Ensino de Matemática: Métodos e Conteúdos

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<p>Débora Cristiane Barbosa Kirnev</p><p>Keila Tatiana Boni</p><p>Diego Barboza Prestes</p><p>Hallynnee Héllenn Pires Rossetto</p><p>Ensino de matemática</p><p>U</p><p>N</p><p>O</p><p>PA</p><p>R</p><p>EN</p><p>SIN</p><p>O</p><p>D</p><p>E M</p><p>ATEM</p><p>ÁTIC</p><p>A</p><p>Ensino de</p><p>matemática</p><p>Débora Cristiane Barbosa Kirnev</p><p>Keila Tatiana Boni</p><p>Diego Barboza Prestes</p><p>Hallynnee Héllenn Pires Rossetto</p><p>Ensino de matemática</p><p>Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)</p><p>Kirnev, Débora Cristiane Barbosa</p><p>ISBN 978-85-522-0324-7</p><p>1. Matemática. I. Boni, Keila Tatiane. II. Prestes, Diego</p><p>Barboza. III. Rossetto, Hallynnee Héllenn Pires. IV. Título.</p><p>CDD 510</p><p>Keila Tatiana Boni, Diego Barboza Prestes, Hallynnee Héllenn</p><p>Pires Rossetto. – Londrina : Editora e Distribuidora</p><p>Educacional S.A., 2018.</p><p>176 p.</p><p>K59p Ensino de matemática / Débora Cristiane Barbosa Kirnev</p><p>© 2018 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.</p><p>Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer</p><p>modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo</p><p>de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e</p><p>Distribuidora Educacional S.A.</p><p>Presidente</p><p>Rodrigo Galindo</p><p>Vice-Presidente Acadêmico de Graduação</p><p>Mário Ghio Júnior</p><p>Conselho Acadêmico</p><p>Dieter S. S. Paiva</p><p>Camila Cardoso Rotella</p><p>Emanuel Santana</p><p>Alberto S. Santana</p><p>Lidiane Cristina Vivaldini Olo</p><p>Cristiane Lisandra Danna</p><p>Danielly Nunes Andrade Noé</p><p>Ana Lucia Jankovic Barduchi</p><p>Grasiele Aparecida Lourenço</p><p>Paulo Heraldo Costa do Valle</p><p>Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro</p><p>Revisora Técnica</p><p>Júnior Francisco Dias</p><p>Editorial</p><p>Adilson Braga Fontes</p><p>André Augusto de Andrade Ramos</p><p>Cristiane Lisandra Danna</p><p>Diogo Ribeiro Garcia</p><p>Emanuel Santana</p><p>Erick Silva Griep</p><p>Lidiane Cristina Vivaldini Olo</p><p>2018</p><p>Editora e Distribuidora Educacional S.A.</p><p>Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza</p><p>CEP: 86041-100 — Londrina — PR</p><p>e-mail: editora.educacional@kroton.com.br</p><p>Homepage: http://www.kroton.com.br/</p><p>Unidade 1 | Sistema de numeração decimal</p><p>Seção 1 - Ideias associadas ao Sistema de Numeração Decimal</p><p>1.1 | Um pouco de história</p><p>1.2 | Características do Sistema de Numeração Decimal</p><p>1.3 | O lúdico e o Sistema de Numeração Decimal</p><p>Seção 2 - As operações aritméticas</p><p>2.1 | As operações</p><p>2.2 | A operação de adição</p><p>2.3 | A operação de subtração</p><p>2.4 | A operação de multiplicação</p><p>2.5 | A operação de divisão</p><p>Unidade 3 | Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da</p><p>matemática</p><p>Seção 1 - Conteúdos e modos de pensar da Matemática: o que ensinar e</p><p>o que aprender?</p><p>1.1 | Pensamento Aritmético</p><p>1.2 | Pensamento Algébrico</p><p>1.3 | Pensamento Geométrico</p><p>Seção 2 - Alternativas metodológicas da Educação Matemática: como</p><p>ensinar e como aprender?</p><p>2.1 | Materiais manipuláveis como recurso didático</p><p>2.2 | Metodologias do ensino da Matemática nos anos iniciais</p><p>2.2.1 | Resolução de Problemas</p><p>2.2.2 | História da Matemática</p><p>2.2.3 | Investigação Matemática</p><p>2.2.4 | Modelagem Matemática</p><p>2.2.5 | Jogos</p><p>2.2.6 | Tecnologias</p><p>2.2.7 | Etnomatemática</p><p>Unidade 2 | Documentos oficiais brasileiros</p><p>Seção 1 - Processo de ensino e aprendizagem da Matemática</p><p>1.1 | Como se desenvolve o processo de ensino e aprendizagem da Matemática?</p><p>Seção 2 - Metodologias e conteúdos estruturantes para o Ensino da</p><p>Matemática</p><p>2.1 | Metodologias e tendências de ensino, segundo os PCN</p><p>2.1.1 | O recurso à resolução de problemas</p><p>2.1.2 | O recurso à história da Matemática</p><p>2.1.3 | O recurso às tecnologias da informação</p><p>2.1.4 | O recurso aos jogos</p><p>2.2 | Conteúdos estruturantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental</p><p>Sumário</p><p>10</p><p>13</p><p>28</p><p>31</p><p>36</p><p>40</p><p>44</p><p>61</p><p>74</p><p>75</p><p>79</p><p>79</p><p>82</p><p>96</p><p>98</p><p>114</p><p>118</p><p>118</p><p>120</p><p>121</p><p>124</p><p>126</p><p>128</p><p>130</p><p>103</p><p>78</p><p>21</p><p>10</p><p>27</p><p>61</p><p>74</p><p>96</p><p>114</p><p>7</p><p>57</p><p>93</p><p>Unidade 4 | O trabalho didático do professor que ensina matemática</p><p>Seção 1 - A didática e o planejamento na formação do professor que</p><p>ensina Matemática</p><p>1.1 | A didática na arte de ensinar</p><p>1.2 | O planejamento como guia</p><p>Seção 2 - A didática e o planejamento na formação do professor que</p><p>ensina Matemática</p><p>2.1 | A avaliação</p><p>2.1.1 | Tipos de avaliação</p><p>2.1.2 | Instrumentos de avaliação</p><p>144</p><p>144</p><p>155</p><p>158</p><p>161</p><p>147</p><p>155</p><p>141</p><p>Apresentação</p><p>Ser professor é um desafio, assim como pensar no que podemos</p><p>fazer como professores, para levar nossos alunos a aprender. Este</p><p>material apresenta importantes informações para você, futuro professor</p><p>de Matemática dos anos iniciais, além de conceitos relevantes para o</p><p>processo de construção do conhecimento.</p><p>No decorrer deste aprenderemos a respeito da organização do</p><p>ensino da Matemática, tratando a respeito da importância dos principais</p><p>temas que devem ser discutidos no decorrer da formação do professor.</p><p>Na Unidade 1, abordaremos o desenvolvimento do sistema de</p><p>numeração decimal e alguns meios de trabalhar características desse</p><p>sistema utilizando uma abordagem lúdica. Além disso, também</p><p>mostraremos algumas maneiras de efetuar cada uma das quatro</p><p>operações fundamentais da Matemática.</p><p>Na unidade 2, trataremos do documento oficial brasileiro que norteia</p><p>o ensino na Educação Básica: os Parâmetros Curriculares Nacionais dos</p><p>anos iniciais do Ensino Fundamental. Ainda, será abordado o papel do</p><p>professor e aspectos a respeito do processo de ensino e aprendizagem</p><p>da Matemática.</p><p>Na unidade 3, destacaremos discussões a respeito de conteúdos</p><p>matemáticos que precisam ser contemplados nos anos iniciais do</p><p>Ensino Fundamental e as principais tendências metodológicas para</p><p>o ensino e a aprendizagem desses conteúdos, como por exemplo:</p><p>a resolução de problemas, a investigação matemática, a modelagem</p><p>matemática, os jogos, a história da matemática, a etnomatemática e as</p><p>tecnologias.</p><p>Na Unidade 4, pensaremos a respeito do trabalho didático do</p><p>professor que ensina Matemática. Falaremos de didática, planejamento</p><p>e avaliação. Serão abordados os itens que contém um plano de aula.</p><p>Outro ponto apresentado é a respeito da avaliação: o que é; três tipos</p><p>de avaliação e alguns instrumentos de avaliação.</p><p>Bons estudos!</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 7</p><p>Unidade 1</p><p>Sistema de numeração</p><p>decimal</p><p>Esta unidade tem por objetivo de aprendizagem apresentar uma</p><p>introdução à história dos sistemas de numeração, as características</p><p>do Sistema de Numeração Decimal, a abordagem de algumas</p><p>dessas características por meio de jogos, o conceito das operações</p><p>aritméticas, as operações fundamentais da Matemática e alguns</p><p>meios de efetuar tais operações.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Nesta seção, será apresentado inicialmente um breve histórico a respeito do</p><p>sistema de numeração dos antigos egípcios, do sistema de numeração romano</p><p>e do Sistema de Numeração Decimal, seguido pelas características deste último e</p><p>pela associação de tarefas envolvendo aspectos lúdicos para a compreensão de</p><p>certas características desse sistema.</p><p>Seção 1 | Ideias associadas ao Sistema de Numeração Decimal</p><p>Esta seção apresenta o conceito das operações aritméticas, seguida das ideias</p><p>que podem estar relacionadas às operações fundamentais da Matemática (adição,</p><p>subtração, multiplicação e divisão) e finaliza-se com uma mostra de diferentes</p><p>maneiras de realizar cada uma das operações fundamentais.</p><p>Seção 2 | As operações aritméticas</p><p>Diego Barboza Prestes</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal8</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 9</p><p>Introdução à unidade</p><p>Nesta unidade, apresentaremos o desenvolvimento do sistema</p><p>de numeração decimal e alguns meios de trabalhar características</p><p>desse sistema utilizando uma abordagem lúdica. Além disso, também</p><p>mostraremos algumas maneiras de efetuar cada uma das quatro</p><p>operações fundamentais da Matemática.</p><p>Na primeira seção, apresentaremos aspectos históricos relacionados</p><p>ao processo de contagem e ao desenvolvimento de alguns sistemas de</p><p>numeração de antigas civilizações, com ênfase</p><p>conhecidos como hieróglifos, que indicam potências de</p><p>base dez com os quais era possível representar números por meio de</p><p>sua composição.</p><p>• O sistema de numeração romano em que são utilizados</p><p>símbolos para indicar alguns múltiplos de cinco e alguns múltiplos de</p><p>dez com os quais se representam números por meio de composição,</p><p>respeitando o valor posicional dos símbolos.</p><p>• O Sistema de Numeração Decimal e suas características,</p><p>isto é, a existência de dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) com os</p><p>quais é possível representar todos os números, a utilização da base</p><p>dez (agrupamentos de dez em dez), o algarismo zero para representar</p><p>ausência de quantidade, o valor posicional dos algarismos e a</p><p>decomposição dos numerais.</p><p>• Algumas maneiras de decompor um numeral e sua relação</p><p>com a realização de cálculo mental.</p><p>• Diferentes maneiras de decompor os numerais e sua utilização</p><p>como um recurso para auxiliar em cálculos mentais.</p><p>• O aspecto lúdico no ensino do Sistema de Numeração</p><p>Decimal e o exemplo de dois jogos: um que pode ser utilizado para</p><p>trabalhar o reagrupamento de dez em dez e outro para explorar a ideia</p><p>de valor posicional dos algarismos na escrita dos números.</p><p>• A diferença entre as ideias que envolvem as operações</p><p>aritméticas e a contagem, que podem ser identificadas nos</p><p>procedimentos desenvolvidos por alunos dos primeiros anos do Ensino</p><p>Fundamental.</p><p>• As operações fundamentais da Matemática (adição, subtração,</p><p>multiplicação e divisão) e as ideias relacionadas a cada uma delas.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 51</p><p>• O conceito da adição, subtração, multiplicação e divisão e</p><p>algumas maneiras de efetuar essas operações por meio de algoritmos</p><p>que podem ser trabalhados com os alunos dos primeiros anos do</p><p>Ensino Fundamental.</p><p>Para concluir o estudo da unidade</p><p>Nesta unidade foi apresentado o Sistema de Numeração Decimal,</p><p>um dos fundamentos essenciais para a aprendizagem das operações</p><p>e de diversos outros campos da Matemática, e suas operações</p><p>fundamentais que são amplamente abordadas nos primeiros anos</p><p>do Ensino Fundamental, nível de ensino em que você poderá atuar.</p><p>Esses e outros assuntos não foram esgotados nesta unidade, por isso,</p><p>é de suma importância a busca por outras fontes a respeito desses</p><p>temas para aprofundar seus conhecimentos. Uma dica é iniciar esses</p><p>estudos complementares por meio da bibliografia consultada para</p><p>a elaboração desta unidade, na qual você encontrará mais detalhes</p><p>tanto de cunho histórico quanto de cunho técnico e procedimental a</p><p>respeito dos temas apresentados nesta unidade e outros assuntos que</p><p>podem ser úteis para sua formação.</p><p>Espera-se que com o estudo realizado nesta unidade você reflita a</p><p>respeito da maneira que o ensino de Matemática, mais especificamente</p><p>o ensino do Sistema de Numeração Decimal e das operações</p><p>fundamentais da Matemática ocorrem nos primeiros anos do Ensino</p><p>Fundamental, para que você tenha a possibilidade de levar um ensino</p><p>mais significativo aos seus alunos.</p><p>Para finalizar, lembramos que é muito importante que você acesse</p><p>os fóruns de discussão da disciplina e compartilhe suas dúvidas e</p><p>conhecimentos, pois essa troca de ideias que ocorre nos fóruns e em</p><p>outros ambientes pode auxiliar na construção de seu conhecimento e</p><p>dos demais envolvidos.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal52</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. No sistema de numeração romano, os símbolos V, L e D podem aparecer</p><p>apenas uma vez na composição da representação de um número, enquanto</p><p>os símbolos I, X, C e M podem aparecer por até três vezes seguidas.</p><p>Geralmente, nos casos em que um símbolo de menor valor está à esquerda</p><p>de um símbolo de maior valor, como na representação do número quatro</p><p>(IV), utiliza-se o princípio subtrativo.</p><p>A utilização do princípio subtrativo no sistema de numeração romano,</p><p>diz respeito a qual das características também presente no Sistema de</p><p>Numeração Decimal?</p><p>a) Possuir base 10.</p><p>b) Possuir apenas 10 símbolos.</p><p>c) Valor posicional dos símbolos.</p><p>d) O algarismo zero representar ausência de quantidade.</p><p>e) Decompor numerais por meio do princípio aditivo e multiplicativo.</p><p>2. Assim como outros sistemas de numeração, como o sistema de</p><p>numeração dos antigos egípcios e o sistema de numeração romano, o</p><p>Sistema de Numeração Decimal também possui algumas características.</p><p>Com relação às características do Sistema de Numeração Decimal, analise</p><p>as sentenças e classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).</p><p>( ) Utiliza a base dez, por isso é chamado de decimal.</p><p>( ) O algarismo zero representa ausência de quantidade.</p><p>( ) Possui apenas dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).</p><p>( ) A posição dos algarismos não faz diferença na representação de um</p><p>número.</p><p>Agora, indique a alternativa que apresenta a sequência correta.</p><p>a) V – V – V – V</p><p>b) F – V – V – V</p><p>c) V – F – V – V</p><p>d) V – V – F – V</p><p>e) V – V – V – F</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 53</p><p>3. No ato de brincar, podemos encontrar tanto a presença do conhecimento</p><p>científico quanto do conhecimento espontâneo. Observar e trabalhar com</p><p>o brincar permite que o professor identifique as relações que a criança</p><p>estabelece entre esses dois tipos de conhecimento, possibilitando verificar</p><p>se esses conhecimentos estão alinhados, se existe uma discrepância ou</p><p>descompasso entre eles e, dessa forma, poder auxiliar o aluno na formação</p><p>do conceito (BRASIL, 2014, p. 38).</p><p>No entanto, é extremamente importante trabalhar com brincadeiras e</p><p>jogos:</p><p>a) abstratos.</p><p>b) para passar o tempo.</p><p>c) para manter as crianças ocupadas.</p><p>d) tendo os objetivos bem claros e definidos.</p><p>e) de qualquer natureza, inclusive jogos de azar.</p><p>4. Quando uma pessoa considera uma quantidade como base e acrescenta</p><p>outra quantidade para determinar o resultado, ela está realizando uma</p><p>operação matemática, a adição. Caso essa pessoa volte a contar desde o</p><p>primeiro elemento para determinar o resultado ela estará contando e não</p><p>realizando uma adição.</p><p>Nessa perspectiva o que vem a ser uma operação matemática?</p><p>a) Uma contagem.</p><p>b) Uma ação conservadora que pode ser desfeita.</p><p>c) Uma ação transformadora que pode ser desfeita.</p><p>d) Uma ação conservadora que não pode ser desfeita.</p><p>e) Uma ação transformadora que não pode ser desfeita.</p><p>5. Considere a seguinte situação:</p><p>Reservamos uma mesa com 15 lugares para o almoço, mas apenas 11</p><p>pessoas compareceram. Quantos lugares ficaram vazios?</p><p>Sabendo que as operações fundamentais da Matemática podem estar</p><p>relacionadas com ideias diferentes, indique a alternativa que apresenta a</p><p>operação e a ideia relacionada à situação anterior.</p><p>a) Subtração – completar.</p><p>b) Subtração – comparar.</p><p>c) Adição – acrescentar.</p><p>d) Subtração – tirar.</p><p>e) Adição – juntar.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal54</p><p>Referências</p><p>BORIN, Julia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de</p><p>matemática. 4.ed. São Paulo: IME-USP, 2002.</p><p>BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:</p><p>matemática. Ensino de primeira à quarta série. Brasília: MEC/SEF, 1997.</p><p>______. Elementos conceituais e metodológicos para definição dos direitos de</p><p>aprendizagem e desenvolvimento do ciclo de alfabetização (1o, 2o e 3o anos) do</p><p>Ensino Fundamental. Brasília: Ministério da Educação, 2012.</p><p>______. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto</p><p>Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Construção do Sistema de Numeração</p><p>Decimal. Brasília: MEC, SEB, 2014.</p><p>CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 5. ed. Lisboa: Gradiva,</p><p>2003.</p><p>CARDOSO, Luiz Fernandes. Dicionário de matemática: edição de bolso. Rio de Janeiro:</p><p>Lexikon Editora Digital; Documenta Histórica Editora; Porto Alegre: L&PM 2007.</p><p>DIAS, Marisa da Silva; MORETTI, Vanessa Dias. Números e operações: elementos lógico-</p><p>históricos para atividade de ensino. Curitiba: InterSaberes, 2012. (Matemática em Sala de</p><p>Aula).</p><p>EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues.</p><p>Campinas: Editora da Unicamp, 2004.</p><p>IFRAH, Georges. Os números:</p><p>história de uma grande invenção. 3. ed. Tradução de Stella</p><p>Maria de Freitas Senra. São Paulo: Globo, 1989.</p><p>______. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos</p><p>números e pelo cálculo. Tradução de Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de</p><p>Janeiro: Nova Fronteira, 1997. Tomo 1.</p><p>KASNER, Edward; NEWMAN, James. Matemática e imaginação. Trad. Jorge Fortes. Rio</p><p>de Janeiro: Zahar, 1968.</p><p>LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. 8. ed. Rio de Janeiro: Sociedade</p><p>Brasileira de Matemática, 2005. v. 1. (Coleção do Professor de Matemática)</p><p>MENDES, Iran Abreu. Tendências metodológicas no ensino de matemática. Belém:</p><p>EdUFPA, 2008.</p><p>MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campo</p><p>da educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Tendências em Educação</p><p>Matemática).</p><p>RAMOS, Luzia Faraco. Conversas sobre números, ações e operações: uma proposta</p><p>criativa para o ensino da matemática nos primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.</p><p>(Educação em ação).</p><p>ROONEY, Anne. A História da Matemática: desde a criação das pirâmides até a explosão</p><p>do infinito. Tradução de Mario Fecchio. São Paulo: M. Books do Brasil, Editora Ltda, 2012.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 55</p><p>VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Ensino da matemática: pedagogia. São Paulo: Pearson</p><p>Prentice Hall, 2009.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal56</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 57</p><p>Unidade 2</p><p>Documentos oficiais</p><p>brasileiros</p><p>Nesta unidade, temos como objetivo abordar os principais</p><p>tópicos tratados nos Parâmetros Curriculares Nacionais dos anos</p><p>iniciais do Ensino Fundamental, sendo este o principal documento</p><p>oficial brasileiro norteador do ensino de Matemática na Educação</p><p>Básica.</p><p>Ao final desta unidade, esperamos que você compreenda</p><p>os aspectos relevantes abordados sobre o processo de ensino e</p><p>aprendizagem da matemática e o papel do professor.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Nesta seção, abordaremos os tópicos tratados nos PCN a respeito do processo</p><p>de ensino e aprendizagem da Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental</p><p>e temas relacionados a eles, destacando pontos relevantes para o ensino, como a</p><p>relação professor-aluno.</p><p>Seção 1 | Processo de ensino e aprendizagem da Matemática</p><p>Nesta seção, trataremos das diferentes metodologias aplicadas nos anos iniciais</p><p>do Ensino Fundamental, baseadas nos PCN, bem como suas caracterizações,</p><p>objetivos e apontamentos relevantes para a abordagem destes em sala de aula.</p><p>Seção 2 | Metodologias e conteúdos estruturantes para o Ensino da</p><p>Matemática</p><p>Debora Cristiane Barbosa Kirnev</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros58</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 59</p><p>Introdução à unidade</p><p>Para complementar e atualizar o exposto nos Parâmetros Curriculares</p><p>Nacionais recorremos ao publicado na legislação pertinente. Segundo</p><p>a Lei nº 11. 114, de 16 de maio de 2005, há obrigatoriedade da matrícula</p><p>de crianças a partir dos seis anos completos, ingressando no Ensino</p><p>Fundamental. Um complemento desta, a Lei nº 11.274, de 6 de fevereiro</p><p>de 2006, ampliou o Ensino Fundamental para nove anos, no qual trata</p><p>da matrícula de crianças de seis anos, estabelecendo um prazo de</p><p>implantação para a lei. Por meio dessa regulamentação temos que o</p><p>Ensino Fundamental regular ficou organizado da seguinte forma:</p><p>Nesta unidade, consideramos como documento oficial norteador</p><p>para o ensino da Matemática no Ensino Fundamental os Parâmetros</p><p>Curriculares Nacionais (PCN) direcionado para os anos iniciais. No</p><p>decorrer da unidade, abrangeremos os aspectos mais relevantes desse</p><p>documento.</p><p>Os PCN indicam diversos objetivos para o Ensino Fundamental, os</p><p>quais apontam que os estudantes:</p><p>• Compreendam o que é cidadania juntamente com a</p><p>participação social e política, para que, desse modo, exerçam os</p><p>direitos e deveres políticos, civis e sociais, promovendo atitudes de</p><p>solidariedade, cooperação, opondo-se à injustiças, promovendo o</p><p>respeito ao próximo e a si mesmo.</p><p>• Sejam críticos, responsáveis e construtíveis nas diversas</p><p>situações sociais, recorrendo ao diálogo como meio para lidar com</p><p>conflitos e tomadas de decisões coletivas.</p><p>• Conheçam as características fundamentais do país em suas</p><p>dimensões sociais, materiais e culturais possibilitando a construção</p><p>progressiva da noção de identidade nacional e pessoal, além de se</p><p>sentirem pertencentes.</p><p>Fonte: dos autores.</p><p>Tabela 2.1 | Classificação etária do Ensino Fundamental</p><p>Ensino Fundamental Faixa etária</p><p>Anos iniciais De seis a dez anos</p><p>Anos finais De onze a quatorze anos</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros60</p><p>• Conheçam e valorizem a pluralidade do patrimônio</p><p>sociocultural brasileiro, como também os de outros povos e nações,</p><p>sendo contrários a qualquer discriminação baseada em diferenças</p><p>culturais, de classe social, de crenças, de sexo, de etnia, ou outras</p><p>características.</p><p>• Percebam que são integrantes, dependentes e transformadores</p><p>do ambiente, compreendendo seus elementos e respectivas interações,</p><p>agregando contribuições para melhoria do meio ambiente.</p><p>• Utilizem diversas linguagens, como verbal, matemática, gráfica,</p><p>plástica e corporal, para produção, expressão e comunicação de suas</p><p>ideias.</p><p>• Sejam capazes de usar diversas fontes de informação e</p><p>recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos.</p><p>• Questionem a realidade, formulem e resolvam problemas</p><p>por meio do pensamento lógico, da criatividade, da intuição e</p><p>da capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e</p><p>verificando sua adequação.</p><p>Na primeira seção, trataremos de tópicos relativos ao processo</p><p>de ensino e aprendizagem da Matemática, e uma vez discutidos,</p><p>abordaremos, na segunda seção, as metodologias e conteúdos</p><p>estruturantes para os anos iniciais do Ensino Fundamental.</p><p>Aprofunde os conhecimentos adquiridos aproveitando ao máximo</p><p>o conteúdo disponibilizado neste material.</p><p>Bons estudos!</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 61</p><p>Seção 1</p><p>Processo de ensino e aprendizagem da Matemática</p><p>Introdução à seção</p><p>Nesta seção, abordaremos os tópicos essenciais dos PCN sobre o</p><p>processo de ensino e aprendizagem, buscando ccomplementações</p><p>em aportes teóricos que corroboram com as mesmas ideias tratadas</p><p>nesse documento.</p><p>1.1. Como se desenvolve o processo de ensino e aprendizagem</p><p>da Matemática?</p><p>Segundo Boyer (1974) e Eves (1995), desde a antiguidade temos</p><p>fatos históricos que tratam da Matemática aplicada à resolução de</p><p>problemas cotidianos. Segundo Mendes:</p><p>O homem, desde os primórdios, encontrou-se envolvido</p><p>com Matemática procurando atender às necessidades</p><p>das suas condições de vida iniciais, ele contava, media e</p><p>calculava mesmo sem possuir ainda uma formalização</p><p>de conceitos matemáticos. Tais atividades longe ainda</p><p>estavam de reflexões científicas ou operações abstratas,</p><p>em sua origem, a matemática constitui-se a partir de uma</p><p>coleção de regras isoladas, decorrentes da experiência</p><p>e diretamente conectadas com a vida diária, não se</p><p>tratava, portanto, de um sistema logicamente unificado,</p><p>no entanto, agindo e operando sobre o meio em que</p><p>vivia, o homem obteve seus primeiros conhecimentos a</p><p>respeito de formas e grandezas e a partir deles passou a</p><p>estabelecer diversas relações dentro da realidade que o</p><p>cercava, à medida que isso acontecia se fazia sua própria</p><p>matemática. (MENDES, 2002, p. 68).</p><p>No decorrer do tempo, foram surgindo teorias e o corpo de</p><p>conhecimento Matemático foi se constituindo. Podemos notar que o</p><p>conhecimento matemático abrange características como: “abstração,</p><p>precisão, rigor lógico, caráter irrefutável de suas conclusões, bem</p><p>como o extenso campo de suas aplicações” (PCN, 1997, p. 23).</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros62</p><p>Em Matemática, lidamos com diversos conceitos abstratos e o</p><p>estabelecimento de relações. No caso do processo de abstração</p><p>matemática, destacamos o estabelecimento de relações quantitativas</p><p>e de formas espaciais. Segundo Dreyfus (1991), para abstrair-se um</p><p>conceito matemático, há processos</p><p>mentais interagindo entre si,</p><p>como os de generalizar e sintetizar. Este autor aponta que, generalizar</p><p>é derivar ou induzir a partir de indicações, para que desse modo,</p><p>possa identificar pontos em comum, e expandir domínios de validade.</p><p>Quanto a sintetizar, podemos combinar ou compor partes para assim</p><p>constituir um todo. Nesse sentido, o autor aponta que a flexibilidade</p><p>desses processos mentais conduz à abstração e possibilita,</p><p>[...] o potencial para generalização e sintetização; e vice-</p><p>versa, torna-se sua finalidade, principalmente a partir desse</p><p>potencial de generalização e de síntese. A natureza do</p><p>processo mental de abstração é, contudo, muito diferente</p><p>da generalização e do de síntese. Abstrair é antes de tudo</p><p>um processo de construção - a construção de estruturas</p><p>mentais a partir de estruturas matemáticas, ou seja, de</p><p>propriedades e relações entre objetos matemáticos. Este</p><p>processo é dependente do isolamento de propriedades</p><p>adequadas e estabelecimento de relações. Requer a</p><p>capacidade de deslocar a atenção dos objetos em si a</p><p>estrutura das suas propriedades e relações. (DREYFUS,</p><p>1991, p. 37)</p><p>Em muitos casos, para desenvolvermos o processo de abstração</p><p>é preciso recorrer a modelos e analogias para justificarmos teoremas</p><p>e proposições que são demonstrados formalmente por meio do</p><p>raciocínio lógico dedutivo. Entretanto, apesar da natureza abstrata</p><p>da Matemática, muitos de seus resultados podem ser associados a</p><p>situações cotidianas, além de aplicados em outras ciências, como:</p><p>nos meios de comunicação, nas engenharias, na física, dentre outras</p><p>áreas das exatas, humanas, sociais e aplicadas. Isso ocorre devido aos</p><p>conceitos, linguagem e atitudes que o aprendizado da Matemática</p><p>pode promover.</p><p>Como vimos, nos primórdios do desenvolvimento humano, cada</p><p>povo desenvolvia o conhecimento Matemático a partir de experiências</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 63</p><p>práticas, ou seja, havia o empirismo no desenvolvimento das resoluções</p><p>de problemas, além do uso de uma linguagem específica de cada</p><p>civilização. Com o avanço no desenvolvimento matemático, por volta</p><p>do século XVII, começa um processo reconstrução dos conhecimentos</p><p>matemáticos, fundamentados por meio da Lógica Formal. Tópicos</p><p>como a Aritmética e a Geometria foram se correlacionando juntamente</p><p>com outros que estavam se desenvolvendo.</p><p>Tais desenvolvimentos, juntamente com a Álgebra, culminaram em</p><p>novas áreas como a Geometria Analítica, a Geometria Projetiva, Teoria</p><p>de Conjuntos, a Lógica Matemática, a Álgebra Linear, entre outros.</p><p>Como podemos notar, o que conhecemos de Matemática é</p><p>resultado de um processo de desenvolvimento humano ao longo dos</p><p>tempos, no qual foram empregadas “a imaginação, os contraexemplos,</p><p>as conjecturas, as críticas, os erros e os acertos”. No ensino da</p><p>Matemática, em geral, esse acúmulo é apresentado desconexo, de</p><p>forma atemporal, privilegiando apenas os resultados e não os processos</p><p>aplicados no desenvolvimento desse conteúdo.</p><p>Nessa forma de abordagem, temos uma tendência para a</p><p>utilização do ensino tradicional no qual ocorre o processo inverso do</p><p>desenvolvimento histórico, pois primeiramente se introduz o conteúdo</p><p>a ser ensinado para posteriormente atribuir significação a ele, e disso</p><p>emergirem as formas de pensamento. Entretanto, a Matemática não</p><p>deve ser posta de modo pronto e acabado, ela se desenvolve “mediante</p><p>um processo conflitivo entre muitos elementos contrastantes: o</p><p>concreto e o abstrato, o particular e o geral, o formal e o informal, o</p><p>finito e o infinito, o discreto e o contínuo”.</p><p>Nesse sentido, temos como papel fundamental da Matemática no</p><p>Ensino Fundamental explorar o</p><p>campo de relações, regularidades e coerências que</p><p>despertam a curiosidade e instigam a capacidade de</p><p>generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a</p><p>estruturação do pensamento e o desenvolvimento do</p><p>raciocínio lógico</p><p>Ao observarmos ao nosso redor podemos verificar processos</p><p>simples como: contar e comparar quantidades, desenvolver cálculos</p><p>aritméticos, nos quais podemos explorar e conduzir o aluno a</p><p>estabelecer relações entre os conhecimentos Matemáticos existentes</p><p>e o conhecimento do aluno a ser desenvolvido, ou seja, devemos</p><p>explorar todos os recursos que favoreçam a formação de capacidades</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros64</p><p>intelectuais promovendo, assim, o desenvolvimento cognitivo por</p><p>meio de raciocínios dedutivos, resolução de problemas, dentre outros</p><p>contextos nos quais a Matemática se faz presente.</p><p>Desse modo, podemos entender que a Matemática desempenha</p><p>um papel fundamental na formação básica do cidadão, a aprendizagem</p><p>de conhecimentos que favorecem o desenvolvimento humano,</p><p>a inserção das pessoas no mercado trabalho e contribuindo nas</p><p>relações sociais e culturais. Integrando dessa forma, diferentes estilos</p><p>de vida, valores, crenças e conhecimentos. Nesse sentido, a área da</p><p>Educação Matemática contribui com investigações que possibilitam</p><p>conhecer e analisar diferentes contextos sobre o processo de ensino e</p><p>aprendizagem da Matemática.</p><p>Para saber mais</p><p>A história da Educação Matemática no Brasil constitui um fato relevante</p><p>a ser estudado para compreender as tendências de ensino da atualidade.</p><p>Para isso recomendamos a leitura do artigo intitulado de "O Movimento</p><p>da Educação Matemática no Brasil: Cinco Décadas de Existência",</p><p>de Fernandes e Menezes. Disponível em: <http://sbhe.org.br/novo/</p><p>congressos/cbhe2/pdfs/Tema2/0204.pdf>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>Essa área do conhecimento investiga, por exemplo, o que os alunos</p><p>possuem de conhecimentos prévios, suas ideias e intuições acerca de</p><p>situações de aprendizagem, possibilitando compreender processos</p><p>como: classificar, ordenar, quantificar e medir.</p><p>Corroborando com o exposto, o currículo de Matemática precisa</p><p>valorizar a pluralidade sociocultural, além de criar condições para que</p><p>o aluno se integre em determinado espaço social se seja agente ativo</p><p>neste. Um exemplo disso é a compreensão e a tomada de decisões ao</p><p>analisar questões políticas e sociais baseadas na leitura e interpretação</p><p>de dados estatísticos, que em muitos casos, são contraditórios. Para se</p><p>avaliar esse tipo de informação é preciso que o aluno saiba realizar os</p><p>cálculos e medidas, como também raciocinar e argumentar sobre as</p><p>informações analisadas.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 65</p><p>Questão para reflexão</p><p>Qual seria a realidade dos currículos das escolas brasileiras, considerando</p><p>a diversidade cultural, social, política e administrativa que preenche a</p><p>atividade escolar nas mais diversas regiões?</p><p>Neste sentido, ao refletir sobre o currículo na formação do</p><p>educando Arroyo afirma que:</p><p>[...] desvendar às crianças e aos adolescentes que as</p><p>ciências estão prenhes de valores e de culturas é uma</p><p>função dos currículos. Aproximando-nos dos conteúdos</p><p>das ciências com essa visão e aproximando os educandos</p><p>dessas linguagens científicas e revelando-lhes que estão</p><p>carregadas de valores de mundo e de visões de ser</p><p>humano, estaremos construindo um currículo a serviço do</p><p>seu direito a uma formação mais plena. (ARROYO, 2007,</p><p>p. 44)</p><p>Diante das conjecturas atuais, com as influências da tecnologia</p><p>e dos meios de comunicação, temos a necessidade de desenvolver</p><p>alunos ativos em seu processo de aprendizagem, ou seja, eles precisam</p><p>aprender a aprender, consigo mesmos e com seus pares. A respeito</p><p>disso, os PCN apontam que,</p><p>novas competências demandam novos conhecimentos:</p><p>o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para</p><p>utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além</p><p>da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos</p><p>de produção, de assimilação rápida de informações,</p><p>resolvendo e propondo problemas em equipe.</p><p>Corroborando com o exposto, temos outros autores que estudam</p><p>sobre o currículo, Candau e Moreira afirmam que o abordado no</p><p>currículo deve promover:</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros66</p><p>[...] experiências escolares que se desdobram em torno</p><p>do conhecimento, em meio</p><p>a relações sociais, e que</p><p>contribuem para a construção das identidades de nossos/</p><p>as estudantes. Currículo associa-se, assim, ao conjunto</p><p>de esforços pedagógicos desenvolvidos com intenções</p><p>educativas. (CANDAU; MOREIRA, 2007, p. 18)</p><p>Nessa perspectiva, o currículo fundamenta e orienta a elaboração</p><p>da organização curricular, na qual está implícita uma série de atitudes e</p><p>valores constituídos por meio de relações sociais e rotinas estabelecidas</p><p>na vivência escolar.</p><p>Outra temática abordada pelos PCN são os temas transversais</p><p>que precisam se inteirar com o ensino da Matemática por meio, por</p><p>exemplo, do desenvolvimento de projetos que proporcionem contextos</p><p>e atribuições de significados para os conteúdos matemáticos. São</p><p>considerados como principais temas transversais: a ética, a orientação</p><p>sexual, o meio ambiente, a saúde e a pluralidade cultural.</p><p>Nesse sentido, ao ensinar Matemática é preciso explorar</p><p>metodologias que promovam o desenvolvimento de estratégias, de</p><p>comprovações, de elaboração de justificativas e argumentos, além do</p><p>senso crítico, do favorecimento da criatividade, da execução do trabalho</p><p>em equipe, da tomada de iniciativa e da autonomia obtida a partir do</p><p>desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer</p><p>e resolver problemas, ou seja, a Matemática deve ser compreendida</p><p>pelo aluno como um conhecimento que pode desenvolver do seu</p><p>raciocínio, a sua capacidade expressiva, a sua sensibilidade estética e</p><p>a sua imaginação.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Que relações podemos estabelecer entre professor, aluno e saber</p><p>matemático?</p><p>Objetivando estabelecer conexões entre a Matemática e conteúdos</p><p>aprendidos, algumas considerações devem ser avaliadas em relação</p><p>ao processo de ensino e aprendizagem, no qual se pressupõe a análise</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 67</p><p>de variáveis envolvidas nesse processo, ou seja, aluno, professor e</p><p>saber matemático, de modo que, em uma reflexão sobre o ensino da</p><p>Matemática é relevante para o professor:</p><p>• identificar as principais características dessa ciência, de</p><p>seus métodos, de suas ramificações e aplicações;</p><p>• conhecer a história de vida dos alunos, sua vivência</p><p>de aprendizagens fundamentais, seus conhecimentos</p><p>informais sobre um dado assunto, suas condições</p><p>sociológicas, psicológicas e culturais;</p><p>• ter clareza de suas próprias concepções sobre a</p><p>Matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as</p><p>escolhas pedagógicas, a definição de objetivos e conteúdos</p><p>de ensino e as formas de avaliação estão intimamente</p><p>ligadas a essas concepções. (PCN, 1997, p. 29).</p><p>fundamental não subestimar a capacidade dos alunos,</p><p>reconhecendo que resolvem problemas, mesmo que</p><p>razoavelmente complexos, lançando mão de seus</p><p>conhecimentos sobre o assunto e buscando estabelecer</p><p>relações entre o já conhecido e o novo (PCN, 1997, p. 29).</p><p>Quanto ao aluno e o saber matemático, as necessidades dos</p><p>dias atuais exigem que ele seja capaz de resolver problemas, tratar</p><p>informações, tomar decisões dentre outras atividades. Entretanto</p><p>as abordagens nos ambientes escolares não convergem para que</p><p>esses resultados sejam obtidos se houver apenas a reprodução</p><p>de procedimentos e da mera acumulação de informações, sem a</p><p>exploração devida dos recursos didáticos. Diante disso é</p><p>Nesse sentido, o significado da atividade matemática depende</p><p>das conexões que ele estabelece entre as outras áreas, sua vivência</p><p>e os diferentes temas matemáticos. Desse modo, pode-se perceber</p><p>princípios gerais, como “o estabelecimento de analogias, indução e</p><p>dedução, estão presentes tanto no trabalho com números e operações</p><p>como em espaço, forma e medidas” (PCN, 1997, p. 29).</p><p>Quanto ao professor e o saber matemático, podemos destacar que</p><p>ao conhecer a história da Matemática, esta pode ser utilizada como</p><p>recurso metodológico para o ensino, propiciando aos alunos conhecer</p><p>o desenvolvimento dos conceitos e conteúdos matemáticos de modo</p><p>construído juntamente com o desenvolvimento da humanidade, ou</p><p>U2 - Documentos ofi ciais brasileiros68</p><p>seja, desmistifi cando a Matemática como uma ciência de verdades</p><p>eternas, mostrando que esta é dinâmica e se desenvolve com o</p><p>aprimoramento de novos conhecimentos.</p><p>O saber científi co a respeito da Matemática, desenvolvido ao</p><p>longo dos tempos, precisa ser transposto aos alunos, para que esta</p><p>seja acessível e os alunos aprendam os conteúdos desenvolvendo o</p><p>pensamento matemático, ou seja, o professor precisa estabelecer</p><p>meios de comunicação direta com os alunos para que a Matemática</p><p>possa ser ensinada, e o saber científi co se torne saber escolar.</p><p>Para exemplifi car o exposto, destacamos que, segundo Moreira e</p><p>David (2005, p. 23), “a ‘validade’ dos resultados matemáticos a serem</p><p>discutidos no processo de escolarização básica não está posta em</p><p>dúvida; ao contrário, já está garantida, a priori, pela própria Matemática</p><p>Acadêmica”, ou seja, os tratamentos aplicados à matemática escolar</p><p>e à matemática acadêmica possuem diferentes aspectos quanto à</p><p>validação de resultados. Nos PCN</p><p>esse processo de transformação do saber científico em</p><p>saber escolar não passa apenas por mudanças de natureza</p><p>epistemológica, mas é influenciado por condições de</p><p>ordem social e cultural que resultam na elaboração de</p><p>saberes intermediários, como aproximações provisórias,</p><p>necessárias e intelectualmente formadoras. É o que se pode</p><p>chamar de contextualização do saber. Por outro lado, um</p><p>conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações</p><p>diferentes daquelas que serviram para lhe dar origem. Para</p><p>que sejam transferíveis a novas situações e generalizados,</p><p>os conhecimentos devem ser descontextualizados,</p><p>para serem contextualizados novamente em outras</p><p>situações. Mesmo no ensino fundamental, espera-se que</p><p>o conhecimento aprendido não fique indissoluvelmente</p><p>vinculado a um contexto concreto e único, mas que possa</p><p>ser generalizado, transferido a outros contextos.</p><p>Para saber mais</p><p>Segue uma sugestão de leitura sobre o desenvolvimento de</p><p>competências e habilidades matemáticas, na qual a autora</p><p>conceitua a alfabetização matemática e os índices de alfabetismo da</p><p>U2 - Documentos ofi ciais brasileiros 69</p><p>população adulta brasileira, por meio de um resumo do PISA sobre o</p><p>desenvolvimento de atividades matemáticas. Disponível em: <http://</p><p>www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc07_p1.pdf>.</p><p>Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>Quanto às relações professor-aluno e aluno-aluno, há um estigma</p><p>de que aprender matemática não é uma tarefa fácil, mas precisamos</p><p>mudar isso e inovar o ensino, um modo é demonstrando a importância</p><p>dessa área do conhecimento em aplicações cotidianas.</p><p>Já é sabido que no processo de ensino da Matemática</p><p>encontramos alunos e professores com difi culdades relacionadas</p><p>ao desenvolvimento de atividades matemáticas, em muitos casos,</p><p>o aluno não compreende o que da matemática lhe é ensinado, e</p><p>ainda, há casos em que isso implica em reprovação na disciplina, ou</p><p>mesmo que seja aprovado, o aluno acumula defasagens de conteúdos</p><p>que prejudicarão a etapa seguinte. Nessas circunstâncias, cabe ao</p><p>professor esgotar todas as possibilidades de intervenção para favorecer</p><p>a aprendizagem dos alunos, para isso ele precisa de estratégias e</p><p>procedimentos para a sua prática de sala de aula.</p><p>Investigações na área da Educação Matemática apontam que</p><p>em diversas escolas brasileiras é aplicado o ensino tradicional. Nesse</p><p>modelo, há, necessariamente, a exposição do conhecimento pelo</p><p>professor que geralmente expõe o que acredita ser importante em</p><p>sua área de conhecimento. É papel do aluno realizar suas anotações</p><p>e resolver exercícios aplicando um modelo de solução que foi</p><p>apresentado pelo professor. Nessa abordagem, mesmo que se utilizem</p><p>outros recursos, há prioritariamente a transferência de informação.</p><p>D’Ambrósio (1989) elenca alguns aspectos dessas práticas,</p><p>evidenciados por meio de pesquisas:</p><p>• Os alunos passam a acreditar que a aprendizagem da matemática</p><p>se dá por meio de um acúmulo de fórmulas e algoritmos.</p><p>• A matemática</p><p>algo que não se pode duvidar ou questionar, desse</p><p>modo, os alunos passam a supervalorizar o potencial da matemática</p><p>formal, desvinculando o conhecimento matemático de situações reais.</p><p>Contrapondo essa abordagem tradicional, outra forma de mediação</p><p>do professor é promover refl exões e atribuir signifi cados por meio de</p><p>atividades direcionadas para que não haja apenas uma aprendizagem</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros70</p><p>mecânica e sim uma reflexão a respeito do que se está aprendendo.</p><p>A respeito disso, o desenvolvimento do raciocínio matemático deve</p><p>ocorrer de modo dinâmico por meio de estímulos ao aluno para</p><p>aprender e construir evolutivamente o seu aprendizado superando,</p><p>assim, as dificuldades ocorridas durante a aprendizagem.</p><p>Para mediar a aprendizagem, é necessário planejar e traçar</p><p>estratégias metodológicas e utiliza todo o seu processo de aprendizado,</p><p>planejamentos e avaliações continuadas como uma forma de buscar</p><p>os melhores resultados no desenvolvimento de atividades matemáticas.</p><p>Cabe ao professor fornecer as informações necessárias para que o</p><p>aluno tenha condições de construir seu próprio aprendizado. Deve ser</p><p>o principal objetivo, proporcionar ao aluno um interesse maior pelo que</p><p>ele está aprendendo, promovendo a construção de um aluno reflexivo</p><p>em todo o seu processo de aprendizado, motivando-o, de modo que</p><p>as dificuldades encontradas se tornem desafiadoras.</p><p>As situações de conflito podem encorajar a criança a</p><p>colocar as coisas em relação ao conteúdo aplicado sendo</p><p>ele de forma lúdica. O que proporcionará ao aluno uma</p><p>facilidade de aprendizagem na qual não irá mais esquecer</p><p>do que foi aplicado, assimilando o que será usado na</p><p>vida cotidiana. As crianças que são encorajadas a tomar</p><p>decisões, são encorajadas a pensar, contudo do ponto de</p><p>vista do desenvolvimento à autonomia da criança faz uma</p><p>enorme diferença se ela for encorajada a decisões por si</p><p>mesma. Essa autonomia tem que ser indissociavelmente</p><p>social, moral e intelectual, os conceitos matemáticos</p><p>tradicionais como primeiro, segundo, antes e depois e a</p><p>correspondência um a um são partes das relações que a</p><p>crianças criam na vida cotidiana quando são encorajadas.</p><p>(KAMII, 2007, p. 46)</p><p>Segundo Kamii (2007), utilizar-se de investigações matemáticas a</p><p>serem observadas a todo momento e na vida cotidiana, proporciona o</p><p>desenvolvimento do julgamento moral e o pensamento lógico quando</p><p>as crianças são encorajadas a discutir. O ensino da matemática deve</p><p>ser fundamentado em uma teoria lógica e construtivista, para que o</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 71</p><p>aluno adquira uma aprendizagem ao longo de um processo de ensino</p><p>e se aprimore no decorrer da vida escolar.</p><p>Nesse sentido, o professor é o mediador da aprendizagem e deve</p><p>promover confrontação de soluções de atividades, questionando</p><p>e contestando os alunos. Também decide os procedimentos</p><p>para viabilizar as atividades matemáticas, ou seja, o professor atua</p><p>estabelecendo condições de trabalho para os estudantes, incentivando</p><p>a aprendizagem, estimulando a cooperação, promovendo discussões</p><p>entre alunos, conduzindo a formulação de argumentos e a sua</p><p>comprovação ou refutação. Nessa perspectiva de aprendizagem</p><p>, é preciso a interação entre professor e alunos e entre os próprios</p><p>alunos para que se desenvolvam capacidades cognitivas e afetivas,</p><p>potencializando a construção do conhecimento. A respeito disso, os</p><p>PCN apontam que ao realizar trabalhos coletivos, podemos promover</p><p>diversas aprendizagens, como:</p><p>• perceber que além de buscar a solução para uma situação</p><p>proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um</p><p>consenso;</p><p>• saber explicitar o próprio pensamento e tentar</p><p>compreender o pensamento do outro;</p><p>• discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros</p><p>fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas</p><p>próprias ideias;</p><p>• incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar</p><p>a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas</p><p>situações e, desse modo, aprender.</p><p>Para que essas aprendizagens ocorram, cabe ao professor</p><p>proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o aluno em</p><p>um processo criativo, que saiba comparar, discutir, rever, perguntar</p><p>e ampliar ideias. Nesse processo, é fundamental a interação entre os</p><p>sujeitos participantes do processo de ensino e aprendizagem, no qual</p><p>cada um exerce ativamente o seu papel, sendo que não há uma única</p><p>abordagem metodológica para o ensino da Matemática, entretanto,</p><p>conhecer diferentes possibilidades auxilia nesse processo.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros72</p><p>Para saber mais</p><p>Segundo Vygotsky (1989), a aprendizagem tem um papel fundamental</p><p>para o desenvolvimento do saber, do conhecimento. Todo e qualquer</p><p>processo de aprendizagem é ensino-aprendizagem, incluindo aquele</p><p>que aprende, aquele que ensina e a relação entre eles. Ele explica essa</p><p>conexão entre desenvolvimento e aprendizagem através da zona de</p><p>desenvolvimento proximal (distância entre os níveis de desenvolvimento</p><p>potencial e nível de desenvolvimento real), um “espaço dinâmico”</p><p>entre os problemas que uma criança pode resolver sozinha (nível de</p><p>desenvolvimento real) e os que deverá resolver com a ajuda de outro</p><p>sujeito mais capaz no momento, para, em seguida, chegar a dominá-</p><p>los por si mesma (nível de desenvolvimento potencial). Aprofunde</p><p>seus conhecimentos acessando o trabalho deste autor. Disponível</p><p>em: <http://www.egov.ufsc.br/portal/sites/default/files/vygotsky-a-</p><p>formac3a7c3a3o-social-da-mente.pdf>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. (Adaptado de UFPR - 2011) É proposto, nos Parâmetros Curriculares</p><p>Nacionais (PCN), que para atribuir significado para Matemática, o aluno</p><p>precisa estabelecer conexões entre ela e as demais disciplinas, entre ela e</p><p>seu cotidiano, além das conexões que ele estabelece entre os diferentes</p><p>temas matemáticos. Para atingir o proposto nos PCN, cabe ao professor:</p><p>a) Entender que aprender o significado de um objeto pressupõe</p><p>compreendê-lo de forma isolada, independentemente de suas relações</p><p>com outros objetos.</p><p>b) Selecionar e organizar os conteúdos a partir da lógica interna da</p><p>Matemática.</p><p>c) Levar o aluno a perceber que a atividade matemática escolar equivale a</p><p>olhar para coisas prontas e definitivas, decorrendo disso a importância de</p><p>que as regras sejam memorizadas.</p><p>d) A Matemática deve ser apresentada aos alunos como historicamente</p><p>construída e, portanto, como um conhecimento que já está pronto.</p><p>e) Trabalhar os conteúdos de forma contextualizada, sem a necessidade de</p><p>se respeitar uma rígida sucessão linear estabelecida.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 73</p><p>2. (Adaptado de UFPR - 2007) Os Parâmetros Curriculares Nacionais</p><p>tratam de temas transversais a serem desenvolvidos na Educação Básica.</p><p>Esses temas abordam conceitos e valores fundamentais à democracia e</p><p>à cidadania e correspondem a questões importantes e relevantes para a</p><p>sociedade brasileira de hoje, presentes sob várias formas da vida cotidiana.</p><p>São apontados como temas transversais básicos nos PCN:</p><p>a) Literatura, mídia, tecnologia, natureza e sociedade.</p><p>b) Ética, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural e orientação sexual.</p><p>c) Moral, movimento, música, artes visuais e teatro.</p><p>d) Linguagem escrita, matemática, cultura, sexo e cidadania.</p><p>e) Ciências humanas, filosofia, sociologia, cultura e sociedade.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros74</p><p>Seção 2</p><p>Metodologias e conteúdos estruturantes para o</p><p>Ensino da Matemática</p><p>Introdução à seção</p><p>Os PCN realizam uma explanação sobre as principais tendências de</p><p>ensino para a matemática na atualidade, demonstrando, por meio disso,</p><p>diferentes abordagens metodológicas. Nesta seção, realizaremos uma</p><p>breve síntese dos tópicos abordados nesse documento, destacando os</p><p>aspectos mais relevantes.</p><p>2.1 Metodologias e tendências de ensino, segundo os PCN</p><p>Primeiramente, consideramos que no ensino de Matemática</p><p>direcionado a crianças e pré-adolescentes utilizar diferentes</p><p>metodologias para estimular a aprendizagem do</p><p>aluno é algo relevante.</p><p>Segundo a teoria piagetiana, no</p><p>estágio das operações concretas, aproximadamente dos 7</p><p>aos 11 anos: a criança já possui uma organização mental</p><p>integrada, os sistemas de ação reúnem-se todos integrados.</p><p>Piaget fala em operações de pensamento ao invés de ações.</p><p>É capaz de ver a totalidade de diferentes ângulos. Conclui</p><p>e consolida as conservações do número, da substância</p><p>e do peso. Apesar de ainda trabalhar com objetos, agora</p><p>representados, sua flexibilidade de pensamento permite</p><p>um sem número de aprendizagens. (BIAGGIO, 1976 apud</p><p>PRÄSS, 2012, p. 17)</p><p>Nesse sentido, ao compreendermos que o aluno possui condições</p><p>de desenvolver sua aprendizagem, podemos buscar formas de realizar</p><p>a mediação desse processo. A respeito disso, Dante (2000, p. 13) afirma</p><p>que a “oportunidade de usar os conceitos matemáticos no seu dia a</p><p>dia favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em</p><p>relação à Matemática”.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 75</p><p>Questão para reflexão</p><p>Quais são os recursos e estratégias metodológicas aplicados ao</p><p>processo de ensino e aprendizagem da Matemática?</p><p>Apresentamos a seguir diversas tendências de ensino e abordagens</p><p>metodológicas para o Ensino da Matemática, que auxiliam os</p><p>professores nos processos de ensino e aprendizagem.</p><p>2.1.1 O recurso à resolução de problemas</p><p>A resolução de problemas tem sido foco de estudos na área</p><p>de Educação Matemática nas últimas décadas. Historicamente a</p><p>Matemática foi desenvolvida a partir da resolução de problemáticas</p><p>decorrentes dos mais diversos contextos, em geral, de ordem prática</p><p>e com o desenvolvimento das várias ciências aplicadas na solução de</p><p>problemas nas mais diversas áreas. Uma “das atuais grandes tendências</p><p>da Educação Matemática é a Resolução de Problemas, assim chamada</p><p>porque considera que o estudo da Matemática é resolver problemas.</p><p>Segundo ela, o ensino da Matemática deve ser desenvolvido sempre</p><p>partindo de problemas” (BURIASCO, 1995).</p><p>Entretanto, as práticas de muitos professores se resumem a</p><p>resolução de problemas na aplicação de conceitos previamente</p><p>expostos, baseados em uma dinâmica de aula tradicional, na qual há a</p><p>replicação de exemplos dados pelo professor no desenvolvimento de</p><p>exercícios.</p><p>Dessa forma, o aluno não tem de fato um problema a resolver, ou</p><p>seja, o saber matemático está dissociado e sem significação.</p><p>Refletindo sobre o que seria resolver um problema de fato em uma</p><p>aula de Matemática, podemos destacar que problema “é tudo aquilo</p><p>que não sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer”</p><p>(ONUCHIC; ALLEVATO, 2012, p. 240).</p><p>Ao ser proposta uma atividade a um aluno que envolve uma</p><p>resolução de problemas, espera-se que o estudante ao se familiarizar</p><p>com as relações matemáticas, realize as seguintes etapas: a primeira,</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros76</p><p>[...] é uma fase de análise consciente e deliberada do</p><p>problema. A segunda é uma fase de trabalho inconsciente.</p><p>Parece um abandono provisório da tarefa. No entanto, o</p><p>que se passa é que o eu inconsciente ou subliminar, explora,</p><p>sistematicamente, todos os elementos que lhe foram</p><p>fornecidos pela primeira etapa do trabalho. Após um certo</p><p>tempo, num momento qualquer em que o espírito se afasta</p><p>do problema a resolver, algumas combinações desses</p><p>elementos, provenientes do trabalho do inconsciente,</p><p>aparecem na mente na forma de uma inspiração súbita.</p><p>Numa terceira etapa, há uma análise consciente e rigorosa</p><p>dessas ideias que poderão ser aceitas, modificadas ou</p><p>rejeitadas. Neste último caso, o inconsciente recomeçará</p><p>de novo o seu trabalho na procura de uma nova solução.</p><p>(PONTE, et al., 1997, p. 20)</p><p>Estes autores especificam como se desenvolve o raciocínio</p><p>matemático diante de um problema a resolver. Esse tipo de situação</p><p>requer que o aluno confronte inúmeras conjunturas de aprendizagem a</p><p>fim de estabelecer relações entre elas; ainda exige que este desenvolva</p><p>competências e habilidades acerca de conteúdos a serem trabalhados.</p><p>Sobre a dinâmica de uma aula de resolução de problemas,</p><p>destacamos o seguinte esquema:</p><p>Fonte: Allevato (2014) apud Onuchic e Allevato (2015, p.4)</p><p>Figura 2.1 | Esquema sobre inserção da Resolução de Problemas na sala de aula</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 77</p><p>Se adotarmos o foco na resolução de problemas, segundo os PCN,</p><p>temos os seguintes pontos norteadores:</p><p>• o ponto de partida da atividade matemática não é a</p><p>definição, mas o problema. No processo de ensino e</p><p>aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos</p><p>devem ser abordados mediante a exploração de problemas,</p><p>ou seja, de situações em que os alunos precisem</p><p>desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;</p><p>• o problema certamente não é um exercício em que o</p><p>aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou</p><p>um processo operatório. Só há problema se o aluno for</p><p>levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é</p><p>posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;</p><p>• aproximações sucessivas ao conceito são construídas</p><p>para resolver um certo tipo de problema; num outro</p><p>momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver</p><p>outros, o que exige transferências, retificações, rupturas,</p><p>segundo um processo análogo ao que se pode observar na</p><p>história da Matemática;</p><p>• o aluno não constrói um conceito em resposta a um</p><p>problema, mas constrói um campo de conceitos que</p><p>tomam sentido num campo de problemas. Um conceito</p><p>matemático se constrói articulado com outros conceitos,</p><p>por meio de uma série de retificações e generalizações;</p><p>• a resolução de problemas não é uma atividade para</p><p>ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da</p><p>aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem,</p><p>pois proporciona o contexto em que se pode apreender</p><p>conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.</p><p>Com base nisso, o aluno precisa ser agente ativo na construção</p><p>do seu conhecimento e ir em busca da solução para o problema</p><p>proposto, pois isso não está disponível de imediato, mas é possível de</p><p>ser construído. Considerando a diversidade de uma sala de aula, uma</p><p>situação-problema pode atingir parte dos alunos, enquanto a outra</p><p>parte pode ter conhecimentos prévios que possibilitem a resolução da</p><p>situação. Em síntese, podemos destacar que, ao resolver um problema,</p><p>é necessário que o aluno</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros78</p><p>• elabore um ou vários procedimentos de resolução (como</p><p>realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);</p><p>• compare seus resultados com os de outros alunos;</p><p>• valide seus procedimentos.</p><p>Nesse sentido, é preciso que nas aulas de Matemática o aluno</p><p>desenvolva habilidades para lidar com as mais diferentes situações-</p><p>problema, promovendo o aprendizado matemático. O ensino</p><p>da Matemática precisa favorecer a aprendizagem de conceitos e</p><p>desenvolver o interesse dos alunos, de modo que o aluno propõem</p><p>estratégias de raciocínio e formas de solucionar um problema. Desse</p><p>modo, cabe ao professor propor situações específicas em sala de aula,</p><p>favorecendo o desenvolvimento da confiança, perseverança e espírito</p><p>investigativo nas atividades matemáticas.</p><p>2.1.2 O recurso à história da Matemática</p><p>De acordo com os PCN, a História da Matemática é um recurso</p><p>metodológico para o ensino, podendo ser abordada de modo a</p><p>contribuir para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.</p><p>Segundo Barone Teixeira e Nobre (apud Biccudo e Borba, 2004),</p><p>são as funções básicas da História da Matemática:</p><p>• Levar os professores a conhecer a Matemática do passado.</p><p>• Melhorar a compreensão da Matemática que eles ensinarão.</p><p>• Fornecer métodos e técnicas para incorporar materiais históricos</p><p>em sua prática.</p><p>• Ampliar o entendimento do desenvolvimento do currículo e de</p><p>sua profissão.</p><p>Quando o professor apresenta a Matemática como uma invenção</p><p>humana, e demonstra necessidades e apreensões de diversas culturas,</p><p>em diferentes etapas históricas, ao realizar comparações entre os</p><p>conceitos e processos matemáticos da antiguidade e da atualidade,</p><p>o</p><p>professor pode instigar atitudes e valores para desenvolver o</p><p>conhecimento matemático.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 79</p><p>2.1.3 O recurso às tecnologias da informação</p><p>Segundo os PCN, as tecnologias promoveram grandes</p><p>transformações na sociedade, transformando também o cotidiano</p><p>das pessoas. A utilização da informática pode ser um recurso para</p><p>estimular a aprendizagem por meio da leitura, escrita, audição, criação</p><p>e aprendizagem, sendo incumbência da escola incorporar essa</p><p>tendência aos ambientes escolares. Outro recurso relevante é o uso de</p><p>calculadoras, que pode ser utilizado como um instrumento motivador</p><p>para explorar tarefas e resoluções de problemas. Em resumo, estamos</p><p>na era da informação, cada vez mais digital e tecnológica, nesse</p><p>sentido, é preciso explorar ao máximo os recursos disponíveis a fim de</p><p>favorecer o processo de ensino e aprendizagem.</p><p>2.1.4 O recurso aos jogos</p><p>Ao recorrermos ao lúdico como ferramenta de ensino, podemos</p><p>favorecer a aprendizagem e a assimilação de conteúdos matemáticos</p><p>pelos alunos. Para exemplificar uma atividade prática, podemos utilizar</p><p>jogos na introdução de conteúdos, com essa dinâmica a aula se torna</p><p>mais interessante e os alunos se envolvem no processo de ensino e</p><p>aprendizagem. Para tanto, se faz necessário um plano de aula adequado</p><p>para inserção dessa atividade e cabe ao professor estabelecer regras de</p><p>condutas para a viabilidade da atividade.</p><p>Atividades dessa natureza possibilitam que os alunos aprendam</p><p>de forma natural, para assim desenvolverem aspectos cognitivos e</p><p>afetivos, de modo a contribuir para formação do sujeito. Torna-se uma</p><p>prática prazerosa para ambas as partes, professores e alunos. Cabe ao</p><p>professor propor atividades desafiadoras que provoquem a reflexão, a</p><p>descoberta, a criatividade, o desenvolvimento do raciocínio, de modo</p><p>que os alunos construam ou reformulem esquemas da mente, a fim</p><p>desenvolver estratégias que aprimorem conhecimentos.</p><p>A respeito disso, destacamos que a estratégia metodológica de</p><p>inserção de jogos é uma tendência no ensino, atualmente, que busca</p><p>minimizar dificuldades dos alunos em lidarem com a linguagem</p><p>matemática, sobre isso, podemos dizer que os:</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros80</p><p>[...] jogos são estratégias imprescindíveis para a construção</p><p>de conceitos matemáticos, pois trazem impregnados</p><p>a alegria, a interatividade e, se bem orientados durante</p><p>as jogadas e os registros, proporcionam a aquisição</p><p>de habilidades de cálculo mental, de raciocínio, de</p><p>interpretação, dentre outras. (CARRETTA, 2017, p. 418)</p><p>Como exposto, o jogo é uma ferramenta que pode auxiliar no</p><p>processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Corroborando</p><p>com essa perspectiva sobre a utilização de jogos, entendemos que,</p><p>além de ser um objeto sociocultural em que a Matemática</p><p>se encontra presente, o jogo é uma atividade natural no</p><p>desenvolvimento dos processos psicológicos básicos,</p><p>supõe um fazer sem obrigação externa e imposta, embora</p><p>demande exigências, normas e controles. No jogo,</p><p>mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado,</p><p>desenvolve-se autoconhecimento até onde se pode</p><p>chegar e o conhecimento dos outros os que se podem</p><p>esperar e em circunstâncias, para as crianças pequenas,</p><p>os jogos são as ações que eles repetem sistematicamente,</p><p>mas que possuem um sentido funcional, isto são fontes de</p><p>significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram</p><p>satisfação, formam hábitos que se estruturam num sistema,</p><p>essa repetição funcional também deve estar presente na</p><p>atividade escolar, pois é importante, no sentindo de ajudar</p><p>a criança a perceber regularidades. (MENDES, 2002, p. 95)</p><p>Além de ser um objeto sociocultural, no qual a Matemática está</p><p>presente, o jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos</p><p>processos psicológicos básicos; supõe um ‘fazer sem obrigação</p><p>externa e imposta’, embora demande exigências, normas e controle.</p><p>Apresentaremos um exemplo de jogo que pode ser aplicado em</p><p>práticas de sala de aula, trata-se do jogo Torre de Hanói:</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 81</p><p>Fonte: <https://s3.amazonaws.com/ka-cs-algorithms/hanoi-5-init.png>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>Figura 2.2 - Torre de Hanói – início do jogo</p><p>O material é composto por uma base, em que estão afixados três</p><p>pequenos bastões em posição vertical, e cinco ou mais discos de</p><p>diâmetros decrescentes, perfurados ao centro, que se encaixam nos</p><p>bastões. Ao invés de discos, pode-se também utilizar argolas ou outros</p><p>materiais. A torre é formada pelos discos empilhados no bastão de uma</p><p>das extremidades, que será chamada de casa A. O objetivo do jogo é</p><p>transportar a torre para a casa B, usando a intermediária C.</p><p>As regras são:</p><p>• Movimentar uma só peça (disco) de cada vez.</p><p>• Uma peça maior não pode ficar acima de uma menor.</p><p>• Não é permitido movimentar uma peça que esteja abaixo de</p><p>outra.</p><p>Inicialmente utilize apenas quatro peças.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Qual o número mínimo de movimentos nesse jogo? Quais as peças que</p><p>mais se movimentam? E as que menos se movimentam?</p><p>Ao término do processo deverá ser obtido o seguinte resultado:</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros82</p><p>Fonte: <https://s3.amazonaws.com/ka-cs-algorithms/hanoi-5-final.png>. Acesso em: 31 jul. 2017</p><p>Figura 2.3 | Torre de Hanói – término do jogo</p><p>Para saber mais</p><p>Para aprofundar seus conhecimentos sobre jogos como uma</p><p>metodologia de ensino, estude o Artigo intitulado de ",Jogos educativos</p><p>matemáticos nos anos iniciais do Ensino Fundamental", que traz uma</p><p>abordagem ampla sobre o assunto, além de diversos outros exemplos</p><p>de jogos a serem aplicados nos anos iniciais do Ensino Fundamental.</p><p>Disponível em: <http://www.fatece.edu.br/arquivos/arquivos%20</p><p>revistas/perspectiva/volume3/7.pdf>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>2.2 Conteúdos estruturantes dos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental</p><p>Outra temática abordada nos PCN são os conteúdos estruturantes</p><p>para os anos iniciais do Ensino Fundamental. A seleção de tais</p><p>conteúdos teve como parte dos objetivos, contemplar o desempenho</p><p>de funções essenciais do cidadão brasileiro. Nessa perspectiva, os</p><p>conteúdos são norteadores, porém, é preciso haver a adequação do</p><p>currículo ao contexto social de cada região brasileira que contemple o</p><p>estudo:</p><p>• dos números e das operações, relacionadas à Aritmética e à</p><p>Álgebra.</p><p>• do espaço e das formas, associadas à Geometria.</p><p>• das grandezas e das medidas, integrando a Aritmética, a</p><p>Álgebra e a Geometria.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 83</p><p>Dentre os conteúdos destacados temos, por exemplo, a</p><p>abordagem sobre o conceito de número, que surgiu historicamente</p><p>com a ideia de contar. No qual adotamos o sistema de numeração</p><p>hindu-arábico, formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e os</p><p>números assumem valores posicionais. Historicamente na medida em</p><p>que ampliou o conhecimento e se deparou com a complexidade de</p><p>problemas, surgiu os demais algarismos.</p><p>Destacamos que os números estão em contextos articulados</p><p>com os demais conteúdos da Matemática, como: as geometrias,</p><p>o tratamento da informação, as grandezas e medidas. A partir disso,</p><p>espera-se que os alunos analisem e descrevam relações em vários</p><p>contextos nos quais se situam as abordagens matemáticas, explorando</p><p>os significados que possam ser produzidos a partir desses conteúdos.</p><p>Além das operações aritméticas, destacamos o desenvolvimento do</p><p>pensamento algébrico, que também emergiu a partir da generalização</p><p>de conceitos relacionados a aplicações práticas, surgindo, desse</p><p>modo, um ramo da Matemática denominada de Álgebra. Essa área</p><p>se desenvolveu por meio do pensamento algébrico e representações</p><p>simbólicas, recebendo contribuições de diversas civilizações como os</p><p>egípcios, babilônicos, gregos, chineses, dentre outros.</p><p>Segundo Eves (1995), a geometria sempre esteve presente no</p><p>desenvolvimento da humanidade, em cerca de 300 a.C., com aportes</p><p>dos gregos por meio da dedução lógica na estruturação de provas</p><p>e demonstrações matemáticas. Euclides de Alexandria</p><p>organizou o</p><p>conhecimento geométrico existente na época, publicado na obra Os</p><p>elementos. Essa foi a primeira formalização ocorrida e, apesar do caráter</p><p>geométrico foi utilizada a estrutura lógica dedutiva para apresentar as</p><p>definições e proposições, tendo seus resultados provados, se tornando</p><p>uma grande contribuição para a Matemática.</p><p>Os sistemas de medidas foram construídos por meio de</p><p>contribuições de diversas sociedades as quais criaram seus próprios</p><p>sistemas, denominados de sistemas pré-métricos. Entre os séculos</p><p>XVIII e XIX, com a necessidade de padronizar os sistemas de medidas</p><p>devido à intensificação das relações sociais e econômicas, houve uma</p><p>proposta de unificação de pesos e três unidades básicas de medida: o</p><p>metro, o litro e o quilograma.</p><p>Quando há a necessidade de quantificar os dados coletados nas</p><p>pesquisas, podemos aplicar os métodos estatísticos. Nesse sentido, o</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros84</p><p>Tratamento da Informação é um conteúdo estruturante que contribui</p><p>para o desenvolvimento da leitura crítica dos eventos acontecidos na</p><p>sociedade e na interpretação de tabelas e gráficos que são usados para</p><p>apresentar ou descrever informações.</p><p>Já a Lógica não é tida como bloco de conteúdo a ser abordado de</p><p>forma sistemática no Ensino Fundamental, mas é relevante que seus</p><p>princípios sejam tratados de forma integrada aos demais conteúdos,</p><p>desde as séries iniciais.</p><p>Segundo os PCN</p><p>o desafio que se apresenta é o de identificar, dentro</p><p>de cada um desses vastos campos, de um lado, quais</p><p>conhecimentos, competências, hábitos e valores são</p><p>socialmente relevantes; de outro, em que medida</p><p>contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, ou</p><p>seja, na construção e coordenação do pensamento lógico-</p><p>matemático, da criatividade, da intuição, da capacidade de</p><p>análise e de crítica, que constituem esquemas lógicos de</p><p>referência para interpretar fatos e fenômenos.</p><p>Nesse sentido, é preciso que os professores sejam engajados</p><p>nas suas práticas educacionais, possibilitando o desenvolvimento da</p><p>formação plena dos alunos, lidando com as diversidades e pluralidades</p><p>dos contextos de ensino existentes nas escolas brasileiras.</p><p>Para saber mais</p><p>Os PCN abordam detalhadamente cada conteúdo estruturante e</p><p>também apresentam exemplificações de atividades voltadas para</p><p>práticas de sala de aula. Com isso, torna-se relevante a sua leitura na</p><p>íntegra. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/</p><p>livro03.pdf>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 85</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. (Adaptado de SESC – 2014) Nas aulas de Matemática, é preciso que o</p><p>aluno desenvolva habilidades para lidar com as mais diferentes situações-</p><p>problema, promovendo o aprendizado matemático. Sobre a relação entre</p><p>ensino e aprendizagem é correto o que se afirma em:</p><p>a) Cabe ao professor não interferir pedagogicamente, pois a construção de</p><p>conhecimento é espontânea do aluno.</p><p>b) O ensino é uma tarefa do professor, que independe da aprendizagem,</p><p>que diz respeito ao potencial dos alunos.</p><p>c) Os aspectos emocionais dos alunos não devem interferir nos</p><p>procedimentos de ensino estabelecidos pelo professor.</p><p>d) Ao estabelecer as estratégias de ensino, o professor deve considerar</p><p>apenas os conteúdos curriculares.</p><p>e) Cabe ao professor colaborar para que o aluno estabeleça relações entre</p><p>o que já sabe e os novos conhecimentos a serem construídos.</p><p>2. A seleção e organização dos conteúdos da Matemática para o Ensino</p><p>Fundamental têm como diretriz a consecução dos objetivos e sua</p><p>importância para o desempenho das funções básicas do cidadão. A respeito</p><p>disso, analise as sentenças a seguir:</p><p>I) Os currículos de Matemática para o ensino fundamental devem contemplar</p><p>o estudo dos números e operações, formas e espaço, grandezas e medidas.</p><p>II) A sociedade mostra a necessidade de acrescentar a estes conteúdos,</p><p>aqueles que permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe</p><p>diariamente através de gráficos, tabelas e outros.</p><p>III) O estudo da lógica, nos parâmetros curriculares, não constitui um bloco</p><p>de conteúdo a ser abordado de forma sistemática no ensino fundamental.</p><p>Julgue as sentenças respectivamente em verdadeiro (V) ou falso (F):</p><p>a) I – F ; II – F ; III – V .</p><p>b) I – F ; II – V ; III – F .</p><p>c) I – V ; II – F ; III – F .</p><p>d) I – V ; II – V ; III – F .</p><p>e) I – V ; II – V ; III – V.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros86</p><p>Fique ligado</p><p>Nesta unidade, você aprendeu sobre:</p><p>• O processo de ensino da Matemática.</p><p>• A análise e implantação de um currículo de Matemática.</p><p>• A relação entre professor, aluno e saber.</p><p>• Metodologias de ensino da matemática.</p><p>• A resolução de problemas.</p><p>• A história da Matemática como tendência de ensino.</p><p>• O uso de tecnologias na sala de aula.</p><p>• O uso de jogos como recurso didático.</p><p>• Os conteúdos estruturantes do Ensino Fundamental.</p><p>Para concluir o estudo da unidade</p><p>Nesta unidade, tomamos como referência o exposto nos Parâmetros</p><p>Curriculares Nacionais, e explanamos sobre os tópicos relacionados ao</p><p>processo de ensino da Matemática, sendo esses alguns dos pontos</p><p>relevantes explorados neste documento. Por meio disso, buscamos</p><p>compreender qual é a dinâmica de uma aula de Matemática, qual a</p><p>relação entre professor e aluno e entre aluno e aluno, e como essas</p><p>interações interferem nesse processo. Além disso, apresentamos</p><p>uma breve síntese sobre as tendências de ensino apontadas como</p><p>norteadoras do processo de ensino e aprendizagem da Matemática,</p><p>promovendo, assim, uma reflexão sobre as metodologias que</p><p>favorecem a aprendizagem da Matemática e a atribuição de significados</p><p>por parte do aluno.</p><p>Esses tópicos são relevantes para suas futuras práticas em sala de</p><p>aula, dessa forma, explore as sugestões de estudos e aprofunde seus</p><p>conhecimentos. Bons estudos!</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 87</p><p>Atividades de aprendizagem da unidade</p><p>1. Considere como documento norteador os Parâmetros Curriculares</p><p>Nacionais - (PCN) para julgar as sentenças a seguir:</p><p>I) Este documento é um referencial para o ensino da Matemática que orienta</p><p>o professor na busca de abordagens e metodologias.</p><p>II) Propõe que o aluno seja o sujeito construtor do conhecimento no âmbito</p><p>escolar, num processo contínuo.</p><p>III) Considera que o aluno é capaz de desenvolver valores e competências</p><p>necessárias à integração de seu projeto individual ao projeto de uma</p><p>sociedade apenas por meio do ensino tradicional.</p><p>Julgue as sentenças respectivamente em verdadeiro (V) ou falso (F):</p><p>a) I – V ; II – F ; III – F .</p><p>b) I – V ; II – V ; III – F .</p><p>c) I – F ; II – F ; III – V .</p><p>d) I – F ; II – V ; III – F .</p><p>e) I – V ; II – F ; III – V.</p><p>2. Nas relações professor e aluno e entre aluno e aluno há um estigma de</p><p>que aprender Matemática não é uma tarefa fácil, mas precisamos mudar isso</p><p>e inovar o ensino, um modo é demonstrando a importância dessa área do</p><p>conhecimento em aplicações cotidianas. Nessa perspectiva o docente atua</p><p>como mediador da aprendizagem quando:</p><p>a) Possui capacidade de se colocar no lugar do aluno, associando as suas</p><p>vivências com as práticas de sala de aula.</p><p>b) Atua de forma permissiva em relação aos comportamentos dos alunos</p><p>em sala de aula.</p><p>c) Utiliza metodologias de ensino que facilitam a memorização dos aspectos</p><p>mais importantes a serem avaliados.</p><p>d) Separa com competência sua relação profissional de professor das suas</p><p>posturas pessoais, não misturando sentimentos com desempenho docente.</p><p>e) Desenvolve os conteúdos de modo sistemático para facilitar o aprendizado</p><p>do aluno.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros88</p><p>3. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, o currículo é um termo</p><p>muitas vezes utilizado para se referir aos programas de conteúdos de cada</p><p>disciplina, porém, podemos interpretar currículo como:</p><p>a) Discussões e elaborações de conteúdo.</p><p>b) Diversos contextos da Pedagogia.</p><p>c) Conjunto de intenções educativas.</p><p>d) Descrição de conteúdos propostos.</p><p>e) Organização da matéria a ser estudada.</p><p>4. Moyles (2002) entende brincar como um processo</p><p>que ajuda a criança</p><p>a confiar em si mesma e em suas capacidades para interagir socialmente</p><p>com outras crianças e/ou com os adultos. Os PCN apontam tendências de</p><p>ensino que corroboram com essa ideia, com base nisso julgue as sentenças</p><p>a seguir:</p><p>I) O uso do brincar permite a articulação entre os processos de ensino e da</p><p>educação e exige uma postura ativa por parte do educando, que articula o</p><p>ensino e a aprendizagem em um único movimento.</p><p>II) O brincar e aprender é um processo de transformação política e social em</p><p>que crianças são vistas pelos educadores como cidadãs, isto é, cada uma</p><p>como sujeito histórico e sociopolítico, que participa e transforma a realidade</p><p>em que vive.</p><p>III) O brincar, associado ao ensino, privilegia a educação da criança em uma</p><p>perspectiva criadora, voluntária e consciente.</p><p>IV) A organização de brincadeiras é uma prática que infantiliza os alunos,</p><p>uma vez que suas ações simbólicas servem apenas para explorar e facilitar</p><p>ao educador a transmissão de determinado conteúdo.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 89</p><p>5. Analise a frase: "a relação do aluno com o saber matemático deve</p><p>ser entendida a partir da premissa que o sujeito que aprende é também</p><p>construtor do seu próprio conhecimento". Nessa relação, o professor deve</p><p>conhecer a história dos conceitos matemáticos para:</p><p>I) Repassar aos seus alunos a visão da Matemática como ciência dinâmica,</p><p>construída historicamente.</p><p>II) Identificar as dificuldades de resolução de exemplos históricos por parte</p><p>dos alunos.</p><p>III) Realizar a transposição didática, isto é, fazer a adaptação, a passagem do</p><p>saber científico para o saber escolar.</p><p>IV) Ensinar o conteúdo em função do aprender e ensinar Matemática na sala</p><p>de aula em função das relações diárias dos alunos.</p><p>São verdadeiras apenas as sentenças:</p><p>a) I, II e III.</p><p>b) I, II e IV.</p><p>c) I, III e IV.</p><p>d) I e III.</p><p>e) II e III.</p><p>São verdadeiras apenas as sentenças:</p><p>a) I, II e III.</p><p>b) I, II e IV.</p><p>c) I, III e IV.</p><p>d) I e III.</p><p>e) II e III.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros90</p><p>Referências</p><p>ARROYO, M. l. G. Indagações sobre currículo: educandos e educadores - seus direitos e o</p><p>currículo. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2007.</p><p>BARONI, R. L. S.; TEIXEIRA, M. V.; NOBRE, S. R. A investigação científica em História da</p><p>Matemática e suas relações com o programa de pós-graduação em Educação Matemática.</p><p>In: BICUDO, M. A. V.; B., M. C. Educação Matemática: pesquisa em movimento. São</p><p>Paulo: Cortez, 2004. p. 164-185.</p><p>BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard</p><p>Blücher, 1974.</p><p>BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros</p><p>Curriculares Nacionais: – anos iniciais do Ensino Fundamental. Brasília: MEC, 1997.</p><p>Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/par/195-secretarias-112877938/seb-educacao-</p><p>basica-2007048997/12640-parametros-curriculares-nacionais-1o-a-4o-series>. Acesso</p><p>em: 31 jul. 2017.</p><p>BURIASCO, R. L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (II). Nosso Fazer, ano 1, n. 6,</p><p>1995.</p><p>CANDAU, V. M.; MOREIRA, A. F. B. Indagações sobre currículo: currículo, conhecimento</p><p>e cultura. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2007.</p><p>CARRETA, A. S. J. Uma proposta de ensinagem com jogos matemáticos. Disponível em:</p><p><http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/5angelasusana.pdf>. Acesso</p><p>em: 31 jul. 2017.</p><p>D’AMBROSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM, Brasília, ano</p><p>2, n. 2, p. 15-19, 1989.</p><p>DANTE, R. L. Didática da resolução de problemas de matemática. 2. ed. São Paulo: Ática,</p><p>2000.</p><p>DREYFUS, T. Advanced Mathematical Thinking Processes. In: Tall, D. Advanced</p><p>mathematical thinking. Dordrecht: Kluwer, 1991, p. 25-41.</p><p>EVES, H. Introdução à história da Matemática. Campinas: UNICAMP, 1995.</p><p>KAMII, C. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de Piaget para a</p><p>atuação com escolares de 4 a 6 anos. 11. ed. Campinas: Papirus, 2007.</p><p>MENDES M. Didática da matemática: curso normal. Curitiba: IESDE Brasil, 2002.</p><p>MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. A formação matemática do professor: licenciatura e</p><p>prática docente escolar. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. p. 22-23.</p><p>MOYLES, Janet R. Só brincar? O papel do brincar na educação infantil. Tradução: Maria</p><p>Adriana Veronese. Porto Alegre: Artmed, 2002.</p><p>ONUCHIC, L. de R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino e aprendizagem</p><p>de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C.</p><p>(Orgs.) Educação Matemática: pesquisa em movimento. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2012.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros 91</p><p>p. 232 – 253.</p><p>ONUCHIC, L. de R.; ALLEVATO, N. S. G. Proporcionalidade através da resolução de</p><p>problemas no curso superior de Licenciatura em Matemática. In: Seminário Internacional</p><p>de Pesquisa em Educação Matemática., 6, 2015, Pirenópolis, Goiás. Disponível em http://</p><p>www.sbembrasil.org.br/visipem/anais/story_html5.html . Acesso em: 20 set. 2017.</p><p>PRÄSS, A. R., Teorias de aprendizagens. 2012. Disponível em: http://www.fisica.net/</p><p>monografias/Teorias_de_Aprendizagem.pdf. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>PONTE, J. P. et. al. Didática da Matemática. Lisboa: DES do ME., 1997.</p><p>VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos</p><p>psicológicos superiores. 3. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1989. 168 p.</p><p>U2 - Documentos oficiais brasileiros92</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 93</p><p>Unidade 3</p><p>Alternativas pedagógicas para</p><p>o ensino e a aprendizagem da</p><p>matemática</p><p>Nesta unidade, o objetivo é ampliar discussões a respeito de</p><p>alguns temas abordados na unidade anterior, que são: os conteúdos</p><p>matemáticos que precisam ser contemplados nos anos iniciais do</p><p>Ensino Fundamental e as principais tendências metodológicas para</p><p>o ensino e a aprendizagem desses conteúdos.</p><p>Espera-se que, até o final desta unidade, você compreenda que</p><p>o ensino e a aprendizagem de Matemática nos anos iniciais do</p><p>Ensino Fundamental não demandam apenas conteúdos específicos,</p><p>mas também envolvem modos de pensar que são próprios da</p><p>Matemática. Espera-se, também, que você conheça e compreenda</p><p>as características de cada uma das metodologias da Educação</p><p>Matemática que serão apresentadas e, a partir desse conhecimento,</p><p>seja capaz de construir práticas pedagógicas viáveis para o ensino e</p><p>a aprendizagem em Matemática nos anos iniciais de escolaridade</p><p>básica.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Nesta seção, você conhecerá as diferentes formas de pensar que constituem</p><p>a Matemática, bem como suas características, conteúdos que contemplam e</p><p>orientações de como é possível auxiliar estudantes dos anos iniciais de escolaridade</p><p>a desenvolver essas formas de pensamento, que são: o pensamento aritmético, o</p><p>pensamento algébrico, o pensamento geométrico e o pensamento estatístico-</p><p>probabilístico. Todas essas formas de pensamento estão intrinsecamente atreladas</p><p>ao desenvolvimento de uma forma de pensar mais abrangente na Matemática: o</p><p>pensamento lógico-matemático.</p><p>Seção 1 | Conteúdos e modos de pensar da Matemática: o que ensinar e o</p><p>que aprender?</p><p>Keila Tatiana Boni</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática94</p><p>Após conhecer as formas de pensamento a serem desenvolvidas a partir dos</p><p>primeiros anos de escolaridade, sobretudo a partir dos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental, que é nosso foco de estudo, na segunda seção, você conhecerá</p><p>alternativas metodológicas da Educação Matemática e alguns exemplos de</p><p>atividades, segundo essas alternativas, que contribuirão com sua futura prática</p><p>docente, considerando o desenvolvimento das formas de pensar apresentadas na</p><p>seção anterior. Dentre essas alternativas metodológicas destacamos: a Resolução</p><p>de Problemas, a Investigação Matemática, a Modelagem Matemática, os Jogos,</p><p>a História da Matemática, a Etnomatemática e as Tecnologias. Além disso,</p><p>destacamos o papel fundamental da utilização de materiais manipuláveis para a</p><p>aprendizagem</p><p>matemática nessa etapa escolar.</p><p>Seção 2 | Alternativas metodológicas da Educação Matemática: como</p><p>ensinar e como aprender?</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 95</p><p>Introdução à unidade</p><p>Muito além de contar, calcular e medir, o ensino de Matemática</p><p>desde os primeiros anos de escolaridade, sobretudo desde os</p><p>anos iniciais do Ensino Fundamental, precisa ter como objetivo</p><p>contribuir para que os estudantes desenvolvam formas de pensar</p><p>que são próprias da Matemática e que, em conjunto, constituem o</p><p>pensamento lógico-matemático. Para isso, ao estudante devem ser</p><p>propostas situações diversas que lhe permita identificar regularidades,</p><p>generalizar padrões, elaborar e explicitar conjecturas, construir noções</p><p>de tempo e espaço, realizar estimativas e compreender a variabilidade</p><p>de algumas situações, de modo que tudo isso contribua para que esse</p><p>estudante, progressivamente no decorrer de sua vida escolar, transite</p><p>do pensamento matemático elementar ao pensamento matemático</p><p>avançado, evoluindo em suas capacidades de abstrair, demonstrar</p><p>e sintetizar conhecimentos matemáticos. E tudo isso deve ser</p><p>considerado sem perder de vista as orientações curriculares que regem</p><p>a educação básica, tal como você já estudou na unidade anterior.</p><p>Pensando nisso é que essa unidade foi estruturada em duas</p><p>seções: na primeira você conhecerá quais são as formas de pensar</p><p>que constituem a Matemática, suas características, conteúdos que</p><p>contemplam e algumas orientações de como desenvolver práticas</p><p>pedagógicas que visem ao desenvolvimento dessas formas de</p><p>pensar. Na segunda seção, você conhecerá as principais alternativas</p><p>metodológicas da Educação Matemática que contribuirão com</p><p>sua futura prática docente, apresentando diversas possibilidades de</p><p>atividades que auxiliarão a tornar o ensino e a aprendizagem matemática</p><p>mais interessante e significativa.</p><p>Aproveite ao máximo os seus estudos dessa unidade, relacionando</p><p>os conhecimentos que serão construídos com aqueles que você já</p><p>possui a respeito do ensino e da aprendizagem da Matemática nos</p><p>anos iniciais do Ensino Fundamental. Bons estudos!</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática96</p><p>Seção 1</p><p>Formas de pensar na matemática: o que ensinar e o</p><p>que aprender?</p><p>Introdução à seção</p><p>Muito mais que desenvolver exercícios e resolver problemas em</p><p>Matemática, “ao concluir a educação básica, espera-se que os alunos</p><p>tenham tido oportunidades de desenvolver suas capacidades de</p><p>pensar e de aplicá-las em raciocínios lógicos, numéricos, espaciais,</p><p>gráficos e outros” (PORTANOVA, 2006, p. 02). O desenvolvimento</p><p>dessa capacidade de pensar demanda muito tempo e o contato</p><p>com situações diversas, gradativamente mais complexas, que exijam</p><p>diferentes formas de pensamento diretamente interligadas aos diversos</p><p>ramos da Matemática (aritmética, algébrica, tratamento da informação,</p><p>geometria, grandezas e medidas), e precisa ter início muito cedo,</p><p>sendo, sobretudo, bastante trabalhadas nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental. Dentre essas diferentes formas de pensamento</p><p>destacamos o pensamento aritmético, o pensamento algébrico, o</p><p>pensamento geométrico e o pensamento estatístico-probabilístico</p><p>(2005; PORTANOVA, 2006; GIGANTE; SANTOS, 2012).</p><p>A partir de agora você conhecerá algumas das principais</p><p>características desses tipos de pensamento e algumas teorias a respeito</p><p>de seus desenvolvimentos.</p><p>1.1 Pensamento Aritmético</p><p>O desenvolvimento do pensamento aritmético tem início com</p><p>a construção do conceito de número e do Sistema de Numeração</p><p>Decimal, ampliando-se a partir da compreensão das operações</p><p>matemáticas básicas e suas propriedades. Com essa afirmação,</p><p>subentende-se que o desenvolvimento do pensamento aritmético</p><p>tem início muito cedo, já na Educação Infantil, que é quando a criança</p><p>começa a compreender as primeiras noções de número e suas formas</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 97</p><p>de utilização em contextos diversos, tais como na contagem, na</p><p>medição, na ordenação e em códigos (GIGANTE; SANTOS, 2012).</p><p>Na Educação Infantil o desenvolvimento do pensamento aritmético</p><p>tem início a partir do estabelecimento dos primeiros processos mentais</p><p>(seriação, classificação, conservação, reversibilidade etc.), que são</p><p>base para a construção do conhecimento matemático. Em geral,</p><p>esse desenvolvimento acontece a partir de propostas educativas com</p><p>características de resolução de problemas e de investigações, sob a</p><p>mediação do professor. Portanto, ambas as alternativas metodológicas</p><p>podem ser consideradas como provocadoras do desenvolvimento do</p><p>pensamento aritmético (PORTANOVA et al., 2005).</p><p>Quando pensamos no ensino de Matemática nos anos iniciais</p><p>do Ensino Fundamental, os primeiros conceitos matemáticos que</p><p>consideramos como relevantes de serem aprendidos nessa etapa</p><p>escolar são os aritméticos. No entanto, de acordo com o que você</p><p>estudou na unidade anterior, o ensino de Matemática nessa etapa</p><p>escolar não se reduz apenas a conceitos aritméticos. Mesmo que</p><p>na prática escolar os conceitos aritméticos tenham uma posição de</p><p>destaque se comparado ao ensino de outras abordagens matemáticas,</p><p>evidenciamos muitos obstáculos e deficiências nessa aprendizagem e,</p><p>até mesmo, em seu ensino. Muitos estudantes ingressam nos anos finais</p><p>do Ensino Fundamental apresentando problemas em aplicar conteúdos</p><p>aritméticos, sobretudo os relacionados à operação de divisão. E, se</p><p>voltarmos nosso olhar para o ensino, também evidenciamos que</p><p>os próprios professores se deparam com dificuldades, nesse caso,</p><p>relacionadas a encontrar ou elaborar propostas de atividades que</p><p>contribuam com o desenvolvimento do pensamento aritmético.</p><p>O processo de ensino e de aprendizagem de conceitos aritméticos</p><p>precisa ter como ponto de partida situações próximas ao cotidiano</p><p>dos estudantes e precisam ser abordados na forma de resolução</p><p>de problemas e em caráter investigativo, evitando-se a proposta</p><p>de infindáveis “arme e efetue”, que muitas vezes apenas estimula</p><p>a reprodução mecânica de procedimentos de cálculo, ou seja, os</p><p>procedimentos são realizados sem compreensão de seus sentidos</p><p>e significados. Além disso, é fundamental reconhecer o caráter</p><p>potencialmente algébrico da aritmética (PIMENTEL; VALE, 2009), devido</p><p>à possibilidade de conceitos aritméticos poderem ser generalizáveis.</p><p>Nesse sentido, é possível que uma das características da</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática98</p><p>aprendizagem em álgebra, a generalização, seja contemplada no</p><p>ensino de Matemática mais cedo, a partir do trabalho com a aritmética.</p><p>Para que você possa melhor compreender as implicações entre</p><p>pensamento aritmético e algébrico, trazemos, na sequência, algumas</p><p>discussões a respeito do pensamento algébrico, destacando algumas</p><p>de suas principais características e inerências com o pensamento</p><p>aritmético.</p><p>1.2 Pensamento Algébrico</p><p>O desenvolvimento do pensamento algébrico é imprescindível,</p><p>pois é essa forma de pensamento que permite ao estudante realizar</p><p>abstrações e generalizações em um nível mais avançado que o</p><p>possibilitado pelo pensamento aritmético (PORTANOVA, 2006).</p><p>Mas isso não implica afi rmar que, devido sua maior complexidade, o</p><p>desenvolvimento do pensamento algébrico não possa começar a ser</p><p>desenvolvido mais cedo, já nos anos iniciais de escolaridade. Inclusive,</p><p>atualmente, pesquisadores no campo da Educação Matemática</p><p>defendem que essa forma de pensamento precisa começar a ser</p><p>desenvolvida mais cedo. Nessa defesa encontramos, por exemplo,</p><p>os autores Cai e Moyer que defendem a necessidade de promover</p><p>o desenvolvimento do pensamento algébrico nos primeiros anos de</p><p>escolaridade, considerando essa forma de pensamento como “uma</p><p>extensão da aritmética e da fl uência de cálculo típicas dos primeiros</p><p>anos de escolaridade à consideração mais profunda da estrutura</p><p>matemática subjacente” (CAI; MOYER, 2008, p. 170).</p><p>para as características</p><p>do Sistema de Numeração Decimal, que utilizamos atualmente e que</p><p>fundamenta grande parte do trabalho com o ensino de Matemática nos</p><p>primeiros anos do Ensino Fundamental. Além disso, apresentaremos</p><p>dois tipos de jogos que podem ser utilizados para trabalhar com</p><p>certas características do Sistema de Numeração Decimal, como o</p><p>agrupamento de dez em dez e o valor posicional dos algarismos.</p><p>Na segunda seção, trataremos do conceito das operações</p><p>aritméticas, mostraremos que as operações de adição, subtração,</p><p>multiplicação e divisão podem estar associadas a diferentes ideias e</p><p>apresentamos exemplos de cada uma delas. Também vamos propor</p><p>uma discussão a respeito da natureza de cada uma das quatro</p><p>operações fundamentais da Matemática e algumas maneiras de efetuar</p><p>tais operações, que podem auxiliar na compreensão dos tradicionais</p><p>algoritmos.</p><p>Tanto esta como as demais unidades não esgotam os assuntos</p><p>abordados. Assim, é de grande importância que você procure outras</p><p>fontes de conhecimento e realize as leituras e as tarefas propostas no</p><p>decorrer das unidades, pois essas atitudes podem contribuir com a</p><p>construção do seu conhecimento.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal10</p><p>Seção 1</p><p>Ideias associadas ao Sistema de Numeração</p><p>Decimal</p><p>Introdução à seção</p><p>O Sistema de Numeração Decimal (SND) é um dos principais</p><p>fundamentos para os conteúdos matemáticos abordados nos</p><p>primeiros anos do Ensino Fundamental. “A compreensão desse sistema</p><p>é fundamental para organizar a abordagem feita para os números e</p><p>proporciona a base para o trabalho com as Medidas e Grandezas”</p><p>(BRASIL, 2014, p. 5). Por isso, é relevante que os professores que</p><p>trabalham com esse nível de ensino compreendam o funcionamento</p><p>desse sistema de numeração para auxiliar seus alunos na construção</p><p>do conhecimento a respeito desse assunto.</p><p>Nesta seção, apresentaremos uma noção histórica a respeito da</p><p>contagem, do Sistema de Numeração Decimal e de outros sistemas</p><p>de numeração, além das principais características do SND, que é a base</p><p>para os alunos compreenderem diversos assuntos, como as operações</p><p>fundamentais da Matemática (adição, subtração, multiplicação e divisão).</p><p>Também mostraremos um meio de abordar o Sistema de Numeração</p><p>Decimal diferente do convencional, que pode ser mais divertido para</p><p>os alunos e que pode fazer com que eles construam algum significado</p><p>para certas características desse sistema de numeração.</p><p>1.1 Um pouco de história</p><p>É fato que os números estão presentes em nossa vida cotidiana e,</p><p>mesmo sem perceber, recorremos a eles e os utilizamos em grande</p><p>parte do dia. É possível que as representações numéricas sejam a</p><p>primeira coisa que você observa ao acordar pela manhã e verificar o</p><p>horário no relógio, e no decorrer do dia nos deparamos com diversas</p><p>situações em que representações numéricas estão presentes.</p><p>Mas você já parou para pensar de onde vieram os números? Quando</p><p>o ser humano começou a realizar contagens? Ou ainda, quando o ser</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 11</p><p>humano começou a utilizar símbolos para representar quantidades?</p><p>Segundo Eves (2004, p. 25), “o conceito de número e o processo de</p><p>contar desenvolveram-se tão antes dos primeiros registros históricos</p><p>(há evidências arqueológicas de que o homem, já há uns 50.000 anos,</p><p>era capaz de contar) que a maneira como ocorreram é largamente</p><p>conjectural”. O certo é que a “descoberta - ou invenção - dos números</p><p>foi um dos passos cruciais no desenvolvimento cultural e civil da</p><p>espécie humana” (ROONEY, 2012, p. 14).</p><p>Com a evolução da espécie humana algumas atividades, como</p><p>a criação de animais, exigiram que fossem realizadas contagens.</p><p>Possivelmente os primeiros pastores registravam a quantidade de</p><p>animais de seu rebanho relacionando uma pedrinha para cada animal</p><p>ou por meio de entalhes em varas, ossos ou pedras, sendo cada entalhe</p><p>relacionado a um dos animais.</p><p>Na verdade, tudo começou por esse artifício que se</p><p>chama a correspondência unidade a unidade e que dá,</p><p>mesmo aos espíritos mais desprovidos, a possibilidade de</p><p>comparar facilmente duas coleções de seres ou objetos</p><p>tendo ou não a mesma natureza, sem por isso apelar para</p><p>a contagem abstrata. (IFRAH, 1997, p. 22)</p><p>Ao emparelhar os elementos de uma coleção com os elementos</p><p>de outra coleção, é utilizada uma noção abstrata independente dos</p><p>objetos que caracterizam as coleções. Essa abstração faz com que</p><p>a correspondência unidade a unidade desempenhe um importante</p><p>papel em matéria de enumeração (IFRAH, 1997). “Esta operação de</p><p>‘fazer corresponder’ baseia-se na ideia de correspondência que é, sem</p><p>dúvida, uma das ideias basilares da Matemática” (CARAÇA, 2003, p.</p><p>6). Porém, na prática, esse método só é útil para coleções de objetos</p><p>relativamente pequenos.</p><p>Conforme foram surgindo as primeiras civilizações e</p><p>consequentemente as práticas comerciais, a necessidade de realizar</p><p>contagens e registrar quantidades aumentavam. Assim, por muito</p><p>tempo diversos povos desenvolveram regras e símbolos para seus</p><p>próprios sistemas de numeração.</p><p>De acordo com Rooney (2012, p. 17),</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal12</p><p>Fonte: Rooney (2012, p. 17).</p><p>Figura 1.1 | Hieróglifos dos antigos egípcios</p><p>os primeiros sistemas numéricos estavam relacionados</p><p>com marcas (tallies), porque começaram com uma série</p><p>de marcas correspondendo uma a uma com os objetos</p><p>contados, assim, “III” ou “...” podem representar o número 3.</p><p>Por volta de 3.400 a.C., os antigos egípcios desenvolveram</p><p>um sistema de símbolos (ou hieróglifos) para potências de</p><p>dez, de maneira que eles usavam uma marca para cada</p><p>unidade e um símbolo para 10, depois um símbolo diferente</p><p>para 100, outro para 1.000 e assim por diante até 1.000.000.</p><p>Dentro de cada grupo, o símbolo era representado até 9</p><p>vezes, agrupado em um padrão consistente para se poder</p><p>reconhecer facilmente o número.</p><p>Outro sistema de numeração surgiu na Mesopotâmia, onde atualmente</p><p>se localiza o Iraque, há cerca de pelo menos 3000 a.C. Se trata do familiar</p><p>sistema de numeração romano, em que os números de um a quatro</p><p>eram representados por barras verticais (I, II, III e IIII) (ROONEY, 2012).</p><p>Nesse sistema, são utilizados diferentes símbolos para representar alguns</p><p>múltiplos de cinco, V, L e D para 5, 50 e 500, e alguns múltiplos de dez,</p><p>X, C, M para 10, 100 e 1.000. “O princípio subtrativo, segundo o qual um</p><p>símbolo para uma unidade menor colocado antes de um símbolo para</p><p>uma unidade maior significa a diferença entre as duas unidades, raramente</p><p>era utilizado nos tempos antigos e medievais” (EVES, 2004, p. 32-3). No</p><p>caso da utilização do princípio subtrativo, o número 4 e o número 9, por</p><p>exemplo, eram representados pelos símbolos IV e IX, respectivamente.</p><p>Diversos povos não desenvolveram um sistema de numeração.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Qual era o maior número que poderia ser representado utilizando os</p><p>hieróglifos dos antigos egípcios?</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 13</p><p>No início do século XX, vários povos 'primitivos' estavam</p><p>ainda no 'grau zero' do conhecimento dos números</p><p>abstratos. Foi o caso, por exemplo, dos bosquímanos da</p><p>África austral, dos zulus e dos pigmeus da África central,</p><p>dos botocudos do Brasil, dos índios da Terra do Fogo,</p><p>dos kamilarai e dos aranda da Austrália, dos indígenas das</p><p>ilhas Murray (não longe da península australiana do cabo</p><p>York), dos vedda do Ceilão e de muitas outras culturas 'não</p><p>civilizadas'. (IFRAH, 1997, 10)</p><p>De acordo com Vertuan (2009, p. 2), conhecer diferentes</p><p>sistemas de numeração inventados pelo homem no decorrer</p><p>da história é reconhecer que a Matemática que hoje ensinamos</p><p>é, também, um produto social, histórico e cultural, construído</p><p>[...] pelos homens diante de suas necessidades.</p><p>É interessante pensarmos que foi um processo lento até a</p><p>humanidade apoderar-se do modelo abstrato de contagem (um,</p><p>dois, três, quatro,...). Segundo Lima et al. (2005, p. 29-30), “tribos mais</p><p>rudimentares contam apenas um, dois, muitos. A língua inglesa ainda</p><p>guarda um resquício desse</p><p>Diante do exposto, compreenda que nos primeiros anos de</p><p>escolaridade no ensino de Matemática o estudante precisa ser</p><p>estimulado a detectar a estrutura, a generalizar e a oferecer justifi cativas</p><p>coerentes para os procedimentos matemáticos que realiza. E isso é</p><p>possível a partir do momento em que aritmética e algébrica passam a</p><p>ser trabalhadas de maneira integrada.</p><p>A respeito do pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental, Kieran (2004, p. 149) comenta que:</p><p>O pensamento algébrico nos primeiros anos envolve o</p><p>desenvolvimento de modos de pensar através de atividades</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 99</p><p>para as quais o simbolismo da álgebra pode ser usado</p><p>como ferramenta, mas que não são exclusivas da álgebra e</p><p>que podem ser abordadas sem qualquer uso de simbolismo</p><p>algébrico, tais como, analisar relações entre quantidades,</p><p>detectar a estrutura, estudar a mudança, generalizar,</p><p>resolver problemas, modelar, justificar, provar e predizer.</p><p>Já os autores Blanton e Kaput (2005, p. 413) defendem que o</p><p>pensamento algébrico pode ser considerado como</p><p>[...] um processo no qual os alunos generalizam ideias</p><p>matemáticas de um conjunto particular de exemplos,</p><p>estabelecem generalizações por meio do discurso de</p><p>argumentação, e expressam-nas, cada vez mais, em</p><p>caminhos formais e apropriados à sua idade.</p><p>Comparando as definições de Kieran (2004) e de Blanton e Kaput</p><p>(2005) com as discussões anteriores, sobretudo com a defesa de</p><p>Pimentel e Vale (2009), quando afirmam que a aritmética tem um</p><p>caráter potencialmente algébrico, evidenciamos uma convergência</p><p>de ideias de que uma das características principais que estabelece a</p><p>intrínseca relação entre aritmética e álgebra é a generalização.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Quando consideramos a álgebra no ensino de Matemática, logo</p><p>pensamos na álgebra simbólica que, geralmente, tem início apenas</p><p>nas séries finais do Ensino Fundamental, em que a partir de linguagem</p><p>simbólica representamos generalizações.</p><p>Será possível expressar generalizações nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental sem recorrer a linguagem simbólica?</p><p>Mestre e Oliveira (2012) apresentam defesas que convergem com</p><p>a ideia de que a aritmética tem caráter potencialmente algébrico: a</p><p>partir do momento em que os estudantes encontram regularidades</p><p>nas operações e sistemas numéricos, eles experimentam “a base para a</p><p>exploração da generalização sobre os números e operações” (MESTRE;</p><p>OLIVEIRA, 2012, p. 13).</p><p>E para expressar generalização, Pimentel e Vale (2009) sugerem</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática100</p><p>que antes de ser representada por meio de uma linguagem simbólica,</p><p>é possível expressá-la por meio da linguagem natural. Além disso,</p><p>também é possível expressar generalização por outros meios</p><p>semióticos (esquemas, figuras, gestos etc.).</p><p>Para que isso seja possível, algumas adequações devem ser</p><p>realizadas na prática pedagógica do professor que leciona Matemática</p><p>nos anos iniciais. É necessário</p><p>• ao invés de valorizar mais o cálculo e a resposta numérica, atribuir</p><p>maior atenção às relações;</p><p>• focar-se nas operações e suas inversas;</p><p>• atentar-se, ao mesmo tempo, com a representação e a resolução;</p><p>• focar-se em números e letras, ao invés de apenas em números;</p><p>• reforçar o significado do sinal de igual, atribuindo a ele a noção de</p><p>equivalência (KIERAN, 2004).</p><p>Para que você compreenda melhor como é possível trabalhar</p><p>a aritmética e álgebra de maneira integrada a partir dos anos iniciais</p><p>do Ensino Fundamental, exploraremos alguns exemplos. Em Usiskin</p><p>(1999) encontramos que, multiplicar um número por 19 equivale</p><p>a multiplicá-lo por 20 e, em seguida, subtrair esse mesmo número.</p><p>Essa afirmação caracteriza um caso de propriedade distributiva. Como</p><p>isso é válido para qualquer que seja o número multiplicado por 19,</p><p>podemos explorar com os estudantes dos anos iniciais essa afirmação</p><p>ao substituir diferentes números e verificar sua validade, até chegar ao</p><p>momento de escrever a seguinte generalização:</p><p>19 20n n n= −</p><p>Lembrando que essa generalização também poderia ser manifestada</p><p>de outra forma, por exemplo, em linguagem natural ou na forma de</p><p>uma tabela.</p><p>Também é interessante que aos estudantes sejam propostas</p><p>situações-problema em que possam aplicar esse conhecimento,</p><p>como essa que apresentamos: “Você deseja comprar algumas canetas</p><p>coloridas e escolheu 19 canetas de cores diferentes. Cada caneta</p><p>custa R$ 3,00. No momento, você não tem uma calculadora e precisa</p><p>determinar rapidamente quanto pagará pela compra, para que, assim,</p><p>possa verificar se o dinheiro que possui será suficiente”. Nessa situação,</p><p>perceba que além de contribuir com o desenvolvimento do pensamento</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 101</p><p>aritmético e o pensamento algébrico devido à generalização, também</p><p>auxilia o estudante a aprender uma estratégia de cálculo mental.</p><p>Note que é a partir de ideias simples que é possível contribuir com</p><p>o desenvolvimento do pensamento algébrico do estudante dos anos</p><p>iniciais do Ensino Fundamental: partindo de generalizações pautadas</p><p>em números, operações e suas propriedades. Para reforçar essa</p><p>afirmação, saiba que até mesmo quando o estudante descobre que</p><p>adicionar um número a si mesmo equivale a determinar o seu dobro</p><p>já está desenvolvendo sua capacidade de generalizar e, portanto, está</p><p>desenvolvendo seu pensamento algébrico:</p><p>a a a+ = ⋅2</p><p>Perceba que o tempo todo estamos tratando o sinal de igual como</p><p>um sinal de equivalência! Tudo isso poderá contribuir para que, no</p><p>futuro, quando esse estudante for introduzido ao estudo de equações</p><p>e outros conceitos do campo da Álgebra, ele apresente menores</p><p>dificuldades de compreensão.</p><p>Agora que você já conheceu alguns exemplos, fica mais fácil</p><p>compreender as características que Blanton e Kaput (2005) apresentam</p><p>para o pensamento algébrico nos anos iniciais de escolaridade:</p><p>• exploração de propriedades e relações de números inteiros;</p><p>• exploração de propriedades das operações com números inteiros</p><p>(comutatividade, associatividade, etc.);</p><p>• exploração do sinal de igualdade como expressão de uma relação</p><p>entre quantidades (sentido de equivalência);</p><p>• tratamento algébrico do número, utilizando-os como variáveis;</p><p>• resolução de sentenças com números desconhecidos.</p><p>Para ilustrar o tratamento algébrico do número, utilizando-os como</p><p>variáveis, e a resolução de sentenças com números desconhecidos,</p><p>encontramos em Boni (2014) que, ao aplicar a atividade apresentada</p><p>na Figura 3.1 a dois estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental,</p><p>verificou-se a manifestação dessas duas características.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática102</p><p>Fonte: Andrini e Vasconcellos (2012 apud BONI, 2014, p. 84).</p><p>Figura 3.1 | Atividade aplicada a estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental</p><p>1) Observe as expressões abaixo:</p><p>Quanto vale cada um dos desenhos dessas somas? Explique como</p><p>pensou.</p><p>Num primeiro momento, a dupla de estudantes resolveu</p><p>rapidamente a segunda linha, de cima para baixo, respondendo que “[...]</p><p>somando a segunda fileira dá pra ver que é dois cada um, porque são</p><p>cinco desenhos e o resultado é 10” (BONI, 2014, p. 105). Conhecendo</p><p>esse resultado, eles fizeram uso de estratégia de tentativa e erro para</p><p>determinar o valor dos símbolos desconhecidos da primeira linha, de</p><p>cima para baixo:</p><p>Fonte: Boni (2014, p. 107).</p><p>Figura 3.2 | Esquema que representa a estratégia de resolução da primeira linha da</p><p>atividade</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 103</p><p>Apesar da estratégia adotada ser de tentativa e erro, os estudantes</p><p>não apenas “chutaram” valores, mas, em cada tentativa, evidenciamos</p><p>algo que foi generalizado: os estudantes reconhecem que símbolos</p><p>iguais correspondem ao mesmo valor. Esses valores que foram por</p><p>eles estipulados podem ser generalizados, representando-os</p><p>por x e y.</p><p>Essa atividade que foi proposta corresponde a um conjunto de</p><p>equações que contém símbolos comuns entre elas. A diferença é</p><p>que, ao invés de letras, foram utilizadas figuras para representar valores</p><p>desconhecidos.</p><p>Para saber mais</p><p>Para saber mais</p><p>Quer saber mais sobre o pensamento algébrico e conhecer algumas</p><p>atividades que podem ser propostas nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental? Acessando o link a seguir você encontrará um material</p><p>dos autores portugueses João Pedro da Ponte, Neusa Branco e Ana</p><p>Matos que trará grandes contribuições para que você conheça mais</p><p>sobre as possibilidades de desenvolvimento do pensamento algébrico</p><p>mais cedo, já nos primeiros anos de escolaridade: Disponível em:</p><p><http://aveordemsantiago.pt/pdfs/novos_programas/matematica/</p><p>ensino_basico/algebra.pdf>. Acesso em: 27 ago. 2017.</p><p>Conheça alguns dos marcos históricos a respeito do ensino de</p><p>Geometria no Brasil, sobretudo no período do Movimento da</p><p>Matemática Moderna, acessando material disponível em: <http://www.</p><p>pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/</p><p>painel/TCCI136.pdf> Acesso em: 19 ago. 2017.</p><p>1.3 Pensamento Geométrico</p><p>Se você buscar conhecer a respeito do ensino de Geometria no</p><p>decorrer da história do ensino de Matemática no Brasil perceberá</p><p>que houveram momentos em que esse ramo da Matemática não</p><p>teve uma posição de destaque tal como a Aritmética e a Álgebra e</p><p>houve momentos em que foi tratado de maneira muito formal, com</p><p>praticamente puro tratamento algébrico.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática104</p><p>Apesar de a partir do século XXI surgirem pesquisas apontando</p><p>alternativas para o ensino de Geometria, ainda é comum professores</p><p>priorizarem os demais ramos da Matemática, sobretudo porque muitos</p><p>ainda encontram no livro didático o principal material de apoio para</p><p>embasar suas aulas. E, muitos desses livros, ainda apresentam conteúdos</p><p>de Geometria nas últimas unidades ou capítulos e, assim, muitas vezes</p><p>não há tempo para chegar até esses conteúdos até o final do período</p><p>letivo.</p><p>Dentre os fatores relacionados às limitações do ensino de Geometria</p><p>também incluímos a formação do professor. Segundo Lorenzato</p><p>(1995), muitos professores da Educação Básica não se sentem</p><p>preparados o suficiente para abordar conceitos de Geometria em sala</p><p>de aula, geralmente por não apresentarem um bom domínio de alguns</p><p>conhecimentos geométricos: “[...] ninguém pode ensinar bem aquilo</p><p>que não conhece, está aí mais uma razão para o atual esquecimento</p><p>geométrico” (LORENZATO, 1995, p. 4).</p><p>Ainda sobre a precariedade e desvalorização relativas ao ensino de</p><p>Geometria na Educação Básica, Pavanello (2004) aponta que tanto</p><p>o professor quanto o livro didático têm como foco a abordagem de</p><p>conteúdos de Geometria a partir de classificação, teoremas e fórmulas</p><p>relacionadas às figuras geométricas, não permitindo ao estudante</p><p>realizar a exploração de semelhanças e características próprias dessas</p><p>figuras.</p><p>Questão para reflexão</p><p>De acordo com o que foi exposto até o momento, o ensino de Geometria</p><p>na educação básica não pode ter como foco a classificação de figuras</p><p>geométricas e apresentação de teoremas e fórmulas associadas a elas.</p><p>De que forma o ensino de Geometria deve ser abordado, sobretudo,</p><p>nos anos iniciais de escolaridade tendo em vista uma aprendizagem</p><p>com compreensão?</p><p>O ensino de Geometria, desde os primeiros anos de escolaridade</p><p>precisa visar o desenvolvimento da percepção e, para isso, precisa</p><p>partir de atividades que estimulem a visualização, a percepção espacial,</p><p>a representação e a abstração, envolvendo o estudante em momentos</p><p>de exploração. É nesse direcionamento que apresentamos alguns</p><p>aspectos teóricos e metodológicos a respeito do desenvolvimento do</p><p>pensamento geométrico.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 105</p><p>Os conteúdos de Geometria precisam ser propostos nos anos</p><p>iniciais de maneira que seus conceitos estejam próximos de situações</p><p>do cotidiano dos estudantes, permitindo que estes atribuam sentidos</p><p>a esses conceitos. Além disso, o ensino de Geometria precisa ter</p><p>conexão com os demais ramos da Matemática e, sempre que possível,</p><p>ser realizado de maneira interdisciplinar. Com isso, as crianças “tornam-</p><p>se mais organizadas, desenvolvem coordenação motora e visual,</p><p>melhoram a leitura, compreendem mais rapidamente gráficos, mapas</p><p>e outras informações visuais” (DAMINELLI, 2005, p. 18).</p><p>Assim, podemos compreender que o desenvolvimento do</p><p>pensamento geométrico é uma das principais alternativas para o ensino</p><p>e a aprendizagem de Geometria nos anos iniciais, tendo em vista uma</p><p>aprendizagem construída com base na compreensão.</p><p>O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico foi</p><p>criado pelo casal Van Hiele, na Universidade de Utrech, Holanda. Esse</p><p>modelo permite diagnosticar o nível de maturidade geométrica em</p><p>que o aluno se encontra, a partir das suas manifestações a respeito de</p><p>conhecimentos geométricos. Tais diagnósticos são fundamentais para</p><p>direcionar a prática pedagógica do professor. Com esse conhecimento</p><p>o docente poderá pensar em estratégias de ensino que contribuam para</p><p>que o aluno alcance níveis cada vez mais complexos de pensamento</p><p>geométrico.</p><p>Esse pensamento, segundo o modelo Van Hiele, compreende as</p><p>seguintes características:</p><p>• Visualização: nesse nível, o aluno manifesta que reconhece</p><p>figuras geométricas pelas suas formas, entretanto, não reconhece as</p><p>suas propriedades. Por exemplo, o estudante reconhece a figura de</p><p>um quadrado e a figura de um retângulo com base em experiências</p><p>anteriores, ou seja, por comparar tais figuras, quanto à forma, a</p><p>outros quadrados e retângulos já vistos em outras situações. Porém,</p><p>o estudante não reconhece que o quadrado e o retângulo apresentam</p><p>propriedades comuns, como ângulos retos e lados opostos paralelos</p><p>(CROWLEY, 1994).</p><p>• Análise: nesse nível, o estudante consegue distinguir as</p><p>características de figuras geométricas com base em observações e</p><p>experimentações, já sendo capaz, inclusive, de conceituar algumas de</p><p>suas propriedades e definir algumas generalizações para uma mesma</p><p>classe de figuras. Mas isso só é realizado em algumas figuras, não</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática106</p><p>sendo ainda capaz de realizar comparações e fornecer explicações</p><p>sobre possíveis relações entre figuras distintas (CROWLEY, 1994).</p><p>• Dedução informal: nesse nível, o aluno já avança no</p><p>estabelecimento de relações, indo além de propriedades dentro</p><p>de uma mesma figura, mas estabelecendo relações entre figuras,</p><p>deduzindo suas propriedades e reconhecendo classes de figuras.</p><p>Mas seu processo de dedução ainda não é formal, o que significa</p><p>dizer que esse estudante ainda não é capaz de compreender</p><p>axiomas ou “construir uma prova de premissas diferentes ou não</p><p>familiares” (CROWLEY, 1994, p. 4).</p><p>• Dedução formal: nesse nível, o estudante começa a</p><p>compreender a teoria geométrica conforme contexto axiomático,</p><p>o que lhe permite construir demonstrações.</p><p>• Rigor: nesse nível, Crowley (1994) apresenta que o estudante</p><p>já consegue relacionar e operar em sistemas axiomáticos diversos,</p><p>possibilitando o estudo de outras geometrias não euclidianas e</p><p>estabelecer comparações entre essas diferentes geometrias, pois já</p><p>é capaz de pensar no plano abstrato.</p><p>Compreenda que essas características perpassam a educação</p><p>básica, sendo os níveis mais avançados atingidos após o estudante</p><p>já ter vivenciando diversas situações distintas, progressivamente</p><p>mais complexas, ao longo de suas experiências escolares. Mas vale</p><p>destacar que o alcance a esses níveis não depende da idade, mas</p><p>dos conteúdos geométricos que serão propostos e de como estes</p><p>serão abordados. Por isso, destacamos a importância de valorização</p><p>do desenvolvimento do pensamento geométrico desde cedo. E, para</p><p>orientar esse trabalho do professor, além das cinco características</p><p>elencadas e descritas, o modelo Van Hiele</p><p>apresenta fases sequenciais</p><p>que nortearão o processo de ensino e de aprendizagem tendo em</p><p>vista o desenvolvimento progressivo e sequencial do pensamento</p><p>geométrico:</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 107</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Figura 3.3 | Fases sequenciais de aprendizado em Geometria</p><p>A primeira fase proposta pelo modelo Van Hiele é a de interrogação/</p><p>informação. Essa fase deve ser caraterizada pelo diálogo constante</p><p>entre professor e aluno, pois por meio desse diálogo o professor poderá</p><p>complementar suas observações a respeito do desenvolvimento</p><p>do estudante em aprendizagem de conceitos geométricos, assim</p><p>como poderá levantar questionamentos que contribuirão para que o</p><p>estudante comece a expandir seu vocabulário geométrico elementar.</p><p>A segunda fase, de orientação dirigida, caracteriza-se por propostas</p><p>em que as atividades sequenciais imputadas ao estudante ainda</p><p>apresentam uma grande necessidade de orientação e supervisão</p><p>constante do professor.</p><p>Na terceira fase, de explicação, o professor precisa estimular os</p><p>estudantes a formularem justificativas e explicações para as observações</p><p>e experiências da fase anterior, de maneira que o professor possa</p><p>contribuir, nesse momento, com a construção de uma linguagem</p><p>cada vez mais formal por parte dos estudantes.</p><p>Na orientação livre, o estudante precisa ser submetido a resolver</p><p>atividades em um nível de complexidade mais elevado com uma</p><p>intervenção menor do professor. Caracteriza-se como atividades mais</p><p>complexas para essa fase aquelas que compreendem uma sequência</p><p>de procedimentos e que apresentam mais de uma solução ou mais</p><p>de um modo de resolver, sendo preciso que esses modos e soluções</p><p>distintos sejam explorados.</p><p>Por fim, na integração, orienta-se que o estudante seja motivado</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática108</p><p>a construir uma visão panorâmica a respeito dos objetos e relações</p><p>geométricas que vivenciou nas fases anteriores, de modo a sintetizar</p><p>suas experiências e observações.</p><p>Diante de tudo isso que abordamos até agora acerca do</p><p>desenvolvimento do pensamento geométrico você conseguiu</p><p>perceber alguma possibilidade de integração entre as três formas</p><p>de pensamento já apresentadas, ou seja, entre os pensamentos</p><p>geométrico, aritmético e algébrico?</p><p>Ao apresentarmos o pensamento algébrico já comentamos sobre</p><p>as intrínsecas relações entre pensamento aritmético e algébrico e,</p><p>agora, considerando as características de pensamento geométrico,</p><p>perceba que essa forma de pensamento também permite abstrações</p><p>e generalizações, o que nos faz concluir que ela está associada ao</p><p>pensamento algébrico.</p><p>Em concordância com esse nosso posicionamento, Portanova</p><p>(2006, p. 03) afirma que</p><p>o desenvolvimento do pensamento geométrico está</p><p>ligado ao desenvolvimento das capacidades de abstração</p><p>e representação do espaço. Assim, podemos entender,</p><p>didaticamente, o desenvolvimento, por um lado, de um</p><p>pensamento geométrico-algébrico, na medida em que</p><p>a geometria, por sua capacidade de representação do</p><p>espaço, é uma poderosa via de generalização utilizada</p><p>pela própria álgebra.</p><p>Agora, você verá que as formas de pensamento abordadas</p><p>também apresentam intrínseca relação com o pensamento estatístico-</p><p>probabilístico, o que nos permite evidenciar que realmente não</p><p>podemos fragmentar o ensino de Matemática em termos de seus</p><p>campos.</p><p>1.4 Pensamento Estatístico-Probabilístico</p><p>Apesar de já ter adiantado que o pensamento estatístico-</p><p>probabilístico apresenta inerências e relações com as demais formas</p><p>de pensamento já abordadas, destacamos que ele possui algumas</p><p>particularidades.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 109</p><p>Vamos começar compreendendo o que é o pensamento estatístico.</p><p>Segundo Walichinski, Santos Junior e Ishikawa (2014, p. 47),</p><p>[...] elaboração de perguntas, escolha de variáveis,</p><p>elaboração de hipóteses, percepção da necessidade de</p><p>descrever populações, conscientização da necessidade</p><p>dos dados, análise, organização e interpretação dos</p><p>dados, transnumeração, escolha da melhor forma de</p><p>representação de dados e, reformulação de questões.</p><p>o pensamento estatístico requer principalmente a</p><p>formulação de hipóteses, interpretação e análise de</p><p>resultados obtidos levando em consideração diferentes</p><p>pontos de vista e reformulação de questões com base nos</p><p>resultados obtidos</p><p>Quanto ao pensamento probabilístico, considera-se como aquele</p><p>que permite a realização de análise quantitativa quanto às chances de</p><p>ocorrência ou não de um fenômeno (LOPES, 2006). Ainda, segundo</p><p>esse mesmo autor,</p><p>Esses autores destacam, ainda, que as capacidades elencadas</p><p>são diferentes daquelas comumente exigidas nas demais formas de</p><p>pensamento matemático, pois não são exatas e determinísticas, mas</p><p>incorporam a ideia de aleatoriedade e influência dos dados, devido à</p><p>variabilidade destes.</p><p>Assim como as demais formas de pensamento que já discutimos</p><p>para o ensino de Matemática, defendemos que o pensamento</p><p>estatístico precisa começar a ser desenvolvido mais cedo, desde os</p><p>primeiros anos de escolaridade. E para que isso seja possível, Jacobini</p><p>et al. (2010) sugerem que os estudantes sejam incentivados a coletar,</p><p>analisar e interpretar dados, bem como divulgar os resultados que</p><p>obtiverem e que, todo esse processo, deve ocorrer de modo a</p><p>contemplar: a visualização de todos os passos envolvidos nesse</p><p>procedimento de maneira geral, ou seja, de modo a contemplar uma</p><p>visão panorâmica de todo o processo, compreender o significado</p><p>das variações, a exploração dos dados; e, a criação e mobilização de</p><p>questões não previstas a princípio (JACOBINI et al., 2010).</p><p>Nesse sentido, Walichinski, Santos Junior e Ishikawa (2014, p.</p><p>48) consideram que o desenvolvimento do pensamento estatístico</p><p>perpassa situações que compreendem:</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática110</p><p>o desenvolvimento do pensamento probabilístico requer o</p><p>reconhecimento de situações de acaso na vida cotidiana</p><p>e no conhecimento científico, bem como a formulação e</p><p>comprovação de conjecturas sobre o comportamento de</p><p>fenômenos aleatórios simples e a planificação e realização</p><p>de experiências nas quais se estude o comportamento de</p><p>fatos que abarquem o azar. A partir dessas considerações,</p><p>pode-se organizar situações didáticas que envolvam</p><p>a observação de experimentos, com seus respectivos</p><p>registros e análises, possibilitando a integração entre a</p><p>Probabilidade e a Estatística. Nessa conjunção é que se</p><p>terá o desenvolvimento do raciocínio estocástico (LOPES,</p><p>2006, p. 79)</p><p>Percebe como os pensamentos estatístico e probabilístico estão</p><p>integrados? Por isso, não poderíamos apresentá-los se não em</p><p>conjunto. E, para que essas formas de pensamento sejam possibilitadas</p><p>de serem desenvolvidas desde os primeiros anos de escolaridade</p><p>é necessário que o professor proponha situações de ensino que</p><p>permitam ao estudante observar e explorar experimentos, bem como</p><p>analisá-los, interpretá-los e representar seus resultados.</p><p>Para Gigante e Santos (2012), nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental, os pensamentos estatístico e probabilístico, incluindo</p><p>o pensamento combinatório, precisam ser trabalhados de modo</p><p>que estejam associados às estruturas multiplicativas e ao tratamento</p><p>da informação. Os mesmos autores sugerem que o trabalho didático</p><p>com vistas ao desenvolvimento dessas formas de pensamento precisa</p><p>contemplar resolução de problemas, jogos, materiais concretos, dentre</p><p>outros recursos metodológicos, que possibilitem a exploração de</p><p>gráficos, tabelas, árvores de possibilidades, entre outras situações que</p><p>demandem conhecimentos relacionados à grande área de Tratamento</p><p>da Informação.</p><p>Você conheceu as principais formas de pensamento que precisam</p><p>ser desenvolvidas no ensino da Matemática na Educação Básica,</p><p>tendo início nos primeiros anos de escolaridade, em que destacamos</p><p>os anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental. Observe que desse modo</p><p>contemplamos todos os conteúdos propostos nos documentos</p><p>curriculares que você já estudou na unidade anterior, de modo a</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 111</p><p>contribuir com a composição de uma forma de pensamento na</p><p>Matemática que abrange todas as que apresentamos: o pensamento</p><p>lógico-matemático.</p><p>Mas, você pode ter sentido falta de uma forma de pensamento</p><p>que explore os conteúdos da área de Grandezas e Medidas. Porém, os</p><p>conceitos dessa área podem ser facilmente incorporados no processo</p><p>de desenvolvimento de pensamentos que apresentamos, sobretudo,</p><p>no desenvolvimento do pensamento geométrico:</p><p>As medidas de comprimento e de superfície estão</p><p>relacionadas ao estudo do perímetro dos polígonos e da</p><p>área de retângulos. Para ensiná-las, inicialmente se explora</p><p>o conceito de medir, trabalhando com medidas arbitrárias</p><p>e, depois, chega-se às unidades-padrão de medida, bem</p><p>como a seus múltiplos e submúltiplos (GIGANTE; SANTOS,</p><p>2012, p. 26).</p><p>E, em diversos momentos, você deve ter notado que comentamos</p><p>sobre algumas alternativas metodológicas para auxiliar no trabalho</p><p>pedagógico de desenvolvimento dessas formas de pensamento, em</p><p>consonância com as orientações curriculares impostas em documentos</p><p>curriculares, conforme você conheceu na unidade anterior. Mas, que</p><p>características apresentam essas alternativas metodológicas? Além</p><p>delas, que outras opções a Educação Matemática nos oferece? Tudo</p><p>isso é o que você aprenderá na próxima seção.</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. Tendo em vista o desenvolvimento do pensamento algébrico, uma</p><p>professora de uma turma do 5º ano do Ensino Fundamental elaborou a</p><p>seguinte atividade:</p><p>Observe cada um dos Vs da sequência:</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Figura 3.4 | Sequência de V</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática112</p><p>A partir dessa atividade, responda aos seguintes questionamentos:</p><p>a) Quais são os dois termos seguintes dessa sequência?</p><p>b) Quantas bolas terá o V número 7?</p><p>c) Existirá um V com 48 pontos?</p><p>d) Qual é a lei de formação dessa sequência?</p><p>e) Com base no que você estudou a respeito do desenvolvimento do</p><p>pensamento algébrico, responda: como essa atividade contribui para o</p><p>desenvolvimento dessa forma de pensamento?</p><p>2. Em uma turma de estudantes, vv'fpodemos encontrar diferentes níveis de</p><p>compreensão em relação ao pensamento geométrico, conforme defendido</p><p>pelo modelo Van Hiele. Isso nos permite inferir que a idade ou série escolar</p><p>em que se encontra um determinado estudante não determina o nível</p><p>de compreensão em que ele está. Mas, como reconhecer esses níveis? E</p><p>melhor, como auxiliar o estudante a avançar de nível? Para isso, o modelo</p><p>Van Hiele propõe cinco fases sequenciais de aprendizado:</p><p>(A) Interrogação/informação;</p><p>(B) Orientação dirigida;</p><p>(C) Explicação;</p><p>(D) Orientação livre;</p><p>(E) Integração.</p><p>Considere as seguintes descrições:</p><p>( ) Nessa fase o professor orienta os estudantes a resumirem e recapitularem</p><p>observações e conhecimentos construídos a partir das propostas anteriores.</p><p>( ) Nessa fase o professor estimula seus estudantes a se expressarem,</p><p>manifestando os resultados obtidos e dividindo suas experiências com o</p><p>professor e demais colegas da turma.</p><p>( ) Nessa fase, atividades em níveis gradativamente mais complexos, são</p><p>propostos aos estudantes. Frente a essas atividades o estudante deverá, com</p><p>a menor intervenção possível do professor, criar estratégias e estabelecer</p><p>relações por si mesmo em busca de solução.</p><p>( ) Nessa fase, o professor coloca o estudante em contato com o novo</p><p>tema de estudo e busca meios de identificar os conhecimentos prévios dele</p><p>a respeito desse novo tema.</p><p>( ) Nessa fase o professor orienta os estudantes a descobrirem e aprenderem</p><p>relações no conteúdo proposto, a partir do desenvolvimento de atividades</p><p>que os encaminhem diretamente à resultados e propriedades.</p><p>Categorize cada descrição de acordo com a fase sequencial de aprendizado.</p><p>Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a resposta correta, de cima</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 113</p><p>para baixo:</p><p>a) A – D – C – B – E</p><p>b) C – D – A – E – B</p><p>c) D – E – C – B – A</p><p>d) E – C – D – A – B</p><p>e) C – E – B – D – A</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática114</p><p>Seção 2</p><p>Alternativas metodológicas da Educação</p><p>Matemática: como ensinar e como aprender?</p><p>Introdução à seção</p><p>Agora que você já conhece quais são as formas de pensamento</p><p>que precisam ser contempladas no ensino de Matemática desde os</p><p>primeiros anos de escolaridade e já conheceu algumas características</p><p>e orientações a respeito do desenvolvimento de cada uma dessas</p><p>formas de pensamento, chegamos ao momento de você conhecer</p><p>quais alternativas metodológicas você pode adotar para auxiliar no</p><p>processo de ensino e de aprendizagem de Matemática nos anos</p><p>iniciais. Lembre-se de considerar o desenvolvimento dessas formas de</p><p>pensamento e os conhecimentos que você já construiu nas unidades</p><p>anteriores como, por exemplo, as orientações dos documentos</p><p>curriculares que norteiam o ensino de Matemática nos anos iniciais do</p><p>Ensino Fundamental.</p><p>Nesse intuito, você conhecerá a importância de utilizar materiais</p><p>manipuláveis no ensino de Matemática nos anos iniciais, bem como</p><p>conhecerá as principais alternativas metodológicas da Educação</p><p>Matemática, além dos Jogos e Resolução de Problemas que você</p><p>já estudou em unidades anteriores, mas que vale a pena serem</p><p>retomados, sobretudo, apresentando exemplos de atividades que você</p><p>poderá utilizar na sua futura prática docente.</p><p>2.1 Materiais manipuláveis como recurso didático</p><p>Até o momento você já estudou quais são os principais conteúdos</p><p>e formas de pensamento que precisam ser desenvolvidos desde os</p><p>anos iniciais de escolaridade. O diagrama a seguir apresenta uma visão</p><p>panorâmica desses conteúdos e formas de pensamento:</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 115</p><p>Fonte: Gigante e Santos (2012, p. 23).</p><p>Figura 3.5 – Os Blocos de conteúdos, as formas de pensar e os conceitos que</p><p>estruturam a Matemática</p><p>Na figura, observe que, além dos conteúdos e formas de pensar</p><p>a serem contempladas no ensino de Matemática, Gigante e Santos</p><p>(2012) apresentam conceitos que estruturam a Matemática, tais como</p><p>generalizar, estimar, representar, localizar, entre muitos outros, além das</p><p>capacidades de resolver problemas, comunicar, atuar na realidade e</p><p>raciocinar. E tudo isso não pode ser desenvolvido a partir de uma única</p><p>metodologia, principalmente a partir unicamente de aulas expositivas.</p><p>É preciso que ao estudante sejam oportunizadas situações diversas</p><p>que o possibilitem construir e manifestar diferentes competências e</p><p>habilidades matemáticas.</p><p>Antes de abordarmos as possíveis alternativas metodológicas que</p><p>contribuirão para que o ensino e a aprendizagem da Matemática seja</p><p>proporcionado de maneira a atingir todas as informações contidas no</p><p>esquema apresentado na Figura 3.5, vamos dar destaque às atribuições</p><p>de materiais manipuláveis no ensino de Matemática nos anos iniciais</p><p>do Ensino Fundamental.</p><p>Os materiais manipuláveis são considerados recursos didáticos</p><p>importantes, pois tornam as aulas de Matemática mais dinâmicas e</p><p>compreensíveis. Além disso, sobretudo nos primeiros anos do Ensino</p><p>Fundamental, a aprendizagem da criança ainda depende muito da</p><p>visualização e de experiências sensoriais, viabilizada pela manipulação</p><p>de materiais.</p><p>Mas, não basta o professor levar materiais manipuláveis para a</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática116</p><p>sala de aula: é preciso saber utilizá-los de maneira favorável para os</p><p>objetivos de ensino que se pretende atingir.</p><p>Mas afi nal, o que é considerado como material didático manipulável?</p><p>Primeiro, material didático pode ser entendido como “qualquer</p><p>instrumento útil ao processo de ensino e aprendizagem”</p><p>(LORENZATO,</p><p>2006, p. 18), tais como, giz, caderno, calculadora etc. Quanto ao</p><p>material didático manipulável ou concreto, o mesmo autor apresenta</p><p>duas interpretações: “uma delas refere-se ao palpável, manipulável e</p><p>a outra, mais ampla, inclui também imagens gráfi cas”. (LORENZATO,</p><p>2006, p. 22-23).</p><p>É importante que você saiba que esses materiais podem servir a</p><p>diversos propósitos pedagógicos: apresentar um conteúdo, motivar</p><p>os estudantes ao tornar as aulas mais dinâmicas etc. Contudo,</p><p>Lorenzato (2006) alerta que, por melhor que seja o material didático,</p><p>o que ele chama de MD, o mesmo “[...] nunca ultrapassa a categoria</p><p>de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodológica à disposição</p><p>do professor e do aluno, e, como tal, o MD não é garantia de um</p><p>bom ensino, nem de uma aprendizagem signifi cativa e não substitui</p><p>o professor” (LORENZATO, 2006, p. 18). É por isso que o professor</p><p>precisa ter claro os objetivos que pretende atingir com a utilização de</p><p>materiais didáticos manipuláveis e defi nir qual o melhor momento para</p><p>inseri-lo em sua prática pedagógica. Além disso,</p><p>[...] convém termos sempre em mente que a realização</p><p>em si de atividades manipulativas ou visuais não garante</p><p>a aprendizagem. Para que esta efetivamente aconteça,</p><p>faz-se necessária também a atividade mental, por parte</p><p>do aluno. E o MD pode ser um excelente catalisador para</p><p>o aluno construir seu saber matemático” (LORENZATO,</p><p>2006, p. 21).</p><p>Rêgo e Rêgo (2006), apresentam alguns cuidados que o professor</p><p>precisa ter ao incluir materiais didáticos em suas aulas:</p><p>I. Dar tempo para que os alunos conheçam o material</p><p>(inicialmente é importante que os alunos o explorem</p><p>livremente).</p><p>II. Incentivar a comunicação e troca de ideias, além de</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 117</p><p>discutir com a turma os diferentes processos, resultados e</p><p>estratégias envolvidos.</p><p>III. Mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento</p><p>das atividades, por meio de perguntas ou da indicação</p><p>de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou</p><p>coletivo das ações realizadas, conclusões e dúvidas.</p><p>IV. Realizar uma escolha responsável e criteriosa do material.</p><p>V. Planejar com antecedência as atividades, procurando</p><p>conhecer bem os recursos a serem utilizados, para que</p><p>possam ser explorados de forma eficiente, usando o bom</p><p>senso para adequá-los às necessidades da turma, estando</p><p>aberto a sugestões e modificações ao longo do processo, e</p><p>VI. Sempre que possível, estimular a participação do aluno</p><p>e de outros professores na confecção do material” (RÊGO;</p><p>RÊGO, 2006, p. 54).</p><p>Dentre os diversos materiais manipuláveis que oferecem boas</p><p>possibilidades de se trabalhar conteúdos matemáticos nos anos</p><p>iniciais temos a Escala de Cuisenaire, o Material Dourado, o Tangran,</p><p>entre muitos outros. Ao abordarmos sobre Jogos Matemáticos,</p><p>conheceremos uma possibilidade de envolver o Material Dourado no</p><p>processo de ensino e de aprendizagem de Matemática.</p><p>Para saber mais</p><p>Acessando os links indicados a seguir você conhecerá os materiais</p><p>manipuláveis que citamos, o Tangran, o Material Dourado e a Escala</p><p>de Cuisenaire, bem como algumas possibilidades de utilização destes</p><p>nos anos iniciais do Ensino Fundamental:</p><p>1) Frações com o Tangran: <https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=aTAl9Q9X3_s>.</p><p>2) Operações com a Escala de Cuisenaire:</p><p><https://www.youtube.com/watch?v=OsHFPAPYzAY>.</p><p>3) Material dourado: <https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=u96AVLdmOjk>.</p><p>4) Adição com material dourado: <https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=Lx2_Hyf_OSc>.</p><p>Acessos em: 2 ago. 2017.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática118</p><p>2.2 Metodologias do ensino da Matemática nos anos iniciais</p><p>Na unidade anterior você já conheceu que existem tendências</p><p>metodológicas que são mencionadas pelos documentos que regem</p><p>a educação básica de Matemática. Nesse momento, você será</p><p>apresentado às principais tendências metodológicas, bem como</p><p>conhecerá algumas possibilidades de envolver essas tendências</p><p>em suas futuras aulas de Matemática nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental.</p><p>2.2.1 Resolução de Problemas</p><p>Começaremos com a metodologia de Resolução de Problemas</p><p>por dois motivos: primeiro, porque você já estudou um pouco sobre</p><p>ela em unidades anteriores e, segundo, porque entende-se que é por</p><p>meio da resolução de problemas que a Matemática se desenvolve e ela</p><p>mantém uma ligação com todas as demais alternativas metodológicas</p><p>que serão apresentadas.</p><p>Questão para reflexão</p><p>No decorrer dos estudos desta seção você perceberá o quanto</p><p>características de Resolução de Problemas estão presentes nas</p><p>demais alternativas metodológicas. Mas, antes de conhecermos essas</p><p>características, reflita: o que é considerado como um “problema” na</p><p>Matemática?</p><p>Polya (2006) nos afirma que é essencial que os problemas sejam</p><p>provocativos, para que o estudante se sinta desafiado e se sinta</p><p>interessado em buscar estratégias e soluções. Além disso, o mesmo</p><p>autor destaca que é fundamental que os problemas sejam propostos</p><p>de acordo com o nível de conhecimento dos estudantes e que o</p><p>professor esclareça que, a partir de um mesmo problema, eles poderão</p><p>encontrar caminhos diversos para chegar à sua solução.</p><p>Sendo assim, podemos entender que, na Matemática, um bom</p><p>problema não pode ser tão fácil e nem tão difícil, mas adequado ao nível</p><p>de conhecimento dos estudantes. Ainda, não pode apresentar regras</p><p>explícitas e nem ser resolvido por um único algoritmo, uma vez que</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 119</p><p>um problema bem formulado deve exigir formas de pensar, elaboração</p><p>de estratégias e conferência dos procedimentos e resultados, e não</p><p>apenas uma forma mecânica de resolver. Em concordância com</p><p>essa afirmação, encontramos em Polya (2006) que existem quatro</p><p>etapas fundamentais para a resolução de problemas: compreender</p><p>o problema; elaborar um plano; executar o plano; e, retrospecto ou</p><p>verificação.</p><p>Assim, considera-se como um problema na Matemática toda</p><p>situação que pode ser problematizada. Por esse motivo, afirmamos</p><p>no início dessas discussões que as demais alternativas metodológicas</p><p>possuem uma forte ligação com a Resolução de Problemas: elas</p><p>podem ser problematizadas. Entende-se, ainda, que:</p><p>Uma situação problematizada não se resolve simplesmente</p><p>através de fórmulas ou aplicação de uma determinada</p><p>regra, é necessário uma atitude de investigação mais</p><p>profunda, onde a resposta encontrada não é mais</p><p>importante do que o caminho percorrido para se chegar</p><p>até ela” (MAIOR; TROBIA, 2009, p. 10).</p><p>Agora que você já conhece um pouco mais a respeito da Resolução</p><p>de Problemas como metodologia de ensino e de aprendizagem em</p><p>Matemática, você conhecerá um exemplo de atividade que pode ser</p><p>proposta nos anos iniciais do Ensino Fundamental:</p><p>EXEMPLO (Adaptado de GWINNER, 1990): Gregória é uma serpente</p><p>da Amazônia. Nasceu e viveu lá até os três meses de idade, quando foi</p><p>contrabandeada para a Flórida. Hoje, Gregória é atração de um dos</p><p>parques temáticos, ganha três mil dólares por mês e gasta duzentos</p><p>dólares com suas despesas de cobra. Sabendo-se que Gregória tem</p><p>dois anos de idade e está empregada desde os sete meses, quantos</p><p>dólares nossa cobrinha já economizou?</p><p>Perceba que para resolver esse problema o estudante precisará</p><p>analisar a situação, organizar as informações, elaborar estratégias</p><p>de solução e verificar seus resultados. Além disso, esse não é um</p><p>problema que possui um único algoritmo, mas envolve vários passos</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática120</p><p>de resolução e os estudantes poderão apresentar estratégias diferentes</p><p>para resolver o mesmo problema.</p><p>É importante que, na sala de aula, o professor incentive os estudantes a</p><p>socializarem suas resoluções de maneira que eles possam compartilhar</p><p>de diferentes pontos de vista. Nesse momento, é fundamental que o</p><p>professor auxilie o estudante a perceber que não é preciso</p><p>ter medo</p><p>de errar, pois a partir do erro também se aprende e, muitas vezes, existe</p><p>alguma ideia interessante por trás do erro apresentado pelo estudante,</p><p>que merece a atenção do professor. Ainda, em relação a esse contexto,</p><p>você, como futuro professor, precisa estar atento a como lidar com os</p><p>erros apresentados pelos estudantes, de modo que suas ações frente</p><p>a esse erro não conduzam à exposição do estudante que errou a uma</p><p>situação vexatória em sala de aula.</p><p>Para saber mais</p><p>Acessando o link indicado a seguir você encontrará um artigo que trará</p><p>mais informações a respeito da Resolução de Problemas:</p><p><http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/Fi le/</p><p>setembro2012/matematica_artigos/artigo_maranhao_pais.pdf>.</p><p>Acesso em: 01 ago. 2017.</p><p>2.2.2 História da Matemática</p><p>A História da Matemática como recurso metodológico pode</p><p>contribuir para que o estudante compreenda a Matemática como uma</p><p>construção humana que se encontra em constante transformação ao</p><p>longo da história. Em concordância com o exposto, Souza e Fortaleza</p><p>(2016, p. 04) afirmam que</p><p>[...] ao estudarem os conteúdos matemáticos aliados aos</p><p>aspectos históricos, os alunos podem entender os diversos</p><p>cenários em que a matemática é construída e desenvolvida,</p><p>entendendo que a matemática não é divina ou surge da</p><p>imaginação infundada dos matemáticos, mas sim que é</p><p>uma criação humana que surge e se transforma a partir</p><p>das diversas necessidades humanas ou de necessidades</p><p>conceituais da própria matemática.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 121</p><p>O que justifica a importância de abordagens históricas da</p><p>Matemática no contexto de ensino e de aprendizagem dessa área</p><p>de conhecimento é que os conteúdos matemáticos não podem ser</p><p>abordados de maneira desconexa aos acontecimentos que cercaram</p><p>e que até culminaram em suas formulações, uma vez que</p><p>A História da Matemática como recurso metodológico contribui</p><p>com os objetivos pedagógicos uma vez que auxilia o estudante a</p><p>compreender:</p><p>Para saber mais</p><p>Você quer saber como é possível incluir a História da Matemática como</p><p>recurso metodológico no contexto de ensino e de aprendizagem de</p><p>Matemática em sala de aula? Acessando o link a seguir você encontrará</p><p>um artigo que apresenta uma estratégia para a abordagem do ensino</p><p>de Estatística e Probabilidade nos anos iniciais a partir da metodologia</p><p>da História da Matemática: <http://periodicos.uem.br/ojs/index.php/</p><p>ImagensEduc/article/view/23580/pdf_37>. Acesso em: 30 ago. 2017.</p><p>2.2.3 Investigação Matemática</p><p>No contexto da Educação Matemática, entende-se por investigação</p><p>o ato de “descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos</p><p>ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades”</p><p>(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 13). É essa a definição</p><p>de investigação que embasa a Investigação Matemática como</p><p>metodologia de ensino.</p><p>A Investigação Matemática é caracterizada por quatro momentos</p><p>principais: exploração e formulação de questões, conjecturas, testes e</p><p>reformulações e, por fim, justificação e avaliação. Ainda, atividades de</p><p>investigação podem ser desenvolvidas em três fases:</p><p>o significado da Matemática para o aluno resulta das</p><p>conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas,</p><p>entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece</p><p>entre os diferentes temas matemáticos (BRASIL, 1997, p. 19).</p><p>a) a matemática como criação humana; b) as razões pelas quais</p><p>as pessoas fazem matemática; c) as necessidades práticas,</p><p>sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao</p><p>desenvolvimento das ideias matemáticas (MIGUEL, 1997, p. 77).</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática122</p><p>(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta</p><p>à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da</p><p>investigação, individualmente, aos pares, em pequenos</p><p>grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados,</p><p>em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado”</p><p>(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 25-26).</p><p>Vamos conhecer alguns exemplos de atividades:</p><p>Procure descobrir relações entre os números:</p><p>Como sempre, registre as conclusões que for obtendo.</p><p>ATIVIDADE 1: Exploração com números (PONTE; BROCARDO;</p><p>OLIVEIRA, 2009, p. 27)</p><p>Nessa atividade, solicita-se ao estudante que identifique relações</p><p>entre os números que constam na seguinte tabela:</p><p>Fonte: Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 27).</p><p>Tabela 3.1. | Explorações com números</p><p>0 1 2 3</p><p>4 5 6 7</p><p>8 9 10 11</p><p>12 13 14 15</p><p>16 17 18 19</p><p>... ... ... ...</p><p>É natural que no começo os estudantes não compreendam o</p><p>que é para fazer, mas o professor precisa orientá-los que precisarão</p><p>observar atentamente a tabela, manipular os números, “brincar” com</p><p>eles. Por exemplo, nessa atividade os estudantes poderão observar a</p><p>localização dos números pares, dos números ímpares, dos múltiplos</p><p>de 2, que são regularidades que estão bem explícitas nessa atividade.</p><p>Depois disso, o professor poderá dar início a alguns questionamentos,</p><p>como, por exemplo: “onde se encontram os múltiplos de 4?” (PONTE;</p><p>BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 123</p><p>ATIVIDADE 2: Estudando triângulos (SCHIMITT, 2015, p. 102).</p><p>Essa atividade será realizada a partir de confecção de materiais</p><p>manipuláveis. Para isso serão necessário canudinhos, barbante e</p><p>tesoura. Os estudantes serão orientados a cortarem canudinhos de</p><p>acordo com as medidas de cada item e, com o auxílio de pedaços de</p><p>barbante, serão instruídos a construírem triângulos.</p><p>As medidas dos canudinhos serão as seguintes: a) 8 cm, 9 cm e 5</p><p>cm; b) 9 cm, 3 cm e 7 cm; c) 15,4 cm, 12,3 cm e 9,1 cm; d) 2 cm, 5 cm</p><p>e 3 cm; e) 6 cm, 6 cm e 7 cm; f) 4 cm, 4 cm e 4 cm; g) 10 cm, 6 cm e</p><p>2 cm; h) 10 cm, 6 cm e 4 cm.</p><p>Fonte: <http://matematicasemtrauma.blogspot.com.br/2009_03_01_archive.html> Acesso em: 2 ago. 2017.</p><p>Figura 3.6 | Ilustração da construção de triângulos com canudos</p><p>Após esse primeiro momento de construção, o professor deverá</p><p>fazer alguns questionamentos: “quando é possível construir um</p><p>triângulo?” e “quando não é possível?”.</p><p>Nessa atividade investigativa espera-se que os estudantes percebam</p><p>a seguinte regularidade: só é possível construir um triângulo quando</p><p>um de seus lados for maior que o valor em módulo da diferença dos</p><p>outros dois lados, porém, menor que a soma destes.</p><p>Questão para reflexão</p><p>A partir dessa segunda atividade você poderia formular outros</p><p>questionamentos ou outras abordagens? E a partir da primeira atividade?</p><p>Perceba que para a atividade 2 também é possível solicitar aos</p><p>estudantes que reproduzam os triângulos construídos com canudos</p><p>em um papel quadriculado e, com o auxílio de um transferidor, obter-</p><p>se a medida dos ângulos internos de cada triângulo, questionando-</p><p>os: “qual o valor da soma das medidas dos ângulos internos de cada</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática124</p><p>triângulo?”.</p><p>Enfim, a partir de uma mesma atividade investigativa, outras</p><p>poderiam ser propostas. Basta “dar asas” à imaginação e criatividade!</p><p>2.2.4 Modelagem Matemática</p><p>Sobre a Modelagem Matemática podemos considerar que:</p><p>[...] como alternativa pedagógica, inserimos os alunos</p><p>em um contexto de aprendizagem em que a discussão</p><p>de situações-problema, geralmente extramatemáticas,</p><p>a matematização dessas situações, a participação ativa e</p><p>o uso de múltiplas representações se fazem essenciais.</p><p>Mais do que utilizar os conceitos matemáticos como</p><p>instrumentos para a investigação da situação, na atividade</p><p>de modelagem os alunos são levados a pensar sobre os</p><p>objetos matemáticos em si (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN,</p><p>2013, p. 153).</p><p>A Modelagem Matemática, de certa forma, também apresenta</p><p>características de Investigação Matemática e da Resolução de</p><p>Problemas e, um de seus principais diferenciais é que parte de situações</p><p>reais, de modo a contextualizar o conhecimento matemático. Essa sua</p><p>característica permite, ainda,</p><p>cumprir com as orientações dos PCN</p><p>(1997) no que diz respeito à necessidade de desenvolver um trabalho</p><p>com a Matemática de maneira interdisciplinar e transdisciplinar, além</p><p>de permitir com facilidade abordar temas transversais, como meio</p><p>ambiente, saúde, sustentabilidade etc.</p><p>Tais características auxiliam a incentivar o trabalho em grupos, a</p><p>inserir o estudante em contexto investigativo e a motivá-lo a perceber a</p><p>essencialidade e presencialidade da Matemática em diversas situações</p><p>reais e, até mesmo, cotidianas.</p><p>Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2013), em geral, o processo da</p><p>Modelagem Matemática requer três etapas básicas:</p><p>• Inteiração: nessa etapa, como o próprio nome diz, corresponde</p><p>ao ato de inteirar-se, de informar-se sobre algo. No contexto da</p><p>Modelagem Matemática, a inteiração corresponde ao momento em</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 125</p><p>que se começa a conhecer a situação-problema em seus pormenores.</p><p>Compreende-se nessa etapa, duas subetapas: reconhecimento da</p><p>situação-problema e familiarização com o assunto a ser modelado, em</p><p>que ambas podem ser compreendidas como concomitantes durante</p><p>o processo de inteiração, pois essas subetapas estão relacionadas à</p><p>compreensão da situação-problema. Os objetivos nessa etapa são:</p><p>informar-se sobre as características e especificidades da situação em</p><p>estudo; delimitar um problema; e, definir as estratégias para solucionar</p><p>o problema delimitado.</p><p>• Matematização: essa etapa, certamente, caracteriza-se como</p><p>a mais desafiadora, pois será nesse momento que a situação-problema,</p><p>apresentada, até então, em linguagem natural, será traduzida para a</p><p>linguagem matemática. Para essa etapa destacamos duas subetapas:</p><p>formulação do problema e resolução do problema em termos do</p><p>modelo, que correspondem, respectivamente, à tradução da situação-</p><p>problema para uma linguagem matemática, por meio de expressões,</p><p>equações, gráficos etc., que auxiliem no processo de busca da</p><p>solução e na análise ou na própria resolução a partir das ferramentas</p><p>matemáticas que se têm disponíveis. Nessa etapa, objetiva-se</p><p>classificar as informações (relevantes e não relevantes), identificando</p><p>fatos envolvidos; decidir quais são os fatores a serem perseguidos,</p><p>levantando hipóteses; selecionar variáveis relevantes e constantes</p><p>envolvidas; selecionar símbolos apropriados para essas variáveis;</p><p>descrever essas relações em termos matemáticos (modelo); e, analisar</p><p>e resolver o problema a partir do modelo matemático elaborado.</p><p>• Modelo Matemático: essa etapa refere-se à conclusão do</p><p>modelo, momento em que o mesmo é avaliado tendo como foco</p><p>evidenciar o nível de aproximação entre o modelo e a situação-problema</p><p>que ele representa, corroborando, assim, para o grau de confiabilidade</p><p>em utilizá-lo. Compreende duas subetapas: a interpretação do modelo,</p><p>que é a análise das implicações da solução oriunda do modelo, e a</p><p>validação do modelo, que é o retorno à situação-problema para avaliar</p><p>quão significativa e relevante é a solução obtida por meio do modelo.</p><p>Os objetivos nessa etapa são: avaliar a aproximação do modelo com</p><p>a situação que representa; inferir sobre o grau de confiabilidade do</p><p>modelo; e retornar à situação-problema para verificar se as soluções</p><p>obtidas com o modelo matemático se adequam à situação.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática126</p><p>Para saber mais</p><p>Como desenvolver atividades de Modelagem Matemática nos anos</p><p>iniciais do Ensino Fundamental? É possível? É sim e existem pesquisas</p><p>que afirmam isso!</p><p>Acessando o link indicado na sequência, você encontrará a dissertação</p><p>do Emerson Tortola, que desenvolveu e aplicou algumas atividades de</p><p>Modelagem Matemática para estudantes dos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental:</p><p><http://www.bibliotecadigital.uel.br/document/?view=vtls000181740>.</p><p>Acesso em: 30 ago. 2017.</p><p>2.2.5 Jogos</p><p>Os jogos, mais especificamente os jogos matemáticos, são recursos</p><p>pedagógicos que possibilitam aumentar a motivação do estudante para</p><p>aprender, desenvolver a autoconfiança, a se organizar e a organizar as</p><p>suas ideias, estimula a imaginação e a concentração e, o principal disso</p><p>tudo, auxilia, de maneira divertida, o desenvolvimento do raciocínio</p><p>lógico-matemático.</p><p>Quanto ao jogo como recurso metodológico para o ensino de</p><p>Matemática, em que destacamos para o ensino dessa disciplina nos</p><p>anos inicias do Ensino Fundamental, Panizza (2006, p. 53) defende que</p><p>a introdução de jogos nas aulas de Matemática é a</p><p>possibilidade de ensinar e diminuir bloqueios apresentados</p><p>por crianças/alunos que temem a disciplina e se sentem</p><p>incapazes de aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde</p><p>é impossível uma atitude passiva, nota-se, que ao mesmo</p><p>tempo em que estes alunos falam Matemática, apresentam</p><p>também um melhor desempenho e atitudes mais positivas</p><p>frente a processos de aprendizagem.</p><p>Na internet, em livros e artigos encontramos uma infinidade de</p><p>sugestões de jogos que podem ser aplicados nos anos iniciais para</p><p>auxiliar na aprendizagem dos mais diversos conteúdos matemáticos.</p><p>Mas é importante que sempre haja um planejamento por parte do</p><p>professor, destacando quais são as suas intenções pedagógicas com o</p><p>jogo que pretende aplicar, para que o estudante não jogue apenas “por</p><p>jogar”, mas que conheça quais são as regras e finalidades do jogo de</p><p>maneira clara, para que seja possível atingi-las.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 127</p><p>Quando abordamos a respeito de materiais manipulativos, foi</p><p>mencionado que é possível utilizá-los para propor jogos matemáticos.</p><p>Também, é possível o professor confeccionar materiais e jogos e, até</p><p>mesmo, propor aos estudantes que confeccionem. Saiba que até</p><p>nesse momento é possível estudar muita matemática!</p><p>Vamos conhecer um jogo em que utiliza-se o Material Dourado e</p><p>dados para compreender a adição com números naturais e o Sistema</p><p>de Numeração Decimal.</p><p>Jogo “Nunca Dez”: para esse jogo o professor poderá organizar os</p><p>estudantes em grupos, disponibilizando para cada grupo um conjunto</p><p>completo de Material Dourado e pelo menos um dado.</p><p>Fonte: <http://emebe-bepe.blogspot.com.br/2016/04/o-jogo-nunca-dez.html>. Acesso em: 2 ago. 2017.</p><p>Figura 3.7 – Materiais necessários para o jogo “Nunca Dez”</p><p>O grupo decidirá de alguma forma quem deverá começar o jogo.</p><p>Cada estudante, na sua vez de jogar, lança o(s) dado(s) e, em seguida,</p><p>deverá retirar a quantidade de cubinhos (ou quadradinhos) conforme a</p><p>quantidade que saiu no dado.</p><p>No momento que o estudante acumular dez ou mais cubinhos</p><p>(quadradinhos), deverá trocá-los por uma barra. Do mesmo modo,</p><p>quando acumular dez ou mais barras, deverá trocá-las por uma placa.</p><p>Vencerá o jogo quem primeiro conseguir dez placas ou atingir outro</p><p>critério estabelecido pelo grupo no início do jogo. Ou, também, poderá</p><p>ser estipulado um tempo de jogo, vencendo aquele estudante que</p><p>conseguir arrecadar um número maior de placas ou barras.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática128</p><p>Com esse jogo é possível promover o cálculo mental, o raciocínio</p><p>de troca e equivalência a partir dos agrupamentos de dez em dez que</p><p>são realizados entre dados, barras e placas, a leitura das unidades,</p><p>dezenas e centenas, bem como a associação da ideia de “falta quanto</p><p>para...” da subtração.</p><p>Para saber mais</p><p>Você pode encontrar mais sugestões de jogos matemáticos para os anos</p><p>iniciais do Ensino Fundamental, acessando o material disponível em:</p><p>< h t t p : / / w w w . e d u c a c i o n a l . c o m . b r / u p l o a d /</p><p>blogSite/1012/1012548/22835/Apostila%20de%20Jogos%202%20</p><p>ao%205%20ano%20-%20Curso%2020111952011172318.pdf></p><p><http://www.eja.educacao.org.br/areadoeducador/Socializao%20</p><p>de%20Prticas%20Pedaggicas/Colet%C3%A2nea%20de%20Jogos%20</p><p>e%20Materiais%20Manipul%C3%A1veis/Colet%C3%A2nea%20de%20</p><p>Jogos%20e%20Materiais%20Manipul%C3%A1veis.pdf></p><p>Acessos em: 1 ago. 2017.</p><p>2.2.6 Tecnologias</p><p>Os recursos tecnológicos</p><p>certamente não podem faltar no ensino</p><p>de Matemática: primeiro porque nossos estudantes já cresceram na</p><p>era digital, cercados de muitas inovações tecnológicas. Segundo,</p><p>porque muitos conceitos matemáticos, sobretudo os mais abstratos,</p><p>podem se tornar acessíveis por meio de computadores. Assim,</p><p>recursos tecnológicos podem auxiliar com a visualização gráfica,</p><p>com o desenvolvimento de cálculos com valores muito grandes, com</p><p>a percepção e descoberta de propriedades, com a organização e</p><p>tratamento de dados etc. (BITTAR; FREITAS, 2005).</p><p>E, assim como no caso de jogos, ao propor atividades a partir de</p><p>recursos computacionais aos estudantes, é importante que o professor</p><p>esteja muito bem preparado para isso, tendo definido claramente que</p><p>objetivos pretende alcançar. Além disso, Gravina e Santarosa (1998)</p><p>ressaltam que são necessárias aplicações de ações coordenadas do</p><p>sujeito para que o ensino e a aprendizagem matemática em ambientes</p><p>informatizados ocorram de maneira construtiva e objetiva:</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 129</p><p>Experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjeturar,</p><p>abstrair, generalizar e enfim demonstrar. É o aluno</p><p>agindo, diferentemente de seu papel passivo frente a</p><p>uma apresentação formal do conhecimento, baseada</p><p>essencialmente na transmissão ordenada de ‘fatos’,</p><p>geralmente na forma de definições e propriedades.</p><p>Numa tal apresentação formal e discursiva, os alunos não</p><p>se engajam em ações que desafiem suas capacidades</p><p>cognitivas, sendo-lhes exigido no máximo memorização</p><p>e repetição, e consequentemente não são autores</p><p>das construções que dão sentido ao conhecimento</p><p>matemático” (GRAVINA; SANTAROSA, 1998, p. 01).</p><p>Questão para reflexão</p><p>Quando abordamos tecnologias no ensino de Matemática, logo nos</p><p>vem à mente o computador, o celular, softwares etc. Mas será que a</p><p>calculadora também não poderia ser considerada como um recurso</p><p>tecnológico para o ensino de Matemática? E como utilizá-la nos anos</p><p>iniciais do Ensino Fundamental?</p><p>Para saber mais</p><p>Para te ajudar a responder à última Questão para Reflexão que foi</p><p>proposta, sobre o uso de calculadoras nos anos iniciais do Ensino</p><p>Fundamental, acesse:</p><p><ht tp://www.sc ie lo .br/pdf/bolema/v28n50/1980-4415-</p><p>bolema-28-50-1579.pdf>. Acesso em: 28 ago. 2017.</p><p>E para conhecer mais sobre as Tecnologias como recurso metodológico,</p><p>acesse:</p><p><https://www.univates.br/editora-univates/media/publicacoes/144/</p><p>pdf_144.pdf>.</p><p><http://nead.riogrande.ifrs.edu.br/midias/Ciclo%20Avancado%20-%20</p><p>(2009-2010)/POLO%20FLORIAN%D3POLIS/Rodrigo%20Borba%20</p><p>de%20Oliveira.PDF>. Acesso em: 2 ago. 2017.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática130</p><p>2.2.7 Etnomatemática</p><p>Considerando que a Matemática precisa ser compreendida como</p><p>uma construção histórica, política e social, a Etnomatemática é</p><p>uma abordagem histórico-cultural da Matemática que contempla as</p><p>diversas maneiras de se trabalhar um mesmo conceito matemático,</p><p>diversidade essa que está relacionada às diferentes culturas. Portanto, a</p><p>Etnomatemática leva em consideração que cada grupo cultural possui</p><p>identidade própria ao pensar e agir, ou seja, possui um modo próprio</p><p>de desenvolver o conhecimento matemático.</p><p>Enquanto dimensão educacional podemos compreender a</p><p>Etnomatemática como o recurso metodológico em que se objetiva</p><p>compreender o saber e o fazer matemático da realidade social e</p><p>cultural que está próxima do estudante. A partir desse conhecimento, é</p><p>possível planejar e propor ações pedagógicas o mais próximas e naturais</p><p>possíveis da realidade social e cultural desse estudante (D’AMBRÓSIO,</p><p>2002, apud VELHO; LARA, 2013).</p><p>Vamos conhecer uma proposta de atividade.</p><p>ATIVIDADE: Compra de uma estante de livros (Adaptada de VELHO;</p><p>LARA, 2013).</p><p>Simular uma compra de uma estante de livros e investigar como um</p><p>marceneiro desenvolveria o projeto sabendo que desejamos comprar</p><p>uma estante de 2 metros de altura e que contenha duas portas. Para</p><p>analisar esse tipo de situação, os estudantes serão levados a conhecer</p><p>na prática os conhecimentos de um marceneiro, preferencialmente,</p><p>que não tenha concluído seus estudos ou que apresenta baixo nível</p><p>de escolarização. Que conhecimentos matemáticos esse marceneiro</p><p>utiliza para resolver uma situação como esta, de planejamentos</p><p>possíveis para construção dessa estante de livros? Que comparações</p><p>podem ser estabelecidas entre “a matemática do marceneiro” e “a</p><p>matemática escolar”?</p><p>Chegamos ao final das apresentações das alternativas metodológicas</p><p>principais para a Educação Matemática. Pesquise mais sobre propostas</p><p>de atividades que você poderá, na sua futura prática docente, propor</p><p>em suas aulas de Matemática. Mas, melhor do que isso, aprofunde seus</p><p>conhecimentos a respeito de cada uma das alternativas metodológicas e</p><p>tente criar suas próprias atividades. Seja criativo!</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 131</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. Uma professora de Matemática, ao trabalhar com a metodologia de</p><p>Resolução de Problemas com sua turma do 5º ano do Ensino Fundamental</p><p>propôs o seguinte problema: “Otávio é um sapo. Ele come vinte moscas por</p><p>dia. Quando Otávio se disfarça, ele consegue comer o triplo de moscas. E,</p><p>quando usa óculos espelhados, come o quádruplo do que consegue comer</p><p>disfarçado. Otávio se disfarça duas vezes por semana e nas sextas-feiras</p><p>usa os seus óculos espelhados. Aos domingos ele jejua. Em uma semana,</p><p>quantas moscas Otávio come?”</p><p>Por que essa situação pode ser considerada como um problema</p><p>matemático? Justifique sua resposta.</p><p>2. Tendo em vista o desenvolvimento do pensamento geométrico, a</p><p>professora Josiane propôs a uma de suas turmas do Ensino Fundamental</p><p>uma atividade envolvendo dobragem e cortes de papel. Conforme orientava</p><p>os estudantes quanto às dobragens e aos cortes que deveriam realizar, a</p><p>professora fazia questionamentos tais como: “realizando esse procedimento,</p><p>que tipo de figura você obteve?”; “Seria possível obter um quadrado fazendo</p><p>cortes e dobragens?” e “O que aconteceu com três dobragens? E com</p><p>quatro?”.</p><p>Para organizar suas observações, os estudantes esboçaram e preencheram</p><p>uma tabela com informações sobre número de dobragens e quantidade de</p><p>lados. Após, tendo em mãos esses dados, os estudantes conjecturaram e</p><p>explicaram as relações que evidenciaram.</p><p>É correto afirmar que a atividade relatada apresenta características,</p><p>principalmente, de uma das opções metodológicas a seguir. Assinale a</p><p>alternativa que apresenta a opção correta:</p><p>a) Etnomatemática.</p><p>b) Modelagem Matemática.</p><p>c) Investigação Matemática.</p><p>d) Resolução de Problemas.</p><p>e) História da Matemática.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática132</p><p>Fique ligado</p><p>Nessa unidade você aprendeu:</p><p>• Que existem diferentes formas de pensamento que precisam ser</p><p>desenvolvidas pelos estudantes em aprendizagem em Matemática, são</p><p>elas: o pensamento algébrico, o pensamento aritmético; o pensamento</p><p>geométrico e o pensamento estatístico-probabilístico;</p><p>• Que as diferentes formas de pensar da Matemática constituem o</p><p>desenvolvimento de uma forma maior de pensamento, que é o lógico-</p><p>matemático;</p><p>• Que as diferentes formas de pensar da Matemática apresentam</p><p>características particulares e orientações próprias para seu</p><p>desenvolvimento, mas ainda assim é possível evidenciarmos aspectos</p><p>que nos permitem concluir que elas podem e precisam se trabalhadas</p><p>de maneira integrada sempre que possível;</p><p>• Que existem diferentes alternativas metodológicas da Educação</p><p>Matemática que podem ser consideradas para o ensino e a</p><p>aprendizagem Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental.</p><p>Para concluir o estudo da unidade</p><p>Nessa unidade, você estudou que o pensamento lógico-</p><p>matemático é uma forma de pensamento mais abrangente que</p><p>envolve outras formas de pensar próprias da Matemática. Essas formas</p><p>de pensamento são: aritmético, algébrico, geométrico e estatístico-</p><p>probabilístico.</p><p>Além dessas formas de pensamento existem conceitos</p><p>que estruturam a Matemática – generalizar, estimar, representar etc.</p><p>–, tendo como foco capacitar o estudante a resolver problemas,</p><p>comunicar, atuar na realidade e raciocinar.</p><p>E tendo em vista o desenvolvimento dessas formas de pensamento</p><p>e a formação do estudante de maneira que esteja apto a desenvolver</p><p>as capacidades elencadas, aulas expositivas não bastam. Ao estudante</p><p>precisam ser propostas situações diversas, para as quais não basta</p><p>aplicar um conteúdo, mas se faz necessário mobilizar e construir</p><p>conhecimentos, investigar, refletir, conjecturar e avaliar. É nesse</p><p>direcionamento que apresentamos aspectos principais das alternativas</p><p>metodológicas da Educação Matemática, sugerindo algumas</p><p>possibilidades de atividades para serem propostas nos anos iniciais do</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 133</p><p>Ensino Fundamental. Além disso, também destacamos as atribuições</p><p>do material manipulável como recurso didático e metodológico para</p><p>essa etapa de ensino.</p><p>Aprofunde seus estudos com base nas referências indicadas e</p><p>amplie seus conhecimentos realizando as leituras sugeridas durante as</p><p>seções da unidade. Também, reflita a respeito das questões de reflexão</p><p>propostas, associando-as com os conceitos abordados nessa unidade</p><p>e nos materiais sugeridos. E não esqueça de responder às atividades de</p><p>aprendizagem propostas nessa unidade: elas são importantes para que</p><p>você possa avaliar sua aprendizagem.</p><p>Espero que os conteúdos apresentados nas seções dessa unidade</p><p>possam auxiliá-lo na sua futura prática em sala de aula, a partir do</p><p>reconhecimento das possibilidades diversas de oportunizar aos</p><p>estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental a construção de</p><p>seus próprios conhecimentos.</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. Uma das formas de pensamento matemático que precisa ser desenvolvida</p><p>nos anos iniciais do Ensino Fundamental e no decorrer de todo o processo</p><p>de escolarização é o pensamento geométrico. Sobre essa forma de</p><p>pensamento, o modelo Van Hiele apresenta cinco níveis de pensamento</p><p>geométrico, dentre os quais necessariamente os quatro primeiros são</p><p>possíveis de serem atingidos por um estudante dos anos inicias do Ensino</p><p>Fundamental:</p><p>I. Visualização.</p><p>II. Análise.</p><p>III. Dedução Informal.</p><p>IV. Dedução Formal.</p><p>Considere que em uma aula de Matemática, um professor questione aos</p><p>estudantes: “Que tipo de figura é essa? Como você sabe?” e desenhe no</p><p>quadro a figura de um retângulo. Alguns estudantes apresentam as seguintes</p><p>respostas:</p><p>A – “Quatro lados... fechado... dois lados compridos... dois lados curtos...</p><p>lados opostos paralelos... quatro ângulos retos... Mas não lembro o nome”;</p><p>B – “É um paralelogramo com quatro ângulos retos”.</p><p>C – “Eu acho que é um retângulo, porque parece uma porta”;</p><p>D – “Eu posso provar que é um retângulo, porque a figura é um paralelogramo,</p><p>um dos ângulos internos é reto...”.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática134</p><p>Categorize cada uma das respostas apresentadas pelos estudantes conforme</p><p>o nível de compreensão, segundo o modelo Van Hiele:</p><p>a) I – A; II – C; III – D; IV – B</p><p>b) I – C; II – A; III – B; IV – D</p><p>c) I – B; II – D; III – C; IV – A</p><p>d) I – D; II – B; III – A; IV – C</p><p>e) I – C; II – A; III – D; IV – B</p><p>2. As alternativas metodológicas para o ensino de Matemática podem ser</p><p>utilizadas para introduzir um conteúdo, para aprofundar sua compreensão</p><p>ou para revisar um conteúdo já estudado. E, apesar de algumas delas</p><p>apresentarem semelhanças, também apresentam algumas características</p><p>que lhe são particulares.</p><p>Analise, na sequência, essas metodologias e descrições de algumas</p><p>atividades no ensino de Matemática:</p><p>1 – Etnomatemática.</p><p>2 – Modelagem Matemática.</p><p>3 – Investigação Matemática.</p><p>4 – Jogos.</p><p>5 – Tecnologias.</p><p>6 – História da Matemática.</p><p>( ) Na aprendizagem sobre propriedades de triângulos, um professor</p><p>solicitou aos seus alunos que entrevistassem alguns pedreiros sobre como</p><p>eles calculam a estrutura de madeira para o telhado e por que eles formam</p><p>triângulos e não outras figuras geométricas.</p><p>( ) Para iniciar o estudo sobre ângulos, o professor apresentou a seus alunos</p><p>algumas ideias associadas à ângulo agudo, trazendo a informação de que</p><p>as flechas desde os povos da idade da pedra, tem ponta aguda, pois esse</p><p>formato auxilia na direção, na aerodinâmica e penetra com maior facilidade</p><p>no animal caçado.</p><p>( ) Em uma aula de Grandezas e Medidas, o professor organizou os alunos</p><p>em grupos para determinarem quanto lixo há jogado nas quadras em torno</p><p>da escola. Para isso, eles tiveram que fazer pesquisas sobre o tema “lixo</p><p>jogado nas ruas”, coletar informações, organizá-las e interpretá-las, elaborar</p><p>um modelo que descreve a quantidade de lixo jogado nas ruas e, por fim,</p><p>testar e validar o modelo elaborado.</p><p>Para cada descrição de atividade, associe uma única metodologia para o</p><p>ensino de Matemática:</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 135</p><p>3. Polya (2006) estabelece que existem quatro etapas principais para a</p><p>resolução de um problema:</p><p>(A) Compreender o problema.</p><p>(B) Elaborar um plano.</p><p>(C) Executar o plano.</p><p>(D) Fazer o retrospecto ou verificação.</p><p>Suponha um exemplo bastante simples, que um professor propôs para</p><p>crianças no início da escolarização matemática: “Pedro e José possuem,</p><p>juntos, 36 figurinhas. Pedro possui 6 a mais que José. Quantas figurinhas</p><p>tem cada um?” (DANTE, 2007, p. 23).</p><p>Enumere cada uma das seguintes descrições conforme a etapa que</p><p>representa:</p><p>( ) O estudante pensa em algumas estratégias, tais como, representação do</p><p>problema, tentativa e erro, redução ao que tem menos e ao que tem mais e</p><p>representação geométrica.</p><p>( ) O estudante verifica cada passo a ser dado, realizando algumas das</p><p>estratégias que pensou.</p><p>( ) O estudante se questiona: “O que se pede no problema?”, “Quais são</p><p>os dados e as condições do problema?”, “É possível fazer um esquema da</p><p>situação?”, “É possível estimar ou chutar a resposta?”.</p><p>( ) O estudante revê seus pensamentos iniciais, como encaminhou suas</p><p>estratégias de resolução e seus cálculos, sendo possível detectar possíveis</p><p>erros.</p><p>Assinale a alternativa correta:</p><p>a) B, C, A, D</p><p>b) A, B, D, C</p><p>c) C, A, D, B</p><p>d) A, D, C, B</p><p>e) B, D, A, C</p><p>a) 2, 1 e 4.</p><p>b) 1, 6 e 2.</p><p>c) 3, 2 e 6.</p><p>d) 3, 6 e 4.</p><p>e) 1, 6 e 3.</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática136</p><p>4. Dentre as alternativas metodológicas para o ensino de Matemática</p><p>nos anos iniciais, encontramos a Modelagem Matemática. Esta alternativa</p><p>metodológica consiste na arte de transformar problemas da realidade</p><p>em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na</p><p>linguagem do mundo real.</p><p>A respeito da Modelagem Matemática como estratégia de aprendizagem,</p><p>considere as afirmativas a seguir:</p><p>( ) A Modelagem Matemática parte de uma situação ou problema da</p><p>realidade e tenta modelá-lo por meio de linguagem matemática que é</p><p>chamado de modelo;</p><p>( ) A Modelagem Matemática é importante no processo de ensino porque,</p><p>entre outras coisas, contribui para preparar o aluno para entender exemplos</p><p>representativos de aplicações de conceitos matemáticos;</p><p>( ) A Modelagem Matemática só é possível de ser realizada a partir do</p><p>Ensino Médio, pois exige conhecimentos muitos complexos, não sendo</p><p>possível um trabalho nessa perspectiva em anos escolares anteriores.</p><p>Julgue cada uma das afirmativas em verdadeira (V) ou falsa (F) e, em seguida,</p><p>assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo:</p><p>a) V, V, V</p><p>b) V, F, F</p><p>c) F, V, V</p><p>d) V, F, V</p><p>e) V, V, F</p><p>5. Uma das alternativas metodológicas para o ensino da Matemática é a</p><p>Etnomatemática. Essa alternativa leva em consideração que cada grupo</p><p>cultural possui identidade própria ao pensar e agir e, portanto, possui</p><p>um modo próprio de desenvolver o conhecimento matemático. Assim,</p><p>a Etnomatemática visa explicitar os processos de geração, organização</p><p>e</p><p>transmissão de conhecimentos em diversos sistemas culturais.</p><p>Considerando a Etnomatemática como uma proposta alternativa para a</p><p>ação pedagógica de Matemática, analise cada uma das afirmativas a seguir:</p><p>I – Desconsidera que o aluno possui uma identidade cultural e, sendo assim,</p><p>ao se envolver com uma situação-problema da realidade, tanto seu sucesso</p><p>quanto seu fracasso precisa ser pensado a partir dessa identidade.</p><p>II – Procura entender aspectos como processos de pensamento, modos</p><p>de explicar, entender e agir na realidade, dentro de um contexto cultural</p><p>próximo ao estudante.</p><p>III – Procura entender e explicar as matemáticas de diferenciadas culturas</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática 137</p><p>por meio de algoritmos, conceitos e procedimentos da matemática formal,</p><p>ou seja, exclusivamente da matemática escolar (acadêmica).</p><p>Assinale a alternativa que indica apenas afirmativas(s) correta(s):</p><p>a) I</p><p>b) II</p><p>c) III</p><p>d) I e III</p><p>e) II e III</p><p>U3 - Alternativas pedagógicas para o ensino e a aprendizagem da matemática138</p><p>Referências</p><p>ALMEIDA, L. 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Mas afinal, por que é importante conhecer</p><p>outros sistemas de numeração se vamos trabalhar a maior parte do</p><p>tempo nas salas de aula dos primeiros anos do Ensino Fundamental</p><p>com o sistema de numeração utilizado atualmente?</p><p>1.2 Características do Sistema de Numeração Decimal</p><p>O sistema de numeração que utilizamos atualmente no Ocidente é o</p><p>Sistema de Numeração Decimal (SND), originário das antigas civilizações</p><p>que ocuparam o vale do rio Indo há mais de 2.000 anos (ROONEY,</p><p>2012). O Sistema de Numeração Decimal também é conhecido como</p><p>sistema de numeração indo-arábico por ter sido desenvolvido pelos</p><p>hindus e aperfeiçoado e difundido para a Europa Ocidental pelos árabes</p><p>(EVES, 2004).</p><p>O SND possui apenas 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9),</p><p>chamados de algarismos, palavra que deriva do nome do matemático</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal14</p><p>e astrônomo al-Khwarizmi (c. 780-850). Com os algarismos é possível</p><p>representar qualquer número e, ao representar um número, temos um</p><p>numeral. De modo geral, os símbolos são chamados de algarismos, o</p><p>número é uma ideia e a representação de um número, seja ela falada</p><p>ou escrita, é chamada de numeral.</p><p>Para saber mais</p><p>O matemático e astrônomo persa al-Khwarizmi nasceu em Khwarizm,</p><p>hoje chamada Khiva, no Uzbequistão [...]. Ele traduziu textos hindus</p><p>para o árabe e foi responsável pela introdução dos numerais hindus</p><p>na matemática árabe. Depois, seu trabalho foi traduzido para o latim,</p><p>dando à Europa não apenas os métodos numéricos e aritméticos, mas</p><p>também a palavra “algoritmo” derivada de seu nome. Quando o trabalho</p><p>de al-Khwarizmi foi traduzido, as pessoas acharam que ele tinha criado</p><p>o novo sistema numérico que ele promovia, e este se tornou conhecido</p><p>como "algarismo" (ROONEY, 2012, p. 22).</p><p>De acordo com Eves (2004, p. 40), “os mais antigos exemplos de</p><p>nossos atuais símbolos numéricos encontram-se em algumas colunas</p><p>de pedra erigidas na Índia por volta do ano 250 a.C. pelo rei Açoka”.</p><p>Segundo o mesmo autor, essas primeiras inscrições não continham o</p><p>algarismo zero (0), que provavelmente foi introduzido na Índia em um</p><p>período anterior ao ano 800 d.C. De acordo com Caraça (2003, p. 6)</p><p>a “criação de um símbolo para representar o nada constituiu “um dos</p><p>actos mais audazes do pensamento, uma das maiores aventuras da</p><p>razão [...] e foi devido às exigências da numeração escrita”.</p><p>No entanto, os algarismos passaram por diversas modificações até</p><p>chegar ao formato atual que conhecemos.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 15</p><p>Fonte: Ifrah (1989, p. 310).</p><p>Figura 1.2 | Evolução dos algarismos</p><p>O SND é posicional, isto é, dependendo da posição do algarismo</p><p>na representação de um número ele pode corresponder a diferentes</p><p>valores. Como exemplo, vamos analisar o valor posicional do algarismo</p><p>4. Assim, no numeral:</p><p>• 2904 o algarismo 4 corresponde a 4 unidades .</p><p>• 7146 o algarismo 4 corresponde a 4 dezenas ou 40 unidades.</p><p>• 8435 o algarismo 4 corresponde a 4 centenas ou 400 unidades.</p><p>• 4601 o algarismo 4 corresponde a 4 unidades de milhar ou</p><p>4.000 unidades.</p><p>O zero (0) indica a ausência de quantidade. Por exemplo, utilizando</p><p>o princípio da posição para analisar o numeral 10, temos 1 dezena e 0</p><p>unidades, já no 32 temos 3 dezenas e 2 unidades.</p><p>O princípio de posição não foi a única regra à qual os sinais</p><p>de enumeração foram submetidos. Trata-se, na realidade,</p><p>de uma regra muito elaborada - a mais elaborada da</p><p>História. Sua descoberta esteve longe de ser evidente para</p><p>os povos ao longo das eras. A observação é válida com</p><p>mais razão ainda para o zero, que corresponde a um dos</p><p>conceitos mais abstratos que o homem pôde imaginar.</p><p>(IFRAH, 1997, p. 49)</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal16</p><p>O valor correspondente a um algarismo na escrita de um número, de</p><p>acordo com sua posição, é chamado de valor relativo. Por exemplo, em</p><p>6923 o valor relativo do algarismo 6 é 6.000, do 9 é 900, do 2 é 20 e do</p><p>3 é 3. Já o valor absoluto de um algarismo é o valor que lhe é atribuído,</p><p>independentemente de sua posição no numeral. Por exemplo, em 7148,</p><p>o valor absoluto do algarismo 7 é 7, do 1 é 1, do 4 é 4 e do 8 é 8.</p><p>Dar certa relevância e trabalhar de maneira adequada nas aulas dos</p><p>primeiros anos do Ensino Fundamental com a questão do valor relativo é</p><p>de extrema importância para o desenvolvimento matemático dos alunos.</p><p>O Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC) indica que</p><p>Para saber mais</p><p>Para mais detalhes a respeito do sistema de numeração dos antigos</p><p>egípcios, do sistema de numeração romano e do sistema de</p><p>numeração hindu-arábico, assista ao vídeo disponível em: <http://</p><p>objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/24569>. Acesso em: 27</p><p>jul. 2017.</p><p>No SND, a ordem dos algarismos é indicada pela sua posição na</p><p>escrita de um número, contada da direita para a esquerda. Além disso,</p><p>cada grupo de três ordens recebe o nome de classe. Assim, podemos</p><p>construir um quadro de ordens e classes para representar números.</p><p>Veja como podemos representar 94157 no quadro de ordens e classes.</p><p>talvez a maior dificuldade para o processo de letramento</p><p>matemático, no que diz respeito aos números, consiste</p><p>na compreensão do funcionamento do Sistema de</p><p>Numeração Decimal e da sua característica mais</p><p>importante em relação à escrita: o fato de ser um sistema</p><p>posicional (BRASIL, 2014, p. 6).</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 17</p><p>Fonte: elaborado pelo autor.</p><p>Quadro 1.1 | Quadro de ordens e classes</p><p>Classe dos milhares Classe das unidades simples</p><p>6a ordem 5a ordem 4a ordem 3a ordem 2a ordem 1a ordem</p><p>Centenas</p><p>de milhar</p><p>Dezenas de</p><p>milhar</p><p>Unidades</p><p>de milhar</p><p>Centenas</p><p>simples</p><p>Dezenas</p><p>simples</p><p>unidades</p><p>simples</p><p>9 4 1 5 7</p><p>Lê-se: noventa e quatro mil, cento e cinquenta e sete.</p><p>O quadro de ordens e classes não se limita à classe dos milhares,</p><p>porque logo à sua esquerda pode ser inserida a classe dos milhões,</p><p>seguida da classe dos bilhões, dos trilhões e assim, sucessivamente.</p><p>A escrita de numerais no quadro de ordens e classes, além de</p><p>organizar a representação, pode auxiliar na leitura e escrita por extenso</p><p>de um numeral, facilitar a reconhecer o valor relativo de cada algarismo</p><p>que o compõe, entre outros. Por esses e outros motivos é muito</p><p>interessante, sempre que possível, trabalhar com o quadro de ordens</p><p>e classes com as crianças dos primeiros anos do Ensino Fundamental.</p><p>Observe como podemos indicar o valor relativo de cada um dos</p><p>algarismos do numeral 94157:</p><p>• 9 dezenas de milhar: 9 10000 90000⋅ =</p><p>• 4 unidades de milhar: 4 1000 4000⋅ =</p><p>• 1 centena: 1 100 100⋅ =</p><p>• 5 dezenas: 5 10 50⋅ =</p><p>• 7 unidades: 7 1 7⋅ =</p><p>Assim, podemos decompor o numeral 94157 das seguintes</p><p>maneiras:</p><p>• 94157 90000 4000 100 50 7= + + + + (princípio aditivo)</p><p>• 94157 9 10000 4 1000 1 100 5 10 7 1= × + × + × + × + ×</p><p>(princípio aditivo e multiplicativo)</p><p>Note que os numerais que representam as ordens podem ser</p><p>escritos como uma potência de base 10.</p><p>• dezenas de milhar: 10000 104=</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal18</p><p>• unidade de milhar: 1000 103=</p><p>• centena simples: 100 102=</p><p>• dezenas simples:10 101=</p><p>• unidades simples: 1 100=</p><p>Utilizando as potências de base 10, podemos decompor o numeral</p><p>94157 da seguinte maneira:</p><p>94157 9 10 4 10 1 10 5 10 7 104 3 2 1 0= × + × + × + × + ×</p><p>Além das maneiras apresentadas, existem diversas outras</p><p>maneiras de decompor um mesmo numeral. Podemos decompor</p><p>o numeral 94157 como 94157 94 1000 15 10 7= × + × + ou</p><p>94157 94000 157= + , por exemplo.</p><p>É evidente que não devemos utilizar as ideias de potenciação para</p><p>explorar o assunto de decomposição com os alunos dos primeiros</p><p>anos do Ensino Fundamental. Mas essa abordagem se faz relevante</p><p>nesse momento para concluirmos que o sistema de numeração</p><p>hindo-arábico</p><p>o planejamento e a avaliação. Esses aspectos são fundamentais para</p><p>que o professor realize um trabalho de excelência, mas não são os</p><p>únicos.</p><p>Ao final desta unidade espera-se que você compreenda como</p><p>esses aspectos são essenciais para o trabalho didático do professor</p><p>que ensina Matemática e, também, como podem fazer diferença na</p><p>sua atuação quanto futuro professor.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Nesta seção, apresentaremos o que é didática, qual a sua importância e como</p><p>ela pode auxiliar na formação e no trabalho do professor que ensina Matemática.</p><p>Ao abordar a formação e a atuação do professor que ensina Matemática,</p><p>destacaremos como dever ser a atitude e a condução do professor em suas aulas</p><p>e o planejamento delas.</p><p>Seção 1 | A didática e o planejamento na formação do professor que ensina</p><p>Matemática</p><p>Nesta seção, abordaremos um dos aspectos do trabalho didático do professor</p><p>que ensina Matemática: a avaliação. Respostas aos questionamentos: que é avaliar</p><p>e quais tipos e instrumentos de avaliação existentes, , finalizarão a nossa seção.</p><p>Seção 2 | A avaliação como parte do trabalho didático do professor que</p><p>ensina Matemática</p><p>Hallynnee Héllenn Pires Rossetto</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática142</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 143</p><p>Introdução à unidade</p><p>Pensar no trabalho didático do professor que ensina Matemática</p><p>é algo importante para quem deseja ser professor, ainda mais, diante</p><p>das dificuldades vividas pela educação no Brasil e com a chegada das</p><p>tecnologias de informação e de comunicação na escola. Ser professor</p><p>que ensina Matemática nos anos iniciais é ainda mais complexo,</p><p>pois há diversas questões envolvidas: Como ensinar e aprender?</p><p>Qual a importância da Matemática para essas crianças? Como se dá</p><p>formação desse professor? Qual a função do professor? Como se dá</p><p>o processo de ensino e aprendizagem nos anos iniciais? Como realizar</p><p>uma avaliação que não conduza ao fracasso escolar e a evasões?</p><p>Como fazer com que os erros sejam vistos como forma de crescer e</p><p>aprender?</p><p>Diante dessas inquietações, optou-se por estruturar esta unidade em</p><p>duas seções que se apresentam de forma a garantir o entendimento do</p><p>tema proposto. Inicialmente será abordado o que é didática, quando</p><p>ela surgiu, como a didática pode auxiliar na formação e na atuação no</p><p>trabalho do professor que ensina Matemática e como sua atitude e</p><p>condução, podem refletir no processo de formação, prática que será</p><p>executada.</p><p>Nesta primeira seção, trataremos de questões, como: O que é</p><p>planejamento? Para que realizar um planejamento? Quais itens são</p><p>necessários em um planejamento?</p><p>Na seção seguinte, apresenta-se aspectos relevantes para o trabalho</p><p>do professor, como: O que é e como avaliar? Há apenas um tipo de</p><p>avaliação? Quais instrumentos utilizar para avaliar?</p><p>Todos esses aspectos propostos para as duas seções são essenciais</p><p>para que se tenha um processo de ensino e aprendizagem significativo.</p><p>Relacione os conhecimentos que serão construídos nesta unidade</p><p>com os que você já possui a respeito do trabalho didático do professor</p><p>que ensina Matemática.</p><p>Bons estudos!</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática144</p><p>Seção 1</p><p>A didática e o planejamento na formação do</p><p>professor que ensina matemática</p><p>Introdução à seção</p><p>Pensar no tipo de escola que temos hoje, nos leva a profundas</p><p>reflexões e a um desejo por mudanças. A reestruturação da escola</p><p>com o objetivo de que todos tenham a oportunidade de aprender</p><p>é um desafio, mas não impossível. Uma das maneiras de refletirmos</p><p>sobre a reestruturação e sobre meios e oportunidades para que todos</p><p>aprendam, é repensar a formação do professor. É por meio desse</p><p>profissional que teremos a formação de muitos outros cidadãos, e que</p><p>esses, sejam críticos, saibam fazer escolhas, saibam tomar decisões e</p><p>discernir o certo do errado.</p><p>A escola, entendida como um ambiente propício para o processo de</p><p>ensino e aprendizagem, tem professores que são guias desse processo</p><p>e, portanto, por ser uma tarefa desafiadora, não deve ser realizada de</p><p>qualquer maneira. É necessário pensar na formação do professor em</p><p>relação e, também, em relação à sua prática. Por conseguinte, estudar</p><p>a Didática é uma forma de refletir a respeito dessa formação.</p><p>Para Comenius, em sua obra Didactica Magna, “ensinar a arte das</p><p>artes é, portanto, um trabalho sério e exige perspicácia de juízo, e não</p><p>apenas de um só homem, mas de muitos, pois um só homem não</p><p>pode estar tão atento que lhe não passem despercebidas muitíssimas</p><p>coisas” (COMENIUS, p. 12, 1997).</p><p>Pensar na Didática como a arte de ensinar, e saber que “ensinar”1 é</p><p>um dos papéis do professor, justifica o tratamento, dado, neste texto,</p><p>sobre o conceito de didática e sua importância e como pode auxiliar</p><p>na formação e no trabalho do professor que ensina Matemática. Ao</p><p>abordar a formação e a atuação do professor que ensina Matemática,</p><p>destacaremos como dever ser, sua atitude e condução nas aulas.</p><p>1.1 A Didática como arte de ensinar</p><p>Você já deve ter ouvido alguém dizer a frase ou até mesmo você</p><p>já disse: “aquele professor é ótimo, sabe muito, mas não tem didática”.</p><p>1 O termo “ensinar” está entre aspas, pois o entendimento aqui é que o papel do professor é o de</p><p>criar caminhos para que o aluno aprenda, ser um guia para que ele possa construir conhecimento.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 145</p><p>Ao pensar sobre esse assunto, é importante entendermos a</p><p>importância da Didática para a formação do professor.</p><p>A palavra Didática vem do grego techné didaktiké que significa</p><p>arte ou técnica de ensinar, e ainda, é a parte da pedagogia que utiliza</p><p>estratégias de ensino para construir um caminho do ensino e da</p><p>aprendizagem. Ao pensar no processo de ensino e aprendizagem</p><p>como um caminho, não se pode esquecer de um caminhante muito</p><p>importante desse processo: o estudante. Falaremos disso mais à frente.</p><p>Segundo Pimenta et al. (2013, p. 146),</p><p>Libâneo (1994, p. 25) vai ao encontro do que propõe Pimenta et al</p><p>(2013, p. 146) quando diz que</p><p>A didática, como área da pedagogia, estuda o fenômeno</p><p>ensino. As recentes modificações nos sistemas escolares</p><p>e, especialmente, na área de formação de professores</p><p>configuram uma “explosão didática”. Sua ressignificação</p><p>aponta para um balanço do ensino como prática social,</p><p>das pesquisas e das transformações que têm provocado na</p><p>prática social de ensinar.</p><p>A Didática é o principal ramo de estudo da Pedagogia. Ela</p><p>investiga os fundamentos, as condições e os modos de</p><p>realização da instrução e do ensino. A ela cabe converter</p><p>objetivos sociopolíticos e pedagógicos em objetivos de</p><p>ensino, selecionar conteúdos e métodos em função desses</p><p>objetivos.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Qual a importância da Didática na formação do professor que ensina</p><p>Matemática?</p><p>Nesse sentido, Pimenta et al. (2013, p.150) complementam “[...]</p><p>didática é, acima de tudo, a construção de conhecimentos que</p><p>possibilitem a mediação entre o que é preciso ensinar e o que é</p><p>necessário aprender”. A ideia de que a didática possibilita a mediação,</p><p>nos leva a repensar a atuação do professor, pois se é um mediador, ele</p><p>deve agir como tal. Dessa forma, deve-se repensar a atuação desse</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática146</p><p>profissional, não mais como mero reprodutor de conhecimento,</p><p>mas como guia do processo de ensino e aprendizagem, mostrando</p><p>e participando do caminho com o aluno para a construção do</p><p>conhecimento.</p><p>Para saber mais</p><p>A história da Didática é um ponto muito importante a ser estudado para</p><p>a formação de professores. Dessa forma, recomendamos a leitura do</p><p>artigo A didática na formação de professores: a desconstrução do mito</p><p>do ‘livro de receitas': de Ingrid Louback de Castro Moura. Disponível</p><p>em: <http://www.infoteca.inf.br/endipe/smarty/templates/arquivos_</p><p>template/upload_arquivos/acervo/docs/3934p.pdf>.</p><p>Oliveira (2014, p. 47) corrobora com o exposto, quando diz</p><p>que “o professor</p><p>tem o papel de guia durante as aulas, fazendo os</p><p>encaminhamentos necessários para que os alunos continuem</p><p>trabalhando”. A intenção é que o professor, além de ser guia, entenda</p><p>que o processo de ensino e aprendizagem é uma ação que se dá no</p><p>social, e que temos participantes ativos.</p><p>Refletir sobre o trabalho didático do professor que ensina</p><p>Matemática, nos leva a muitos questionamentos: qual o papel do</p><p>estudante, é ser apenas um sujeito que absorve conhecimento? Se o</p><p>professor é um guia do processo de ensino e aprendizagem, e esse</p><p>processo se dá no social, será que a maneira de dar aula deve ser a</p><p>mesma que em uma perspectiva tradicional? Bom, ao “matutar” a</p><p>respeito disso, percebemos que o papel do estudante e a atitude do</p><p>professor em sala de aula devem ser diferentes.</p><p>A Educação Matemática Realística (RME) é uma abordagem para</p><p>o ensino de Matemática, que propõe que o professor “deve criar</p><p>ambientes que oportunizem discussões, que levem os estudantes a</p><p>refletir, considerar situações próximas, e, ainda, planejar todas essas</p><p>ações” e “os estudantes são participantes ativos no processo de ensino</p><p>e aprendizagem e não meros receptores de uma matemática pronta”</p><p>(ROSSETTO, 2016, p. 19).</p><p>Ao ver o professor como um criador de ambientes que oportuniza</p><p>discussões e reflexões, a RME apresenta uma dinâmica para as aulas</p><p>de Matemática:</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 147</p><p>• os alunos devem ser confrontados com situações-</p><p>problema das quais participem ativamente na busca da sua</p><p>resolução e, para isso, a utilização de estratégias informais</p><p>deve ser incentivada.</p><p>• a reflexão sobre as atividades desenvolvidas é uma</p><p>constante, pois pode permitir a passagem para um nível</p><p>seguinte de compreensão.</p><p>• os conteúdos não são apresentados em capítulos</p><p>estanques, uma vez que, para resolver problemas em</p><p>contextos ricos, vários conhecimentos e ferramentas</p><p>matemáticas podem ser necessários.</p><p>• pressupõe atividade social – partilha e reflexão. Cada</p><p>aluno segue seu próprio trajeto de aprendizagem, mas</p><p>lhe é dada a oportunidade de partilhar suas estratégias</p><p>e descobertas com outros; mas, ainda assim, as crianças</p><p>continuam a ser consideradas como indivíduos, e, por</p><p>conseguinte, é feita a adaptação a cada um (proposta</p><p>de problemas cujas resoluções podem ser de diferentes</p><p>níveis).</p><p>• é dada aos estudantes a oportunidade de “reinventar” a</p><p>Matemática. Para isso, os professores têm um papel crucial</p><p>porque ajudam a proporcionar cenários com potencial</p><p>para que os alunos trabalhem e alcancem níveis mais</p><p>elevados de compreensão da Matemática. (CIANI, 2012, p.</p><p>34)</p><p>Para saber mais</p><p>A Educação Matemática Realística uma abordagem para o ensino,</p><p>e apresenta princípios que a norteiam. Para você, futuro professor, é</p><p>importante se inteirar sobre essa perspectiva, pois pode auxiliar no seu</p><p>desenvolvimento profissional. Em vista disso, recomendamos a leitura</p><p>do artigo “Educação Matemática Realística: uma abordagem para os</p><p>processos de ensino e de aprendizagem” de Pamela Emanueli Alves</p><p>Ferreira e Regina Luzia Corio de Buriasco. Disponível em: <https://</p><p>revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/21078/pdf>. Acesso</p><p>em: 14 set. 2017.</p><p>1.2 O planejamento como guia</p><p>Além de ver o professor como um criador de espaços para a</p><p>construção do conhecimento, a RME entende que os estudantes</p><p>devem participar desse processo de construção. Para que isso</p><p>aconteça, é preciso que o professor realize um bom planejamento.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática148</p><p>Mas o que é planejamento?</p><p>Ao analisar esse verbo no infinitivo, segundo o dicionário Houaiss</p><p>(2017), planejar é “elaborar o plano ou a planta de; projetar”; “organizar</p><p>plano ou roteiro de; programar”; “ter a intenção de; tencionar”. Dessa</p><p>forma, planejamento é a elaboração de um plano, roteiro, que você</p><p>poderá seguir para que tenha sucesso no processo de ensino e</p><p>aprendizagem e, sem dúvida, um trajeto intencional.</p><p>Segundo Libâneo (1994, p. 222), a ação de planejar:</p><p>(...) não se reduz ao simples preenchimento de formulários</p><p>para controle administrativo, é antes uma atividade</p><p>consciente de previsão de ações docentes, fundamentadas</p><p>em opções político-pedagógicas, e tendo como referência</p><p>permanente as situações didáticas concretas (isto é, a</p><p>problemática social, econômica, política e cultural que</p><p>envolve a escola, os professores, os alunos, os pais, a</p><p>comunidade, que interagem no processo de ensino).</p><p>O planejamento enquanto construção-transformação de</p><p>representações é uma mediação teórica metodológica para</p><p>ação, que em função de tal mediação passa a ser consciente</p><p>e intencional. Tem por finalidade procurar fazer algo vir à</p><p>tona, fazer acontecer, concretizar, e para isto é necessário</p><p>estabelecer as condições objetivas e subjetivas prevendo o</p><p>desenvolvimento da ação tempo. (VASCONCELLOS, 2000,</p><p>p. 79)</p><p>planejar é antecipar mentalmente uma ação ou um</p><p>conjunto de ações a serem realizadas e agir de acordo com</p><p>o previsto. Planejar não é apenas algo que se faz antes de</p><p>agir, mas é também agir em função daquilo que se pensa.</p><p>Para Vasconcellos (2000, p. 79)</p><p>Esse mesmo autor afirma que:</p><p>Desse modo, o planejamento deve ser para o professor um guia</p><p>para orientar o processo de ensino e aprendizagem. Nesse sentido,</p><p>Libâneo (1994) apresenta algumas funções para o planejamento:</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 149</p><p>• Explicitar princípios, diretrizes e procedimentos do</p><p>trabalho docente que assegurem a articulação entre as</p><p>tarefas da escola e as exigências do contexto social e do</p><p>processo de participação democrática.</p><p>• Expressar os vínculos entre o posicionamento filosófico,</p><p>político-pedagógico e profissional e as ações efetivas que</p><p>o professor irá realizar na sala de aula, através de objetivos,</p><p>conteúdos, métodos e formas organizativas do ensino.</p><p>• Assegurar a racionalização, organização e coordenação</p><p>do trabalho docente, de modo que a previsão das ações</p><p>docentes possibilite ao professor a realização de um</p><p>ensino de qualidade e evite a improvisação e a rotina.</p><p>• Prever objetivos, conteúdos e métodos a partir da</p><p>consideração das exigências postas pela realidade social,</p><p>do nível de preparo e das condições socioculturais e</p><p>individuais dos alunos.</p><p>• Assegurar a unidade e a coerência do trabalho docente,</p><p>uma vez que torna possível inter-relacionar, num Plano,</p><p>os elementos que compõem o processo de ensino: os</p><p>objetivos (para que ensinar), os conteúdos (o que ensinar),</p><p>os alunos e suas possibilidades (a quem ensinar), os</p><p>métodos e técnicas (como ensinar) e a avaliação, que está</p><p>intimamente relacionada aos demais.</p><p>• Atualizar o conteúdo do plano sempre que é revisto,</p><p>aperfeiçoando-o em relação aos progressos feitos no</p><p>campo de conhecimentos, adequando-o às condições</p><p>de aprendizagem dos alunos, aos métodos, técnicas</p><p>e recursos de ensino que vão sendo incorporados na</p><p>experiência cotidiana.</p><p>• Facilitar a preparação das aulas: selecionar o material</p><p>didático em tempo hábil, saber que tarefas professor e</p><p>alunos devem executar, replanejar o trabalho frente a</p><p>novas situações que aparecem no decorrer das aulas.</p><p>(LIBÂNEO, 1994, p. 223)</p><p>Com a função de orientar a prática e por saber que temos</p><p>vários sujeitos envolvidos nesse processo, nada mais certo que o</p><p>planejamento sofrer modificações de acordo com a necessidade e a</p><p>realidade daquele determinado momento. Mas será que planejamento</p><p>educacional, planejamento curricular e planejamento de ensino são a</p><p>mesma coisa? Não, eles possuem características diferentes. O quadro</p><p>a seguir apresenta os diferentes tipos de planejamento.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática150</p><p>Quadro 4.1 | Os diferentes tipos de planejamento</p><p>Tipo de planejamento Características</p><p>Planejamento da escola</p><p>Trata-se do que chamamos de projeto</p><p>político pedagógico ou projeto educativo,</p><p>sendo esse plano integral da instituição. Ele é</p><p>composto de marco referencial, diagnóstico</p><p>e programação. Este</p><p>nível envolve tanto a</p><p>dimensão pedagógica quanto a comunitária</p><p>e administrativa da escola.</p><p>Planejamento curricular</p><p>A proposta geral das experiências de</p><p>aprendizagem que serão oferecidas pelas</p><p>escolas deve ser incorporada nos diversos</p><p>componentes curriculares, sendo que a</p><p>proposta curricular pode ter como referência</p><p>os seguintes elementos: fundamentos</p><p>da disciplina, área de estudo, desafios</p><p>pedagógicos, encaminhamento, proposta de</p><p>conteúdos, processos de avaliação.</p><p>Projeto de ensino aprendizagem</p><p>Este é o planejamento mais próximo da</p><p>prática do professor e da sala de aula, diz</p><p>respeito mais restritamente ao aspecto</p><p>didático. Pode ser subdividido em projeto de</p><p>curso e plano de aula.</p><p>Fonte: Vasconcellos (2000, p. 95-96).</p><p>Para Libâneo (1994, p. 225), há três níveis de planejamento: o plano</p><p>da escola, o plano de ensino e o plano de aula.</p><p>O plano da escola é um documento mais global; expressa</p><p>orientações gerais que sintetizam, de um lado, as ligações</p><p>da escola com o sistema escolar mais amplo e, de outro, as</p><p>ligações do projeto pedagógico da escola com os planos</p><p>de ensino propriamente ditos.</p><p>O plano de ensino (ou plano de unidades) é a previsão</p><p>dos objetivos e tarefas do trabalho docente para um ano</p><p>ou semestre; é um documento mais elaborado, dividido</p><p>por unidades sequenciais, no qual aparecem objetivos</p><p>específicos, conteúdos e desenvolvimento metodológico”.</p><p>O plano de aula é a previsão do desenvolvimento do</p><p>conteúdo para uma aula ou conjunto de aulas e tem um</p><p>caráter bastante específico.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 151</p><p>Questão para reflexão</p><p>Com base nos seus estudos e nas nossas discussões, você acredita que</p><p>temos apenas um tipo/modelo de plano de aula?</p><p>O planejamento que estamos tratando é o que Vasconcellos (2000)</p><p>chama de projeto de ensino-aprendizagem, e o que Libâneo (1994)</p><p>chama de plano de aula, pois ambos tratam do aspecto didático.</p><p>Ao elaborar um plano de aula, vários itens devem ser levados em</p><p>consideração.</p><p>Para Piletti (2001, p. 73), o plano de aula “é a sequência de tudo</p><p>o que vai ser desenvolvido em um dia letivo. (...) É a sistematização</p><p>de todas as atividades que se desenvolvem no período de tempo</p><p>em que o professor e o aluno interagem, numa dinâmica de ensino-</p><p>aprendizagem”.</p><p>Ao analisar os itens que devem ser considerados na elaboração de</p><p>um plano de aula, isso nos leva a apresentar alguns itens que fazem</p><p>parte desse plano de aula. Falamos em “alguns”, pois, dependendo do</p><p>autor, ele modifica o seu plano de aula, com outras etapas. Falamos</p><p>em “um” plano de aula, pois esse é apenas um dos tantos que podem</p><p>ser desenvolvidos, e dos tantos que já existem.</p><p>A seguir, apresentamos itens que podem conter um plano de aula,</p><p>com base em Libâneo (1994, p. 244).</p><p>Fonte: Libâneo (1994, p. 244).</p><p>Figura 4.1 | Itens que podem conter um plano de aula</p><p>Escola</p><p>Desenvolvimento metodológico</p><p>• Preparação</p><p>• Introdução ao assunto</p><p>• Desenvolvimento e estudo ativo</p><p>do assunto</p><p>• Sistematização e aplicação</p><p>• Tarefas para casa</p><p>Professor Unidade</p><p>didática</p><p>Objetivo</p><p>específico</p><p>Avaliação</p><p>Referencial</p><p>Teórico</p><p>Número</p><p>de aulas</p><p>Disciplina Data Série</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática152</p><p>Os itens apresentados anteriormente podem ser modificados de</p><p>acordo com a realidade e necessidade do professor. Há outros tipos</p><p>de planos de aula, com outras características, com outros itens, um</p><p>deles é a avaliação. Abordaremos mais afundo esse assunto na seção</p><p>seguinte.</p><p>Os autores Castro, Tucunduva e Arns (2008, p. 60-61) apresentaram</p><p>a importância de se fazer um planejamento e dizem que este é mais</p><p>que uma questão burocrática. Alguns apontamentos realizados por</p><p>eles são:</p><p>• O planejamento é utilizado para nortear um caminho a</p><p>ser percorrido para se atingir objetivos traçados ou resolver</p><p>alguma situação.</p><p>• Os tipos de planejamentos têm suas diferenças e devem</p><p>ser usadas de acordo com a necessidade de delimitar o tipo</p><p>de plano e a que ele se destina.</p><p>• O planejamento é um aliado do professor, uma vez que</p><p>é por intermédio do mesmo que o professor vai delinear</p><p>suas ações para alcançar seus objetivos ao longo de um</p><p>período.</p><p>• O planejamento não deve ser usado como um regulador</p><p>das ações humanas e sim um norteador na busca da</p><p>autonomia, na tomada de decisões, nas resoluções de</p><p>problemas e nas escolhas dos caminhos a serem percorridos</p><p>partindo do senso comum até atingir as bases científicas.</p><p>• É importante que o professor conheça as principais etapas</p><p>do planejamento, pois através do conhecimento dessas</p><p>etapas o professor poderá descrever com maior clareza</p><p>seus objetivos, a forma com que irá aplicar o conteúdo, os</p><p>conteúdos que serão ministrados e como fará o diagnóstico</p><p>dos resultados obtidos ao longo do processo.</p><p>• O plano de aula é realmente importante na prática</p><p>pedagógica do professor como organizador e norteador</p><p>do seu trabalho.</p><p>• O plano de aula dá ao professor a dimensão da importância</p><p>de sua aula e os objetivos a que ela se destina, bem como o</p><p>tipo de cidadão que pretende formar.</p><p>• Mesmo que o professor tenha anos de docência, é</p><p>importante que ele continue realizando planos de aula para</p><p>que tenha, e continue tendo sucesso em suas aulas.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 153</p><p>Para saber mais</p><p>No link a seguir, você terá à sua disposição alguns modelos de planos de</p><p>aulas. Disponível em: < http://files.planejamentoeducacional.webnode.</p><p>com.br/200000006-d37add3f71/Anexos%20-%20Modelos%20de%20</p><p>Plano%20de%20Aulas.pdf>. Acesso em: 15 set. 2017.</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. Para Libâneo (2012, p. 1), “os elementos integrantes do triângulo didático</p><p>– o conteúdo, o professor, o aluno, as condições de ensino-aprendizagem</p><p>– articulam-se com aqueles socioculturais, linguísticos, éticos, estéticos,</p><p>comunicacionais e midiáticos”.</p><p>Com base no exposto, analise os itens que seguem e julgue-os em V</p><p>(verdadeiro) ou F (falso):</p><p>I – O professor tem um papel importante, ele deve ser um guia do processo</p><p>de ensino e aprendizagem. Ele deve levar o aluno a refletir a respeito das</p><p>situações vivenciadas em sala de aula.</p><p>II – O aluno assume um papel de reprodutor do conhecimento aprendido.</p><p>Ele vai reproduzir aquilo que o professor lhe ensinou nas aulas, sem refletir</p><p>a respeito das situações vivenciadas.</p><p>III – O conteúdo apresentado deve ser de fácil acesso para o aluno.</p><p>Independentemente da turma que você tem, qualquer assunto pode ser</p><p>abordado nas aulas, desde que seja assunto do dia a dia do aluno.</p><p>a) V, F, F.</p><p>b) V, F, V.</p><p>c) V, V, V.</p><p>d) F, F, V.</p><p>e) F, V, F.</p><p>2. “O plano de aula é um guia de orientação, pois nele são estabelecidas as</p><p>diretrizes e os meios de realização de trabalho docente” (LIBÂNEO, 1994,</p><p>242).</p><p>De acordo com o plano de aula, analise os itens que seguem:</p><p>I - O plano de aula é uma antecipação do que o professor trabalhará em</p><p>sala de aula: os conteúdos que têm necessidade de serem resgatados, as</p><p>atividades que a turma realizará, os materiais que serão utilizados, o tempo</p><p>necessário, os objetivos pretendidos pelo professor com aquela aula.</p><p>II - O plano de aula é de grande importância para orientar o processo de</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática154</p><p>ensino e de aprendizagem, pois ele é uma previsão do que será realizado em</p><p>cada uma das aulas de Matemática.</p><p>III - Há elementos básicos importantes de um plano de aula: a quantidade</p><p>de aulas, os objetivos, os conteúdos, a metodologia utilizada, os recursos, a</p><p>avaliação. É preciso que o professor esteja atento ao seu planejamento, pois</p><p>só há um tipo de planejamento.</p><p>Assinale a alternativa que contém apenas itens corretos:</p><p>a) I.</p><p>b) II.</p><p>c) III.</p><p>d) I e II.</p><p>e) II e III.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 155</p><p>Seção 2</p><p>A avaliação como parte do trabalho didático do</p><p>professor que ensina matemática</p><p>Introdução à seção</p><p>Avaliar é algo que fazemos todos os dias em nossas vidas, faz parte</p><p>das ações do ser humano. Algumas perguntas podem ser feitas:</p><p>você</p><p>conseguiu fazer todas as coisas que planejou para o seu dia? A roupa</p><p>que sua amiga está vestindo é adequada para a ocasião? A reunião</p><p>que o seu chefe fez ajudou o desenvolvimento do grupo? Todas as</p><p>perguntas têm algo em comum: avaliar. Você precisa analisar cada</p><p>uma das situações e julgar qual a melhor resposta. Avaliar é uma das</p><p>ações do professor.</p><p>Nesta seção, apresentamos um dos aspectos do trabalho didático</p><p>do professor que ensina Matemática: a avaliação. Mas o que é avaliar?</p><p>Como fazer uma avaliação? A avaliação que trataremos nessa seção</p><p>é a avaliação da aprendizagem, “tomada como avaliação do processo</p><p>com vistas a subsidiar uma retomada da aprendizagem” (BURIASCO,</p><p>2000, 156). É diferente da avaliação e rendimento, que evidencia</p><p>apenas os resultados do produto final. Mostraremos também alguns</p><p>tipos de avaliação que, para Pedrochi Junior (2012, p. 24), “podemos ter</p><p>três tipos de avaliações realizadas pelo professor, no decorrer de um</p><p>processo de ensino e aprendizagem”.</p><p>Além disso, esta seção apresenta diferentes instrumentos de</p><p>avaliação que o professor pode utilizar em sala de aula. Ao utilizar</p><p>diferentes instrumentos de avaliação o professor pode conseguir um</p><p>maior número de informações e, com isso, a avaliação torna-se mais</p><p>confiável (PEDROCHI JUNIOR, 2012, p. 35).</p><p>2.1 A avaliação</p><p>Avaliar é uma das ações que o ser humano realiza. Uma forma de</p><p>avaliação ocorre quando você executa alguma coisa e avalia apenas</p><p>para sistematizar essa ação. Outra forma de avaliação é quando você</p><p>realiza algo, e a avaliação mostra não apenas os erros cometidos nessa</p><p>ação, mas um meio de superá-los.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática156</p><p>Muitos autores tratam a respeito da avaliação. Para Buriasco (2000,</p><p>p. 157-158), a avaliação “tem servido para selecionar, classificar, rotular,</p><p>controlar e, através dela, o professor decide, muitas vezes, a trajetória</p><p>escolar do aluno [...]” e “[...] tem servido como mecanismo para</p><p>eliminação do aluno da escola”. A avaliação, nesses casos apresentados,</p><p>serve como forma de punir o aluno.</p><p>A concepção adotada nesse tipo de avaliação é a tradicional. O</p><p>professor cria o aluno ideal, e ocorre, por parte dele, uma comparação</p><p>entre os outros alunos. Essa comparação é para se certificar de que</p><p>o aluno adquiriu conhecimento. O foco não está no processo de</p><p>aprendizagem do aluno, mas sim no resultado final.</p><p>O professor, nessa concepção, se sente seguro, pois o aluno deve</p><p>reproduzir o conteúdo que ele expos. O professor compara seus</p><p>alunos por meio de informações que ele consegue, como, em provas</p><p>escritas, realizadas por eles, buscando verificar erros e acertos. Esses</p><p>documentos, muitas vezes, são parâmetros para que o aluno tenha</p><p>condições de avançar ou continuar em uma série ou ano.</p><p>Nessa perspectiva tradicional, a avaliação é a reprodução do</p><p>conteúdo trabalhado na escola, e muitas vezes, acontece no final de</p><p>um período de aulas, sendo um elemento final do processo. O aluno é</p><p>um reprodutor de informações.</p><p>Em contrapartida a essa abordagem, temos a avaliação da</p><p>aprendizagem, que é entendida como “parte constitutiva do</p><p>processo de ensino e aprendizagem, como eixo norteador da própria</p><p>aprendizagem, tanto do aluno quanto do professor” (PEDROCHI</p><p>JUNIOR, 2012, p. 49). Essa outra abordagem, toma a avaliação em</p><p>todo o processo de ensino e aprendizagem, e não apenas o final do</p><p>processo, como acontecia na perspectiva tradicional.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Como realizar um plano de aula que contemple a avaliação como</p><p>processo que faz parte da aprendizagem?</p><p>Para Hadji (2001, p. 42), “[...] a avaliação é uma leitura influenciada</p><p>por expectativas específicas referentes à produção de um produtor</p><p>particular, em função do que se sabe, ou do que se descobre,</p><p>progressivamente, sobre ele”. O professor, ao realizar uma leitura</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 157</p><p>da produção do aluno conhece algo sobre ele e sobre a realidade</p><p>observada.</p><p>Dessa forma, devemos deixar de lado a avaliação que pune o aluno,</p><p>para dar real importância para a avaliação da aprendizagem.</p><p>Avaliar pressupõe definir princípios em função de objetivos</p><p>que se pretendem alcançar; estabelecer instrumentos</p><p>para a ação e escolher caminhos para essa ação; verificar</p><p>constantemente a caminhada, de forma crítica, levando</p><p>em conta todos os elementos envolvidos no processo.</p><p>Sendo assim, ela não possui uma finalidade em si, mas</p><p>sim subsidia o curso de uma ação que visa construir um</p><p>resultado previamente definido. (BURIASCO, 2000, p. 159).</p><p>Para a Educação Matemática Realística, a avaliação pode ser</p><p>confi gurada utilizando nove princípios:</p><p>1. O principal objetivo da avaliação em sala de aula é</p><p>auxiliar a aprendizagem.</p><p>2. A matemática está embutida em problemas que valem</p><p>a pena (envolventes, educativos e autênticos) e que fazem</p><p>parte do mundo real dos estudantes.</p><p>3. Métodos de avaliação devem ser tais que permitam aos</p><p>estudantes mostrarem o que sabem, não o que não sabem.</p><p>4. Um plano de avaliação equilibrado deve incluir múltiplas</p><p>e variadas oportunidades (formatos) aos estudantes para</p><p>mostrar e documentar suas realizações.</p><p>5. As tarefas devem operacionalizar todos os objetivos do</p><p>currículo (não apenas os primeiros). Ferramentas úteis para</p><p>conseguir isso são os padrões de desempenho, incluindo</p><p>os diferentes níveis de pensamento matemático.</p><p>6. Critérios de avaliação devem ser públicos,</p><p>consistentemente aplicados e devem incluir exemplos de</p><p>avaliações anteriores, mostrando trabalhos exemplares e</p><p>trabalhos não tão exemplares.</p><p>7. O processo de avaliação, incluindo a pontuação e a</p><p>classificação, deve ser aberto aos estudantes.</p><p>8. Os estudantes devem ter a oportunidade de receber</p><p>feedback genuíno de seu trabalho.</p><p>9. A qualidade de uma tarefa não é definida pela sua</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática158</p><p>acessibilidade à pontuação objetivada, confiabilidade ou</p><p>validade no sentido tradicional, mas pela sua autenticidade</p><p>e justiça, na medida em que atende aos princípios acima</p><p>enunciados. (DE LANGE, 1999, p. 10, tradução nossa)</p><p>A avaliação tem como objetivo auxiliar na aprendizagem, e não</p><p>como uma forma de punir o aluno. Sendo assim, como ela auxilia na</p><p>aprendizagem, ela permeia todo o processo de ensino e aprendizagem.</p><p>Para saber mais</p><p>No link a dissertação que diz respeito a "Avaliação como oportunidade</p><p>de aprendizagem matemática". Você pode buscar no sumário assuntos</p><p>relevantes para a sua prática quanto futuro professor. Lembrando que a</p><p>avaliação fará parte da sua vida profissional.</p><p>Disponível em: <http://www.uel.br/grupo-estudo/gepema/</p><p>Disserta%E7%F5es/2012%20-%20Disserta%E7%E3o_completa_</p><p>Osmar.pdf>. Acesso em: 18 set. 2017.</p><p>2.1.1 Tipos de avaliação</p><p>Ao refl etirmos a respeito de avaliação, uma pergunta surge: será</p><p>que temos tipos de avaliação? A resposta para essa pergunta, veremos</p><p>no decorrer desse texto.</p><p>A avaliação está diretamente ligada ao objetivo do avaliador, que</p><p>é o responsável pelo processo avaliativo.. Se em um determinado</p><p>momento o objetivo do avaliador é identifi car as difi culdades dos</p><p>alunos para orientá-los e propor novas ações, essa avaliação é chamada</p><p>diagnóstica.</p><p>Falaremos de avaliação diagnóstica quando se trata</p><p>de explorar ou de identificar algumas características</p><p>de um aprendente (por exemplo, as representações</p><p>ou os conhecimentos adquiridos) com vista a escolher</p><p>a sequência de formação mais bem adaptada às suas</p><p>características. (HADJI, 1994, p. 62).</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 159</p><p>Já se a intenção do professor é certificar, ao final, os resultados da</p><p>aprendizagem, essa avaliação chama-se somativa. Para Hadji (1994), a</p><p>avaliação é dita sumativa</p><p>Se a intenção é compreender as dificuldades dos alunos com</p><p>buscas à aprendizagem, à formação, essa avaliação é formativa. Para</p><p>Hadji (1994), a avaliação formativa</p><p>quando se propõe fazer um balanço (uma soma), depois</p><p>de uma ou várias sequências ou,</p><p>de uma maneira mais</p><p>geral, depois de um ciclo de formação. É por isso que</p><p>muitas vezes ela é pontual, efectuada num momento</p><p>determinado (ainda que se possa realizar num processo</p><p>cumulativo, quando o balanço final toma em consideração</p><p>uma série de balanços parciais) e pública. (HADJI, 1994, p.</p><p>64).</p><p>tem, antes de tudo, uma finalidade pedagógica [...]. A sua</p><p>característica essencial é a de ser integrada na acção de</p><p>'formação' de ser incorporada no próprio acto de ensino.</p><p>Tem por objetivo contribuir para melhorar a aprendizagem</p><p>em curso, informando o professor sobre as condições</p><p>em que está a decorrer essa aprendizagem, e instruindo</p><p>o aprendente sobre o seu próprio curso, os seus êxitos e</p><p>suas dificuldades. (HADJI, 1994, p. 63-64).</p><p>Considerando que a avaliação está diretamente ligada ao objetivo</p><p>do avaliador, é importante considerar como a ação de avaliar está</p><p>inserida no processo de ensino e aprendizagem. O quadro a seguir</p><p>apresenta as funções da avaliação, segundo o papel da sequência da</p><p>ação de formação (HADJI, 1994).</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática160</p><p>1 2 3</p><p>Sequencia ou ação de</p><p>FORMAÇÃO</p><p>Em (1):</p><p>ANTES DA AÇÃO DE</p><p>FORMAÇÃO</p><p>Em (2):</p><p>DURANTE A AÇÃO</p><p>Em (3):</p><p>DEPOIS DA AÇÃO DE</p><p>FORMAÇÃO</p><p>Avaliação:</p><p>• Diagnóstica</p><p>• Prognóstica</p><p>• Preditiva</p><p>Função:</p><p>• Orientar</p><p>• Adaptar</p><p>Centrada:</p><p>• No produtor e nas suas</p><p>características (identificação)</p><p>Avaliação:</p><p>• Formativa</p><p>• Progressiva</p><p>Função:</p><p>• Regular</p><p>• Facilita (a aprendizagem)</p><p>Centrada:</p><p>• Nos processos</p><p>• Nas atividades</p><p>Avaliação:</p><p>• Sumativa</p><p>• Terminal</p><p>Função:</p><p>• Verificar</p><p>• Certificar</p><p>Centrada:</p><p>• Nos produtos</p><p>Fonte: Hadji (2004, p. 63).</p><p>Quadro 4.2 | Funções da avaliação, segundo o papel da sequência da ação de</p><p>formação</p><p>Podemos entender que há tipos de avaliação, e isso está diretamente</p><p>ligado ao objetivo do professor para com a avaliação.</p><p>Para Rohlopp (2004, p. 28), “o propósito da avaliação é melhorar</p><p>a aprendizagem que já está sendo realizada”. A avaliação pode servir</p><p>para:</p><p>• ajudar o professor a identificar as dificuldades dos alunos;</p><p>• fazer um ajuste didático;</p><p>• ajudar os alunos, guiando-os e passando segurança;</p><p>• facilitar a aprendizagem, fazendo correções e dando</p><p>reforço;</p><p>• criar um diálogo entre professor e aluno, instaurando uma</p><p>boa relação didática (ROHLOFF, 2004, p. 29).</p><p>Outro ponto importante, que será abordado a seguir, é a respeito</p><p>dos instrumentos de avaliação.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 161</p><p>2.1.2 Instrumentos de avaliação</p><p>O professor, ao realizar uma avaliação, deve se preparar para</p><p>que tenha em mãos uma variedade de instrumentos, pois isso pode</p><p>possibilitar a obtenção de informações mais detalhadas a respeito da</p><p>aprendizagem dos alunos.</p><p>Ao utilizar instrumentos de avaliação, estes devem permitir que o</p><p>professor possa verificar os conteúdos utilizados pelos estudantes,</p><p>as estratégias que eles utilizaram, recursos escolhidos, enfim, obter a</p><p>maior quantidade de informações a respeito desse aluno. Para Santos</p><p>(2008, p. 18),</p><p>[...] a informação obtida por meio de um instrumento acaba</p><p>por completar ou esclarecer uma informação que já fora</p><p>obtida por outro. Entretanto é preciso se ter claro que um</p><p>instrumento, muitas vezes, prioriza certos aspectos sobre</p><p>outros. Por isso é importante saber o que cada instrumento</p><p>é capaz de revelar, que informações é possível recolher</p><p>com ele e que limitações ele possui. (SANTOS, 2008, p. 18).</p><p>Devido à variedade de objetivos que podem fazer parte</p><p>dos processos de ensino e de aprendizagem, considera-</p><p>se que não faz sentido utilizar apenas um instrumento</p><p>para realizar a avaliação. Entretanto, observa-se que, em</p><p>Matemática, a prova escrita tem sido comumente utilizada</p><p>como principal e, em alguns casos, único instrumento de</p><p>avaliação. Embora a prova escrita, por si só, não dê conta</p><p>de oferecer todas as respostas necessárias aos processos</p><p>de ensino e de aprendizagem, o equívoco mais flagrante</p><p>não é tomar a prova escrita como único meio de avaliação,</p><p>mas sim deixar de olhá-la como um meio pelo qual se</p><p>podem obter informações a respeito de como se tem</p><p>desenvolvido o processo de aprendizagem dos estudantes.</p><p>(BURIASCO; FERREIRA; CIANI, 2009, p. 77-78)</p><p>Ao encontro do que é proposto por Santos (2008), temos Buriasco,</p><p>Ferreira e Ciani (2009) que propõem que:</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática162</p><p>Acreditamos que você deve estar se perguntando: quais outros</p><p>instrumentos de avaliação utilizar nas aulas de Matemática. Não é só</p><p>prova e trabalho? Bem, esse é um questionamento muito importante,</p><p>até porque, como visto até aqui, que o professor deve se munir de uma</p><p>variedade de instrumentos.</p><p>O primeiro que vamos abordar é a prova escrita, pois é a mais</p><p>comum e a mais utilizada em aulas de Matemática. De acordo com</p><p>Santos (2008):</p><p>O instrumento mais utilizado na avaliação da aprendizagem</p><p>dos estudantes é a prova escrita que, muitas vezes, é tida</p><p>como sinônimo de avaliação, e é elaborada com questões</p><p>nas quais os estudantes pouco têm a oportunidade de</p><p>justificar suas estratégias e os procedimentos utilizados.</p><p>É preciso ficar claro que a crítica não deve ser feita ao</p><p>instrumento prova escrita, mas sim ao modo como esse</p><p>instrumento é utilizado. (SANTOS, 2008, p. 18)</p><p>Para saber mais</p><p>O link a seguir apresenta o artigo “Instrumentos de avaliação na prática</p><p>pedagógica universitária”. Ele apresenta alguns instrumentos de</p><p>avaliação, e você pode utilizá-los e adaptá-los de acordo com a sua</p><p>realidade e necessidade.</p><p>Disponível em: <http://ltc-ead.nutes.ufrj.br/constructore/objetos/</p><p>InstrumentosdeAvaliacao.pdf>. Acesso em: 18 set. 2017.</p><p>Mas você deve estar pensando: “esse tipo de prova eu já conheço”.</p><p>No entanto, lhe perguntamos: “você conhece outros formatos da</p><p>prova escrita? ”. Uma autora, RME, conhecida como Van den Heuvel-</p><p>Panhuizen traz formatos para esse tipo de prova.</p><p>O autor Pedrochi Junior (2012, p. 47) apresenta, em seu trabalho,</p><p>esses formatos de prova escrita:</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 163</p><p>• prova de ensaio – na qual os alunos são convidados a</p><p>escrever respondendo um artigo de jornal, ou dar a sua</p><p>opinião a respeito de alguma situação da vida quotidiana</p><p>(VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996). Pode-se analisar,</p><p>com esta tarefa, a capacidade de argumentação matemática</p><p>dos estudantes a respeito de um tema cotidiano;</p><p>• prova de levar para casa - os alunos podem fazer a prova</p><p>em casa, utilizando quaisquer materiais ou até mesmo</p><p>pedindo ajuda a outras pessoas (VAN DEN HEUVEL-</p><p>PANHUIZEN, 1996). Com essa tarefa, o professor pode</p><p>obter informações sobre a capacidade de seus alunos de</p><p>buscar informações;</p><p>• prova em duas fases – em um primeiro momento os</p><p>alunos concluem uma prova escrita na escola que, depois</p><p>de corrigida e comentada pelo professor, é devolvida ao</p><p>aluno para o trabalho adicional em casa. Esse formato</p><p>pode ser estendido em provas com várias fases, em que o</p><p>professor combine datas com seus alunos para a entrega</p><p>das correções. Dessa forma, o professor poderá analisar</p><p>as mudanças, se houver, nas produções escritas dos seus</p><p>alunos no decorrer de um período e fornecer feedbacks</p><p>sobre essas produções;</p><p>• produção de prova - os estudantes são convidados</p><p>a elaborar uma prova sobre o conteúdo que estavam</p><p>estudando. Essa tarefa pode provocar uma reflexão, por</p><p>parte do aluno, a respeito do conteúdo que está estudando;</p><p>• prova de raciocínio com informações fragmentadas</p><p>– nela, os alunos recebem certas informações de forma</p><p>fragmentada; em seguida é pedido que selecionem,</p><p>combinem e, se necessário, completem as partes</p><p>relevantes das informações com outras informações, a</p><p>fim de testar uma dada hipótese. (VAN DEN HEUVEL-</p><p>PANHUIZEN, 1996; PEDROCHI JUNIOR, 2012)</p><p>A prova em duas fases, pode ser adaptada de modo que tenha</p><p>mais fases. Essa adaptação pode ser realizada pelo professor, com</p><p>as características e realidade da sua turma. Os outros instrumentos</p><p>também podem ser adaptados.</p><p>Outro</p><p>tipo de instrumento que temos é o portfólio, Sousa (1997,</p><p>Mapa 1.22, p. 1) o define como:</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática164</p><p>[...] um instrumento que compreende a compilação de</p><p>todos os trabalhos realizados pelos estudantes, durante</p><p>um curso ou disciplina. Inclui dentre outros elementos:</p><p>registro de visitas, resumos de textos, projetos e relatórios</p><p>de pesquisa, anotações de experiências etc. Inclui também</p><p>ensaios autorreflexivos, que permitem aos alunos a</p><p>discussão de como a experiência no curso ou disciplina</p><p>mudou sua vida.</p><p>Nesse instrumento, o aluno evidencia todo o processo vivido em</p><p>uma disciplina, por exemplo. Os detalhes, são importantes pois o</p><p>professor pode acompanhar o desenvolvimento e crescimento do</p><p>aluno.</p><p>Segundo Hoff mann (2000), o portfólio é um instrumento de</p><p>avaliação que permite a “organização de uma coletânea de registros</p><p>sobre aprendizagens do aluno que favoreçam ao professor, aos próprios</p><p>alunos e às famílias uma visão evolutiva do processo” (HOFFMANN,</p><p>2000, p. 201).</p><p>Gomes (2003, p. 44-45), autorrefl exivos, apresenta uma variedade</p><p>de conceitos e utilização do portfólio, como segue:</p><p>• o portfólio é algo que é feito pelo estudante, não para o</p><p>estudante. O portfólio oferece uma forma concreta para o</p><p>estudante aprender o valor do seu próprio trabalho e, por</p><p>extensão, avaliar-se enquanto aprendiz. Além disso, o aluno</p><p>deve se envolver no processo de escolha das atividades</p><p>que irão para o portfólio.</p><p>• o portfólio é diferente de uma simples coletânea de</p><p>atividades do aluno. Notas e outras informações só deveriam</p><p>ser incluídas no portfólio se tiverem novo significado no</p><p>contexto de outras exibições encontradas ali.</p><p>• o portfólio deve expor, explicita ou implicitamente, as</p><p>atividades dos alunos; por exemplo, a razão, intenções,</p><p>conteúdo, padrões e julgamentos.</p><p>• o portfólio pode servir a diferentes propósitos durante o</p><p>ano, em relação àqueles que servem no final do ano. Algum</p><p>material pode ser conservado porque ele é, por exemplo,</p><p>trabalho parcialmente acabado numa certa área. No final</p><p>do ano, no entanto, o portfólio deve conter material que o</p><p>aluno queira que se torne público.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 165</p><p>• um portfólio deve ter múltiplos propósitos, mas estes</p><p>não devem se conflitar. Os objetivos e interesses pessoais</p><p>do aluno estão refletidos na sua seleção de material, mas</p><p>informações inclusas também devem refletir os interesses</p><p>dos professores, pais e da comunidade escolar. Um objetivo</p><p>quase sempre comum aos portfólios dos alunos é mostrar</p><p>o progresso nos objetivos representados no programa de</p><p>ensino.</p><p>• o portfólio deveria conter informações que ilustram</p><p>crescimento. Para isso há várias formas. Umas delas é</p><p>incluir uma série de exemplos do atual desempenho do</p><p>aluno demonstrando habilidades que foram desenvolvidas.</p><p>Mudanças observadas no interesse a invenções, também</p><p>de atividades como leitura e outras.</p><p>• habilidades e técnicas que são envolvidas na efetivação</p><p>do portfólio não acontecem por si próprias: os alunos</p><p>precisam de exemplos de como desenvolver e refletir sobre</p><p>seus portfolios. (GOMES, 2003, p. 44-45)</p><p>É possível, com a utilização do portfólio, que o professor</p><p>observe como foi o desenvolvimento do aluno com relação às suas</p><p>difi culdades, aprendizagem e participação nas atividades. A prova já é</p><p>um instrumento mais pontual.</p><p>Outro tipo de instrumento que pode ser utilizado é o memorial.</p><p>Esse instrumento permite que o aluno registre suas ações e mais</p><p>ainda, refl ita sobre elas. Essas ações estão ligadas a sua aprendizagem,</p><p>difi culdades enfrentadas e sugestões. Prado e Almeida (2007) defi nem</p><p>o memorial refl exivo como</p><p>[...] um instrumento de caráter pessoal que permite ao</p><p>participante do curso (aluno, monitor, professor) registrar</p><p>o ocorrido, impulsionando-o a investigar as experiências</p><p>vivenciadas por meio da análise sistemática de suas</p><p>ações, reações, sentimentos, impressões, interpretações,</p><p>explicitações, hipóteses e preocupações envolvidas nestas</p><p>experiências. (PRADO, E ALMEIDA, 2007, p. 4)</p><p>O memorial refl exivo é considerado como um documento de</p><p>cunho pessoal, em que o cursista faz seus registro, e numa perspectiva</p><p>investigativa, procura, questiona suas próprias ações, identifi ca o que</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática166</p><p>aprendeu, refl ete sobre as difi culdades enfrentadas e aponta alternativas</p><p>sobre como as superou, além de emitir comentários e sugestões.</p><p>Temos ainda o relatório como instrumento de avaliação. O relatório</p><p>é escrito em forma de narrativa e apresenta o desenvolvimento de</p><p>um estudo. Segundo Sant’Anna (1995, p. 120), o objetivo do relatório</p><p>é “informar, relatar, fornecer resultados, dados experimentais” aos</p><p>envolvidos no processo de ensino e aprendizagem.</p><p>De acordo com Santos (2005), podemos apresentar algumas</p><p>características do relatório:</p><p>• várias modalidades de relatório têm sido usadas: individual</p><p>ou em grupo, feito na sala de aula ou fora desta;</p><p>• é possível identificar potencialidades em ambas as</p><p>situações tanto na sala de aula quanto fora;</p><p>• escrever o relatório contribui para o desenvolvimento da</p><p>comunicação escrita, tantas vezes deixada para segundo</p><p>plano em Matemática;</p><p>• conhecimento e compreensão de conceitos e processos,</p><p>e o desenvolvimento de capacidades como a interpretação,</p><p>a reflexão, a exploração de ideias matemáticas e o espírito</p><p>crítico, e o sentido da responsabilidade pessoal e de grupo,</p><p>a perseverança e a relação entre os alunos;</p><p>• o desenvolvimento de competências reflexivas e de</p><p>auto avaliação pode ser igualmente conseguido desde</p><p>que sejam dadas aos alunos indicações explícitas para a</p><p>inclusão nos relatórios de elementos acerca da forma como</p><p>desenvolveu o trabalho, das aprendizagens conseguidas e</p><p>das dificuldades sentidas. (SANTOS, 2005, p. 13-14)</p><p>Temos, enfi m, uma gama de instrumentos de avaliação. O</p><p>importante é que o instrumento mostre o que realmente você quer</p><p>ver: “informações sobre o que eles sabem do conteúdo envolvido, ter</p><p>pistas do que podem vir a saber futuramente, além de também ter pistas</p><p>de como ele, o professor, pode auxiliá-los em suas aprendizagens”</p><p>(SANTOS, 2008, p. 20).</p><p>Para saber mais</p><p>No link a seguir você terá acesso a um artigo que trata a respeito de</p><p>instrumentos de avaliação. É importante que você conheça esses</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 167</p><p>instrumentos, de forma que poderá utilizá-los em suas aulas e adaptá-</p><p>los de acordo com a sua necessidade e realidade. Disponível em: <http://</p><p>www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2007%202008/temas%20matematicos/</p><p>apa.pdf>. Acesso em: 19 set. 2017.</p><p>Atividades de aprendizagem</p><p>1. Ao avaliar. um dos principais propósitos é o de fornecer informações</p><p>aos envolvidos nos processos de ensino e de aprendizagem e também de</p><p>auxiliar na tomada de decisões que direcionarão os próximos passos desses</p><p>processos. De acordo com Pedrochi Junior (2012), podemos ter três tipos</p><p>de avaliações realizadas pelo professor, no decorrer de um processo de</p><p>ensino e aprendizagem.</p><p>Sobre os três tipos de avaliação da aprendizagem, associe a segunda coluna</p><p>de acordo com a primeira e, a seguir, assinale a alternativa com a sequência</p><p>correta:</p><p>a) 2 – 3 – 1.</p><p>b) 1 – 2 – 3.</p><p>c) 3 – 2 – 1.</p><p>d) 3 – 1 – 2.</p><p>e) 2 – 1 – 3.</p><p>(1) Formativa</p><p>(2) Diagnóstica</p><p>(3) Somativa</p><p>( ) A avaliação que ocorre depois da ação de</p><p>formação e visa classifi car, situar, informar</p><p>o aluno. Tem como função principal a</p><p>certifi cação, para isso, se propõe fazer um</p><p>balanço (uma soma), depois de uma ou várias</p><p>sequências ou, de uma maneira mais geral,</p><p>depois de um ciclo de formação.</p><p>( ) A avaliação que ocorre durante a ação</p><p>de formação e tem como principal função</p><p>regular o processo de ensino e aprendizagem,</p><p>contribuindo para a formação. “O seu objetivo</p><p>é o de permitir ajustar o tratamento didático</p><p>à natureza das difi culdades constatadas e à</p><p>realidade dos progressos registados.</p><p>( ) A avaliação</p><p>que ocorre antes da ação</p><p>de formação e tem função orientadora</p><p>trata de explorar ou de identifi car algumas</p><p>características de um aprendente (por</p><p>exemplo, as representações ou os</p><p>conhecimentos adquiridos) com vista a</p><p>escolher a sequência de formação mais bem</p><p>adaptada às suas características. ( )</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática168</p><p>2. A avaliação deve ser vista como um processo, e não apenas em</p><p>momentos de prova e, trabalhos. Analise a frase a seguir e assinale a</p><p>alternativa que mostra o tipo de avaliação a que ela se refere.</p><p>“Auxilia o professor a detectar ou fazer uma sondagem naquilo que se</p><p>aprendeu ou não, e assim retomar os conteúdos que o aluno não conseguiu</p><p>aprender, replanejando suas ações suprindo as necessidades e atingindo os</p><p>objetivos propostos (LUCKESI, 2005, p. 150)</p><p>a) Avaliação formativa.</p><p>b) Avaliação diagnóstica.</p><p>c) Avaliação somativa.</p><p>d) Avaliação substitutiva.</p><p>e) Avaliação final.</p><p>Fique ligado</p><p>Nesta unidade você aprendeu:</p><p>• O que é didática e como ela influencia no trabalho didático do</p><p>professor.</p><p>• O que é planejamento e quais tipos de planejamento temos. Foi</p><p>dado ênfase no plano de aula.</p><p>• O que é avaliação da aprendizagem.</p><p>• Quais são os tipos de avaliação.</p><p>• Instrumentos de avaliação.</p><p>Para concluir o estudo da unidade</p><p>Nesta unidade, você estudou que a didática pode auxiliar no</p><p>trabalho do professor que ensina Matemática. Esse auxílio é, também,</p><p>direcionado para a formação do professor. Quando refletimos sobre o</p><p>seu trabalho didático, outros questionamentos surgiram. Vimos que o</p><p>papel do estudante é construir conhecimento e o professor é um guia</p><p>nesse processo de construção.</p><p>Realizar os planejamentos de suas aulas é uma ação importante</p><p>do professor. Isso é uma forma de preparação e aprimoramento para</p><p>as aulas. E ainda, outros pontos abordados, foram avaliação como</p><p>parte do processo de ensino e aprendizagem, três tipos de avaliação</p><p>e instrumentos.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 169</p><p>Atividades de aprendizagem da unidade</p><p>1. A avaliação é uma ferramenta da qual o ser humano não se livra. “Ela faz</p><p>parte de seu modo de agir e, por isso, é necessário que seja usada da melhor</p><p>forma possível” (LUCKESI, 2002,p. 118). Assinale a alternativa que apresenta</p><p>o momento que deve ocorrer a avaliação:</p><p>a) Durante o processo de ensino e aprendizagem, contribuindo para</p><p>reorientar as ações docentes.</p><p>b) No final de cada semestre letivo, para facilitar a ação da secretária da</p><p>escola e do professor.</p><p>c) Semanalmente, para forçar o aluno a estudar as lições dadas, decorando</p><p>os conceitos principais.</p><p>d) No final do ano letivo, por meio das provas escrita e oral, com bancas</p><p>examinadoras convidadas.</p><p>e) Todos os dias para que o aluno seja obrigado a estudar em casa o que foi</p><p>visto nas aulas anteriores.</p><p>2. Numa avaliação, “[...] enfatiza-se o caminho percorrido pelo estudante</p><p>e não simplesmente um resultado obtido por ele; indaga-se o que ele fez</p><p>com o propósito de se obter informações a respeito do que ele sabe e não</p><p>apenas do que lhe falta, do que não sabe” (SANTOS, 2008, p. 17).</p><p>Com base no trecho apresentado, analise os itens que seguem:</p><p>I. A avaliação é um processo contínuo.</p><p>II. A avaliação da aprendizagem é apenas uma exigência da escola e da</p><p>secretaria.</p><p>III. As informações coletadas na avaliação direcionam o trabalho do</p><p>professor.</p><p>Assinale a alternativa que contém apenas itens corretos:</p><p>a) I.</p><p>b) II.</p><p>c) III.</p><p>d) I e II.</p><p>e) I e III.</p><p>3. O papel do professor começa muito antes da sala de aula, com um bom</p><p>_________________ e com estudos sobre o ensino de Matemática e ações</p><p>pedagógicas. Por isso, é importante que o futuro professor de Matemática,</p><p>tenha uma visão crítica sobre o trabalho docente no que diz respeito à</p><p>contextualização da Matemática.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática170</p><p>Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna:</p><p>a) Plano de aula.</p><p>b) Contrato didático.</p><p>c) Instrumento de avaliação.</p><p>d) Livro didático.</p><p>e) Recurso.</p><p>4. Analise a frase a seguir e assinale a alternativa que mostra o tipo de</p><p>avaliação a que ela se refere.</p><p>São realizadas no decorrer do processo, espera-se que haja a integração</p><p>de professores e alunos nessa etapa, para que os alunos desenvolvam a</p><p>autorregulação da aprendizagem, nesse sentido, cabe ao professor mediá-</p><p>los e ensinar o aluno a aprender a aprender.</p><p>a) Avaliação formativa.</p><p>b) Avaliação diagnóstica.</p><p>c) Avaliação somativa.</p><p>d) Avaliação substitutiva.</p><p>e) Avaliação final.</p><p>5. O plano de aula deve ser compreendido como uma bússola para orientar</p><p>o dia a dia do professor. A respeito de plano de aula assinale a alternativa</p><p>correta:</p><p>I. Um plano de aula bem elaborado pouco influencia no processo de ensino</p><p>e de aprendizagem dos estudantes.</p><p>II. O professor experiente não precisa elaborar planos de aula.</p><p>III. Um plano de aula pode ser entendido como uma previsão dos conteúdos</p><p>e de atividades de uma ou de várias aulas que compõem uma unidade de</p><p>estudo.</p><p>Assinale a alternativa que</p><p>a) I.</p><p>b) II.</p><p>c) III.</p><p>d) I e II.</p><p>e)II e III.</p><p>U4 - O trabalho didático do professor que ensina matemática 171</p><p>Referências</p><p>BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Algumas considerações sobre avaliação educacional.</p><p>Estudos em Avaliação Educacional, São Paulo, n. 22, p. 155-177, jul./dez. 2000.</p><p>BURIASCO, Regina Luzia Corio de; FERREIRA, Pamela Emanueli; CIANI, Andréia Buttner.</p><p>Avaliação como prática de investigação (alguns apontamentos). Boletim de Educação</p><p>Matemática, v. 22, n. 33, 2009.</p><p>CASTRO, Patrícia A. P. P. de; TUCUNDUVA, Cristiane Costa; ARNS, Elaine Mandelli. A</p><p>importância do planejamento das aulas para organização do trabalho do professor em</p><p>sua prática docente. ATHENA. Revista Científica de Educação, v. 10, n. 10, jan./jun. 2008.</p><p>CIANI, Andréia Büttner. O realístico em questões não rotineiras de matemática. 2011. 166 f.</p><p>Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual</p><p>de Londrina, Londrina, 2012.</p><p>COMENIUS, João Amós. Didática Magna. Tradução de Ivone Castilho Benedetti. São</p><p>Paulo: Martins Fontes, 1997.</p><p>DE LANGE, J. 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Disponível em: <https://houaiss.uol.com.br/pub/apps/www/v3-</p><p>3/ html/index.php#1>. Acesso em: 4 out. 2017.</p><p>PRADO, Maria Elizabeth. Brito; ALMEIDA,</p><p>Maria Elizabeth Bianconcini de. Estratégias em</p><p>educação à distância: a plasticidade na prática pedagógica do professor. In: VALENTE, José</p><p>Armando; ALMEIDA, Maria Elizabeth Bianconcini de (Orgs.). Formação de educadores à</p><p>distância e integração de mídias. São Paulo: Avercamp, 2007.</p><p>ROHLOFF, Débora Bohrer. Uma professora de matemática, sua prática e sua</p><p>compreensão em avaliação. 2004. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e</p><p>Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas,</p><p>2004.</p><p>ROSSETTO, Hallynnee Héllenn Pires. Trajetória hipotética de aprendizagem sob um</p><p>olhar realístico. 2016. 104 f. 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São Paulo: Libertad, 2000.</p><p>Débora Cristiane Barbosa Kirnev</p><p>Keila Tatiana Boni</p><p>Diego Barboza Prestes</p><p>Hallynnee Héllenn Pires Rossetto</p><p>Ensino de matemática</p><p>U</p><p>N</p><p>O</p><p>PA</p><p>R</p><p>EN</p><p>SIN</p><p>O</p><p>D</p><p>E M</p><p>ATEM</p><p>ÁTIC</p><p>A</p><p>Ensino de</p><p>matemática</p><p>Blank Page</p><p>Blank Page</p><p>é decimal, isso porque os numerais podem ser escritos</p><p>por meio de potências de base 10 (VERTUAN, 2009).</p><p>A palavra decimal indica que esse sistema de numeração possui</p><p>base 10, isto é, seus elementos são agrupados de 10 em 10. Assim, 10</p><p>unidades equivalem a 1 dezena, 10 dezenas equivalem a 1 centena, 10</p><p>centenas equivalem a 1 unidade de milhar e assim sucessivamente.</p><p>A base dez é o alicerce do Sistema de Numeração Decimal</p><p>(SND). Isso quer dizer que todo o SND foi estruturado a</p><p>partir da base 10. O pressuposto primordial dessa base é ter</p><p>em mente que leitura, escrita, comparação, composição,</p><p>decomposição e todas as operações são realizadas a partir</p><p>de agrupamentos de 10 em 10 (BRASIL, 2014, p. 29).</p><p>Alguns historiadores sugerem uma relação entre o Sistema de</p><p>Numeração Decimal possuir 10 símbolos e sua base ser decimal com o</p><p>fato dos humanos geralmente possuir 10 dedos nas mãos, isso porque</p><p>“tendo a humanidade aprendido a contar com seus dez dedos, essa</p><p>preferência, quase geral pelos agrupamentos de dez foi comandada</p><p>por este “acidente da natureza” que é a anatomia de nossas mãos”</p><p>(IFRAH, 1997, p. 85).</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 19</p><p>Embora pareça muito obvio que podemos contar com nossos</p><p>dedos, diferentes culturas através dos tempos desenvolveram</p><p>diferentes maneiras de fazê-lo. Os dedos podem ser estendidos</p><p>ou dobrados para indicar um número; as juntas podem ser</p><p>contadas também como dedos; uma mão pode ser usada para</p><p>mostrar dezenas e outras unidades, ou pode ser necessária a</p><p>interação entre pessoas – segurando ou puxando os dedos,</p><p>por exemplo (ROONEY, 2012, p. 26).</p><p>Questão para reflexão</p><p>Podemos ter uma noção a respeito da maneira que os alunos se sentem</p><p>ao ter o primeiro contato com o Sistema de Numeração Decimal,</p><p>trabalhando com um sistema de numeração com uma base diferente</p><p>de 10, como um sistema de numeração de base 4, por exemplo. Nesse</p><p>sistema de numeração de base 4, que possui apenas os algarismos (0, 1,</p><p>2 e 3), os primeiros numerais são 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, ...</p><p>Agora, experimente registrar a quantidade equivalente a 9 unidades do</p><p>SND ou realizar uma simples operação de adição, como 2+3 utilizando</p><p>o sistema de numeração na base 4.</p><p>Voltando às ideias da decomposição, ela pode ser uma excelente</p><p>ferramenta para a realização de cálculos mentais. Veja uma maneira</p><p>de realizar a adição 472+513 utilizando a decomposição das parcelas.</p><p>472 513 400 70 2 500 10 3+ = + +( )+ + +( )</p><p>472 513 400 500 70 10 2 3+ = +( )+ +( )+ +( )</p><p>472 513 900 80 5+ = + +</p><p>472 513 985+ =</p><p>Nesse caso, as parcelas foram decompostas em unidades,</p><p>dezenas e centenas. Em seguida, foram adicionadas unidades com</p><p>unidades, dezenas com dezenas e centenas com centenas. Por fim,</p><p>foram adicionadas as unidades, as dezenas e as centenas obtidas</p><p>anteriormente para determinar a soma. É como se alguém tivesse</p><p>pensado: “400 mais 500 é igual a 900, 70 mais 10 é igual a 80 e 2 mais</p><p>3 é igual a 5. Assim, 472 mais 513 é igual a 985”.</p><p>Como existem diversas maneiras de decompor um numeral,</p><p>consequentemente existem diversas maneiras de realizar um mesmo</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal20</p><p>cálculo mental por meio de decomposição. Veja mais uma maneira</p><p>de realizar a adição 472+513 utilizando a decomposição das parcelas:</p><p>472 513 400 72 500 13+ = +( )+ +( )</p><p>472 513 400 500 72 13+ = +( )+ +( )</p><p>472 513 900 85+ = +</p><p>472 513 985+ =</p><p>Nesse caso, as parcelas foram decompostas em dezenas não</p><p>completas e centenas. Em seguida, foram adicionadas as dezenas não</p><p>completas com as dezenas não completas e as centenas com centenas.</p><p>Por fim, foram adicionados os valores obtidos para determinar a soma.</p><p>É como se alguém tivesse pensado: “400 mais 500 é igual a 900, 72</p><p>mais 13 é igual a 85. Assim, 472 mais 513 é igual a 985”.</p><p>Embora o cálculo mental não seja trabalhado com a frequência</p><p>desejada com os alunos dos anos iniciais, determinados documentos</p><p>nacionais voltados ao ensino de Matemática indicam esse tipo de</p><p>trabalho. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática,</p><p>destinados aos alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental, um</p><p>dos objetivos diz respeito a “utilização da decomposição das escritas</p><p>numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproximado”</p><p>(BRASIL, 1997, p. 51). De acordo com o documento intitulado</p><p>Elementos conceituais e metodológicos para definição dos direitos de</p><p>aprendizagem e desenvolvimento do ciclo de alfabetização (1o, 2o e</p><p>3o anos) do Ensino Fundamental:</p><p>o cálculo mental, exato e aproximado, deve ser valorizado</p><p>no ensino da Matemática escolar desde a fase de</p><p>alfabetização matemática. Tais atividades podem ser</p><p>desenvolvidas com uso de estratégias, por meio das</p><p>quais os estudantes realizem decomposições das escritas</p><p>numéricas, tendo em vista a compreensão maior do</p><p>sistema de numeração decimal assim como o cálculo, em</p><p>suas diferentes dimensões (BRASIL, 2012, p. 69).</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 21</p><p>De modo geral, podemos resumir as características do SND, da</p><p>seguinte maneira:</p><p>• Possui apenas dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), com os</p><p>quais é possível representar todos os números.</p><p>• Utiliza a base dez, por isso é chamado de decimal.</p><p>• O algarismo zero representa ausência de quantidade.</p><p>• Os algarismos correspondem a valores distintos e um mesmo</p><p>algarismo pode corresponder a valores diferentes, dependendo de sua</p><p>posição na representação de um número.</p><p>• O princípio aditivo e o princípio multiplicativo geram a</p><p>decomposição dos numerais.</p><p>1.3 O lúdico e o Sistema de Numeração Decimal</p><p>O aspecto lúdico, que diz respeito aos jogos e às brincadeiras, é</p><p>muito utilizado como uma alternativa pedagógica para o ensino e a</p><p>aprendizagem de Matemática na Educação Infantil, mas por algum</p><p>motivo é abandonado pelos professores dos primeiros anos do Ensino</p><p>Fundamental (VERTUAN, 2009), o que não deveria ocorrer.</p><p>É interessante estarmos cientes de que, apesar “de ser um objeto</p><p>sociocultural em que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade</p><p>natural no desenvolvimento dos processos psicológicos básicos;</p><p>supõe um “fazer sem obrigação externa e imposta”, embora demande</p><p>exigências, normas e controle” (BRASIL, 1997, p. 35).</p><p>Borin (2002) indica a descentralização, o desenvolvimento da</p><p>linguagem, a criatividade e o raciocínio dedutivo como algumas das</p><p>contribuições dos jogos para a aprendizagem. De acordo com essa</p><p>autora, quando uma criança joga, ela tenta entender o ponto de vista do(s)</p><p>outro(s) participante(s) e realiza inferências a respeito de determinada</p><p>jogada para tomar uma decisão quanto a sua jogada. Para ela,</p><p>todas as habilidades envolvidas neste processo, que</p><p>exigem tentar, observar, analisar, conjecturar, verificar,</p><p>compõe o que chamamos de raciocínio lógico, que é uma</p><p>das prioridades no ensino da Matemática e característica</p><p>primordial do fazer ciência (BORIN, 2002, p. 9).</p><p>De acordo com Muniz (2010, p. 13), “o valor dos jogos para</p><p>a aprendizagem ganha força e importância a partir dos teóricos</p><p>construtivistas, especialmente a partir da ideia de que o jogo potencializa</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal22</p><p>a zona de desenvolvimento proximal, segundo Vigotski (1994)”. Partindo</p><p>dessa perspectiva construtivista, o jogo pode ser concebido como um</p><p>instrumento capaz de favorecer a aprendizagem das crianças, logo, o</p><p>jogo pode ser tomado como instrumento pedagógico para o ensino</p><p>de Matemática.</p><p>Para crianças pequenas, os jogos são as ações que</p><p>elas repetem sistematicamente mas que possuem um</p><p>sentido funcional (jogos de exercício), isto é, são fonte de</p><p>significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram</p><p>satisfação, formam hábitos que se estruturam num sistema.</p><p>Essa repetição funcional também deve estar presente na</p><p>atividade escolar, pois é importante no sentido de ajudar a</p><p>criança a perceber regularidades.</p><p>Por meio dos jogos as crianças não apenas vivenciam</p><p>situações que se repetem, mas aprendem a lidar com</p><p>símbolos e a pensar por analogia (jogos simbólicos): os</p><p>significados das coisas passam</p><p>a ser imaginados por elas.</p><p>Ao criarem essas analogias, tornam-se produtoras de</p><p>linguagens, criadoras de convenções, capacitando-se para</p><p>se submeterem a regras e dar explicações.</p><p>Além disso, passam a compreender e a utilizar convenções</p><p>e regras que serão empregadas no processo de ensino e</p><p>aprendizagem. Essa compreensão favorece sua integração</p><p>num mundo social bastante complexo e proporciona as</p><p>primeiras aproximações com futuras teorizações. (BRASIL,</p><p>1997, p. 35)</p><p>Como apresentado anteriormente, o SND possui certas</p><p>características específicas e essas podem ser assimiladas e</p><p>compreendidas com auxílio de jogos e brincadeiras. Ao propor atividades</p><p>lúdicas aos alunos para esse fim, é importante estarmos cientes que no</p><p>primeiro momento os objetivos devem estar centrados na construção</p><p>das noções estruturantes básicas de agrupamento decimal, de dez</p><p>em dez, e de posicionamento. Esse é um dos motivos pelos quais é</p><p>interessante utilizar de maneiras distintas, materiais manipuláveis de</p><p>diferentes naturezas, como palitos de sorvete, tampinhas de garrafa,</p><p>fichas numéricas, entre outros que julgar conveniente.</p><p>Segundo Mendes (2008, p. 11),</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 23</p><p>os materiais [manipuláveis] são usados em atividades</p><p>que o próprio aluno, geralmente trabalhando em grupos</p><p>pequenos, desenvolve na sala de aula. Estas atividades têm</p><p>uma estrutura matemática a ser redescoberta pelo aluno</p><p>que, assim, se torna um agente ativo na construção do seu</p><p>próprio conhecimento matemático.</p><p>Um exemplo de jogo que pode auxiliar na construção da noção</p><p>de agrupamento de 10 em 10, pode ser desenvolvido com palitos de</p><p>sorvete, ligas elásticas (geralmente utilizadas para amarrar dinheiro) e</p><p>dados de seis faces. Esse jogo também é conhecido como jogo do</p><p>nunca dez.</p><p>De modo geral, a ideia é que cada participante, na sua vez, lance</p><p>dois dados e retire a quantidade de palitos de sorvete correspondente</p><p>à pontuação das faces dos dados voltadas para cima. Quando um</p><p>participante obter 10 palitos, ele deve utilizar a liga elástica e amarrar</p><p>exatamente 10 palitos formando um grupo. Caso obtenha mais de</p><p>10 palitos, ele deve reservar o excedente para se juntar aos palitos</p><p>obtidos por ele na próxima rodada. O jogo deve prosseguir com os</p><p>participantes alternando os momentos de lançamento dos dados e</p><p>agrupando os palitos. Vence o jogo o participante que obter 10 grupos</p><p>de 10 palitos primeiro.</p><p>Por meio desse jogo, os alunos podem desenvolver o cálculo</p><p>mental, a composição numérica, a associação de quantidades com</p><p>símbolos, a comparação de quantidade e a construção da base 10,</p><p>uma das características do SND. Note que nesse jogo não existe a</p><p>preocupação com o valor posicional.</p><p>Utilizando palitos de sorvete, ligas elásticas, dados de seis faces,</p><p>fichas numeradas com inscrições dos algarismos de 0 a 9 e um</p><p>“tapetinho” (Figura 1.3), podemos trabalhar com um jogo parecido ao</p><p>anterior, mas agora também explorando a ideia de valor posicional do</p><p>SND.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal24</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 1.3 | “Tapetinho” separando GRUPÃO, GRUPO e SOLTOS</p><p>GRUPÃO GRUPO SOLTOS</p><p>De modo geral, a ideia é proceder de maneira semelhante ao jogo</p><p>anterior, isto é, cada participante, na sua vez, lança os dois dados e</p><p>retira a quantidade de palitos de sorvete correspondente à pontuação</p><p>das faces dos dados voltadas para cima. Se a quantidade de palitos for</p><p>menor que 10, os palitos devem ser posicionados sobre o “tapetinho”</p><p>na casa dos SOLTOS, juntamente com a ficha numérica indicando a</p><p>quantidade de palitos de sorvete. Se a quantidade de palitos for maior</p><p>ou igual a 10, o participante deve utilizar a liga elástica e amarrar</p><p>exatamente 10 palitos e posicioná-los sobre o “tapetinho”, na casa dos</p><p>GRUPOS, e caso haja sobra, elas devem ir para a casa dos SOLTOS.</p><p>Depois, deve-se posicionar a ficha numérica nas casas correspondentes,</p><p>indicando a quantidade de grupos e a quantidade de palitos soltos para</p><p>determinar a quantidade de cada ordem. Cada participante deve ter</p><p>seu próprio “tapetinho”. O jogo deve prosseguir com os participantes</p><p>alternando os momentos de lançamento dos dados, agrupando os</p><p>palitos e registrando as quantidades. Vence o jogo o participante que</p><p>obter registros nas três casas do “tapetinho” primeiro, lembrando que</p><p>um GRUPÃO corresponde a 10 grupos de 10 palitos.</p><p>Além dos possíveis desenvolvimentos indicados no jogo anterior,</p><p>por meio deste, os alunos também podem desenvolver a noção de</p><p>posição, verificando que, dependendo da posição, um algarismo</p><p>pode indicar quantidades diferentes. Outro aspecto interessante desse</p><p>jogo é a utilização das fichas numéricas que a cada rodada auxilia no</p><p>registro da quantidade de SOLTOS e GRUPOS de cada participante,</p><p>favorecendo a compreensão da relação símbolo versus quantidade.</p><p>Esses jogos podem ser adaptados com a utilização de outros</p><p>materiais manipuláveis ou outras regras, dependendo da realidade de</p><p>cada sala de aula. No entanto, é extremamente importante trabalhar</p><p>com jogos tendo os objetivos bem claros e definidos, não se pode</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 25</p><p>“jogar por jogar”, “é importante que os jogos façam parte da cultura</p><p>escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade</p><p>educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja</p><p>desenvolver” (BRASIL, 1997, p. 36).</p><p>Para saber mais</p><p>Mais informações e exemplos de jogos associados ao Sistema de</p><p>Numeração Decimal, podem ser encontradas no Pacto Nacional</p><p>pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC) no caderno 3, referente à</p><p>construção do SND, que está disponível em: <http://pacto.mec.gov.</p><p>br/images/pdf/cadernosmat/PNAIC_MAT_Caderno%203_pg001-088.</p><p>pdf>. Acesso em: 3 ago. 2017.</p><p>Atividades de aprendizagem da unidade</p><p>1. Uma das características do Sistema de Numeração Decimal se refere</p><p>ao fato de os princípios aditivo e multiplicativo gerarem a decomposição</p><p>dos numerais. Por exemplo, o numeral 254 pode ser decomposto como</p><p>2 10 5 10 4 102 1 0× + × + × .</p><p>De que maneira o numeral 6137 pode ser decomposto?</p><p>a) 60000 100 30 7+ + +</p><p>b) 6000 100 30 7 1+ + + +</p><p>c) 7 1000 3 100 1 10 6 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>d) 6 1000 1 100 3 10 7 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>e) 6 10 1 10 3 10 7 104 3 2 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>2. “Ultimamente, temos assistido a uma grande valorização das atividades</p><p>lúdicas no processo de construção do conhecimento matemático pelo</p><p>aluno através de uma prática na qual o professor utiliza os jogos pedagógicos</p><p>como elementos facilitadores do ato de ensinar-aprender” (MENDES, 2008,</p><p>p. 17).</p><p>Nessa perspectiva, analise as sentenças.</p><p>I. Criatividade.</p><p>II. Competitividade.</p><p>III. Raciocínio dedutivo.</p><p>IV. Desenvolvimento da linguagem.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal26</p><p>Quais dessas sentenças indicam possíveis contribuições dos jogos para a</p><p>aprendizagem?</p><p>a) I e II.</p><p>b) II e III.</p><p>c) I, II e IV.</p><p>d) I, III e IV.</p><p>e) I, II, III e IV.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 27</p><p>Seção 2</p><p>As operações aritméticas</p><p>Introdução à seção</p><p>É fato que grande parte do tempo de estudo relacionado à</p><p>Matemática nos primeiros anos do Ensino Fundamental gira em</p><p>torno das operações fundamentais da Matemática, isto é, da adição,</p><p>subtração, multiplicação e divisão. Esse é um dos motivos pelos quais</p><p>julgamos necessário trabalhar com tais operações aritméticas, nosso</p><p>intuito é possibilitar aos futuros professores desse nível de ensino uma</p><p>compreensão a respeito do funcionamento dos algoritmos para que</p><p>possam realizar um bom trabalho com seus alunos.</p><p>Nesta seção, apresentaremos o conceito de operação aritmética,</p><p>diferenciando-o da contagem que também pode ser utilizada para</p><p>resolver alguns cálculos elementares. Mostraremos também as ideias</p><p>que podem estar relacionadas às quatro operações fundamentais da</p><p>Matemática, com o intuito de que o professor trabalhe essas ideias em</p><p>sala de aula e mostre aos seus alunos que uma mesma operação pode</p><p>ter significados diferentes. Para Ramos (2009, p. 97),</p><p>Além disso, esta seção apresentará diferentes maneiras de realizar as</p><p>operações</p><p>fundamentais por meio de algoritmos, pois “compreender</p><p>uma operação aritmética implica, inclusive, na possibilidade de o aluno</p><p>utilizar diferentes estratégias para resolver esta operação” (VERTUAN,</p><p>2009, p. 23), mas, para isso, é interessante que os alunos conheçam</p><p>diferentes meios de realizar uma mesma operação aritmética. No</p><p>entanto, não podemos esquecer que o trabalho com os algoritmos</p><p>deve ocorrer de modo articulado com o entendimento da natureza</p><p>das operações.</p><p>dois aspectos se mostram fundamentais para que as</p><p>crianças sejam capazes de realizar e registrar cálculos</p><p>numéricos: o conhecimento da estrutura lógica do sistema</p><p>de numeração decimal e o significado das operações.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal28</p><p>2.1 As operações</p><p>Vamos, inicialmente, refletir a respeito de uma situação relativamente</p><p>simples: João tinha 6 aplicativos em seu telefone celular, depois ele</p><p>baixou outros 3. Quantos aplicativos João passou a ter em seu telefone</p><p>celular?</p><p>Caso um aluno resolva essa situação contando os aplicativos um a</p><p>um, desde o início (1, 2, 3, 4,...), até obter a quantidade de 9 aplicativos,</p><p>podemos afirmar que esse aluno não realizou uma adição, mas sim</p><p>uma contagem, pois quando o aluno conta desde o primeiro elemento</p><p>ele está realizando uma contagem.</p><p>Mas se isso é uma contagem, o que vem a ser uma adição?</p><p>Uma adição se configura quando se considera a quantidade inicial</p><p>e acrescenta a ela a quantidade que será adicionada, sem que seja</p><p>necessário realizar uma contagem desde o começo, a partir do um</p><p>(RAMOS, 2009).</p><p>Assim, quando uma pessoa considera uma quantidade como base</p><p>e acrescenta outra quantidade para determinar o resultado, ela está</p><p>realizando uma operação matemática, a adição. Caso essa pessoa</p><p>volte a contar desde o primeiro elemento para determinar o resultado,</p><p>ela estará contando e não realizando uma adição.</p><p>Nas situações que envolvem subtrações, podemos pensar de</p><p>modo semelhante à adição para verificar se está sendo realizada uma</p><p>contagem. O aluno estará realizando uma contagem se, após retirar a</p><p>quantidade a ser subtraída, voltar e contar desde o primeiro elemento.</p><p>Porém, caso o aluno seja capaz de imaginar que tinha 7 figurinhas,</p><p>perdeu 3 e ficou com 4 figurinhas, por exemplo, sem que para isso ele</p><p>tenha que voltar e realizar a contagem das figurinhas que sobraram</p><p>uma a uma, estará realizando uma operação de subtração.</p><p>Essa distinção se faz necessária, porque devemos estar cientes</p><p>que realizar uma contagem é diferente de realizar uma operação</p><p>matemática, embora o princípio das operações seja a contagem.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 29</p><p>Operar matematicamente é realizar uma transformação</p><p>reversível. Reversibilidade é a capacidade de ir e vir do</p><p>pensamento, ou seja, partir de uma ação realizada e ser</p><p>capaz de refazer os passos de volta ao início, desfazendo</p><p>a ação.</p><p>Faço uma operação matemática quando considero o</p><p>estado inicial da situação e o fato que está transformando</p><p>aquela quantidade, encontrando, assim, o estado final. E,</p><p>se precisar, posso desfazer a ação. A operação matemática</p><p>é uma que pode ser desfeita.</p><p>Para que uma criança “opere” matematicamente é preciso</p><p>que ela “conserve” a quantidade inicial, compreenda que</p><p>ação está acontecendo ou já aconteceu e seja capaz de</p><p>encontrar o resultado final. (RAMOS, 2009, p. 62-63)</p><p>compreender e construir os conceitos das operações</p><p>matemáticas é perceber as diferentes ações envolvidas [...].</p><p>A compreensão desses conceitos ocorre pela experiência</p><p>das diferentes ações, levando-se em consideração os</p><p>níveis progressivos de desenvolvimento.</p><p>Assim, de maneira resumida, temos que uma operação (operar +</p><p>ação) é uma transformação (transformar + ação) que pode ser desfeita.</p><p>Note que sem a ação não ocorre a operação e nem a transformação.</p><p>De acordo com Ramos (2009, p. 67),</p><p>Para saber mais</p><p>Mais informações a respeito do aprender e ensinar matemática nos anos</p><p>iniciais do Ensino Fundamental podem ser encontradas no livro:</p><p>NACARATO, Adair Mendes; MENGALI, Brenda Leme da Silva; PASSOS,</p><p>Cármen Lúcia Brancaglion. A matemática nos anos iniciais do ensino</p><p>fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. 2. ed. Belo</p><p>Horizonte: Autêntica, 2015. (Tendências em Educação Matemática).</p><p>Ao falar das operações, temos que estar cientes de que além das</p><p>chamadas operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e</p><p>divisão) existem outras três operações, a saber: potenciação, radiciação</p><p>e logaritmação (CARAÇA, 2003). Entretanto, neste livro, nos limitaremos</p><p>a abordar apenas as operações fundamentais, pois geralmente são</p><p>estas as abordadas nos primeiros anos do Ensino Fundamental.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal30</p><p>As operações fundamentais da matemática estão relacionadas com</p><p>algumas ideias, conforme quadro a seguir:</p><p>Fonte: Vertuan (2009, p. 23).</p><p>Quadro 1.2 | Ideias relacionadas às quatro operações fundamentais</p><p>Operação Ideia relacionada Situação exemplo</p><p>Adição</p><p>Juntar</p><p>Comprei 5 laranjas e 8 maçãs. Quantas</p><p>frutas comprei ao todo?</p><p>Acrescentar</p><p>Tinha 9 bolas de gude, ganhei outras 5</p><p>hoje. Com quantas fiquei?</p><p>Subtração</p><p>Tirar</p><p>De uma sala de 30 alunos, 12 saíram para</p><p>uma reunião. Quantos ficaram?</p><p>Completar</p><p>Alugamos um ônibus de 30 lugares para</p><p>fazer uma excursão. Se nossa sala tem 12</p><p>alunos, quantos lugares ficarão vazios?</p><p>Comparar</p><p>A 3a série possui 30 alunos, já a 4a série</p><p>possui 12. Quantos alunos a 3a série tem</p><p>a mais?</p><p>Multiplicação</p><p>Combinação de</p><p>fatores</p><p>De quantos modos diferentes uma</p><p>criança pode se vestir escolhendo entre 3</p><p>camisetas e 2 calças [diferentes].</p><p>Soma de parcelas</p><p>iguais</p><p>Quanto pagarei pela compra de 15</p><p>refrigerantes de valor 3 reais cada?</p><p>Divisão</p><p>Quantas vezes</p><p>cabe?</p><p>Quantos pacotes, com 3 figurinhas cada</p><p>um, são feitos com 108 figurinhas?</p><p>Distribuir</p><p>Distribuindo [igualmente] 108 figurinhas</p><p>entre 3 crianças, quantas figurinhas recebe</p><p>cada uma delas?</p><p>Com relação à operação de adição, na ideia de juntar não existe</p><p>temporalidade, tudo está lá, basta adicionar. Já na ideia de acrescentar,</p><p>a situação se apresenta em três tempos: estado inicial, fato ou ação</p><p>que transformou a quantidade inicial e estado final.</p><p>A respeito da operação de subtração, na ideia de tirar, há um todo do</p><p>qual se retira uma parte, por conseguinte a parte que permanece fica</p><p>menor. Na ideia de completar, há um todo que deve ser completado.</p><p>Na ideia de comparar, há dois todos a considerar e pode-se fazer uma</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 31</p><p>correspondência um a um para determinar a diferença.</p><p>Acerca da operação de multiplicação, relativamente à combinação</p><p>de fatores, a ideia é multiplicar a quantidade de possibilidades de</p><p>ocorrência de dois ou mais eventos. Na ideia de soma de parcelas</p><p>iguais, a natureza dos fatores é diferente, isto é, um dos fatores indica</p><p>grupos e o outro fator indica a quantidade de elementos em cada</p><p>grupo.</p><p>Com relação à divisão, na ideia de quantas vezes cabe, é dado</p><p>um total e a quantidade de elementos que deve ficar em cada grupo,</p><p>deve-se determinar a quantidade de grupos. Já a ideia de distribuir em</p><p>partes iguais, temos: dado um total e a quantidade de grupos, deve-se</p><p>determinar a quantidade de elementos que deve ficar em cada grupo.</p><p>O trabalho com diferentes situações que envolvam as diversas</p><p>ideias relacionadas às operações possibilita aos alunos construir algum</p><p>significado relacionado às operações (VERTUAN, 2009). Segundo</p><p>Ramos (2009), o fato de muitos alunos terem dificuldade em resolver</p><p>“problemas” matemáticos está diretamente associado com a falta</p><p>de informação de que uma mesma operação pode ser utilizada em</p><p>situações que envolvem ideias distintas.</p><p>2.2 A operação de adição</p><p>De acordo com Caraça (2003), a adição é a operação mais simples</p><p>da qual todas as outras dependem. A ideia de adicionar está implícita</p><p>na contagem, pois ao realizar uma contagem estamos envolvendo</p><p>a operação elementar de adicionar uma unidade a um número para</p><p>passar ao número seguinte. Assim, o conceito de sucessor de um</p><p>número pode</p><p>nos auxiliar a compreendermos a adição.</p><p>Vamos partir de uma pergunta relativamente simples: como obter</p><p>a soma 5 3+ ?</p><p>Grande parte dos indivíduos que já aprenderam a operação de</p><p>adição no SND responderiam 8. Mas essa resposta informa o resultado</p><p>da operação e não responde à pergunta proposta, que é “como obter</p><p>a soma 5 3+ ?”</p><p>Uma resposta esperada a essa pergunta seria, partimos do número</p><p>5 e tomamos seu sucessor 3 vezes, isto é, o sucessor do sucessor do</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal32</p><p>sucessor de 5.</p><p>5 6 7 8sucessor sucessor sucessor</p><p>Esse é o princípio de adição que utilizamos no SND.</p><p>Caraça (2003, p. 17) define a operação de adição da seguinte</p><p>maneira: “Somar a um número a dado, outro número b, é efetuar a</p><p>partir de a, b passagens sucessivas pela operação elementar”, em que,</p><p>a operação elementar diz respeito a determinar o sucessor de um</p><p>número. Com relação à nomenclatura, usualmente dizemos que a e b</p><p>são parcelas e o resultado é a soma ou total.</p><p>É possível utilizar esse princípio relacionado ao sucessor para outras</p><p>adições como 428 391+ , mas daria certo trabalho. Desse modo, se</p><p>elaborarmos uma maneira de realizar essa operação de modo mais</p><p>simples e com menos processos, isto é, com o menor dispêndio de</p><p>energia mental , certamente seria mais conveniente para quem for</p><p>efetuar adições (DIAS; MORETTI, 2012).</p><p>No decorrer da História, o ser humano desenvolveu técnicas</p><p>operatórias para facilitar determinados processos respeitando as</p><p>definições de cada operação, a essas técnicas damos o nome de</p><p>algoritmo . Nesse caso, uma técnica que pode ser entendida como</p><p>um registro escrito das ações realizadas. Assim, quanto mais próxima</p><p>da nossa ação ela for, mais descritiva a técnica será.</p><p>Os professores que seguem uma linha mais tradicional, geralmente</p><p>mostram aos alunos a sequência de passos a ser realizada em um</p><p>determinado algoritmo convencional, por meio de um exemplo, e</p><p>esperam que eles memorizem os procedimentos predeterminados, o</p><p>que não é aconselhável, pois é necessário que os alunos entendam o</p><p>que significa cada um dos passos que estão realizando. “É um equívoco</p><p>pensar que executar bem um algoritmo (saber fazer contas) significa</p><p>ter compreendido os significados das operações, os porquês destas</p><p>operações serem realizadas como são” (VERTUAN, 2009, p. 21).</p><p>Nessa perspectiva, em um momento inicial é essencial propor aos</p><p>alunos um trabalho com materiais manipuláveis para que eles tenham</p><p>a oportunidade de visualizar as ações matemáticas a serem realizadas e</p><p>criar maneiras pessoais de representar por escrito suas ações. Também</p><p>é importante que toda operação a ser realizada esteja inserida em</p><p>um contexto, de modo que cada elemento da operação tenha um</p><p>significado (RAMOS, 2009).</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 33</p><p>De acordo com Dias e Moretti (2012, p. 42),</p><p>ou</p><p>Note que nesses casos, não faz diferença iniciar os cálculos pelas</p><p>unidades ou pelas dezenas. Também é possível efetuar essa adição em</p><p>duas partes.</p><p>Compondo os subtotais, 37 figurinhas.</p><p>Outro modo de efetuar essa adição é por meio da escrita numérica</p><p>abreviada, registrando os subtotais decompostos. Esse processo</p><p>também pode ser chamado de processo longo da adição.</p><p>20</p><p>10</p><p>3</p><p>4</p><p>30 7 37</p><p>+</p><p>→ figurinhas</p><p>20 3</p><p>10 4</p><p>30 7 37</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+ → figurinhas</p><p>20</p><p>10</p><p>30</p><p>+</p><p>3</p><p>4</p><p>7</p><p>+</p><p>o processo de organização das operações numéricas</p><p>no desenvolvimento da estrutura aritmética,</p><p>sua formalização, inicia-se com a busca de uma</p><p>generalização a partir de regularidades que ocorrem</p><p>com os movimentos numéricos.</p><p>Essas autoras também afirmam que a busca por essas generalizações</p><p>nem sempre ocorrem de maneira simples e direta, sendo que algumas</p><p>inconsistências são sanadas sem o apoio da prática operacional</p><p>com objetos, o que de certa forma corresponde a construção do</p><p>conhecimento entre a prática com objetos e a teorização.</p><p>É interessante mostrar algumas maneiras de realizar uma mesma</p><p>operação antes de trabalhar com os algoritmos convencionais, que</p><p>geralmente apresentam-se de forma reduzida. Para exemplificar,</p><p>vamos considerar a seguinte situação: eu tinha 23 figurinhas, ganhei</p><p>outras 14. Com quantas figurinhas fiquei?</p><p>Utilizando o registro expandido ou decomposto, que mostra o valor</p><p>que cada algarismo representa no numeral:</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal34</p><p>D U</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>7</p><p>3 0</p><p>3 7</p><p>+</p><p>D U</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>3 0</p><p>7</p><p>3 7</p><p>+ou</p><p>Nesse caso, também não faz diferença iniciar os cálculos pelas</p><p>unidades ou pelas dezenas, isto é, tanto faz pensar primeiro em 3+4</p><p>ou em 20+10 É interessante registrar acima dos numerais a inicial que</p><p>indica seu valor relativo, no caso, U para unidades e D para dezenas.</p><p>Agora, utilizando o algoritmo convencional.</p><p>D U</p><p>parcelas</p><p>soma ou total</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>3 7</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>→</p><p>Portanto, 37 figurinhas.</p><p>Ao efetuar adições utilizando o algoritmo convencional é necessário</p><p>verificar se os alunos estão atentos ao valor relativo de cada algarismo,</p><p>pois podem pensar que 2+1=3 ao invés de 20+10=30. Lembre-os que</p><p>ao adicionar 2+1 está se adicionando o equivalente a 20+10, pois esses</p><p>algarismos estão na coluna das dezenas.</p><p>Podemos proceder de maneira semelhante a apresentada para</p><p>adições que envolvam reagrupamentos. Para exemplificar, vamos</p><p>considerar a seguinte situação: Quantas pessoas há em um parque que</p><p>tem 27 adultos e 36 crianças?</p><p>Utilizando o registro expandido ou decomposto:</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 35</p><p>ou</p><p>ou</p><p>20</p><p>30</p><p>7</p><p>6</p><p>50 13 63</p><p>+</p><p>→ pessoas</p><p>20 7</p><p>30 6</p><p>50 13 63</p><p>+</p><p>+ +</p><p>+ → pessoas</p><p>Efetuando essa adição em duas partes:</p><p>20</p><p>30</p><p>50</p><p>+</p><p>7</p><p>6</p><p>13</p><p>+</p><p>Compondo os subtotais, 63 pessoas.</p><p>Por meio do processo longo da adição:</p><p>D U</p><p>2 7</p><p>3 6</p><p>1 3</p><p>5 0</p><p>6 3</p><p>+</p><p>D U</p><p>2 7</p><p>3 6</p><p>5 0</p><p>1 3</p><p>6 3</p><p>+</p><p>Como os subtotais 13 e 50 estão organizados de modo que as</p><p>unidades estão em uma coluna e as dezenas estão em outra, basta</p><p>adicioná-los para obter o total.</p><p>Agora, utilizando o algoritmo convencional:</p><p>D U</p><p>2 7</p><p>3 6</p><p>6 3</p><p>1</p><p>+</p><p>Portanto, 63 pessoas.</p><p>Geralmente uma das grandes dificuldades dos alunos ao iniciar</p><p>o trabalho com adição por meio do algoritmo convencional, é</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal36</p><p>que eles devem simultaneamente adicionar 7 6+ , nesse caso, e</p><p>registrar a soma com o 1 na coluna das dezenas e o 3 na coluna das</p><p>unidades (RAMOS, 2009). Para alguns alunos, a dificuldade reside em</p><p>compreender o porquê do popular “vai 1”, isto é, compreender que ao</p><p>adicionar 7 6+ obtém-se 1 dezena e 3 unidades.</p><p>Questão para reflexão</p><p>Imagine que algum aluno resolvesse a adição 27 36+ da seguinte</p><p>maneira:</p><p>D U</p><p>2 7</p><p>3 6</p><p>5 13</p><p>+</p><p>Quais indicações você daria a esse aluno para que a partir dessa</p><p>resolução ele obtivesse a resposta esperada?</p><p>Ao iniciar o trabalho com as operações que envolvem</p><p>reagrupamentos, sempre que possível é interessante utilizar materiais</p><p>manipuláveis ou instrumentos de cálculos que favorecem as trocas</p><p>entre as ordens, como o material dourado ou o ábaco, por exemplo.</p><p>2.3 A operação de subtração</p><p>Vamos partir de uma pergunta relativamente simples associada a</p><p>operação de adição: conhecendo a soma e uma das parcelas de certa</p><p>adição, como podemos determinar a outra parcela?</p><p>Essa pergunta pode nos auxiliar a compreender o conceito da</p><p>operação inversa da adição, isto é, a subtração.</p><p>Caraça (2003, p. 20) define a operação de subtração da seguinte</p><p>maneira:</p><p>“A subtração é a operação pela qual se determina um número c</p><p>que, somado com b dá a”. Algebricamente podemos representar essa</p><p>situação como: c b a a b c+ = ⇒ − = . Com relação à nomenclatura,</p><p>na subtração a b c− = , a é o minuendo, b é o subtraendo e c é a</p><p>diferença ou o resto.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 37</p><p>Nos primeiros anos do Ensino Fundamental é comum trabalhar</p><p>com o minuendo maior ou igual ao subtraendo, para que o resultado</p><p>seja sempre maior ou igual a zero. Isso porque geralmente os números</p><p>negativos são abordados apenas no início do Ensino Fundamental II.</p><p>Vamos considerar a situação seguinte para verificar algumas</p><p>maneiras de realizar a operação de subtração:</p><p>Em certa</p><p>reunião havia 39 pessoas, 15 saíram mais cedo. Quantas</p><p>pessoas restaram nessa reunião?</p><p>Utilizando o registro expandido ou decomposto:</p><p>30</p><p>10</p><p>9</p><p>5</p><p>20 4 24</p><p>−</p><p>→ pessoas</p><p>30 9</p><p>10 5</p><p>20 4 24</p><p>+</p><p>− +</p><p>+ → pessoas</p><p>ou</p><p>Efetuando essa subtração em duas partes:</p><p>30</p><p>10</p><p>20</p><p>-</p><p>9</p><p>5</p><p>4</p><p>-</p><p>Compondo os subtotais, 24 pessoas.</p><p>Agora , utilizando o algoritmo convencional.</p><p>D U</p><p>minuendo</p><p>subtraendo</p><p>diferença ou resto</p><p>3 9</p><p>1 5</p><p>2 4</p><p>−</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Portanto, 24 pessoas.</p><p>Podemos preceder de maneira semelhante a apresentada para</p><p>subtrações que envolvam reagrupamentos. Para exemplificar, vamos</p><p>considerar a seguinte situação:</p><p>Maria tinha 65 reais e gastou 28 reais ao realizar uma compra.</p><p>Quantos reais sobraram?</p><p>Utilizando o registro expandido ou decomposto:</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal38</p><p>60</p><p>20</p><p>5</p><p>8-</p><p>50</p><p>20</p><p>15</p><p>8</p><p>30 7 37</p><p>−</p><p>→ reais</p><p>ou</p><p>60 5</p><p>20 8</p><p>50 10+</p><p>+</p><p>− +</p><p>� 50 15</p><p>20 8</p><p>30 7 37</p><p>+</p><p>− +</p><p>+ → reais</p><p>É possível que após algum tempo trabalhando com esse</p><p>procedimento os alunos deixem de registrar a primeira parte e</p><p>escrevam apenas o registro com o reagrupamento (RAMOS, 2009).</p><p>Outra possibilidade de registro é riscar os algarismos que participaram</p><p>das trocas e reescrever acima deles.</p><p>60</p><p>20</p><p>5</p><p>8</p><p>30 7 37</p><p>50 15</p><p>−</p><p>→ reais</p><p>Esse modo de resolução se aproxima da resolução por meio do</p><p>algoritmo convencional.</p><p>Efetuando essa subtração em duas partes:</p><p>Compondo os subtotais, 37 reais.</p><p>Agora, utilizando o algoritmo convencional:</p><p>50</p><p>20</p><p>30</p><p>-</p><p>15</p><p>8</p><p>7</p><p>-</p><p>D U</p><p>6 5</p><p>2 8</p><p>3 7</p><p>5</p><p>1</p><p>-</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 39</p><p>Portanto, 37 reais.</p><p>Ao iniciar o cálculo pelas unidades, verifi camos que não é possível</p><p>retirar 8 unidades de 5 unidades. Assim, ao riscar o algarismo 6 e registrar</p><p>o 5 acima dele, estamos indicando a separação de uma das 6 dezenas,</p><p>convertendo-a em 5 dezenas mais 10 unidades, que juntamos com</p><p>as 5 unidades que temos, totalizando 15 unidades. Após essa troca, é</p><p>possível retirar 8 unidades de 15 unidades e depois retirar 2 dezenas de</p><p>5 dezenas.</p><p>Segundo Vertuan (2009), um dos maiores desafi os de ensinar</p><p>subtração é explicar o signifi cado do popular “empresta 1”. É</p><p>politicamente incorreto utilizar a expressão “empresta 1”, porque</p><p>quando emprestamos algo temos por obrigação devolver e, nesse</p><p>caso, quando “emprestamos 1” não devolvemos. Por isso, devemos</p><p>utilizar palavras como “trocamos”, “decompomos” ou “convertemos”,</p><p>mas nunca “emprestamos”.</p><p>Para saber mais</p><p>Algumas pessoas realizam subtrações com reagrupamento por meio</p><p>de um método conhecido popularmente como “conta de escorregar”.</p><p>Observe como a subtração 83 57- pode ser realizada utilizando esse</p><p>método:</p><p>D U</p><p>8 3</p><p>5 7</p><p>2 6</p><p>1</p><p>6</p><p>-</p><p>Mas por que esse método funciona?</p><p>A resposta está em uma propriedade da subtração que diz que ao</p><p>adicionar um mesmo valor no minuendo e no subtraendo a diferença</p><p>não se altera. Nesse caso, no minuendo o algarismo 1 inserido junto</p><p>a unidade 13( ) , indica que foi acrescentado 10 unidades ao 83</p><p>80 13+( ) . No subtraendo, o algarismo 6 inserido na coluna das</p><p>dezenas 5</p><p>6</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>, indica que foi acrescentada 1 dezena, ao 57, assim</p><p>em vez de 5 dezenas o subtraendo ficou com 6 dezenas. Como foi</p><p>adicionado 10 unidades no minuendo e no subtraendo a diferença se</p><p>mantém a mesma.</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal40</p><p>No entanto, é necessário estar ciente de que esse método não é de</p><p>fácil compreensão para os alunos dos primeiros anos do Ensino</p><p>Fundamental, pois envolve uma propriedade da subtração.</p><p>2.4 A operação de multiplicação</p><p>De maneira semelhante a introdução da operação de subtração,</p><p>vamos iniciar o estudo da operação de multiplicação a partir de uma</p><p>pergunta relativamente simples associada a operação de adição: como</p><p>proceder se quisermos adicionar muitas parcelas iguais?</p><p>Inicialmente, podemos pensar em adicionar as parcelas duas</p><p>a duas até obter o resultado final. Essa é uma resposta válida, mas</p><p>se quiséssemos adicionar, por exemplo, 13 por 972 vezes isto é,</p><p>13+13+...+13+13 (repetindo 13 por 972 vezes), operacionalmente, seria</p><p>um tanto quanto desgastante.</p><p>Para economizar esforços, a humanidade desenvolveu o</p><p>conceito de multiplicação. Caraça (2003, p. 18) define a operação de</p><p>multiplicação da seguinte maneira: “A multiplicação define-se como</p><p>uma soma de parcelas iguais:</p><p>a b a a a</p><p>b</p><p>⋅ = + + +</p><p>( )</p><p>…</p><p>� ������� �������</p><p>Observação: a multiplicação é comutativa, isto é, a b b a⋅ = ⋅ .</p><p>No caso em que b =1 põe-se, por definição, a a⋅ =1 ”.</p><p>Com relação à nomenclatura, usualmente dizemos que a e b são</p><p>fatores e o resultado é o produto ou total.</p><p>Assim, podemos representar a adição 13 13 13 13+ + + +</p><p>(repetindo 13 por 972 vezes) por meio da multiplicação 13 972´ ou</p><p>13 972× . No entanto, outra pergunta se faz necessária: de que maneira</p><p>podemos efetuar essa operação?</p><p>Vamos considerar a situação seguinte para verificar algumas</p><p>maneiras de realizar a operação de multiplicação: em um torneio de</p><p>futsal havia 4 equipes com 12 jogadores cada. Quantos jogadores</p><p>participaram desse torneio?</p><p>Utilizando o registro expandido ou decomposto:</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 41</p><p>10 2</p><p>4</p><p>40 8 48</p><p>⋅</p><p>→ jogadores</p><p>10 2</p><p>4</p><p>40 8 48</p><p>+</p><p>×</p><p>+ → jogadores</p><p>ou</p><p>ou</p><p>Efetuando essa multiplicação em duas partes:</p><p>10</p><p>4</p><p>40</p><p>´</p><p>2</p><p>4</p><p>8</p><p>´</p><p>Compondo os subtotais, 48 jogadores.</p><p>Por meio do processo longo da multiplicação:</p><p>Agora, utilizando o algoritmo convencional:</p><p>D U</p><p>1 2</p><p>4</p><p>8</p><p>4 0</p><p>4 8</p><p>´</p><p>D U</p><p>1 2</p><p>4</p><p>4 0</p><p>8</p><p>4 8</p><p>´</p><p>D U</p><p>fatores</p><p>produto ou total</p><p>1 2</p><p>4</p><p>4 8</p><p>×</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>→</p><p>Portanto, 48 pessoas.</p><p>Podemos proceder de maneira semelhante a apresentada para</p><p>multiplicações que envolvam reagrupamentos. Para exemplificar,</p><p>vamos considerar a seguinte situação: Júlia preparou brigadeiros e os</p><p>organizou em 3 bandejas com 46 unidades cada. Quantos brigadeiros</p><p>Júlia preparou?</p><p>Utilizando o registro expandido ou decomposto</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal42</p><p>40 6</p><p>3</p><p>120 18 138</p><p>⋅</p><p>→ brigadeiros</p><p>40 6</p><p>3</p><p>120 18 138</p><p>+</p><p>⋅</p><p>+ → brigadeiros</p><p>ou</p><p>ou</p><p>Efetuando essa multiplicação em duas partes:</p><p>40</p><p>3</p><p>120</p><p>´</p><p>6</p><p>3</p><p>18</p><p>´</p><p>Compondo os subtotais, 138 brigadeiros.</p><p>Por meio do processo longo da multiplicação.</p><p>C D U</p><p>4 6</p><p>3</p><p>1 8</p><p>1 2 0</p><p>1 3 8</p><p>´</p><p>C D U</p><p>4 6</p><p>3</p><p>1 2 0</p><p>1 8</p><p>1 3 8</p><p>´</p><p>Note que 120 é o resultado da multiplicação de 3 por 4 dezenas,</p><p>isto é, 3 vezes 40.</p><p>Agora, utilizando o algoritmo convencional.</p><p>C D U</p><p>4 6</p><p>3</p><p>1 3 8</p><p>1</p><p>´</p><p>Portanto, 138 brigadeiros.</p><p>Ao utilizar o algoritmo convencional é necessário verificar se os</p><p>alunos perceberam que na multiplicação de 6 unidades por 3, foram</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 43</p><p>obtidas 18 unidades, que foi trocada por 1 dezena (registrada acima</p><p>do 4) e 8 unidades. Na multiplicação de 4 dezenas por 3, foi obtido 12</p><p>dezenas mais 1 dezena trocada anteriormente, totalizando 13 dezenas,</p><p>que foi trocada por 1 centena e 3 dezenas. Assim, o produto entre 46 e</p><p>3 corresponde a 1 centena, 3 dezenas e 8 unidades, ou seja, 138.</p><p>Também podemos decompor os fatores e organizá-los em um</p><p>quadro para realizar multiplicações de numerais com dois algarismos</p><p>ou mais como 17 253´ .</p><p>Logo, 17 253 4301⋅ = .</p><p>Adicionando os valores da parte hachurada, que foram obtidos por</p><p>meio da multiplicação entre os numerais da linha (200, 50 e 3) pelos</p><p>numerais da coluna (10 e 7), obtemos o resultado procurado.</p><p>´ 200 50 3</p><p>10 2000 500 30</p><p>7 1400 350 21</p><p>2000 1400 500 350 30 21 4301+ + + + + =</p><p>Para saber mais</p><p>De acordo com Ifrah (1998, apud DIAS; MORETTI, 2012), no século</p><p>VI os aritméticos hindus realizavam multiplicações por meio de um</p><p>procedimento denominado quadriculagem.</p><p>Para efetuar a multiplicação 352x146, por exemplo, construía-se um</p><p>quadro e registrava-se um dos fatores acima e o outro no lado esquerdo</p><p>do quadro, no sentido de baixo para cima. Depois se traçava diagonais.</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>4 6</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal44</p><p>O produto dos algarismos era registrado nos quadros correspondentes</p><p>à linha de um e à coluna do outro. A unidade do produto era escrita</p><p>na parte de cima e a dezena na parte de baixo de um mesmo quadro.</p><p>Nesse caso, a primeira</p><p>linha ficaria assim:</p><p>Após realizar todas as multiplicações e completar o quadro adicionavam-</p><p>se os algarismos das diagonais iniciando de cima para baixo e da direita</p><p>para a esquerda, e registrava ao lado do quadro apenas as unidades.</p><p>Quando houvesse dezenas na soma, essa era adicionada aos algarismos</p><p>da diagonal seguinte.</p><p>O produto era composto por uma parte registrada na horizontal abaixo</p><p>do quadro, nesse caso, 51 (leitura da esquerda para a direita), e por outra</p><p>parte, na vertical do lado esquerdo do quadro, nesse caso, 392 (leitura</p><p>de baixo para cima). Portanto, 352 146 51392⋅ = .</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>4 6</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>4 6</p><p>2</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>8</p><p>8</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>9</p><p>3</p><p>0</p><p>8</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2.5 A operação de divisão</p><p>Assim como apresentado anteriormente, vamos iniciar o estudo da</p><p>operação de divisão a partir de uma pergunta relativamente simples</p><p>associada à operação de multiplicação: conhecendo o produto e um</p><p>352 146 51392⋅ =</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 45</p><p>dos fatores de certa multiplicação, como podemos determinar o outro</p><p>fator?</p><p>Essa pergunta pode nos auxiliar a compreender o conceito da</p><p>operação inversa da multiplicação, isto é, divisão.</p><p>Inicialmente podemos pensar em testar alguns numerais até obter</p><p>o outro fator. Essa é uma resposta válida, mas que poderia demandar</p><p>certo esforço mental.</p><p>Para economizar esforços, a humanidade desenvolveu o conceito</p><p>de divisão.</p><p>A partir do produto b c a⋅ = , com b ¹ 0 , a divisão é definida como</p><p>a b c: = .</p><p>Observação: como a multiplicação é comutativa, também</p><p>poderíamos ter a c b: = , com c ¹ 0 .</p><p>Com relação à nomenclatura, na divisão a b c: = , dizemos que a</p><p>é o dividendo, b é o divisor e c é o quociente ou resultado da divisão,</p><p>sendo necessário o divisor ser diferente de zero. Para que a divisão</p><p>seja exata, isto é, para que a b: seja exatamente c, é necessário que o</p><p>dividendo seja múltiplo do divisor, nesse caso se verificará que b c a⋅ = .</p><p>Caso contrário existirá um resto r, r b< , tal que a b c r= ⋅ + .</p><p>Sempre se ouve dizer que a divisão é a operação</p><p>mais difícil, o que não é verdade. No entanto, tenho</p><p>de concordar que, para fazer divisões, preciso ter</p><p>as operações de adição, subtração e multiplicação</p><p>consolidadas. (RAMOS, 2009, p. 139)</p><p>Porém, outra pergunta se faz necessária: de que maneira podemos</p><p>efetuar essa operação?</p><p>Vamos considerar a situação seguinte para verificar algumas</p><p>maneiras de realizar a operação de divisão:</p><p>Pedro vai distribuir igualmente 23 bolinhas de gude para 5 crianças.</p><p>Quantas bolinhas de gude cada criança receberá?</p><p>Podemos pensar em quantas vezes o 5 cabe em 23:</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal46</p><p>23 5</p><p>5 4</p><p>18</p><p>5</p><p>13</p><p>5</p><p>8</p><p>5</p><p>3</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>vezes</p><p>Note que, cada subtração corresponde a uma vez que o divisor</p><p>cabe no dividendo. Desse modo, podemos verificar que o 5 cabe 4</p><p>vezes no 23 e sobra 3 unidades, isto é, cada criança receberá 4 bolinhas</p><p>de gude e ainda sobrará 3 delas. Nesse caso, podemos verificar que</p><p>a b c r= ⋅ + com r b< , ou seja, 23 5 4 3= ⋅ + com 3 5< .</p><p>Esse método também é conhecido como o método das subtrações</p><p>sucessivas.</p><p>Também é possível realizar essa operação utilizando estimativas,</p><p>em que se procura por meio de palpites a quantidade de vezes que o</p><p>5 cabe em 23:</p><p>23 5</p><p>5 1 2 1 4</p><p>18</p><p>10</p><p>8</p><p>5</p><p>3</p><p>− + + =</p><p>−</p><p>−</p><p>vezes</p><p>Nesse caso hipotético, o primeiro palpite do indivíduo foi que o 5</p><p>coubesse apenas 1 vez no 25, mas ao realizar os cálculos percebeu</p><p>que ainda lhe sobraram 18 unidades. O segundo palpite foi que o 5</p><p>coubesse 2 vezes no 18, mas ainda restou 8 unidades. Por fim, indicou</p><p>que o 5 coubesse 1 vez no 8. Assim, verificou que o 5 cabe 4 vezes no</p><p>23 e ainda sobram 3 unidades.</p><p>Essa situação também pode ser resolvida por meio do processo</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 47</p><p>longo da divisão e do algoritmo convencional, mas optamos por</p><p>apresentar outra situação para evidenciar as diferenças entre esses dois</p><p>métodos de resolução. Considere a seguinte situação:</p><p>Ana revelou 54 fotografias e pretende colar 3 delas em cada página</p><p>de um álbum. Quantas páginas serão necessárias para acomodar todas</p><p>essas fotografias?</p><p>Por meio do processo longo da divisão:</p><p>D U</p><p>D U</p><p>5 4 3</p><p>3</p><p>2 4 1 8</p><p>2 4</p><p>0</p><p>− ↓</p><p>−</p><p>Dividindo 5 dezenas por 3, obtemos 1 dezena e sobra outras 2.</p><p>Trocamos as 2 dezenas que sobrou por 20 unidade e adicionando as</p><p>outras 4 unidades, ficamos com 24 unidades. Ao dividir 24 unidades</p><p>por 3, obtemos 8 unidades e não sobra resto algum. Assim, serão</p><p>necessárias 18 páginas para acomodar as 54 fotografias.</p><p>Por meio do algoritmo convencional (processo breve):</p><p>D U</p><p>5 4 3</p><p>2 4 1 8</p><p>0</p><p>O trabalho com o processo breve da divisão não é muito indicado</p><p>para os alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental, porque</p><p>o aluno “precisa fazer um malabarismo numérico fantástico para</p><p>memorizar todos os passos, visto que, ao mesmo tempo, tem de</p><p>multiplicar números e subtrair de outros que não está vendo” (RAMOS,</p><p>2009, p. 151).</p><p>Outro meio de resolver essa divisão é pensando em multiplicações:</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal48</p><p>5 4 3</p><p>3 0 1 0</p><p>2 4 5</p><p>1 5 3</p><p>9 1 8</p><p>9</p><p>0</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>Primeiro escolhemos um número que multiplicado por 3 seja</p><p>menor que 54. Nesse caso hipotético, o primeiro número escolhido foi</p><p>o 10. O produto entre 3 e 10 é 30, que é subtraído de 54. Em seguida,</p><p>é necessário escolher um número que multiplicado por 3 seja menor</p><p>que 24 e assim sucessivamente. Desse modo, quanto mais o produto</p><p>se aproximar do dividendo, mais rápido se terminará essa divisão.</p><p>Para saber mais</p><p>Até pouco tempo atrás alguns camponeses da Rússia utilizavam um</p><p>método de multiplicação diferente do habitual (KASNER; NEWMAN,</p><p>1968). Para exemplificar vamos considerar a multiplicação 69x24.</p><p>Organizamos os fatores em duas colunas, em uma coluna vamos</p><p>realizar multiplicações sucessivas e na outra, divisões sucessivas, ambas</p><p>por 2.</p><p>Quando o numeral a ser dividido for ímpar, ignoramos o resto e</p><p>registramos apenas o quociente. Assim:</p><p>DIVISÃO</p><p>69</p><p>DIVISÃO</p><p>69</p><p>34</p><p>17</p><p>8</p><p>4</p><p>2</p><p>1</p><p>MULTIPLICAÇÃO</p><p>24</p><p>MULTIPLICAÇÃO</p><p>24</p><p>48</p><p>96</p><p>192</p><p>384</p><p>768</p><p>1536</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal 49</p><p>Da coluna que realizamos a multiplicação, selecionamos os numerais</p><p>que são opostos aos numerais ímpares da coluna que realizamos a</p><p>divisão. Nesse caso, 24, 96 e 1536.</p><p>Adicionando esses valores obtemos o resultado procurado.</p><p>1536 96 24 1656+ + =</p><p>Logo, 69 24 1656⋅ = . Assim, é possível realizar diversas multiplicações</p><p>utilizando apenas adição e multiplicações e divisões por 2.</p><p>Atividades de aprendizagem da unidade</p><p>1. As chamadas operações fundamentais estão relacionadas a algumas</p><p>ideias, assim, uma mesma operação aritmética pode estar relacionada</p><p>a ideias distintas. Por exemplo, a operação de subtração pode estar</p><p>relacionada com a ideia de tirar, completar ou comparar. Explique cada</p><p>uma dessas ideias relacionadas à subtração.</p><p>2. Ao realizar as operações fundamentais é importante utilizar a</p><p>nomenclatura correta dos elementos envolvidos. Observe algumas</p><p>nomenclaturas utilizadas ao realizar certas operações:</p><p>I. Dividendo,</p><p>II. Fatores,</p><p>III. Minuendo,</p><p>IV. Parcelas,</p><p>V. Subtraendo,</p><p>VI. Quociente,</p><p>Agora, indique a alternativa que relaciona as operações com suas respectivas</p><p>nomenclaturas.</p><p>a) adição – II; subtração – III e V; multiplicação – IV; divisão – I e VI.</p><p>b) adição – IV; subtração – III e V; multiplicação – II; divisão – I e VI.</p><p>c) adição – I e II; subtração – III e IV; multiplicação – V; divisão – VI.</p><p>d) adição – II; subtração – I e IV; multiplicação – VI; divisão – III e V.</p><p>e) adição – III; subtração – I e V; multiplicação – IV e VI; divisão – II.</p><p>69 24 1656⋅ =</p><p>U1 - Sistema de numeração decimal50</p><p>Fique ligado</p><p>Nesta unidade foram apresentados os assuntos a seguir.</p><p>• Um breve histórico a respeito da origem da contagem</p><p>e dos algarismos, passando pela ideia de contagem por meio da</p><p>correspondência unidade a unidade até chegar ao Sistema de</p><p>Numeração Decimal que utilizamos atualmente.</p><p>• O sistema de numeração dos antigos egípcios baseado em</p><p>símbolos,</p>