MATEMÁTICA - SIMULADO 02 - ACELERE SUA CARREIRA

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<p>9 ACERTOS DE 10 – SE POSSÍVEL, COMPARTILHE NOS COMENTÁRIOS A RESPOSTA ERRADA!</p><p>QUESTÃO 01</p><p>Uma fábrica de brinquedos está desenvolvendo um novo modelo de pião que terá o formato de um cone circular reto. A base do cone terá um raio de medida 4 cm e a altura do cone será de 12 cm. O objetivo da fábrica é criar um pião que seja esteticamente agradável e que tenha um bom desempenho ao girar. Para isso, os engenheiros da fábrica estão considerando não apenas as dimensões do pião, mas também o material a ser utilizado, que deve ser leve e resistente. Além disso, a fábrica está preocupada com a segurança do brinquedo, garantindo que todas as bordas sejam suavemente arredondadas para evitar qualquer risco de machucado às crianças. A escolha do formato cônico foi tomada com base em estudos que mostram que este formato permite uma rotação mais estável e prolongada, o que aumenta a diversão para as crianças. Com esses dados, é possível calcular o volume do pião para determinar a quantidade de material necessária para sua fabricação.</p><p>Considerando o volume V do pião para os dados apresentados, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a) V = 64? cm³</p><p>· b) V = 192? cm³</p><p>· c) V = 128? cm³</p><p>· d) V = 64 cm³</p><p>· e) V = 192 cm³</p><p>QUESTÃO 02</p><p>As equações diferenciais parciais (EDPs) são fundamentais para modelar fenômenos naturais e artificiais em diversas áreas como Física, Engenharia, Economia e Biologia. Elas permitem descrever a propagação de calor, dinâmica de fluidos, ondas e muitos outros processos. Em Engenharia, são essenciais para o design de sistemas complexos, enquanto na Economia ajudam a precificar derivativos financeiros. Na Biologia, modelam a difusão de substâncias e a propagação de doenças. As EDPs também são fundamentais na Meteorologia para previsões climáticas. Além disso, são uma área importante da Matemática Pura e Computação Científica, com aplicações em simulações de alta fidelidade. Exemplos notáveis incluem a equação de Laplace, a equação do calor, a equação da onda e as equações de Navier-Stokes. Em uma aplicação de engenharia, foi deduzida uma equação diferencial parcial ux = 5x. O engenheiro responsável precisa encontrar a solução geral dessa equação para poder avançar nas suas análises e chegar em algumas conclusões fundamentais.</p><p>Considerando a solução geral u(x, y) da equação apresentada, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a)</p><p>· b)</p><p>· c)</p><p>· d)</p><p>· e)</p><p>QUESTÃO 03</p><p>As equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem são essenciais para modelar fenômenos em várias áreas. Em Mecânica Clássica, descrevem o movimento de osciladores harmônicos e pêndulos. Em Circuitos Elétricos, modelam circuitos RLC. Em Engenharia Estrutural, analisam a flexão de vigas. Também são usadas para estudar vibrações de cordas e sistemas massa-mola-amortecedor. Exemplos incluem a equação de movimento harmônico simples e a equação de Euler-Cauchy. Essas EDOs são fundamentais para entender e projetar sistemas dinâmicos complexos.</p><p>Além disso, essas equações são muito importantes na análise de sistemas de controle, onde ajudam a prever a resposta de sistemas a diferentes entradas. Em Física Quântica, são usadas para resolver a equação de Schrödinger, que descreve o comportamento de partículas subatômicas. Na Biologia, modelam o crescimento populacional e a propagação de doenças, fornecendo insights valiosos para a compreensão de processos naturais.</p><p>Equações diferenciais ordinárias de ordem 2, homogêneas e lineares com coeficientes constantes são da forma ay'' + by' + cy = 0 e possuem duas classes de soluções linearmente independentes.</p><p>Considerando a solução geral da equação diferencial y'' + 4y' + 4y = 0, e que c1 e c2 são constantes reais, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a) (TESTEI)</p><p>· b)</p><p>· c)</p><p>· d)</p><p>· e)</p><p>QUESTÃO 04</p><p>Uma escola está planejando a construção de uma nova área de recreação para os alunos, visando proporcionar um espaço seguro e divertido para as atividades ao ar livre. O projeto inclui uma área composta por três figuras geométricas, conforme ilustrado na figura 1: um triângulo retângulo, um semicírculo e um quadrado. O triângulo retângulo tem catetos de medidas 6 metros e 8 metros. O semicírculo está posicionado de forma que seu diâmetro coincide com um dos lados do quadrado. O quadrado, por sua vez, tem lado medindo 6 metros.</p><p>A escolha dessas figuras geométricas foi baseada em um estudo que visa proporcionar um espaço diversificado e estimulante para as crianças. O triângulo retângulo será utilizado como uma área de jogos, o semicírculo como uma área de descanso com bancos ao redor, e o quadrado como uma área central de atividades.</p><p>O objetivo é calcular a área total dessa composição para determinar a quantidade de material necessário para cobrir o chão da área de recreação.</p><p>Figura 1: Composição do piso de um espaço de recreação de uma escola.</p><p>Considerando o cálculo da área total A do novo espaço de recreação com os dados apresentados, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a)</p><p>· b)</p><p>· c)</p><p>· d)</p><p>· e)</p><p>QUESTÃO 05</p><p>Um sistema linear é composto por um conjunto de equações lineares que compartilham as mesmas variáveis. Cada equação pode ser expressa na forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, onde a1, a2, ..., an são coeficientes, x1, x2, ..., xn são variáveis e b é uma constante.</p><p>Esses sistemas podem ter uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Adotando um sistema linear de duas equações com duas variáveis, pode-se realizar uma análise gráfica de cada caso: uma solução única ocorre quando as equações representam linhas que se intersectam em um único ponto; infinitas soluções surgem quando as equações representam a mesma linha, indicando dependência linear; nenhuma solução é o resultado de equações que representam linhas paralelas que, obviamente, nunca se cruzam. Para resolver sistemas lineares, podem ser utilizados métodos como substituição, eliminação e técnicas baseadas em matrizes, como o método de Gauss-Jordan.</p><p>Considerando as informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. Um sistema linear com duas equações e duas variáveis sempre terá uma solução única.</p><p>II. A forma geral de uma equação linear em um sistema é a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, onde a1, a2, ..., an são coeficientes, x1, x2, ..., xn são variáveis.</p><p>III. Se as equações de um sistema linear de duas equações e duas variáveis representarem a mesma linha, o sistema terá infinitas soluções.</p><p>IV. Um sistema linear com duas equações e duas variáveis pode ser resolvido apenas por métodos baseados em matrizes.</p><p>Considerando o contexto apresentado, é correto APENAS o que se afirma em:</p><p>Alternativas:</p><p>· a) I e III.</p><p>· b) II e IV.</p><p>· c) I, II e III.</p><p>· d) II e III.</p><p>· e) I, II, III e IV.</p><p>QUESTÃO 06</p><p>Vetores são entidades matemáticas fundamentais que apresentam magnitude e direção. Eles são amplamente utilizados em diversas áreas, como Física, Engenharia e Computação Gráfica. As operações com vetores são ferramentas essenciais para resolver problemas em várias disciplinas científicas e de engenharia. Compreender como realizar essas operações permite manipular e interpretar vetores de maneira eficaz, facilitando a análise e a solução de problemas complexos.</p><p>Em Álgebra Linear, a operação de adição de vetores é uma das operações mais fundamentais.Considere dois vetores no espaço bidimensional, u e v, dados por u = (u1, u2) e v = (v1, v2), respectivamente. Assim, segue que o vetor soma é dado por u + v = (u1 + v1, u2 + v2).</p><p>Outra operação fundamental é a multiplicação de um vetor por um escalar ?, que é realizada multiplicando-se cada componente do vetor pelo escalar. Desse modo, tem-se:</p><p>?u = (?u1, ?u2)</p><p>Com base no contexto apresentado, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.</p><p>I. A multiplicação de um vetor por um escalar em um espaço n-dimensional é distributiva em relação à adição de vetores.</p><p>PORQUE</p><p>II. Para quaisquer vetores u e v em um espaço n-dimensional e um escalar ?, a multiplicação por escalar é dada por ?(u + v) = ?u + ?v.</p><p>A respeito</p><p>dessas asserções, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.</p><p>· b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.</p><p>· c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.</p><p>· d) A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.</p><p>· e) As asserções I e II são proposições falsas.</p><p>QUESTÃO 07</p><p>A equação da reta desempenha um papel essencial na Engenharia por diversas razões. Em projetos estruturais e de sistemas, ela modela trajetórias e define alinhamentos críticos. Na análise de forças e movimentos em estruturas, a equação da reta é fundamental para calcular tensões e distribuições de carga. Em planejamento urbano e infraestrutura, como no desenho de estradas e redes de transporte, ela determina caminhos eficientes e seguros. Na representação gráfica de projetos, facilita a comunicação visual e a interpretação de informações espaciais. Além disso, em aplicações de controle e automação, define trajetórias precisas para movimento e posicionamento de componentes. Em suma, a equação da reta proporciona uma base matemática robusta para a modelagem, análise e planejamento de sistemas complexos na engenharia.</p><p>A equação da reta que passa por dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano pode ser determinada utilizando a fórmula da inclinação da reta (m) e a equação ponto-inclinação.</p><p>Com a inclinação conhecida, a equação da reta pode ser expressa como: y - yA = m(x – xA), onde</p><p>é a inclinação da reta que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano.</p><p>Considerando a equação da reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 6), assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a) A equação de r é dada por y – 2 = 2(x – 1).</p><p>· b) A equação de r é dada por y – 2 = –2(x – 1).</p><p>· c) A equação de r é dada por y – 1 = 2(x – 2).</p><p>· d) A equação de r é dada por y + 2 = –2(x + 1). (TESTEI)</p><p>· e)A equação de r é dada por y + 2 = 2(x + 1).</p><p>QUESTÃO 08</p><p>Diversas leis importantes da Engenharia são expressas por meio de retas ou semirretas que passam pela origem do sistema cartesiano que relaciona duas grandezas. Essa característica denota uma proporcionalidade entre as variáveis descritas por estas leis. Na Ciência de Materiais, a Lei de Hooke ilustra bem este comportamento, quando o material é submetido a um carregamento que não excede o limite de elasticidade do material, a deformação é proporcional à tensão gerada pela aplicação de uma força em um componente. De modo geral, quando uma grandeza y é diretamente proporcional à outra grandeza x, a relação entre essas grandezas é da forma y = mx, sendo m uma constante.</p><p>Considere uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. A equação dessa reta pode ser expressa na forma y = mx, onde m é o coeficiente angular da reta. Essa forma simplificada da equação da reta é particularmente útil para entender a relação entre a inclinação da reta e o valor de m.</p><p>Considerando as informações apresentadas sobre retas que passam pela origem do sistema de coordenadas, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. Se o coeficiente angular for positivo e aumentar cada vez mais, a reta inclinará-se em direção ao eixo y, no sentido anti-horário.</p><p>II. Se o coeficiente angular for negativo e diminuir cada vez mais, a reta inclinará-se em direção ao eixo y, no sentido horário.</p><p>III. Se o coeficiente angular for zero, a reta coincidirá com o eixo y, ou seja, com o eixo das ordenadas.</p><p>IV. Independentemente do valor do coeficiente angular, a reta não terá intersecção com qualquer um dos eixos.</p><p>Considerando o contexto apresentado, é correto APENAS o que se afirma em:</p><p>Alternativas:</p><p>· a) I e II.</p><p>· b) I e III.</p><p>· c) II e IV.</p><p>· d) I, II e IV.</p><p>· e) I, II, III e IV.</p><p>QUESTÃO 09</p><p>Considere a função a seguir:</p><p>Assumiremos que esta função representa a posição de uma partícula ao longo de uma linha reta em função do tempo x. Para entender melhor o movimento da partícula, é necessário determinar a velocidade e a aceleração em qualquer instante x. Sabe-se que a velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo, e é representada por f'(x). Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição em relação ao tempo, e é representada por f''(x).</p><p>Além disso, é importante identificar os pontos críticos da função para determinar onde a partícula muda de direção. Esses pontos críticos são encontrados resolvendo f'(x) = 0.</p><p>Com base nisso, é possível analisar de forma mais assertiva o comportamento da partícula ao longo do tempo, identificando intervalos de aumento e diminuição da função, bem como os pontos de máximo e mínimo locais, o que é interessante em problemas de Física, Engenharia, dentre outros.</p><p>Considerando a função f(x) apresentada no texto, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x² – 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x – 12. Os pontos críticos são x = 1 e x = 3.</p><p>· b) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x² + 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x – 12. Os pontos críticos são x = –1 e x = –3. (TESTEI)</p><p>· c) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x² – 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x + 12. Os pontos críticos são x = –1 e x = –3.</p><p>· d) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x² + 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x + 12. Os pontos críticos são x = 1 e x = 3.</p><p>· e) A velocidade da partícula é dada por f'(x) = 3x² – 12x + 9 e a aceleração é dada por f''(x) = 6x + 12. Os pontos críticos são x = 1 e x = 3.</p><p>QUESTÃO 10</p><p>A integração por partes é uma técnica versátil e essencial no Cálculo Integral, facilitando a resolução de integrais que envolvem produtos de funções, funções logarítmicas, funções inversas trigonométricas e outras formas complexas. Em alguns casos, a integração por partes pode ser usada iterativamente para reduzir uma integral complexa a uma forma mais simples ou a uma integral conhecida. A integração por partes é frequentemente usada em análises de séries de Fourier e transformadas de Fourier, onde produtos de funções seno, cosseno e exponenciais aparecem. Em alguns métodos de solução de equações diferenciais, a integração por partes é usada para simplificar termos e encontrar soluções.</p><p>Por exemplo, para resolver a integral , utilizamos a fórmula de integração por partes:</p><p>Para resolver a integral devemos eleger os termos u e dv. Para tal, identificamos as partes da função original que serão u e dv. Uma escolha comum é usar a estratégia LIATE (Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas, Exponenciais) para ajudar a decidir qual função deve ser u.</p><p>A integração por partes é uma ferramenta poderosa que, quando usada corretamente, pode simplificar a resolução de integrais complexas.</p><p>Considerando a fórmula de integração por partes e a integral apresentada, assinale a alternativa correta.</p><p>Alternativas:</p><p>· a)</p><p>· b)</p><p>· c)</p><p>· d)</p><p>· e) (TESTEI)</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p><p>image21.png</p><p>image22.png</p><p>image23.png</p><p>image24.png</p><p>image25.png</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p>