p><p>Exemplos: Exemplos: Exemplos: Exemplos:</p><p>1 =</p><p>1</p><p>1</p><p>e 2 =</p><p>2</p><p>1</p><p>−1 = −1</p><p>1</p><p>e −2 = −2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>3</p><p>4</p><p>−1</p><p>2</p><p>e −3</p><p>4</p><p>Observação: O número 0 também é racional pois 0 =</p><p>0</p><p>1</p><p>.</p><p>Números Decimais</p><p>Um número racional também pode ser representado por um número decimal exato ou</p><p>periódico.</p><p>Exemplos:</p><p>a)</p><p>7</p><p>2</p><p>= 3, 5 99K divide-se o numerador pelo denominador da fração e obtém-se o número na forma</p><p>decimal.</p><p>b) −4</p><p>5</p><p>= −0, 8</p><p>c)</p><p>1</p><p>3</p><p>= 0, 333...</p><p>d)</p><p>4</p><p>9</p><p>= 0, 444...</p><p>e)</p><p>23</p><p>99</p><p>= 0232323...</p><p>Os itens c, d e e são chamados de dízimas periódicas e podem ser representados</p><p>ainda por: 0, 3; 0, 4 e 0, 23 respectivamente.</p><p>Representação Geométrica dos Números Racionais</p><p>Observe que os números inteiros e racionais podem ser representados por pontos de</p><p>uma reta.</p><p>• Os pontos que estão à direita do zero chamam-se positivos.</p><p>Os pontos negativos estão à esquerda do zero.</p><p>• Dados dois números quaisquer, o que está mais à direita é o maior deles, e o que</p><p>está mais à esquerda, o menor deles.</p><p>Exemplos:</p><p>a) +2 > −3 99K (+2 está à direita de −3).</p><p>b) −2 < +1 99K (−2 está à esquerda de +1).</p><p>c) −3</p><p>2</p><p><</p><p>1</p><p>5</p><p>99K (−3</p><p>2</p><p>está à esquerda de</p><p>1</p><p>5</p><p>).</p><p>d)</p><p>5</p><p>3</p><p>> −5</p><p>2</p><p>99K (</p><p>5</p><p>3</p><p>está à direita de −5</p><p>2</p><p>).</p><p>2</p><p>1.4 Conjunto I dos Números Irracionais</p><p>Assim como existem números decimais que podem ser escritos como fraçóes com nu-</p><p>merador e denominador inteiro - os números racionais que acabamos de estudar -, há</p><p>os que não admitem tal representação. Trata-se dos números decimais que possuem</p><p>representação infinita não periódica.</p><p>Vejamos alguns exemplos</p><p>• O número 0,21211211121111... não é dízima periódica, pois os algarismos após a</p><p>virgula não repetem periodicamente.</p><p>• O número 1,203040... também não comporta representação fracionária, pois não</p><p>é dizima periódica.</p><p>• Os números</p><p>√</p><p>2 = 1, 4142135...,</p><p>√</p><p>3 = 1, 7320508... e π = 3, 141592..., por não apre-</p><p>sentarem representação infinita periódica, também não são números racionais.</p><p>Um número cuja representação decimal infinita é não periodica é chamado número irra-</p><p>cional,e o conjunto desses números é representado por I.</p><p>1.5 Conjunto R dos Números Reais</p><p>O conjunto formado pela reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos</p><p>números irracionais é chamado conjunto dos númeors reais e é representado por R.</p><p>Assim, temos:</p><p>R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = ∅</p><p>Temos: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e I ⊂ R</p><p>Observe: I = R−Q</p><p>Além desses (N,Z,Q e I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos</p><p>importantes:</p><p>• O conjunto dos números reais não nulos:</p><p>R∗ = {x ∈ R|x ̸= 0} = R− {0}</p><p>• O conjunto dos números reais não negativos:</p><p>R+ = {x ∈ R|x ⩾ 0}</p><p>• O conjuto dos números reais positivos:</p><p>R∗</p><p>+ = {x ∈ R|x > 0}</p><p>• O conjunto dos números reais não positivos:</p><p>R− = {x ∈ R|x ⩽ 0}</p><p>• O conjunto dos números reais negativos:</p><p>R∗</p><p>− = {x ∈ R|x < 0}</p><p>3</p><p>2 Intervalos Numéricos</p><p>No conjunto dos números reais podemos estabelecer subconjuntos denominados inter-</p><p>valos. Considere dois números reais a e b (a < b), localizados na reta. Assim temos:</p><p>2.1 Intervalo Aberto</p><p>Chamamos de intervalo aberto o conjunto de números reais entre a e b, excluindo estes</p><p>dois extremos:</p><p>Representação geométrica Notação de conjunto Notação de intervalo</p><p>{x ∈ R/a < x < b} ]a, b[ ou (a, b)</p><p>2.2 Intervalo Fechado</p><p>Chamamos de intervalo fechado o conjunto de números reais entre a e b, incluindo estes</p><p>dois extremos:</p><p>Representação geométrica Notação de conjunto Notação de intervalo</p><p>{x ∈ R/a ≤ x ≤ b} [a, b]</p><p>2.3 Intervalos Semi-Abertos</p><p>Chamamos de intervalo aberto à direita e fechado à esquerda o conjunto dos números</p><p>reais entre a e b, incluindo a e excluindo b:</p><p>Representação geométrica Notação de conjunto Notação de intervalo</p><p>{x ∈ R/a ≤ x < b} [a, b[ ou [a, b)</p><p>Chamamos de intervalo fechado à direita e aberto à esquerda o conjunto dos núme-</p><p>ros reais entre a e b, excluindo a e incluindo b:</p><p>Representação geométrica Notação de conjunto Notação de intervalo</p><p>{x ∈ R/a < x ≤ b} ]a, b] ou (a, b]</p><p>4</p><p>2.4 Intervalos Infinitos</p><p>Os seguintes intervalos são chamados intervalos infinitos:</p><p>Representação geométrica Notação de conjunto Notação de intervalo</p><p>{x ∈ R/x > a} ]a,+∞[ ou ]a,+∞)</p><p>{x ∈ R/x ⩾ a} [a,+∞[ ou [a,+∞)</p><p>{x ∈ R/x < b} ]−∞, b[ ou (−∞, b)</p><p>{x ∈ R/x ⩽ b} ]−∞, b] ou (−∞, b]</p><p>Os símbolos +∞ (mais infinito) e −∞ (menos infinito) não representam nenhum</p><p>número real. O conjunto dos números reais pode ser representado como um intervalo</p><p>aberto:</p><p>R = ]−∞,+∞[ = (−∞,+∞)</p><p>E seus subconjuntos R+,R−,R∗</p><p>+ e R∗</p><p>− como intervalos semi-abertos:</p><p>R+ = [0,∞[= [0,+∞)</p><p>R− =]−∞, 0] = (−∞, 0]</p><p>R∗</p><p>+ =]0,+∞[=]0,+∞)</p><p>R∗</p><p>− =]−∞, 0[= (−∞, 0[</p><p>2.5 Operações com Intervalos</p><p>Exemplos:</p><p>1. Seja A = {x ∈ ℜ|2 < x < 5} e B = {x ∈ ℜ|3 ≤ x < 8}, determinar:</p><p>A ∩B A ∪B</p><p>A ∩B = {x ∈ ℜ|3 ≤ x < 5} = [3, 5[ A ∪B = {x ∈ ℜ|2 ≤ x < 8} =]2, 8[</p><p>5</p><p>2. Seja A =]− 1, 4[ e B =]−∞, 2], determinar:</p><p>A ∩B A ∪B</p><p>A ∩B = {x ∈ ℜ| − 1 < x ≤ 2} =]− 1, 2] A ∪B = {x ∈ ℜ|x < 4} =]−∞, 4[</p><p>3 Funções</p><p>3.1 Definição de Função</p><p>Dados A e B dois conjuntos não vazios, dizemos que a relação f de A em B é uma</p><p>função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e só um</p><p>elemento y do conjunto B.</p><p>Exemplos:</p><p>1. É função:</p><p>f1 é função pois todos os elementos de A têm um único correspondente em B.</p><p>2. É função:</p><p>f2 é função pois todos os elementos de A têm um único correspondente em B.</p><p>3. Não é função:</p><p>f3 não é função pois −2 ∈ A e não têm correspondente em B.</p><p>6</p><p>4. Não é função:</p><p>f4 não é função pois os elementos 16 e 4 pertencentes ao conjunto A têm dois</p><p>correspondentes em B.</p><p>5. Exercício Resolvido: Verifique quais dos diagramas de setas representam função</p><p>de A = {1, 2, 3} em B = {−1, 3, 4}. Justifique.</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>Solução:</p><p>a) f1 não é função pois o elemento 3 ∈ A não tem correspondente em B.</p><p>b) f2 é função porque cada elemento de A tem um único correspondente em B.</p><p>c) f3 não é uma função porque o elemento 1 do conjunto A tem mais de um</p><p>correspondente em B.</p><p>d) f4 é função pois todos elementos de A têm um único correspondente em B.</p><p>3.2 Notação e Valor Numérico</p><p>Notação: Podemos escrever uma função f : A → B através de duas variáveis: uma</p><p>independente e outra dependente.</p><p>Exemplos:</p><p>• y = 3x2 + 4x ou f(x) = 3x2 + 4x =⇒ x independente e y dependente</p><p>• V = 2t3 − 5</p><p>3</p><p>t ou v(t) = 2t3 − 5</p><p>3</p><p>t =⇒ t independente e V dependente</p><p>Valor Numérico de uma função é o valor da variável dependente quando atribuímos um</p><p>valor a variável independente.</p><p>Exemplo: Dada a função f : R → R definida por f(x) = x3 − x, determine:</p><p>• f(2) = 23 − (2) = 6</p><p>• f(−2) = (−2)3 − (−2) = −6</p><p>• f(1) + f(−1) = 13 − 1 + (−1)3 − (−1) = 0 + 0 = 0</p><p>7</p><p>3.3 Domínio, Imagem e Contradomínio de uma Função</p><p>Seja a função f : A → B.</p><p>a) Chamamos de domínio(D(f)) da função f o conjunto formado pelos primeiros</p><p>elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a f . Assim, pela definição,</p><p>D(f) = A.</p><p>b) Chamamos</p><p>de imagem (Im(f)) da função f o conjunto formado pelos segundos</p><p>elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a f .</p><p>c) Chamamos de contradomínio (CD(f)) da função f o conjunto B: CD(f) = B.</p><p>Exemplos:</p><p>1. Sejam os conjuntos A = {−2,−1, 0, 1} e B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3} e a função</p><p>f : A → B definida por f(x) = x+ 1, temos:</p><p>x f(x) = x+ 1 f(x)</p><p>−2 f(−2) = −2 + 1 −1</p><p>−1 f(−1) = −1 + 1 0</p><p>0 f(0) = 0 + 1 1</p><p>1 f(1) = 1 + 1 2</p><p>f = {(−2,−1), (−1, 0), (0, 1), (1, 2)}</p><p>D(f) = A = {−2,−1, 0, 1}</p><p>Im(f) = {−1, 0, 1, 2}</p><p>CD(f) = B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}</p><p>Observação: Decorre da definição que Im(f) ⊂ CD(f) ou Im(f) ⊂ B.</p><p>2. Seja os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {−1, 0, 1, 2} e a função f : A → B definida</p><p>por f(x) = x2 − 3x+ 1, determine:</p><p>a) Im(f)</p><p>b) diagrama de setas da função</p><p>c) D(f) e CD(f)</p><p>Solução:</p><p>x y = x2 − 3x+ 1 y</p><p>0 y = 02 − 3 · 0 + 1 1</p><p>1 y = 12 − 3 · 1 + 1 −1</p><p>2 y = 22 − 3 · 2 + 1 −1</p><p>3 y = 32 − 3 · 3 + 1 1</p><p>a) Im(f) = {−1, 1}, pois são valores de y.</p><p>8</p><p>b) Diagrama de setas da função:</p><p>c) D(f) = A = {0, 1, 2, 3} e CD(f) = B = {−1, 0, 1, 2}</p><p>Os exercícios 2, 3, 4 e 5 são importantes no estudo de Cálculo.</p><p>3. Determine o domínio da função real f(x) =</p><p>3</p><p>x− 2</p><p>Solução:</p><p>A restrição refere-se ao denominador, pois ele deve ser diferente de 0, ou seja:</p><p>x− 2 ̸= 0 ⇒ x ̸= 2</p><p>Então, D(f) = {x ∈ R|x ̸= 2} = R− {2}.</p><p>4. Determine o domínio da função real f(x) =</p><p>√</p><p>3− x.</p><p>Solução:√</p><p>3− x só existe em R se:</p><p>3− x ≥ 0 ⇒ −x ≥ −3 ⇒ x ≤ 3</p><p>Logo, D(f) = {x ∈ R|x ≤ 3}.</p><p>5. Qual o domínio da função real f(x) =</p><p>1</p><p>x− 3</p><p>+</p><p>3x√</p><p>x− 1</p><p>+</p><p>√</p><p>x− 2 ?</p><p>Solução:</p><p>Devemos ter simultaneamente:</p><p>x− 3 ̸= 0 ⇒ x ̸= 3</p><p>x− 1 > 0 ⇒ x > 1</p><p>x− 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2</p><p>Efetuando a intersecção das condições, temos:</p><p>Logo, D(f) = {x ∈ R|x ≥ 2 e x ̸= 3}</p><p>6. Qual o domínio da função real f(x) = x2 + 5x</p><p>Solução:</p><p>Como a expressão da função aceita qualquer valor para variável x, ela não tem</p><p>nenhuma restrição, logo o domínio será o maior conjunto possível, isto é: f : R →</p><p>R, D(f) = R</p><p>9</p><p>3.4 Função Crescente e Função Decrescente</p><p>Uma função y = f(x), de A em B, é crescente em um intervalo [a, b] ⊂ A se, e somente</p><p>se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a, b] temos:</p><p>x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)</p><p>Uma função y = f(x), de A em B, é decrescente em um intervalo [a, b] ⊂ A se, e somente</p><p>se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes esse intervalo temos:</p><p>x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1)</p><p>Exemplos:</p><p>1. Na função f(x) representada no gráfico abaixo, observe que f(x) é decrescente no</p><p>intervalo (−∞, 0] e crescente no intervalo [0,+∞).</p><p>2. As funções reais f(x) e g(x) estão representadas por seus gráficos. Analise-os e</p><p>indique em que intervalos elas são crescentes ou decrescentes.</p><p>Solução:</p><p>• f(x) é crescente em [1,∞) e decrescente em [0, 1];</p><p>• g(x) é crescente em [−2, 0] e [2, 4];</p><p>• g(x) é decrescente em [−4,−2] e [0, 2].</p><p>10</p><p>3. Determine em que intervalos as funções representadas pelos gráficos a seguir são</p><p>crescentes ou decrescentes:</p><p>a)</p><p>Solução:</p><p>h(x) é crescente em [−π</p><p>2</p><p>, 0] e decrescente em [0, π].</p><p>b)</p><p>Solução:</p><p>i(x) é crescente em [−3,−1] e [2,+∞) e decrescente em (−∞, 3] e [1, 2].</p><p>c)</p><p>Solução:</p><p>j(x) =</p><p>x2</p><p>x2 − 1</p><p>j(x) é crescente em ]−∞,−1[ e ]− 1, 0[ e decrescente em [0, 1[ e ]1,+∞[.</p><p>Observação: −1 e 1 não estão incluídos nos intervalos, pois não pertencem</p><p>ao domínio da função j(x).</p><p>Bibliografia</p><p>GIOVANNI, J.R, BONJORNO, J.R, GIOVANNI Jr, J.R. Matemática Fundamental, 2º</p><p>Grau: Volume Único.São Paulo: FTD, 1994.</p><p>SANTOS, C.A.M, GENTIL, N, GRECO, S.E. Matemática Série Novo Ensino Médio: Vo-</p><p>lume Único. São Paulo: Editora Ática, 2002.</p><p>11</p><p>SILVA, J.D, FERNANDES,V.S. Matemática. São Paulo: IBEP, 1996.</p><p>Material didático selecionado, editado e revisado por Felipe Morais da Silva, Juciara</p><p>Alves Ferreira e Alessandro da Silva Saadi.</p><p>12</p>