Razão entre Perímetros e Áreas de Figuras Semelhantes

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<p>Investigando a razão entre os perímetros e as áreas de figuras semelhantes</p><p>Matemática</p><p>2o bimestre - Aula 4</p><p>Ensino Médio</p><p>3a</p><p>SÉRIE</p><p>2024_EM_V1</p><p>Razão entre os perímetros de figuras semelhantes e a razão entre suas áreas.</p><p>Investigar a relação entre a razão de semelhança estabelecida entre figuras e a razão de seus respectivos perímetros ou áreas;</p><p>Calcular o perímetro e a área de uma figura ampliada ou reduzida, a partir do perímetro e da área da figura original e da razão de semelhança estabelecida entre essas figuras.</p><p>(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.</p><p>(EM13MAT105) Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e de transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).</p><p>Para começar: 5 min​</p><p>Foco no conteúdo: 10 min​</p><p>Na prática:  20 min​</p><p>Aplicando: 10 min​</p><p>​</p><p>2</p><p>A soma das áreas dos polígonos regulares contidos no quadro 1 é maior, menor ou igual à área do polígono contido no quadro 2, sabendo que seus lados têm a mesma medida?</p><p>Você poderá construir dois hexágonos regulares, recortar os triângulos e sobrepô-los.</p><p>Todos escrevem</p><p>#pense_e_responda</p><p>No hexágono regular as medidas de todos os lados são iguais. Podemos dividi-lo em seis triângulos equiláteros que têm como área:</p><p>.</p><p>Logo, a área do hexágono regular é:</p><p>.</p><p>𝑛</p><p>𝑛</p><p>Paralelogramo, hexágono e trapézio</p><p>Logo, a soma das áreas dos 6 triângulos equiláteros, com medida de lado x,  é igual à área do hexágono regular.</p><p>Explore estes polígonos no Geogebra e descubra como calcular a área de cada um a partir das áreas conhecidas do retângulo e do triângulo.</p><p>𝑛</p><p>𝑛</p><p>Área: paralelogramo, hexágono e trapézio</p><p>Paralelogramo: https://www.geogebra.org/m/jtDnX4Va</p><p>Hexágono: https://www.geogebra.org/m/n8fdxemd</p><p>Trapézio: https://www.geogebra.org/m/j8nnanpc</p><p>É a mesma do retângulo:</p><p>É igual à soma das áreas de 6 triângulos equiláteros:</p><p>É a área de um triângulo:</p><p>Este slide tem animação.</p><p>Professor(a), estimule os estudantes a observarem a animação do Geogebra, e a decidirem como fazer para calcular as áreas indicadas, apoiando-se no conhecimento que têm das áreas do retângulo e do triângulo. Lembre-os também de que a área do triângulo é obtida a partir da área do retângulo.</p><p>5</p><p>Atividade</p><p>a) Complete o quadro a seguir com os valores dos perímetros e das áreas das seis figuras:</p><p>1) Observe os pares de figuras semelhantes abaixo, cujas medidas estão indicadas em centímetros:</p><p>Mostre-me</p><p>6</p><p>b) Observando esse quadro, escreva a relação entre:</p><p>A razão de semelhança entre as figuras e a razão entre os perímetros dessas figuras;</p><p>A razão de semelhança entre as figuras e a razão entre as áreas dessas figuras.</p><p>Mostre-me</p><p>8</p><p>a)</p><p>Correção</p><p>b)</p><p>Quando duas figuras são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual à razão de semelhança, e a razão entre suas áreas é o quadrado da razão de semelhança.</p><p>Atividade</p><p>Mostre-me</p><p>2) Encontre a razão de semelhança entre os pares de figuras semelhantes a partir dos valores de suas áreas ou de seus perímetros:</p><p>Áreas: 972 m² e 12 m².</p><p>Perímetros: 32,5 m e 13 m.</p><p>Áreas: 252 m² e 7 m².</p><p>3) Dê a razão entre as medidas dos perímetros e as medidas das áreas dos pares de figuras semelhantes abaixo, conhecendo somente a medida de um dos lados correspondentes de cada figura.</p><p>a)						b)</p><p>2) a) Áreas: 972 m² e 12 m², temos: . A razão de semelhança é 9.</p><p>b) Perímetros: 32,5 m e 13 m, temos: . Razão de semelhança é 2,5.</p><p>c) Áreas: 252 m² e 7 m², temos: . A razão de semelhança é 6.</p><p>3) a) A razão de semelhança é 2. Logo, a razão entre os perímetros é 2 e a razão entre as áreas é 4:</p><p>b) A razão de semelhança é 1,5. Logo, a razão entre os</p><p>perímetros é 1,5 e a razão entre as áreas é 2,25.</p><p>Correção</p><p>Atividade</p><p>a) subtração.	 b) multiplicação. 	c) divisão. 	d) adição.</p><p>4) (AAP) Observe as figuras desenhadas nas malhas quadriculadas a seguir:</p><p>As medidas de comprimento da figura 1 foram obtidas a partir das medidas de comprimento correspondentes na figura 2, fazendo uma:</p><p>Mostre-me</p><p>4) Resposta: Alternativa B</p><p>A figura 1 é uma ampliação da figura 2. Logo, foi feita uma multiplicação dos lados da figura 2 para obtê-la.</p><p>Correção</p><p>6) (SARESP - Adaptado) Na imagem a seguir, a figura B é uma ampliação da figura A. Para esta transformação podemos afirmar que:</p><p>Virem e conversem</p><p>a) o perímetro de B se manteve o mesmo de A, e os ângulos internos correspondentes dobraram de valor.</p><p>b) o perímetro de B passou a ser o triplo do perímetro de A,</p><p>e os ângulos internos correspondentes não se alteraram.</p><p>c) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A,</p><p>e os ângulos internos correspondentes não se alteraram.</p><p>d) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes também dobraram de valor.</p><p>#ampliando nosso conhecimento</p><p>14</p><p>Correção:</p><p>Resposta: Alternativa C</p><p>Se a figura B é uma ampliação da figura A, significa que elas são semelhantes. Contando os quadradinhos da malha, descobre-se que a razão de semelhança é 2. Portanto, o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A. Da definição de semelhança, os ângulos internos correspondentes têm as mesmas medidas, ou seja, eles não se alteram ao se fazer uma ampliação.</p><p>#ampliando nosso conhecimento</p><p>7) (SARESP - Adaptada) Sabendo que as figuras I e II são semelhantes e que a razão entre seus lados é 2:</p><p>Quais são as razões entre os perímetros e entre as áreas das figuras I e II?</p><p>Virem e conversem</p><p>Correção:</p><p>Resposta:</p><p>Se a razão de semelhança entre os lados é 2, então a razão entre os perímetros é 2 e a razão entre as áreas é 2² = 4.</p><p>Investigamos a relação entre a razão de semelhança estabelecida entre figuras semelhantes e a razão das medidas de seus respectivos perímetros e de suas respectivas áreas;</p><p>Calculamos o perímetro ou a área de uma figura ampliada ou reduzida, a partir dessas medidas da figura original e da razão de semelhança estabelecida entre essas figuras.</p><p>LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula.  Porto Alegre: Penso, 2023.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2022, 3a Série do Ensino Médio,  v.1.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, Ensino Médio, 2020.​</p><p>Slides 3, 4, 5, 15 e 16 Fonte: Elaborados pelo autor.</p><p>Slides 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16 e 17: Fonte: SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2022, 3a Série do Ensino Médio,  v.1.  Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/01/EM-3%C2%AA-S%C3%A9rie-Vol-1-web.pdf</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p><p>image22.png</p><p>image200.png</p><p>image21.png</p><p>image23.png</p><p>image24.png</p><p>image25.png</p><p>image26.png</p><p>image27.png</p><p>image28.png</p><p>image29.png</p><p>image30.png</p><p>image31.png</p><p>image32.png</p><p>image33.png</p><p>image34.png</p><p>image35.png</p><p>image36.png</p><p>image37.png</p><p>image38.png</p><p>image39.png</p><p>image40.png</p><p>image41.png</p><p>image42.png</p><p>image43.png</p><p>image44.png</p><p>image45.png</p><p>image46.png</p><p>image47.png</p><p>image48.png</p><p>image49.png</p><p>image50.png</p><p>image1.jpg</p>