Geometria Espacial: Conceitos e Práticas

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<p>SISTEMA DE ENSINO</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Geometria Espacial</p><p>Livro Eletrônico</p><p>2 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Sumário</p><p>Geometria Espacial ......................................................................................................................... 3</p><p>1. Introdução à Geometria Espacial ............................................................................................. 3</p><p>1.1. Conceitos Primitivos ................................................................................................................ 3</p><p>1.2. Posições Relativas ................................................................................................................... 5</p><p>1.3. Unidades de Medida .............................................................................................................. 10</p><p>2. Poliedros ...................................................................................................................................... 17</p><p>2.1. Relação de Euler ..................................................................................................................... 18</p><p>2.2. Poliedros de Platão ................................................................................................................19</p><p>2.3. Prisma ...................................................................................................................................... 23</p><p>2.4. Paralelepípedo .......................................................................................................................24</p><p>2.5. Cilindro .....................................................................................................................................28</p><p>3. Pirâmide ...................................................................................................................................... 33</p><p>3.1. Altura da Face .........................................................................................................................34</p><p>3.2. Apótema .................................................................................................................................. 35</p><p>3.3. Planificação da Pirâmide ..................................................................................................... 37</p><p>3.4. Área Lateral e Volume ..........................................................................................................38</p><p>3.5. Cone .......................................................................................................................................... 41</p><p>3.6. Tronco de Pirâmide ou de Cone ..........................................................................................43</p><p>4. Esfera .......................................................................................................................................... 47</p><p>Questões Comentadas em Aula ..................................................................................................51</p><p>Questões de Concurso ................................................................................................................. 56</p><p>Gabarito ........................................................................................................................................... 95</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>3 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>GEOMETRIA ESPACIAL</p><p>1. Introdução à GeometrIa espacIal</p><p>A geometria espacial analisa sólidos tridimensionais no espaço. A principal diferença en-</p><p>tre a geometria plana e a espacial é justamente a inserção de uma nova dimensão, tornando as</p><p>figuras bidimensionais em tridimensionais.</p><p>As três dimensões da geometria espacial são: largura, comprimento e altura ou largura,</p><p>comprimento e profundidade. Para estudar essa vertente da geometria, precisamos compre-</p><p>ender alguns conceitos básicos e algumas noções primitivas.</p><p>1.1. conceItos prImItIvos</p><p>A geometria espacial, assim como a geometria plana, possui alguns conceitos primitivos</p><p>essenciais. São eles: ponto, reta, plano e espaço.</p><p>Esses conceitos são considerados primitivos porque não possuem uma definição mate-</p><p>mática rigorosa. Em vez disso, recorremos apenas ao nosso conhecimento de mundo ou rela-</p><p>ções intuitivas.</p><p>1.1.1. Ponto</p><p>O ponto não possui forma e é adimensional, ou seja, também não possui dimensão. O</p><p>ponto é a unidade mais básica de toda a Geometria, pois é um conjunto de pontos que forma</p><p>qualquer outro elemento no espaço.</p><p>Pontos são bastante utilizados quando há necessidade de apontar alguma localização,</p><p>devido à precisão que esse elemento oferece. Essa precisão se dá pela inexistência de um</p><p>tamanho ou forma dessa unidade básica. Geralmente, os pontos são representados por letras</p><p>maiúsculas.</p><p>Z</p><p>X</p><p>Y</p><p>P</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>4 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>1.1.2. Reta</p><p>Uma reta é definida como um conjunto infinito de pontos que formam uma linha. As retas</p><p>não possuem definição e são classificadas como unidimensional. Uma das importâncias des-</p><p>se elemento é permitir a medição entre dois pontos quaisquer no espaço.</p><p>A reta possui duas ramificações: semirreta e segmento de reta. A semirreta possui início,</p><p>mas é infinita na outra extremidade. Já o segmento de reta possui início e fim. Geralmente, as</p><p>retas são representadas com letras minúsculas.</p><p>1.1.3. Plano</p><p>O plano é um conjunto infinito e ilimitado de retas enfileiradas. Superfícies de mesa ou</p><p>móveis, por exemplo, são considerados partes de um plano, e não o plano em si. O plano é fun-</p><p>damental para a geometria plana, pois é nele que esta se desenvolve. Geralmente, os planos</p><p>são representados por letras do alfabeto grego.</p><p>1.1.4. Espaço</p><p>O espaço é formado por um conjunto infinito de planos enfileirados um em cima do outro.</p><p>Assim, surge uma nova dimensão, caracterizada simbolicamente pelo somatório das alturas</p><p>dos infinitos planos. Em um espaço, é possível, então, desenhar figuras com comprimento,</p><p>largura e altura.</p><p>O espaço é a base para a construção e o desenvolvimento da geometria espacial. O espaço</p><p>tem direções infinitas e ilimitadas. Essas direções podem partir de um sistema de coordena-</p><p>das, o qual será considerado referência dentro do espaço.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>5 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>1.2. posIções relatIvas</p><p>O primeiro ponto que precisamos entender é a relação que um elemento primitivo tem em</p><p>relação a outro, seja dentro de um espaço ou plano. É importante conhecer essas noções para</p><p>compreender melhor a geometria espacial e como ela funciona.</p><p>1.2.1. Posição Relativa entre: Ponto – Reta e Ponto – Plano</p><p>Na relação ponto e reta, há duas possibilidades: o ponto pode pertencer à reta ou não per-</p><p>tencer. O mesmo se aplica à relação ponto e plano: o ponto pode estar contido no plano ou não</p><p>estar contido.</p><p>1.2.2. Posição Relativa entre Pontos</p><p>Tome dois ou mais pontos quaisquer contidos no espaço. Eles podem ser:</p><p>• Colineares: quando os pontos pertencem a uma mesma reta;</p><p>O conteúdo</p><p>144 mL.</p><p>b) 576 mL.</p><p>c) 864 mL.</p><p>d) 1256 mL.</p><p>e) 2592 mL.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>56 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>QUESTÕES DE CONCURSO</p><p>020. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/TÉCNICO DE ENFERMAGEM) Um reservatório de</p><p>água tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros,</p><p>estão indicadas na figura.</p><p>Sabendo-se que a capacidade máxima do mesmo é de 9.000 litros, então a medida interna “h”</p><p>da altura do prisma é de:</p><p>a) 1,50 metros</p><p>b) 2,0 metros</p><p>c) 2,40 metros</p><p>d) 3,0 metros</p><p>e) 3,5 metros</p><p>Lembrando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = 2 m;</p><p>• largura = 1,5 m;</p><p>• volume = 9000 L.</p><p>Antes de fazer o cálculo, precisamos alterar a unidade de volume:</p><p>Agora, basta calcular:</p><p>Letra d.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>57 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>021. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/MÉDICO) O índice pluviométrico é uma medida da</p><p>quantidade de chuva que recebeu uma determinada região. A medida é feita em mm e repre-</p><p>senta a altura que a água da chuva atinge em um reservatório aberto de um metro quadrado de</p><p>base. Considera-se que no mês de janeiro de 2021 tenha ocorrido uma precipitação regional de</p><p>aproximadamente 220 mm, cuja medida está ilustrada na figura a seguir.</p><p>Com base nessas informações e desconsiderando eventuais perdas, um sistema de captação</p><p>de água da chuva retangular (telhado), com dimensões de 10 metros de comprimento por 8</p><p>metros de largura, seria capaz de coletar a água da chuva no mês de janeiro de 2021, corres-</p><p>pondente a um volume de:</p><p>a) 9.600 litros</p><p>b) 12.000 litros</p><p>c) 14.800 litros</p><p>d) 17.600 litros</p><p>e) 19.200 litros</p><p>Para esse problema, basta perceber que a altura que representa a chuva captada será igual,</p><p>independente do recipiente de captação. Assim, o sistema de captação retangular também</p><p>terá como altura os 220 mm.</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>Agora, transformando a unidade milímetro para metro:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>58 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Utilizando a fórmula de volume:</p><p>Inserindo os dados:</p><p>Note que a unidade das alternativas está em litros. Por fim, transformando a unidade de volu-</p><p>me de m3 para litros:</p><p>Letra d.</p><p>022. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/MÉDICO) Se a aresta de um cubo é igual a 3, então</p><p>o volume deste cubo é igual a:</p><p>a) 9 m³</p><p>b) 127 m³</p><p>c) 27 m³</p><p>d) Nenhuma resposta certa</p><p>O volume de um cubo é:</p><p>Logo, substituindo aresta = 3:</p><p>Considerando que a unidade da aresta desse cubo está em metros:</p><p>Letra c.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>59 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>023. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA-SP/2020/PROFESSOR DE ENSINO FUNDA-</p><p>MENTAL) Uma peça em madeira maciça, com formato de paralelepípedo reto retangular, com</p><p>base quadrada, tem volume de 300 cm3 e aresta da base medindo 5 cm. A altura dessa peça é de</p><p>a) 10 cm.</p><p>b) 11 cm.</p><p>c) 12 cm.</p><p>d) 13 cm.</p><p>e) 14 cm.</p><p>A peça em madeira maciça foi representada a seguir:</p><p>Utilizando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = largura = 5 cm (base quadrada);</p><p>• volume = 300 cm3.</p><p>Agora, basta calcular:</p><p>Letra c.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>60 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>024. (VUNESP/FITO/2020/TÉCNICO EM GESTÃO/ALMOXARIFADO) A figura a seguir repre-</p><p>senta uma peça em forma prisma triangular.</p><p>30 cm</p><p>40 cm</p><p>70 cm</p><p>A soma das áreas de todas as faces dessa peça é igual a</p><p>a) 6100 cm².</p><p>b) 8000 cm².</p><p>c) 8400 cm².</p><p>d) 9000 cm².</p><p>e) 9600 cm².</p><p>O prisma é de base triangular. Isso significa que o polígono da sua base é um triângulo. Além</p><p>disso, possui 3 retângulos como faces laterais. Precisamos calcular a área de cada face para</p><p>resolver o problema.</p><p>Bases do prisma:</p><p>Face lateral 1. Agora, considere a face amarela a seguir:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>61 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Para encontrar a área da face amarela, precisamos achar o valor de x. Assim, considere o</p><p>triângulo:</p><p>Basta utilizar a fórmula de Pitágoras:</p><p>Então, a face do retângulo amarelo é:</p><p>Face lateral 2. Considere agora a face rosa a seguir:</p><p>Então, a face do retângulo rosa é:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>62 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Face lateral 3. Considere a face inferior azul a seguir:</p><p>Então, face do retângulo azul é:</p><p>A soma das áreas laterais será a soma das 5 figuras geométricas: 2 triângulos (bases) e 3 re-</p><p>tângulos (faces laterais):</p><p>Letra e.</p><p>025. (VUNESP/ESEF-SP/2019/CONTADOR) Considere um reservatório, com formato de pa-</p><p>ralelepípedo reto retângulo e com as dimensões indicadas em metros na figura, que está com-</p><p>pletamente cheio de água.</p><p>Esse reservatório será esvaziado na razão de 0,15 m3 de água a cada 15 minutos. Se o proces-</p><p>so de esvaziamento for iniciado às 8 horas e 15 minutos, e não houver interrupções, ele estará</p><p>totalmente concluído às</p><p>a) 15 horas e 30 minutos.</p><p>b) 14 horas e 40 minutos.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>63 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>c) 14 horas e 30 minutos.</p><p>d) 14 horas e 15 minutos.</p><p>e) 13 horas e 45 minutos.</p><p>Primeiramente, precisaremos da fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = 2 m;</p><p>• largura = 1,5 m;</p><p>• altura = 1,25 m.</p><p>Então, o volume será:</p><p>O esvaziamento do reservatório segue a seguinte regra de três:</p><p>Transformando a unidade do tempo para horas:</p><p>Como o início do esvaziamento foi em 8h15min, o seu final será em:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado</p><p>para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>64 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Letra c.</p><p>026. (VUNESP/AVAREPREV-SP/2020/ESCRITURÁRIO) Certo suco é vendido em latinhas de</p><p>alumínio, no formato de cilindro. Cada latinha contém 270 mL de suco, o que corresponde a</p><p>9/10 do volume total da latinha, se utilizado π = 3. Se o diâmetro da latinha é de 6 cm, e cada</p><p>cm3 corresponde a 1 mL, então a altura de cada latinha é de, aproximadamente,</p><p>a) 8 cm.</p><p>b) 9 cm.</p><p>c) 10 cm.</p><p>d) 11 cm.</p><p>e) 12 cm.</p><p>Para descobrir a capacidade total de cada latinha de alumínio, precisamos fazer o cálcu-</p><p>lo a seguir:</p><p>Além disso, como o raio é a metade do diâmetro, o raio da base desse cilindro é:</p><p>Sabendo que o volume do cilindro é:</p><p>E que o raio = 3 cm, π = 3 e volume = 300 cm3:</p><p>Letra d.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>65 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>027. (VUNESP/PREFEITURA DE PIRACICABA-SP/2020/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO IN-</p><p>FANTIL) Considere um recipiente com a forma de paralelepípedo reto retângulo e com dimen-</p><p>sões, em centímetros, indicadas na figura.</p><p>8</p><p>8</p><p>h</p><p>Se colocarmos 576 cm³ de um líquido nesse recipiente, inicialmente vazio, a quarta parte da</p><p>sua capacidade total não será preenchida. Nessas condições, é correto afirmar que a medida</p><p>da altura desse recipiente, indicada por h na figura, é</p><p>a) 14 cm.</p><p>b) 12 cm.</p><p>c) 11 cm.</p><p>d) 10 cm.</p><p>e) 9 cm.</p><p>Segundo o enunciado, temos que o recipiente não teve sua ¼ parte da capacidade total pre-</p><p>enchida. Significa que os 576 cm3 equivalem a ¾ da sua capacidade total. Observe a figu-</p><p>ra a seguir:</p><p>Para descobrir sua capacidade total, precisamos fazer o cálculo a seguir:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>66 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Agora, lembrando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = 8 cm;</p><p>• largura = 8 cm³;</p><p>• volume = 768 cm3.</p><p>Por fim, basta calcular a altura do recipiente:</p><p>Letra b.</p><p>028. (VUNESP/PREFEITURA DE PERUÍBE-SP/2019/DIRETOR DE ESCOLA) Um bloco de ar-</p><p>gila tinha o formato original de um prisma reto de base retangular, com 8 cm de largura por 15</p><p>cm de comprimento, conforme mostra a figura.</p><p>Toda essa argila, depois de amassada, foi remodelada em 8 blocos menores, cada um deles</p><p>com 75 cm3 de volume. Sabendo que não ocorreu perda alguma de material e que toda a argila</p><p>foi utilizada, então, a altura do bloco original de argila, indicada na figura pela letra h, era de</p><p>a) 7,0 cm.</p><p>b) 6,5 cm.</p><p>c) 6,0 cm.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>67 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>d) 5,5 cm.</p><p>e) 5,0 cm.</p><p>Primeiro, precisamos saber qual o volume total de argila. Como esse volume total gerou 8 blo-</p><p>cos de 75 cm3 cada, então:</p><p>Agora, utilizando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = 15 cm</p><p>• largura = 8 cm</p><p>• volume = 600 cm3</p><p>Dessa forma, a altura do recipiente será:</p><p>Letra e.</p><p>029. (VUNESP/PREFEITURA DE ARUJÁ-SP/2019/ENCARREGADO DE FISCALIZAÇÃO) Um</p><p>prisma reto de base triangular tem uma altura de 8 cm e faces laterais de áreas respectivamen-</p><p>te iguais a 120 cm², 120 cm² e 144 cm². A área da base desse prisma, em cm², é:</p><p>a) 124.</p><p>b) 120.</p><p>c) 116.</p><p>d) 112.</p><p>e) 108.</p><p>As faces laterais de um prisma reto são sempre retângulos. Todos esses retângulos têm a al-</p><p>tura do prisma em comum, ou seja, todos têm altura = 8 cm. A outra medida desses retângulos</p><p>será também um dos lados do triângulo base desse prisma.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>68 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Observe a figura:</p><p>Assim, precisamos calcular os valores de x, y, z:</p><p>• valor de x:</p><p>• valor de y:</p><p>O valor de z é base de um retângulo também com área = 120 cm2 e altura = 8 cm. Logo, z = y =</p><p>15 cm. Assim, temos o seguinte triângulo como base do prisma:</p><p>Para descobrir a área desse triângulo, precisamos saber, antes, sua altura. Note que podemos</p><p>formar um triângulo reto, cuja base é metade da base do triângulo maior. Observe a figura:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>69 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Assim, a altura será encontrada com a fórmula de Pitágoras:</p><p>Por fim, calcularemos a área desse triângulo:</p><p>Letra e.</p><p>030. (VUNESP/PREFEITURA DE VALINHOS-SP/2019/AGENTE ADMINISTRATIVO) A figura</p><p>mostra as medidas internas, em centímetros, de uma caixa na forma de um prisma reto de</p><p>base retangular, com 15 cm de altura.</p><p>(Figura fora de escala)</p><p>face lateral</p><p>base</p><p>40</p><p>15</p><p>Sabendo que o volume dessa caixa é 21000 cm³, então, a área da face lateral, destacada</p><p>na figura, é</p><p>a) 450 cm².</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>70 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>b) 475 cm².</p><p>c) 500 cm².</p><p>d) 525 cm².</p><p>e) 550 cm².</p><p>Considere a fórmula de volume a seguir.</p><p>Dessa forma, basta substituir os valores do problema:</p><p>• comprimento = 40 cm;</p><p>• altura = 15 cm;</p><p>• volume = 21000 cm3.</p><p>Assim, a largura do recipiente será:</p><p>Logo, a face destacada é formada por um retângulo de base = 35 cm e altura = 15 cm.</p><p>Letra d.</p><p>031. (VUNESP/CÂMARA DE ORLÂNDIA-SP/2019/CONTADOR) Os reservatórios A e B, am-</p><p>bos com a forma de paralelepípedo reto retângulo, têm dimensões internas exatamente iguais,</p><p>conforme indicado nas figuras.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>71 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>2 m</p><p>1,6 m</p><p>x m</p><p>A B</p><p>x m</p><p>1,6 m</p><p>2 m</p><p>Sabe-se que os volumes de água contidos nos reservatórios A e B ocupam, respectivamen-</p><p>te, 60% e 25% das suas capacidades totais e que o reservatório A contém 1,4 m³ de água a</p><p>mais do que o reservatório B. A medida da altura de</p><p>cada reservatório, indicada por x nas figu-</p><p>ras, é igual a</p><p>a) 1,25 m.</p><p>b) 1,28 m.</p><p>c) 1,30 m.</p><p>d) 1,35 m.</p><p>e) 1,38 m.</p><p>Primeiro, observe o reservatório A. Como a base desse reservatório é constante, e ele contém</p><p>60% da sua capacidade máxima, então a altura do nível de água também representa 60% da</p><p>altura total desse reservatório.</p><p>O mesmo vale para o reservatório B. Observe as figuras a seguir:</p><p>Logo, a diferença entre os dois reservatórios pode ser representada por um volume cujas di-</p><p>mensões são:</p><p>• comprimento = 2 m;</p><p>• largura = 1,6 m;</p><p>• altura = 0,6 h – 0,25 h, com h = altura total.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>72 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>A diferença de volume entre os dois recipientes foi representada na cor laranja. Observe a figura:</p><p>Agora, utilizando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>Letra a.</p><p>032. (VUNESP/PREFEITURA DE IBATÉ-SP/2019/TELEFONISTA) A caixa d’água de um pré-</p><p>dio público tem a forma de um cilindro reto de diâmetro d = 3,2 m e altura h = 4 m. Então, assu-</p><p>mindo-se a aproximação π = 3, a capacidade dessa caixa d’água será de</p><p>a) 3072 L.</p><p>b) 12288 L.</p><p>c) 30720 L.</p><p>d) 48080 L.</p><p>e) 122880 L.</p><p>Primeiramente, sabendo que o diâmetro do reservatório é 3,2 m, seu raio será:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>73 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O reservatório da questão pode ser representado a seguir:</p><p>Sabendo que o volume do cilindro é:</p><p>E que o raio = 1,6 m, π = 3 e altura = 4 m:</p><p>Note que as alternativas do enunciado estão todas em litros. Para isso, precisamos transfor-</p><p>mar a unidade do volume:</p><p>Letra c.</p><p>033. (VUNESP/CÂMARA DE SERTÃOZINHO-SP/2019/AUXILIAR LEGISLATIVO) Em uma</p><p>farmácia de manipulação, um recipiente, com a forma de um bloco retangular reto, cujas me-</p><p>didas internas das arestas da base são iguais a 24 cm e 15 cm, continha determinada droga</p><p>líquida, sendo que o nível do líquido contido nesse recipiente atingia uma altura de 16 cm. Uti-</p><p>lizou-se parte desse líquido para preparar 8 frascos de certo medicamento, todos com quanti-</p><p>dades iguais da droga, e o nível do líquido restante no recipiente passou a ter 12 cm de altura.</p><p>Dessa forma, é correto afirmar que o volume da droga colocado em cada frasco foi igual a:</p><p>a) 150 cm³</p><p>b) 160 cm³</p><p>c) 170 cm³</p><p>d) 180 cm³</p><p>e) 200 cm³</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>74 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Por meio do enunciado, podemos descrever duas situações: o estado antes e depois de o reci-</p><p>piente ter parte de seu líquido retirado. Observe essas situações a seguir:</p><p>Agora é possível perceber que o volume utilizado para preencher os frascos é calculado com</p><p>os seguintes parâmetros:</p><p>• comprimento = 24 cm;</p><p>• largura = 15 cm;</p><p>• altura = 4 cm.</p><p>Assim, o volume total utilizado para encher os frascos será:</p><p>Esse volume total foi dividido entre 8 frascos. Dessa forma, o volume de cada frasco é de:</p><p>Letra d.</p><p>034. (VUNESP/TJ-SP/2018/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Um estabelecimento co-</p><p>mercial possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato cúbico, cujas respec-</p><p>tivas arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um paralelepípedo reto</p><p>retângulo, conforme ilustrado a seguir.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>75 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos quatro</p><p>reservatórios é igual a 1,53 m³, e que a média aritmética dos volumes de água dos reservató-</p><p>rios cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura</p><p>do reservatório com a forma de bloco retangular, indicada por h na figura, é igual a</p><p>a) 1,40 m.</p><p>b) 1,50 m.</p><p>c) 1,35 m.</p><p>d) 1,45 m.</p><p>e) 1,55 m.</p><p>Para a resolução, chamaremos os reservatórios cúbicos de A, B, C e o reservatório retangular</p><p>de D. Pelo enunciado:</p><p>Por meio da equação (II):</p><p>Substituindo a equação (III) em (I):</p><p>Agora, precisamos descobrir o valor de h no reservatório D. Lembrando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = 1,6 m;</p><p>• largura = 1,2 m;</p><p>• volume = 2,88 m3.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>76 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Por fim, basta calcular a altura do recipiente:</p><p>Letra b.</p><p>035. (VUNESP/TJ-SP/2017/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) As figuras seguintes mos-</p><p>tram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato de parale-</p><p>lepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados por VA, VB e VC.</p><p>5 cm 10 cm 18 cm</p><p>10 cm</p><p>h</p><p>Se VA + VB = 1/2 Vc, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centí-</p><p>metros, igual a</p><p>a) 15,5.</p><p>b) 11.</p><p>c) 12,5.</p><p>d) 14.</p><p>e) 16.</p><p>Sabe-se que o volume de um cubo é:</p><p>Logo, é possível calcular os volumes do bloco A e B:</p><p>• bloco A</p><p>• bloco B</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>77 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Para achar o volume do bloco C, basta substituir esses valores encontrados na fórmula dada</p><p>no enunciado da questão:</p><p>Agora, sabendo que:</p><p>E que, para o bloco C, o comprimento = 18 cm e a largura = 10 cm, a altura do bloco C é:</p><p>Letra c.</p><p>036. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Dois recipientes (sem</p><p>tampa), colocados lado a lado, são usados para captar água da chuva. O recipiente A tem o</p><p>formato de um bloco retangular, com 2 m de comprimento e 80 cm de largura, e o recipiente B</p><p>tem a forma de um cubo de 1 m de aresta. Após uma chuva, cuja precipitação foi uniforme e</p><p>constante, constatou- se que a altura do nível da água no reci piente B tinha aumentado 25 cm,</p><p>sem transbordar. Desse modo, pode -se concluir que a água captada pelo recipiente A nessa</p><p>chuva teve volume aproxi mado, em m³, de</p><p>a) 0,40.</p><p>b) 0,36.</p><p>c) 0,32.</p><p>d) 0,30.</p><p>e) 0,28.</p><p>Para esse problema, devemos perceber que a altura que representa a chuva captada será igual,</p><p>independente do recipiente ser A ou B. Assim, o recipiente B também terá como nível de água</p><p>os 25 cm ou 0,25 m.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia,</p><p>divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>78 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>Utilizando a fórmula de volume:</p><p>E sabendo que os dados são:</p><p>• comprimento = 2 m;</p><p>• largura = 8 cm = 0,8 m;</p><p>• altura = 25 cm = 0,25 m.</p><p>Letra a.</p><p>037. (VUNESP/TJ-SP/2014/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Considere um reservató-</p><p>rio com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m de</p><p>largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo</p><p>período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da</p><p>sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório,</p><p>em metros, é igual a:</p><p>a) 1,75.</p><p>b) 1,25.</p><p>c) 1,65.</p><p>d) 1,50.</p><p>e) 1,35.</p><p>Sabemos que a altura de 50 cm resulta em um recipiente com 40% da sua capacidade total.</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>79 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Isso significa que essa altura de 50 cm é também 40% da altura total do recipiente, visto que a</p><p>base do recipiente é constante. Logo:</p><p>Letra b.</p><p>038. (ESAF/MPOG/2008/ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNA-</p><p>MENTAL) Beatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua pri-</p><p>meira aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte de cima. Para tanto,</p><p>Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200 cm² cada uma, duas peças</p><p>retangulares, também de papelão, medindo 300 cm² cada uma e uma outra peça retangular de</p><p>papelão medindo 600 cm². Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a:</p><p>a) 48</p><p>b) 6</p><p>c) 36</p><p>d) 24</p><p>e) 12</p><p>Questão bastante interessante. Beatriz formou uma caixa de papelão em forma de paralelepí-</p><p>pedo. Duas das faces medem 200 cm². Vejamos no detalhe:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>80 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Agora, vejamos as duas faces de 300 cm²:</p><p>Por fim, foi utilizada uma única face retangular de 600 cm², que corresponde ao fundo da caixa:</p><p>Temos, portanto, algumas equações:</p><p>A questão pediu o volume da caixa, que é calculado por:</p><p>A forma mais simples de calcular o volume é multiplicando as três equações que temos aci-</p><p>ma. Vejamos:</p><p>O(a) aluno(a) precisava saber também que 1 L = 1000 cm³.</p><p>Letra b.</p><p>039. (FAURGS/TJ-RS/2017/TÉCNICO JUDICIÁRIO) No cubo de aresta 10, da figura abaixo,</p><p>encontra-se representado um plano passando pelos vértices B e C e pelos pontos P e Q, pontos</p><p>médios, respectivamente, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCQP. A área do quadri-</p><p>látero BCQP, da figura acima, é:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>81 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>a) 25√5</p><p>b) 50√2</p><p>c) 50√5</p><p>d) 100√2</p><p>e) 100√5</p><p>Questão bastante interessante. O quadrilátero BCQP é um retângulo. O lado BP é perpendicular</p><p>ao lado BC porque pertence a uma face (BFEA) que é perpendicular à face ABCD à qual perten-</p><p>ce o lado BC.</p><p>Lembre-se da regra: se o plano A é perpendicular ao plano B, então qualquer reta do plano A é</p><p>perpendicular a qualquer reta do plano B.</p><p>Sendo assim, podemos calcular os lados do retângulo pelo teorema de Pitágoras.</p><p>O lado BP é a hipotenusa do triângulo retângulo BFP. Portanto:</p><p>A área do retângulo BCPQ é dada pelo produto da base pela altura:</p><p>Letra c.</p><p>040. (CESPE/TRE-MT/2010/PROGRAMADOR DE COMPUTADOR) A figura acima ilustra a</p><p>eletrônica usada nas últimas eleições no Brasil. Ela contém um painel frontal retangular, ABGF,</p><p>com inclinação Ө = 45º em relação à base ABCH - o vértice H, que não aparece explicitamente na</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>82 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>figura, é comum às faces ABCH, CDEH e AFEH. As faces BCDG e AFEH são paralelas entre si e</p><p>são trapézios retângulos; todas as outras faces são retângulos. O retângulo IJKL, correspon-</p><p>dente ao monitor de vídeo, tem dimensões IJ = 20 cm e JK = 15 cm; a distância do segmento</p><p>KL ao segmento AB é igual a 2 cm e a distância do segmento IJ ao segmento FG é igual a 3 cm.</p><p>B</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>K</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>A</p><p>G</p><p>θ</p><p>Considere que se deseje reformar a urna, de modo que o monitor seja um quadrado de 20 cm</p><p>de lado, aumentando-se o comprimento do segmento JK de 15 cm para 20 cm. O comprimento</p><p>da aresta CD e as distâncias entre os segmentos AB e KL e entre IJ e FG deverão manter-se fi-</p><p>xas. Para isso, as arestas EF e DG serão diminuídas, as arestas BG e AF serão aumentadas, e o</p><p>ângulo 2 deverá ser diminuído de 45º até um valor Ө0, de modo que o segmento JK passe a me-</p><p>dir 20 cm. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor de sen Ө0 será igual a:</p><p>a) 1/2</p><p>b) 2√2/5</p><p>c) √2/2</p><p>d) 3/4</p><p>e) 4/5</p><p>Em relação a outras questões de concursos de Geometria Espacial, essa pode ser considerada</p><p>uma questão ímpar de alto nível de dificuldade.</p><p>Podemos calcular a altura da urna.</p><p>B</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>K</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>A</p><p>G</p><p>h</p><p>θ</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>83 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O tamanho do segmento BG é igual ao segmento JK = 15 cm acrescido das folgas que existem</p><p>acima (3 cm) e abaixo (2 cm).</p><p>Podemos, então, calcular a altura da urna:</p><p>Para aumentar o comprimento do monitor, ou seja, o segmento JK até chegar em 20 cm, a</p><p>urna será deitada, de modo a não variar a sua altura, pois o enunciado diz que a aresta CD ficou</p><p>inalterada. Sendo assim, haverá a seguinte situação em que h = 10√2:</p><p>B</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>K</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>A</p><p>G</p><p>h</p><p>θ</p><p>Nesse caso, o segmento BG ficou alterado, pois JK = 20 cm acrescido das duas folgas, uma de</p><p>3 cm acima e outra de 2 cm abaixo do monitor:</p><p>Podemos, portanto, calcular o seno do ângulo pedido pela expressão clássica da geome-</p><p>tria plana.</p><p>Letra b.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>84 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>041. (FGV/IBGE/2016/TÉCNICO EM INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS E ESTATÍSTICAS)</p><p>Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado</p><p>e quatro triângulos iguais</p><p>ao da figura abaixo.</p><p>6 m</p><p>10 m10 m</p><p>O volume dessa pirâmide em m3 é aproximadamente:</p><p>a) 84</p><p>b) 90</p><p>c) 96</p><p>d) 108</p><p>e) 144</p><p>Para calcularmos o volume da pirâmide, precisamos calcular a sua altura, que não foi forneci-</p><p>da. De acordo com o enunciado, a pirâmide foi construída com o auxílio de quatro triângulos</p><p>isósceles. Trata-se, portanto, de uma pirâmide reta, que pode ser representada a seguir:</p><p>A altura da face pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:</p><p>Por fim, há o triângulo retângulo característico da pirâmide formado pela altura da pirâmide</p><p>(H), o apótema (r) e a altura da face (hf).</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>85 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Como a base é quadrada, o apótema é igual à metade da aresta da base:</p><p>Como a base é um quadrado de lado 6, a sua área é facilmente calculada pelas expressões que</p><p>conhecemos da geometria plana B = 6² = 36.</p><p>Sendo assim, o volume é igual ao produto base vezes altura dividido por 3:</p><p>Letra d.</p><p>042. (ESPCEX/2009) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadra-</p><p>da e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma</p><p>tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.</p><p>Desenho fora de escala</p><p>Os pontos A e B representam os centros das bases do tronco de pirâmide</p><p>A</p><p>2,40 m</p><p>3,20 m</p><p>7,20 m</p><p>B</p><p>O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:</p><p>a) 6</p><p>b) 7</p><p>c) 9</p><p>d) 10</p><p>e) 11</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>86 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O primeiro ponto a se observar é que as faces laterais do tronco de pirâmide são trapezoidais.</p><p>Sabemos calcular a área de um trapézio, mas, para isso, precisamos da altura de cada um de-</p><p>les, ou seja, a altura da face.</p><p>Podemos estabelecer os apótemas das bases quadradas como metade do lado:</p><p>Desenho fora de escala</p><p>Os pontos A e B representam os centros das bases do tronco de pirâmide</p><p>A</p><p>2,40 m</p><p>3,20 m</p><p>7,20 m</p><p>B</p><p>3,6</p><p>hf</p><p>1,2</p><p>Chegamos a um trapézio que será útil para calcular a altura da face:</p><p>Temos um triângulo retângulo de hipotenusa hf e catetos 2,4 e 3,2. O modo mais fácil de cal-</p><p>cular hf é reconhecendo a proporcional com o triângulo pitagórico 3-4-5.</p><p>Naturalmente, se você não notou a proporção, seria possível recorrer ao teorema de Pitágoras:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>87 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>A área de cada face do tronco de pirâmide pode ser calculada pelas expressões conhecidas</p><p>para o trapézio:</p><p>Como a pirâmide tem 4 faces laterais, a sua área lateral é de 76,8 m². Como é necessário um</p><p>galão para cada 11 m², teremos que o número de galões a serem utilizados é:</p><p>Portanto, são necessários pelos menos 7 galões.</p><p>Letra b.</p><p>043. (ESAF/ATRFB/2009) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio</p><p>está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura.</p><p>De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na</p><p>superfície?</p><p>a) 5</p><p>b) 7,5</p><p>c) 5 + 5√2/2</p><p>d) 5√2</p><p>e) 10</p><p>Questão muito difícil. Podemos fazer um corte no problema. A esfera encostada no cone sig-</p><p>nifica que ela é tangente ao cone por fora:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>88 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Observe que a altura do cone o divide em um triângulo retângulo isósceles, portanto, o ângulo</p><p>destacado é de 45º:</p><p>Note que temos um triângulo retângulo com a hipotenusa D. Esse triângulo é isósceles porque</p><p>tem um ângulo de 45º, portanto:</p><p>Letra d.</p><p>044. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2017/TÉCNICO DE ENFERMAGEM DO TRABALHO JÚ-</p><p>NIOR) A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a</p><p>base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um</p><p>círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.</p><p>Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera</p><p>e ao cone?</p><p>a) 800π</p><p>b) 784π</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>89 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>c) 748π</p><p>d) 684π</p><p>e) 648π</p><p>Tomando uma secção plana transversal da figura, a esfera se torna uma circunferência que</p><p>está inscrita em um triângulo retângulo.</p><p>A hipotenusa desse triângulo é a geratriz do cone, que pode ser calculada pelo teorema de</p><p>Pitágoras. Vejamos:</p><p>O raio da esfera, por sua vez, é o raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo de</p><p>catetos 7 e 24 e hipotenusa 25.</p><p>O modo mais fácil de calcular esse raio é pela reação entre área e raio da inscrita.</p><p>A questão pediu o volume interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone. Esse valor é dado por:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>90 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O volume do cilindro pode ser facilmente calculado por área da base vezes altura:</p><p>O volume do cone é um terço do volume do cilindro, pois ele possui a mesma base e a</p><p>mesma altura:</p><p>Por fim, temos o volume da esfera:</p><p>Agora, calculemos o volume pedido:</p><p>Letra c.</p><p>045. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/FISCAL DE POSTURA</p><p>E ÉTICA URBANA) Um prisma reto tem uma face quadrangular de área 121 cm². Se a soma</p><p>dos comprimentos de todas as arestas desse prisma é igual a 144 cm, seu volume, em cm³,</p><p>é igual a:</p><p>a) 726.</p><p>b) 968.</p><p>c) 1210.</p><p>d) 1452.</p><p>e) 1694.</p><p>Um prisma reto de base quadrangular é da seguinte forma:</p><p>Como sua base tem área 121 cm² e é um quadrado, então o lado da sua base equivale a:</p><p>Além disso, o prisma reto quadrangular é formado por 8 arestas horizontais iguais que com-</p><p>põem a base quadrada e 4 arestas verticais, também de valores iguais entre si, já que o</p><p>prisma é reto.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2019-prefeitura-de-sao-jose-dos-campos-sp-fiscal-de-postura-e-etica-urbana</p><p>https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2019-prefeitura-de-sao-jose-dos-campos-sp-fiscal-de-postura-e-etica-urbana</p><p>91 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>A figura a seguir ilustra isso:</p><p>Dessa forma, sendo a soma dos comprimentos de todas as arestas igual a 144 cm, então a</p><p>aresta a equivale a:</p><p>Assim:</p><p>Portanto, o volume do prisma é:</p><p>Letra e.</p><p>046. (UECE-CEV/2018/SEDUC-CE/PROFESSOR/MATEMÁTICA) A questão versa sobre ge-</p><p>ometria euclidiana plana e espacial, e está baseada nas seguintes informações e condições:</p><p>I – Três esferas sólidas repousam sobre um plano horizontal;</p><p>II – A esfera menor tem centro no ponto C1, é tangente ao plano no ponto P1 e a medida de</p><p>seu raio é igual a 1 cm;</p><p>III – A esfera maior tem centro no ponto C3, é tangente ao plano no ponto P3 e a medida de</p><p>seu raio é igual a 3 cm;</p><p>IV – A terceira esfera tem centro no ponto C2, é tangente ao plano no ponto P2, e a medida</p><p>de seu raio é igual a 2 cm;</p><p>V – Cada esfera é tangente externamente às outras duas.</p><p>O comprimento, em cm, da circunferência que contém os pontos C1, C2 e C3 é igual a:</p><p>a) 6π.</p><p>b) 4π.</p><p>c) 7π.</p><p>d) 5π.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/uece-cev-2018-seduc-ce-professor-matematica</p><p>92 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Considerando uma vista superior do problema, a imagem obtida pode ser a seguinte:</p><p>3 cm</p><p>1 cm</p><p>2 cm</p><p>Perceba que os pontos C1, C2 e C3 formam um triângulo de lado 3, 4 e 5 cm, já que seus lados</p><p>são: a soma dos raios das esferas 1 e 2, a soma dos raios das esferas 2 e 3 e a soma dos raios</p><p>das esferas 1 e 3.</p><p>A imagem seguinte ilustra o triângulo formado em vermelho:</p><p>4 cm</p><p>3 cm</p><p>5 cm</p><p>Nota-se também que o triângulo em questão é retângulo, visto que ele obedece ao Teorema</p><p>de Pitágoras, que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipote-</p><p>nusa, pois:</p><p>Assim, o ângulo entre os catetos de lado 3 cm e 4 cm é reto, ou seja, possui 90º.</p><p>Pelo Teorema do ângulo inscrito, sabemos que, em uma circunferência, a medida do ângulo</p><p>central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Obser-</p><p>ve a figura:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>93 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Perceba também que a hipotenusa do triângulo é congruente ao diâmetro da circunferência</p><p>circunscrita ao triângulo, como podemos visualizar a seguir:</p><p>Portanto, como o comprimento de uma circunferência é dado por:</p><p>E o raio da circunferência circunscrita é a metade da hipotenusa, ou seja, 2,5 cm, temos que a</p><p>circunferência equivale a:</p><p>Letra d.</p><p>047. (FGV/2019/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/PROFESSOR/MATEMÁTICA) A figura</p><p>abaixo mostra um quadrado ABCD e quatro triângulos isósceles iguais. Essa figura é a planifi-</p><p>cação de uma pirâmide regular de base quadrada.</p><p>Sabendo que AB = 4 e que AE = EB = 5, a altura dessa pirâmide é igual a:</p><p>a) √17.</p><p>b) √18.</p><p>c) √19.</p><p>d) √20.</p><p>e) √21.</p><p>Primeiramente, vamos descobrir o apótema da pirâmide.</p><p>O ponto médio da base dos triângulos é:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-professor-matematica</p><p>94 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras:</p><p>Logo:</p><p>Agora, é possível descobrir a altura. Observe um corte da pirâmide já montada:</p><p>Novamente usando Pitágoras:</p><p>Letra a.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>95 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>GABARITO</p><p>1. d</p><p>2. c</p><p>3. a</p><p>4. E</p><p>5. e</p><p>6. b</p><p>7. c</p><p>8. a</p><p>9. b</p><p>10. d</p><p>11. E</p><p>12. d</p><p>13. a</p><p>14. 180√7 cm².</p><p>15. C</p><p>16. d</p><p>17. E</p><p>18. c</p><p>19. c</p><p>20. d</p><p>21. d</p><p>22. c</p><p>23. c</p><p>24. e</p><p>25. c</p><p>26. d</p><p>27. b</p><p>28. e</p><p>29. e</p><p>30. d</p><p>31. a</p><p>32. c</p><p>33. d</p><p>34. b</p><p>35. c</p><p>36. a</p><p>37. b</p><p>38. b</p><p>39. c</p><p>40. b</p><p>41. d</p><p>42. b</p><p>43. d</p><p>44. c</p><p>45. e</p><p>46. d</p><p>47. a</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Engenheiro eletrônico formado pelo ITA com distinção em Matemática, analista-chefe da Múltiplos</p><p>Investimentos, especialista em mercado de ações. Professor desde os 19 anos e, atualmente, leciona</p><p>todos os ramos da Matemática para concursos públicos.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>Geometria Espacial</p><p>1. Introdução à Geometria Espacial</p><p>1.1. Conceitos Primitivos</p><p>1.2. Posições Relativas</p><p>1.3. Unidades de Medida</p><p>2. Poliedros</p><p>2.1. Relação de Euler</p><p>2.2. Poliedros de Platão</p><p>2.3. Prisma</p><p>2.4. Paralelepípedo</p><p>2.5. Cilindro</p><p>3. Pirâmide</p><p>3.1. Altura da Face</p><p>3.2. Apótema</p><p>3.3. Planificação da Pirâmide</p><p>3.4. Área Lateral e Volume</p><p>3.5. Cone</p><p>3.6. Tronco de Pirâmide ou de Cone</p><p>4. Esfera</p><p>Questões Comentadas em Aula</p><p>Questões de Concurso</p><p>Gabarito</p><p>AVALIAR 5:</p><p>Página 96:</p><p>deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>6 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>• Coplanares: quando os pontos pertencem ao mesmo plano.</p><p>Agora, veja um exemplo de pontos colineares e coplanares simultaneamente.</p><p>1.2.1. Posição Relativa entre Retas</p><p>Quando duas ou mais retas pertencem ao mesmo plano, são chamadas de retas coplana-</p><p>res. Quando não há pertencimento ao mesmo plano, são chamadas retas reversas.</p><p>As retas coplanares se subdividem em três casos de posição relativa: retas paralelas, coin-</p><p>cidentes e concorrentes:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>7 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>• Retas paralelas: quando não possuem pontos em comum;</p><p>• Retas coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum e, portanto, são con-</p><p>sideradas retas iguais;</p><p>• Retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.</p><p>1.2.2. Posição Relativa entre Planos</p><p>A posição relativa de dois planos pode ser: paralelo, coincidente ou secante.</p><p>Planos paralelos: não possuem elementos em comum. Isso significa que não há interse-</p><p>ção entre os planos.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>8 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Planos secantes: são planos que se interceptam em algum lugar do espaço.</p><p>Planos coincidentes: quando possuem todos os elementos em comum e, portanto, são</p><p>considerados planos iguais.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>9 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>1.2.3. Posição Relativa entre Reta e Plano</p><p>As retas possuem três posições quando comparadas ao plano: paralela ao plano, perten-</p><p>cente ao plano ou secante ao plano.</p><p>Reta paralela ao plano: quando não há interseção entre a reta e o plano.</p><p>Reta pertencente ao plano: quando todos os pontos que formam a reta estão conti-</p><p>dos no plano.</p><p>Reta secante ao plano: quando há apenas um ponto em comum entre a reta e o plano.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>10 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>1.3. unIdades de medIda</p><p>As unidades de massa e comprimento são também conhecidas como sistema decimal de</p><p>unidades, porque são construídas a partir do metro utilizando potências de 10.</p><p>No caso do comprimento, o metro é a unidade principal que possui múltiplos (unidades</p><p>maiores que o metro) e submúltiplos (unidades menores que o metro).</p><p>Nome extenso Unidade Conversão</p><p>Quilômetro km = 10³ m = 1000 m</p><p>MúltiplosHectômetro hm = 10² m = 100 m</p><p>Decâmetro dam = 10 m = 10 m</p><p>Metro m</p><p>Decímetro dm = 10-1 m = 0,1 m</p><p>ou 1 m = 10 dm</p><p>SubmúltiplosCentímetro cm = 10-2 m = 0,01 m</p><p>ou 1 m = 100 cm</p><p>Milímetro mm = 10-3 m = 0,001 m</p><p>ou 1 = 1000 mm</p><p>Tabela 2: Conversão entre Unidades de Comprimento</p><p>Na tabela 2, perceba que, cada vez que subimos um degrau, multiplicamos por 10.</p><p>Por exemplo, quando subimos de metro para decâmetro, há a relação de que 1 dam = 10 m.</p><p>Quando subimos de decâmetro para hectômetro, também 1 ham = 1 dam = 100 m.</p><p>Por outro lado, cada vez que descemos um degrau, dividimos por 10. É por isso que 1 dm</p><p>= 0,10 m e que 1 cm = 0,10 dm = 0,01 m.</p><p>É importante destacar que nem todas as unidades são frequentemente utilizadas. No dia a</p><p>dia, as unidades mais utilizadas são o quilômetro, o metro, o centímetro e o milímetro.</p><p>As demais, embora existam, são pouco utilizadas. Isso não obsta que uma questão de pro-</p><p>va seja feita com base nelas.</p><p>No caso das unidades de massa, a mesma regra é válida. Elas são centradas no grama, po-</p><p>rém, é importante destacar que a unidade padrão do Sistema Legal de Medidas é o quilograma.</p><p>Sendo assim, devemos construir a tabela com base no grama. Porém, utilizaremos no dia</p><p>a dia e nas questões, principalmente, o quilograma.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>11 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Nome extenso Unidade Conversão</p><p>Quilograma kg = 10³ m = 1000 m</p><p>MúltiplosHectograma hg = 10² m = 100 m</p><p>Decagrama dag = 10 m = 10 m</p><p>Grama g</p><p>Decigrama dg = 10-1 m = 0,1 m</p><p>ou 1 m = 10 dm</p><p>SubmúltiplosCentigrama cg = 10-2 m = 0,01 m</p><p>ou 1 m = 100 cm</p><p>Miligrama mg = 10-3 m = 0,001 m</p><p>ou 1 = 1000 mm</p><p>Tabela 3: Unidades de Massa no Sistema Legal de Medidas</p><p>A minha recomendação é que, nas questões, você converta todas as unidades para metro.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>1,25 hm = 1,25.100 m = 125 m</p><p>3,7 dm = 3,7.0,10 m = 0,37 m</p><p>4,3 km = 4,3.1000 m = 4300 m</p><p>405 mm = 405.0,001 m = 0,405 m</p><p>350 cm = 350.0,01 m = 3,50 m</p><p>1.3.1. Unidades de Área e Volume</p><p>As unidades de área podem ser entendidas simplesmente como o quadrado de uma unida-</p><p>de de comprimento.</p><p>Sendo assim, se 1 dam = 10 m, se elevarmos ao quadrado, haverá a relação entre as unida-</p><p>des de área: 1 dam² = (10 m)² = 100 m².</p><p>Desse modo, basta utilizar os fatores de conversão que aprendemos anteriormente eleva-</p><p>dos ao quadrado.</p><p>Uma unidade de área bastante usada é o hectare. O hectare é equivalente a um hectômetro</p><p>quadrado, ou seja, 1 ha = 1 hm². Como 1 hm = 100 m e temos hm², podemos substituir. En-</p><p>tão, temos:</p><p>1 ha = 1 hm² = (100 m)² = 10.000 m².</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>12 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Vejamos outros exemplos:</p><p>1,25 hm² = 1,25.(100 m)² = 1,25.10000 m² = 12.500 m²</p><p>3,7 dm² = 3,7.(0,10 m)² = 3,7.0,01 m² = 0,037 m²</p><p>4,3 km² = 4,3.(1000 m)² = 4,3.1000000 m² = 4.300.000 m²</p><p>405 mm² = 405.(0,001 m)² = 405. 0,000001 m = 0,000405 m²</p><p>350 cm² = 350.(0,01 m)² = 3,50 m</p><p>Para as unidades de volume, uma unidade de volume será, de forma geral, o cubo de uma</p><p>unidade de comprimento.</p><p>1250 dm³ = 1250.(0,1 m)³ = 1250.0,001 m = 1,25 m³</p><p>2,2 hm³ = 2,2.(100 m)³ = 2,2.1000000 = 2.200.000 m³</p><p>Um problema frequente em cálculo de unidades de medidas de volumes é o cálculo do</p><p>volume de um paralelepípedo, também conhecido como prisma retangular reto.</p><p>Figura 6: Ilustração de um Paralelepípedo</p><p>O volume do paralelepípedo é simplesmente</p><p>o produto de suas dimensões. Esse volume é</p><p>considerado um assunto de matemática básica e pode ser cobrado, mesmo que seu edital não</p><p>preveja expressamente a matéria de Geometria.</p><p>O cubo é um caso particular de paralelepípedo, cujas dimensões são todas iguais.</p><p>1.3.2. Litro</p><p>É importante deixar claro que a unidade oficial de volume no SI é o metro cúbico (m³), por-</p><p>que o volume é o cubo de uma unidade de comprimento.</p><p>Porém, o litro (L) é uma unidade bastante comum no dia a dia. O volume equivalente a 1 L</p><p>no SI é o volume de 1 dm³.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>13 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Uma relação muito importante a saber é que 1 m³ é igual a 1.000 L.</p><p>Passando o fator 0,001 para o outro lado:</p><p>O interessante do litro é que existe também uma escala decimal em torno do litro muito</p><p>semelhante à utilizada para o metro. Vejamos:</p><p>Nome extenso Unidade Conversão</p><p>Quilolitro kL = 10³ L = 1000 L = 1 m³</p><p>MúltiplosHectolitro hL = 10² L = 100 L</p><p>Decalitro daL = 10 L = 10 L</p><p>Litro L</p><p>Decilitro dL = 10-1 L = 0,1 L</p><p>ou 1 L = 10 dL</p><p>SubmúltiplosCentilitro cL = 10-2 L = 0,01 L</p><p>ou 1 L = 100 cL</p><p>Mililitro mL = 10-3 L = 0,001 L</p><p>ou 1 L = 1000 mL</p><p>Tabela 4: Conversão de Unidades de Volume baseadas no Litro</p><p>No Brasil, as unidades mais frequentemente utilizadas são o metro cúbico, o litro e o mi-</p><p>lilitro. Porém, o centilitro é bastante utilizado na Europa, então, é útil saber, caso você pense</p><p>algum dia em viajar para lá.</p><p>Vejamos alguns exemplos.</p><p>3,22 hL = 3,22.100 L = 322 L</p><p>6,7 dL = 6,7.0,10 L = 0,67 L</p><p>3,6 kL = 3,6.1000 L = 3600 L</p><p>302 mL = 302.0,001 L = 0,302 L</p><p>620 cL = 620.0,01 L = 6,20 L</p><p>1 daL = 10 L, mas 1 dam³ = (10 m)³ = 1000 m³. Perceba que, na unidade daL, não aparece ne-</p><p>nhuma expressão elevada ao cubo, por isso, não precisamos elevar o 10³ para chegar à unida-</p><p>de de conversão.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>14 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Então, só eleve as unidades de conversão a um expoente quando ele estiver expresso nas uni-</p><p>dades de medida. Por exemplo:</p><p>1 cm² = (0,01 m)² = 0,0001</p><p>1 cm³= (0,01 m)³ = 0,000001</p><p>1 cL = 0,01 L</p><p>001. (NOSSO RUMO/MGS/2017/ARTÍFICE) É correto afirmar que 32 km² equivalem a:</p><p>a) 320 ha</p><p>b) 32.000 ha</p><p>c) 320.000 ha</p><p>d) 3.200 ha</p><p>Basta lembrar-se de que o quilômetro está logo acima do hectômetro na tabela de unidades de</p><p>comprimento. Portanto:</p><p>Letra d.</p><p>002. (VUNESP/CETESB/2013/ESCRITURÁRIO) Um refresco é feito diluindo-se 750 mL de vi-</p><p>nho em 2 litros de água. Para preparar 5,5 litros desse refresco (água + vinho), a quantidade</p><p>necessária de vinho, em litros, será:</p><p>a) 0,9</p><p>b) 1,2</p><p>c) 1,5</p><p>d) 1,8</p><p>e) 2,2</p><p>É uma questão simples de regra de três, porém, devemos primeiramente, converter 750 mL de</p><p>vinho em litros.</p><p>Dessa forma, o refresco é composto por 0,75 L de vinho e 2 L de água, somando 2,75 L do re-</p><p>fresco. Como queremos 5,5 L, basta montar a regra de três:</p><p>Letra c.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>15 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>003. (VUNESP/CRO-SP/2015/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS) Um total de 3150000 cen-</p><p>tímetros cúbicos de um produto líquido precisa ser igualmente dividido, sem desperdício, em</p><p>frascos com capacidade máxima de 0,5 metro cúbico, cada um. Para fazer essa divisão, o</p><p>número mínimo de frascos necessários deverá ser de:</p><p>a) 7</p><p>b) 63</p><p>c) 700</p><p>d) 6300</p><p>e) 70000</p><p>Precisamos converter a unidade de cm³ para m³.</p><p>Voltando seis casas para a esquerda, temos:</p><p>Como os recipientes possuem 0,5 m³, precisamos dividir:</p><p>Como não existem 6,3 recipientes, devemos usar 7 recipientes para armazenar todo o volu-</p><p>me desejado.</p><p>Letra a.</p><p>004. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PLANEJAMENTO, GESTÃO E INFRAESTRUTURA</p><p>EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volu-</p><p>me de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é</p><p>definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes.</p><p>Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então</p><p>serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio.</p><p>Vamos fazer a conversão de unidades para o litro:</p><p>40 dm³ = 40 L. 60 m³ = 60 000 L.</p><p>Dessa maneira, basta fazer a regra de três:</p><p>Agora, vamos calcular o tempo em minutos dividindo por 60:</p><p>Errado.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>16 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>005. (CESPE/CAGE-RS/2018/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO) O preço do litro de deter-</p><p>minado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um paralelepí-</p><p>pedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam x 125 cm x 0,08 hm, então o preço que se</p><p>pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a:</p><p>a) R$ 3,84</p><p>b) R$ 38,40</p><p>c) R$ 384,00</p><p>d) R$ 3.840,00</p><p>e) R$ 38.400,00</p><p>Transformaremos todas as unidades fornecidas em metros. Para isso, basta lembrar-se de que:</p><p>1 dam = 10 m</p><p>1 cm = 10-² m</p><p>1 hm = 100 m</p><p>Sendo assim:</p><p>1,2 dam = 12 m</p><p>125 cm = 1,25 m</p><p>0,08 hm = 8 m</p><p>Portanto, o volume do paralelepípedo é:</p><p>Também precisamos nos lembrar de que 1 m³ = 1000 L. Agora, basta multiplicar pelo preço do</p><p>litro de detergente:</p><p>Letra e.</p><p>006. (VUNESP/IPSM/2018/ANALISTA DE GESTÃO MUNICIPAL/CONTABILIDADE) Um tan-</p><p>que em formato de prisma reto retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está com-</p><p>pletamente cheio de água. Durante 3 horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de</p><p>água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 m³ é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo,</p><p>o número de litros de água que ainda permanecem no tanque é igual a</p><p>a) 980.</p><p>b) 1020.</p><p>c) 1460.</p><p>d) 1580.</p><p>e) 1610.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>17 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Um prisma reto retangular é um paralelepípedo. Seu volume é calculado pelo produto das suas</p><p>dimensões.</p><p>Agora, precisaremos converter a unidade de tempo para saber quanto do volume de água foi</p><p>drenado do tanque:</p><p>Em seguida, precisaremos calcular o volume drenado (Vd). Se, a cada minuto, são drenados 12</p><p>litros de água, então, em 195 minutos, serão drenados proporcionalmente:</p><p>O volume que restará no tanque é igual à diferença entre o volume inicial e o volume drenado:</p><p>Letra b.</p><p>2. polIedros</p><p>As principais figuras da geometria espacial são os poliedros, que são sólidos delimitados</p><p>por polígonos. São exemplos de poliedros o cubo e o octaedro representados a seguir:</p><p>Em um poliedro,</p><p>figuram alguns conceitos importantes.</p><p>Face: são os trechos planos de um poliedro. Todas as faces de um poliedro são polígonos.</p><p>A seguir, temos algumas faces do cubo pintadas de rosa.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>18 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Aresta: são os segmentos de reta formados pela intersecção de duas faces. É interessante</p><p>observar que uma aresta sempre será comum a duas faces. Isso ajudará bastante você a en-</p><p>tender a relação de Euler. A seguir, há algumas arestas do cubo pintadas em vermelho:</p><p>Vértice: é formado pela intersecção de várias arestas.</p><p>2.1. relação de euler</p><p>A relação de Euler estabelece uma relação entre o número de faces, arestas e vértices de</p><p>um poliedro fechado.</p><p>Essa relação pode ser lembrada pelo mnemônico: “vamos fazer amor a dois”.</p><p>Essa relação é frequentemente cobrada da seguinte forma: o examinador fornece o núme-</p><p>ro de faces e o tipo de face no poliedro e pergunta quantos vértices ele possui.</p><p>Por exemplo, a bola de futebol é, na verdade, um poliedro conhecido como icosaedro trun-</p><p>cado, que possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Quantas arestas e vértices</p><p>ela possui?</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>19 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>As faces pentagonais possuem 5 arestas cada e as hexagonais possuem 6 arestas cada.</p><p>Levando em conta que uma aresta é sempre comum a duas faces, podemos escrever que o</p><p>número de arestas é:</p><p>Agora, podemos aplicar na relação de Euler:</p><p>Portanto, o poliedro icosaedro truncado possui 60 vértices e 90 arestas.</p><p>Outro exemplo para você entender que podemos citar é o cubo snub, que é um poliedro com</p><p>38 faces, sendo 6 quadrados e 32 triângulos equiláteros. Quantos vértices e faces ele possui?</p><p>O número de arestas pode ser facilmente calculado considerando que cada face quadrada tem</p><p>4 lados e que cada face triangular tem 3 lados. Além disso, cada aresta é comum a duas faces:</p><p>São 60 arestas, portanto podemos aplicar a relação de Euler:</p><p>Assim, o cubo snub possui 24 vértices e 60 arestas.</p><p>2.2. polIedros de platão</p><p>Os poliedros de Platão são aqueles que atendem às seguintes condições:</p><p>• todas as faces são formadas por polígonos congruentes, isto é, todas as faces são iguais;</p><p>• de cada vértice, partem o mesmo número de arestas.</p><p>Vejamos um exemplo do que seria um poliedro de Platão e do que não seria. A seguir um</p><p>tronco de pirâmide e uma pirâmide:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>20 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Todas as faces do tronco de pirâmide são paralelogramos e são todas iguais entre si. Além</p><p>disso, de todos os vértices, há o mesmo número de 3 arestas. Vejamos:</p><p>Por outro lado, a pirâmide não é um poliedro de Platão. Você consegue entender por quê?</p><p>São dois motivos: o primeiro é que uma das faces é quadrada, enquanto as demais são</p><p>triangulares. Logo, nem todas as faces são polígonos congruentes. Um deles é diferente.</p><p>Além disso, do vértice superior partem 4 arestas, enquanto dos demais partem apenas 3.</p><p>Dessa forma, a pirâmide viola as duas condições para um sólido de Platão.</p><p>2.2.1. Poliedros Regulares</p><p>Os poliedros regulares são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares e</p><p>congruentes.</p><p>Os poliedros regulares convexos são necessariamente poliedros de Platão. Só existem</p><p>cinco poliedros regulares convexos:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>21 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>DICA!</p><p>Você pode se lembrar dos poliedros regulares pelo mnemôni-</p><p>co THODI, que representa as iniciais:</p><p>T – tetraedro</p><p>H – hexaedro (ou cubo)</p><p>O – octaedro</p><p>D – dodecaedro</p><p>I – icosaedro</p><p>Algumas pessoas gostam de memorizar o tipo de face que eles apresentam. Nunca vi ser</p><p>cobrado diretamente em provas, mas também temos uma técnica para facilitar essa memori-</p><p>zação. Basta você escrever o mnemônico THODI e colocar 3 algarismos alternando.</p><p>T – 3</p><p>H</p><p>O – 3</p><p>D</p><p>I – 3</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>22 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Agora, completaremos com 4 e 5.</p><p>T – 3</p><p>H – 4</p><p>O – 3</p><p>D – 5</p><p>I – 3</p><p>Assim você poderá se lembrar de que o tetraedro, o octaedro e o icosaedro possuem</p><p>faces trigonais; que o hexaedro possui faces quadradas e que o dodecaedro possui faces</p><p>pentagonais.</p><p>007. (VUNESP/PREFEITURA DE CERQUILHO-SP/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA)</p><p>Uma pirâmide tem n vértices. Logo, é correto afirmar, com relação a essa pirâmide, que ela tem</p><p>a) n + 1 faces.</p><p>b) n + 1 arestas.</p><p>c) n faces.</p><p>d) n arestas</p><p>e) n – 1 faces</p><p>Para facilitar a compreensão, observe algumas pirâmides:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>23 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Assim, é possível perceber que o número de vértices é igual ao número das faces de uma pirâ-</p><p>mide. Logo, se uma pirâmide tem n vértices, ela também terá n faces.</p><p>Letra c.</p><p>2.3. prIsma</p><p>O prisma é formado por dois polígonos congruentes paralelos entre si, que são chamados</p><p>de bases. As arestas do prisma ligam as duas bases uma à outra.</p><p>Prisma</p><p>triangular</p><p>Prisma</p><p>pentagonal</p><p>Prisma</p><p>hexagonal</p><p>Prisma</p><p>quadrangular</p><p>Note que todas as faces de um prisma são paralelogramos.</p><p>Um caso especial muito importante de prisma são os prismas retos. Um prisma é reto</p><p>quando o segmento de reta que une os centros das duas bases é perpendicular às bases.</p><p>Em termos de questões de prova, considero que o mais importante é saber calcular a área</p><p>externa e o volume dessas figuras.</p><p>A área do prisma é dada pelo somatório das áreas de todas as faces que o constituem.</p><p>Como as faces laterais são todas paralelogramos, a área de cada uma delas será a aresta ve-</p><p>zes a altura do prisma. Somando-se tudo, temos que a área lateral do prisma é:</p><p>Já o volume do prisma é dado pelo produto base vezes altura:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>24 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>2.3.1. Planificação do Prisma</p><p>O prisma é formado por duas bases que são polígonos equivalentes. As faces laterais de</p><p>um prisma são sempre retangulares.</p><p>A planificação dos prismas também depende do número de lados que o polígono base des-</p><p>se sólido possui. No caso a seguir, foi exemplificado um prisma de base hexagonal.</p><p>Dessa forma, é possível perceber na imagem 6 retângulos, os quais comporão as faces la-</p><p>terais do prisma. As bases do prisma serão os dois polígonos, os quais devem estar em lados</p><p>opostos na planificação.</p><p>Figura 8: Planificação de um Prisma Hexagonal</p><p>2.4. paralelepípedo</p><p>É um caso especial de prisma reto em que as bases são retângulos.</p><p>Os paralelepípedos são bastante famosos porque são utilizados na construção de</p><p>meios-fios.</p><p>A seguir, uma ilustração de um paralelepípedo e suas três dimensões:</p><p>• largura: a</p><p>• espessura: b</p><p>• altura: c</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>25 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Uma medida muito importante em um paralelepípedo é a diagonal principal, ilustrada em</p><p>vermelho, que corresponde à maior distância entre dois vértices de um paralelepípedo.</p><p>O triângulo ABC é retângulo em B. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras nele:</p><p>O lado d do triângulo ABC corresponde a uma diagonal de face do paralelepípedo que tam-</p><p>bém pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:</p><p>Sendo assim, a diagonal principal é:</p><p>Além disso, considero assuntos-chave para as provas de concursos a área e o volume de</p><p>um paralelepípedo.</p><p>O volume do paralelepípedo é calculado simplesmente pelo produto das suas três</p><p>dimensões:</p><p>A área lateral do paralelepípedo, por sua vez, é formada pela soma das áreas das 6 faces.</p><p>Tomemos as faces em azul:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>26 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>2.4.1. Cubo</p><p>O cubo é um caso especial de paralelepípedo em que todas as dimensões das arestas</p><p>são iguais. É um poliedro regular, mais precisamente, o hexaedro regular, que apresenta 6</p><p>faces quadradas.</p><p>Como as arestas são todas iguais, fica mais fácil calcular as propriedades do cubo.</p><p>Diagonal de Face:</p><p>Diagonal do Cubo:</p><p>Área Lateral:</p><p>Volume:</p><p>Em provas de concursos, você pode ficar bem tranquilo(a) que esse assunto será cobrado</p><p>sempre de forma bem básica.</p><p>2.4.2. Planificações do Cubo</p><p>O cubo ou hexaedro é um sólido geométrico com diversas possibilidades de planificações.</p><p>Uma planificação pode ser obtida abrindo-se o cubo.</p><p>Pense, por exemplo, que você vai puxar a face superior do cubo para cima. Depois, você</p><p>puxa a face inferior. E, por fim, você abre toda a figura pelas faces laterais.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>27 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Figura 1: Como Planificar um Cubo</p><p>Vale notar que a planificação não é única. Dependendo da forma que você abra o cubo, é</p><p>possível obter diferentes planificações.</p><p>Figura 2: Outras Planificações do Cubo</p><p>Entretanto, note que todas as planificações do cubo devem possuir, obrigatoriamente, 6</p><p>quadrados, porque o cubo é formado por 6 faces quadradas.</p><p>Vale lembrar que o fato de possuir 6 quadrados na planificação não é suficiente para garan-</p><p>tir que aquela planificação constrói um cubo. Observe o contraexemplo a seguir.</p><p>Figura 3: Exemplo de Planificação Impossível de um Cubo</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>28 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>2.5. cIlIndro</p><p>O cilindro pode ser entendido como um prisma de base circular.</p><p>Pode ser entendido ainda como um sólido de revolução. Essa denominação significa que</p><p>pode ser construído a partir da rotação de uma figura plana específica em torno de um eixo.</p><p>No caso do cilindro, essa figura é o retângulo. Observe, a seguir, a construção desse sólido por</p><p>revolução:</p><p>A área lateral e o volume do cilindro podem ser calculados pelas mesmas expressões que</p><p>já havíamos apresentado para o prisma:</p><p>Agora, precisamos nos lembrar de que o perímetro do cilindro é igual ao perímetro da cir-</p><p>cunferência de sua base. Portanto, a sua área lateral é:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>29 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O volume do cilindro é igual ao produto da base vezes a altura. A área da base é igual à área</p><p>do círculo:</p><p>2.5.1. Planificações do Cilindro</p><p>O cilindro é um sólido redondo, o que faz a presença de curvas ser um item obrigatório</p><p>na sua planificação. Sempre haverá, na planificação do cilindro, dois círculos acoplados a um</p><p>retângulo. Os círculos formarão as bases opostas do sólido e o retângulo formará o corpo ou</p><p>o meio do sólido.</p><p>Note que, como as bases são opostas, uma planificação cujos círculos encontram-se na</p><p>mesma aresta do retângulo está incorreta. Outra possibilidade incorreta é quando os círculos</p><p>estão acoplados a duas arestas concorrentes do retângulo central. A única forma correta é</p><p>quando os círculos estão conectados a arestas paralelas desse retângulo. Observe um exem-</p><p>plo correto a seguir:</p><p>Figura 5: Planificação do Cilindro</p><p>008. (UFRPE/2016/AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO) Um reservatório tem a forma de um</p><p>cubo e capacidade de 64m3. De quanto teria que se aumentar cada uma das arestas do re-</p><p>servatório para se obter um outro reservatório cúbico, com capacidade superior em 152m3</p><p>ao anterior?</p><p>a) 20 dm</p><p>b) 18 dm</p><p>c) 16 dm</p><p>d) 14 dm</p><p>e) 12 dm</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>30 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Podemos calcular o tamanho inicial da aresta do primeiro cubo a partir do seu volume:</p><p>Queremos construir um novo cubo que tenha um volume 152 cm³ maior que o primeiro. Por-</p><p>tanto, esse volume será:</p><p>Agora, podemos calcular a nova aresta desse recipiente maior:</p><p>Sendo assim, a aresta foi aumentada em:</p><p>Precisamos usar a conversão de unidades para converter de 2 m para 20 dm.</p><p>Letra a.</p><p>009. (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um contêiner possui, aproximadamente,</p><p>6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura.</p><p>A capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente:</p><p>a) 31 m³</p><p>b) 33 m³</p><p>c) 35 m³</p><p>d) 37 m³</p><p>e) 39 m³</p><p>O contêiner é um paralelepípedo</p><p>cujo volume pode ser calculado multiplicando suas dimensões:</p><p>Letra b.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>31 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>010. (FGV/PROCEMPA/2014/TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICA-</p><p>ÇÃO) A figura a seguir mostra um reservatório cilíndrico circular que tem 5,0 m de comprimen-</p><p>to e 1,6 m de diâmetro.</p><p>A capacidade desse reservatório é de, aproximadamente,</p><p>a) 7500 litros</p><p>b) 8600 litros</p><p>c) 9200 litros</p><p>d) 10000 litros</p><p>e) 12500 litros</p><p>O volume do cilindro é calculado de forma bastante semelhante à de um prisma, tendo em</p><p>vista que pode ser considerado um prisma de base circular.</p><p>Usando o fato de que 1 m³ = 1000 L, o volume do recipiente é de aproximadamente 10.000 litros.</p><p>Letra d.</p><p>011. (ADM & TEC/PREFEITURA DE RIO LARGO-AL/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/</p><p>ADAPTADA) Uma piscina em formato retangular possui dimensões iguais a 10m de profun-</p><p>didade, 16m de largura e 131m de comprimento. Assim, é correto afirmar que o seu volume é</p><p>igual a 22.332 m³.</p><p>O problema pergunta qual o volume do seguinte sólido:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>32 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Para resolvê-lo, precisamos aplicar a fórmula de volume:</p><p>Assim:</p><p>• comprimento = 131 m;</p><p>• altura (ou profundidade) = 10 m;</p><p>• largura = 16 m.</p><p>Então, substituindo esses valores na fórmula:</p><p>Errado.</p><p>012. (VUNESP/PREFEITURA DE MORRO AGUDO-SP/2020/AGENTE DO SETOR DE ÁGUA</p><p>E ESGOTO) Um reservatório de água, com capacidade máxima para 6000 litros, tem a forma</p><p>de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros, estão indicadas</p><p>na figura.</p><p>Figura fora de escala</p><p>2</p><p>1,5</p><p>h</p><p>Lembrando que 1 m³ = 1000 litros, a altura desse reservatório, indicada na figura pela letra</p><p>h, é igual a</p><p>a) 0,5 m.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>33 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>b) 1,0 m.</p><p>c) 1,5 m.</p><p>d) 2,0 m</p><p>e) 2,5 m.</p><p>Lembrando a fórmula de volume:</p><p>Temos:</p><p>• comprimento = 2 m;</p><p>• largura = 1,5 m;</p><p>• volume = 6000 L.</p><p>Antes de fazer o cálculo, precisamos alterar a unidade de volume:</p><p>Agora, basta calcular:</p><p>Letra d.</p><p>3. pIrâmIde</p><p>A pirâmide é formada por uma base plana e por um vértice externo ao plano da base. A</p><p>seguir, há duas pirâmides: uma de base quadrangular e outra pentagonal.</p><p>Em questões de prova, o que é mais pedido a respeito de pirâmides são: a área lateral</p><p>e o volume.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>34 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Para calcular a área lateral da pirâmide, devemos ter em mente que todas as suas faces</p><p>laterais são triangulares. A base é a única face que não é triangular.</p><p>O caso mais importante que será cobrado em provas são as pirâmides retas, que são aque-</p><p>las em que o segmento de reta que une o vértice ao centro da base é perpendicular à base.</p><p>Nesse caso, há o seguinte e famoso triângulo retângulo:</p><p>Podemos escrever uma relação muito importante entre a altura da pirâmide (H) e a altura</p><p>da face (hf):</p><p>O termo r é o chamado apótema, que é o raio da circunferência inscrita na base. Dissecare-</p><p>mos os dois termos do lado direito nas próximas questões.</p><p>Vale muito a pena você conhecer o triângulo retângulo principal da pirâmide e lembrar-se</p><p>de que envolve:</p><p>• o apótema da base;</p><p>• a altura da pirâmide;</p><p>• a altura da face como hipotenusa.</p><p>Nas próximas seções, vamos estudar essas três importantes medidas.</p><p>3.1. altura da Face</p><p>Conhecer a altura da face de uma pirâmide é indispensável para calcular a sua área lateral.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>35 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Em uma pirâmide reta, todas as faces laterais são triângulos isósceles. Em questões de</p><p>prova, é comum que a base seja um polígono regular. Nesse caso, todas as faces laterais</p><p>são congruentes.</p><p>Considerando uma pirâmide reta, normalmente é fornecida a aresta lateral e a aresta da</p><p>base da pirâmide. Nesse caso, também temos um interessante triângulo retângulo:</p><p>Como a face VBC é um triângulo isósceles, a altura é também mediana e divide o lado BC</p><p>em duas partes iguais. Sendo assim, temos:</p><p>Você não necessariamente precisa ter decoradas essas expressões. Numa questão de</p><p>prova, é mais fácil você aprender o jeito de encontrar os triângulos retângulos que precisará em</p><p>uma pirâmide e deduzir na hora essas expressões, calculando a altura da face.</p><p>3.2. apótema</p><p>O apótema é a distância de cada lado ao centro da base. Será o raio da circunferência ins-</p><p>crita no triângulo.</p><p>Numa questão de prova, é razoável cobrar apenas bases que sejam polígonos regulares.</p><p>Vamos aos principais.</p><p>Triângulo equilátero: façamos o desenho em que S representa o centro do triângulo:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>36 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Perceba que o triângulo ADC é semelhante ao triângulo AST. Dessa forma, podemos escrever:</p><p>Já aprendemos a calcular a altura de um triângulo equilátero:</p><p>Mais uma vez, acredito que é muito difícil para o(a) aluno(a) ter tantas fórmulas na cabeça.</p><p>Por isso, não considero válido saber de cabeça o apótema do triângulo equilátero. Melhor você</p><p>aprender a técnica de como obtê-lo.</p><p>Outra forma mais simples de obter o apótema do triângulo equilátero consiste em usar a</p><p>relação entre área e raio da inscrita.</p><p>Quadrado: esse caso é bem mais fácil de calcular, o apótema é simplesmente um corte</p><p>no quadrado:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>37 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Note que o lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência nele inscrita:</p><p>Hexágono: a apótema do hexágono pode ser calculada facilmente, pois ele pode ser dividi-</p><p>do em 6 triângulos equiláteros.</p><p>Perceba que o segmento tracejado de comprimento r corresponde não só ao apótema do</p><p>hexágono, mas também à altura</p><p>de um triângulo equilátero de lado a.</p><p>Sendo assim, o apótema do hexágono é igual à altura de um triângulo equilátero:</p><p>3.3. planIFIcação da pIrâmIde</p><p>Uma pirâmide é formada por uma base poligonal e por um vértice que fica em um plano</p><p>externo a essa pirâmide. Embora a base possa ser qualquer polígono, as faces laterais de uma</p><p>pirâmide são sempre triângulos formados por uma aresta da base e o vértice. Vejamos, como</p><p>exemplo, uma pirâmide de base quadrada:</p><p>Figura 6: Pirâmide de Base Quadrada</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>38 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Como a pirâmide é definida pelo número de lados do seu polígono base, cada tipo de pirâ-</p><p>mide terá sua própria planificação. Vale notar que o número de lados do polígono será o núme-</p><p>ro de faces triangulares laterais que a pirâmide terá.</p><p>No caso a seguir, foi planificada uma pirâmide de base quadrada. Portanto, há 4 triângulos</p><p>na imagem.</p><p>Para obter a planificação da pirâmide, devemos seguir a técnica que já utilizamos anterior-</p><p>mente: abrimos a pirâmide pela base e a cortamos pelas suas faces.</p><p>Por exemplo, consideremos a planificação de uma pirâmide cuja base seja um quadrado</p><p>com lado igual a 16 cm e cujas faces sejam triângulos isósceles com lado igual a 10 cm.</p><p>Figura 7: Planificação de uma Pirâmide de Base Quadrada</p><p>3.4. Área lateral e volume</p><p>A área lateral pode ser calculada a partir da altura da face. Como a face é triangular, a sua</p><p>área pode ser calculada pela célebre expressão base vezes altura dividido por 2.</p><p>É importante observar que o número de faces laterais da pirâmide é igual ao número de</p><p>lados da base. Por exemplo, uma pirâmide de base quadrangular terá 4 faces laterais; uma</p><p>pirâmide de base pentagonal terá 5 faces laterais.</p><p>Assim, devemos multiplicar a área do triângulo por 4 ou por 5.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>39 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Já o volume da pirâmide é calculado com o auxílio da altura da própria pirâmide. É equiva-</p><p>lente a um terço do volume do prisma equivalente:</p><p>A maior parte das questões de prova sobre pirâmides focará em calcular área lateral e</p><p>volume. Porém, as questões mais sofisticadas exigirão que você as obtenha fazendo todo o</p><p>procedimento de construção de triângulos retângulos que mostramos neste material.</p><p>013. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O formato interno de um reservatório é de</p><p>pirâmide regular hexagonal invertida cuja altura é de 50 cm e aresta da base, 20 cm. Nessas</p><p>condições, a quantidade de líquido necessária para encher completamente esse reservatório,</p><p>sem transbordar, é a mais próxima de:</p><p>Obs.: 1L = 1000 cm³</p><p>a) 17,30 litros.</p><p>b) 15,20 litros</p><p>c) 18,70 litros.</p><p>d) 20,40 litros.</p><p>Como a altura da pirâmide já foi fornecida, é fácil calcular o seu volume pelo produto:</p><p>Como a base é um hexágono de lado 20 cm, podemos calcular a área do hexágono, notando</p><p>que ele pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Quando traçamos todas as diago-</p><p>nais do hexagonal, o ângulo cheio (360º) é dividido em seis partes iguais, portanto, seis par-</p><p>tes de 60º.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>40 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Além disso, as diagonais são também bissetrizes do ângulo interno do hexágono, que é de</p><p>120º, formando dois ângulos de 60º. Desse modo, todos os ângulos internos dos triângulos</p><p>formados acima são triângulos equiláteros.</p><p>A área de um triângulo equilátero é dada pela seguinte expressão:</p><p>Aplicando na expressão do volume:</p><p>Agora, devemos aplicar a conversão de que 1 L = 1000 cm³:</p><p>Letra a.</p><p>014. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/ADAPTADA) Qual a área lateral da pirâmi-</p><p>de da questão anterior?</p><p>Como a base é um hexágono regular, o apótema pode ser calculado pela altura de um triângulo</p><p>equilátero, como mostrado a seguir:</p><p>Por sua vez, a altura da face de uma pirâmide pode ser calculada a partir do triângulo retân-</p><p>gulo principal, que envolve três importantes grandezas: o apótema, a altura da pirâmide e a</p><p>altura da face.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>41 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Assim, podemos calcular a altura da face como a hipotenusa desse triângulo:</p><p>Considerando que a pirâmide tem base hexagonal, ela terá 6 triângulos como faces laterais. A</p><p>área de cada triângulo pode ser calculada como o produto da aresta da base pela altura:</p><p>180√7 cm².</p><p>3.5. cone</p><p>O cone é um caso particular de pirâmide em que a base é um círculo. Os elementos funda-</p><p>mentais do cone são: a geratriz, a altura e o raio da base.</p><p>A geratriz é bastante interessante. É a distância do vértice a qualquer ponto da base. É igual</p><p>em todos os pontos do cone.</p><p>É importante observar que existe um triângulo retângulo principal que relaciona a geratriz,</p><p>o raio da base e a altura. Desse modo, esses três importantes segmentos se relacionam pelo</p><p>teorema de Pitágoras. Assim, podemos escrever:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>42 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Assim como o cilindro, o cone é classificado como sólido de revolução. A figura plana</p><p>capaz de gerar esse sólido ao rotacionar é o triângulo. Observe a construção do cone por re-</p><p>volução a seguir:</p><p>A área lateral e o volume do cone podem ser calculados pelas mesmas expressões que</p><p>conhecemos para a pirâmide:</p><p>No caso do cone, a altura da face é a própria geratriz. O semiperímetro corresponde à meta-</p><p>de do perímetro da circunferência. Sendo assim, temos a expressão para a área lateral do cone:</p><p>O volume do cone também pode ser calculado pela mesma expressão:</p><p>3.5.1. Planificação do Cone</p><p>O cone é um sólido redondo, portanto haverá presença de curvas na sua planificação. No</p><p>caso do cone, essa planificação sempre terá uma circunferência acoplada a um arco de circun-</p><p>ferência. Observe a imagem representativa a seguir:</p><p>Figura 4: Planificação do Cone</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>43 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>A planificação do cone é obtida de forma semelhante à do cubo: puxamos a base circular</p><p>do cone para baixo e depois o abrimos por sua geratriz.</p><p>O</p><p>arco de circunferência obtido na planificação tem como centro o vértice do cubo e como</p><p>raio a própria geratriz.</p><p>3.6. tronco de pIrâmIde ou de cone</p><p>É a figura obtida pelo corte de uma pirâmide por um plano paralelo à sua base:</p><p>A parte de cima do corte é uma pirâmide de aresta lateral b’. A parte de baixo do corte é um</p><p>tronco de pirâmide.</p><p>A forma mais fácil de calcular o volume do tronco de pirâmide é utilizando a propriedade da</p><p>semelhança entre a pirâmide grande e a pequena. Devemos nos lembrar de que a razão entre</p><p>os volumes é o cubo da razão entre as medidas de comprimento.</p><p>A razão de semelhança não precisa ser com a aresta lateral. Pode ser também entre as</p><p>alturas ou entre as arestas da base.</p><p>Por fim, o volume do tronco de pirâmide pode ser obtido extraindo o volume da pirâmide</p><p>menor da pirâmide maior:</p><p>Se, por acaso, você lidar com um tronco de pirâmide ou de cone numa questão de prova,</p><p>sugiro que você prolongue as geratrizes ou arestas da base para formar uma pirâmide grande</p><p>e uma pequena.</p><p>O volume do tronco poderá ser calculado pela diferença entre esses dois volumes.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>44 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>015. (CESPE/SEDU-ES/2010) O volume de um cone circular reto de altura 5 cm e raio da base</p><p>6 cm é 60π cm3</p><p>Questão bastante direta. O volume do cone é calculado diretamente a partir da área da base e</p><p>da sua altura. A área da base é dada pela área de um círculo:</p><p>Agora, o volume do cone:</p><p>Certo.</p><p>016. (AGIRH/PREFEITURA DE ROSEIRA-SP/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura</p><p>geométrica abaixo representa um cone circular reto.</p><p>h</p><p>r</p><p>g</p><p>Sabendo que neste cone, r = 3m e g = 5m, então, o seu volume é:</p><p>a) 3π m³</p><p>b) 5π m³</p><p>c) 9π m³</p><p>d) 12π m³</p><p>O volume do cone e a área da base do cone são, respectivamente:</p><p>Calculando primeiro a área da base:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>45 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Para calcular o volume, precisamos também saber o valor de h. Note que o triângulo ge-</p><p>rado é reto:</p><p>Assim, basta utilizar a fórmula de Pitágoras:</p><p>Por fim, calcularemos o volume:</p><p>Letra d.</p><p>017. (CESPE/PC-ES/2011) Os policiais da delegacia de defesa do consumidor apreenderam,</p><p>em um supermercado, 19,5 kg de mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g de</p><p>queijo e peças de 160 g de salaminho.</p><p>Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.</p><p>Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de altura, em</p><p>que o raio da base maior meça 4 cm e o da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 como</p><p>valor aproximado para é correto afirmar que essas embalagens têm capacidade para, no</p><p>máximo, 250 mL.</p><p>A representação de um tronco de cone:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>46 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O modo mais fácil de calcular o seu volume é completando o cone até formar um cone grande</p><p>cortado em um tronco de cone e em um cone menor. Ao fazer isso, teremos um par de triân-</p><p>gulos semelhantes. Vejamos:</p><p>Pela semelhança de triângulos:</p><p>Aplicando meio pelos extremos:</p><p>Sendo assim, o tronco de cone da questão é originado a partir de um cone de 28 cm de altura</p><p>que foi cortado em um cone menor de 21 cm de altura e nesse tronco.</p><p>O volume do cone grande é dado por:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>47 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>O volume do cone menor pode ser calculado por semelhança de figuras geométricas:</p><p>Dessa forma, o volume do tronco de cone é a diferença entre os dois volumes:</p><p>Errado.</p><p>4. esFera</p><p>A esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço equidistantes de ponto O, chamado de</p><p>centro. Corresponde à versão 3D de uma circunferência.</p><p>Um fato importante sobre a esfera é que qualquer corte plano produz uma circunferência. A</p><p>seguir, há uma figuração ilustrando um corte plano em uma esfera e a circunferência formada.</p><p>O raio da circunferência resultante da secção plana pode ser calculado pelo teorema de</p><p>Pitágoras tendo em vista que se formou um triângulo retângulo:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>48 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Além disso, é importante saber calcular o volume e a área da superfície esférica:</p><p>018. (AMEOSC/PREFEITURA DE BARRA BONITA-SC/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA)</p><p>O diâmetro de uma esfera é 18 cm. Seu volume, em m3, é, aproximadamente:</p><p>Dado: utilize π = 3.</p><p>a) 0,9.10-3</p><p>b) 1,3.10-3</p><p>c) 2,9. 10-3</p><p>d) 3,6.10-3</p><p>Primeiramente, o volume da esfera é:</p><p>Como o raio é a metade do diâmetro, o raio dessa esfera é:</p><p>Substituindo os valores do raio = 9 cm e = 3 na fórmula do volume de uma esfera, encontramos:</p><p>Note que o problema pergunta o volume em metros cúbicos e não em centímetros cúbicos.</p><p>Transformando as unidades:</p><p>Letra c.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>49 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>019. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/2019/PROFESSOR DE MA-</p><p>TEMÁTICA) Uma garrafinha de suco tem a parte interna no formato esférico, com diâme-</p><p>tro de 12 cm.</p><p>Arredondando-se π para 3, tem-se o volume correto de suco que é colocado nessa garrafinha,</p><p>para a comercialização. Se cada cm3 corresponde a 1 mL, no rótulo dessa garrafinha consta</p><p>que o volume de suco nela contida é de</p><p>a) 144 mL.</p><p>b) 576 mL.</p><p>c) 864 mL.</p><p>d) 1256 mL.</p><p>e) 2592 mL.</p><p>Primeiramente, o volume da esfera é:</p><p>Como o raio é a metade do diâmetro, o raio dessa esfera é:</p><p>Dessa forma:</p><p>Substituindo os valores do raio = 6 cm e = 3 na fórmula do volume de uma esfera, encontramos:</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>50 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Note que as alternativas indicam o volume em mililitros e não em centímetros cúbicos. Trans-</p><p>formando as unidades:</p><p>Letra c.</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado</p><p>para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>51 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>QUESTÕES COMENTADAS EM AULA</p><p>001. (NOSSO RUMO/MGS/2017/ARTÍFICE) É correto afirmar que 32 km² equivalem a:</p><p>a) 320 ha</p><p>b) 32.000 ha</p><p>c) 320.000 ha</p><p>d) 3.200 ha</p><p>002. (VUNESP/CETESB/2013/ESCRITURÁRIO) Um refresco é feito diluindo-se 750 mL de vi-</p><p>nho em 2 litros de água. Para preparar 5,5 litros desse refresco (água + vinho), a quantidade</p><p>necessária de vinho, em litros, será:</p><p>a) 0,9</p><p>b) 1,2</p><p>c) 1,5</p><p>d) 1,8</p><p>e) 2,2</p><p>003. (VUNESP/CRO-SP/2015/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS) Um total de 3150000 cen-</p><p>tímetros cúbicos de um produto líquido precisa ser igualmente dividido, sem desperdício, em</p><p>frascos com capacidade máxima de 0,5 metro cúbico, cada um. Para fazer essa divisão, o</p><p>número mínimo de frascos necessários deverá ser de:</p><p>a) 7</p><p>b) 63</p><p>c) 700</p><p>d) 6300</p><p>e) 70000</p><p>004. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PLANEJAMENTO, GESTÃO E INFRAESTRUTURA</p><p>EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volu-</p><p>me de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é</p><p>definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes.</p><p>Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então</p><p>serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio.</p><p>005. (CESPE/CAGE-RS/2018/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO) O preço do litro de deter-</p><p>minado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um paralelepí-</p><p>pedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam x 125 cm x 0,08 hm, então o preço que se</p><p>pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a:</p><p>a) R$ 3,84</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>52 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>b) R$ 38,40</p><p>c) R$ 384,00</p><p>d) R$ 3.840,00</p><p>e) R$ 38.400,00</p><p>006. (VUNESP/IPSM/2018/ANALISTA DE GESTÃO MUNICIPAL/CONTABILIDADE) Um tan-</p><p>que em formato de prisma reto retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está com-</p><p>pletamente cheio de água. Durante 3 horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de</p><p>água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 m³ é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo,</p><p>o número de litros de água que ainda permanecem no tanque é igual a</p><p>a) 980.</p><p>b) 1020.</p><p>c) 1460.</p><p>d) 1580.</p><p>e) 1610.</p><p>007. (VUNESP/PREFEITURA DE CERQUILHO-SP/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA)</p><p>Uma pirâmide tem n vértices. Logo, é correto afirmar, com relação a essa pirâmide, que ela tem</p><p>a) n + 1 faces.</p><p>b) n + 1 arestas.</p><p>c) n faces.</p><p>d) n arestas</p><p>e) n – 1 faces</p><p>008. (UFRPE/2016/AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO) Um reservatório tem a forma de um</p><p>cubo e capacidade de 64m3. De quanto teria que se aumentar cada uma das arestas do re-</p><p>servatório para se obter um outro reservatório cúbico, com capacidade superior em 152m3</p><p>ao anterior?</p><p>a) 20 dm</p><p>b) 18 dm</p><p>c) 16 dm</p><p>d) 14 dm</p><p>e) 12 dm</p><p>009. (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um contêiner possui, aproximadamente,</p><p>6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura.</p><p>A capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente:</p><p>a) 31 m³</p><p>b) 33 m³</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>53 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>c) 35 m³</p><p>d) 37 m³</p><p>e) 39 m³</p><p>010. (FGV/PROCEMPA/2014/TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICA-</p><p>ÇÃO) A figura a seguir mostra um reservatório cilíndrico circular que tem 5,0 m de comprimen-</p><p>to e 1,6 m de diâmetro.</p><p>A capacidade desse reservatório é de, aproximadamente,</p><p>a) 7500 litros</p><p>b) 8600 litros</p><p>c) 9200 litros</p><p>d) 10000 litros</p><p>e) 12500 litros</p><p>011. (ADM & TEC/PREFEITURA DE RIO LARGO-AL/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/</p><p>ADAPTADA) Uma piscina em formato retangular possui dimensões iguais a 10m de profun-</p><p>didade, 16m de largura e 131m de comprimento. Assim, é correto afirmar que o seu volume é</p><p>igual a 22.332 m³.</p><p>012. (VUNESP/PREFEITURA DE MORRO AGUDO-SP/2020/AGENTE DO SETOR DE ÁGUA</p><p>E ESGOTO) Um reservatório de água, com capacidade máxima para 6000 litros, tem a forma</p><p>de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros, estão indicadas</p><p>na figura.</p><p>Figura fora de escala</p><p>2</p><p>1,5</p><p>h</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>54 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>Lembrando que 1 m³ = 1000 litros, a altura desse reservatório, indicada na figura pela letra</p><p>h, é igual a</p><p>a) 0,5 m.</p><p>b) 1,0 m.</p><p>c) 1,5 m.</p><p>d) 2,0 m</p><p>e) 2,5 m.</p><p>013. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O formato interno de um reservatório é de</p><p>pirâmide regular hexagonal invertida cuja altura é de 50 cm e aresta da base, 20 cm. Nessas</p><p>condições, a quantidade de líquido necessária para encher completamente esse reservatório,</p><p>sem transbordar, é a mais próxima de:</p><p>Obs.: 1L = 1000 cm³</p><p>a) 17,30 litros.</p><p>b) 15,20 litros</p><p>c) 18,70 litros.</p><p>d) 20,40 litros.</p><p>014. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/ADAPTADA) Qual a área lateral da pirâmi-</p><p>de da questão anterior?</p><p>015. (CESPE/SEDU-ES/2010) O volume de um cone circular reto de altura 5 cm e raio da base</p><p>6 cm é 60π cm3</p><p>016. (AGIRH/PREFEITURA DE ROSEIRA-SP/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura</p><p>geométrica abaixo representa um cone circular reto.</p><p>r</p><p>h</p><p>g</p><p>Sabendo que neste cone, r = 3m e g = 5m, então, o seu volume é:</p><p>a) 3π m³</p><p>b) 5π m³</p><p>c) 9π m³</p><p>d) 12π m³</p><p>O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para RIXON PINHEIRO DA SILVA - 12151575764, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,</p><p>a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>https://www.grancursosonline.com.br</p><p>55 de 96www.grancursosonline.com.br</p><p>Geometria Espacial</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Thiago Cardoso</p><p>017. (CESPE/PC-ES/2011) Os policiais da delegacia de defesa do consumidor apreenderam,</p><p>em um supermercado, 19,5 kg de mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g de</p><p>queijo e peças de 160 g de salaminho.</p><p>Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.</p><p>Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de altura, em</p><p>que o raio da base maior meça 4 cm e o da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 como</p><p>valor aproximado para π, é correto afirmar que essas embalagens têm capacidade para, no</p><p>máximo, 250 mL.</p><p>018. (AMEOSC/PREFEITURA DE BARRA BONITA-SC/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA)</p><p>O diâmetro de uma esfera é 18 cm. Seu volume, em m3, é, aproximadamente:</p><p>Dado: utilize π = 3.</p><p>a) 0,9.10-3</p><p>b) 1,3.10-3</p><p>c) 2,9. 10-3</p><p>d) 3,6.10-3</p><p>019. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/2019/PROFESSOR DE MA-</p><p>TEMÁTICA) Uma garrafinha de suco tem a parte interna no formato esférico, com diâme-</p><p>tro de 12 cm.</p><p>Arredondando-se π para 3, tem-se o volume correto de suco que é colocado nessa garrafinha,</p><p>para a comercialização. Se cada cm3 corresponde a 1 mL, no rótulo dessa garrafinha consta</p><p>que o volume de suco nela contida é de</p><p>a)</p>