EP5-gabarito

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>EP5 – Gabarito – Métodos Determińısticos I</p><p>Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 6 do Caderno Didático.</p><p>Exerćıcio 1 Escreva a expressão decimal associada ao número racional dado pela fração:</p><p>a)</p><p>12</p><p>5</p><p>b) −27</p><p>18</p><p>c)</p><p>2</p><p>6</p><p>d)</p><p>1998</p><p>6000</p><p>Solução:</p><p>a) Efetuando, a divisão obtemos 12/5 = 2, 4.</p><p>b) Efetuando, a divisão obtemos −27/18 = −1, 5.</p><p>c) Efetuando, a divisão obtemos 2/6 = 0, 33333 . . . .</p><p>d) Efetuando, a divisão obtemos 1998/6000 = 0, 333.</p><p>Exerćıcio 2 Escreva a expressão decimal associada ao número racional dado pela fração:</p><p>a)</p><p>7</p><p>9</p><p>b)</p><p>4</p><p>33</p><p>c)</p><p>44</p><p>3</p><p>d)</p><p>16</p><p>11</p><p>e)</p><p>20</p><p>7</p><p>Solução:</p><p>a) Efetuando a divisão, obtemos 7/9 = 0, 77777 . . . .</p><p>b) Efetuando a divisão, obtemos 4/33 = 0, 121212 . . . .</p><p>c) Efetuando a divisão, obtemos 44/3 = 14, 66666 . . . .</p><p>d) Efetuando a divisão, obtemos 16/11 = 1, 454545 . . . .</p><p>e) Efetuando a divisão, obtemos 20/7 = 2, 857148571485714 . . . .</p><p>Exerćıcio 3 Converta cada uma das d́ızimas dadas a seguir num número racional.</p><p>a) 14, 66666 . . . b) 1, 454545 . . . c) 2, 857142857142857142 . . .</p><p>Solução:</p><p>a) Seja x = 14, 66666 . . . , então 10x = 146, 66666 . . . . Assim,</p><p>10x− x = 146, 66666 · · · − 14, 66666 . . .</p><p>9x = 132</p><p>x = 132/9</p><p>x = 44/3 .</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 2</p><p>b) Seja x = 1, 454545 . . . então 100x = 145, 454545 . . . . Assim,</p><p>100x− x = 145, 454545 · · · − 1, 454545 . . .</p><p>99x = 144.</p><p>x = 144/99</p><p>x = 16/11.</p><p>c) Seja x = 2, 857142857142857142 . . . então 1.000.000x = 2.857.142, 857142857142 . . . e</p><p>1.000.000x− x = 2.857.142, 857142857142 · · · − 2, 857142857142857142 . . .</p><p>999.999x = 2.857.140</p><p>x = 2.857.140/999.999 (Simplifique dividindo o numerador e o denominador por 142.857)</p><p>x = 20/7.</p><p>Exerćıcio 4 (SEFAZ – AM –2005) A fração que representa a d́ızima 3, 0121212 . . . é:</p><p>(A)</p><p>3012</p><p>99</p><p>(B)</p><p>3012</p><p>999</p><p>(C)</p><p>3012</p><p>9999</p><p>(D)</p><p>2982</p><p>990</p><p>(E)</p><p>2982</p><p>999</p><p>Solução: Seja x a fração que representa a d́ızima 3, 0121212 . . . . Isto é,</p><p>x = 3, 0121212 . . . ,</p><p>então</p><p>100x = 301, 212121 . . . .</p><p>Efetuando a diferença entre 100x e x, temos que</p><p>100x− x = 301, 212121 · · · − 3, 012121 . . .</p><p>99x = 298, 2</p><p>99x = 2982/10</p><p>x = 2982/990.</p><p>Logo, a alternativa correta é aquela dada pela letra (D).</p><p>Exerćıcio 5 (ANTT-2005) Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros, numa calculadora,</p><p>Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a</p><p>divisão feita por Josimar.</p><p>(A) 999/1234</p><p>(B) 1000/1234</p><p>(C) 12/34</p><p>(D) 12341234/9000000</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 3</p><p>(E) 1234/9999</p><p>Solução: Chamando de x o quociente da divisão entre os dois números inteiros, temos que</p><p>x = 0, 123412341234 . . . .</p><p>Logo,</p><p>10000x = 1234, 123412341234 . . . .</p><p>Fazendo a diferenca entre 10000x e x, obtemos que</p><p>10000x− x = 1234, 123412341234 · · · − 0, 123412341234 . . .</p><p>9999x = 1234</p><p>x = 1234/9999.</p><p>Portanto, x =</p><p>1234</p><p>9999</p><p>. Logo, a alternativa correta é aquela dada pela letra (E).</p><p>Exerćıcio 6 Calcule o valor de cada uma das expressões numéricas.</p><p>a)</p><p>4</p><p>5</p><p>(</p><p>3 + 0, 4</p><p>)</p><p>− 3, 21</p><p>b) 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>4</p><p>6</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>− 61</p><p>25</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>)</p><p>÷ (0, 22 + 1)</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>4</p><p>5</p><p>(</p><p>3 + 0, 4</p><p>)</p><p>− 3, 21 = 0, 8(3, 4)− 3, 21 = 2, 72− 3, 21 = −0, 49 = − 49</p><p>100</p><p>b) Chamando y de 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>4</p><p>6</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>− 61</p><p>25</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>)</p><p>÷ (0, 22 + 1), temos que</p><p>y = 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>4</p><p>6</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>− 61</p><p>25</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>)</p><p>÷ (0, 22 + 1)</p><p>= 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>− 61</p><p>25</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)</p><p>÷</p><p>(</p><p>22</p><p>100</p><p>+ 1</p><p>)</p><p>= 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>− 61</p><p>25</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)</p><p>÷</p><p>(</p><p>22</p><p>100</p><p>+ 1</p><p>)</p><p>= 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>+</p><p>61</p><p>50</p><p>÷</p><p>(</p><p>11</p><p>50</p><p>+ 1</p><p>)</p><p>= 4 + 2</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>12</p><p>+ 2</p><p>]</p><p>+</p><p>61</p><p>50</p><p>÷</p><p>(</p><p>11</p><p>50</p><p>+</p><p>50</p><p>50</p><p>)</p><p>= 4 + 2</p><p>[</p><p>12</p><p>12</p><p>− 1</p><p>12</p><p>+</p><p>24</p><p>12</p><p>]</p><p>+</p><p>61</p><p>50</p><p>÷ 61</p><p>50</p><p>= 4 + 2</p><p>[</p><p>35</p><p>12</p><p>]</p><p>+</p><p>61</p><p>50</p><p>· 50</p><p>61</p><p>= 4 +</p><p>35</p><p>6</p><p>+ 1 =</p><p>24</p><p>6</p><p>+</p><p>35</p><p>6</p><p>+</p><p>6</p><p>6</p><p>=</p><p>65</p><p>6</p><p>Portanto, y =</p><p>65</p><p>6</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 4</p><p>Exerćıcio 7 Numa situação idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda</p><p>de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento é medido por</p><p>L =</p><p>0, 2 x+ 4</p><p>0, 5</p><p>− 5.</p><p>Sabendo disso, determine a quantidade que deve ser vendida por este estabelecimento, para que ele</p><p>obtenha um lucro de 125 reais.</p><p>Solução: A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento, quando L é igual a</p><p>125 reais, temos de resolver a equação</p><p>125 =</p><p>0, 2 x+ 4</p><p>0, 5</p><p>− 5 ⇐⇒ 125 =</p><p>2x</p><p>10</p><p>+ 4</p><p>5</p><p>10</p><p>− 5</p><p>(</p><p>pois 0, 2 =</p><p>2</p><p>10</p><p>e 0, 5 =</p><p>5</p><p>10</p><p>)</p><p>⇐⇒ 125 + 5 =</p><p>x</p><p>5</p><p>+ 4</p><p>1</p><p>2</p><p>⇐⇒ 130 =</p><p>(</p><p>x</p><p>5</p><p>+ 4</p><p>)</p><p>2</p><p>⇐⇒ 130</p><p>2</p><p>=</p><p>(</p><p>x</p><p>5</p><p>+ 4</p><p>)</p><p>2</p><p>2</p><p>⇐⇒ 65 =</p><p>x</p><p>5</p><p>+ 4</p><p>⇐⇒ 65− 4 =</p><p>x</p><p>5</p><p>⇐⇒ 61 =</p><p>x</p><p>5</p><p>⇐⇒ 61× 5 =</p><p>x</p><p>5</p><p>× 5</p><p>⇐⇒ 305 = x ⇐⇒ x = 305 .</p><p>Portanto, o estabelecimento vende uma quantidade de 305 unidades do produto, quando o</p><p>lucro deste estabelecimento é de 125 reais.</p><p>Exerćıcio 8 (FCC) Em 2001 a fábrica ABC exportou 44% de sua produção. Em 2002 esse ı́ndice</p><p>passou para 55%. Nessas condições, o acréscimo percentual nas exportações da fábrica ABC foi de:</p><p>(A) 11% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 50%</p><p>Solução: Vamos chamar de P a quantidade produzida. Então antes a fábrica exportava 44P/100,</p><p>e em 2002 passou a exportar 55P/100. A diferença é de 11P/100, quantos porcento de 44P/100</p><p>isso representa? Temos que calcular:</p><p>11P</p><p>100</p><p>÷ 44P</p><p>100</p><p>=</p><p>11P</p><p>100</p><p>× 100</p><p>44P</p><p>=</p><p>25</p><p>100</p><p>Portanto, a resposta é 25%.</p><p>Uma forma alternativa de resolver este tipo de questão, onde se deseja encontrar um acréscimo/de-</p><p>créscimo (aumento/diminuição) percentual seria utilizando a regra de três. Neste caso, temos que</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 5</p><p>100% corresponde à quantidade que era exportada antes, ou seja,</p><p>44P</p><p>100</p><p>, e queremos descobrir quanto</p><p>porcento de</p><p>44P</p><p>100</p><p>o acréscimo</p><p>11P</p><p>100</p><p>representa. Desta forma, montamos a seguinte regra de três.</p><p>100% −−− 44P</p><p>100</p><p>x% −−− 11P</p><p>100</p><p>Exerćıcio 9 (FCC) Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida foi</p><p>revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do</p><p>terreno um percentual de</p><p>(A) 20% (B) 22% (C) 26% (D) 30% (E) 32%</p><p>Solução: Primeiro vamos calcular o valor inicial do terreno. Vamos chamar este valor de V . Se ele</p><p>foi vendido com lucro de 10%, então foi vendido por V +0, 1V , isto é, 1, 1V = 27500. Então o valor</p><p>do terreno seria V = 27500/1, 1. Deste valor para 33000, qual o aumento percentual? Chamando</p><p>de x este aumento, temos:</p><p>33000 =</p><p>27500</p><p>1, 1</p><p>+</p><p>x</p><p>100</p><p>27500</p><p>1, 1</p><p>ou, multiplicando tudo por 1, 1,</p><p>36300 = 27500 +</p><p>x</p><p>100</p><p>27500.</p><p>Ou seja,</p><p>36300− 27500 =</p><p>x</p><p>100</p><p>27500</p><p>8800 =</p><p>x</p><p>100</p><p>27500</p><p>8800</p><p>27500</p><p>=</p><p>x</p><p>100</p><p>Isto é,</p><p>x</p><p>100</p><p>=</p><p>8800</p><p>27500</p><p>=</p><p>32</p><p>100</p><p>Logo o lucro total foi de 32%.</p><p>Exerćıcio 10 (CESPE-94) Um trabalhador gastava 30% de seu salário com aluguel. Após certo</p><p>peŕıodo seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário foi reajustado em 500%. Então, a</p><p>porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi:</p><p>(A) 34% (B) 38% (C) 40% (D) 52% (E) 45%</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 6</p><p>Solução: Vamos chamar de s o salário inicial. Então o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel. Se</p><p>o aluguel teve um aumento de 700%, então o aluguel passou ao valor de 8× 0, 3s, isto é, 2, 4s. Por</p><p>outro lado, o salário foi reajustado em 500%, isto é, o trabalhador passou a receber 6s. Precisamos</p><p>ver que porcentagem deste novo salário é gasta com o aluguel. Chamando esta porcentagem de x</p><p>temos:</p><p>2, 4s =</p><p>x</p><p>100</p><p>6s</p><p>x</p><p>100</p><p>=</p><p>2, 4s</p><p>6s</p><p>x</p><p>100</p><p>= 0, 4 =</p><p>40</p><p>100</p><p>Portanto, o aluguel representa agora 40% do salário do trabalhador.</p><p>Outra solução: Vamos chamar de s o salário inicial, de S o salário final, de a o aluguel inicial e de</p><p>A o aluguel final. Então, de acordo</p><p>com o enunciado, temos</p><p>a = 0, 3s</p><p>(pois o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel). Temos também</p><p>A = a+ 7a = 8a</p><p>e</p><p>S = s+ 5s = 6s</p><p>(pois o aluguel aumentou 700% e o salário foi reajustado em 500%).</p><p>Queremos saber qual a porcentagem do novo salário que é gasta com o novo aluguel, logo devemos</p><p>descobrir quanto vale A/S:</p><p>A</p><p>S</p><p>=</p><p>8a</p><p>6s</p><p>=</p><p>8× 0, 3s</p><p>6s</p><p>=</p><p>2, 4</p><p>0, 6</p><p>= 0, 4</p><p>Portanto, o trabalhador passou a gastar com aluguel 40% de seu salário.</p><p>Exerćıcio 11 Foi publicada no Globo de 12/08/09 uma not́ıcia sobre a variação das taxas de juros</p><p>na qual podemos ler as seguintes frase:</p><p>“Cinco das seis principais linhas de crédito do páıs reduziram suas taxas mensais</p><p>para pessoas f́ısicas de junho para julho, segundo pesquisa divulgada nesta quarta-feira</p><p>pela Associação Nacional dos Executivos de Finanças, Administração e Contabilidade</p><p>(Anefac). O cheque especial foi a linha de crédito em que houve a maior redução de</p><p>juros no peŕıodo: a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano)</p><p>para 7,44% (136,59% ao ano), menor patamar da série histórica iniciada em janeiro</p><p>de 1995.” (O Globo, 12/08/09)</p><p>Explique como foi calculada a queda percentual de 1,33% relativa à variação da taxa de juros do</p><p>cheque especial.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 7</p><p>Solução: A not́ıcia diz: “ a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano) para</p><p>7,44% (136,59% ao ano)”.</p><p>Se passou de 7,54% para 7,44%, recuou em 0,1%. Mas isso significa uma queda de quantos porcento</p><p>da taxa anterior? Temos que calcular quantos porcento de 7,54 é 0,1. Por regra de três, diŕıamos</p><p>que 7,54 está para 100% assim como 0,1 está para x%. Ficamos com:</p><p>x = (0, 1× 100)/7, 54 ≈ 1, 326</p><p>Assim foi calculada a queda de 1,33% relativa à variação da taxa de juros do cheque especial.</p><p>Exerćıcio 12 Um gerente forneceu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma televisão</p><p>e, mesmo assim, conseguiu para a loja um lucro de 15% sobre o preço de custo da televisão. Ao ver</p><p>um outro cliente muito interessado no mesmo televisor, ele resolveu não dar mais desconto algum.</p><p>Após realizar esta venda nestas condições (sem desconto), seu lucro, em porcentagem, foi de quanto?</p><p>Solução: Vamos chamar de V o preço de venda da televisão e de P o preço custo da televisão.</p><p>Vamos listar as informações que temos:</p><p>� na primeira transação comercial, como o gerente forneceu um desconto de 20% sobre o preço</p><p>de venda da TV, ela foi vendida por 0.8 V ;</p><p>� na segunda transação comercial, como o gerente não forneceu desconto sobre o preço de venda</p><p>da TV, ela foi vendida por V .</p><p>Para resolver o exerćıcio, temos que encontrar o lucro na segunda transação comercial, ou seja,</p><p>precisamos escrever V como o produto entre um número centesimal e P .</p><p>Como sabemos que na primeira transação comercial, houve um lucro de 15% sobre o preço custo da</p><p>TV, temos a seguinte uma relação entre V e P</p><p>0.8 V = 1.15 P .</p><p>Desta forma, encontramos que</p><p>V =</p><p>1.15</p><p>0.8</p><p>P =</p><p>115</p><p>80</p><p>P = 1, 4375 P =</p><p>143, 75</p><p>100</p><p>P .</p><p>Descobrimos portanto que</p><p>V = 143, 75% P .</p><p>Conclúımos, assim, que houve um lucro de 43, 75% na segunda transação comercial.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 8</p><p>Exerćıcio 13 Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender</p><p>o produto, o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado,</p><p>isto é, da diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C.</p><p>(a) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 500 euros.</p><p>(b) Dê a expressão do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja dado, em euros,</p><p>por V .</p><p>(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando apenas o preço de</p><p>venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto deverá vender o produto?</p><p>Solução:</p><p>(a) Com o preço de venda V = 500, o valor agregado será</p><p>V − C = 500− 300 = 200 euros,</p><p>logo o imposto será de 20-% deste valor, ou seja</p><p>20% · 200 =</p><p>20</p><p>100</p><p>· 200 = 40 euros.</p><p>(b) Com o preço de venda V , o valor agregado será</p><p>V − C = V − 300 euros,</p><p>logo o imposto será de 20% deste valor, ou seja, em euros,</p><p>20% · (V − 300) =</p><p>20</p><p>100</p><p>· (V − 300) =</p><p>1</p><p>5</p><p>· (V − 300) =</p><p>V</p><p>5</p><p>− 60.</p><p>(c) O lucro L é dado pelo preço de venda V , descontado o preço de compra C = 300 e o imposto</p><p>calculado na questão anterior. Assim,</p><p>L = V − 300−</p><p>(</p><p>V</p><p>5</p><p>− 60</p><p>)</p><p>= V − V</p><p>5</p><p>− 300 + 60 =</p><p>4V</p><p>5</p><p>− 240.</p><p>Para que este lucro seja de 60 euros, teremos</p><p>L = 60 ⇔ 4V</p><p>5</p><p>− 240 = 60 ⇔ 4V</p><p>5</p><p>= 300 ⇔ V =</p><p>1500</p><p>4</p><p>= 375.</p><p>Exerćıcio 14 Nas questões abaixo, represente por C o preço que um comerciante pagou por um</p><p>produto que irá vender e determine os preços pedidos em função de C.</p><p>(a) Determine o preço de venda do produto para que o lucro seja de 10% do preço de compra.</p><p>(b) Determine o preço de venda do produto para que o lucro seja de 10% do preço de venda.</p><p>(c) Determine o preço de venda do produto para que o lucro, após o desconto de um imposto</p><p>equivalente a 20% do preço de venda, seja de 20% do preço de compra.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 9</p><p>Solução:</p><p>(a) Sendo V o preço de venda, o lucro será dado por L = V − C. Como o lucro deve ser de 10%</p><p>do preço de compra, isto é, 10%C, que é igual a</p><p>10</p><p>100</p><p>· C ou ainda</p><p>C</p><p>10</p><p>, temos</p><p>C</p><p>10</p><p>= V − C ∴ V =</p><p>C</p><p>10</p><p>+ C ∴ V =</p><p>C + 10C</p><p>10</p><p>=</p><p>11C</p><p>10</p><p>.</p><p>(b) Como o lucro é de 10% do preço de venda, temos</p><p>L = 10%V =</p><p>10</p><p>V</p><p>· 100 =</p><p>V</p><p>10</p><p>.</p><p>Como L = V − C, temos</p><p>V</p><p>10</p><p>= V − C ∴ V − V</p><p>10</p><p>= C ∴</p><p>10V − V</p><p>10</p><p>= C ∴</p><p>9V</p><p>10</p><p>= C ∴ V =</p><p>10C</p><p>9</p><p>.</p><p>(c) Agora, temos a incidência de um imposto I antes de apurar o lucro com a venda, ou seja</p><p>L = V − C − I. O imposto é de 20% do preço de venda, ou seja,</p><p>I = 20%V =</p><p>20</p><p>100</p><p>· V =</p><p>2V</p><p>10</p><p>.</p><p>O lucro deve ser de 20% do preço de compra, ou seja,</p><p>L = 20%C =</p><p>20</p><p>100</p><p>· C =</p><p>2C</p><p>10</p><p>.</p><p>Substituindo em L = V − C − I, temos</p><p>2C</p><p>10</p><p>= V−C−2V</p><p>10</p><p>∴</p><p>2C</p><p>10</p><p>+C = V−2V</p><p>10</p><p>∴</p><p>2C + 10C</p><p>10</p><p>=</p><p>10V − 2V</p><p>10</p><p>∴</p><p>12C</p><p>10</p><p>=</p><p>8V</p><p>10</p><p>∴ 12C = 8V ∴ V =</p><p>12C</p><p>8</p><p>=</p><p>3C</p><p>2</p><p>Exerćıcio 15 Uma pequena empresa, cujos gastos mensais totais somam 20.000, pode escolher duas</p><p>formas de tributação:</p><p>i. sobre o faturamento, em que paga um imposto de 10% sobre o faturamento mensal;</p><p>ii. sobre o lucro, em que paga um imposto de 20% sobre o lucro mensal, isto é, sobre a diferença</p><p>entre o faturamento e o custo mensais.</p><p>Obs.: assuma, nas questões abaixo, que a empresa ache interessante optar, mensalmente, pela forma</p><p>de tributação que resulte em menor imposto.</p><p>(a) Caso o faturamento da empresa em um dado mês seja de 50.000, por qual forma de tributação,</p><p>neste mês, a empresa achará interessante optar?</p><p>(b) Dê as expressões dos impostos a serem pagos nas duas modalidades de tributação (sobre o</p><p>faturamento e sobre o lucro), em função do faturamento x de um determinado mês.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 10</p><p>(c) Diga para que valores de faturamento mensal x, o imposto sobre o lucro é o mais interessante</p><p>para a empresa optar?</p><p>Solução:</p><p>(a) Se a empresa optasse pela forma de tributação sobre o faturamento, com um faturamento de</p><p>50.000, o imposto, que chamaremos de If , seria de</p><p>If = 10% de 50.000 =</p><p>10</p><p>100</p><p>· 50.000 =</p><p>50.000</p><p>10</p><p>= 5.000.</p><p>Já se a empresa optasse pela forma de tributação sobre o lucro, com um faturamento de 50.000</p><p>e um custo de 20.000, o lucro é de 50.000 − 20.000 = 30.000, de modo que o imposto, que</p><p>chamaremos de Il, seria de</p><p>Il = 20% de 30.000 =</p><p>20</p><p>100</p><p>· 30.000 =</p><p>60.000</p><p>10</p><p>= 6.000.</p><p>Como If</p><p>de x e um</p><p>custo de 20.000, o lucro é de x− 20.000, de modo que o imposto, que chamaremos de Il, seria</p><p>de</p><p>Il = 20% de (x− 20.000) =</p><p>20</p><p>100</p><p>· (x− 20.000) =</p><p>1</p><p>5</p><p>· (x− 20.000) =</p><p>x</p><p>5</p><p>− 20.000</p><p>5</p><p>=</p><p>x</p><p>5</p><p>− 4.000.</p><p>(c) A empresa achará mais interessante optar pelo imposto sobre o lucro, que chamamos de Il,</p><p>se este for menor do que o imposto sobre o faturamento, que chamamos de If . Pela questão</p><p>anterior, temos que</p><p>Il</p><p>a 80% do preço original, isto</p><p>é, queremos que o preço final Pf seja maior ou igual a 80% do preço inicial P . Matematicamente,</p><p>nossa condição se traduz em</p><p>Pf ⩾</p><p>80</p><p>100</p><p>P. (4)</p><p>Substituindo-se na inequação (4) o valor obtido para Pf em (3), temos</p><p>(100− d)(100 + a)</p><p>1002</p><p>P ⩾</p><p>80</p><p>100</p><p>P. (5)</p><p>Dividindo-se por P (que é positivo) a inequação (5), temos</p><p>(100− d)(100 + a)</p><p>1002</p><p>⩾</p><p>80</p><p>100</p><p>. (6)</p><p>Podemos multiplicar ambos os lados da inequação (6) por 1002, resultando em</p><p>(100− d)(100 + a) ⩾ 100 · 80. (7)</p><p>Observe que a inequação (7), embora apresente uma relação entre a e d, não deixa muito claro qual</p><p>deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relação clara, precisaremos</p><p>isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequação. Teremos então que</p><p>nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d é um desconto percentual, temos que 0 0.</p><p>a)</p><p>a2(b2)3</p><p>a3</p><p>b)</p><p>3a− 3</p><p>a2 − 2a+ 1</p><p>c)</p><p>4a2 − 4</p><p>8a2 − 16a+ 8</p><p>d)</p><p>a2 − 9</p><p>a− 3</p><p>e)</p><p>(3 + a)2 − 9</p><p>a</p><p>f)</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>− ab− b2</p><p>ab− a2</p><p>g)</p><p>(a− b)2</p><p>a2 − b2</p><p>+</p><p>2b</p><p>a+ b</p><p>h)</p><p>2(a+ b)√</p><p>a2 + b2 + 2ab</p><p>i)</p><p>[</p><p>ab+ b2</p><p>a2 − b2</p><p>+ 1</p><p>]−1</p><p>+ ba−1</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 19</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>a2(b2)3</p><p>a3</p><p>=</p><p>a2</p><p>a3</p><p>(b2)3 =</p><p>b6</p><p>a</p><p>(b)</p><p>3a− 3</p><p>a2 − 2a+ 1</p><p>=</p><p>3(a− 1)</p><p>(a− 1)2</p><p>=</p><p>3</p><p>a− 1</p><p>(c)</p><p>4a2 − 4</p><p>8a2 − 16a+ 8</p><p>=</p><p>4(a2 − 1)</p><p>8(a2 − 2a+ 1)</p><p>==</p><p>4(a+ 1)(a− 1)</p><p>8(a− 1)2</p><p>=</p><p>a+ 1</p><p>2(a− 1)</p><p>(d)</p><p>a2 − 9</p><p>a− 3</p><p>=</p><p>(a+ 3)(a− 3)</p><p>a− 3</p><p>= a+ 3</p><p>(e)</p><p>(3 + a)2 − 9</p><p>a</p><p>=</p><p>(</p><p>(3 + a) + 3</p><p>) (</p><p>(3 + a)− 3</p><p>)</p><p>a</p><p>=</p><p>(</p><p>6 + a</p><p>)</p><p>a</p><p>a</p><p>= 6 + a</p><p>(f)</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>− ab− b2</p><p>ab− a2</p><p>=</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>− b(a− b)</p><p>a(b− a)</p><p>=</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>− b (a− b)</p><p>(−a)(a− b)</p><p>=</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>+</p><p>b2</p><p>ab</p><p>=</p><p>a2 − b2 + b2</p><p>ab</p><p>=</p><p>a2</p><p>ab</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>Portanto,</p><p>a2 − b2</p><p>ab</p><p>− ab− b2</p><p>ab− a2</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>.</p><p>(g)</p><p>(a− b)2</p><p>a2 − b2</p><p>+</p><p>2b</p><p>a+ b</p><p>=</p><p>(a− b)2</p><p>(a+ b)(a− b)</p><p>+</p><p>2b</p><p>a+ b</p><p>=</p><p>a− b</p><p>a+ b</p><p>+</p><p>2b</p><p>a+ b</p><p>=</p><p>a− b+ 2b</p><p>a+ b</p><p>=</p><p>a+ b</p><p>a+ b</p><p>= 1.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 20</p><p>Portanto,</p><p>(a− b)2</p><p>a2 − b2</p><p>+</p><p>2b</p><p>a+ b</p><p>= 1 .</p><p>(h)</p><p>2(a+ b)√</p><p>a2 + b2 + 2ab</p><p>=</p><p>2(a+ b)√</p><p>(a+ b)2</p><p>=</p><p>2(a+ b)</p><p>(a+ b)</p><p>= 2</p><p>(i) [</p><p>ab+ b2</p><p>a2 − b2</p><p>+ 1</p><p>]−1</p><p>+ ba−1 =</p><p>[</p><p>ab+ b2</p><p>a2 − b2</p><p>+</p><p>a2 − b2</p><p>a2 − b2</p><p>]−1</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>[</p><p>ab+ b2 + a2 − b2</p><p>a2 − b2</p><p>]−1</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>[</p><p>ab+ a2</p><p>a2 − b2</p><p>]−1</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>[</p><p>a(b+ a)</p><p>(a+ b)(a− b)</p><p>]−1</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>[</p><p>a</p><p>(a− b)</p><p>]−1</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>(a− b)</p><p>a</p><p>+</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>a− b+ b</p><p>a</p><p>=</p><p>a</p><p>a</p><p>= 1</p><p>Portanto,</p><p>[</p><p>ab+ b2</p><p>a2 − b2</p><p>+ 1</p><p>]−1</p><p>+ ba−1 = 1 .</p><p>Exerćıcio 26 Determine o valor de cada expressão numérica apresentada a seguir.</p><p>(a)</p><p>[(</p><p>1</p><p>3</p><p>)3</p><p>÷</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)−3</p><p>](</p><p>1</p><p>27</p><p>)−1</p><p>3 ×</p><p>(</p><p>−1</p><p>3</p><p>)−2</p><p>(b)</p><p>[(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)4</p><p>÷</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)3](</p><p>−1</p><p>2</p><p>)−2</p><p>+ (−64)1/3</p><p>(c)</p><p>( √</p><p>5 3</p><p>√</p><p>−36</p><p>(5× 36)1/2</p><p>)3</p><p>−</p><p>[</p><p>(−0, 2)13 ÷</p><p>(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)12](</p><p>−1</p><p>5</p><p>)−3</p><p>Solução:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 21</p><p>(a)</p><p>[(</p><p>1</p><p>3</p><p>)3</p><p>÷</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)−3</p><p>](</p><p>1</p><p>27</p><p>)−1</p><p>3 ×</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)−2</p><p>=</p><p>[(</p><p>1</p><p>3</p><p>)3</p><p>÷</p><p>(</p><p>3</p><p>1</p><p>)3](27</p><p>1</p><p>)1</p><p>3 ×</p><p>(</p><p>3</p><p>1</p><p>)2</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>33</p><p>÷ 33</p><p>1</p><p>]</p><p>3</p><p>√</p><p>27× 32</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>33</p><p>× 1</p><p>33</p><p>]</p><p>3× 32</p><p>=</p><p>1</p><p>36</p><p>× 33</p><p>=</p><p>1</p><p>33</p><p>=</p><p>1</p><p>27</p><p>(b) [(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)4</p><p>÷</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)3](</p><p>−1</p><p>2</p><p>)−2</p><p>+ (−64)1/3 =</p><p>[(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)4</p><p>÷</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)3](</p><p>−1</p><p>2</p><p>)−2</p><p>+ 3</p><p>√</p><p>−64</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>24</p><p>÷</p><p>(</p><p>− 1</p><p>23</p><p>)](</p><p>−2</p><p>1</p><p>)2</p><p>+</p><p>3</p><p>√</p><p>−26</p><p>=</p><p>[</p><p>− 1</p><p>24</p><p>× 23</p><p>1</p><p>]</p><p>22 + (−22)</p><p>= −1× 23 × 22</p><p>24</p><p>+ (−4)</p><p>= −2− 4</p><p>= −6</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 22</p><p>(c) ( √</p><p>5 3</p><p>√</p><p>−36</p><p>(5× 36)1/2</p><p>)3</p><p>−</p><p>[</p><p>(−0, 2)13 ÷</p><p>(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)12](</p><p>−1</p><p>5</p><p>)−3</p><p>=</p><p>(√</p><p>5 3</p><p>√</p><p>−36√</p><p>5</p><p>√</p><p>36</p><p>)3</p><p>−</p><p>[(</p><p>− 2</p><p>10</p><p>)13</p><p>÷</p><p>(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)12] [(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)−1</p><p>]3</p><p>=</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>−36</p><p>6</p><p>)3</p><p>−</p><p>[(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)13</p><p>÷</p><p>(</p><p>+</p><p>1</p><p>512</p><p>)] [</p><p>−5</p><p>1</p><p>]3</p><p>=</p><p>( 3</p><p>√</p><p>−36)3</p><p>63</p><p>−</p><p>[</p><p>− 1</p><p>513</p><p>× 512</p><p>]</p><p>(−5)3</p><p>=</p><p>−36</p><p>6</p><p>−</p><p>[</p><p>−1</p><p>5</p><p>]</p><p>(−5)3</p><p>= −1</p><p>6</p><p>− 1</p><p>5</p><p>× 53</p><p>= −1</p><p>6</p><p>− 25</p><p>= −1</p><p>6</p><p>− 150</p><p>6</p><p>=</p><p>−1− 150</p><p>6</p><p>= −151</p><p>6</p><p>Exerćıcio 27 Resolva cada item, passo por passo.</p><p>(a) Verifique que</p><p>3√</p><p>5− 1</p><p>− 3</p><p>√</p><p>5</p><p>4</p><p>é igual a</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>(b) Determine o valor de 5</p><p>√</p><p>−32 + (27)−1/3.</p><p>(c) Determine o valor de 5− 2</p><p>[(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 3</p><p>)2</p><p>÷ 1</p><p>4</p><p>− 26</p><p>]</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>3√</p><p>5− 1</p><p>− 3</p><p>√</p><p>5</p><p>4</p><p>=</p><p>3√</p><p>5− 1</p><p>·</p><p>√</p><p>5 + 1√</p><p>5 + 1</p><p>− 3</p><p>√</p><p>5</p><p>4</p><p>=</p><p>3(</p><p>√</p><p>5 + 1)</p><p>5− 1</p><p>− 3</p><p>√</p><p>5</p><p>4</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>5 + 3</p><p>4</p><p>− 3</p><p>√</p><p>5</p><p>4</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>(b) 5</p><p>√</p><p>−32 + (27)−1/3 = −2 +</p><p>1</p><p>(27)1/3</p><p>= −2 +</p><p>1</p><p>3</p><p>√</p><p>27</p><p>= −2 +</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>−6 + 1</p><p>3</p><p>= −5</p><p>3</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 23</p><p>(c)</p><p>5− 2</p><p>[(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 3</p><p>)2</p><p>÷ 1</p><p>4</p><p>− 26</p><p>]</p><p>= 5− 2</p><p>[(</p><p>1− 6</p><p>2</p><p>)2</p><p>÷ 1</p><p>4</p><p>− 26</p><p>]</p><p>= 5− 2</p><p>[(−5</p><p>2</p><p>)2</p><p>÷ 1</p><p>4</p><p>− 26</p><p>]</p><p>= 5− 2</p><p>[</p><p>25</p><p>4</p><p>÷ 1</p><p>4</p><p>− 26</p><p>]</p><p>= 5− 2</p><p>[</p><p>25</p><p>�4</p><p>· �4</p><p>1</p><p>− 26</p><p>]</p><p>= 5− 2 [25− 26]</p><p>= 5− 2[−1]</p><p>= 5 + 2</p><p>= 7</p><p>Exerćıcio 28 Determine o valor de m+ n, dado que</p><p>m =</p><p>3</p><p>√</p><p>−1</p><p>27</p><p>− (32)−1/5 e n =</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)2</p><p>÷ 5</p><p>4</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>m =</p><p>3</p><p>√</p><p>−1</p><p>27</p><p>− (32)−1/5</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>−1</p><p>33</p><p>− (25)−1/5</p><p>=</p><p>−1</p><p>3</p><p>− (2)−1</p><p>= −1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>= −2</p><p>6</p><p>− 3</p><p>6</p><p>= −5</p><p>6</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 24</p><p>e</p><p>n =</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)2</p><p>÷ 5</p><p>4</p><p>=</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)2</p><p>.</p><p>4</p><p>5</p><p>=</p><p>(</p><p>8</p><p>12</p><p>− 3</p><p>12</p><p>)2</p><p>.</p><p>4</p><p>5</p><p>=</p><p>(</p><p>5</p><p>12</p><p>)2</p><p>.</p><p>4</p><p>5</p><p>=</p><p>25</p><p>144</p><p>.</p><p>4</p><p>5</p><p>=</p><p>5</p><p>36</p><p>.</p><p>Logo,</p><p>m+ n = −5</p><p>6</p><p>+</p><p>5</p><p>36</p><p>= −30</p><p>36</p><p>+</p><p>5</p><p>36</p><p>= −25</p><p>36</p><p>.</p><p>Conclusão: 3</p><p>√</p><p>−1</p><p>27</p><p>− (32)−1/5 +</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)2</p><p>÷ 5</p><p>4</p><p>= −25</p><p>36</p><p>.</p><p>Exerćıcio 29 Considere os números A e B abaixo:</p><p>A =</p><p>7√</p><p>2−</p><p>√</p><p>(−3)2</p><p>, B = −</p><p>√</p><p>18√</p><p>3</p><p>.</p><p>(a) Racionalize os números A e B.</p><p>(b) Calcule o valor de</p><p>A</p><p>− 1√</p><p>3</p><p>+B −</p><p>√</p><p>33.</p><p>Solução:</p><p>(a) Temos</p><p>A =</p><p>7√</p><p>2−</p><p>√</p><p>(−3)2</p><p>=</p><p>7√</p><p>2−</p><p>√</p><p>9</p><p>=</p><p>7√</p><p>2− 3</p><p>=</p><p>7√</p><p>2− 3</p><p>·</p><p>√</p><p>2 + 3√</p><p>2 + 3</p><p>=</p><p>7(</p><p>√</p><p>2 + 3)</p><p>(</p><p>√</p><p>2)2 − 32</p><p>=</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 25</p><p>=</p><p>7(</p><p>√</p><p>2 + 3)</p><p>2− 9</p><p>=</p><p>7(</p><p>√</p><p>2 + 3)</p><p>−7</p><p>= −(</p><p>√</p><p>2 + 3) = −</p><p>√</p><p>2− 3.</p><p>e</p><p>B = −</p><p>√</p><p>18√</p><p>3</p><p>= −</p><p>√</p><p>3 · 6√</p><p>3</p><p>= −</p><p>√</p><p>3 ·</p><p>√</p><p>6√</p><p>3</p><p>= −</p><p>√</p><p>6.</p><p>(b) Temos</p><p>A</p><p>− 1√</p><p>3</p><p>+B −</p><p>√</p><p>33 = A ·</p><p>(</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>1</p><p>)</p><p>+B −</p><p>√</p><p>32 · 3 = −</p><p>√</p><p>3 · A+B − 3</p><p>√</p><p>3 =</p><p>= −</p><p>√</p><p>3 ·</p><p>(</p><p>−</p><p>√</p><p>2− 3</p><p>)</p><p>+</p><p>√</p><p>6− 3</p><p>√</p><p>3 =</p><p>√</p><p>3</p><p>√</p><p>2 +</p><p>√</p><p>3 · 3−</p><p>√</p><p>6− 3</p><p>√</p><p>3 =</p><p>=</p><p>√</p><p>6 + 3</p><p>√</p><p>3−</p><p>√</p><p>6− 3</p><p>√</p><p>3 = 0.</p><p>Exerćıcio 30 Racionalizando e simplificando, escreva o número</p><p>√</p><p>20−</p><p>√</p><p>80√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>(−2)2</p><p>na forma a</p><p>√</p><p>b(</p><p>√</p><p>c+ d).</p><p>Solução:</p><p>Temos</p><p>√</p><p>20−</p><p>√</p><p>80√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>(−2)2</p><p>=</p><p>√</p><p>4 · 5−</p><p>√</p><p>16 · 5√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>4</p><p>=</p><p>√</p><p>22 · 5−</p><p>√</p><p>42 · 5√</p><p>6 + 2</p><p>=</p><p>2</p><p>√</p><p>5− 4</p><p>√</p><p>5√</p><p>6 + 2</p><p>=</p><p>−2</p><p>√</p><p>5√</p><p>6 + 2</p><p>=</p><p>−2</p><p>√</p><p>5√</p><p>6 + 2</p><p>·</p><p>√</p><p>6− 2√</p><p>6− 2</p><p>=</p><p>−2</p><p>√</p><p>5</p><p>(√</p><p>6− 2</p><p>)(√</p><p>6</p><p>)2 − 22</p><p>=</p><p>−2</p><p>√</p><p>5</p><p>(√</p><p>6− 2</p><p>)</p><p>6− 4</p><p>=</p><p>−2</p><p>√</p><p>5</p><p>(√</p><p>6− 2</p><p>)</p><p>2</p><p>= −</p><p>√</p><p>5</p><p>(√</p><p>6− 2</p><p>)</p><p>,</p><p>que está na forma solicitada, com a = −1, b = 5, c = 6 e d = −2.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 26</p><p>Exerćıcio 31 Racionalizando e simplificando, escreva o número</p><p>A =</p><p>√</p><p>27√</p><p>(−2)2 −</p><p>√</p><p>7</p><p>.</p><p>Solução: Temos que</p><p>A =</p><p>√</p><p>27√</p><p>(−2)2 −</p><p>√</p><p>7</p><p>=</p><p>√</p><p>27√</p><p>4−</p><p>√</p><p>7</p><p>=</p><p>√</p><p>27</p><p>2−</p><p>√</p><p>7</p><p>=</p><p>√</p><p>27</p><p>2−</p><p>√</p><p>7</p><p>· 2 +</p><p>√</p><p>7</p><p>2 +</p><p>√</p><p>7</p><p>=</p><p>√</p><p>27(2 +</p><p>√</p><p>7)</p><p>4− 7</p><p>=</p><p>√</p><p>27(2 +</p><p>√</p><p>7)</p><p>−3</p><p>=</p><p>√</p><p>32 · 3 (2 +</p><p>√</p><p>7)</p><p>−3</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>3 (2 +</p><p>√</p><p>7)</p><p>−3</p><p>= −</p><p>√</p><p>3(2 +</p><p>√</p><p>7).</p><p>Expressões Algébricas</p><p>Chamaremos de E(x) (lê-se “E de x”) uma expressão algébrica onde a variável envolvida é a letra</p><p>x. Por exemplo, se quisermos representar a expressão x2 − 3, escreveremos</p><p>E(x) = x2 − 3.</p><p>O sinal de igualdade aqui utilizado, significa que foi atribúıda à E(x) a expressão x2−3. Fornecendo</p><p>um valor para x, podemos determinar o valor de uma expressão E(x). No caso da expressão definida</p><p>anteriormente, fazendo x = 2, temos que</p><p>E(2) = 22 − 3 = 4− 3 = 1.</p><p>Exerćıcio 32 Para cada uma das expressões algébricas E(x) seguintes, calcule o valor da expressão</p><p>no valor de x dado. Tenha atenção ao calcular x2 e −x2.</p><p>(a) E(x) = −x2 +</p><p>x</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>, E(0, 1)</p><p>(b) E(x) = −x2 +</p><p>x</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>, E(−0, 1)</p><p>(c) E(x) = x2 +</p><p>x</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>, E(0, 1)</p><p>(d) E(x) = x2 +</p><p>x</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>, E(−0, 1)</p><p>Solução:</p><p>(a) Como 0, 1 =</p><p>1</p><p>10</p><p>, temos que</p><p>E(0, 1) = −</p><p>(</p><p>1</p><p>10</p><p>)2</p><p>+</p><p>1</p><p>10</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= −</p><p>(</p><p>12</p><p>(10)2</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>10</p><p>· 1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= −</p><p>(</p><p>1</p><p>100</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>20</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= − 1</p><p>100</p><p>+</p><p>1</p><p>20</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= − 1</p><p>100</p><p>+</p><p>5</p><p>100</p><p>− 20</p><p>100</p><p>=</p><p>−1 + 5− 20</p><p>100</p><p>= − 16</p><p>100</p><p>= − 4</p><p>25</p><p>Portanto, E(0, 1) = − 4</p><p>25</p><p>= −0, 16</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 27</p><p>(b) Como −0, 1 = − 1</p><p>10</p><p>=</p><p>−1</p><p>10</p><p>, temos que</p><p>E(−0, 1) = −</p><p>(−1</p><p>10</p><p>)2</p><p>+</p><p>(</p><p>−1</p><p>10</p><p>)</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= −</p><p>(</p><p>(−1)2</p><p>(10)2</p><p>)</p><p>+</p><p>(−1</p><p>10</p><p>)</p><p>· 1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= −</p><p>(</p><p>1</p><p>100</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>− 1</p><p>20</p><p>)</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= − 1</p><p>100</p><p>− 1</p><p>20</p><p>− 1</p><p>5</p><p>= − 1</p><p>100</p><p>− 5</p><p>100</p><p>− 20</p><p>100</p><p>=</p><p>−1− 5− 20</p><p>100</p><p>= − 26</p><p>100</p><p>= −13</p><p>50</p><p>Portanto, E(−0, 1) = −13</p><p>50</p><p>= −0, 26 .</p><p>(c) Como 0, 1 =</p><p>1</p><p>10</p><p>, temos que</p><p>E(0, 1) =</p><p>(</p><p>1</p><p>10</p><p>)2</p><p>+</p><p>1</p><p>10</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>(</p><p>12</p><p>(10)2</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>10</p><p>· 1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>100</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>20</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>100</p><p>+</p><p>1</p><p>20</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>100</p><p>+</p><p>5</p><p>100</p><p>− 20</p><p>100</p><p>=</p><p>1 + 5− 20</p><p>100</p><p>= − 14</p><p>100</p><p>= − 7</p><p>50</p><p>Portanto, E(0, 1) = − 7</p><p>50</p><p>= −0, 14</p><p>(d) Como −0, 1 = − 1</p><p>10</p><p>=</p><p>−1</p><p>10</p><p>, temos que</p><p>E(−0, 1) =</p><p>(−1</p><p>10</p><p>)2</p><p>+</p><p>(</p><p>−1</p><p>10</p><p>)</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>(</p><p>(−1)2</p><p>(10)2</p><p>)</p><p>+</p><p>(−1</p><p>10</p><p>)</p><p>· 1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>100</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>− 1</p><p>20</p><p>)</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>100</p><p>− 1</p><p>20</p><p>− 1</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>100</p><p>− 5</p><p>100</p><p>− 20</p><p>100</p><p>=</p><p>1− 5− 20</p><p>100</p><p>= − 24</p><p>100</p><p>= − 6</p><p>25</p><p>Portanto, E(−0, 1) = − 6</p><p>25</p><p>= −0, 24 .</p><p>Exerćıcio 33 Determine o valor de x que satisfaz a equação dada em cada um dos itens a seguir.</p><p>(a) x2 = 0 (b) x3 = 27 (c) x3 = −27 (d) x2 = 16 (e) x2 = −16</p><p>Solução:</p><p>(a) A única solução é x = 0 pois 0 · 0 = 0.</p><p>(b) A única solução é x = 3 pois 3 · 3 · 3 = 27.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 28</p><p>(c) A única solução é x = −3 pois (−3) · (−3) · (−3) = −27.</p><p>(d) Nesse caso, as duas soluções posśıveis são os números x1 = 4 e x2 = −4 .</p><p>Pois para x1 = 4, vale que (4)2 = 4 · 4 = 16. E, para x2 = −4, vale que (−4)2 = (−4) · (−4) =</p><p>16.</p><p>(e) Veja que em x2 = −16, x2 é sempre um número positivo e −16 é um número negativo. Logo,</p><p>não existe um número real que satisfaz a equação dada.</p><p>Assim, pelo que foi estudado no Caderno Didático (páginas 91, 92 e 93) e tendo como exemplo o</p><p>exerćıcio acima, concluimos que a equação xn = a, com n > 0 inteiro, possui:</p><p>� uma só solução x = 0, se a = 0.</p><p>� uma só solução, de mesmo sinal que a, se n é ı́mpar.</p><p>� duas soluções simétricas, x1 = n</p><p>√</p><p>a e x2 = − n</p><p>√</p><p>a, se n é par e a > 0.</p><p>� a equação não tem solução real, se a</p><p>A expressão é falsa, por exemplo, se b = −1 e m = 2 e n = 1. Veja:</p><p>m</p><p>√</p><p>bmn = 2</p><p>√</p><p>(−1)2·1 =</p><p>√</p><p>1 = 1,</p><p>porém</p><p>bn = (−1)1 = −1.</p><p>Na verdade, a igualdade não se verifica quando b for negativo, m par e n ı́mpar. Sendo m par, mn</p><p>será também par. Assim, bmn é positivo, e então m</p><p>√</p><p>bmn existe e é positivo. Por outro lado, como b</p><p>é negativo e n é ı́mpar, bn será negativo. Com isso teremos m</p><p>√</p><p>bmn ̸= bn (o lado direito é positivo e</p><p>o lado esquerdo é negativo).</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP5 29</p><p>Exerćıcio 36 A igualdade mn</p><p>√</p><p>bm = n</p><p>√</p><p>b é verdadeira para todo b real e m,n naturais?</p><p>Solução: Mais uma vez, a igualdade não é verdadeira para todo b real e m,n naturais. Ela é falsa,</p><p>por exemplo, se b = −1, m = 2 e n = 3 (na verdade, será falsa para b negativo, m par e n ı́mpar).</p><p>Veja:</p><p>mn</p><p>√</p><p>bm = 6</p><p>√</p><p>(−1)2 =</p><p>6</p><p>√</p><p>1 = 1</p><p>e</p><p>n</p><p>√</p><p>b = 3</p><p>√</p><p>−1 = −1.</p><p>Vamos pensar um pouco mais sobre os exerćıcios acima?</p><p>É muito comum acreditar na possibilidade de “cortar”ou “cancelar”o ı́ndice de uma raiz com o</p><p>expoente do radicando, isto é, acreditar que as igualdades</p><p>m</p><p>√</p><p>bmn = bn,</p><p>mn</p><p>√</p><p>bm =</p><p>n</p><p>√</p><p>b</p><p>mn</p><p>√</p><p>bmp =</p><p>n</p><p>√</p><p>bp</p><p>são verdadeiras. Estas igualdades trazem uma grande armadilha, que é o fato de a base poder ser</p><p>negativa e o expoente m poder ser par. Neste caso, no lado esquerdo teremos bm, sendo a base b</p><p>negativa e o expoente m par, o que fará com que o radicando seja positivo. Quando “cortamos”ou</p><p>“cancelamos”o m, perdemos este sinal positivo. Quando o n ou p acima forem ı́mpares, isto repre-</p><p>sentará um grande problema, pois teremos um positivo de um lado e um negativo de outro.</p><p>Uma situação ainda pior pode acontecer, veja o caso de</p><p>4</p><p>√</p><p>b6. Se escrevermos</p><p>4</p><p>√</p><p>b6 na forma</p><p>2·2</p><p>√</p><p>b2·3</p><p>e “cortarmos”o 2 do ı́ndice com o do expoente do radicando, teremos</p><p>2</p><p>√</p><p>b3. Para b = −1, teremos</p><p>4</p><p>√</p><p>b6 = 4</p><p>√</p><p>(−1)6 =</p><p>4</p><p>√</p><p>1 = 1</p><p>e</p><p>2</p><p>√</p><p>(−1)3 =</p><p>√</p><p>−1, que não existe!.</p><p>Ou seja, a igualdade</p><p>4</p><p>√</p><p>b6 =</p><p>2</p><p>√</p><p>b3 não só está errada, como sequer faz sentido para b</p>