APOSTILA DE MATEMÁTICA 5

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<p>FOCO APROVAÇÕES</p><p>1</p><p>MATEMÁTICA</p><p>BÁSICA</p><p>2</p><p>Regra de três simples</p><p>Regra de três simples é utilizada em problemas que envolvem a relação entre duas ou mais</p><p>grandezas. Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Esses problemas podem ser</p><p>de ordem direta ou inversamente proporcional e são muito frequentes no cotidiano.</p><p>Como calcular a regra de três simples?</p><p>Para calcular a solução de um problema utilizando a regra de três simples, temos que fazer</p><p>a razão entre as grandezas e analisar se estas são direta ou inversamente proporcionais. Vamos</p><p>lembrar como é cada uma delas?</p><p>• Grandezas diretamente proporcionais</p><p>Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento ou diminuição na medida da</p><p>primeira gera o mesmo na medida da segunda.</p><p>São exemplos de grandezas diretamente proporcionais:</p><p>• Velocidade e distância;</p><p>• Gravidade e peso.</p><p>Dados dois números x e y, dizemos que eles são diretamente proporcionais aos números a e b, se a</p><p>razão entre eles for igual.</p><p>• Grandezas inversamente proporcionais</p><p>Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento ou diminuição na medida de</p><p>uma delas faz com que a medida da outra sofra a alteração contrária na mesma proporção.</p><p>Dados dois números x e y, vamos dizer que eles são inversamente proporcionais aos números a e b,</p><p>se o produto entre os primeiros for igual ao produto entre os segundos.</p><p>a · x = b ·</p><p>3</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/grandezas-inversamente-proporcionais.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/grandezas-diretamente-proporcionais.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/razao.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/proporcao.htm</p><p>Exemplo 1 - Uma empresa gasta 6 peças de plástico para produzir um ventilador. Quantas</p><p>peças são necessárias para produzir 25 ventiladores?</p><p>Para resolver esse problema, vamos dispor os dados em uma tabela, a fim de facilitar nossa</p><p>interpretação.</p><p>Peças de plástico Quantidade de ventiladores</p><p>6 1</p><p>x 25</p><p>Veja que as grandezas são diretamente proporcionais, visto que, quanto mais peças de plástico</p><p>temos, mais ventiladores confeccionamos. Assim:</p><p>Exemplo 2 - Uma empresa de costura com 6 costureiras consegue terminar uma demanda de</p><p>serviço em 24 dias. A fim de fazer o mesmo serviço com 8 costureiras, quantos dias serão</p><p>necessários para terminá-lo?</p><p>De maneira semelhante, vamos dispor os dados do problema em uma tabela:</p><p>Número de costureiras Dias de serviço</p><p>6 24</p><p>8 x</p><p>Observe que as grandezas são agora inversamente proporcionais, pois quanto mais costureiras</p><p>temos, menos dias de serviço serão necessários. Precisamos inverter uma das grandezas antes de</p><p>prosseguir com a conta, veja:</p><p>4</p><p>Como calcular porcentagem com regra de três?</p><p>Para calcular porcentagem de algo utilizando regra de três, temos que ter em mente que 100%</p><p>sempre irão ser equivalentes ao todo e que as razões referentes à porcentagem são constituídas</p><p>sobre um denominador 100.</p><p>•Exemplo</p><p>Um senhor pegou emprestado com um amigo uma quantia de R$ 3.000 para quitar uma dívida no</p><p>banco. Entretanto esse senhor teve um gasto inesperado com seu carro e gastou a quantia de R$</p><p>600. Quantos por cento esse senhor gastou do total?</p><p>3000 ---------- 100%</p><p>600 ------------- x</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>Questão 1 - (Unisinos - RS) Sabendo-se que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1:</p><p>1.600.000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas?</p><p>a) 2 km</p><p>b) 12,8 km</p><p>c) 20 km</p><p>d) 128 km</p><p>e) 200 km</p><p>Solução:</p><p>Sabemos que cada um centímetro no mapa equivale a 1.600.000 centímetros na vida real. Assim:</p><p>Resposta: alternativa d</p><p>5</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm</p><p>Regra de três composta</p><p>A regra de três composta é um método pelo qual podemos resolver problemas que</p><p>envolvem mais de duas grandezas. Esses problemas podem envolver</p><p>grandezas direta ou inversamente proporcionais e estão presentes em muitas situações do</p><p>nosso cotidiano.</p><p>Como calcular uma regra de três composta</p><p>Para resolver um problema que envolve mais de duas grandezas, devemos inicialmente colocar</p><p>os dados do problema em uma tabela e, em seguida, analisar se as grandezas são diretamente</p><p>proporcionais ou inversamente proporcionais.</p><p>Caso a grandezas sejam diretamente proporcionais, mantemos a ordem das razões. Agora, caso as</p><p>grandezas sejam inversamente proporcionais, devemos inverter a ordem da grandeza. Sempre</p><p>analisamos as grandezas em relação àquela que possui a incógnita.</p><p>Exemplo 1</p><p>(UFPE) Dez guindastes carregam 180 caixas em um navio em 12 dias com 5 horas de trabalho</p><p>diárias. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 12 guindastes, trabalhando 4 horas por dia?</p><p>a) 216</p><p>b) 214</p><p>c) 212</p><p>d) 210</p><p>e) 208</p><p>Solução:</p><p>Veja que o problema relaciona quatro grandezas, logo devemos usar a ideia da regra de três</p><p>composta. Inicialmente vamos colocar os dados em uma tabela:</p><p>6</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/razao.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/divisao-inversamente-proporcional.htm</p><p>https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/grandezas-diretamente-proporcionais.htm</p><p>Número de guindaste Número de caixas Número de dias Número de horas</p><p>10 180 12 5</p><p>12 x 15 4</p><p>Devemos comparar a grandeza que possui a incógnita com as demais grandezas, ou seja, vamos</p><p>comparar o número de caixas com as demais.</p><p>Uma maneira de verificar se as grandezas são diretamente proporcionais ou não é supor o</p><p>crescimento (↑) de uma delas. Caso aconteça o crescimento da outra grandeza, elas são diretamente</p><p>proporcionais; caso contrário, são inversamente proporcionais. A mesma ideia vale para o</p><p>decrescimento (↓).</p><p>Assim:</p><p>- À medida que aumentamos o número de caixas (↑), precisamos de mais guindastes (↑) – são</p><p>diretamente proporcionais.</p><p>- Quanto mais caixa temos (↑), mais dias são necessários para carregar (↑) – são diretamente</p><p>proporcionais.</p><p>- Quanto mais caixas (↑), mais horas são necessárias para realizar o carregamento (↑) – são</p><p>diretamente proporcionais.</p><p>Note que o contexto da situação é levado em consideração todo o tempo. Para concretizar a regra de</p><p>três, mantemos a ordem que aparece na tabela:</p><p>A regra de três composta é muito utilizada em situações de comparação proporcional</p><p>envolvendo três ou mais grandezas.</p><p>7</p><p>Exemplo 2</p><p>Em uma lavoura de soja, duas máquinas carregam cinco caminhões em 2,5 horas. Supondo que o</p><p>rendimento das máquinas mantenha-se nessa lavoura, determine quanto tempo será gasto para cinco</p><p>máquinas carregarem 30 caminhões.</p><p>Solução</p><p>De maneira análoga ao exemplo anterior, devemos utilizar a regra de três composta, assim:</p><p>Número de máquinas Número de caminhões Tempo (horas)</p><p>2 5 2,5</p><p>5 30 x</p><p>Agora analisando a grandeza que possui a incógnita com as demais grandezas, temos:</p><p>- Quanto mais tempo temos (↑), menos máquinas são necessárias (↓) – grandezas inversamente</p><p>proporcionais.</p><p>- Quanto maior o tempo de colheita (↑), mais caminhões são carregados (↑) – grandezas</p><p>diretamente proporcionais.</p><p>Assim, é necessário inverter os valores da grandeza número de máquinas e manter a ordem dos</p><p>valores da grandeza número de caminhões, logo temos que:</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>Exercício 1 – (Unifor) A Universidade de Fortaleza possui quatro gráficas que atendem a todo o seu</p><p>corpo docente e discente desde as impressões simples às mais aprimoradas. Suponhamos que uma</p><p>das gráficas possua 8 copiadoras igualmente produtivas, as quais, trabalhando 4 horas por dia,</p><p>8</p><p>produzem em 5 dias 160.000 cópias. Quantos dias de trabalho serão necessários para que 7 dessas</p><p>copiadoras, trabalhando 6 horas por dia, produzam 210.000 cópias?</p><p>Novamente colocando os dados em uma tabela, temos:</p><p>Número de copiadoras Horas por dia de trabalho Dias trabalhados Quantidade de cópias</p><p>8 4 5 160.000</p><p>7 6 x 210.000</p><p>Veja que o número de copiadoras e dias trabalhados são inversamente proporcionais, e as horas por</p><p>dia de trabalho e os dias trabalhados são também inversamente proporcionais. Já os dias trabalhados</p><p>e a quantidade de cópias são diretamente proporcionais. Assim:</p><p>Exercício</p><p>2 – (Vunesp) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27</p><p>dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo</p><p>indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para</p><p>atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de</p><p>trabalho, será:</p><p>a) 29</p><p>b) 30</p><p>c) 31</p><p>d) 33</p><p>e) 28</p><p>9</p><p>Solução</p><p>Como temos mais de duas grandezas, devemos utilizar a regra de três composta. Vamos colocar os</p><p>dados na tabela levando em consideração as especificações do problema.</p><p>Número de funcionários Horas trabalhadas por dia Número de dias</p><p>10 8 27</p><p>8 9 x</p><p>- Quanto mais dias temos (↑), menos funcionários são necessários (↓) – inversamente</p><p>proporcionais.</p><p>- Quanto mais dias temos (↑), menos horas são necessárias para trabalhar (↓) – inversamente</p><p>proporcionais.</p><p>Logo, devemos inverter as outras duas grandezas:</p><p>Exercício 3 – Seis torneiras enchem uma piscina em 20 horas. Quanto tempo leva para 20 torneiras</p><p>encherem 4 piscinas?</p><p>Solução</p><p>Número de torneiras Número de piscinas Tempo (horas)</p><p>6 1 20</p><p>20 4 x</p><p>- Quanto mais tempo temos (↑), menos torneiras são necessárias (↓) – inversamente</p><p>proporcionais.</p><p>- Quanto mais o tempo passa (↑), mais piscinas podemos encher (↑) – diretamente proporcionais.</p><p>10</p><p>Exercício 4 – Em uma fábrica de bolachas, 3 máquinas produzem 9000 bolachas em 12 dias.</p><p>Quantos dias são necessários para que 8 máquinas iguais produzam 12000 bolachas? Considere as</p><p>horas de trabalho como iguais.</p><p>Número de máquinas Número de bolachas Número de dias</p><p>3 9.000 12</p><p>8 12.000 x</p><p>- Quanto mais dias temos (↑), menos máquinas são necessárias (↓) – inversamente proporcionais.</p><p>- Quanto mais dias temos (↑), mais bolachas são feitas (↑) – diretamente proporcionais.</p><p>11</p><p>Regra de três simples</p><p>Como calcular a regra de três simples?</p><p>Grandezas diretamente proporcionais</p><p>Grandezas inversamente proporcionais</p><p>Como calcular porcentagem com regra de três?</p><p>Exemplo</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>Regra de três composta</p><p>Exemplo 1</p><p>Exemplo 2</p><p>Exercícios resolvidos</p>