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<p>Quadriláteros Assunto 4 2.3.5 Losango Dessa forma, 0 quadrado reúne todas as propriedades dos retângulos É um paralelogramo equilátero. e dos losangos. B a C B C a a a 0 A a D 45° A a D Teorema 1 Em todo losango, as diagonais são bissetrizes. 3. Teorema de Varignon Demonstração: Observando que os triângulos ABC e ADC são isósceles, temos que a =0. Em todo quadrilátero, os pontos médios dos seus lados são vértices B a C de um paralelogramo. Demonstração: Pelas propriedades das bases médias de um temos que QR = PS e RS = PQ, além de serem respectivamente paralelos às diagonais BD e a C Q b B b a D C A a Teorema 2 R P Em todo losango, as diagonais são perpendiculares. Demonstração: Sendo AO a mediana e bissetriz do triângulo isósceles C a ABD, segue que 0 = Analogamente para CO. B C A d S d D 4. Teorema a 0 Seja um ABC e T 0 ponto médio de AC, os quadrados ABQP 0 e BCMN são formados sobre seus lados com centros 0, e tem-se que: e = a a D Demonstração: Inicialmente observamos que APBC AABN(LAL) 2.3.6 Quadrado N É um paralelogramo equiângulo e equilátero, ou seja, é um quadrilátero a regular. a B C . P C B 0, 2 M a E a C X Q a F X A a D A C Sendo base média de APC e 0,7 base média de tem-se = Por fim, sendo DEFT um paralelogramo, e 61</p><p>Assunto 4 Podemos garantir que: EXERCÍCIOS NÍVEL 1 (A) todas são verdadeiras. 01 No losango, calcule X. (B) apenas I e são verdadeiras. (C) apenas e III são verdadeiras. A (D) apenas é verdadeira. B (E) apenas III é verdadeira. 150° 10 Na figura tem-se 0 trapézio isósceles ABCD no qual as bases medem 15 cm e 27 cm. Os lados AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de divisão, foram traçados 3 segmentos paralelos às bases. D C A soma das medidas dos três segmentos traçados é, em centímetros: 02 No paralelogramo a seguir, calcule y. A D A B y B C (A) 52. + 150 (B) 58. D C (C) 59. (D) 61. 03 As bases de um trapézio medem 8 cm e 12 cm, respectivamente, e a (E) 63. altura 4 cm. A que distância da base menor fica 0 ponto de encontro das retas-suporte dos lados não paralelos? 11 0 quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado. (A) 8 cm. (B) 12 cm. a. Faça uma figura e justifique a afirmação anterior. (C) 16 cm. b. Supondo que a área do quadrado menor seja de 72 calcule 0 (D) 4 cm. comprimento do lado do quadrado maior. 04 A medida de cada ângulo obtuso de um losango é expressa por 12 Observe a figura. e a medida de cada ângulo agudo, por X + Determine as medidas dos 4 ângulos internos desse losango. D R C 05 Se as diagonais de um retângulo formam um ângulo de 120° entre si, quais são as medidas dos ângulos que as diagonais formam com os Q lados do retângulo? S 06 A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130°, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos triângulos A P B considerados? Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR 07 Uma diagonal de um losango forma 50° com um dos lados. Determine = CQ. 0 perímetro do quadrilátero PQRS é: os quatro ângulos do losango. (A) 08 A diferença entre a medida de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é Calcular a medida dos ângulos internos desse (B) paralelogramo. (C) 09 Dadas as afirmações: (D) I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. 13 Considere as seguintes proposições: II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. todo quadrado é um losango; III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si todo quadrado é um e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um todo retângulo é um paralelogramo; losango. todo triângulo equilátero é isósceles. 62 PRÉ-IME I Vol. 1</p><p>Quadriláteros Assunto 4 Pode-se afirmar que: 18 Na figura a seguir, 0 quadrilátero ABCD é um paralelogramo, em que os segmentos orientados AB e AD representam duas forças, sendo (A) só uma é verdadeira. (B) todas são verdadeiras. e (C) só uma é falsa. B C (D) duas são verdadeiras e duas são falsas. (E) todas são falsas. 14 Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes sentenças: a. Todo retângulo é trapézio. b. Nem todo quadrado é retângulo. C. Todo paralelogramo é retângulo. d. Todo losango é paralelogramo. A D E e. Nem todo trapézio é Assinale a alternativa que contém a afirmação correta sobre a med 15 No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2. e 0 prolongamento desses do segmento AE. e sobre a medida do ângulo DAC: lados forma um ângulo de (A) D C (B) (C) A B (D) a. Indicando por A, B, C e D, respectivamente. as medidas dos ângulos (E) internos do quadrilátero de vértices B, C e D. calcule a soma dos ângulos A + B e C + D. 19 Em uma parede do estande de vendas havia um quadro de 50 cm de b. Sejam J 0 ponto médio do segmento M 0 ponto médio do segmento comprimento por 45 cm de largura, tendo ao redor uma como AC e N 0 ponto médio do segmento BD. Calcule JM e JN. mostra a figura. C. Calcule a medida do ângulo 16 Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo a e um ângulo obtuso Suponha que, em um tal trapézio, a medida de seja igual a cinco vezes a medida de a. Calcule a medida de em graus. 5 cm b. Mostre que 0 ângulo formado pelas bissetrizes de e é reto. 17 0 retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual 0 valor da razão a/b? a b comprimento a. Justifique por que não são semelhantes os retângulos interior e exterior à moldura. (A) 5/3. b. Existe algum número real positivo k que, substituído no lugar de 5 (B) 2/3. faria com que os dois retângulos do item (a) fossem semelhantes? (C) 2. (D) 3/2. (E) 1/2. PRÉ-IME Vol. 63</p><p>Assunto 4 20 Uma parede retangular cujo comprimento mede 0 dobro da altura, foi 03 A figura representa um trapézio isósceles ABCD. com AD BC 4 cm. revestida com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo M é 0 ponto médio de AD, e 0 ângulo BMC é reto. que, em todo 0 contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais escuras, como na figura do exemplo abaixo. D C M A B 0 número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de: Figura fora de escala (A) 260. (B) 246. 0 perímetro do trapézio ABCD, em cm é igual a: (C) 268. (D) 312. (A) 8. (E) 220. (B) 10. (C) 12. (D) 14. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 (E) 15. 01 Sejam A B, C e D os vértices de um trapézio isósceles. Os ângulos e B 04 Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. 0 ambos agudos são os ângulos da base desse trapézio, enquanto que os ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS. ângulos C e D são ambos obtusos e medem cada um. 0 dobro da medida de cada ângulo agudo desse trapézio. Sabe-se ainda que a diagonal AC é b perpendicular ao lado BC. Sendo a medida do lado AB igual a 10 cm, 0 valor A B da medida do perímetro do trapézio ABCD, em centímetros, é: (A) 21. (B) 22. (C) 23. M (D) 24. S R 2b (E) 25. P 02 Dadas as seguintes afirmações: I. Se um paralelogramo tem dois ângulos de vértices consecutivos congruentes, então ele é um retângulo. D C II. A altura de um trapézio retângulo que tem 0 ângulo agudo medindo 30° é igual à metade do lado não perpendicular às bases. 0 segmento MP, expresso em função de b, é: III. Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então elas são bissetrizes dos ângulos desse quadrilátero. 5 É correto que: (A) apenas I é verdadeira. 3 (B) apenas é verdadeira. (C) todas as afirmações são verdadeiras. (C) (D) apenas e são verdadeiras. 3 (E) apenas e III são verdadeiras. 3b/5 (D) 5 64 PRÉ-IME I Vol. 1</p><p>Quadriláteros Assunto 4 05 Considere 0 trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os 08 Nessas condições, 0 quadrilátero convexo MNPQ: pontos médios das diagonais AC e BD, respectivamente. se AB tem comprimento X e CD tem comprimento y, MN é igual a: (A) é um quadrado. (B) é um retângulo que não é losango. (C) é um losango que não é retângulo. (D) é um paralelogramo que não é retângulo nem losango. (E) não possui lados paralelos. 09 As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo são inversamente proporcionais a 8, 10 e 40, então as medidas, em graus, dos ângulos são. respectivamente, iguais a: (D) (A) 80° e (B) 20° e (E) (C) 80°; 50°; 40° e 10°. (D) 10° e 80°. 06 Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero (E) 40° e foram utilizadas duas varetas, linha e papel. 10 Em um trapézio retângulo circunscritível. a soma dos dois lados A paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2 B cm. Se é 0 raio da circunferência inscrita e a é 0 comprimento do menor E lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a: (A) 12. D (B) 11. (C) 10. (D) 9. (E) 8. C 11 Na figura a os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro 0. Se EP = 1, então a é: As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha F utilizada liga as extremidades A, C e D das varetas, e 0 papel reveste a área total da pipa. A B Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E. e os ângulos ABC e ADC são retos. E G P 0 Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, deter- -mine 0 comprimento total da linha, representada por D C Texto para as questões 07 e 08. H Considere um losango ABCD em que M. N. P e Q são os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Um dos ângulos internos (A) desse losango mede a. sendo 2 (B) 07 Se a = 60°, então a razão entre 0 perímetro do losango ABCD e 0 perímetro do quadrilátero MNPQ, nessa ordem, é igual a: (C) 2 (A) (D) 2. (C) (E) 2 3 (D) 2 (E) PRÉ-IME 65</p><p>Assunto 4 12 0 perímetro de um losango é 40 cm e uma diagonal mede 16 cm. A 17 Na figura a seguir ABCD indica um quadrado de lado unitário e ABE outra diagonal mede: um triângulo equilátero. Prove que: D (A) 10 cm. a (B) 6 cm. a. (C) 12 cm. b. tan a = E (D) 8 cm. (E) 5 cm. 13 Seja EOXY um trapézio. Se existe um ponto Z da base menor XY tal que ZE e são respectivamente as bissetrizes dos ângulos YÊO e podemos afirmar, corretamente, que A B (A) os EZY e OZX são semelhantes. (B) 0 trapézio é isósceles. 18 Na figura a seguir, os retângulos ABCD e têm 0 mesmo centro (C) a área do triângulo EZO é a soma das áreas dos triângulos EZY e OZX. e lados iguais a 5 cm e 9 cm. (D) a medida da base menor é a soma das medidas dos lados não paralelos do trapézio. A' B' 14 ABCD é um quadrado e um triângulo equilátero, conforme A D representado na figura. A B B C D' C' Qual 0 diâmetro da maior circunferência contida na região hachurada? E D C (A) 4 cm. (B) 5 cm. A medida do ângulo BDE, em graus, é: (C) (D) 9 cm. (A) 10. (B) 15. (E) (C) 20. (D) 30. 19 Qual é 0 perímetro do quadrado em que a diagonal mede 15 0 retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quatro (A) quadrados, como mostra a (B) (C) b (D) (E) a 20 Assinale a afirmativa incorreta: Calcule 0 valor da razão b (A) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos a agudos é menor do que a outra. 16 ABC é um triângulo isósceles no qual AB = AC = 10 cm. 0 perímetro (B) É reto 0 ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos do paralelogramo que se obtém, traçando, por um ponto qualquer da base de um paralelogramo. BC, paralelas aos lados AB e em cm: (C) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. (A) 15. (D) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica (B) 20. decomposto em quatro triângulos congruentes. (C) 30. (E) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. (D) 40. 66 PRÉ-IME Vol. 1</p><p>Quadriláteros Assunto 4 04 Na diagonal BD de um quadrado toma-se um ponto E e na EXERCÍCIOS NÍVEL 3 prolongação de EA, 0 ponto F. Se 0 triângulo FBE é equilátero, calcule a razão AF/ED. 01 Seja 0 quadrado abaixo: 05 Dado um retângulo ABCD, traça-se 0 trapézio isósceles AECF tal que E N C P pertence a AB e é paralelo a AF. Sendo 5(BE) = 2(AE) e = 2 calcule 06 Dado um trapézio retângulo ABCD, reto em A e em B, em CD marca-se 0 ponto M tal que ABM seja um triângulo equilátero. Se = H B calcule A 07 Seja um trapézio ABCD com bases BC e AD, prolonga-se CD até um ponto P e em AP toma-se 0 ponto médio Q. Se CQ e BP se interceptam em R, tal que R pertence a AD, AR = 2(BC) e RD = 4. calcule AR. M D Q 08 Seja ABCD um quadrilátero convexo. Prove que: Demonstre que AB = CD. 02 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e a soma das distâncias 09 Em um quadrilátero ABCD, nós temos AB + BD < AC + CD. Prove que EF + FG é a mínima de E a G tocando em BD. Se EF = 2. NF = 3, NQ = 6. calcule X. 10 Da figura tem-se BM = MC e AD = 4(AL). Se AD + 2(AB) = 16, B C calcule LM. E C M F B Q N P A G D A D L 03 Sejam ABPQ, BCEF, CDGH e ADLI quadrados de centros respectivamente. Com efeito, demonstre que que e são perpendiculares. Vol. 67</p><p>Assunto 4 RASCUNHO 68 PRÉ-IME I - Vol.1</p>