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Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMA´TICA Departamento de Me´todos Matema´ticos 2a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica 05/06/2013 1a Questa˜o: (2 pontos) Para que valores de n, a integral∫ ∫ ∫ Ω 1 (x2 + y2 + z2)n/2 dxdydz, onde Ω e´ a esfera so´lida centrada na origem e de raio 1, e´ convergente, e para que valor? (dica: separe em casos, de acordo com valores de n.) 2a Questa˜o: (2 pontos) Calcule ∫ C xy ds, onde C e´ a parte da curva dada por 4x2 + 9y2 = 36, contida no primeiro quadrante. 3a Questa˜o: (2 pontos) Calcule a a´rea da porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 1 que esta´ dentro do cone x2 + y2 = z2, z ≥ 0. 4a Questa˜o: (2 pontos) Calcule ∫ ∫ S ( −→ F ◦ η) dS, onde −→F (x, y, z) = (0,√y, 0), S e´ a superf´ıcie dada por x2 + z2 = y, 0 ≤ y ≤ 1 e η e´ a normal unita´ria apontando para fora de S. 5a Questa˜o: (2 pontos) Seja C = C1 ∪ C2, a curva fechada onde C1 e´ o arco da cicloide x(t) = a(t− sen t) , y(t) = a(1− cos t) , a > 0 , 0 ≤ t ≤ 2pi e C2 o segmento de reta que e´ a projec¸a˜o da cicloide sobre o eixo x. Calcule a a´rea delimitada por C, USANDO TEOREMA DE GREEN. JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS ! Boa Sorte!!!
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