EP10-Gabarito

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>EP10 � Gabarito � Métodos Determinísticos I</p><p>Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático.</p><p>Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e</p><p>calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras.</p><p>a) A = (−1, 3) e B = (2, 4)</p><p>b) A = (3, 1) e B = (2, 2)</p><p>c) A = (2,−1) e B = (−2, 2)</p><p>Solução:</p><p>a) b) c)</p><p>1 unid</p><p>3 unid</p><p>A</p><p>B</p><p>-2 -1 1 2 3 4 5</p><p>x</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>y</p><p>1 unid</p><p>1 unid</p><p>A</p><p>B</p><p>-2 -1 1 2 3 4 5</p><p>x</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>y</p><p>3 unid</p><p>4 unid</p><p>A</p><p>B</p><p>-2 -1 1 2 3 4 5</p><p>x</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>y</p><p>Figura 1: Exercício 1</p><p>a) No grá�co da Figura 1 - a) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras</p><p>ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[</p><p>d(A,B)</p><p>]2</p><p>= (2− (−1))2 + (4− 3)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10</p><p>Daí, deduzimos que d(A,B) =</p><p>√</p><p>10.</p><p>b) No grá�co da Figura 1 - b) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras</p><p>ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[</p><p>d(A,B)</p><p>]2</p><p>= (2− 3)2 + (2− 1)2 = (−1)2 + 12 = 1 + 1 = 2</p><p>Daí, deduzimos que d(A,B) =</p><p>√</p><p>2.</p><p>c) No grá�co da Figura 1 - c) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras</p><p>ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[</p><p>d(A,B)</p><p>]2</p><p>= (−2− 2)2 + (2− (−1))2 = (−4)2 + 32 = 16 + 9 = 25</p><p>Daí, deduzimos que d(A,B) =</p><p>√</p><p>25 = 5.</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 2</p><p>Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:</p><p>a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2}</p><p>b) {(x, y) ∈ R2;x = 3 e y ∈ (0, 5]}</p><p>c) {(x, y) ∈ R2;−1</p><p>o valor de y.</p><p>� determinar o vértice (xv, yv) da parábola, a partir da fórmula (xv, yv) =</p><p>(</p><p>− b</p><p>2a</p><p>,−∆</p><p>4a</p><p>)</p><p>.</p><p>E, �nalmente, lembramos a fatoração ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são soluções</p><p>de ax2 + bx+ c = 0.</p><p>a) Temos que</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 8</p><p>� y = 0 ⇐⇒ x2 − 2x− 3 = 0.</p><p>Usando a fórmula de Baskara para determinar a solução da equação acima, com a = 1,</p><p>b = −2 e c = −3, temos</p><p>∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0,</p><p>e</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>=</p><p>−(−2)±</p><p>√</p><p>16</p><p>2</p><p>=</p><p>2± 4</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, os valores que satisfazem x2 − 2x− 3 = 0, são</p><p>x1 =</p><p>2 + 4</p><p>2</p><p>= 3, x2 =</p><p>2− 4</p><p>2</p><p>= −1.</p><p>E, portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (−1, 0) e (3, 0).</p><p>� x = 0 ⇐⇒ y = (0)2 − 2(0) − 3 = −3. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto</p><p>(0,−3).</p><p>� (xv, yv) =</p><p>(</p><p>− b</p><p>2a</p><p>,−∆</p><p>4a</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>−−2</p><p>2</p><p>,−16</p><p>4</p><p>)</p><p>= (1,−4)</p><p>Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.</p><p>Seu grá�co está plotado na Figura 6-a).</p><p>Além disso, temos que y = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x+ 1).</p><p>b) Temos que</p><p>� y = 0 ⇐⇒ −3x2 + 6x− 3 = 0.</p><p>Notemos que esta equação é equivalente a equação −x2 + 2x − 1 = 0, cujas raízes deter-</p><p>minamos usando a fórmula de Baskara, com a = −1, b = 2 e c = −1, temos</p><p>∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(−1)(−1) = 4− 4 = 0,</p><p>e</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>=</p><p>−(2)±</p><p>√</p><p>0</p><p>−2</p><p>=</p><p>−2</p><p>−2</p><p>= 1.</p><p>Logo, temos que x1 = x2 = 1 satisfazem a equação −x2+2x−1 = 0, bem como a equação</p><p>−3x2 + 6x− 3 = 0.</p><p>Portanto, a parábola dada por −3x2 + 6x− 3 = 0 intercepta o eixo x no ponto (1, 0).</p><p>� x = 0 ⇐⇒ y = −3(0)2 + 6(0)− 3 = −3.</p><p>Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3).</p><p>� (xv, yv) =</p><p>(</p><p>− b</p><p>2a</p><p>,−∆</p><p>4a</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>− 2</p><p>−2</p><p>,− 0</p><p>−4</p><p>)</p><p>= (1, 0)</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 9</p><p>a) b)</p><p>V</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3</p><p>x</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>y</p><p>V</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3</p><p>x</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>y</p><p>c) d)</p><p>V</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3</p><p>x</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>y</p><p>V</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3</p><p>x</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>y</p><p>Figura 6: Exercício 7</p><p>Como em y = −3x2 + 6x − 3, a = −3 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.</p><p>Seu grá�co está plotado na Figura 6-c).</p><p>Neste caso, não temos como fatorar y = 3x2 − 4x+ 2.</p><p>d) Temos que</p><p>� y = 0 ⇐⇒ −x2</p><p>2</p><p>− x− 3</p><p>2</p><p>= 0.</p><p>A última equação é equivalente a x2 + 2x+ 3 = 0.</p><p>Usando a fórmula de Baskara nesta equação, com a = 1, b = 2 e c = 3, temos</p><p>∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(3) = 4− 12 = 8 4 d) x2 + y2 + 4x− 2y ⩾ 4</p><p>Solução:</p><p>a) Como</p><p>(x− 1)2 + (y − 2)2 4 ⇔ (x− 4)2 + (y − (−1))2 > 22,</p><p>a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (4,−1) e raio 2. Esta região</p><p>está esboçada abaixo:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 14</p><p>d) A inequação dada, em princípio, não se parece com as que descrevem regiões limitadas por</p><p>circunferências. Mas vamos completar os quadrados para estudá-la:</p><p>x2 + y2 + 4x− 2y ⩾ 4 ⇔ x2 + 4x+ y2 − 2y ⩾ 4 ⇔ x2 + 4x+4− 4 + y2 − 2y+1− 1 ⩾ 4 ⇔</p><p>⇔ (x2+4x+4)−4+(y2−2y+1)−1 ⩾ 4 ⇔ (x2+4x+4)+(y2−2y+1) ⩾ 4+4+1 ⇔ (x+2)2+(y−1)2 ⩾ 9 ⇔ (x−(−2))2+(y−1)2 ⩾ 32.</p><p>Assim, a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (−2, 1) e raio 3 ou</p><p>sobre a circunferência. Esta região está esboçada abaixo:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 15</p><p>Exercício 10</p><p>Represente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo:</p><p>a) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2</p><p>a ser feito não poderia ser maior</p><p>do que 10.000. Dê a inequação satisfeita pelo conjuntos dos investimentos (isto é, dos pontos</p><p>(x, y)) que cumprem a condição imposta pelo dono, e esboce a região correspondente no plano.</p><p>Solução: A condição imposta pelo dono é dada por√</p><p>(x− 4000)2 + (y − 6000)2 ⩽ 10000,</p><p>ou ainda</p><p>(x− 4000)2 + (y − 6000)2 ⩽ 100002.</p><p>Esta condição representa os pontos interiores ao círculo de centro (4.000, 6.000) e raio 10.000,</p><p>bem como os pontos da circunferência. Esta região está esboçada abaixo:</p><p>Mais uma vez podemos considerar que os investimentos x e y não podem ser negativos, obtendo</p><p>a região esboçada abaixo.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 27</p><p>(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condições im-</p><p>postas pelos diretores e pelo dono.</p><p>Solução: Todos os investimentos que atendem aos diretores de produção, marketing e �nan-</p><p>ceiros estão dentro das condições impostas pelo dono. Realmente, veja que os extremos do</p><p>segmento obtido no item (d) tem seus extremos dentro do círculo. O extremo (4.000, 6.000) é</p><p>o próprio centro, logo está dentro do círculo. Já para o extremo (6.000, 4.000), temos</p><p>d ((4.000, 6.000), (6.000, 4.000)) =</p><p>√</p><p>(4.000− 6.000)2 + (6.000− 4.000)2 =</p><p>=</p><p>√</p><p>2.0002 + 2.0002 = 2.000</p><p>√</p><p>2 ⩽ 10.000,</p><p>pois</p><p>√</p><p>2 0)</p><p>e vértice (</p><p>− b</p><p>2a</p><p>,−∆</p><p>4a</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>− −2</p><p>2 · 1</p><p>,−(−2)2 − 4 · 1 · (−2)</p><p>4 · 1</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>2</p><p>2</p><p>,−12</p><p>4</p><p>)</p><p>= (1,−3),</p><p>como representado abaixo:</p><p>(d) Os pontos (x, y) do plano que satisfazem y ≥ x2 − 2x− 2 são aqueles com coordenada y maior</p><p>ou igual à dos pontos que estão na parábola do item anterior, ou seja, é a região do plano acima</p><p>e sobre a parábola do item anterior:</p><p>(e) Os pontos que satisfazem (x− 1)2 + (y − 2)2 ≥ 4 são os estão no exterior do círculo de centro</p><p>(1, 2) e raio 2, ou exatamente sobre a circunferência.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 32</p><p>(f) Note que o círculo de equação (x−1)2+(y−2)2 = 4 possui centro (1, 2) e a parábola de Como</p><p>a parábola de equação y = x2 − 2x− 2 possui vértice (1,−3), como vimos no item (c). Como</p><p>é dito que eles não se intersectam, um esboço de ambos seria da forma abaixo:</p><p>Considerando ainda que o raio do círculo é 2, o ponto mais abaixo deste círculo é o (1, 0) (duas</p><p>unidades para baixo do centro (1, 2)) Com isso, a reta y = 1 intersecta o círculo como abaixo:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 33</p><p>Vamos considerar as desigualdades dadas:</p><p>Representando todos estes pontos no plano, temos</p><p>Como a primeira desigualdade é estrita, isto é, é um 4.</p><p>Preste especial atenção aos pontos que limitam a região do plano correspondente ao conjunto-solução.</p><p>Solução: Temos</p><p>x2+y2−4x ≥ 21 ⇔ x2−4x+y2 ≥ 21 ⇔ x2−4x+4−4+y2 ≥ 21 ⇔ (x2−4x+4)−4+y2 ≥ 21 ⇔</p><p>⇔ (x2−4x+4)−4+y2 ≥ 21 ⇔ (x2−4x+4)+y2 ≥ 25 ⇔ (x2−2)2+y2 ≥ 25 ⇔ (x2−2)2+(y−0)2 ≥ 52,</p><p>cuja solução é o conjunto dos pontos exteriores ao círculo de centro em (2, 0) e raio 5, e sobre a</p><p>circunferência, esboçado abaixo</p><p>Temos ainda</p><p>|y − 1| > 4 ⇔ y − 1 > 4 ou y − 1 5 ou y 4.</p><p>Exercício 15</p><p>(a) Escreva um sistema formado por uma equação e uma inequação, ambas com variáveis x e y,</p><p>que represente o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência</p><p>de centro (0,−1) e raio 5, e que</p><p>tenham coordenada horizontal x maior do que a coordenada</p><p>vertical y.</p><p>(b) Esboce, no plano cartesiano, o conjunto descrito no item anterior, com o máximo de detalhes</p><p>possível. Não deixe de dar as coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento de</p><p>circunferência que representa o conjunto.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 37</p><p>Solução:</p><p>(a) Os pontos na forma (x, y) que estão na circunferência de centro (0,−1) e raio 5 são os que</p><p>satisfazem a equação</p><p>(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 52,</p><p>que pode ainda ser reescrita como</p><p>x2 + (y + 1)2 = 25,</p><p>ou ainda</p><p>x2 + y2 + 2y + 1 = 25,</p><p>que pode ser simpli�cada na forma</p><p>x2 + y2 + 2y − 24 = 0.</p><p>Já os pontos (x, y) que têm coordenada horizontal x maior do que a coordenada vertical y são</p><p>os que satisfazem</p><p>x > y.</p><p>Desta forma, o conjunto dos pontos de coordenadas (x, y) satisfazendo simultaneamente as duas</p><p>condições é dado pela solução do sistema{</p><p>x2 + y2 + 2y − 24 = 0</p><p>x > y</p><p>(b) Abaixo esboçamos em vermelho o conjunto dos pontos que estão sobre a circunferência de</p><p>equação x2 + y2 + 2y − 24 = 0 e em azul o conjunto dos pontos satisfazendo x > y.</p><p>A interseção entre o conjunto em vermelho e o conjunto em azul está esboçado abaixo, e</p><p>representa o arco de circunferência de centro (0,−1), raio 5 e sob a reta x = y.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 38</p><p>Os pontos extremos do arco de circunferência não pertencem à interseção, pois estão na reta x =</p><p>y e, portanto, não satisfazem à segunda condição (x > y). Para encontrarmos as coordenadas</p><p>destes pontos, fazemos x = y na equação da circunferência, obtendo</p><p>y2+ y2+2y− 24 = 0 ∴ 2y2+2y− 24 = 0 ∴ y2+ y− 12 = 0 ∴ y =</p><p>−1±</p><p>√</p><p>12 − 4 · 1 · (−12)</p><p>2 · 1</p><p>∴ y =</p><p>−1±</p><p>√</p><p>49</p><p>2</p><p>∴ y =</p><p>−1± 7</p><p>2</p><p>∴ y =</p><p>−1− 7</p><p>2</p><p>= −4 ou y =</p><p>−1 + 7</p><p>2</p><p>= 3.</p><p>Como x = y, quando y = −4 temos x = −4 e quando y = 3 temos x = 3. Assim, temos os</p><p>pontos (−4,−4) e (3, 3).</p><p>Exercício 16 Esboce a região do plano cartesiano formada pelos pontos (x, y) que satisfazem</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 39</p><p>simultaneamente as desigualdades abaixo:</p><p>x2 + y2 + 2x− 8y − 8 ≤ 0</p><p>x ≤ 1</p><p>y > 1</p><p>y ≤ 8</p><p>Não se esqueça de detalhar bem os contornos da região, especi�cando os pontos e dizendo</p><p>se cada parte deste contorno pertence ou não à região. Apresente todos os cálculos e</p><p>justi�cativas necessários.</p><p>A desigualdade</p><p>x2 + y2 + 2x− 8y − 8 ≤ 0</p><p>pode ser reescrita como</p><p>x2 + 2x+ y2 − 8y − 8 ≤ 0 ⇔ x2 + 2 · x · 1+1− 1 + y2 − 2 · 4 · y+16− 16− 8 ≤ 0</p><p>⇔ (x+ 1)2 + (y2 − 4)2 − 1− 16− 8 ≤ 0</p><p>⇔ (x+ 1)2 + (y2 − 4)2 ≤ 25,</p><p>que representa os pontos sobre e no interior do círculo de centro (−1, 4) e raio 5.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 40</p><p>A desigualdade x ≤ 1 representa os pontos sobre a reta x = 1 e à esquerda dela.</p><p>A desigualdade y > 1 representa os pontos acima da reta y = 1, sem incluir os pontos da reta.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 41</p><p>A desigualdade y ≤ 8 representa os pontos sobre a reta y = 8 e abaixo dela.</p><p>Assim, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem as quatro desigualdades simultaneamente é</p><p>dado por</p><p>A interseção entre as retas x = 1 e y = 1 é o ponto (1, 1), que não pertence à solução pois a reta</p><p>y = 1 não está contida nela. A interseção entre a reta y = 1 e o círculo x2+y2+2x−8y−8 = 0</p><p>pode ser obtida resolvendo</p><p>x2 + 12 + 2x− 8 · 1− 8 = 0 ⇔ x2 + 2x− 15 = 0</p><p>⇔ x = −5 ou x = 3.</p><p>Logo, temos os pontos (−5, 1) e (3, 1). O ponto representado na interseção acima é o (−5, 1).</p><p>A interseção entre as retas x = 1 e y = 8 é o ponto (1, 8), que pertence à solução pois</p><p>as retas x = 1 e y = 8 estão contidas nela. A interseção entre a reta y = 5 e o círculo</p><p>x2 + y2 + 2x− 8y − 8 = 0 pode ser obtida resolvendo</p><p>x2 + 82 + 2x− 8 · 8− 8 = 0 ⇔ x2 + 2x− 8 = 0</p><p>⇔ x = −4 ou x = 2.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 42</p><p>Logo, temos os pontos (−4, 8) e (2, 8). O ponto representado na interseção acima é o (−4, 8).</p><p>Marcando todos estes pontos, temos</p><p>Deixando só aqueles que estão na fronteira da região, temos</p><p>Exercício 17 (a) Escreva um sistema com três inequações cuja solução seja a região do plano</p><p>formada pelos pontos (x, y) do plano que satisfaçam as três condições abaixo simultaneamente.</p><p>Justi�que cuidadosamente sua resposta.</p><p>� estejam fora do círculo de centro (1, 3) e raio 5, mas não na circunferência que delimita</p><p>este círculo;</p><p>� estejam à esquerda da reta vertical x = 5 ou na própria reta; e</p><p>� estejam acima da reta horizontal y = 3.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 43</p><p>(b) Esboce a região da questão 6 acima detalhadamente, especi�cando as coordenadas dos</p><p>pontos dados pelas interseções entre a circunferência e cada uma das retas, ou entre as</p><p>duas retas. Justi�que cuidadosamente sua resposta.</p><p>Solução:</p><p>(a) O conjunto dos pontos que estão fora do círculo de centro (1, 3) e raio 5, mas não na circunfe-</p><p>rência que delimita este círculo, é dado por</p><p>(x− 1)2 + (y − 3)2 > 52.</p><p>Os pontos à esquerda da reta vertical x = 5 ou na própria reta são aqueles com coordenada x</p><p>menor ou igual a 5, ou seja, o conjunto x ≤ 5.</p><p>Os pontos acima da reta horizontal y = 3 são aqueles com coordenada y maior que 5, ou seja,</p><p>o conjunto y > 3.</p><p>O sistema será então dado por </p><p>(x− 1)2 + (y − 3)2 > 25</p><p>x ≤ 5</p><p>y > 3</p><p>(b) Cada uma das regiões está esboçada abaixo:</p><p>(x− 1)2 + (y − 3)2 > 25</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 44</p><p>x ≤ 5</p><p>y > 3</p><p>A interseção das três regiões é, portanto,</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP10 45</p><p>Vamos obter os pontos de interseção do círculo (x−1)2+(y−3)2 = 25 e da reta y = 3. Temos</p><p>o sistema {</p><p>(x− 1)2 + (y − 3)2 = 25</p><p>y = 3</p><p>Substituindo y = 3 na equação do círculo, temos</p><p>(x−1)2+(3−3)2 = 25 ⇔ (x−1)2+02 = 25 ⇔ (x−1)2 = 25 ⇔ x−1 = 5 ou x−1 = −5 ⇔ x = 6 ou x = −4.</p><p>Temos então os pontos (−4, 3) e (6, 3).</p><p>Vamos obter os pontos de interseção do círculo (x−1)2+(y−3)2 = 25 e da reta x = 5. Temos</p><p>o sistema {</p><p>(x− 1)2 + (y − 3)2 = 25</p><p>x = 5</p><p>Substituindo x = 5 na equação do círculo, temos</p><p>(5−1)2+(y−3)2 = 25 ⇔ 42+(y−3)2 = 25 ⇔ (y−3)2 = 25−16 ⇔ (y−3)2 = 9 ⇔ y−3 = 3 ou y−3 = −3 ⇔</p><p>⇔ y = 6 ou y = 0.</p><p>Temos então os pontos (5, 6) e (5, 0). Marcando estes pontos, temos:</p><p>Note que apenas os pontos (−4, 3) e (5, 6) estão na fronteira da região descrita pelas desigual-</p><p>dades. Note ainda que (−4, 3) não está na solução (ponto representado como �bola aberta")</p><p>pois a reta y = 3 não está na solução, e o ponto (5, 6) também não está na solução porque está</p><p>sobre a circunferência (x− 1)2 + (y − 3)2 = 25.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>