Cálculo Diferencial: Derivadas e Limites

Prévia do material em texto

<p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>Derivada e diferencial</p><p>• Definição: Derivada da função y=f(x) em</p><p>relação à variável x é o limite para o qual</p><p>tende a razão do crescimento da função e o</p><p>crescimento da variável independente quando</p><p>este crescimento tende para zero.</p><p>agosto de 24 1</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Em termos práticos:</p><p>• Seja y=f(x) definda e contínua em todo o</p><p>intervalo I.</p><p>• Seja ∆𝑥 um acréscimo da variável</p><p>independente x que implica um acréscimo ∆𝑦</p><p>(na variável dependente y) donde se pode</p><p>dizer que ∆𝑦 =f(x+ ∆𝑥)-f(x).</p><p>• Em seguida forma-se o quociente deste</p><p>acréscimo:    </p><p>x</p><p>xfxxf</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 2</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• A seguir passamos este quociente ao limite,</p><p>isto é</p><p>• Caso este limite exista chama-se derivada de</p><p>função y=f(x) e escreve-se como segue</p><p>   </p><p>x</p><p>xfxxf</p><p>x</p><p>y</p><p>xx </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 00</p><p>limlim</p><p> </p><p>   </p><p>x</p><p>xfxxf</p><p>x</p><p>y</p><p>xf</p><p>xx </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 00</p><p>limlim´</p><p>agosto de 24 3</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• A operação que envolve a busca ou cálculo da</p><p>derivada chama-se DERIVAÇÃO</p><p>Exemplo:</p><p>• Calcular a derivada da função</p><p>• Formar o quociente</p><p>2)( xxfy </p><p>     222222</p><p>22 xxxxxxxxxxxy </p><p> </p><p>xx</p><p>x</p><p>xxx</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>agosto de 24 4</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Passamos este quociente ao limite quando</p><p>∆𝑥—>0 que será:</p><p>• =</p><p>• Então derivada é</p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> x</p><p>xxxx</p><p>x</p><p>xxx</p><p>x</p><p>y</p><p>xx</p><p>2222</p><p>00</p><p>2</p><p>limlimlim</p><p>  xxx</p><p>x</p><p>22lim</p><p>0</p><p></p><p></p><p>  xxxy</p><p>x</p><p>22lim</p><p>0</p><p>, </p><p></p><p>agosto de 24 5</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Funções deriváveis</p><p>• Teorema: Se a função é derivável no ponto</p><p>x=x0, ela é contínua neste ponto.</p><p>• Logo nos pontos de descontinuidade duma</p><p>função ela não pode ter derivada.</p><p>agosto de 24 6</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivadas das funções elementares</p><p>• Função</p><p>• Teorema: A derivada da função em que</p><p>• é igual a</p><p>• Demonstração:</p><p>• Pode-se desenvolver segundo a fórmula de</p><p>Newton e tem-se ou ainda</p><p>nxy </p><p>nxy </p><p>1 xn</p><p>1,  nnxy</p><p>    xxxyxxyy</p><p>nn</p><p></p><p>agosto de 24 7</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>•</p><p>• ou ainda</p><p>• Calculando o quociente tem-se:</p><p>• Passa-se ao limite quando</p><p> </p><p>    nnnnn xxxx</p><p>nn</p><p>xx</p><p>n</p><p>xy </p><p></p><p>  ...</p><p>2.1</p><p>1</p><p>1</p><p>221</p><p> </p><p>   nnn xxx</p><p>nn</p><p>xx</p><p>n</p><p>y </p><p></p><p>  ...</p><p>2.1</p><p>1</p><p>1</p><p>221</p><p> </p><p>    121 ...</p><p>2.1</p><p>1</p><p>1</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p> nnn xxx</p><p>nn</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>y</p><p>0x</p><p> </p><p>    1121</p><p>00</p><p>...</p><p>2.1</p><p>1</p><p>1</p><p>limlim </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> nnnn</p><p>xx</p><p>nxxxx</p><p>nn</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>y</p><p>agosto de 24 8</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Logo</p><p>• Exemplo1</p><p>•</p><p>• Exemplo2</p><p>Derivadas das funções seno e cosseno</p><p>Teorema 1: A derivada de</p><p>1,  nnxy</p><p>415,5 55 xxyxy  </p><p>x</p><p>xxyxyxy</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>,2</p><p>1</p><p></p><p></p><p>senxy </p><p>agosto de 24 9</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• é</p><p>• Demonstração</p><p>xy cos</p><p> xxsenyy </p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>xxxxxx</p><p>sensenxxxseny</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>cos2</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>y</p><p>agosto de 24 10</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• E passando ao limite do quociente:</p><p>• Sabe-se que</p><p>• Então resulta que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2</p><p>coslim</p><p>2</p><p>2lim</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>2limlim</p><p>0000</p><p>, x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>xxxx</p><p>1</p><p>2</p><p>2lim</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p> x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>cos</p><p>2</p><p>coslim</p><p>0</p><p>, </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>agosto de 24 11</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Teorema 2: A derivada de é</p><p>• Demonstração</p><p>xy cos</p><p>senxy </p><p> xxyy  cos</p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>2</p><p>22</p><p>2coscos</p><p>x</p><p>xsen</p><p>x</p><p>sen</p><p>xxx</p><p>sen</p><p>xxx</p><p>senxxxy</p><p>agosto de 24 12</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Quociente</p><p>• Passando ao limite do quociente</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2 x</p><p>xsen</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2</p><p>lim</p><p>2</p><p>2limlim</p><p>000</p><p>, x</p><p>xsen</p><p>x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>xxx</p><p>agosto de 24 13</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Sabido que</p><p>• Resulta que</p><p>1</p><p>2</p><p>2lim</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> x</p><p>x</p><p>sen</p><p>x</p><p>senx</p><p>x</p><p>xseny</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p> 2</p><p>lim</p><p>0</p><p>,</p><p>agosto de 24 14</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivada duma constante</p><p>Teorema 1: A derivada duma constante é igual a</p><p>zero, i.e. se y=C onde C=constante então</p><p>• Derivada do produto duma constante por uma</p><p>função</p><p>Teorema 2: Pode-se separar um factor constante</p><p>de debaixo do sinal de derivação, i.e. se</p><p>com C=constante então .</p><p>0, y</p><p>)(xCvy </p><p>)(,, xCvy </p><p>agosto de 24 15</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivada da soma de número finito de</p><p>funções</p><p>• Teorema 3: A derivada da soma de um</p><p>número finito de funções deriváveis é igual à</p><p>soma das derivadas destas funções.</p><p>• Demonstração:</p><p>  )()( xwxvxuy </p><p>     wwvvuuyy </p><p>agosto de 24 16</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>y</p><p>wvuy</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>w</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>xxxx </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 0000</p><p>, limlimlimlim</p><p>agosto de 24 17</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivada do produto de funções</p><p>• Teorema 4: A derivada do produto de duas</p><p>funções deriváveis é igual ao produto da</p><p>derivada da primeira função pela segunda</p><p>mais o produto da primeira função pela</p><p>derivada da segunda função, i.e. se</p><p>  uvvuuvyuvy ,,,, </p><p>agosto de 24 18</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Demonstração</p><p>• Formar o quociente e passar ao limite</p><p>  vvuuyy </p><p>    uvvuuvvuuvuvvvuuy</p><p>vuuvvu </p><p>x</p><p>v</p><p>uu</p><p>x</p><p>v</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 19</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Passando ao limite tem-se</p><p>• Sabe-se que</p><p>x</p><p>v</p><p>u</p><p>x</p><p>v</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>v</p><p>x</p><p>y</p><p>xxxxx </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 00000</p><p>limlimlimlimlim</p><p>      </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xv</p><p>x</p><p>v</p><p>uxv</p><p>x</p><p>v</p><p>xu</p><p>x</p><p>u</p><p>xxxx</p><p>,</p><p>00</p><p>,</p><p>0</p><p>,</p><p>0</p><p>lim0limlimlim</p><p>agosto de 24 20</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Daqui resulta que</p><p>    0,,  xvxv</p><p>       xvxuxvxu</p><p>x</p><p>u</p><p>y</p><p>x</p><p>,,</p><p>0</p><p>, lim </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 21</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Exemplo: Calcule a derivada de</p><p>• Solução:</p><p>• Derivada da divisão de duas funções</p><p>Teorema 5: A derivada duma fracção é uma fracção</p><p>de denominador é igual ao quadrado do</p><p>denominador da e o numerador é a diferença do</p><p>produto do denominador pela derivada do</p><p>numerador e do produto do numerador pela</p><p>derivada do denominador, i.e.</p><p>senxxy 2</p><p>xxxsenxy cos2' 2</p><p>2</p><p>,,</p><p>,</p><p>v</p><p>uvvu</p><p>y</p><p>v</p><p>u</p><p>y</p><p></p><p></p><p>agosto de 24 22</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Demonstração:</p><p>Formar o quociente:</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>vvv</p><p>vuuvuvuv</p><p>v</p><p>u</p><p>vv</p><p>uu</p><p>y</p><p>vv</p><p>uu</p><p>yy</p><p>   vvv</p><p>u</p><p>x</p><p>v</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>vvv</p><p>x</p><p>vuuv</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> vvv</p><p>vuuv</p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 23</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Passar o quociente ao limite qdo</p><p>• tendo em conta que quando quando</p><p>e que</p><p>   vvv</p><p>x</p><p>v</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>v</p><p>vvv</p><p>u</p><p>x</p><p>v</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xx</p><p>xx </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>00</p><p>00</p><p>,</p><p>lim</p><p>limlim</p><p>limlim</p><p>0x</p><p>0v</p><p>0x</p><p>   xv</p><p>x</p><p>v</p><p>xu</p><p>x</p><p>u</p><p>xx</p><p>,</p><p>0</p><p>,</p><p>0</p><p>limlim </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 24</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• resultará que</p><p>• Exemplo: Encontre a derivada de</p><p>• Resolução:</p><p>•</p><p>  2</p><p>,,</p><p>0</p><p>00</p><p>0</p><p>,</p><p>lim</p><p>limlim</p><p>lim</p><p>v</p><p>uvvu</p><p>vvv</p><p>x</p><p>v</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>v</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xx</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>cos</p><p>2</p><p></p><p>      </p><p>x</p><p>senxxxx</p><p>xco</p><p>xxxx</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>,2,2</p><p>,</p><p>cos</p><p>cos2coscos </p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 25</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivação da função logarítmica</p><p>• Teorema : A derivada da função é igual</p><p>a , i.e se</p><p>• Demonstração</p><p>• 1.</p><p>• 2.</p><p>• 3. Formar o quociente:</p><p>xalog</p><p>e</p><p>x</p><p>alog</p><p>1</p><p>e</p><p>x</p><p>yxy aa log</p><p>1</p><p>log , </p><p> xxyy a  log</p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>xxxy aaaa 1loglogloglog</p><p>x</p><p>x</p><p>aa</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>y </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1log</p><p>1</p><p>1log</p><p>1</p><p>agosto de 24 26</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Seja e quando então</p><p>• e então</p><p>• e se</p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>0 0x</p><p> </p><p>1</p><p>1log</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p>a</p><p>xx</p><p>y   e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>0</p><p>1lim</p><p>  ,log</p><p>1</p><p>1log</p><p>1</p><p>limlim</p><p>1</p><p>00</p><p>, e</p><p>xxx</p><p>y</p><p>y aa</p><p>xx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>aLog</p><p>ea</p><p>1</p><p>log </p><p>agosto de 24 27</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivação duma função composta</p><p>• Se a função tem uma derivada</p><p>no ponto x e a função tem uma</p><p>derivada para o valor correspondente</p><p>de u, então , no ponto considerado x a função</p><p>composta tem igualmente uma</p><p>derivada igual a onde .</p><p> xu </p><p> uFy</p><p>u</p><p>,, </p><p>  xFy </p><p>   xuFy</p><p>ux</p><p>,,,   xu </p><p> xu ,, </p><p> uFy </p><p>agosto de 24 28</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• De forma mais simples:</p><p>A derivada duma função composta é igual</p><p>ao produto da derivada desta função em</p><p>relação à variável intermerdiária pela</p><p>derivada em relação à x da variável</p><p>intermediária.</p><p>agosto de 24 29</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Demonstração:</p><p>1. tem-se</p><p>2. e</p><p>3. corresponde ao crescimento de e por</p><p>sua vez o crescimento de . Por outro lado</p><p>quando também e nestas</p><p>condições coloca-se por hipótese que:</p><p>  xxuFyxu  ),(,</p><p> xxuu    uuFyy </p><p>x u</p><p>y</p><p>0x 0u 0y</p><p>agosto de 24 30</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• . Desta relação e da definição de</p><p>limite com o pressuposto que</p><p>• em quando então</p><p>4.</p><p>divide-se a última igualdade por tem-se</p><p>5. Admitamos que e</p><p>,</p><p>0</p><p>lim y</p><p>u</p><p>y</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0u</p><p></p><p></p><p></p><p>u</p><p>y</p><p>u</p><p>y ,</p><p>0 0x</p><p>uuyyy</p><p>u</p><p>y</p><p>uu</p><p></p><p></p><p></p><p> ,,</p><p>x</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>u</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>, ,</p><p>0</p><p>lim u</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0lim</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>agosto de 24 31</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• passando ao limite a igualdade</p><p>tem-se</p><p>6.</p><p>Exemplo:</p><p>Resolução:</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>u</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>,,,</p><p>00</p><p>,</p><p>0</p><p>.limlimlim uyy</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>uxu</p><p>xxx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2xseny </p><p>agosto de 24 32</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Seja então</p><p>• Se então</p><p>•</p><p> usenyxu  2</p><p>   uyuseny</p><p>u</p><p>cos, </p><p>xuxu</p><p>x</p><p>2,2 </p><p>2,,, cos22).cos(. xxxuuyy</p><p>xux</p><p></p><p>agosto de 24 33</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivada da função</p><p>Teorema 1: A derivada da função é igual a</p><p>Se então a derivada do quociente é</p><p>tgxy </p><p>tgxy </p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>,</p><p>cos</p><p>1</p><p></p><p>x</p><p>senx</p><p>tgxy</p><p>cos</p><p></p><p>   </p><p>x</p><p>xsenxxsenx</p><p>x</p><p>senx</p><p>y</p><p>2</p><p>,,,</p><p>,</p><p>cos</p><p>coscos</p><p>cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 34</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>e será</p><p>• Derivada da função</p><p>Teorema: A derivada da função é igual</p><p>a</p><p>xx</p><p>xsenx</p><p>x</p><p>senxsenxxx</p><p>22</p><p>22</p><p>2 cos</p><p>1</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>.cos.cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ctgxy </p><p>ctgxy </p><p>xsen</p><p>y</p><p>2</p><p>, 1</p><p></p><p>agosto de 24 35</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>Se então</p><p>senx</p><p>x</p><p>ctgxy</p><p>cos</p><p></p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>xsenxxsenx</p><p>x</p><p>senx</p><p>y</p><p>2</p><p>,,,</p><p>,</p><p>cos</p><p>coscos</p><p>cos</p><p>xx</p><p>xsenx</p><p>x</p><p>senxsenxxx</p><p>22</p><p>22</p><p>2 cos</p><p>1</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>.cos.cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>agosto de 24 36</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivada da função</p><p>• Teorema 3: A derivada da função é</p><p>igual a</p><p>• Demonstração:</p><p>1. Se x>0 então logo</p><p>2. Se x<0 então ,mas . se x<0</p><p>significa que –x>0. Seja u=-x então</p><p>xLogy </p><p>xLogy </p><p>x</p><p>y</p><p>1, </p><p>LogxxLogxx </p><p>x</p><p>y</p><p>1, </p><p>xx   xLogxLog </p><p>     </p><p>xxu</p><p>uyyuLogy</p><p>xux</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1,., </p><p></p><p></p><p>agosto de 24 37</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivação da função implícita</p><p>• Se os valores de x e y se ligam por por uma</p><p>equação designada por F(x,y)=0 estamos</p><p>perante uma função implícita. Seja a</p><p>igualdade esta função é</p><p>implícita e derivando os dois membros em x</p><p>teria:</p><p>0222222  ayxayx</p><p> </p><p>y</p><p>x</p><p>yyyxayx</p><p>xxx</p><p> ,,,222 0220</p><p>agosto de 24 38</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Se fosse a derivada da função na forma</p><p>explícita seria</p><p>• Exemplo: Derive a função</p><p>• Solução</p><p>22 xay </p><p>y</p><p>x</p><p>xa</p><p>x</p><p>y </p><p></p><p></p><p>22</p><p>,</p><p>026  xyy</p><p>   </p><p>16</p><p>2</p><p>216026,</p><p>5</p><p>,5,,,5,</p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>yxyyxyyyyxF</p><p>xxxx</p><p>agosto de 24 39</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Derivada duma função potência quando o</p><p>expoente é qualquer número real</p><p>• Teorema1: A derivada da função é , isto</p><p>é, se</p><p>• Teorema2: A derivada da função em que</p><p>a>0 é i.e. se então</p><p>• Exemplo:</p><p>nx 1nnx</p><p>1,  nn nxyxy</p><p>xa</p><p>aLoga x xay  aLogay x,</p><p>2xey </p><p>agosto de 24 40</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Solução:</p><p>• Escrever na forma duma função composta:</p><p>variável intermédia então e</p><p>e consequentemente</p><p>2xu </p><p>uey  uey u</p><p>u</p><p>., </p><p>xu</p><p>x</p><p>2, </p><p>2</p><p>22, xu xexey</p><p>x</p><p></p><p>agosto de 24 41</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Função composta exponencial</p><p>Chama-se função composta exponencial a toda a</p><p>função em que a base e o expoente são funções de x.</p><p>Exemplos:</p><p>(1) (2)</p><p>(3) (4)</p><p>Fórmula geral duma função composta exponencial:</p><p> </p><p>2x</p><p>senxy   tgx</p><p>xy </p><p> xxLogy </p><p>xxy </p><p>   vxv</p><p>uxuy </p><p>)(</p><p>agosto de 24 42</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Teorema3: Se então</p><p>• Demonstração:</p><p>1. Passar ao logarítmo:</p><p>2. Derivemos a igualdade em x:</p><p>sendo então</p><p>Ex: logo</p><p>vuy  uLogvuuvuy vv ,,1,  </p><p>vuy </p><p>uvLogyLog </p><p>uvLogyLog </p><p> ,,, 11</p><p>u</p><p>u</p><p>vuLogvy</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ,,, 1</p><p>u</p><p>u</p><p>vuLogvyy</p><p>vuy  uvuuLogvuy vv 1,, </p><p>xxy     xxxyy</p><p>x</p><p>xx</p><p>y</p><p>yxxy x ln11ln</p><p>1</p><p>.ln.1</p><p>1</p><p>lnln ,, </p><p>agosto de 24 43</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>Função inversa e sua derivada</p><p>• Se a função y=f(x), crescente (ou decrescente)</p><p>é contínua sobre o segmento e ,</p><p>então a função inversa é definida em .</p><p>• Exemplo: é crescente de menos a mais</p><p>infinito a sua inversa é crescente de</p><p>menos a mais infinito.</p><p> ba,   dbfcaf )(</p><p> dc,</p><p>3xy </p><p>3 yx </p><p>agosto de 24 44</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL</p><p>• Teorema: Se a função admite uma</p><p>inversa em que a derivada num</p><p>ponto dado y é diferente de zero, então a</p><p>função possui no ponto correspondente x</p><p>uma derivada igual a isto é</p><p>• Demonstração</p><p>• então</p><p> xfy </p><p> yx   yx ,, </p><p> xfy </p><p> xf ,</p><p> y,</p><p>1</p><p></p><p> </p><p> y</p><p>xf</p><p>,</p><p>, 1</p><p></p><p></p><p>     </p><p> </p><p> xfy</p><p>y</p><p>yyxyyxyx xxx</p><p>,,</p><p>,</p><p>,,,,,, 1</p><p>1 </p><p></p><p></p><p> y</p><p>f x ,</p><p>, 1</p><p></p><p></p><p>agosto de 24 45</p><p>Funções trigonométricas inversas</p><p>• Derivada da função</p><p>• Teorema 1: A derivada da função é</p><p>• Demonstração</p><p>• 1.</p><p>• 2. Segundo a regra de derivação</p><p>• e sabe-se que logo</p><p>agosto de 24 46</p><p>arcsenxy </p><p>arcsenxy </p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p>yxsenyx y cos, </p><p>yx</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>cos</p><p>11</p><p>,</p><p>, </p><p>yseny 21cos </p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y x</p><p></p><p></p><p>Funções trigonométricas inversas</p><p>• Derivada da função</p><p>• Teorema 2: A derivada da função é</p><p>Demonstração:</p><p>1.</p><p>2. Segundo a regra de derivação da função inversa</p><p>sabe-se que então</p><p>agosto de 24 47</p><p>xy arccos</p><p>xy arccos</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p>senyxyx y  ,cos</p><p>yx</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>cos</p><p>11</p><p>,</p><p>,  yseny 21cos </p><p>Funções trigonométricas inversas</p><p>• então logo</p><p>• Derivada da função</p><p>• Terema 3: A derivada da função é</p><p>Demonstração:</p><p>sabe-se que e como</p><p>agosto de 24 48</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y x</p><p></p><p>21cos xy </p><p>arctgxy </p><p>arctgxy  2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p>x </p><p></p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>tgyx</p><p>x</p><p>yx</p><p>y</p><p>xy</p><p>2</p><p>2</p><p>,</p><p>,</p><p>2</p><p>,</p><p>cos</p><p>cos</p><p>1</p><p>11</p><p>cos</p><p>1</p><p></p><p>ytgy</p><p>y</p><p>22</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>sec</p><p>1</p><p>cos</p><p></p><p> xtgy </p><p>Funções trigonométricas inversas</p><p>• por fim ter-se-á</p><p>• Derivada da função</p><p>• Teorema 4: A derivada da função</p><p>é</p><p>Demonstração:</p><p>e como no fim ficamos com</p><p>agosto de 24 49</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p>arcctgxy </p><p>arcctgxy </p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p>x </p><p></p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>tgyx</p><p>x</p><p>yx</p><p>y</p><p>xy</p><p>2</p><p>2</p><p>,</p><p>,</p><p>2</p><p>,</p><p>cos</p><p>cos</p><p>1</p><p>11</p><p>cos</p><p>1</p><p></p><p>xctgy  2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p>Derivadas de diferentes ordens</p><p>Seja a função derivável sobre o segmento , a</p><p>derivada é uma função. Derivar tem-se</p><p>derivada de segunda ordem . Caso esta</p><p>segunda derivada seja função de x pode-se calcular a</p><p>derivada da terceira</p><p>ordem ou mais. Generalizando,</p><p>chama-se derivada de ordem n da função à</p><p>derivada da ordem n-1 e designa-se pelo símbolo</p><p>agosto de 24 50</p><p> xfy   ba,</p><p>)(´ , xfy  )(, xf</p><p>)(,,,, xfy </p><p> xfy </p><p>   nn fy         )(</p><p>,1 xfyy nnn  </p><p>Derivadas de diferentes ordens</p><p>• Exemplos</p><p>• 1. Seja</p><p>• Solução</p><p>• 2. Seja encontre</p><p>• Solução:</p><p>agosto de 24 51</p><p>constkey kx  ,</p><p>;, kxkey  ;2,, kxeky </p><p>kxnn eky )(....;</p><p>senxy  )(ny</p><p>;</p><p>2</p><p>cos,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xsenxy </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2,, </p><p>xsensenxy</p><p>;</p><p>2</p><p>3cos,,,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xsenxy .;;.........</p><p>2</p><p>4 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xsensenxy iv</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p></p><p>nxseny n</p><p>Derivadas de diferentes ordens</p><p>• Fórmula de Leibniz</p><p>• A fórmula de Leibniz permite calcular a</p><p>derivada de ordem n do produto de duas</p><p>funções e .</p><p>• Para obter a fórmula comecemos pelas</p><p>primeiras derivadas e mais tarde estabelecer a</p><p>lei:</p><p>agosto de 24 52</p><p> xu  xv</p><p>;uvy  ;,,, uvvuy  uvvuvuvuvuvuvuy  ,,,,,,,,,,,.,,, 2</p><p>Fórmula de Leibniz</p><p>A lei é válida para derivadas de qualquer ordem,</p><p>bastando desenvolver pelo binómio de Newton</p><p>e substituir os expoentes de u e v pelas ordens</p><p>correspondentes das derivadas:</p><p>agosto de 24 53</p><p>,,,,,,,,...,,,,,,,,,,,,,,,,...,,,, 3322 uvvuvuvuuvvuvuvuvuvuy </p><p>iviviv uvvuvuvuvuy  ,,,,,,,,,,,, 464</p><p>              nnnnnn uvu</p><p>nn</p><p>vnuvuuvy </p><p></p><p>  .....</p><p>2.1</p><p>1 2,1</p>