GRA CalculoNumerico

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<p>CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Elisângela P. F. Bagatini</p><p>2CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>SUMÁRIO</p><p>Esta é uma obra coletiva organizada por</p><p>iniciativa e direção do CENTRO SUPERIOR</p><p>DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA –</p><p>Faculdades Ftec que, na forma do art. 5º,</p><p>VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua</p><p>marca e detém os direitos de exploração</p><p>comercial e todos os demais previstos em</p><p>contrato. É proibida a reprodução parcial</p><p>ou integral sem autorização expressa e</p><p>escrita.</p><p>CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC</p><p>Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107.</p><p>Caxias do Sul/ RS</p><p>REITOR</p><p>Claudino José Meneguzzi Júnior</p><p>PRÓ-REITORA ACADÊMICA</p><p>Débora Frizzo</p><p>PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO</p><p>Altair Ruzzarin</p><p>DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EAD)</p><p>Lígia Futterleib</p><p>Desenvolvido pela equipe de Criações para o</p><p>ensino a distância (CREAD)</p><p>Coordenadora e Designer Instrucional</p><p>Sabrina Maciel</p><p>Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem</p><p>Igor Zattera e Gustavo Cunha</p><p>Revisora</p><p>ERROS COMPUTACIONAIS 5</p><p>Erros na Fase da Modelagem 7</p><p>Erros na Fase de Resolução 7</p><p>Representação Numérica 8</p><p>EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E</p><p>TRANSCENDENTES 18</p><p>Isolamento das raízes 21</p><p>Método da Bissecção 27</p><p>Método de Newton-Raphson 36</p><p>O Algoritmo 41</p><p>SISTEMAS LINEARES 44</p><p>Métodos Iterativos 46</p><p>Método Iterativo de Gauss-Jacobi 46</p><p>O Algoritmo 50</p><p>Método Iterativo de Gauss-Seidel 54</p><p>O Algoritmo 56</p><p>INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 62</p><p>Interpolação de Lagrange 63</p><p>O Algoritmo 67</p><p>AJUSTE DE CURVAS 73</p><p>Resíduo Quadrático 75</p><p>INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 86</p><p>3CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Introdução</p><p>Caro aluno, seja bem-vindo a unidade curricular Cálculo</p><p>Numérico. Será um imenso prazer trabalharmos juntos. Quero</p><p>que saibas que podes contar comigo a qualquer momento, o</p><p>“aprender” se dará de forma contínua e mútua.</p><p>Seja organizado, tenha um tempo de qualidade para traba-</p><p>lhar com a unidade curricular. Não fique com dúvidas, comu-</p><p>nique-se de alguma forma: via fóruns, chats, e-mails, enfim.</p><p>O Cálculo Numérico consiste na obtenção de soluções</p><p>aproximadas de problemas matemáticos, utilizando métodos</p><p>numéricos. Com a popularização dos computadores pratica-</p><p>mente todas as atividades de engenharia tem feito uso intensivo</p><p>dos métodos computacionais na resolução de problemas reais,</p><p>para os quais as soluções manuais são inviáveis.</p><p>4CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Ao longo da disciplina o software MATLAB® será utili-</p><p>zado como ferramenta de cálculo. Os métodos serão apresen-</p><p>tados com um exemplo e cálculo algébrico e, em seguida, os</p><p>exemplos e/ou aplicações serão resolvidas com o computador.</p><p>Convido-lhe a utilizar livros didáticos para complementar</p><p>esse material que é apenas um guia-resumo de alguns métodos</p><p>numéricos. É importante que você saiba que existem muitos</p><p>outros métodos apresentados na teoria de Cálculo Computa-</p><p>cional.</p><p>Ao final de cada capítulo é apresentada uma lista com</p><p>poucos exercícios, mas ao longo do semestre o professor com-</p><p>plementará o material.</p><p>Bons estudos e um ótimo semestre!</p><p>5CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>ERROS</p><p>COMPUTACIONAIS</p><p>Este espaço é para a linha de apoio.</p><p>Com a popularização dos computadores praticamente todas</p><p>as atividades de engenharia tem feito uso intensivo dos méto-</p><p>dos computacionais na resolução de problemas reais, para os</p><p>quais as soluções manuais são inviáveis. O uso do computador</p><p>como ferramenta de trabalho de cálculo numérico requer o</p><p>entendimento dos seus princípios de operação e de como eles</p><p>interferem nos resultados obtidos. Geralmente, é aceito como</p><p>verdade que os computadores não erram e que são os usuários</p><p>que cometem enganos. Na realidade, o computador, como</p><p>dispositivo de cálculo numérico, “comete” erros devido às suas</p><p>características e o papel do usuário é quantificar esses erros</p><p>quando possível.</p><p>6CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Quando realizamos cálculos manualmente, os erros de</p><p>arredondamento da calculadora são desprezíveis, porque a</p><p>quantidade de cálculo que podemos operar é pequena. No</p><p>computador, geralmente, a quantidade de operações aritméticas</p><p>que se pode realizar é muito maior do que àquelas realizadas</p><p>manualmente, de forma que o erro de arredondamento do</p><p>dispositivo de cálculo se torna importante. Outro problema</p><p>é que no cálculo manual temos controle da propagação do</p><p>erro, pois estamos conferindo o resultado passo a passo. No</p><p>computador não temos como checar cada operação, tendo em</p><p>vista a velocidade com que elas são realizadas e a quantidade</p><p>de cálculos executados. Desta forma, a verificação dos resulta-</p><p>dos e o controle sobre a propagação de erros em programas de</p><p>computador é essencial para se atingir resultados consistentes</p><p>e confiáveis.</p><p>As seguintes considerações devem ser levadas em conta ao</p><p>se realizar cálculos numéricos no computador:</p><p>• A aritmética computacional não funciona da mesma forma</p><p>que a aritmética que praticamos manualmente. No cálculo</p><p>manual é sempre possível monitorar os resultados inter-</p><p>mediários e ajustar a precisão dos cálculos. Na aritmética</p><p>computacional, cada número tem uma quantidade de alga-</p><p>rismos fixas que muitas vezes podem ser inadequadas para</p><p>o cálculo repetitivo.</p><p>• Normalmente, o cálculo manual é feito por um pequeno</p><p>número de operações aritméticas, enquanto que o cálculo</p><p>computacional pode envolver bilhões de operações aritmé-</p><p>ticas. Pequenos erros que poderiam passar despercebidos no</p><p>cálculo manual, podem arruinar completamente o resultado</p><p>do cálculo computacional devido a acumulação e propagação</p><p>de erros.</p><p>7CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Erros na Fase da Modelagem</p><p>Um fenômeno natural, por exemplo, ao ser resolvido por</p><p>meio de um modelo matemático precisar ser simplificado pois</p><p>geralmente são problemas muito complexos. Os erros decor-</p><p>rentes dessas simplificações podem gerar erros na modelagem.</p><p>Erros na Fase de Resolução</p><p>São erros provenientes da utilização de algum equipamen-</p><p>to, por exemplo, o computador. Tais erros ocorrem devido a</p><p>capacidade limitada dos equipamentos de armazenar os dígitos</p><p>significativos de valores numéricos utilizados nas operações</p><p>elementares de adição, subtração, multiplicação e divisão.</p><p>As leis que regem as operações aritméticas, quando exe-</p><p>cutadas em um computador, não obedecem à mesma estrutura</p><p>dos números reais. No computador um número é representado</p><p>internamente por meio de uma sequência de impulsos elétricos</p><p>que indicam dois estados: 0 ou 1, o chamado sistema binário.</p><p>Há uma interação entre o usuário e o computador, portanto</p><p>os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário</p><p>no sistema decima, os quais são convertidos para o sistema</p><p>binário, e as operações são executadas. Os resultados, então,</p><p>são convertidos para o sistema decimal e, então, transmitidos</p><p>ao usuário. Todo esse processo de conversão é uma fonte de</p><p>erros que afetam o resultado final dos cálculos.</p><p>8CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Representação Numérica</p><p>Mudança de Base</p><p>Dado um número real, N, é sempre possível representa-lo</p><p>em qualquer base b, da seguinte forma:</p><p>onde ai ∈ {0,1,2,3,…,(b-1)}, com m e n inteiros.</p><p>Assim, a base binária é da forma</p><p>e a base decimal</p><p>Exemplo 1</p><p>Represente os números abaixo em suas respectivas bases.</p><p>Assim, dado um número real qualquer numa base b, po-</p><p>demos escrevê-lo em uma outra base b^’, a partir da adequação</p><p>conveniente de seus coeficientes e de uma potência adequada</p><p>na nova base.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>= ∑ ×</p><p>=</p><p>2 = ∑ × 2</p><p>=</p><p>, ∈ {0, 1}</p><p>10 = ∑ × 10</p><p>=</p><p>, ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>= ∑ ×</p><p>=</p><p>2 = ∑ × 2</p><p>=</p><p>, ∈ {0, 1}</p><p>10 = ∑ × 10</p><p>=</p><p>, ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>= ∑ ×</p><p>=</p><p>2 = ∑ × 2</p><p>=</p><p>, ∈ {0, 1}</p><p>10 = ∑ × 10</p><p>=</p><p>, ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>(231,35)10 = ∑ × 10</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 10−2 + −1 × 10−1 + 0 × 100 + 1 × 101 + 2 × 102</p><p>= 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102</p><p>(111,01)2 = ∑ × 2</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 2−2 + −1 × 2−1 + 0 × 20 + 1 × 21 + 2 × 22</p><p>= 5 × 2−2 + 3 × 2−1 + 1 × 20 + 3 × 21 + 2 × 22</p><p>(1011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>3</p><p>=0</p><p>= 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 11</p><p>(0,011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>−1</p><p>=−3</p><p>= 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 ×</p><p>1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3419)</p><p>10</p><p>= 0,5544</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3419) − 0,5544</p><p>10</p><p>= 0,4762</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4762 − 3 ∙ (0,5544)</p><p>16</p><p>= 0,3663</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4762 − 3 ∙ (0,3663)</p><p>10</p><p>= 0,5425</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,43 − 0,4762| = 0,0462.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3419) − 0,5544</p><p>10</p><p>= 0,4762</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4762 − 3 ∙ (0,5544)</p><p>16</p><p>= 0,3663</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4762 − 3 ∙ (0,3663)</p><p>10</p><p>= 0,5425</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,43 − 0,4762| = 0,0462.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3419 − 0,3663| = 0,0244.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5544 − 0,5425| = 0,0119.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0462 < 0,05.</p><p>56CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>ε⁽²⁾ = max {ε₁, ε₂, ε₃} = 0,0462 < 0,05.</p><p>O processo deve ser interrompido pois a tolerância desejada</p><p>foi atingida.</p><p>A solução aproximada para o sistema [0,4762, 0,36663</p><p>0,5425]T foi obtida na 2ª iteração com erro de 0,0462.</p><p>O Algoritmo</p><p>A Figura abaixo apresenta um exemplo de algoritmo de</p><p>Gauss-Seidel em MATLAB®</p><p>Proceda da mesma forma que no exemplo de Gauss-Jacobi.</p><p>Crie um arquivo com os comandos a seguir.</p><p>Considere que o sistema linear pode ser escrito da forma</p><p>matricial Ax=b. Os dados de entrada são:</p><p>57CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>• A é a matriz de coeficientes do sistema.</p><p>• b é o vetor coluna dos termos independentes do sistema linear.</p><p>• x0 é o vetor coluna da com os valores de estimativa inicial</p><p>das incógnitas do sistema linear.</p><p>• tol é a tolerância desejada (precisão)</p><p>• Os dados de saída são:</p><p>• x é o vetor coluna da solução aproximada.</p><p>• k é o número de iterações necessárias para a convergência.</p><p>• erro da iteração k.</p><p>Crie um arquivo com os dados do exemplo anterior:</p><p>Executando o arquivo, os resultados obtidos são:</p><p>Exemplo 6: Uma Aplicação</p><p>Considere o diagrama de circuito elétrico abaixo:</p><p>A corrente que f lui do nó p para o nó q de uma rede elé-</p><p>trica é dada por:</p><p>58CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Ipq = (Vp - Vq)</p><p>Em que I representa a corrente elétrica em ampères, R é a</p><p>resistência elétrica em ohms, Vp e Vq representam as tensões</p><p>nos nós p e q são dadas em volts; e Rpq é a resistência no arco</p><p>pq (Lei de Ohm).</p><p>A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (Lei</p><p>de Kirchoff); assim, as equações que relacionam as tensões</p><p>podem ser obtidas.</p><p>Considerando que a tensão em A é nula e em B é 100</p><p>V determine a tensão nos nós 1, 2 e 3 através do método de</p><p>Gauss-Seidel com precisão de 0,01.</p><p>Solução: Nó 1:</p><p>Nó 2:</p><p>Nó 3:</p><p>Assim, o sistema a ser resolvido é composto por equações</p><p>lineares e três incógnitas. Para resolver este problema vamos</p><p>utilizar o algoritmo:</p><p>− 1</p><p>1</p><p>+</p><p>2 − 1</p><p>21</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>31</p><p>= 0</p><p>0 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>2 − 1</p><p>1</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>2</p><p>= 0</p><p>− 1</p><p>2</p><p>+</p><p>2 2 − 2 1</p><p>2</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>2</p><p>=</p><p>0</p><p>2</p><p>−4 1 + 2 2 + 3 = 0</p><p>� Nó 2:</p><p>1 − 2</p><p>12</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>32</p><p>= 0</p><p>1 − 2</p><p>1</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>3 1 − 3 2</p><p>3</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>3 1 − 4 2 + 3 = 0</p><p>� Nó 3:</p><p>− 3</p><p>3</p><p>+</p><p>1 − 3</p><p>13</p><p>+</p><p>2 − 3</p><p>23</p><p>= 0</p><p>− 3</p><p>5</p><p>+</p><p>1 − 3</p><p>2</p><p>+</p><p>2 − 3</p><p>3</p><p>= 0</p><p>6 ∙ 100 − 6 3</p><p>30</p><p>+</p><p>15 1 − 15 3</p><p>30</p><p>+</p><p>10 2 − 10 3</p><p>30</p><p>= 0</p><p>15 1 + 10 2 − 31 3 = −600</p><p>− 1</p><p>1</p><p>+</p><p>2 − 1</p><p>21</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>31</p><p>= 0</p><p>0 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>2 − 1</p><p>1</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>2</p><p>= 0</p><p>− 1</p><p>2</p><p>+</p><p>2 2 − 2 1</p><p>2</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>2</p><p>=</p><p>0</p><p>2</p><p>−4 1 + 2 2 + 3 = 0</p><p>� Nó 2:</p><p>1 − 2</p><p>12</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>32</p><p>= 0</p><p>1 − 2</p><p>1</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>3 1 − 3 2</p><p>3</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>3 1 − 4 2 + 3 = 0</p><p>� Nó 3:</p><p>− 3</p><p>3</p><p>+</p><p>1 − 3</p><p>13</p><p>+</p><p>2 − 3</p><p>23</p><p>= 0</p><p>− 3</p><p>5</p><p>+</p><p>1 − 3</p><p>2</p><p>+</p><p>2 − 3</p><p>3</p><p>= 0</p><p>6 ∙ 100 − 6 3</p><p>30</p><p>+</p><p>15 1 − 15 3</p><p>30</p><p>+</p><p>10 2 − 10 3</p><p>30</p><p>= 0</p><p>15 1 + 10 2 − 31 3 = −600</p><p>− 1</p><p>1</p><p>+</p><p>2 − 1</p><p>21</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>31</p><p>= 0</p><p>0 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>2 − 1</p><p>1</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>2</p><p>= 0</p><p>− 1</p><p>2</p><p>+</p><p>2 2 − 2 1</p><p>2</p><p>+</p><p>3 − 1</p><p>2</p><p>=</p><p>0</p><p>2</p><p>−4 1 + 2 2 + 3 = 0</p><p>� Nó 2:</p><p>1 − 2</p><p>12</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>32</p><p>= 0</p><p>1 − 2</p><p>1</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>3 1 − 3 2</p><p>3</p><p>+</p><p>3 − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>3 1 − 4 2 + 3 = 0</p><p>� Nó 3:</p><p>− 3</p><p>3</p><p>+</p><p>1 − 3</p><p>13</p><p>+</p><p>2 − 3</p><p>23</p><p>= 0</p><p>− 3</p><p>5</p><p>+</p><p>1 − 3</p><p>2</p><p>+</p><p>2 − 3</p><p>3</p><p>= 0</p><p>6 ∙ 100 − 6 3</p><p>30</p><p>+</p><p>15 1 − 15 3</p><p>30</p><p>+</p><p>10 2 − 10 3</p><p>30</p><p>= 0</p><p>15 1 + 10 2 − 31 3 = −600</p><p>Rpq</p><p>59CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Portanto a solução aproximada é 23,98 V no nó 1, 27,98</p><p>V no nó 2 e 39,98 no nó 3 obtida na 23ª iteração com erro de</p><p>0,0079.</p><p>Programa Solução Síntese</p><p>Estamos avançando na disciplina, neste capítulo estudamos</p><p>um pouco sobre métodos iterativos para a resolução de sistemas</p><p>lineares. O foco aqui foi o estudo dos métodos iterativos de</p><p>Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. É importante que você tenha</p><p>sempre materiais complementares para estudar, pois existem</p><p>outros métodos como pivotamento parcial e método de Newton.</p><p>A cada método um exemplo com a resolução foi apresentado,</p><p>bem como a utilização do software através da utilização de um</p><p>algoritmo. No final do capítulo uma aplicação em resolução</p><p>de um circuito elétrico é apresentada como sua modelagem e</p><p>resolução. Pesquise outras aplicações, principalmente em sua</p><p>área de estudo.</p><p>60CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exercício:</p><p>1. Determine a solução aproximada dos sistemas abaixo com</p><p>precisão de 0,01 pelo método de Gauss-Seidel e Gauss-Ja-</p><p>cobi. Verifique se é possível garantir convergência usando</p><p>o critério da diagonal dominante em cada caso. Resolva</p><p>manualmente e, em seguida, confira o resultado obtido com</p><p>o algoritmo.</p><p>2. Calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss-Seidel</p><p>e Gauss-Jacobi do exemplo.</p><p>Respostas:</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>Gauss-Jacobi</p><p>Dados de Entrada Respostas</p><p>61CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Gauss-Seidel</p><p>Dados de Entrada Respostas</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>Método de Gauss-Jacobi</p><p>Método de Gauss-Seidel</p><p>k</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>V₁</p><p>0</p><p>0</p><p>4,8387</p><p>7,2581</p><p>V₂</p><p>0</p><p>0</p><p>4,8387</p><p>8,4677</p><p>V₃</p><p>0</p><p>19,3548</p><p>19,3548</p><p>23,2570</p><p>Erro</p><p>-</p><p>19,3548</p><p>4,8387</p><p>3,9022</p><p>k</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>V₁</p><p>0</p><p>0</p><p>4,8387</p><p>10,3408</p><p>V₂</p><p>0</p><p>0</p><p>8,4677</p><p>13,8625</p><p>V₃</p><p>0</p><p>19,3548</p><p>24,4277</p><p>28,8302</p><p>Erro</p><p>-</p><p>19,3548</p><p>8,4677</p><p>5,3948</p><p>62CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>INTERPOLAÇÃO</p><p>POLINOMIAL</p><p>Interpolação de Lagrange</p><p>A tabela a seguir relaciona calor específico da água e tem-</p><p>peratura:</p><p>Suponha que você precisa determinar o calor específico da</p><p>água a temperatura de a 28°C como você procederia? Ou ainda,</p><p>qual é a temperatura para a qual o calor específico é 0,99835?</p><p>Temperatura (°C)</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>45</p><p>50</p><p>Calor Específico</p><p>0,99907</p><p>0,99852</p><p>0,99826</p><p>0,99818</p><p>0,99828</p><p>0,99849</p><p>0,99878</p><p>63CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>A interpolação é uma técnica que pode ser aplicada nesse</p><p>tipo de problema. Interpolar uma função f(x) é, basicamente,</p><p>aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida</p><p>entre uma classe de funções.</p><p>Para determinar a função interpoladora considere n + 1</p><p>pontos distintos: x₀, x₁, … , xⁿ, chamados de nós da interpola-</p><p>ção ou nodos, e os valores de f (x) nesses pontos, ou seja, f(x₀),</p><p>f(x₁), … , f(xⁿ). A função interpoladora g(x) deve ser tal que:</p><p>g(x₀) = f(x₀)</p><p>g(x₁) = f(x₁)</p><p>⋮ = ⋮</p><p>g(xⁿ ) = f(xⁿ)</p><p>Para n = 5, temos</p><p>FONTE: RUGIERO, M.A.G., LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais.</p><p>São Paulo: Makron Books, 1996.</p><p>A função interpoladora, neste caso, pertence à classe dos</p><p>polinômios. Existem várias formas de interpolação polino-</p><p>mial: método de Vandermonde, fórmula de Taylor, fórmula</p><p>de Lagrange, etc.</p><p>Interpolação de Lagrange</p><p>O método recebe esse nome em homenagem ao matemático</p><p>italiano Joseph-Louis de Lagrange.</p><p>64CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>A interpolação segundo Lagrange tem o polinômio inter-</p><p>polador definido por:</p><p>gⁿ(x) = f(x₀) L₀(x) + f(x₁) L₁(x) + f(x2) L2(x) + ⋯ + f(xⁿ) Lⁿ(x)</p><p>em que Lk (x) são polinômios de grau n.</p><p>Para cada i, a condição</p><p>gⁿ(xi) = f(x₀) L₀(xi) + f(x₁) L₁(xi) + f(x2) L2 (xi) + ⋯+ f(x )n L n(xi) = f(xi)</p><p>deverá ser satisfeita. Isto significa que</p><p>Lk (xi) = 0 se k ≠ i e Lk (xi) = 1 se k = i.</p><p>Portanto, Lk (x) é definidor por</p><p>(x - x₀)(x - x₁) ⋯ (x - x k - ₁)(x - x k + ₁) ⋯ ( x - x n)</p><p>(xk - x₀)(xk - x₁) ⋯ (xk - x k - ₁)(x k - x k - ₁) ⋯ (xk - x n)</p><p>Observe que o termo (x - xk) não aparece no numerador,</p><p>nem (xk - xk) no denominador. O numerador é um produto</p><p>de n fatores de primeiro grau, portanto Lk(x) é um polinômio</p><p>de grau n.</p><p>Lk (x)</p><p>=</p><p>65CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exemplo 1:</p><p>Considere a tabela abaixo:</p><p>a. Determinar o polinômio interpolador usando a fórmula de</p><p>Lagrange. Utilize todos os pontos da tabela.</p><p>b. Trace o gráfico do polinômio interpolador e dos nodos no</p><p>mesmo plano cartesiano.</p><p>c. Obtenha uma aproximação para f(1,2).</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>Solução:</p><p>a. Neste caso, temos 3 pontos, então o polinômio interpolador</p><p>tem grau 2 no máximo, portanto a fórmula de Lagrange</p><p>pode ser expressa por</p><p>g₂(x) = f(x₀)L₀(x) + f(x₁)L₁ (x) + f(x₂)L₂(x)</p><p>Primeiramente, vamos calcular os polinômios de Lagrange:</p><p>(x - x1)(x - x2) (x - 2)(x - 3) x²- 5x + 6</p><p>(x₀ - x₁)(x₀ - x₂) (1 - 2)(1 - 3) 2</p><p>Considerando que x_0=1, note que(x - x₀) e (x₀ - x₀) não</p><p>foram usados. De modo semelhante, procede-se com L₁ (x) onde</p><p>x₁ = 2, ou seja, (x - x₁) e (x₁ - x₁) não são incluídos na fórmula.</p><p>Lk (x) =</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 1)( − 3)</p><p>(2 − 1)(2 − 3)</p><p>=</p><p>2 − 4 + 3</p><p>−1</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>(3 − 1)(3 − 2)</p><p>=</p><p>2 − 3 + 2</p><p>2</p><p>2( ) = 2 (</p><p>2 − 5 + 6</p><p>2</p><p>) + 2 (</p><p>2 − 4 + 3</p><p>−1</p><p>) + 4 (</p><p>2 − 3 + 2</p><p>2</p><p>)</p><p>2( ) = 2 − 5 + 6 − 2 2 + 8 − 6 + 2 2 − 6 + 4</p><p>2( ) = 2 − 3 + 4</p><p>66CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Fazendo as substituições dos polinômios de Lagrange na</p><p>fórmula de g₂ temos:</p><p>b. Para gerar os gráficos na mesma janela podemos utilizar a</p><p>sequência de comandos abaixo:</p><p>O resultado é:</p><p>Podemos utilizar o polinômio interpolador para apro-</p><p>ximar f(1,2), ou seja,</p><p>f(1,2) ≈ g₂ (1,,2) = 1,2² - 3 ∙ 1,2 + 4 = 1,84</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 1)( − 3)</p><p>(2 − 1)(2 − 3)</p><p>=</p><p>2 − 4 + 3</p><p>−1</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>(3 − 1)(3 − 2)</p><p>=</p><p>2 − 3 + 2</p><p>2</p><p>2( ) = 2 (</p><p>2 − 5 + 6</p><p>2</p><p>) + 2 (</p><p>2 − 4 + 3</p><p>−1</p><p>) + 4 (</p><p>2 − 3 + 2</p><p>2</p><p>)</p><p>2( ) = 2 − 5 + 6 − 2 2 + 8 − 6 + 2 2 − 6 + 4</p><p>2( ) = 2 − 3 + 4</p><p>67CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>O Algoritmo</p><p>A Figura abaixo apresenta um exemplo de algoritmo de</p><p>interpolação de Lagrange em MATLAB®</p><p>Você pode utilizar o algoritmo de duas formas: apenas</p><p>determinar a forma algébrica do polinômio interpolador ou</p><p>determinar a forma algébrica e obter uma aproximação para</p><p>um determinado valor da variável independente.</p><p>Os dados de entrada são:</p><p>• xi é o vetor com os valores da variável independente.</p><p>• yi é o vetor com os valores da variável dependente.</p><p>• xt é um valor da variável independente a ser substituído no</p><p>polinômio interpolador</p><p>68CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Os dados de saída são apresentados os polinômios de La-</p><p>grange, o polinômio interpolador e o valor aproximado de g(xt).</p><p>Se você pretende apenas determinar o polinômio interpo-</p><p>lador defina apenas os nodos separados em dois vetores. Por</p><p>exemplo, crie um arquivo com os dados do exemplo anterior:</p><p>Executando o arquivo, os resultados obtidos são:</p><p>Compare com os resultados obtidos algebricamente no</p><p>exemplo anterior.</p><p>Mas se você pretende determinar uma aproximação, então</p><p>basta acrescentar um dado de entrada com o valor a ser inter-</p><p>polado, veja abaixo:</p><p>Exemplo 2: Uma Aplicação</p><p>A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias</p><p>em função da idade e do peso, para homens e mulheres que</p><p>69CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>praticam atividade física moderada e vivem a uma temperatura</p><p>média de 20°C.</p><p>Utilizando 3 pontos e interpolação de Lagrange, determine</p><p>aproximadamente a cota de calorias para uma mulher de 30</p><p>anos e 60 kg.</p><p>Solução: Analise a tabela cuidadosamente. Estaremos tra-</p><p>tando com duas variáveis: independente e dependente, portanto</p><p>você precisa definir quais os valores serão utilizados. Note que</p><p>a quantidade de calorias para 60 kg está tabelada para as ida-</p><p>des de 25, 45 e 65 anos, mas não para 30 anos como a questão</p><p>solicitada, portanto, podemos tomar a idade como variável</p><p>independente e a cota de calorias para as respectivas idades</p><p>para o caso de 60 kg. Assim, teremos três pontos.</p><p>A fórmula de Lagrange para três pontos é</p><p>g² (x) = f(x₀) L₀ (x) + f(x₁) L₁ (x) + f(x₂) L₂(x)</p><p>Por facilidade vamos tomar a idade como x e as cotas de</p><p>calorias como y.</p><p>Fazendo as substituições dos polinômios de Lagrange na</p><p>fórmula de g2 temos:</p><p>Fazendo x = 60, temos</p><p>Idade</p><p>Cotas de calorias para 60 kg</p><p>25</p><p>2350</p><p>45</p><p>2200</p><p>65</p><p>1850</p><p>0( ) =</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>( 0 − 1)( 0 − 2)</p><p>=</p><p>( − 45)( − 65)</p><p>(25 − 45)(25 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 65)</p><p>(45 − 25)(45 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 45)</p><p>(65 − 25)(65 − 45)</p><p>=</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>2( ) = 2350 (</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>) + 2200 (</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>)</p><p>+ 1850 (</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>)</p><p>2( ) =</p><p>− 2 + 40 + 9025</p><p>4</p><p>2( ) =</p><p>−602 + 40 ∙ 60 + 9025</p><p>4</p><p>= 1956,25</p><p>0( ) =</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>( 0 − 1)( 0 − 2)</p><p>=</p><p>( − 45)( − 65)</p><p>(25 − 45)(25 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 65)</p><p>(45 − 25)(45 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 45)</p><p>(65 − 25)(65 − 45)</p><p>=</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>2( ) = 2350 (</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>) + 2200 (</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>)</p><p>+ 1850 (</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>)</p><p>2( ) =</p><p>− 2 + 40 + 9025</p><p>4</p><p>2( ) =</p><p>−602 + 40 ∙ 60 + 9025</p><p>4</p><p>= 1956,25</p><p>0( ) =</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>( 0 − 1)( 0 − 2)</p><p>=</p><p>( − 45)( − 65)</p><p>(25 − 45)(25 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 65)</p><p>(45 − 25)(45 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 45)</p><p>(65 − 25)(65 − 45)</p><p>=</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>2( ) = 2350 (</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>) + 2200 (</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>)</p><p>+ 1850 (</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>)</p><p>2( ) =</p><p>− 2 + 40 + 9025</p><p>4</p><p>2( ) =</p><p>−602 + 40 ∙ 60 + 9025</p><p>4</p><p>= 1956,25</p><p>70CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Portanto, a quantidade aproximada de calorias para uma mulher de 30 anos e 60 kg é de 1956,25 calorias.</p><p>Usando o algoritmo:</p><p>0( ) =</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>( 0 − 1)( 0 − 2)</p><p>=</p><p>( − 45)( − 65)</p><p>(25 − 45)(25 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 65)</p><p>(45 − 25)(45 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 45)</p><p>(65 − 25)(65 − 45)</p><p>=</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>2( ) = 2350 (</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>) + 2200 (</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>)</p><p>+ 1850 (</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>)</p><p>2( ) =</p><p>− 2 + 40 + 9025</p><p>4</p><p>2( ) =</p><p>−602 + 40 ∙ 60 + 9025</p><p>4</p><p>= 1956,25</p><p>Programa Solução</p><p>0( ) =</p><p>( − 1)( − 2)</p><p>( 0 − 1)( 0 − 2)</p><p>=</p><p>( − 45)( − 65)</p><p>(25 − 45)(25 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>1( ) =</p><p>( − 0)( − 2)</p><p>( 1 − 0)( 1 − 2)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 65)</p><p>(45 − 25)(45 − 65)</p><p>=</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>2( ) =</p><p>( − 0)( − 1)</p><p>( 2 − 0)( 2 − 1)</p><p>=</p><p>( − 25)( − 45)</p><p>(65 − 25)(65 − 45)</p><p>=</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>2( ) = 2350 (</p><p>2 − 110 + 2950</p><p>800</p><p>) + 2200 (</p><p>2 − 90 + 1650</p><p>−400</p><p>)</p><p>+ 1850 (</p><p>2 − 70 + 1125</p><p>800</p><p>)</p><p>2( ) =</p><p>− 2 + 40 + 9025</p><p>4</p><p>2( ) =</p><p>−602 + 40 ∙ 60 + 9025</p><p>4</p><p>= 1956,25</p><p>71CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Síntese</p><p>Nas últimas páginas estudamos a técnica de interpolação,</p><p>em especial, a interpolação de Lagrange. Como citado ini-</p><p>cialmente, existem outros métodos, mas o polinômio obtido,</p><p>independentemente da técnica, é o mesmo.</p><p>A técnica é aplicada quando desejamos obter uma “fun-</p><p>ção aproximada” para um conjunto de pontos e, também, em</p><p>situações nas quais um valor intermediário a um conjunto de</p><p>pontos é desconhecido.</p><p>72CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exercício</p><p>1. As densidades do sódio para três temperaturas são dadas a</p><p>seguir:</p><p>2. Seja a função y=f(x) definida pelos pontos (0; 1,35) e (1; 2,94).</p><p>3. A tabela relaciona a quantidade ideal de calorias em função</p><p>da idade e da massa para homens e mulheres que possuem</p><p>atividade física moderada.</p><p>Determine a cota de calorias aproximada utilizando a</p><p>fórmula de Lagrange:</p><p>Temperatura (°C)</p><p>Densidade (kg/m3)</p><p>94</p><p>929</p><p>205</p><p>902</p><p>371</p><p>860</p><p>a. Determine o polinômio interpolador utilizando a fórmula</p><p>de Lagrange.</p><p>b. Estime o valor aproximado da densidade para uma tempe-</p><p>ratura de 247 °C.</p><p>a. Determine o polinômio interpolador utilizando a fórmula</p><p>de Lagrange.</p><p>b. Determine, aproximadamente, o valor de f(0,73).</p><p>a. Para um</p><p>homem de 30 anos e que pesa 60 kg.</p><p>b. Para uma mulher de 45 anos e que pesa 67 kg.</p><p>Gauss-Jacobi</p><p>Dados de Entrada</p><p>Massa (kg) 25</p><p>-</p><p>2500</p><p>2850</p><p>3200</p><p>3550</p><p>45 65 25 45 65</p><p>Respostas</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>70</p><p>80</p><p>-</p><p>2350</p><p>2700</p><p>3000</p><p>3350</p><p>-</p><p>1950</p><p>2250</p><p>2550</p><p>2800</p><p>1750</p><p>2050</p><p>2350</p><p>2600</p><p>-</p><p>1650</p><p>1950</p><p>2200</p><p>2450</p><p>-</p><p>1400</p><p>1600</p><p>1850</p><p>2050</p><p>-</p><p>Respostas:</p><p>1. a) 0,000035x^2-0,23x+95</p><p>2. a) p=1,59x+1,35</p><p>3. a) 2840,625 calorias</p><p>b) 891,56</p><p>b) 2,5107</p><p>b) 2375</p><p>73CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>AJUSTE DE</p><p>CURVAS</p><p>Método dos Mínimos Quadrados</p><p>A tabela a seguir relaciona calor específico da água e tem-</p><p>peratura:</p><p>Suponha que você precisa determinar o calor específico da</p><p>água a temperatura de a 28°C como você procederia? Ou ainda,</p><p>qual é a temperatura para a qual o calor específico é 0,99835?</p><p>No capítulo anterior vimos que uma das formas para se obter</p><p>uma função “aproximada” é através da técnica de interpolação,</p><p>mas em muitas situações não é aconselhável a utilização dessa</p><p>técnica, como por exemplo, extrapolar pontos, ou seja, deter-</p><p>minar um valor aproximado da função em algum ponto fora</p><p>do intervalo da tabela; ou ainda, quando os valores tabelados</p><p>74CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>são resultados de algum experimento físico, pois os valores</p><p>poderão ter erros que não são previsíveis.</p><p>A análise de observações experimentais que consiste em</p><p>ajustar uma curva teórica a dados experimentais que pode os-</p><p>cilar devido à erros de medição e a perturbações externas foi</p><p>a motivação para o surgimento da técnica de ajuste de curvas.</p><p>O problema de ajuste de funções baseia-se em determinar</p><p>os valores de parâmetros de uma função real que fazem com</p><p>que a curva de ajuste passe o mais perto possível dos nodos.</p><p>Mas uma das principais questões é: “Como escolher uma</p><p>função adequada dentro de uma infinidade de possibilidades?”</p><p>Uma das formas de se escolher a função mais adequada</p><p>pode ser feita por observação do gráfico dos pontos tabelados</p><p>ou fundamentos teóricos do experimento que nos forneceu a</p><p>tabela podem ser utilizados. Portanto, podemos iniciar o pro-</p><p>cesso de ajuste colocando os pontos da tabela em um gráfico</p><p>no plano cartesiano, chamado de diagrama de dispersão.</p><p>Exemplo 1: Diagrama de Dispersão</p><p>Represente os dados da tabela abaixo em um plano carte-</p><p>siano. Utilize marcadores.</p><p>É possível definir uma classe de função que seja adequada</p><p>para o ajuste dos dados?</p><p>Solução:</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>-1</p><p>2,05</p><p>-0,75</p><p>1,153</p><p>-0,6</p><p>0,45</p><p>-0,5</p><p>0,4</p><p>-0,3</p><p>0,5</p><p>0</p><p>0</p><p>0,2</p><p>0,2</p><p>0,4</p><p>0,6</p><p>0,5</p><p>0,512</p><p>0,7</p><p>1,2</p><p>1</p><p>2,05</p><p>75CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Nota-se que pela disposição dos pontos no gráfico forma</p><p>uma parábola, portanto uma função adequada para o ajuste é</p><p>um polinômio de grau 2.</p><p>Resíduo Quadrático</p><p>Falamos que a função deve passar o mais próximo possível</p><p>do conjunto de pontos, portanto precisamos de uma definição</p><p>para medir essa distância. A forma mais utilizada para medir</p><p>a distância entre a função de ajuste f e os nodos (x_i,y_i) é</p><p>denominado resíduo quadrático e é definida por</p><p>R = ∑ [ yi - f(xi) ]²</p><p>Quanto mais próximo de zero for o valor de R, melhor é</p><p>o ajuste.</p><p>Exemplo 2</p><p>Considere os nodos apresentados na tabela abaixo. Deter-</p><p>mine o resíduo quadrático da função “teste” dada por</p><p>f(x) = - 0,25x + 2,5 aos nodos.</p><p>(i = 1)</p><p>n</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>x i</p><p>0,5</p><p>2,8</p><p>4,2</p><p>6,7</p><p>8,3</p><p>y i</p><p>4,4</p><p>1,8</p><p>1,0</p><p>0,4</p><p>0,2</p><p>76CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Solução:</p><p>Vamos iniciar acrescentando três colunas à tabela dada.</p><p>Para o nodo 1, tem-se:</p><p>f(0,5) = - 0,25 ∙ 0,5 + 2,5 = 2,375</p><p>yi - f(xi ) = 4,4 - 2,375 = 2,025</p><p>[yi - f(xi )]² = 2,025² = 4,1006</p><p>Para o nodo 2, tem-se:</p><p>f(2,8) = - 0,25 ∙ 2,8 + 2,5 = 1,8</p><p>yi - f(xi) = 1,8 - 1,8 = 0</p><p>[yi - f(xi )]² = 0² =0</p><p>Procede-se de forma análoga com os outros nodos. Os</p><p>resultados são apresentados na tabela. O resíduo quadrático é</p><p>a soma da última coluna, ou seja, 4,5344.</p><p>Método dos Mínimos Quadrados</p><p>O objetivo é determinar uma curva que passe o mais pró-</p><p>ximo possível dos nodos tabelados. Uma alternativa é impor</p><p>que o desvio yi - f(xi) seja mínimo para todos os nodos i = 1,</p><p>2, … , n. O método mais comum é o chamado método dos</p><p>mínimos quadrados.</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>x i</p><p>0,5</p><p>2,8</p><p>4,2</p><p>6,7</p><p>8,3</p><p>y i</p><p>4,4</p><p>1,8</p><p>1,0</p><p>0,4</p><p>0,2</p><p>f(x i)</p><p>2,3750</p><p>1,8000</p><p>1,4500</p><p>0,8250</p><p>0,4250</p><p>y i - f(x i)</p><p>2,0250</p><p>0</p><p>-0,4500</p><p>-0,4250</p><p>-0,2250</p><p>[y i - f(x i)] 2</p><p>4,1006</p><p>0</p><p>0,2025</p><p>0,1806</p><p>0,0506</p><p>4,5344Resíduo</p><p>77CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Caso Linear</p><p>Neste caso, deseja-se determinar uma função da forma</p><p>f(x) = ax + b que ajuste um conjunto de n pontos de tal forma</p><p>que o resíduo seja o menor possível. Se conseguirmos obter</p><p>as constantes a e b temos a função linear de ajuste, mas como</p><p>fazer isso?</p><p>Considere que x₁, x₂, …, xⁿ e y₁, y₂, …, yⁿ são os nodos</p><p>tabelados, assim o resíduo quadrático para o caso linear é de-</p><p>terminado por</p><p>R = (ax₁ + b - y₁)² + (ax₂ + b - y₂)² + ⋯ + (axⁿ + b - yⁿ)²</p><p>O objetivo é que R seja mínimo. Uma forma é impor que</p><p>a derivada de R seja nula, ou seja,</p><p>Organizando as equações, obtemos um sistema de equa-</p><p>ções normais:</p><p>O sistema pode ser escrito na forma matricial</p><p>Portanto, a solução do sistema acima resulta nos valores</p><p>das constantes a e b que tornam a reta mais próxima possível</p><p>dos nodos tabelados.</p><p>Exemplo 3</p><p>a. Determine a reta que melhor se ajusta ao conjunto dado</p><p>no Exemplo 2.</p><p>b. Calcule o resíduo.</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>78CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Solução: Para facilitar o entendimento da aplicação do</p><p>método, vamos trabalhar com tabelas.</p><p>Usando a fórmula do caso linear</p><p>obtemos</p><p>Lembre-se que o sistema pode ser reescrito da forma</p><p>Nosso problema agora é resolver o sistema acima. Para isso</p><p>você pode utilizar um método direto. Como o sistema é sim-</p><p>ples: duas equações e duas variáveis, vamos</p><p>utilizar o método</p><p>da soma. Multiplica-se a primeira equação por 5 e a segunda</p><p>por -22,50 com o objetivo de somar as duas equações e zerar</p><p>a constante da variável b. Assim, obtém-se um novo sistema</p><p>equivalente (mesma solução) ao anterior</p><p>Somando a primeira com a segunda equação:</p><p>191, 3a + 0b = - 96,6</p><p>O que resulta em a=-0,5050. Substituindo o valor de a em</p><p>uma das equações anteriores determina-se o valor de b=3,8323.</p><p>Logo, a curva de ajuste é</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Somas</p><p>x i</p><p>0,5</p><p>2,8</p><p>4,2</p><p>6,7</p><p>8,3</p><p>22,50</p><p>y i</p><p>4,4</p><p>1,8</p><p>1,0</p><p>0,4</p><p>0,2</p><p>7,80</p><p>x i2</p><p>0,25</p><p>7,84</p><p>17,64</p><p>44,89</p><p>68,89</p><p>139,51</p><p>x i y i</p><p>2,2</p><p>5,04</p><p>4,20</p><p>2,68</p><p>1,66</p><p>15,78</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>79CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>f(x) = - 0,5050x + 3,8323</p><p>O resíduo pode ser obtido procedendo-se de forma análoga</p><p>ao exemplo anterior.</p><p>Note que o resíduo é menor do que o do Exemplo anterior.</p><p>O método dos mínimos quadrados nos garante que a reta obtida</p><p>é a “melhor” de todas as possíveis retas.</p><p>Caso Quadrático</p><p>Considere a função da forma f(x)=ax^2+bx+c. Procedendo</p><p>de forma análoga ao caso linear, ou seja, impondo que a deri-</p><p>vada do resíduo é zero obtém-se um sistema linear da forma:</p><p>Exemplo 4</p><p>Considere os dados abaixo. Encontre a função polinomial</p><p>de ordem 2 de ajuste aos nodos.</p><p>Solução:</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>=2(1+−1)1+2(2+−2)2+⋯+2(+−)=0</p><p>=2(1+−1)+2(2+−2)+⋯+2(+−)=0</p><p>{</p><p>(1</p><p>2+2</p><p>2+⋯+2)+(1+2+⋯+)=11+22+⋯+</p><p>(1+2+⋯+) + = 1+2+⋯+</p><p>[</p><p>∑2∑</p><p>∑</p><p>][]=[</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑2∑</p><p>∑</p><p>][]=[</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,5122,50</p><p>22,505</p><p>][]=[</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51+22,50=15,78</p><p>22,50+ 5=7,800</p><p>{</p><p>697,55+112,50=78,90</p><p>−506,25−112,5=−175,50</p><p>[</p><p>∑xi</p><p>4∑xi</p><p>3∑xi</p><p>2</p><p>∑xi</p><p>3∑xi</p><p>2∑xi</p><p>∑xi</p><p>2∑xin]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>]=</p><p>[</p><p>∑xi</p><p>2yi</p><p>∑xiyi</p><p>∑yi]</p><p>[</p><p>227544191</p><p>4419121</p><p>91217</p><p>][</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>]=[</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑xi</p><p>2∑xi</p><p>∑xin</p><p>][</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>]=[</p><p>∑xiln(yi)</p><p>∑ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641191</p><p>1915</p><p>][</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>]=[</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>x i</p><p>0,5</p><p>2,8</p><p>4,2</p><p>6,7</p><p>8,3</p><p>y i</p><p>4,4</p><p>1,8</p><p>1,0</p><p>0,4</p><p>0,2</p><p>f(x i)</p><p>3,5798</p><p>2,4183</p><p>1,7113</p><p>0,4488</p><p>-0,3592</p><p>y i - f(x i)</p><p>0,8202</p><p>-0,6183</p><p>-0,7113</p><p>-0,0488</p><p>0,5592</p><p>[y i - f(x i)] 2</p><p>0,6727</p><p>0,3823</p><p>0,5059</p><p>0,0024</p><p>0,3127</p><p>1,8761Resíduo</p><p>x i</p><p>y i</p><p>-0</p><p>34</p><p>1</p><p>45</p><p>2</p><p>63</p><p>3</p><p>88</p><p>4</p><p>120</p><p>5</p><p>159</p><p>6</p><p>205</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>Somas</p><p>xi</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>21</p><p>yi</p><p>34</p><p>45</p><p>63</p><p>88</p><p>120</p><p>159</p><p>205</p><p>714</p><p>xi²</p><p>0</p><p>1</p><p>4</p><p>9</p><p>16</p><p>25</p><p>36</p><p>91</p><p>xi³</p><p>0</p><p>1</p><p>8</p><p>27</p><p>64</p><p>125</p><p>216</p><p>441</p><p>xi⁴</p><p>0</p><p>1</p><p>16</p><p>81</p><p>256</p><p>625</p><p>1296</p><p>2275</p><p>xi yi</p><p>0</p><p>45</p><p>126</p><p>264</p><p>480</p><p>795</p><p>1230</p><p>2940</p><p>xi² yi</p><p>0</p><p>45</p><p>252</p><p>792</p><p>1920</p><p>3975</p><p>7380</p><p>14364</p><p>80CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Substituindo os valores encontrados na tabela acima na</p><p>fórmula do caso quadrático temos:</p><p>Para resolver este sistema vamos utilizar o método direto</p><p>da inversão. Considere que o sistema pode escrito da forma</p><p>Ax = b, portanto x = A-1 b. Usando o programa encontramos</p><p>os valores das incógnitas.</p><p>Portanto, f(x) = 3,5x² + 7,5x + 34.</p><p>Caso Não Linear</p><p>Em algumas situações, a família de funções escolhida</p><p>pode ser não linear nos parâmetros, como por exemplo, se ao</p><p>diagrama de dispersão de uma determinada função se ajustar</p><p>uma função exponencial da forma f(x) = a ebx. Neste caso, o</p><p>método dos mínimos quadrados também pode ser aplicado</p><p>fazendo o que se chama de linearização do problema através</p><p>de alguma transformação conveniente.</p><p>Vamos tratar do caso f(x)=a e^bx. O problema consiste em</p><p>determinar os valores de a e b. Precisamos determinar uma</p><p>transformação de tal forma que o problema seja linear, por</p><p>exemplo</p><p>y = a ebxlⁿ (y) = ln (a ebx)</p><p>Aplicando as propriedades de logaritmos adequadamente</p><p>podemos reescrever a igualdade acima da forma:</p><p>ln (y) = ln (a) + ln(ebx)</p><p>ln (y) = ln (a) + bx</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>81CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>ln (y) = bx + ln(a)</p><p>Note que agora temos uma função linear, por isso pode-</p><p>mos utilizar o modelo linear fazendo algumas modificações</p><p>no modelo.</p><p>Exemplo 5</p><p>A tabela abaixo fornece o número de habitantes do Brasil</p><p>(em milhões) desde 1920:</p><p>a. Obtenha a curva exponencial que se ajusta aos dados amos-</p><p>trais.</p><p>b. Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano</p><p>de 2000.</p><p>Solução: Vamos considerar x = 0 para 1920, x = 20 para</p><p>1940, e assim por diante para facilitar os cálculos.</p><p>Substituindo os valores encontrados na tabela acima na</p><p>fórmula do caso não linear encontramos o sistema:</p><p>A solução do sistema é b = 0,0214 e ln (a) = 3,3637.</p><p>Para o modelo exponencial precisamos do valor de a, então,</p><p>a = e3,3⁶3⁷ = 28,8959. Logo o modelo exponencial é</p><p>y = 28,8959 e⁰,⁰21⁴x</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>= 2( 1 + − 1) 1 + 2( 2 + − 2) 2 + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>= 2( 1 + − 1) + 2( 2 + − 2) + ⋯ + 2( + − ) = 0</p><p>{</p><p>( 1</p><p>2 + 2</p><p>2 + ⋯ + 2) + ( 1 + 2 + ⋯ + ) = 1 1 + 2 2 + ⋯ +</p><p>( 1 + 2 + ⋯ + ) + = 1 + 2 + ⋯ +</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ 2 ∑</p><p>∑</p><p>] [ ] = [</p><p>∑</p><p>∑</p><p>]</p><p>[</p><p>139,51 22,50</p><p>22,50 5</p><p>] [ ] = [</p><p>15,78</p><p>7,80</p><p>]</p><p>{</p><p>139,51 + 22,50 = 15,78</p><p>22,50 + 5 = 7,800</p><p>{</p><p>697,55 + 112,50 = 78,90</p><p>−506,25 − 112,5 = −175,50</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>4 ∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2</p><p>∑ xi</p><p>3 ∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi n ]</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] =</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 yi</p><p>∑ xiyi</p><p>∑ yi ]</p><p>[</p><p>2275 441 91</p><p>441 91 21</p><p>91 21 7</p><p>] [</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>] = [</p><p>14364</p><p>2940</p><p>714</p><p>]</p><p>[</p><p>∑ xi</p><p>2 ∑ xi</p><p>∑ xi n</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>∑ xiln(yi)</p><p>∑ ln(yi)</p><p>]</p><p>[</p><p>10641 191</p><p>191 5</p><p>] [</p><p>b</p><p>ln(a)</p><p>] = [</p><p>870,3764</p><p>20,9094</p><p>]</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Somas</p><p>xi</p><p>0</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>71</p><p>191</p><p>yi</p><p>30,6</p><p>41,2</p><p>70,2</p><p>93,1</p><p>146,2</p><p>381,3</p><p>xi²</p><p>0</p><p>400</p><p>1600</p><p>3600</p><p>5041</p><p>10641</p><p>ln(yi)</p><p>3,4210</p><p>3,7184</p><p>4,2513</p><p>4,5337</p><p>4,9850</p><p>20,9094</p><p>xi ln(yi)</p><p>0</p><p>74,3688</p><p>170,0539</p><p>272,0205</p><p>353,9333</p><p>870,3764</p><p>82CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Em 2000 passaram-se 80 anos desde 1920, assim para ob-</p><p>termos uma estimativa do número de habitantes no ano 2000</p><p>basta substituir x por 80 na função de ajuste:</p><p>y = 28,8959 e⁽⁰,⁰21⁴ ∙ ⁸⁰⁾ = 160,0842</p><p>Assim, o número aproximado de habitantes no Brasil no</p><p>ano 2000 é de 160,0842 milhões de habitantes.</p><p>Usando o MATLAB®</p><p>Os coeficientes do polinômio de ajuste podem ser obtidos</p><p>com o comando polyfit.</p><p>Exemplo 5</p><p>Considere os dados</p><p>abaixo, onde t_i repre-</p><p>senta os instantes em que</p><p>um braço de um robô deve</p><p>passar por posições pré-</p><p>-definidas pi.</p><p>t i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>i</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>p i</p><p>1</p><p>1,25</p><p>1,75</p><p>2,25</p><p>3</p><p>3,15</p><p>a. Use o comando polyfit para obter os coeficientes da função</p><p>de ajuste linear dos dados da tabela.</p><p>b. Construa o gráfico da reta de ajuste e o diagrama de dispersão</p><p>no mesmo sistema cartesiano.</p><p>c. Use a reta de ajuste e calcule o instante em que a posição</p><p>do braço do robô é 2,9.</p><p>83CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Programa Solução</p><p>Para o item c) usou-se o comando solve (pesquise). Note que foram obtidos dois valores, mas como as variáveis do problema</p><p>são tempo e posição exclui-se o valor negativo, portanto para, aproximadamente, t=5,2640 a posição do braço do robô é de 2,9.</p><p>84CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Síntese</p><p>No capítulo anterior aprendemos uma técnica para obtenção</p><p>de um “polinômio aproximado” a um conjunto de pontos, ou</p><p>seja, uma técnica para encontrarmos uma função aproximada.</p><p>Já, neste capítulo, aprendemos outra técnica: ajuste de curvas,</p><p>em que o método dos mínimos quadrados foi apresentado.</p><p>Podemos resumir o capítulo com os itens estudados:</p><p>• Diagrama de dispersão</p><p>• Cálculo dos resíduos</p><p>• Dedução do método dos mínimos quadrados</p><p>• Exemplos</p><p>• Algoritmo</p><p>• Aplicação</p><p>Aprendemos a obter polinômios de grau 1 e 2, mas também</p><p>casos especiais como as funções exponenciais.</p><p>Exercício:</p><p>1. Um filme vem sendo exibido numa determinada sala de ci-</p><p>nema por cinco semanas consecutivas e a frequência semanal</p><p>(aproximada à centena mais próxima) está dada na tabela</p><p>abaixo. Utilize um ajuste linear para determinar a frequência</p><p>esperada na 6ª semana.</p><p>2. Em um estudo visando a construção de uma barragem foram</p><p>obtidos os seguintes dados que relacionam a cota de nível</p><p>de água e o volume do reservatório.</p><p>Semana</p><p>Frequência</p><p>1</p><p>5000</p><p>2</p><p>4500</p><p>3</p><p>4100</p><p>4</p><p>3900</p><p>5</p><p>3500</p><p>Cota (m)</p><p>Volume</p><p>(103 m3)</p><p>25</p><p>0,05</p><p>35</p><p>2,9</p><p>45</p><p>12,62</p><p>55</p><p>30,58</p><p>65</p><p>64,21</p><p>75</p><p>122,6</p><p>85CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>3. Os engenheiros que participaram da construção dos túneis</p><p>da rodovia dos Imigrantes em direção ao litoral de São Paulo</p><p>enfrentaram alguns problemas inéditos no campo da enge-</p><p>nharia civil. O maior problema foi a presença de nascentes</p><p>de água na rocha que foi perfurada para a passagem dos</p><p>túneis. Depois de vários estudos, levantaram experimental-</p><p>mente a relação entre o tempo (idade) dos túneis e a taxa</p><p>de infiltração de água no concreto:</p><p>Os engenheiros levantaram duas hipóteses para a função</p><p>que relaciona as duas medidas:</p><p>I(t) = a ebt e I(t) = a tb</p><p>4. Pesquise a ferramenta Basic Fitting do MATLAB®.</p><p>a. Aproximar os pontos por uma parábola.</p><p>b. Estime o volume para uma cota de 70 m.</p><p>t (anos)</p><p>I</p><p>1</p><p>0,05</p><p>2</p><p>0,100</p><p>3</p><p>0,149</p><p>4</p><p>0,199</p><p>5</p><p>0,247</p><p>6</p><p>0,296</p><p>7</p><p>0,343</p><p>a. Determine as funções de ajuste para as duas hipóteses.</p><p>b. Qual das duas aproxima melhor os dados?</p><p>Respostas:</p><p>1. y=5280-360x,y(6)=3120</p><p>2. a) f(x)=0,0667x^2-4,3392x+69,674. b) 92,6</p><p>3. a) I(t)=0,0501e^0,3019t e I(t)=0,0502 t^0,9903</p><p>86CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>INTEGRAÇÃO</p><p>NUMÉRICA</p><p>Método dos Trapézios</p><p>Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral aprendemos</p><p>que a integral de uma função f(x) definida no intervalo [a,b]</p><p>estritamente positiva nesse intervalo, equivale à área limitada</p><p>pelas verticais x=a e x=b, pela curva de f(x) e pelo eixo hori-</p><p>zontal, ou seja,</p><p>∫ ab f(x)dx = F(b) - F(a)</p><p>em que f(x) é a derivada de F(x).</p><p>A integração numérica é usada, principalmente, quando o</p><p>cálculo da integral é impossível ou algebricamente complexo, ou</p><p>em casos em que não se conhece a função que define a região.</p><p>a</p><p>b</p><p>87CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Há vários métodos para o cálculo de integrais definidas</p><p>como: regra do ponto médio, regra do trapézio, regra de Simp-</p><p>son. Estudaremos, aqui, a regra dos trapézios.</p><p>O cálculo da área dos trapézios é muito simples. Da Ge-</p><p>ometria plana sabemos que</p><p>A = (B + b)h</p><p>onde:</p><p>• B é a medida da base maior do trapézio</p><p>• b é a medida da base menor do trapézio</p><p>• h é a medida da altura do trapézio</p><p>A ideia é dividir a região que se pretende calcular a área</p><p>em n trapézios como ilustra a figura ao lado</p><p>O exemplo a seguir ilustra a aplicação do método, bem</p><p>como deduziremos uma fórmula para o caso em que a função</p><p>é conhecida.</p><p>Exemplo 1</p><p>a. Calcular a integral ∫ ₁ x² dx com 10 subintervalos.</p><p>b. Determine a solução algébrica.</p><p>c. Compare os resultados.</p><p>Solução: Vamos iniciar traçando do gráfico da região da</p><p>qual se deseja determinar a área.</p><p>2</p><p>³</p><p>88CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>A ideia é dividir essa região em 10 subintervalos ou 10</p><p>trapézios. Para isso precisamos determinar o tamanho de cada</p><p>subintervalo, considere que n = 10 é o número de subintervalos,</p><p>então</p><p>A figura abaixo apresenta a região dividida em 10 subinter-</p><p>valo de tamanho 0,2. Assim o intervalo [1,3] pode ser dividido</p><p>em [1;1,2]; [1,2;1,4]; [1,4;1,6];…;[2,8;3].</p><p>O problema é simples, basta determinar a área de cada um</p><p>dos trapézios, pois</p><p>onde A_i com i=1,...,10 representa a área do trapézio número i.</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>3 − 1</p><p>10</p><p>= 0,2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>1 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>2 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>3 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,6) + (1,4))</p><p>2</p><p>4 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,8) + (1,6))</p><p>2</p><p>5 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2) + (1,8))</p><p>2</p><p>6 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,2) + (2))</p><p>2</p><p>7 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,4) + (2,2))</p><p>2</p><p>8 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,6) + (2,4))</p><p>2</p><p>9 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,8) + (2,6))</p><p>2</p><p>10 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (3) + (2,8))</p><p>2</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>3 − 1</p><p>10</p><p>= 0,2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>1 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>2 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>3 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,6) + (1,4))</p><p>2</p><p>4 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,8) + (1,6))</p><p>2</p><p>5 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2) + (1,8))</p><p>2</p><p>6 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,2) + (2))</p><p>2</p><p>7 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,4) + (2,2))</p><p>2</p><p>8 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,6) + (2,4))</p><p>2</p><p>9 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,8) + (2,6))</p><p>2</p><p>10 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (3) + (2,8))</p><p>2</p><p>89CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Usando a fórmula da geometria, temos Desta forma, considerando f(x) = x² podemos reescrever</p><p>a expressão da integral da seguinte maneira:</p><p>Colocando os termos comuns em evidência, temos</p><p>Note que existe um padrão, f(1) corresponde a base menor</p><p>do primeiro trapézio e f(3) a base maior do último trapézio</p><p>e, nestes casos, não há duplicidade, pois, as mesmas não são</p><p>comuns a outros trapézios. Por outro lado, observe que f(1,2)</p><p>é a base maior do primeiro trapézio e, também, a maior menor</p><p>do segundo trapézio, por isso aparece multiplicada por 2. O</p><p>mesmo acontece com as outras bases.</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>3 − 1</p><p>10</p><p>= 0,2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>1 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>2 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>3 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,6) + (1,4))</p><p>2</p><p>4 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (1,8) + (1,6))</p><p>2</p><p>5 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2) + (1,8))</p><p>2</p><p>6 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,2) + (2))</p><p>2</p><p>7 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,4) + (2,2))</p><p>2</p><p>8 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,6) + (2,4))</p><p>2</p><p>9 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (2,8) + (2,6))</p><p>2</p><p>10 =</p><p>( + )ℎ</p><p>2</p><p>=</p><p>( (3) + (2,8))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>+</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>+ ⋯</p><p>+</p><p>( (2,8) + (3))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>2</p><p>[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)</p><p>+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)]</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>0,2</p><p>2</p><p>[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2</p><p>∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 +</p><p>9] = 8,68</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>33</p><p>3</p><p>−</p><p>13</p><p>3</p><p>=</p><p>26</p><p>3</p><p>≈ 8,6667</p><p>∫</p><p>cos ( )</p><p>1 +</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∫</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>+</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>+ ⋯</p><p>+</p><p>( (2,8) + (3))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>2</p><p>[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)</p><p>+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)]</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>0,2</p><p>2</p><p>[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2</p><p>∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>33</p><p>3</p><p>−</p><p>13</p><p>3</p><p>=</p><p>26</p><p>3</p><p>≈ 8,6667</p><p>∫</p><p>cos ( )</p><p>1 +</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∫</p><p>90CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Agora, podemos determinar o valor aproximado da integral</p><p>substituindo os valores na fórmula encontrada.</p><p>Algebricamente,</p><p>Comparando os resultados através do erro absoluto temos:</p><p>EA =| exato-aproximado | = | 8,6667 - 8,68 | = 0,0133.</p><p>Como obter um resultado mais próximo ao valor exato?</p><p>Basta aumentar o número de trapézios.</p><p>Usando o MATLAB®</p><p>O programa possui o comando trapz(x,y), onde as entra-</p><p>das são os valores de extremos dos subintervalos (x) e as suas</p><p>respectivas imagens (y).</p><p>Exemplo 2</p><p>a. Calcular a integral com 10 subintervalos usando</p><p>a função trapz.</p><p>b. Repita o item a) com 20 subintevalos.</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>+</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>+ ⋯</p><p>+</p><p>( (2,8) + (3))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>2</p><p>[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)</p><p>+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)]</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>0,2</p><p>2</p><p>[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2</p><p>∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>33</p><p>3</p><p>−</p><p>13</p><p>3</p><p>=</p><p>26</p><p>3</p><p>≈ 8,6667</p><p>∫</p><p>cos ( )</p><p>1 +</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∫</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>+</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>+ ⋯</p><p>+</p><p>( (2,8) + (3))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>2</p><p>[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)</p><p>+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)]</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>0,2</p><p>2</p><p>[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2</p><p>∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>33</p><p>3</p><p>−</p><p>13</p><p>3</p><p>=</p><p>26</p><p>3</p><p>≈ 8,6667</p><p>∫</p><p>cos ( )</p><p>1 +</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∫</p><p>91CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Solução:</p><p>a.</p><p>b. Para aumentar o número de trapézios basta alterar o valor de n no programa.</p><p>Síntese</p><p>Este capítulo finaliza a disciplina,</p><p>mas não os estudos. A estrada é longa,</p><p>mas não tenha pressa. Ande devagar, se</p><p>for preciso, mas não pare!</p><p>Pesquise sobre outras técnicas. Este</p><p>material é um resumo de algumas téc-</p><p>nicas, portanto se você tiver interesse,</p><p>pesquise e aprenda outras técnicas nu-</p><p>méricas.</p><p>92CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Neste capítulo estudamos a técnica conhecida como a regra</p><p>dos trapézios utilizada para a resolução de integrais definidas.</p><p>A técnica é muito simples, basicamente se resume ao cálculo</p><p>de áreas de trapézios. Podemos utilizá-la quando a função do</p><p>integrando é muito complicada ou em regiões em que a fun-</p><p>ção não é conhecida, por exemplo. Nos exercícios você poderá</p><p>aplicar a técnica em diferentes situações. Bons estudos!</p><p>Exercícios:</p><p>1. Calcule as integrais da função f(x) = x², usando a regra dos</p><p>trapézios, no intervalo [1,5], dividindo o intervalo em</p><p>4 subintervalos</p><p>8 subintervalos</p><p>16 subintervalos</p><p>2. Calcule a integral definida acima, analiticamente, e determine</p><p>o erro relativo cometido nos itens a), b) e c).</p><p>3. Calcule o valor da integral abaixo dividindo o intervalo de</p><p>integração em 20 subintervalos.</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>+</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>+ ⋯</p><p>+</p><p>( (2,8) + (3))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>2</p><p>[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)</p><p>+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)]</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>0,2</p><p>2</p><p>[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2</p><p>∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>33</p><p>3</p><p>−</p><p>13</p><p>3</p><p>=</p><p>26</p><p>3</p><p>≈ 8,6667</p><p>∫</p><p>cos ( )</p><p>1 +</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∫</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈ 1 + 2 + ⋯ + 10</p><p>=</p><p>( (1,2) + (1))</p><p>2</p><p>+</p><p>( (1,4) + (1,2))</p><p>2</p><p>+ ⋯</p><p>+</p><p>( (2,8) + (3))</p><p>2</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>2</p><p>[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)</p><p>+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)]</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>≈</p><p>0,2</p><p>2</p><p>[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2</p><p>∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68</p><p>∫ 2</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>33</p><p>3</p><p>−</p><p>13</p><p>3</p><p>=</p><p>26</p><p>3</p><p>≈ 8,6667</p><p>∫</p><p>cos ( )</p><p>1 +</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∫</p><p>V(m3)</p><p>1,5</p><p>2,0</p><p>2,5</p><p>3,0</p><p>3,5</p><p>4,0</p><p>4,5</p><p>P(kg/m2)</p><p>80</p><p>72</p><p>64</p><p>53</p><p>44</p><p>31</p><p>22</p><p>1. a) 42 b) 41,5 c) 41,375.</p><p>A solução analítica é 41,3333.</p><p>2. Aproximadamente 0,6011</p><p>3. 157,5</p><p>93CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Referências</p><p>GILAT Amos. Matlab com aplicações para engenharia. 3 ed. LTC, 1999.</p><p>CHAPMAN, Stephen J. Programação em Matlab para Engenheiros - 2ª Ed. Editora: Cengage Learning, 2011.</p><p>CHAPRA, Steven C.; CHAPRA, Steven C. Métodos Numéricos Aplicados Com Matlab Para Engenheiros e Cientistas. 3ª</p><p>Ed Bookman , 2013.</p><p>DORNELLES FILHO, Adalberto Ayjara. Cálculo Numérico. Porto Alegre: Bookman, 2016.</p><p>ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Cengage Le-</p><p>arning, 2010.</p><p>FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. 1 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.</p><p>RUGIERO, M.A.G., LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: Makron Books, 1996.</p><p>MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henty Monken e; SPERANDIO, Décio. Cálculo numérico. 2 ed. São Paulo: Pearson</p><p>Prentice Hall, 2014.</p><p>ERROS COMPUTACIONAIS</p><p>Erros na Fase da Modelagem</p><p>Erros na Fase de Resolução</p><p>Representação Numérica</p><p>Equações Algébricas e Transcendentes</p><p>Isolamento das raízes</p><p>Método da Bissecção</p><p>Método de Newton-Raphson</p><p>O Algoritmo</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Métodos Iterativos</p><p>Método Iterativo de Gauss-Jacobi</p><p>O Algoritmo</p><p>Método Iterativo de Gauss-Seidel</p><p>O Algoritmo</p><p>Interpolação Polinomial</p><p>Interpolação de Lagrange</p><p>O Algoritmo</p><p>Ajuste de Curvas</p><p>Resíduo Quadrático</p><p>Integração Numérica</p><p>2−1 = 0,375</p><p>(231,35)10 = ∑ × 10</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 10−2 + −1 × 10−1 + 0 × 100 + 1 × 101 + 2 × 102</p><p>= 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102</p><p>(111,01)2 = ∑ × 2</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 2−2 + −1 × 2−1 + 0 × 20 + 1 × 21 + 2 × 22</p><p>= 5 × 2−2 + 3 × 2−1 + 1 × 20 + 3 × 21 + 2 × 22</p><p>(1011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>3</p><p>=0</p><p>= 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 11</p><p>(0,011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>−1</p><p>=−3</p><p>= 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 × 2−1 = 0,375</p><p>9CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>(231,35)10 = ∑ × 10</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 10−2 + −1 × 10−1 + 0 × 100 + 1 × 101 + 2 × 102</p><p>= 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102</p><p>(111,01)2 = ∑ × 2</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 2−2 + −1 × 2−1 + 0 × 20 + 1 × 21 + 2 × 22</p><p>= 5 × 2−2 + 3 × 2−1 + 1 × 20 + 3 × 21 + 2 × 22</p><p>(1011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>3</p><p>=0</p><p>= 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 11</p><p>(0,011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>−1</p><p>=−3</p><p>= 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 × 2−1 = 0,375</p><p>(231,35)10 = ∑ × 10</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 10−2 + −1 × 10−1 + 0 × 100 + 1 × 101 + 2 × 102</p><p>= 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102</p><p>(111,01)2 = ∑ × 2</p><p>2</p><p>=−2</p><p>= −2 × 2−2 + −1 × 2−1 + 0 × 20 + 1 × 21 + 2 × 22</p><p>= 5 × 2−2 + 3 × 2−1 + 1 × 20 + 3 × 21 + 2 × 22</p><p>(1011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>3</p><p>=0</p><p>= 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 11</p><p>(0,011)2 = ( )10</p><p>= ∑ × 2</p><p>−1</p><p>=−3</p><p>= 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 × 2−1 = 0,375</p><p>Assim, dado um número real qualquer numa base b, po-</p><p>demos escrevê-lo em uma outra base b '̂, a partir da adequação</p><p>conveniente de seus coeficientes e de uma potência adequada</p><p>na nova base.</p><p>Mudança de base binária para a base decimal</p><p>Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma po-</p><p>tência adequada de 2.</p><p>Exemplo 2</p><p>a.</p><p>Portanto, 1011 na base binária corresponde ao 11 na base</p><p>decimal.</p><p>b.</p><p>Portanto, 0,011 na base binária corresponde ao 0,375 na</p><p>base decimal.</p><p>Mudança de base decimal para a base binária</p><p>Deve-se aplicar um procedimento para a parte inteira e</p><p>outra para a parte fracionária.</p><p>Procedimento para a parte inteira: método das divisões</p><p>sucessivas, o qual pode ser resumido da seguinte maneira:</p><p>• Dividir o número por 2.</p><p>• Divide-se por 2 o quociente encontrado.</p><p>10CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>• Repetir o processo até que o último quociente seja 1.</p><p>• O número binário será formado pela concatenação do úl-</p><p>timo quociente com os restos das divisões lidos em sentido</p><p>inverso ao que foram obtidos.</p><p>Exemplo 3</p><p>(18)10 = ( )2</p><p>Portanto, 18 na base decimal corresponde ao 10010 na</p><p>base binária.</p><p>(25)10 = ( )2</p><p>Portanto, 25 na base binária corresponde ao 11101 na base</p><p>binária.</p><p>Procedimento para a parte fracionária: método das mul-</p><p>tiplicações sucessivas, o qual pode ser resumido da seguinte</p><p>maneira:</p><p>• Multiplica-se o número fracionário por 2.</p><p>• Do resultado anterior, a parte inteira é o primeiro dígito</p><p>binário.</p><p>11CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>• Do resultado anterior, a parte fracionária é novamente mul-</p><p>tiplicada por 2.</p><p>• Continua-se o processo até que a parte fracionária seja nula</p><p>Exemplo 4</p><p>(0,1875)10 = ( )2</p><p>Portanto, 0,1875 corresponde ao 0,0011 na base binária.</p><p>(0,6)10 = ( )2</p><p>Note que, o ciclo irá se repetir, pois o próximo</p><p>Portanto, 0,6 corresponde ao 0,10011001... na base binária.</p><p>Todo número inteiro decimal pode ser representado exata-</p><p>mente por um número inteiro binário; porém, isto não acontece</p><p>com os números fracionários. Mesmo frações decimais; como</p><p>0,6; não podem ser representadas exatamente no sistema binário.</p><p>Na realidade, todo número decimal irracional também será</p><p>irracional no sistema binário. Uma das consequências destas</p><p>imprecisões é que pequenos erros de representações dos núme-</p><p>ros decimais, no sistema binário, se propagarão nos cálculos</p><p>computacionais, podendo comprometer significativamente o</p><p>resultado final.</p><p>12CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Erro Relativo, Erro Absoluto e Percentual</p><p>A diferença entre o valor exato (x) e o valor aproximado (x)</p><p>no cálculo computacional pode ser medida pelo erro absoluto</p><p>ou pelo erro relativo.</p><p>O erro absoluto EA é definido como</p><p>e o erro relativo E�</p><p>O erro relativo costuma ser expresso como erro percentual,</p><p>assim basta multiplicar o erro relativo por 100.</p><p>Exemplo 5:</p><p>Determinar o erro absoluto e o erro relativo de</p><p>em relação a π = 3,141592653589793.</p><p>Solução:</p><p>Considere o valor exato x = 3,141592653589793 e a apro-</p><p>ximação x ̅= 3,142857142857143.</p><p>Erro de Arredondamento</p><p>Os erros de arredondamentos são causados pela limitação</p><p>dos dispositivos empregados no cálculo numérico como, por</p><p>exemplo, uma calculadora eletrônica como número de dígitos</p><p>= | − ̅|</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>.</p><p>= × 100</p><p>=</p><p>22</p><p>7</p><p>= | − ̅| = |3,141592653589793 − 3,142857142857143| = 0,001264489267350</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>= 4,024994347707008 × 10−4</p><p>= × 100 = 0.040249943477070%</p><p>= | − ̅|</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>.</p><p>= × 100</p><p>=</p><p>22</p><p>7</p><p>= | − ̅| = |3,141592653589793 − 3,142857142857143| = 0,001264489267350</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>= 4,024994347707008 × 10−4</p><p>= × 100 = 0.040249943477070%</p><p>= | − ̅|</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>.</p><p>= × 100</p><p>=</p><p>22</p><p>7</p><p>= | − ̅| = |3,141592653589793 − 3,142857142857143| = 0,001264489267350</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>= 4,024994347707008 × 10−4</p><p>= × 100 = 0.040249943477070%</p><p>= | − ̅|</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>.</p><p>= × 100</p><p>=</p><p>22</p><p>7</p><p>= | − ̅| = |3,141592653589793 − 3,142857142857143| = 0,001264489267350</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>= 4,024994347707008 × 10−4</p><p>= × 100 = 0.040249943477070%</p><p>= | − ̅|</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>.</p><p>= × 100</p><p>=</p><p>22</p><p>7</p><p>= | − ̅| = |3,141592653589793 − 3,142857142857143| = 0,001264489267350</p><p>=</p><p>| − ̅|</p><p>| |</p><p>= 4,024994347707008 × 10−4</p><p>= × 100 = 0.040249943477070%</p><p>13CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>limitado no “display” ou mesmo um computador com o erro</p><p>de representação de um número decimal no seu equivalente</p><p>binário.</p><p>Erro de Truncamento</p><p>São provenientes da utilização de processos que deveriam</p><p>ser infinitos ou muito grandes para determinação de um valor</p><p>e que, por razões práticas são truncados.</p><p>Exemplo 6:</p><p>Considere a expansão da função exponencial em séries de</p><p>potência da forma:</p><p>Por se tratar de uma série infinita, devemos escolher um</p><p>número de termos limitado da série para que possamos com-</p><p>putar o valor numérico da função ex. Escolhemos aproximar</p><p>a série infinita por uma série contendo três termos, ou seja,</p><p>Não importa a quantidade de algarismo significativos que</p><p>utilizemos no cálculo e^x pela série truncada, o resultado será</p><p>sempre aproximado e, portanto, sempre terá um erro, chamado</p><p>erro de truncamento.</p><p>Exemplo 7:</p><p>Calcule o valor numérico de e¹ (número de Euler), empre-</p><p>gando a série truncada com três, cinco e dez termos. Calcule os</p><p>erros absoluto e relativo sabendo que o valor exato do número</p><p>de Euler.</p><p>Aritmética de Ponto Flutuante</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>14CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>O sistema de aritmética de ponto f lutuante é utilizado por</p><p>computadores para representar um número real. Nesse sistema,</p><p>o número será representado na forma</p><p>onde β é a base em que a máquina opera, t é o número de</p><p>dígitos na mantissa; é o</p><p>expoente no intervalo</p><p>Em qualquer máquina, apenas um subconjunto dos números</p><p>reais é representado exatamente, e, portanto, a representação</p><p>de um número será realizada por meio de truncamento ou de</p><p>arredondamento.</p><p>Exemplo 8:</p><p>Considere uma máquina que opera no sistema</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>= ∑</p><p>!</p><p>= 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>+</p><p>3</p><p>3!</p><p>+ ⋯</p><p>∞</p><p>=0</p><p>≈ 1 + +</p><p>2</p><p>2!</p><p>∓(, 1 2 3 … ) ×</p><p>0 ≤ ≤</p><p>( − 1), = 1, 2, … , , 1 ≠ 0 [ , ].</p><p>= 10; = 3; ∈ [−5,5].</p><p>a. Qual a forma da representação numérica desse sistema?</p><p>b. Qual o menor número, em valor absoluto, representado</p><p>nessa máquina?</p><p>c. Qual o maior número, em valor absoluto, representado</p><p>nessa máquina?</p><p>d. Se x = 356,79; qual é a representação desse número se for</p><p>usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?</p><p>e. Se x = 0,547 × 10-8, qual é a representação desse número</p><p>na máquina em questão?</p><p>f. Se x = 0,852 ×107, qual é a representação desse número</p><p>na máquina em questão?</p><p>15CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Solução:</p><p>0, d1 d2 d3 × 10e, 0 ≤ dj ≤ 9, d1 ≠ 0, e ∈ [ -5,5 ].</p><p>O maior número, em valor absoluto, é M = 0,999 × 10⁽-⁵⁾.</p><p>O menor número, em valor absoluto, é m = 0,100 × 105.</p><p>Se considerarmos um erro de arredondamento o número</p><p>será representado por 0,357 × 10³ e 0,356 × 10³ se for consi-</p><p>derado o truncamento, mas observe que em nenhum dos casos</p><p>o número é representado de forma exata.</p><p>O número não pode ser representado nesta máquina porque</p><p>o expoente é menor que -5. Neste caso, a máquina acusa um</p><p>erro de undeflow.</p><p>Note que, o exponente é maior que 5, portanto, a máquina</p><p>acusa um erro de overf low.</p><p>Considere o conjunto</p><p>• Assim, dada um número real x, temos três possíveis situações:</p><p>1. x ∈ A: é representado com erro de truncamento ou arre-</p><p>dondamento.</p><p>2. |x|<m: ocorrência de underflow.</p><p>3. |x|>M: ocorrência de overflow.</p><p>Síntese</p><p>Ao longo deste capítulo aprendemos que alguns fatores</p><p>como conversão de base podem gerar erros computacionais</p><p>em uma solução numérica. Além disso, na modelagem de</p><p>problemas faz-se necessário conhecer as diferentes áreas da</p><p>Ciências que podem estar envolvidas para que a resolução de</p><p>fato represente uma situação real da melhor forma possível.</p><p>16CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Quando trabalhamos com solução numérica é extremamente</p><p>importante medir os erros da solução aproximação, por isso</p><p>aprendemos formas de calcular esses erros através do erro ab-</p><p>soluto, relativo e percentual.</p><p>Vamos seguir, como se estivéssemos em uma linda estrada,</p><p>seguindo sempre em frente para alcançarmos nossos objetivos.</p><p>Portanto, vamos lá. Neste capítulo aprendemos que os</p><p>erros podem surgir em diferentes fases como: modelagem,</p><p>resolução, por isso sabemos, agora, que erros podem surgir</p><p>devido a conversão de base binária para decimal e vice-versa,</p><p>além dos erros de arredondamento, truncamento e da forma</p><p>como a “máquina” representa os números (aritmética de ponto</p><p>f lutuante).</p><p>Exercício:</p><p>1. Efetue as conversões de base indicadas a seguir:</p><p>a. (125)¹⁰ = ( )²</p><p>b. (0,1875)¹⁰ = ( )²</p><p>c. (51,98)¹⁰ = ( )²</p><p>d. (11100101)² = ( )¹⁰</p><p>e. (0,100111)² = ( )¹⁰</p><p>f. (13,25)¹⁰ = ( )²</p><p>17CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>2. Considere uma máquina que opera no sistema β = 10; t = 4; e ∈ [ -4, 4 ]. Represente neste sistema os números abaixo e, se</p><p>necessário, use truncamento:</p><p>a. 432124</p><p>b. 0,0013523</p><p>c. 125,64</p><p>d. 0,00034</p><p>3. Leia o artigo “ARIANE 5: Um Erro Numérico (Overf low) levou à Falha no Primeiro Lançamento” Aqui.</p><p>Em seguida, pesquise outros casos de erros computacionais que geraram grandes problemas em diferentes áreas ao longo</p><p>da história.</p><p>http://www.sbmac.org.br/bol/bol-2/artigos/ariane5.html</p><p>18CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>EQUAÇÕES</p><p>ALGÉBRICAS E</p><p>TRANSCENDENTES</p><p>Métodos de Isolamento do zero em um Intervalo</p><p>Frequentemente em alguns problemas na área das Ciências</p><p>e das Engenharias é determinar os valores da variável inde-</p><p>pendente,x, que satisfazem à equação f(x)=0. Por exemplo,</p><p>equações da forma ax^2+bx+c=0 possuem no máximo duas</p><p>raízes, as quais podem ser duas reais e distintas, duas reais</p><p>e iguais ou complexas. Essas raízes podem ser determinadas</p><p>analiticamente pela fórmula</p><p>( ) = + −1</p><p>−1 + −2</p><p>−2 + ⋯ + 1</p><p>1 + 0 = 0</p><p>( ) = − ( )</p><p>( ): ℝ → ℝ ( ) = 0</p><p>19CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>De modo geral, equações algébricas de 1º e 2º graus, algu-</p><p>mas equações de 3º e 4º graus e algumas equações transcen-</p><p>dentes podem ter suas raízes calculadas de forma analítica, mas</p><p>para polinômios de grau superior a quatro e grande parte das</p><p>equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por</p><p>métodos numéricos, os quais determinam soluções aproximadas.</p><p>Equações Algébricas</p><p>Seja uma equação algébrica de grau n ( n ≥ 1 ):</p><p>onde os coeficientes a_isão números reais e aⁿ ≠ 0.</p><p>O Teorema fundamental da Álgebra afirma que uma</p><p>equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes reais ou</p><p>complexas. A raiz deve ser contada conforme sua multiplicidade.</p><p>Equações Transcendentes</p><p>São funções que envolvem funções trigonométricas, expo-</p><p>nenciais, logarítmicas, ou a combinação entre elas. Por exemplo:</p><p>Raízes ou Zeros de uma Função Real</p><p>Considere uma função f(x): R→R, os valores de x, para os</p><p>quais f(x)=0 são chamados de zeros ou raízes.</p><p>Exemplo 1</p><p>Seja a função f(x) = x² - 3x + 2.</p><p>2 é raiz ou zero de f(x) = 0, pois f(2) = 2²- 3 ∙ 2 + 2 = 0.</p><p>5 não é raiz da equação f(x) = 0, pois f(5) = 5²- 3 ∙ 5 + 2 = 12 ≠ 0.</p><p>( ) = + −1</p><p>−1 + −2</p><p>−2 + ⋯ + 1</p><p>1 + 0 = 0</p><p>( ) = − ( )</p><p>( ): ℝ → ℝ ( ) = 0</p><p>( ) = + −1</p><p>−1 + −2</p><p>−2 + ⋯ + 1</p><p>1 + 0 = 0</p><p>( ) = − ( )</p><p>( ): ℝ → ℝ ( ) = 0</p><p>20CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exemplo 2</p><p>Na análise gráfica de f(x), o zero ou raiz de f(x)=0 equivale</p><p>à abscissa onde a função “corta” ou tangencia o eixo horizontal.</p><p>No gráfico ao lado os pontos de abscissas iguais a -3 e 0</p><p>são raízes ou zeros da função f(x) = x³ + 3x² = 0.</p><p>Observe que em x=0 a função tangencia (“encosta”) no</p><p>eixo horizontal e em x=-3 a função “corta” o eixo horizontal,</p><p>portanto, as duas situações representam graficamente o zero</p><p>ou raiz de uma função.</p><p>Determinação das Raízes</p><p>Todo procedimento para determinação das raízes utilizando</p><p>os métodos numéricos é constituído de duas etapas:</p><p>• 1ª fase: localização ou isolamento das raízes. Nesta fase</p><p>procura-se um intervalo [a,b] que contenha uma e somente</p><p>uma raiz da equação f(x)=0.</p><p>• 2ª fase: refinamento. Nesta etapa busca-se determinar o</p><p>valor aproximado da raiz refinando o intervalo [a,b] até a</p><p>precisão desejada.</p><p>21CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Isolamento das raízes</p><p>Nesta fase faz-se uma análise teórica e gráfica da função</p><p>através de teoremas e gráfico da função f(x). Esta fase é muito</p><p>importante, pois a 2ª fase depende muito dessa análise, ou</p><p>seja, se o intervalo for determinado de forma incorreta, por</p><p>exemplo, a próxima fase tende a falhar e, consequentemente,</p><p>o valor da raiz aproximado não será encontrado. Para localizar</p><p>os intervalos com raízes, você pode utilizar um dos processos</p><p>descritos a seguir.</p><p>Processo 1:</p><p>Teorema: Se uma função contínua f(x) assume valores de</p><p>sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b], isto é,</p><p>f(a) ∙ f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz</p><p>da equação f(x)=0, em outras palavras haverá, no mínimo, um</p><p>número r ϵ (a,b) tal que f(r)=0.</p><p>Observe que uma das hipóteses do teorema é que a função</p><p>seja contínua, por isso, é extremamente importante que você</p><p>tenha essa definição de forma muito clara. Portanto eu lhe</p><p>convido, caso não lembre, a revisar o conceito de continuidade</p><p>estudado em Cálculo Diferencial e Integral. Faça isso antes</p><p>de continuar.</p><p>22CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>O gráfico abaixo ilustra o teorema enunciado anterior: Analisando o gráfico podemos fazer algumas observações:</p><p>Intervalo</p><p>[Ee,Ed]</p><p>[a,b]</p><p>[b,c]</p><p>[c,r]</p><p>[a,d]</p><p>[d,e]</p><p>[e,f]</p><p>[a,e]</p><p>Raizes</p><p>Intervalo</p><p>2 raízes</p><p>Nenhuma raiz</p><p>r é uma raiz</p><p>4 raízes</p><p>1 raiz</p><p>1 raiz</p><p>5 raízes</p><p>f(Ee)</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>+</p><p>f(Ed)</p><p>+</p><p>+</p><p>0</p><p>+</p><p>-</p><p>+</p><p>-</p><p>f(Ee) . f(Ed)</p><p>+</p><p>+</p><p>0</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>Assim, podemos resumir o teorema da seguinte forma:</p><p>Se f ( a</p><p>) ∙ f ( b ) < 0 existirá, pelo menos, uma raiz no intervalo [ a, b ]. Note que, não podemos concluir nada quanto ao</p><p>número de raízes no intervalo.</p><p>Se f ( a ) ∙ f ( b ) = 0, x = a ou x = b será a raiz de f ( x ). Se f ( a ) ∙ f ( b ) > 0, inconclusivo.</p><p>O gráfico nos ajuda a interpretar o teorema de forma muito simples.</p><p>23CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Se f '(x) existir e preservar sinal em (a,b), então este intervalo</p><p>contém um único zero de f(x).</p><p>Uma forma de aplicar o teorema é tabelar a variável depen-</p><p>dente para diferentes valores da variável independente. Vamos</p><p>demonstrar no próximo exemplo.</p><p>Exemplo 3</p><p>Considere a função f(x) = x3-6x + 1. A tabela abaixo apre-</p><p>senta os valores de f(x) para diferentes valores de x.</p><p>Você pode utilizar o MATLAB® para construir esta ta-</p><p>bela. Por exemplo:</p><p>-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5</p><p>( ) -94 -39 -8 5 6 1 -4 -3 10 41 96</p><p>Sinal - - - + + + - - + + +</p><p>24CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>A função é um polinômio de grau 3, contínua para todo</p><p>x, portanto analisando a tabela percebe-se três trocas sinais.</p><p>Logo, os intervalos [-3,-2],[0 1] e [2,3] contém pelo menos um</p><p>zero, segundo o teorema; mas como f(x) é um polinômio de</p><p>grau 3, podemos afirmar que cada intervalo contém um único</p><p>zero da função.</p><p>Exemplo 4</p><p>Considere a função f(x) = √x-e-x. Neste caso, o domínio</p><p>da função é o conjunto dos reais positivos, ou seja, D(f) = R+.</p><p>A tabela abaixo apresenta os valores de f(x) para diferentes</p><p>valores de x.</p><p>Pela análise da tabela concluímos que f(x) admite pelo</p><p>menos uma raiz no intervalo [0,1].</p><p>Mas será que é o único zero? Para responder à essa questão</p><p>vamos o sinal da derivada da função.</p><p>Este resultado significa que a derivada é sempre positiva</p><p>para todo x maior que 0, ou seja, a função é crescente para x>0.</p><p>Logo, há um único zero de f(x) no intervalo [0,1].</p><p>Processo 2: Além do teorema podemos traçar o gráfico</p><p>da função. Este processo nos permite localizar os intervalos</p><p>com as raízes de forma mais rápida. A construção manual do</p><p>gráfico exige um conhecimento analítico da função, como do-</p><p>mínio, pontos de descontinuidade, intervalos de crescimento e</p><p>decrescimento, assíntotas, pontos de máximos e/ou mínimos,</p><p>pontos de inf lexão, etc. O uso de um software é recomendável</p><p>para a construção e análise de gráficos.</p><p>0 1 2 3 4 5</p><p>( ) - + + + + +</p><p>′ ( ) =</p><p>1</p><p>2√</p><p>+ − > 0, ∀ > 0</p><p>0 1 2 3 4 5</p><p>( ) - + + + + +</p><p>′ ( ) =</p><p>1</p><p>2√</p><p>+ − > 0, ∀ > 0</p><p>25CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exemplo 5</p><p>Para a função f(x) = 30x³ - 15x² + 21 x - 2 tem-se o gráfico</p><p>abaixo construído com o MATLAB®.</p><p>No gráfico acima, observa-se que no intervalo [0,1] existem</p><p>três raízes reais.</p><p>Processo 3: A equação f(x)=0 pode ser substituída por uma</p><p>equação g(x)-h(x)=0 equivalente, ou seja, uma equação que</p><p>possui as mesmas raízes de f(x)=0. Em consequência, teremos</p><p>g(x)=h(x). As interseções das curvas g(x) e h(x) irão fornecer</p><p>as raízes de f(x). A construção do gráfico de ambas em um</p><p>mesmo plano cartesiano facilita a determinação dos intervalos.</p><p>Exemplo 6</p><p>Considere a função f(x) = √ x - e-x. Neste caso, temos</p><p>√x - e-x = 0 ⟹ √x = e-x</p><p>Sejam g(x) = √x e h(x) = e-x e traçando o gráfico de ambas</p><p>no mesmo plano cartesiano, obtemos a figura a seguir:</p><p>26CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Neste caso, devemos analisar a interseção entre as curvas</p><p>g(x) e h(x). Note que há apenas um ponto de interseção no</p><p>intervalo [0,1]. Logo, f(x) possui uma única raiz no intervalo</p><p>[0,1].</p><p>Exercício:</p><p>Para cada função abaixo, encontre os intervalos com ex-</p><p>tremos inteiros nos quais há apenas uma raiz cada um deles.</p><p>Utilize dois processos distintos em cada caso.</p><p>a. f(x) = 4 cos(x) - e2x, x ≥ 0</p><p>b. f(x) = 2x - 3x</p><p>c. f(x) = x5 - 3x3 + 2x2 - 3x + 1</p><p>d. f(x) = 1 - xln(x)</p><p>Respostas:</p><p>a)(0,1)</p><p>b)(0,1) e (3,4)</p><p>c)(-3,-2); (0,1); (1,2)</p><p>d)(1,2)</p><p>27CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Método da Bissecção</p><p>A primeira fase, como vimos, consiste em determinar os</p><p>intervalos que contém as raízes. Agora, nosso objetivo é refinar</p><p>o intervalo, de tal forma a encontrar uma solução aproximada</p><p>para a raiz.</p><p>Há vários métodos de refinamento de intervalos, a diferença</p><p>entre esses métodos é a forma como o processo de refinamento</p><p>é executado.</p><p>Nós vamos utilizar métodos iterativos os quais consistem em</p><p>uma sequência de instruções (cálculos) que são executados passo</p><p>a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos (iteração).</p><p>Lembre-se que nosso objetivo aqui é determinar o valor</p><p>aproximado das raízes, portanto o processo iterativo ocorre até</p><p>que se atinja um resultado próximo ao esperado ou cujo erro</p><p>seja inferior a uma determinada tolerância. Cada iteração utiliza</p><p>resultados das iterações anteriores e efetua determinados testes</p><p>que permitem verificar se foi atingido um resultado próximo</p><p>o suficiente do resultado esperado.</p><p>O Método</p><p>O método da bissecção é muito simples, consiste em aproxi-</p><p>mar a raiz em um intervalo [a,b], onde a função é estritamente</p><p>28CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>crescente ou decrescente e considerar a raiz aproximada como</p><p>o ponto médio desse intervalo. Graficamente, pode ser repre-</p><p>sentado como na Figura abaixo.</p><p>Representação Gráfica do método da bissecção. Fonte:</p><p>Ruggiero.</p><p>Podemos resumir o método da seguinte forma:</p><p>Localize o intervalo [a,b] que contém apenas uma raiz</p><p>da função f(x).</p><p>Determine o ponto médio do intervalo: xm = (a+b)</p><p>A raiz estará em [a, xm] se f(a) ∙ f(xm ) < 0; se não estará</p><p>no intervalo [xm , b]</p><p>Repetir o processo com o intervalo que contém a raiz</p><p>até que o erro seja menor que a tolerância.</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcular a raiz positiva da equação f(x) = x² - 2 = 0 com ε ≤ 0,05.</p><p>Solução: Note que a função dada é um polinômio de grau 2,</p><p>portanto possui duas raízes. O método da bissecção “encontrar”</p><p>uma raiz por vez. Como o exemplo fala em raiz positiva, vamos</p><p>primeiro determinar o intervalo que contém a raiz positiva</p><p>usando o teorema (análise de sinal das imagens).</p><p>2</p><p>0 1 2 3 4 5</p><p>( ) - - + + + +</p><p>Interação x=a x=xm x=b f(a) f( xm ) f(b) Erro</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>1,25</p><p>1,375</p><p>1,375</p><p>1,5</p><p>1,25</p><p>1,375</p><p>1,4375</p><p>1,4063</p><p>2</p><p>1,5</p><p>1,5</p><p>1,5</p><p>1,4375</p><p>-1</p><p>-1</p><p>-0,4375</p><p>-0,1094</p><p>-0,1094</p><p>0,25</p><p>-0,4375</p><p>-0,1094</p><p>0,0664</p><p>-0,0225</p><p>2</p><p>0,25</p><p>0,25</p><p>0,25</p><p>0,0664</p><p>0,5</p><p>0,25</p><p>0,125</p><p>0,0625</p><p>0,0313</p><p>29CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Portanto, a raiz positiva está no intervalo [1,2]. O pro-</p><p>cesso iterativo do método da bissecção inicia com o intervalo</p><p>encontrado.</p><p>A tabela abaixo apresenta os resultados obtidos a cada iteração.</p><p>Iteração 1</p><p>Inicie preenchendo a tabela com x=a=1 extremo esquerdo</p><p>do intervalo encontrado e x=b=2, que é o extremo direito do</p><p>intervalo.</p><p>O próximo passo é calcular o ponto médio entre 1 e 2, ou</p><p>seja, xm = (1+2) = 1,5.</p><p>Em seguida, determine imagens dos extemos e do ponto</p><p>médio, para isso calcule</p><p>f(1) = 1² - 2 = -1, f(1,5) = 1,5² - 2 e f(2) = 2² - 2 = 2</p><p>O que importa na verdade é o sinal das imagens, pois a</p><p>condição é que ocorra uma troca de sinal. Como f(1) ∙ f(1,5)</p><p>< 0, então a raiz está entre [1;1,5].</p><p>Calcule o erro que é a diferença, em módulo, entre o</p><p>extremo esquerdo e o ponto médio, |1,5-1| = 0,5 > ε = 0,05. O</p><p>processo deve ser repetido.</p><p>Iteração 2</p><p>O intervalo agora é [1;1,5] com ponto médio igual a xm =</p><p>(1+1,5) = 1,25.</p><p>0 1 2 3 4 5</p><p>( ) - - + + + +</p><p>Interação x=a x=xm x=b f(a) f( xm ) f(b) Erro</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>1,25</p><p>1,375</p><p>1,375</p><p>1,5</p><p>1,25</p><p>1,375</p><p>1,4375</p><p>1,4063</p><p>2</p><p>1,5</p><p>1,5</p><p>1,5</p><p>1,4375</p><p>-1</p><p>-1</p><p>-0,4375</p><p>-0,1094</p><p>-0,1094</p><p>0,25</p><p>-0,4375</p><p>-0,1094</p><p>0,0664</p><p>-0,0225</p><p>2</p><p>0,25</p><p>0,25</p><p>0,25</p><p>0,0664</p><p>0,5</p><p>0,25</p><p>0,125</p><p>0,0625</p><p>0,0313</p><p>2</p><p>2</p><p>30CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Agora, basta determinar apenas a imagem do ponto médio,</p><p>pois as outras imagens já foram calculadas na iteração anterior:</p><p>f (1,25) = 1,252 -2 = -0,4375.</p><p>Como f (1,25) ∙ f (1,5) < 0, então a raiz está entre [1,25;1,5].</p><p>Calcule o erro que é a diferença, em módulo, entre o ex-</p><p>tremo esquerdo e o ponto médio, |1,25-1| = 0,25 > = 0,05. O</p><p>processo deve ser repetido.</p><p>Iteração 3</p><p>O intervalo é [1,25;1,5] com ponto médio igual a xm =</p><p>(1,25 + 1,5) =1,375.</p><p>f (1,375) = 1,3755²</p><p>- 2 = -0,1094.</p><p>Como f (1,375) ∙ f(1,5) < 0, então a raiz está entre [1,375;1,5].</p><p>O erro é igual a |1,375-1,25| = 0,125 > ε = 0,05. O processo</p><p>deve ser repetido.</p><p>Iteração 4</p><p>O intervalo é [1,375;1,5] com ponto médio igual a</p><p>xm = (1,375+1,5) = 1,4375.</p><p>f (1,4375) = 1,4375² - 2 = 0,0664.</p><p>Como f(1,375) ∙ f(1,4375) < 0, então a raiz está entre</p><p>[1,375;1,4375].</p><p>O erro é igual a |1,4375-1,375| = 0,0625 > ε = 0,05.</p><p>O processo deve ser repetido.</p><p>2</p><p>2</p><p>31CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Iteração 5</p><p>O intervalo é [1,375;1,4375] com ponto médio igual a</p><p>xm = (1,375 + 1,4375) = 1,4063.</p><p>f(1,4063) = 1,4063² - 2 = -0,0225.</p><p>Como f(1,4063) ∙ f(1,4375) < 0, então a raiz está entre</p><p>[1,4063; 1,4375].</p><p>O erro é igual a |1,4063-1,375| = 0,0313 < ε = 0,05.</p><p>Portanto, o processo deve ser interrompido pois a tolerância</p><p>foi atingida.</p><p>A raiz positiva aproximada de f(x) = x² - 2 é 1,4063 (ponto</p><p>médio) obtida na 5ª iteração (repetição) com erro de 0,0313.</p><p>Note que, as raízes de f(x) = x² - 2 = 0 são x = ±√2 ≈ 1,4142.</p><p>O primeiro dígito após a vírgula da raiz e da aproximação são</p><p>iguais a 4. O erro surge quando comparamos o segundo dígito.</p><p>O valor aproximado é de 1,4063 e o exato 1,4142.</p><p>A tolerância do exercício é de 0,05; isto significa, pelo</p><p>menos, o primeiro dígito da solução aproximada deve ser o</p><p>correto, já que há um “zero” na primeira casa decimal da tole-</p><p>rância. Logo, se quisermos melhorar a solução, basta diminuir</p><p>a tolerância desejada.</p><p>Exemplo 2</p><p>Calcular a raiz real da equação f(x) = x² + ln(x) = 0 com</p><p>ε ≤ 0,01.</p><p>Solução: Primeiro vamos determinar o intervalo que contém</p><p>a raiz real. Utilizaremos o gráfico agora. Lembre-se que ln(x)</p><p>assume valores reais para x>0.</p><p>2</p><p>32CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Portanto, há uma raiz no intervalo [0,5; 1]. O processo itera-</p><p>tivo do método da bissecção inicia com o intervalo encontrado.</p><p>A raiz aproximada foi obtida na 6ª iteração com erro de</p><p>0,0078 e seu valor é 0,6484.</p><p>O Algoritmo</p><p>O método da bissecção pode ser implementando em uma</p><p>linguagem de programação. A Figura abaixo apresenta um</p><p>exemplo de algoritmo.</p><p>Interação x=a x=xm x=b f(a) f( xm ) f(b) Erro</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>0,5</p><p>0,5</p><p>0,625</p><p>0,625</p><p>0,625</p><p>0,6406</p><p>0,75</p><p>0,625</p><p>0,6875</p><p>0,6563</p><p>0,6406</p><p>0,6484</p><p>1</p><p>0,75</p><p>0,75</p><p>0,6875</p><p>0,6563</p><p>0,6563</p><p>-0,4432</p><p>-0,4432</p><p>-0,0794</p><p>-0,0794</p><p>-0,0794</p><p>-0,0349</p><p>0,2748</p><p>-0,0794</p><p>0,0980</p><p>0,0095</p><p>-0,0349</p><p>-0,0127</p><p>1</p><p>0,2748</p><p>0,2748</p><p>0,0980</p><p>0,00095</p><p>0,0095</p><p>0,25</p><p>0,125</p><p>0,0625</p><p>0,0313</p><p>0,0156</p><p>0,0078</p><p>33CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Para executá-lo, primeiro escreva o algoritmo no progra-</p><p>ma, como por exemplo, MATLAB®. Crie uma pasta só para</p><p>os algoritmos, isso facilitará o seu trabalho. Verifique se o</p><p>arquivo está aparecendo em Current Folder.</p><p>O arquivo é uma função, portanto basta incluir os dados</p><p>de entrada e executar o arquivo. Sugiro que você faça isso em</p><p>um arquivo, como no exemplo abaixo.</p><p>Inicie definindo os dados de entrada, o valor do extremo</p><p>esquerdo do intervalo inicial, extremo direito, a função e a</p><p>tolerância. Note que na linha 6 há o comando syms x, pois a</p><p>função é definida de forma simbólica. Na linha 10, consta o</p><p>comando para executar o algoritmo da bissecção. Os dados</p><p>entre colchetes são os dados de saída, ou seja, r é o valor</p><p>aproximado da raiz, it é o número de iterações necessárias</p><p>para a convergência e erro é o erro obtido na iteração de</p><p>convergência.</p><p>34CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Salve o arquivo com os dados de entrada na mesma pasta</p><p>do algoritmo e verifique se ambos os arquivos estão sendo</p><p>“acessados” pelo programa.</p><p>Executando o arquivo, os resultados obtidos são:</p><p>Compare com os resultados obtidos e apresentados na</p><p>Tabela 2. Teste o algoritmo com os dados do Exemplo 1.</p><p>Muitas aplicações podem ser resolvidas através dos mé-</p><p>todos numéricos. Vejamos um exemplo.</p><p>Exemplo 3</p><p>Você comprou um veículo de R$ 42.900,00 sem entrada e</p><p>pretende pagar R$ 16.800,00 por ano por 5 anos. Determine</p><p>a taxa de juros que você irá pagar. Empregue aproximações</p><p>iniciais para a taxa de juros de 0,01 a 0,3 e um critério de pa-</p><p>rada de 0,00001. A fórmula que relaciona o valor atual P, os</p><p>pagamentos anuais A, o número de anos n e a taxa de juros i, é</p><p>=</p><p>(1 + )</p><p>(1 + ) − 1</p><p>16.800 = 42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>− 16.800 = 0</p><p>( ) = 42.900</p><p>(1+ )5</p><p>(1+ )5−1</p><p>− 16.800.</p><p>35CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Solução: Vamos resolver este exemplo por meio do al-</p><p>goritmo, mas antes precisamos definir a função. O exemplo</p><p>apresenta algumas informações sobre o financiamento, então</p><p>vamos substituí-las na fórmula dada.</p><p>Observe que, a única incógnita agora é a taxa de juros,</p><p>mas como resolver este problema pelo método da bissecção?</p><p>Lembre-se que o objetivo do método é determinar x tal que</p><p>f(x)=0, então devemos transformar o problema dado em um</p><p>problema de determinação de zero. Para isso basta reescrever</p><p>a expressão acima da forma</p><p>Portanto, a função de estudo é</p><p>Neste caso não é necessário isolar a raiz, pois o exercício</p><p>já nos dá a informação do intervalo, ou seja, a taxa de juros</p><p>está entre 0,01 e 0,3.</p><p>Já temos todas as informações então podemos utilizar o</p><p>programa para determinar a raiz da função.</p><p>A taxa aproximada de juros é de 27,57% obtida na 15ª ite-</p><p>ração por meio do método da bissecção com erro de 8,85 × 10-⁶.</p><p>=</p><p>(1 + )</p><p>(1 + ) − 1</p><p>16.800 = 42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>− 16.800 = 0</p><p>( ) = 42.900</p><p>(1+ )5</p><p>(1+ )5−1</p><p>− 16.800.</p><p>=</p><p>(1 + )</p><p>(1 + ) − 1</p><p>16.800 = 42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>− 16.800 = 0</p><p>( ) = 42.900</p><p>(1+ )5</p><p>(1+ )5−1</p><p>− 16.800.</p><p>=</p><p>(1 + )</p><p>(1 + ) − 1</p><p>16.800 = 42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>42.900</p><p>(1 + )5</p><p>(1 + )5 − 1</p><p>− 16.800 = 0</p><p>( ) = 42.900</p><p>(1+ )5</p><p>(1+ )5−1</p><p>− 16.800.</p><p>Programa Solução</p><p>36CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exercício:</p><p>Utilize o método da bissecção para determinar as raízes</p><p>das funções do exercício anterior com tolerância de 0,01. De-</p><p>termine as raízes manualmente com o auxílio de uma tabela</p><p>e depois confirme seu resultado com o auxílio do algoritmo.</p><p>a. f(x) = 4 cos(x) - e²x, x ≥ 0</p><p>b. f(x) = 2x - 3x</p><p>c. f(x) = x⁵ - 3x³ + 2x² - 3x + 1</p><p>d. f(x) = 1 - xln (x)</p><p>Respostas:</p><p>a) 0,6016</p><p>b)0,4609 e 3,3203</p><p>c) -2,1641; 0,3828 e 1,6328</p><p>d)1,7578</p><p>Método de Newton-Raphson</p><p>A velocidade de convergência da sequência das aproxi-</p><p>mações da raiz x do método da bissecção pode ser aumentada</p><p>se o processo iterativo sofrer algumas modificações. Existem</p><p>vários métodos numéricos para aproximar raízes, entre os</p><p>mais conhecidos é o chamado método de Newton-Raphson</p><p>(desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson) o qual é</p><p>baseado no cálculo da tangente à curva f(x) por isso também</p><p>é conhecido como método das tangentes.</p><p>Programa Solução</p><p>37CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>O Método</p><p>A equação da reta tangente à curva f(x) no ponto (x0, y0),</p><p>onde y0=f(x0) é:</p><p>y - f (x0) = f' (x0) (x - x0)</p><p>A reta tangente intercepta o eixo horizontal em x = x₁ e,</p><p>assim, y = f(x1) = 0. Substituindo o ponto (x1,0) na equação da</p><p>reta tangente, obtemos:</p><p>0 - f(x0) = f'(x0)(x₁ - x0)</p><p>x₁ = x0 - (f(x0))</p><p>Na expressão acima x_1 depende de x_0. No processo ite-</p><p>rativo a estimativa inicial é x_0 e x_1 é a aproximação da raiz</p><p>na primeira iteração. Note que a aproximação da raiz é o zero</p><p>da reta tangente à curva f(x). A função pode ser generalizada,</p><p>pois a aproximação da raiz na segunda iteração, x_2, depende</p><p>de x_1 e, assim, por diante. Essa generalização nos leva uma</p><p>fórmula de recorrência do método de Newton-Raphson:</p><p>onde k é o contador de iterações.</p><p>(f'(x0))</p><p>2 = 1 −</p><p>( 1)</p><p>′ ( 1)</p><p>= 2 −</p><p>3,9206</p><p>10,5</p><p>= 1,6266</p><p>3 = 2 −</p><p>( 2)</p><p>′ ( 2)</p><p>= 1,6266 −</p><p>0,8443</p><p>6,0933</p><p>= 1,4880</p><p>4 = 3 −</p><p>( 3)</p><p>′ ( 4)</p><p>= 1,4880 −</p><p>0,1023</p><p>4,6263</p><p>= 1,4659</p><p>+1 = −</p><p>( )</p><p>′ ( )</p><p>, = 0, 1, 2, …</p><p>38CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Graficamente,</p><p>Representação Gráfica do método de Newton-Raphson. Fonte: a autora.</p><p>No gráfico observe que a estimativa inicial é x0 onde</p><p>uma reta tangente à curva é traçada. O valor de x1 é determi-</p><p>nado calculando o zero da reta tangente inicial, o</p><p>qual pode</p><p>ser calculado diretamente pela fórmula iterativa do método de</p><p>Newton. Em x1 o processo é repetido, ou seja, uma nova ite-</p><p>ração é iniciada e uma nova reta tangente é traçada obtendo-se</p><p>x2 como o zero da função da reta tangente, e assim processo</p><p>continua até que a tolerância seja atingida. Nesse método, o</p><p>critério de parada do processo iterativo é | f(xk) | < ε. Note,</p><p>também que a raiz da função f(x) está no intervalo [2,3], e que</p><p>a sequência das aproximações tende à raiz da função.</p><p>Teorema: Sejam f(x), f '(x) e f ''(x) contínuas em um intervalo</p><p>I que contém a raiz x=r de f(x)=0. Supondo que f '(x)≠0, então</p><p>existe um intervalo I ⊂ I, contendo a raiz r, tal que se x0 ∈ I,</p><p>a sequência {xⁿ} gerada pela fórmula recursiva. xk+1 = xk - f(xk)</p><p>convergirá para a raiz.</p><p>É condição suficiente para a convergência do método de</p><p>Newton-Raphson que f '(x) e f ''(x) sejam não nulas e preservem</p><p>o sinal em (a,b) e x₀ tal que f (x₀) f '' (x₀) > 0.</p><p>f(xk)</p><p>39CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Observações:</p><p>• Vantagem do método: ótima convergência.</p><p>• Desvantagem do método: o método pode divergir se a</p><p>estimativa inicial não for tomada suficientemente próxima do</p><p>zero da função.</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine a raiz de f (x) = x³ - 3 ln (x) - 2 no intervalo</p><p>[1,2] com ε ≤ 0,05.</p><p>Solução: Vamos utilizar 1,5 como estimativa inicial. Para</p><p>aplicar o processo iterativo precisamos determinar a derivada</p><p>da função:</p><p>f'(x) = 3x² - 3</p><p>Vamos utilizar a tabela abaixo para apresentar os resultados</p><p>Iteração 1</p><p>Inicie preenchendo a tabela com o valor da estimativa</p><p>inicial x₁ = 2</p><p>O próximo passo é determinar a imagem de x₁, ou seja,</p><p>f(2) = 2³ - 3 ln (2) - 2 = 3,9206.</p><p>Em seguida, determine f' (2) = 3 ∙ 2² - 3 = 10,5.</p><p>• Calcule o erro que é | f (x₁) |=|3,9206|.</p><p>Como 3,92090 > ε = 0,05; o processo deve ser repetido.</p><p>• O valor de x₂ é calculado por meio da fórmula iterativa:</p><p>x</p><p>x</p><p>2 = 1 −</p><p>( 1)</p><p>′ ( 1)</p><p>= 2 −</p><p>3,9206</p><p>10,5</p><p>= 1,6266</p><p>3 = 2 −</p><p>( 2)</p><p>′ ( 2)</p><p>= 1,6266 −</p><p>0,8443</p><p>6,0933</p><p>= 1,4880</p><p>4 = 3 −</p><p>( 3)</p><p>′ ( 4)</p><p>= 1,4880 −</p><p>0,1023</p><p>4,6263</p><p>= 1,4659</p><p>+1 = −</p><p>( )</p><p>′ ( )</p><p>, = 0, 1, 2, …</p><p>40CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>O processo deve ser repetido para x₂ = 1,6266.</p><p>Iteração 2</p><p>Agora, x₂ = 1,6266</p><p>O próximo passo é determinar a imagem de</p><p>x₂, f(1,6266) = 1,6266³ - 3 ln (1,6266) - 2 = 0,8443.</p><p>Em seguida, determine</p><p>f'(1,6266) = 3 ∙ 1,6266² - 3 = 6,0933.</p><p>Calcule o erro que é | f(x₁) | = | 0,8443 | e é maior que a</p><p>tolerância, então o processo deve ser repetido.</p><p>O valor de x₃ é calculado por meio da fórmula iterativa:</p><p>O processo deve ser repetido para x_3=1,4880.</p><p>Iteração 3</p><p>f(1,4880) = 1,4880³ - 3 ln (1,4880) - 2 = 0,1023.</p><p>f' (1,4880) = 3 ∙ 1,4880² - 3 = 4,6263.</p><p>Calcule o erro que é | f(x₁) | = | 0,1023 | e é maior que a</p><p>tolerância, então o processo deve ser repetido.</p><p>O valor de x₃ é calculado por meio da fórmula iterativa:</p><p>O processo deve ser repetido para x₄ = 1,4659.</p><p>2 = 1 −</p><p>( 1)</p><p>′ ( 1)</p><p>= 2 −</p><p>3,9206</p><p>10,5</p><p>= 1,6266</p><p>3 = 2 −</p><p>( 2)</p><p>′ ( 2)</p><p>= 1,6266 −</p><p>0,8443</p><p>6,0933</p><p>= 1,4880</p><p>4 = 3 −</p><p>( 3)</p><p>′ ( 4)</p><p>= 1,4880 −</p><p>0,1023</p><p>4,6263</p><p>= 1,4659</p><p>+1 = −</p><p>( )</p><p>′ ( )</p><p>, = 0, 1, 2, …</p><p>2 = 1 −</p><p>( 1)</p><p>′ ( 1)</p><p>= 2 −</p><p>3,9206</p><p>10,5</p><p>= 1,6266</p><p>3 = 2 −</p><p>( 2)</p><p>′ ( 2)</p><p>= 1,6266 −</p><p>0,8443</p><p>6,0933</p><p>= 1,4880</p><p>4 = 3 −</p><p>( 3)</p><p>′ ( 4)</p><p>= 1,4880 −</p><p>0,1023</p><p>4,6263</p><p>= 1,4659</p><p>+1 = −</p><p>( )</p><p>′ ( )</p><p>, = 0, 1, 2, …</p><p>1,6266</p><p>1,4880</p><p>41CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Iteração 4</p><p>f (1,4659)= 1,4659³ - 3 ln (1,4659) - 2 = 0,0025.</p><p>f' (1,4659) = 3 ∙ 1,4659² - 3 = 4,4001.</p><p>Como o erro |f (x₁) | = | 0,0026 | < ε então o processo deve</p><p>ser concluído.</p><p>Assim, uma das raízes positivas da função f(x) = x³ - 3ln</p><p>(x) - 2 é 1,4659 obtida na 4ª iteração com erro de 0,0026.</p><p>O Algoritmo</p><p>A Figura abaixo apresenta um exemplo de algoritmo de</p><p>Newton-Raphson em MATLAB®</p><p>Siga os mesmos passos do algoritmo da bissecção para criar</p><p>e salvar o algoritmo no programa.</p><p>Crie um arquivo com os dados do exemplo:</p><p>1,4659</p><p>42CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Inicie definindo os dados de entrada: a função, o valor da</p><p>estimativa inicial e o valor da tolerância. Note que na linha 4</p><p>há o comando syms x, pois a função é definida de forma sim-</p><p>bólica e a derivada da função é definida dentro do algoritmo.</p><p>Na linha 9, consta o comando para executar o algoritmo de</p><p>Newton-Raphson. Os dados entre colchetes são os dados de</p><p>saída, ou seja, x é o valor aproximado da raiz, k é o número de</p><p>iterações necessárias para a convergência e err é o erro obtido</p><p>na iteração de convergência.</p><p>Executando o arquivo, os resultados obtidos são:</p><p>Compare com os resultados obtidos e apresentados na</p><p>tabela. Teste o algoritmo com os dados do Exemplo 1.</p><p>Observação referente à convergência: Em geral, o método</p><p>de Newton é mais rápido que o método da bissecção.</p><p>Síntese</p><p>Neste capítulo o assunto principal é zero de função real.</p><p>Para a obtenção do zero de forma numérica precisamos passar</p><p>por duas fases:</p><p>• Fase 1: localização do intervalo que contém uma raiz. Nesta</p><p>fase aprendemos três maneiras de localização do intervalo:</p><p>aplicando o Teorema, traçando o gráfico da função e mo-</p><p>dificando a função inicial.</p><p>• Fase 2: refinamento do intervalo. Após a localização do</p><p>intervalo, precisamos aplicar um método de refinamento.</p><p>Neste capítulo estudamos dois: método da bisseção e método</p><p>de Newton-Raphson.</p><p>Ao longo do capítulo exemplos são resolvidos de forma</p><p>teórica, em seguida o algoritmo em MATLAB® é apresentado</p><p>e, finalmente, aplicações são resolvidas.</p><p>43CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exercício:</p><p>1. Utilize o método de Newton-Raphson para determinar as</p><p>raízes das funções abaixo com tolerância de 0,01. Determine</p><p>as raízes manualmente com o auxílio de uma tabela e depois</p><p>confirme seu resultado com o auxílio do algoritmo.</p><p>a. f(x) = 4 cos (x) - e²x, x ≥ 0</p><p>b. f(x) = 2x - 3x</p><p>c. f(x) = x⁵ - 3x³ + 2x² - 3x + 1</p><p>d. f(x) = 1 - xln (x)</p><p>2. Existem outros métodos de refinamento do intervalo, como</p><p>por exemplo, método da secante. Faça uma pesquisa biblio-</p><p>gráfica e explique quais são as diferenças entre o método</p><p>de Newton-Raphson e o método da secante. Exemplifique.</p><p>Respostas:</p><p>a. 0,5980</p><p>b. 0,4575 e 3,3134</p><p>c. -2,1605; 0,3771 e 1,6342</p><p>d. 1,7633</p><p>44CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>SISTEMAS</p><p>LINEARES</p><p>Métodos Iterativos Introdução</p><p>Uma equação linear de n incógnitas x₁, ⋯ ,xⁿ é uma equa-</p><p>ção da forma</p><p>a₁ x₁ + ⋯ + aⁿ xⁿ = b,</p><p>onde a₁, ⋯ ,aⁿ são constantes reais.</p><p>Uma solução para a equação linear acima é um conjunto</p><p>de números reais s₁, ⋯ ,sⁿ tais que quando substituímos</p><p>x₁ = s₁, ⋯, xⁿ = sⁿ</p><p>é satisfeita.</p><p>45CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exemplo 1</p><p>x2 + y = 6 não é linear.</p><p>O ponto (2, 4, 1) é uma solução da equação 3x + y - 2z = 8</p><p>pois 3 ∙ (2) + 4 - 2 ∙ (1) = 8</p><p>Um sistema de m equações lineares em n incógnitas é um</p><p>conjunto de equações lineares da forma</p><p>Podemos escrever um sistema linear como um produto de</p><p>matrizes Ax = b, onde A é a matriz de coeficientes, x é o vetor</p><p>solução e b é o vetor de termos independentes, ou seja:</p><p>O conjunto de todas as soluções é chamado conjunto so-</p><p>lução do sistema.</p><p>Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número</p><p>de soluções:</p><p>• Sistema Possível e Determinado (SPD): possui uma única</p><p>solução.</p><p>• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas</p><p>soluções.</p><p>• Sistema Impossível (SI): não tem solução.</p><p>Podemos considerar os métodos para resolução de sistemas</p><p>lineares como:</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 2 2 + ⋯ + =</p><p>46CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>I. Métodos diretos: a solução exata do sistema é determinada</p><p>a partir de um número finito de operações. Em um curso de</p><p>Álgebra Linear esses métodos são discutidos e, entre eles,</p><p>cita-se: regra de Cramer, inversão da matriz, escalonamento.</p><p>II. Métodos iterativos: é gerada uma sequência de vetores (solu-</p><p>ções) a partir de uma aproximação inicial (estimativa inicial).</p><p>Esses métodos serão nosso objeto de estudo neste curso.</p><p>Estudaremos os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.</p><p>Métodos Iterativos</p><p>O princípio dos métodos iterativos consiste em converter</p><p>um sistema Ax=b</p><p>em uma função matricial do tipo</p><p>x = F ∙ x + d</p><p>em que d e x são matrizes de ordem n×1 e F é uma matriz</p><p>de ordem n×n.</p><p>Considerando que x⁽⁰⁾ é a primeira aproximação, obtém-se</p><p>sucessivamente as aproximações:</p><p>Se lim max { xⁱ⁽</p><p>k ⁾ - xⁱ } = 0 então x⁽1⁾, x⁽2⁾, … , x⁽k ⁾, … é</p><p>uma solução do sistema linear. Quando se deseja uma dada</p><p>precisão ε, a cada iteração verifica-se o erro</p><p>Deste modo, a solução é aquela em que ε⁽k ⁾ < ϵ.</p><p>Método Iterativo de Gauss-Jacobi</p><p>Considere o sistema</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>47CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>onde aij ≠ 0, para todo i = j (elementos da diagonal prin-</p><p>cipal não nulos). Caso algum aij = 0 para i = j, trocam-se as</p><p>posições de algumas linhas de modo a torna-los não nulos.</p><p>O vetor x é obtido isolando as variáveis x1, x2, ⋯ ,xⁿ em</p><p>cada equação do sistema acima:</p><p>Esse conjunto de equações pode ser colocado na forma</p><p>x = F ∙ x + d:</p><p>O método de Gauss-Jacobi pode ser resumido da seguinte</p><p>forma:</p><p>a. Escolhe-se uma aproximação inicial x⁽⁰⁾.</p><p>b. Geram-se as aproximações sucessivas de x⁽k⁾ a partir da</p><p>fórmula iterativa.</p><p>c. Continua-se a gerar as aproximações até que o erro seja</p><p>menor que a tolerância desejada.</p><p>Observação: A justificativa para que, em geral, as apro-</p><p>ximações sucessivas, prescritas pelo método de Gauss-Jacobi</p><p>convirjam para o resultado correto das variáveis do sistema linear</p><p>reside no fato de que o erro associado a primeira aproximação</p><p>vai se diluindo nas sucessivas aproximações que levam ao valor</p><p>aproximado desejado.</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>48CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Exemplo 2</p><p>Aplique o método de Gauss-Jacobi para determinar a so-</p><p>lução aproximada do sistema</p><p>com precisão igual a 0,05 e x⁽⁰⁾ = [0,6 0,5 0,7 ]T.</p><p>Solução: Primeiramente, vamos determinar as equações</p><p>iterativas, para tal isola-se x₁ na primeira equação do sistema,</p><p>x₂ na segunda equação e x₃ na terceira. Assim, obtemos as</p><p>equações:</p><p>Pode-se utilizar a matriz, pois observe que o sistema acima</p><p>pode ser reescrito da forma x = F ∙ x + d; basta reescrever as</p><p>equações na forma matricial.</p><p>As aproximações podem ser obtidas utilizando-se o sistema</p><p>acima. Note que durante o processo iterativo</p><p>as matrizes F e d não são</p><p>alteradas. Por facilidade vamos</p><p>utilizar as equações na forma al-</p><p>gébrica:</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>( ) = max|</p><p>( +1)</p><p>−</p><p>( )</p><p>|.</p><p>11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1</p><p>21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2</p><p>⋮</p><p>1 1 + 2 2 + ⋯ + =</p><p>1 =</p><p>1 − 12 2 − ⋯ − 1</p><p>11</p><p>2 =</p><p>1 − 21 1 − ⋯ − 2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>=</p><p>− 1 1 − ⋯ − −1 −1</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] =</p><p>[</p><p>0 −</p><p>12</p><p>11</p><p>−</p><p>13</p><p>11</p><p>⋯ −</p><p>1</p><p>11</p><p>−</p><p>21</p><p>22</p><p>0 −</p><p>23</p><p>22</p><p>⋯ −</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>−</p><p>1</p><p>⋮</p><p>−</p><p>2</p><p>⋮</p><p>−</p><p>3</p><p>⋯</p><p>⋮</p><p>0 ]</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮ ] +</p><p>[</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>⋮</p><p>]</p><p>{</p><p>10 1 + 2 2 + 3 = 6</p><p>1 + 16 2 + 3 3 = 8</p><p>1 + 3 2 + 10 3 = 7</p><p>1 =</p><p>6 − 2 2 − 3</p><p>10</p><p>2 =</p><p>8 − 1 − 3 3</p><p>16</p><p>3 =</p><p>7 − 1 − 3 2</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>0 −2/10 −1/10</p><p>−1/16 0 −1/10</p><p>−1/10 −3/10 0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>+</p><p>6/10</p><p>8/16</p><p>7/10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>1</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>( )</p><p>− 3</p><p>( )</p><p>10</p><p>2</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 3</p><p>( )</p><p>16</p><p>3</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 2</p><p>( )</p><p>10</p><p>1</p><p>(1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(0)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,5) − (0,7)</p><p>10</p><p>= 0,4300</p><p>2</p><p>(1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 3</p><p>(0)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,6 − 3 ∙ (0,7)</p><p>16</p><p>= 0,3312</p><p>3</p><p>(1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 2</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,6 − 3 ∙ (0,5)</p><p>10</p><p>= 0,4900</p><p>1 = | 1</p><p>(1)</p><p>− 1</p><p>(0)</p><p>| = |0,43 − 0,6| = 0,17.</p><p>2 = | 2</p><p>(1)</p><p>− 2</p><p>(0)</p><p>| = |0,3313 − 0,5| = 0,1688.</p><p>3 = | 3</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>| = |0,49 − 0,7| = 0,21.</p><p>(1) = max{ 1, 2, 3} = 0,21 > 0,05.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3312) − 0,49</p><p>10</p><p>= 0,4847</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,43 − 3 ∙ (0,49)</p><p>16</p><p>= 0,3812</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3312)</p><p>10</p><p>= 0,5573</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,4847 − 0,43| = 0,0547.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3812 − 0,3312| = 0,05.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5573 − 0,49| = 0,0673.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0673 > 0,05.</p><p>1</p><p>(3)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,4847) − 0,5573</p><p>10</p><p>= 0,4680</p><p>2</p><p>(3)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(2)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4847 − 3 ∙ (0,5576)</p><p>16</p><p>= 0,3651</p><p>3</p><p>(3)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4847 − 3 ∙ (0,3812)</p><p>10</p><p>= 0,5371</p><p>1 = | 1</p><p>(3)</p><p>− 1</p><p>(2)</p><p>| = |0,4680 − 0,4847| = 0,0168.</p><p>2 = | 2</p><p>(3)</p><p>− 2</p><p>(2)</p><p>| = |0,3651 − 0,3812| = 0,0161.</p><p>3 = | 3</p><p>(3)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>| = |0,5371 − 0,5573| = 0,0205.</p><p>(3) = max{ 1, 2, 3} = 0,0205 < 0,05.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>0 −2/10 −1/10</p><p>−1/16 0 −1/10</p><p>−1/10 −3/10 0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>+</p><p>6/10</p><p>8/16</p><p>7/10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>1</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>( )</p><p>− 3</p><p>( )</p><p>10</p><p>2</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 3</p><p>( )</p><p>16</p><p>3</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 2</p><p>( )</p><p>10</p><p>1</p><p>(1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(0)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,5) − (0,7)</p><p>10</p><p>= 0,4300</p><p>2</p><p>(1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 3</p><p>(0)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,6 − 3 ∙ (0,7)</p><p>16</p><p>= 0,3312</p><p>3</p><p>(1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 2</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,6 − 3 ∙ (0,5)</p><p>10</p><p>= 0,4900</p><p>1 = | 1</p><p>(1)</p><p>− 1</p><p>(0)</p><p>| = |0,43 − 0,6| = 0,17.</p><p>2 = | 2</p><p>(1)</p><p>− 2</p><p>(0)</p><p>| = |0,3313 − 0,5| = 0,1688.</p><p>3 = | 3</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>| = |0,49 − 0,7| = 0,21.</p><p>(1) = max{ 1, 2, 3} = 0,21 > 0,05.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3312) − 0,49</p><p>10</p><p>= 0,4847</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,43 − 3 ∙ (0,49)</p><p>16</p><p>= 0,3812</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3312)</p><p>10</p><p>= 0,5573</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,4847 − 0,43| = 0,0547.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3812 − 0,3312| = 0,05.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5573 − 0,49| = 0,0673.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0673 > 0,05.</p><p>1</p><p>(3)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,4847) − 0,5573</p><p>10</p><p>= 0,4680</p><p>2</p><p>(3)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(2)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4847 − 3 ∙ (0,5576)</p><p>16</p><p>= 0,3651</p><p>3</p><p>(3)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4847 − 3 ∙ (0,3812)</p><p>10</p><p>= 0,5371</p><p>1 = | 1</p><p>(3)</p><p>− 1</p><p>(2)</p><p>| = |0,4680 − 0,4847| = 0,0168.</p><p>2 = | 2</p><p>(3)</p><p>− 2</p><p>(2)</p><p>| = |0,3651 − 0,3812| = 0,0161.</p><p>3 = | 3</p><p>(3)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>| = |0,5371 − 0,5573| = 0,0205.</p><p>(3) = max{ 1, 2, 3} = 0,0205 < 0,05.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>0 −2/10 −1/10</p><p>−1/16 0 −1/10</p><p>−1/10 −3/10 0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>+</p><p>6/10</p><p>8/16</p><p>7/10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>1</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>( )</p><p>− 3</p><p>( )</p><p>10</p><p>2</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 3</p><p>( )</p><p>16</p><p>3</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 2</p><p>( )</p><p>10</p><p>1</p><p>(1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(0)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,5) − (0,7)</p><p>10</p><p>= 0,4300</p><p>2</p><p>(1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 3</p><p>(0)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,6 − 3 ∙ (0,7)</p><p>16</p><p>= 0,3312</p><p>3</p><p>(1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 2</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,6 − 3 ∙ (0,5)</p><p>10</p><p>= 0,4900</p><p>1 = | 1</p><p>(1)</p><p>− 1</p><p>(0)</p><p>| = |0,43 − 0,6| = 0,17.</p><p>2 = | 2</p><p>(1)</p><p>− 2</p><p>(0)</p><p>| = |0,3313 − 0,5| = 0,1688.</p><p>3 = | 3</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>| = |0,49 − 0,7| = 0,21.</p><p>(1) = max{ 1, 2, 3} = 0,21 > 0,05.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3312) − 0,49</p><p>10</p><p>= 0,4847</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,43 − 3 ∙ (0,49)</p><p>16</p><p>= 0,3812</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3312)</p><p>10</p><p>= 0,5573</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,4847 − 0,43| = 0,0547.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3812 − 0,3312| = 0,05.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5573 − 0,49| = 0,0673.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0673 > 0,05.</p><p>1</p><p>(3)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,4847) − 0,5573</p><p>10</p><p>= 0,4680</p><p>2</p><p>(3)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(2)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4847 − 3 ∙ (0,5576)</p><p>16</p><p>= 0,3651</p><p>3</p><p>(3)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4847 − 3 ∙ (0,3812)</p><p>10</p><p>= 0,5371</p><p>1 = | 1</p><p>(3)</p><p>− 1</p><p>(2)</p><p>| = |0,4680 − 0,4847| = 0,0168.</p><p>2 = | 2</p><p>(3)</p><p>− 2</p><p>(2)</p><p>| = |0,3651 − 0,3812| = 0,0161.</p><p>3 = | 3</p><p>(3)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>| = |0,5371 − 0,5573| = 0,0205.</p><p>(3) = max{ 1, 2, 3} = 0,0205 < 0,05.</p><p>49CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>1ª Iteração (k = 1)</p><p>O processo deve continuar.</p><p>2ª Iteração (k = 2)</p><p>O processo deve continuar.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>0 −2/10 −1/10</p><p>−1/16 0 −1/10</p><p>−1/10 −3/10 0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>+</p><p>6/10</p><p>8/16</p><p>7/10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>1</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>( )</p><p>− 3</p><p>( )</p><p>10</p><p>2</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 3</p><p>( )</p><p>16</p><p>3</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 2</p><p>( )</p><p>10</p><p>1</p><p>(1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(0)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,5) − (0,7)</p><p>10</p><p>= 0,4300</p><p>2</p><p>(1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 3</p><p>(0)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,6 − 3 ∙ (0,7)</p><p>16</p><p>= 0,3312</p><p>3</p><p>(1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 2</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,6 − 3 ∙ (0,5)</p><p>10</p><p>= 0,4900</p><p>1 = | 1</p><p>(1)</p><p>− 1</p><p>(0)</p><p>| = |0,43 − 0,6| = 0,17.</p><p>2 = | 2</p><p>(1)</p><p>− 2</p><p>(0)</p><p>| = |0,3313 − 0,5| = 0,1688.</p><p>3 = | 3</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>| = |0,49 − 0,7| = 0,21.</p><p>(1) = max{ 1, 2, 3} = 0,21 > 0,05.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3312) − 0,49</p><p>10</p><p>= 0,4847</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,43 − 3 ∙ (0,49)</p><p>16</p><p>= 0,3812</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3312)</p><p>10</p><p>= 0,5573</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,4847 − 0,43| = 0,0547.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3812 − 0,3312| = 0,05.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5573 − 0,49| = 0,0673.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0673 > 0,05.</p><p>1</p><p>(3)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,4847) − 0,5573</p><p>10</p><p>= 0,4680</p><p>2</p><p>(3)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(2)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4847 − 3 ∙ (0,5576)</p><p>16</p><p>= 0,3651</p><p>3</p><p>(3)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4847 − 3 ∙ (0,3812)</p><p>10</p><p>= 0,5371</p><p>1 = | 1</p><p>(3)</p><p>− 1</p><p>(2)</p><p>| = |0,4680 − 0,4847| = 0,0168.</p><p>2 = | 2</p><p>(3)</p><p>− 2</p><p>(2)</p><p>| = |0,3651 − 0,3812| = 0,0161.</p><p>3 = | 3</p><p>(3)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>| = |0,5371 − 0,5573| = 0,0205.</p><p>(3) = max{ 1, 2, 3} = 0,0205 < 0,05.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>0 −2/10 −1/10</p><p>−1/16 0 −1/10</p><p>−1/10 −3/10 0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>+</p><p>6/10</p><p>8/16</p><p>7/10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>1</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>( )</p><p>− 3</p><p>( )</p><p>10</p><p>2</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 3</p><p>( )</p><p>16</p><p>3</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 2</p><p>( )</p><p>10</p><p>1</p><p>(1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(0)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,5) − (0,7)</p><p>10</p><p>= 0,4300</p><p>2</p><p>(1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 3</p><p>(0)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,6 − 3 ∙ (0,7)</p><p>16</p><p>= 0,3312</p><p>3</p><p>(1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 2</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,6 − 3 ∙ (0,5)</p><p>10</p><p>= 0,4900</p><p>1 = | 1</p><p>(1)</p><p>− 1</p><p>(0)</p><p>| = |0,43 − 0,6| = 0,17.</p><p>2 = | 2</p><p>(1)</p><p>− 2</p><p>(0)</p><p>| = |0,3313 − 0,5| = 0,1688.</p><p>3 = | 3</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>| = |0,49 − 0,7| = 0,21.</p><p>(1) = max{ 1, 2, 3} = 0,21 > 0,05.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3312) − 0,49</p><p>10</p><p>= 0,4847</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,43 − 3 ∙ (0,49)</p><p>16</p><p>= 0,3812</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3312)</p><p>10</p><p>= 0,5573</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,4847 − 0,43| = 0,0547.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3812 − 0,3312| = 0,05.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5573 − 0,49| = 0,0673.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0673 > 0,05.</p><p>1</p><p>(3)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,4847) − 0,5573</p><p>10</p><p>= 0,4680</p><p>2</p><p>(3)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(2)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4847 − 3 ∙ (0,5576)</p><p>16</p><p>= 0,3651</p><p>3</p><p>(3)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4847 − 3 ∙ (0,3812)</p><p>10</p><p>= 0,5371</p><p>1 = | 1</p><p>(3)</p><p>− 1</p><p>(2)</p><p>| = |0,4680 − 0,4847| = 0,0168.</p><p>2 = | 2</p><p>(3)</p><p>− 2</p><p>(2)</p><p>| = |0,3651 − 0,3812| = 0,0161.</p><p>3 = | 3</p><p>(3)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>| = |0,5371 − 0,5573| = 0,0205.</p><p>(3) = max{ 1, 2, 3} = 0,0205 < 0,05.</p><p>50CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>3ª Iteração (k = 3)</p><p>O processo deve ser interrompido pois a tolerância desejada</p><p>foi atingida.</p><p>A solução aproximada para o sistema [0,4680, 0,3651,</p><p>0,5371]T foi obtida na 3ª iteração com erro de 0,0205.</p><p>O Algoritmo</p><p>A f igura ao</p><p>lado apresenta um</p><p>exemplo de algorit-</p><p>mo de Gauss-Jacobi</p><p>em MATLAB®</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>0 −2/10 −1/10</p><p>−1/16 0 −1/10</p><p>−1/10 −3/10 0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>+</p><p>6/10</p><p>8/16</p><p>7/10</p><p>(1) = ∙ (0) +</p><p>(2) = ∙ (1) +</p><p>⋮ = ⋮</p><p>( +1) = ∙ ( ) +</p><p>1</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>( )</p><p>− 3</p><p>( )</p><p>10</p><p>2</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 3</p><p>( )</p><p>16</p><p>3</p><p>( +1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>( )</p><p>− 3 2</p><p>( )</p><p>10</p><p>1</p><p>(1)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(0)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,5) − (0,7)</p><p>10</p><p>= 0,4300</p><p>2</p><p>(1)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 3</p><p>(0)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,6 − 3 ∙ (0,7)</p><p>16</p><p>= 0,3312</p><p>3</p><p>(1)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(0)</p><p>− 3 2</p><p>(0)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,6 − 3 ∙ (0,5)</p><p>10</p><p>= 0,4900</p><p>1 = | 1</p><p>(1)</p><p>− 1</p><p>(0)</p><p>| = |0,43 − 0,6| = 0,17.</p><p>2 = | 2</p><p>(1)</p><p>− 2</p><p>(0)</p><p>| = |0,3313 − 0,5| = 0,1688.</p><p>3 = | 3</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(0)</p><p>| = |0,49 − 0,7| = 0,21.</p><p>(1) = max{ 1, 2, 3} = 0,21 > 0,05.</p><p>1</p><p>(2)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(1)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,3312) − 0,49</p><p>10</p><p>= 0,4847</p><p>2</p><p>(2)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 3</p><p>(1)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,43 − 3 ∙ (0,49)</p><p>16</p><p>= 0,3812</p><p>3</p><p>(2)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(1)</p><p>− 3 2</p><p>(1)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,43 − 3 ∙ (0,3312)</p><p>10</p><p>= 0,5573</p><p>1 = | 1</p><p>(2)</p><p>− 1</p><p>(1)</p><p>| = |0,4847 − 0,43| = 0,0547.</p><p>2 = | 2</p><p>(2)</p><p>− 2</p><p>(1)</p><p>| = |0,3812 − 0,3312| = 0,05.</p><p>3 = | 3</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(1)</p><p>| = |0,5573 − 0,49| = 0,0673.</p><p>(2) = max{ 1, 2, 3} = 0,0673 > 0,05.</p><p>1</p><p>(3)</p><p>=</p><p>6 − 2 2</p><p>(2)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>6 − 2 ∙ (0,4847) − 0,5573</p><p>10</p><p>= 0,4680</p><p>2</p><p>(3)</p><p>=</p><p>8 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 3</p><p>(2)</p><p>16</p><p>=</p><p>8 − 0,4847 − 3 ∙ (0,5576)</p><p>16</p><p>= 0,3651</p><p>3</p><p>(3)</p><p>=</p><p>7 − 1</p><p>(2)</p><p>− 3 2</p><p>(2)</p><p>10</p><p>=</p><p>7 − 0,4847 − 3 ∙ (0,3812)</p><p>10</p><p>= 0,5371</p><p>1 = | 1</p><p>(3)</p><p>− 1</p><p>(2)</p><p>| = |0,4680 − 0,4847| = 0,0168.</p><p>2 = | 2</p><p>(3)</p><p>− 2</p><p>(2)</p><p>| = |0,3651 − 0,3812| = 0,0161.</p><p>3 = | 3</p><p>(3)</p><p>− 3</p><p>(2)</p><p>| = |0,5371 − 0,5573| = 0,0205.</p><p>(3) = max{ 1, 2, 3} = 0,0205 < 0,05.</p><p>51CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Digite os comandos acima em um</p>9] = 8,68 
 
∫ 2
3
1
=
3
3
|
1
3
=
33
3
−
13
3
=
26
3
≈ 8,6667 
 
∫
cos ( )
1 +
1
0
 
 
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 2
3
1
≈ 1 + 2 + ⋯ + 10
=
( (1,2) + (1))
2
+
( (1,4) + (1,2))
2
+ ⋯
+
( (2,8) + (3))
2
 
∫ 2
3
1
≈
2
[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)
+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)] 
∫ 2
3
1
≈
0,2
2
[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2
∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68 
 
∫ 2
3
1
=
3
3
|
1
3
=
33
3
−
13
3
=
26
3
≈ 8,6667 
 
∫
cos ( )
1 +
1
0
 
 
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
90CÁLCULO NUMÉRICO
Agora, podemos determinar o valor aproximado da integral 
substituindo os valores na fórmula encontrada.
Algebricamente,
Comparando os resultados através do erro absoluto temos:
EA =| exato-aproximado | = | 8,6667 - 8,68 | = 0,0133.
Como obter um resultado mais próximo ao valor exato? 
Basta aumentar o número de trapézios.
Usando o MATLAB®
O programa possui o comando trapz(x,y), onde as entra-
das são os valores de extremos dos subintervalos (x) e as suas 
respectivas imagens (y).
Exemplo 2
a. Calcular a integral com 10 subintervalos usando 
a função trapz.
b. Repita o item a) com 20 subintevalos.
∫ 2
3
1
≈ 1 + 2 + ⋯ + 10
=
( (1,2) + (1))
2
+
( (1,4) + (1,2))
2
+ ⋯
+
( (2,8) + (3))
2
 
∫ 2
3
1
≈
2
[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)
+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)] 
∫ 2
3
1
≈
0,2
2
[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2
∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68 
 
∫ 2
3
1
=
3
3
|
1
3
=
33
3
−
13
3
=
26
3
≈ 8,6667 
 
∫
cos ( )
1 +
1
0
 
 
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 2
3
1
≈ 1 + 2 + ⋯ + 10
=
( (1,2) + (1))
2
+
( (1,4) + (1,2))
2
+ ⋯
+
( (2,8) + (3))
2
 
∫ 2
3
1
≈
2
[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)
+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)] 
∫ 2
3
1
≈
0,2
2
[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2
∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68 
 
∫ 2
3
1
=
3
3
|
1
3
=
33
3
−
13
3
=
26
3
≈ 8,6667 
 
∫
cos ( )
1 +
1
0
 
 
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
91CÁLCULO NUMÉRICO
Solução:
a.
b. Para aumentar o número de trapézios basta alterar o valor de n no programa.
Síntese
Este capítulo finaliza a disciplina, 
mas não os estudos. A estrada é longa, 
mas não tenha pressa. Ande devagar, se 
for preciso, mas não pare!
Pesquise sobre outras técnicas. Este 
material é um resumo de algumas téc-
nicas, portanto se você tiver interesse, 
pesquise e aprenda outras técnicas nu-
méricas.
92CÁLCULO NUMÉRICO
Neste capítulo estudamos a técnica conhecida como a regra 
dos trapézios utilizada para a resolução de integrais definidas. 
A técnica é muito simples, basicamente se resume ao cálculo 
de áreas de trapézios. Podemos utilizá-la quando a função do 
integrando é muito complicada ou em regiões em que a fun-
ção não é conhecida, por exemplo. Nos exercícios você poderá 
aplicar a técnica em diferentes situações. Bons estudos!
Exercícios:
1. Calcule as integrais da função f(x) = x², usando a regra dos 
trapézios, no intervalo [1,5], dividindo o intervalo em
 4 subintervalos
 8 subintervalos
 16 subintervalos
2. Calcule a integral definida acima, analiticamente, e determine 
o erro relativo cometido nos itens a), b) e c).
3. Calcule o valor da integral abaixo dividindo o intervalo de 
integração em 20 subintervalos.
∫ 2
3
1
≈ 1 + 2 + ⋯ + 10
=
( (1,2) + (1))
2
+
( (1,4) + (1,2))
2
+ ⋯
+
( (2,8) + (3))
2
 
∫ 2
3
1
≈
2
[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)
+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)] 
∫ 2
3
1
≈
0,2
2
[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2
∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68 
 
∫ 2
3
1
=
3
3
|
1
3
=
33
3
−
13
3
=
26
3
≈ 8,6667 
 
∫
cos ( )
1 +
1
0
 
 
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 2
3
1
≈ 1 + 2 + ⋯ + 10
=
( (1,2) + (1))
2
+
( (1,4) + (1,2))
2
+ ⋯
+
( (2,8) + (3))
2
 
∫ 2
3
1
≈
2
[ (1) + 2 (1,2) + 2 (1,4) + 2 (1,6) + 2 (1,8) + 2 (2) + 2 (2,2)
+ 2 (2,4) + 2 (2,6) + 2 (2,8) + (3)] 
∫ 2
3
1
≈
0,2
2
[1 + 2 ∙ 1,44 + 2 ∙ 1,96 + 2 ∙ 2,56 + 2 ∙ 3,24 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 4,84 + 2
∙ 5,76 + 2 ∙ 6,76 + 2 ∙ 7,84 + 9] = 8,68 
 
∫ 2
3
1
=
3
3
|
1
3
=
33
3
−
13
3
=
26
3
≈ 8,6667 
 
∫
cos ( )
1 +
1
0
 
 
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
V(m3)
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
P(kg/m2)
80
72
64
53
44
31
22
1. a) 42 b) 41,5 c) 41,375.
A solução analítica é 41,3333. 
2. Aproximadamente 0,6011
3. 157,5
93CÁLCULO NUMÉRICO
Referências
GILAT Amos. Matlab com aplicações para engenharia. 3 ed. LTC, 1999.
CHAPMAN, Stephen J. Programação em Matlab para Engenheiros - 2ª Ed. Editora: Cengage Learning, 2011.
CHAPRA, Steven C.; CHAPRA, Steven C. Métodos Numéricos Aplicados Com Matlab Para Engenheiros e Cientistas. 3ª 
Ed Bookman , 2013.
DORNELLES FILHO, Adalberto Ayjara. Cálculo Numérico. Porto Alegre: Bookman, 2016.
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Cengage Le-
arning, 2010. 
FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. 1 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
RUGIERO, M.A.G., LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: Makron Books, 1996.
MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henty Monken e; SPERANDIO, Décio. Cálculo numérico. 2 ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2014. 
	ERROS COMPUTACIONAIS
	Erros na Fase da Modelagem
	Erros na Fase de Resolução
	Representação Numérica
	Equações Algébricas e Transcendentes 
	Isolamento das raízes
	Método da Bissecção
	Método de Newton-Raphson
	O Algoritmo
	Sistemas Lineares
	Métodos Iterativos
	Método Iterativo de Gauss-Jacobi
	O Algoritmo
	Método Iterativo de Gauss-Seidel
	O Algoritmo
	Interpolação Polinomial 
	Interpolação de Lagrange
	O Algoritmo
	Ajuste de Curvas
	Resíduo Quadrático
	Integração Numérica