Medidas de Dispersão em Matemática

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<p>Matemática da densitometria Óssea</p><p>Medidas de dispersão:</p><p>desvio médio, desvio-padrão e variância</p><p>MÉDIA ARITMÉTICA (MA)</p><p>A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.</p><p>Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?</p><p>REVISANDO</p><p>SOLUÇÃO</p><p>MA = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5</p><p>MA = 30/5</p><p>MA = 6</p><p>Note que somamos os cinco números e dividimos pelo total deles, ou seja, por cinco.</p><p>REVISANDO</p><p>MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO</p><p>Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo:</p><p>1, 6, 4, 10, 9</p><p>SITUAÇÃO-PROBLEMA</p><p>A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é:</p><p>MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5</p><p>MA = 30/5</p><p>MA = 6</p><p>A média aritmética é 6.</p><p>MÉDIA ARITMÉTICA</p><p>DESVIO</p><p>Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores.</p><p>Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:</p><p>desvio do valor 1 1 - 6 = -5</p><p>desvio do valor 6 6 - 6 = 0</p><p>desvio do valor 4 4 - 6 = -2</p><p>desvio do valor 10 10 - 6 = 4</p><p>desvio do valor 9 9 - 6 = 3</p><p>Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.</p><p>A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3, vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.</p><p>DESVIO MÉDIO</p><p>Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios.</p><p>No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:</p><p>DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)/5</p><p>DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)/5</p><p>DM = 14/5</p><p>DM = 2,8</p><p>O desvio médio é 2,8.</p><p>O módulo garante que o valor seja positivo.</p><p>EXs.:</p><p>+3 = 3</p><p>-3 = 3</p><p>VARIÂNCIA</p><p>Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição.</p><p>Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:</p><p>V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5</p><p>V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)/5</p><p>V = 54/5</p><p>V = 10,8</p><p>A variância é 10,8.</p><p>DESVIO PADRÃO</p><p>Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:</p><p>DP = V</p><p>No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8  3,28.</p><p>O desvio padrão é  3,28.</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;</p><p>quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;</p><p>o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:</p><p>o desvio médio;</p><p>a variância;</p><p>o desvio padrão.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:</p><p>MA = (2+4+6+12)/4 = 24/4 = 6</p><p>a) DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)/4 = 12/4 = 3</p><p>b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14</p><p>c) DP = 14 = 3,74</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine:</p><p>a média aritmética;</p><p>o desvio médio;</p><p>a variância;</p><p>o desvio padrão.</p><p>JOGADORES	LANÇAMENTOS	ACERTOS</p><p>MÁRCIO	10 arremessos de cada jogador	6</p><p>MURIEL		4</p><p>JONAS		8</p><p>EDSON		2</p><p>ROMUALDO		7</p><p>SOLUÇÃO</p><p>d) DP = 4,64 = 2,15</p><p>a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4</p><p>b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5</p><p>DM = 1,92</p><p>c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5</p><p>V = 4,64</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.</p><p>Taxistas	segunda	terça	quarta	quinta</p><p>I	10	9	23	12</p><p>II	16	18	8	32</p><p>III	25	17	30	10</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância.</p><p>Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos:</p><p>MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5</p><p>MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5</p><p>MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5</p><p>Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas.</p><p>VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25</p><p>VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75</p><p>VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o</p><p>consumo dos carros dos três taxistas.</p><p>DPI = 31,25  5,59 litros</p><p>DPII = 74,75  8,64 litros</p><p>DPIII = 58,25  7,63 litros</p><p>Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I</p><p>teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio</p><p>padrão é o menor.</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê?</p><p>Oferta 1	Oferta 2</p><p>Média Salarial	890,00	950,00</p><p>Mediana	800,00	700,00</p><p>Desvio Padrão	32,00	38,00</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.</p><p>Exercício de aplicação</p><p>Os valores da densitometria óssea (em g/cm²) de um grupo de 5 pacientes para a coluna lombar foram os seguintes:</p><p>Paciente 1: 1.02</p><p>Paciente 2: 1.18</p><p>Paciente 3: 0.97</p><p>Paciente 4: 1.05</p><p>Paciente 5: 1.11</p><p>Tarefa:</p><p>Calcule a média aritmética.</p><p>Calcule a variância.</p><p>Calcule o desvio padrão.</p><p>.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>SOLUÇÃO</p><p>SOLUÇÃO</p><p>MATEMÁTICA, 1º Ano</p><p>Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância</p><p>SOLUÇÃO</p><p>MATEMÁTICA, 1º Ano</p><p>Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância</p><p>Exercício de aplicação</p><p>Os valores da densitometria óssea (em g/cm²) de um grupo de 6 pacientes para o fêmur proximal foram os seguintes:</p><p>Paciente 1: 0.85</p><p>Paciente 2: 0.90</p><p>Paciente 3: 0.88</p><p>Paciente 4: 0.91</p><p>Paciente 5: 0.87</p><p>Paciente 6: 0.89</p><p>Tarefa:</p><p>Calcule a média aritmética.</p><p>Calcule a variância.</p><p>Calcule o desvio padrão.</p><p>Exercício de aplicação</p><p>Os valores da densitometria óssea (em g/cm²) de um grupo de 7 pacientes para o antebraço distal foram os seguintes:</p><p>Paciente 1: 0.75</p><p>Paciente 2: 0.81</p><p>Paciente 3: 0.79</p><p>Paciente 4: 0.83</p><p>Paciente 5: 0.77</p><p>Paciente 6: 0.80</p><p>Paciente 7: 0.82</p><p>Tarefa:</p><p>Calcule a média aritmética.</p><p>Calcule a variância.</p><p>Calcule o desvio padrão.</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p>