Resolução Prova Matemática UFSC 2011

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<p>Resolução da pRova de matemática uFsc 2011 – pRova veRde</p><p>Prof. Guilherme Sada Ramos – “Guiba”</p><p>FORMULÁRIO</p><p>30o</p><p>45o</p><p>60o</p><p>sen 2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>cos</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>tg</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1) an = a1+ (n-1) r</p><p>2) Sn = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>2</p><p>aa n1 n</p><p>3) an = a1 qn –1</p><p>4) Sn</p><p>1q</p><p>1)n(qa</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>1</p><p>5)</p><p>q1</p><p>aS 1</p><p>−</p><p>=</p><p>6) Vcone = 3</p><p>hr π 2</p><p>7) (x – a)2 + (y – b)2 = r2</p><p>8) dA,B= ( ) ( )22</p><p>ABAB yyxx −+−</p><p>9) a2 = b2 + c2 – 2 c b cos</p><p>10) Atriângulo = D</p><p>2</p><p>1 ,</p><p>1yx</p><p>1yx</p><p>1yx</p><p>D</p><p>33</p><p>22</p><p>11</p><p>= onde</p><p>11) Tp+1 = pnp xa</p><p>p</p><p>n −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12)</p><p>( )</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>=</p><p>−</p><p>n n!</p><p>p p! n p !</p><p>13) sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a</p><p>Questão 21</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. As sequências (4, 7, 10, ...) e (5, 10, 15, ...) são duas progressões aritméticas</p><p>com 50 termos cada uma. A quantidade de termos que pertencem a ambas as</p><p>sequências é 15.</p><p>02. Segundo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas</p><p>atribuições e locais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foi confundido com o céu</p><p>ou assimilado ao Sol (disco solar ladeado por duas grandes asas). No papiro de</p><p>Rhind ficou registrado que a sequência das frações dos olhos do deus Hórus era</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>1</p><p>, 4</p><p>1</p><p>, 8</p><p>1</p><p>, 16</p><p>1</p><p>, 32</p><p>1</p><p>, </p><p></p><p></p><p>64</p><p>1</p><p>. O valor numérico da soma dos termos desta</p><p>sequência é 1.</p><p>04. O primeiro termo da progressão geométrica em que 15a3 = e 9</p><p>5a6 = é 135.</p><p>08. O valor de x na equação 440x...753 =++++ , sabendo que as parcelas do</p><p>primeiro membro formam uma progressão aritmética, é 41.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. A primeira sequência é formada dos 50 primeiros múltiplos positivos de 3 adicionados</p><p>de uma unidade. Já a segunda é formada pelos 50 primeiros múltiplos de 5. Como</p><p>mmc (3,5) = 15, então de 15 em 15 unidades, teremos elementos repetidos das duas</p><p>sequências. Assim, teremos a sequência (10, 25, 40, 55, ..., p), sendo p o último termo</p><p>em comum. Esse termo é certamente menor ou igual ao 50º termo da primeira PA, este</p><p>que pode ser calculado por ( )n 1a a n 1 r= + − . Teremos:</p><p>( )</p><p>50 1p a a 49r</p><p>p 4 49. 3 151</p><p>≤ = +</p><p>≤ + =</p><p>A sequência dos termos comuns será dada por (10, 25, 40, 55, 70, 85, 100, 115, 130,</p><p>145), que tem 10 termos. Item FALSO!!!</p><p>02. Ocorre que 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 63 1</p><p>2 4 8 16 32 64 64 64</p><p>+ + + + +</p><p>+ + + + + = = ≠ .</p><p>Note que não se trata de uma sequência infinita (nesse caso a soma daria 1, conforme</p><p>a fórmula 5). Item FALSO!!!</p><p>04. Se 6</p><p>5a</p><p>9</p><p>= e 3a 15= , podemos achar a razão da PG, fazendo 3</p><p>6 3a a .q= . Temos que:</p><p>3</p><p>3</p><p>5 15.q</p><p>9</p><p>5q</p><p>=</p><p>=</p><p>1</p><p>9.15</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>27</p><p>1 1q</p><p>27 3</p><p>=</p><p>= =</p><p>Utilizando ainda n 1</p><p>n 1a a .q −= , ocorre:</p><p>2</p><p>3 1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>a a .q</p><p>115 a .</p><p>3</p><p>115 a .</p><p>9</p><p>a 15.9 135</p><p>=</p><p> =  </p><p> </p><p>=</p><p>= =</p><p>Item VERDADEIRO!!!</p><p>08. Temos n termos em PA cuja soma é 440, e queremos saber o valor de an. Retomemos</p><p>a fórmula</p><p>( )1 n</p><p>n</p><p>a a n</p><p>S</p><p>2</p><p>+</p><p>= . Como ( )n 1a a n 1 r= + − , então será verdade que</p><p>n 1</p><p>n 1</p><p>a a r</p><p>a a nr r n</p><p>r</p><p>− +</p><p>= + − ⇒ = . Substituindo na relação da soma, teremos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>n 1</p><p>1 n</p><p>n</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>a a ra a</p><p>rS</p><p>2</p><p>x 3 23 x</p><p>2440</p><p>2</p><p>x 13 x</p><p>2440</p><p>2</p><p>3x 3 x x880</p><p>2</p><p>1760 x 2x 3</p><p>0 x 2x 1763</p><p>− + +  </p><p> =</p><p>− + +  </p><p> =</p><p>− +  </p><p> =</p><p>− + −</p><p>=</p><p>= + −</p><p>= + −</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, teremos x = –43 ou x = 41. Como os termos</p><p>são positivos, então x = 41. Item VERDADEIRO!!!</p><p>GABARITO: 12</p><p>Questão 22</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A=(0,3) e</p><p>B=(5,0) tem coeficiente angular 5</p><p>3</p><p>.</p><p>02. Dois automóveis, A e B, deslocam-se no mesmo sentido com movimento uniforme</p><p>em uma mesma estrada, que é reta. No instante t = 0, A se encontra no</p><p>quilômetro zero e B no quilômetro 60. Se, no intervalo de t = 0 a t = 1 h, A</p><p>percorreu 60 km e B percorreu 30 km, então A alcança B no instante t = 2 h</p><p>ao passarem pelo marco de 90 km.</p><p>04. A reta t de equação 063y4x =−+ é tangente à circunferência C de equação</p><p>4y4x 22 =+− )( e perpendicular à reta s de equação 023y4x =+− .</p><p>08. As circunferências C de equação 02210y2xyx 22 =+−−+ e C’ de</p><p>equação 0104y8xyx 22 =+−−+ são secantes.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. O ponto médio do segmento AB é dado pelas médias aritméticas entre as coordenadas</p><p>dos pontos A e B. Esse ponto é 5 3M ,</p><p>2 2</p><p> =  </p><p> </p><p>. O coeficiente angular da reta que passa</p><p>pela origem ( )O 0,0 e por M é calculado por:</p><p>M O</p><p>M O</p><p>y y</p><p>m</p><p>x x</p><p>3</p><p>32m</p><p>5 2</p><p>2</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>= =</p><p>2. 3</p><p>5 5</p><p>=</p><p>Item VERDADEIRO!!!</p><p>02. Como o movimento é MRU, as velocidades são constantes. Como a velocidade de A é</p><p>60 km/h, e ele parte do quilômetro zero, ele não passa pelo quilômetro 90 no instante t</p><p>= 2h. Item FALSO!!!</p><p>04. Para que duas retas não paralelas aos eixos cartesianos sejam perpendiculares, é</p><p>preciso que o produto de seus coeficientes angulares seja igual a –1. Isolando y nas</p><p>duas equações de reta, teremos que t</p><p>4m</p><p>3</p><p>= − e s</p><p>4m</p><p>3</p><p>= . Assim, ocorre que</p><p>t s</p><p>16m .m 1</p><p>9</p><p>= − ≠ − . Item FALSO!!!</p><p>Confira a figura abaixo. Note que C é de fato tangente a t, já que a distância entre O e t</p><p>é igual ao raio (r = 2) de C. Entretanto, as duas retas não são perpendiculares.</p><p>08. Para que duas circunferências sejam secantes, basta que o sistema formado por suas</p><p>equações admita duas soluções da forma (x, y). Cada uma das soluções (se existirem)</p><p>será um ponto em comum das circunferências. Vamos resolver o sistema</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>x y 2x 10y 22 0</p><p>x y 8x 4y 10 0</p><p> + − − + =</p><p></p><p>+ − − + =</p><p>.</p><p>Subtraindo a primeira equação da segunda, teremos que</p><p>6x 6y 12 0 x y 2 0 x y 2− + = ⇒ − + = ⇒ = − . Substituindo esta relação em qualquer</p><p>uma das duas equações (opto pela segunda), teremos:</p><p>( ) ( )</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>x y 8x 4y 10 0</p><p>y 2 y 8 y 2 4y 10 0</p><p>2y 4y 4 y 8y 16 4y 10 0</p><p>2y 16y 30 0</p><p>y 8y 15 0</p><p>+ − − + =</p><p>− + − − − + =</p><p>− + + − + − + =</p><p>− + =</p><p>− + =</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, temos y = 3 (que implica x = 1) e y = 5 (que</p><p>resulta x = 3). Assim, temos duas soluções para o sistema, (1,3) e (3,5). Logo, as</p><p>circunferências são secantes. Item VERDADEIRO!!!</p><p>GABARITO: 09</p><p>Questão 23</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. As soluções do sistema homogêneo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=+−</p><p>=+−</p><p>=−+</p><p>04z2y3x</p><p>08z8yx</p><p>02z3yx</p><p>são ternas ordenadas do</p><p>tipo ( , , )a b c com ( )a b c+ + múltiplo de 11.</p><p>02. Se 8det =A para </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>dc</p><p>ba</p><p>A , então 8det =B para B = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++ d 2bc 2a</p><p>ba</p><p>.</p><p>04. Se </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>31</p><p>52</p><p>A então </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>=−+ −</p><p>925</p><p>514</p><p>AAA 2t )( 1 .</p><p>08. Se , ,A B C são matrizes inversíveis, então ( ) ( )[ ] .CBACAB ..</p><p>111 =</p><p>−−−</p><p>16. O valor de x para que os pontos A(3, –5), B(x,9) e C(0,2) sejam colineares é 3.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. Ao tentarmos resolver o sistema</p><p>x 3y 2z 0</p><p>x 8y 8z 0</p><p>3x 2y 4z 0</p><p>+ − =</p><p> − + =</p><p> − + =</p><p>, vamos concluir que se trata de um</p><p>sistema possível e indeterminado, já que a terceira equação é a soma da segunda com</p><p>a primeira multiplicada por 2. Com isso, o sistema tem duas equações que são</p><p>realmente relevantes, enquanto que a outra é redundante. De qualquer forma,</p><p>podemos expressar duas das três variáveis em função da terceira. Vamos fazê-lo:</p><p>Isolando x na segunda equação, teremos x 8y 8z= − . Substituindo na primeira</p><p>equação, ocorre 108y 8z 3y 2z 0 11y 10z 0 11y 10z y z</p><p>11</p><p>− + − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = .</p><p>Assim, 10 80 80z 88z 8x 8y 8z 8 z 8z z 8z x z</p><p>11 11 11 11</p><p>− = − ⇒ − = − = ⇒ = − </p><p> </p><p>.</p><p>Portanto, todas as infinitas soluções do sistema são da forma 8 10z, z,z</p><p>11 11</p><p> − </p><p> </p><p>.</p><p>Somando os três elementos da terna ordenada, teremos</p><p>8 10 8z 10z 11z 13zz z z</p><p>11 11 11 11</p><p>− + +</p><p>− + + = = .Esta soma não é múltipla de 11. Item FALSO!!!</p><p>02. Se det(A) = 8, então ad bc 8− = . O determinante</p><p>da matriz B será dado por</p><p>( ) ( )a b</p><p>2b d a 2a c b 2ab</p><p>2a c 2b d</p><p>= + − + =</p><p>+ +</p><p>ad 2ab+ − bc ad bc 8− = − = . Logo, det(B)</p><p>= 8. Item VERDADEIRO!!!</p><p>04. Vamos determinar a matriz inversa de A e a sua transposta. Em seguida, efetuamos a</p><p>soma e, por último, multiplicamos este resultado por si próprio.</p><p>A matriz inversa, se existir, de</p><p>a b</p><p>A</p><p>c d</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>, é dada por 1 d b1A</p><p>c adet A</p><p>− − </p><p>=  − </p><p>. No caso</p><p>de</p><p>2 5</p><p>A</p><p>1 3</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>, como ( )det A 2.3 5.1 1= − = , então a matriz inversa será</p><p>1 3 5</p><p>A</p><p>1 2</p><p>− − </p><p>=  − </p><p>. Além disso, temos que t 2 1</p><p>A</p><p>5 3</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>, trocando linhas por colunas.</p><p>Assim, nossa soma fica:</p><p>1 t 2 5 3 5 2 1 3 1</p><p>A A A</p><p>1 3 1 2 5 3 5 2</p><p>− − −       </p><p>+ − = + − =       − −       </p><p>Multiplicando o resultado por ele próprio, temos:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>3.3 1 . 5 3. 1 1 .23 1 3 1 14 5</p><p>.</p><p>5 .3 2. 5 5 . 1 2.25 2 5 2 25 9</p><p> + − − − + −− − −     </p><p>= =       − + − − − +− − −      </p><p>Item VERDADEIRO!!!</p><p>08. Vamos nos fazer valer de quatro propriedades de operações entre matrizes:</p><p>• ( ) 1 1 1XY Y X− − −=</p><p>• ( ) ( )XY Z X YZ= , conhecida por propriedade associativa</p><p>•</p><p>da multiplicação.</p><p>( ) 11X X</p><p>−− =</p><p>• 1 1</p><p>nX X X.X I− −= = , em que In é a matriz identidade de ordem n, elemento neutro da</p><p>multiplicação</p><p>Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade questionada, temos:</p><p>( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )</p><p>[ ] [ ] ( )</p><p>11 1 11 11 1 1 1 1</p><p>1 1 1 1 1 1 1 1</p><p>n n</p><p>AB AC B B A AC B BA AC B B A A C B</p><p>BI C B BC B C B .B C B B C .I C</p><p>−− − −− −− − − − −</p><p>− − − − − − − −</p><p>      = = = =         </p><p>= = = = =</p><p>O resultado é a matriz inversa de C, e não a própria C, como é afirmado. Item FALSO!!!</p><p>16. Para que três pontos no plano cartesiano estejam alinhados, basta que o determinante</p><p>D da fórmula 10 seja igual a zero. Neste caso, fazendo D em termos de x, temos:</p><p>3 5 1</p><p>D x 9 1 27 2x 5x 6 7x 21</p><p>0 2 1</p><p>−</p><p>= = + + − = +</p><p>Fazendo D = 0, obtemos 7x 21 0 7x 21 x 3+ = ⇒ = − ⇒ = − . Item FALSO!!!</p><p>GABARITO: 06</p><p>Questão 24</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. Para que a função P(x) = x2 + px seja divisível por 4x – 1, é necessário que p</p><p>seja igual a</p><p>4</p><p>1</p><p>.</p><p>02. Os valores reais de x que satisfazem a equação 4x + 4 = 5 . 2x pertencem ao</p><p>intervalo (2, 4].</p><p>04. Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês do Século XVII, que</p><p>ganhava a vida apostando seu dinheiro em jogos de dados, decidiu apostar que</p><p>vai sair um “3” no lançamento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1</p><p>a 6. Com relação a esse experimento, há dois resultados possíveis: ou sai “3” e</p><p>Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele perde. Cada um destes resultados – “sai um</p><p>3” ou “não sai um 3” – tem a mesma probabilidade de ocorrer.</p><p>08. Se 3n = 5, então log5 225 = n</p><p>2n2+</p><p>.</p><p>16. Se a, b e c são raízes reais da equação x3 – 20x2 + 125x – 250 = 0, então o valor</p><p>de log </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ++</p><p>c</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>é nulo.</p><p>32. Se “A” é o número de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2; “B” é o número de</p><p>permutações de 5 elementos e “C” é o número de combinações de 5</p><p>elementos tomados 3 a 3, então A + B – C = 140.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. Como 4x – 1 é um polinômio do primeiro grau, basta que P(m) = 0, sendo m a raiz de</p><p>4x – 1, para que o polinômio P(x) seja divisível por 4x – 1 . Calculemos m</p><p>primeiramente:</p><p>14x 1 0 4x 1 x</p><p>4</p><p>− = ⇒ = ⇒ =</p><p>Assim, basta impor 1P 0</p><p>4</p><p>  = </p><p> </p><p>e calcular o valor de p correspondente:</p><p>( )</p><p>2</p><p>2 1 1 1P x x px 0 P p 0</p><p>4 4 4</p><p>1 p 1 4p0 0</p><p>16 4 16</p><p>14p 1 0 4p 1 p</p><p>4</p><p>     = + = ⇒ = + =     </p><p>     </p><p>+</p><p>+ = ⇒ =</p><p>+ = ⇒ = − ⇒ = −</p><p>Item FALSO!!!</p><p>02. Vamos resolver a equação, impondo 2x = t.</p><p>x x</p><p>x x x</p><p>2</p><p>2</p><p>4 4 5.2</p><p>2 .2 4 5.2</p><p>t 4 5t</p><p>t 5t 4 0</p><p>+ =</p><p>+ =</p><p>+ =</p><p>− + =</p><p>Resolvendo a equação, temos t = 4 e t = 1. Calculando os valores de x:</p><p>x2 4</p><p>x 2</p><p>=</p><p>=</p><p>x2 1</p><p>x 0</p><p>=</p><p>=</p><p>Nenhum dos dois valores pertencem ao intervalo (2, 4]. Item FALSO!!!</p><p>04. Cada face tem chance 1/6 de ocorrer. Neste caso, ele tem 1/6 de chance de ganhar</p><p>(saindo 3) e 5/6 de chance de perder (saindo 1, 2, 4, 5 ou 6). Item FALSO!!!</p><p>08. Podemos dizer que 3log 5 n= . Por propriedades de logaritmos, podemos ainda afirmar</p><p>que 5</p><p>1log 3</p><p>n</p><p>= . Além dessa propriedade, lembremos que:</p><p>• b b blog a log c log ac+ = • n</p><p>b blog a nlog a=</p><p>Calculemos então, 5log 225 :</p><p>2 2 2 2</p><p>5 5 5 5 5 5</p><p>2 2 2nlog 225 log 3 .5 log 3 log 5 2log 3 2log 5 2</p><p>n n</p><p>+</p><p>= = + = + = + =</p><p>Item VERDADEIRO!!!</p><p>16. Pelas relações de Girard, numa equação da forma 3 2ax bx cx d 0+ + + = , temos que:</p><p>• cab ac bc</p><p>a</p><p>+ + = • dabc</p><p>a</p><p>= −</p><p>Na equação 3 2x 20x 125x 250 0− + − = , temos que ab ac bc 125+ + = e abc 250=</p><p>Como 1 1 1 bc ac ab</p><p>a b c abc</p><p>+ +</p><p>+ + = , então, nesse caso, o valor de 1 1 1</p><p>a b c</p><p>+ + é 125 1</p><p>250 2</p><p>= . E</p><p>1log 0</p><p>2</p><p>  ≠ </p><p> </p><p>. Item FALSO!!!</p><p>32. Não dadas no formulário, temos as fórmulas</p><p>( )</p><p>p</p><p>n</p><p>n!A</p><p>n p !</p><p>=</p><p>−</p><p>,</p><p>( )</p><p>p</p><p>n</p><p>n!C</p><p>p! n p !</p><p>=</p><p>−</p><p>e nP n!= .</p><p>Façamos os cálculos:</p><p>( ) ( )</p><p>2 3</p><p>6 5 5A P C</p><p>6! 5!5!</p><p>6 2 ! 3! 5 3 !</p><p>6! 5! 6.5 .4!5!</p><p>4! 3!2!</p><p>+ − =</p><p>= + − =</p><p>− −</p><p>= + − =</p><p>4!</p><p>5. 4.5!+ −</p><p>2</p><p>3!</p><p>3! 2!</p><p>30 120 10 140</p><p>=</p><p>= + − =</p><p>Item VERDADEIRO!!!</p><p>GABARITO: 40</p><p>Questão 25</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. A altura da pirâmide cuja secção transversal paralela à base está a 4 cm dessa</p><p>(base) e tem uma área igual a</p><p>4</p><p>1</p><p>da área da base é 8 cm.</p><p>02. Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação s(t) = 5cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>2</p><p>ππt em que t está em segundos e s em metros, então essa função tem</p><p>período de 2 segundos e seu conjunto imagem é Im(s) = [–1, 1].</p><p>04. Um quadrado de lado</p><p>2</p><p>5</p><p>está inscrito numa circunferência de comprimento 5π .</p><p>08. Se a sombra de uma árvore, num terreno plano, em uma determinada hora do dia,</p><p>mede 10 m e, nesse mesmo instante, próxima à árvore, a sombra de um homem</p><p>de altura 1,70 m mede 2 m, então a altura da árvore é de aproximadamente 9,70</p><p>m.</p><p>16. O sangue humano pode ser classificado quanto ao sistema ABO e quanto ao fator</p><p>Rh. Sobre uma determinada população “P”, os tipos sanguíneos se repartem de</p><p>acordo com as seguintes tabelas:</p><p>Tabela 1</p><p>A B AB O</p><p>40% 10% 5% 45%</p><p>Tabela 2</p><p>Grupo A B AB O</p><p>RH+ 82% 81% 83% 80%</p><p>RH− 18% 19% 17% 20%</p><p>Um indivíduo classificado como O Rh negativo é chamado doador universal.</p><p>Podemos dizer que a probabilidade de que um indivíduo, tomado ao acaso na</p><p>população “P”, seja doador universal é de 9%.</p><p>32. Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde</p><p>mora, cuja área é de 102400 m2. Então, a distância que ele pedala por dia é de</p><p>19200 m.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. Qualquer secção transversal numa pirâmide determina um tronco e uma pirâmide</p><p>menor semelhante à primeira. Se as duas pirâmides são semelhantes, então a razão</p><p>entre as áreas da menor e da maior pirâmides é igual ao quadrado da razão entre as</p><p>medidas lineares da menor e da maior. Em outros termos,</p><p>2h a</p><p>H A</p><p>  = </p><p> </p><p>, sendo h e a</p><p>altura e área da base da pirâmide menor, e H e A altura e área da base da pirâmide</p><p>maior. Como a 1</p><p>A 4</p><p>= , então h 1</p><p>H 2</p><p>= . A distância entre as bases (diferença entre alturas)</p><p>é 4, então H h 4 h H 4− = ⇒ = − . Substituindo, temos:</p><p>H 4 1</p><p>H 2</p><p>2H 8 H</p><p>H 8</p><p>−</p><p>=</p><p>− =</p><p>=</p><p>Item VERDADEIRO!!!</p><p>02. Como o cosseno de qualquer arco real está entre –1 e 1, esse cosseno multiplicado</p><p>por 5 estará no intervalo [–5, 5]. Esse conjunto representa a imagem da função. Item</p><p>FALSO!!!</p><p>Nota: o período da função é de fato 2, já que 2p</p><p>m</p><p>π</p><p>= , sendo m o coeficiente de t no</p><p>arco t</p><p>2</p><p>π π + </p><p> </p><p>.</p><p>04. Considere a figura abaixo, em que o lado do quadrado mede 5</p><p>2</p><p>.</p><p>5</p><p>2</p><p>Como a diagonal de qualquer quadrado é igual ao produto do lado por 2 , então</p><p>5d . 2 5</p><p>2</p><p>= = . O raio é a metade desta medida, portanto, 5r</p><p>2</p><p>= . Como comprimento</p><p>de qualquer circunferência é dado por C 2 r= π , então o comprimento neste caso será</p><p>5C 2 5</p><p>2</p><p>= π = π . Item VERDADEIRO!!!</p><p>08. Como os raios solares num dado instante são considerados paralelos, então a altura</p><p>de qualquer objeto e a sua sombra estarão sempre a uma mesma razão. Se o</p><p>indivíduo tem 1,70m de altura e a sombra mede 2m, então a altura de cada objeto</p><p>neste instante é 85% da medida da sombra, tal qual ocorre com o sujeito. Logo, a</p><p>altura da árvore deverá ser 85% da sombra que mede 10m, ou seja, deve essa altura</p><p>valer 8,50m. Item FALSO!!!</p><p>16. A chance de escolhermos um indivíduo do tipo O é 45%. Desses 45%, 20% tem grupo</p><p>Rh negativo. Calculemos 20% de 45%.</p><p>20 45 9 00.</p><p>100 100</p><p>=</p><p>100 00</p><p>9 9%</p><p>100</p><p>= =</p><p>Neste caso, a chance de o doador escolhido ser universal é de 9%. Item</p><p>VERDADEIRO!!!</p><p>32. Se o quarteirão quadrado tem 102400 m² de área, então a medida do lado será</p><p>102400m 320m= . Se o ciclista dá 30 voltas por dia nesse quarteirão, então ele</p><p>percorre diariamente uma distância equivalente a 30 vezes o perímetro do quadrado.</p><p>Como este período é 4.320 1280m= , ele pedala diariamente 30.1280 38400m= . Item</p><p>FALSO!!!</p><p>GABARITO: 21</p><p>Questão 26</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. Pode-se definir Divisão Áurea como sendo a divisão de um segmento de reta em</p><p>duas partes, de tal maneira que a razão entre a parte maior e a parte menor seja</p><p>aproximadamente igual a 1,6. Um retângulo se diz dourado quando possui seus</p><p>lados na razão áurea, isto é, seus lados medem  e 1,6 . Assim, se o lado menor</p><p>de um retângulo dourado for 3 unidades de comprimento, então a área desse</p><p>retângulo será igual a 14,4 unidades de área.</p><p>02. O valor numérico de x na figura abaixo é cm2,52x = .</p><p>04. As políticas de inclusão para deficientes, especificamente para os cadeirantes,</p><p>destacam a necessidade de rampas para o acesso do usuário de cadeira de</p><p>rodas, e que as mesmas, segundo as normas técnicas, devem ter uma inclinação</p><p>de, no máximo, 8,33%, ou seja, para cada metro horizontal subir 8,33 cm na</p><p>vertical. A rampa da figura abaixo cumpre a norma especificada acima.</p><p>08. Os vários órgãos de defesa do consumidor, assim como o Inmetro, têm</p><p>denunciado irregularidades como, por exemplo, o peso real do produto ser inferior</p><p>ao indicado na embalagem. Se a diferença entre o peso real e o peso anunciado</p><p>na embalagem de uma determinada marca de feijão é de 13,60 g por cada</p><p>quilograma e o preço do kg ao consumidor é de R$ 3,25, então o ganho indevido</p><p>por tonelada é de R$ 442,00.</p><p>16. A soma dos coeficientes do binômio ( )5ba 32 − é 1.</p><p>8 m</p><p>80 cm</p><p>A</p><p>B C M</p><p>y x</p><p>6,2 cm</p><p>6 cm</p><p>4,5 cm</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. Se o lado menor do retângulo mede 3 u.c, então o lado maior medirá 3.(1,6) u.c., ou</p><p>4,8 u.c. Assim, a área do retângulo será dada por 3.(4,8) = 14,4 u.a. Item</p><p>VERDADEIRO!!!</p><p>02. Observe a figura abaixo, em que AM é bissetriz interna do triângulo ABC em relação ao</p><p>lado BC.</p><p>Considere uma reta CD paralela à bissetriz AM. Prolongando a reta BA até encontrar</p><p>CD, vamos concluir que os quatro ângulos indicados são congruentes: BAM e MAC</p><p>pela hipótese de AM ser bissetriz, ADC por ser ângulo correspondente a BAM e ACD</p><p>por ser alterno interno com MAC (lembremos que a reta BA é paralela a CD).</p><p>Neste caso, o segmento AD é congruente a AC, ou</p><p>seja, também vale q. Pelo teorema de Tales,</p><p>teremos:</p><p>m p m n m n</p><p>n q p q p q</p><p>+</p><p>= ⇔ = =</p><p>+</p><p>Na figura do item, vamos ter a seguinte relação:</p><p>x y x y 6</p><p>4,5 6,2 10,7 10,7</p><p>+</p><p>= = =</p><p>Logo, x 6 6.4,5x 2,52</p><p>4,5 10,7 10,7</p><p>= ⇒ = ≅</p><p>Como o item considera valor aproximado, então é</p><p>VERDADEIRO!!!</p><p>04. Essa rampa levanta 80 cm em 8 m, ou seja, 10 cm para cada metro, índice além do</p><p>especificado no texto. Item FALSO!!!</p><p>08. Se para cada quilo o prejuízo ao consumidor é de 13,6 g, então em uma tonelada</p><p>(1000 kg), a quantidade de feijão indevidamente “vendido” é 13,6 kg. Se cada quilo</p><p>custa R$ 3,25, o ganho indevido por tonelada é de 3,25.13,6 44,2= reais. Item</p><p>FALSO!!!</p><p>16. Para calcular essa soma, basta impor, para todas as variáveis, valor 1 e efetuar a</p><p>potenciação. Neste caso, teremos ( ) ( )5 52.1 3.1 1 1− = − = − → . Item FALSO!!!</p><p>GABARITO: 03</p><p>Questão 27</p><p>O volume de um cone reto é 3cm1024π . Se a altura, o raio da base e a geratriz desse</p><p>cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da</p><p>geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>A altura, o raio e a geratriz de um cone reto formam um triângulo retângulo. Neste caso, como</p><p>estão estas medidas em PA, será verdade que:</p><p>( ) ( )2 22</p><p>2</p><p>x a x x a</p><p>x</p><p>− + = +</p><p>22xa a− + 2 2x x+ = 22xa a+ +</p><p>2x 4 x= a</p><p>x 4r=</p><p>Se o maior cateto é 4a, o menor será 3a e a hipotenusa, 5a. Assim, concluímos que as três</p><p>medidas (altura, raio e geratriz) serão proporcionais a 3, 4 e 5 respectivamente. Lembrando</p><p>que volume de cone é o fornecido na fórmula 6, temos que:</p><p>2</p><p>cone</p><p>r hV</p><p>3</p><p>1024</p><p>π</p><p>=</p><p>π</p><p>π</p><p>=</p><p>( )24a .3a</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>1024 16a</p><p>64 a</p><p>a 64 4</p><p>=</p><p>=</p><p>= =</p><p>Assim, ocorre que x 4 g 5x 20= ⇒ = =</p><p>GABARITO: 20</p><p>Questão 28</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>No capítulo X, denominado Contas, do Romance Vidas Secas, do escritor brasileiro</p><p>Graciliano Ramos, considerado por muitos como a maior obra deste autor, temos:</p><p>01. Fabiano recorda-se do dia em que fora vender um porco na cidade e o fiscal da</p><p>prefeitura exigira o pagamento do imposto sobre a venda. Fabiano desconversou</p><p>e disse que não iria mais vender o animal. Foi a outra rua negociar e, pego em</p><p>flagrante, decidiu nunca mais criar porcos. Se o preço de venda do porco na</p><p>época fosse de Rs 53$000 (cinquenta e três mil réis) e o imposto de 20% sobre o</p><p>valor da venda, então Fabiano deveria pagar à prefeitura</p><p>Rs 3$600 (três mil e seiscentos réis).</p><p>02. “Fabiano recebia na partilha a quarta parte dos bezerros e a terça dos cabritos.</p><p>Mas como não tinha roça e apenas limitava a semear na vazante uns punhados</p><p>de feijão e milho, comia da feira, desfazia-se dos animais, não chegava a ferrar</p><p>um bezerro ou assinar a orelha de um cabrito.” Suponha que Fabiano tenha</p><p>vendido a sua parte dos bezerros com 4% de prejuízo e a sua parte dos cabritos</p><p>com 3% de prejuízo. Se o prejuízo total de Fabiano foi de Rs 400$000</p><p>(quatrocentos mil réis), então o valor total da criação de bezerros e cabritos era de</p><p>Rs 40:000$000 (quarenta contos de réis, ou seja, quarenta milhões de réis).</p><p>04. Assim como das outras vezes, Fabiano pediu à sinha Vitória para que ela fizesse</p><p>as contas. Como de costume, os números do patrão diferiam dos de sinha Vitória.</p><p>Fabiano reclamou e obteve do patrão a explicação habitual de que a diferença era</p><p>proveniente dos juros. Juros e prazos, palavras difíceis que os homens sabidos</p><p>usavam quando queriam lograr os outros. Se Fabiano tomasse emprestado do</p><p>patrão Rs 800$000 (oitocentos mil réis) à taxa de 5% ao mês, durante 6 meses,</p><p>então os juros simples produzidos por este empréstimo seriam</p><p>de Rs 20$000 (vinte mil réis).</p><p>08. Desde a década de 30, em que foi publicado o romance Vidas Secas, até os dias</p><p>de hoje, a moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente</p><p>nos períodos de altos índices de inflação. Na maioria das novas denominações</p><p>monetárias foram cortados três dígitos de zero, isto é, a nova moeda vale sempre</p><p>1000 vezes a antiga. Suponha que certo país troque de moeda cada vez que a</p><p>inflação acumulada atinja a cifra de 700%. Se a inflação desse país for de 20% ao</p><p>mês, então em um ano esse país terá uma nova moeda.</p><p>(Considere: log2 = 0,301 e log 3 = 0,477)</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>:</p><p>01. O imposto a pagar seria 20% de 53000, ou seja, 10600. Item FALSO!!!</p><p>02. Chamemos de b o valor de criação de bezerros e c o valor da criação</p><p>de cabritos. Pelo</p><p>enunciado, ele tem prejuízo de 4% vendendo um quarto dos bezerros e prejuízo de 3%</p><p>vendendo um terço dos cabritos. Se o prejuízo total é Rs 400:000, podemos afirmar</p><p>que 4 1 3 1. b . c 400000</p><p>100 4 100 3</p><p>+ = . Desenvolvendo a expressão, temos:</p><p>4 1.</p><p>100 4</p><p>3b +</p><p>1.</p><p>100 3</p><p>c 400000</p><p>1 1b c 400000</p><p>100 100</p><p>b c 400000</p><p>100</p><p>b c 40000000</p><p>=</p><p>+ =</p><p>+</p><p>=</p><p>+ =</p><p>Logo, a soma dos valores de bezerros e cabritos (valor total da criação é de 40 milhões</p><p>de réis, ou quarenta contos de réis). Item VERDADEIRO!!!</p><p>04. Se o regime de capitalização é simples, então os juros relativos a 6 meses após o</p><p>empréstimo é seis vezes 5% do capital, oitocentos mil réis. O total desses juros é dado</p><p>por:</p><p>56.</p><p>100</p><p>.8000 00 240000=</p><p>O juro total produzido é de 240 mil réis. Item FALSO!!!</p><p>08. Vamos retomar algumas propriedades de logaritmos</p><p>• b b blog a log c log ac+ =</p><p>• b b b</p><p>alog a log c log</p><p>c</p><p>− =</p><p>• n</p><p>b blog a nlog a=</p><p>• k</p><p>b</p><p>k</p><p>log a</p><p>log a</p><p>log b</p><p>=</p><p>Aumentar algo em 700% é o mesmo que multiplicá-lo por 8. Como a inflação funciona</p><p>no regime de juros sobre juros (juros compostos), então o montante é calculado por</p><p>( )tM C 1 i= + , em que M é o montante, C é o capital inicial (no tempo zero), i é a taxa de</p><p>juros e t é o tempo da transação. Observe os cálculos a seguir:</p><p>( )tM C 1 i 8 C= + ⇒ C= ( )</p><p>( )</p><p>t</p><p>t</p><p>1,2</p><p>3</p><p>22</p><p>201 8 1,2 t log 8</p><p>100</p><p>log8 log2 3log2 3.0,301 0,903 0,903t</p><p>log1,2 log12 log10 2log2 log3 1 2.0,301 0,477 1log2 log3 1log 2 .3 1</p><p>0,903 0,903 11,43</p><p>0,602 0,477 1 0,079</p><p> + ⇒ = ⇒ = </p><p> </p><p>= = = = = = =</p><p>− + − + −+ −−</p><p>= = ≅</p><p>+ −</p><p>Serão necessários então 12 meses para que a inflação atinja 700%. Logo, a cada ano,</p><p>a moeda mudará. Item VERDADEIRO.</p><p>GABARITO: 10</p><p>Questão 29</p><p>Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).</p><p>01. Suponha que a decomposição de uma substância siga a lei dada por</p><p>0,2tk.2Q(t) −= , em que k é uma constante positiva e Q(t) é a quantidade da</p><p>substância (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t0 , em minutos,</p><p>considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico a</p><p>seguir, é 15.</p><p>02. Para a função</p><p></p><p></p><p></p><p>≤</p>