fazendo o calculo CXCIX

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<p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois temos uma forma indeterminada</p><p>\(0/0\). A derivada do numerador é \(e^x\) e do denominador é \(1\), resultando em \(e^0 =</p><p>1\).</p><p>35. **Problema 35:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x} \, dx\).</p><p>A) \(\ln(x) + C\)</p><p>B) \(\frac{1}{x^2} + C\)</p><p>C) \(x + C\)</p><p>D) \(-\ln(x) + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(\ln(x) + C\)</p><p>**Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é a função logarítmica natural.</p><p>36. **Problema 36:** Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x}\)?</p><p>A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</p><p>B) \(\frac{1}{x}\)</p><p>C) \(\frac{\sqrt{x}}{2}\)</p><p>D) \(\frac{x}{2}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} =</p><p>\frac{1}{2\sqrt{x}}\).</p><p>37. **Problema 37:** Calcule a integral \(\int x^2 \sin(x) \, dx\).</p><p>A) \(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C\)</p><p>B) \(x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + 2\sin(x) + C\)</p><p>C) \(-x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + 2\sin(x) + C\)</p><p>D) \(x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C\)</p><p>**Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes: escolha \(u = x^2\) e \(dv =</p><p>\sin(x)dx\).</p><p>38. **Problema 38:** Qual é a integral definida de \(f(x) = 2x + 3\) no intervalo \([1, 2]\)?</p><p>A) 5</p><p>B) 6</p><p>C) 7</p><p>D) 8</p><p>**Resposta:** C) 7</p><p>**Explicação:** A integral é \(\left[x^2 + 3x\right]_1^2 = (4 + 6) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6\).</p><p>39. **Problema 39:** Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = -ky\)?</p><p>A) \(y = C e^{kt}\)</p><p>B) \(y = Ce^{-kt}\)</p><p>C) \(y = kx + C\)</p><p>D) \(y = C\)</p><p>**Resposta:** B) \(y = Ce^{-kt}\)</p><p>**Explicação:** A solução é obtida separando as variáveis e integrando.</p><p>40. **Problema 40:** Calcule \(\int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** D) 3</p><p>**Explicação:** A integral é \(\left[x^3 + 2x\right]_0^1 = (1 + 2) - (0 + 0) = 3\).</p><p>41. **Problema 41:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).</p><p>A) 0</p><p>B) \(-\frac{1}{2}\)</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) \(-\frac{1}{2}\)</p><p>**Explicação:** Usando a série de Taylor para \(\cos(x)\), obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{-</p><p>\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2}\).</p><p>42. **Problema 42:** Qual é a integral de \(\int x^4 \, dx\)?</p><p>A) \(\frac{x^5}{5} + C\)</p><p>B) \(\frac{x^4}{4} + C\)</p><p>C) \(\frac{x^3}{3} + C\)</p><p>D) \(\frac{x^6}{6} + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{x^5}{5} + C\)</p><p>**Explicação:** A integral de \(x^n\) é \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).</p><p>43. **Problema 43:** Qual é o valor de \(\int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx\)?</p><p>A) \(\frac{\pi}{2}\)</p><p>B) \(\frac{\pi}{4}\)</p><p>C) \(\frac{3\pi}{4}\)</p><p>D) \(\pi\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{\pi}{2}\)</p><p>**Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), temos</p><p>\(\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\).</p><p>44. **Problema 44:** Qual é a solução geral da equação \(y'' + 5y' + 6y = 0\)?</p><p>A) \(y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}\)</p><p>B) \(y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{-2x}\)</p><p>C) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}\)</p><p>D) \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x\)</p><p>**Resposta:** B) \(y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{-2x}\)</p><p>**Explicação:** As raízes da equação característica são \(r^2 + 5r + 6 = 0\), levando a \(r</p><p>= -2\) e \(r = -3\).</p><p>45. **Problema 45:** Calcule o valor de \(\int e^{3x} \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)</p><p>B) \(3e^{3x} + C\)</p><p>C) \(e^{3x} + C\)</p><p>D) \(\frac{1}{2} e^{3x} + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\)</p><p>**Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\).</p><p>46. **Problema 46:** Qual é a série de Taylor de \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\) até o termo</p><p>de \(x^5\)?</p><p>A) \(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\)</p><p>B) \(x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\)</p><p>C) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\)</p><p>D) \(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60}\)</p><p>**Resposta:** A) \(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\)</p><p>**Explicação:** A série de Taylor para \(\sin(x)\) é dada por \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-</p><p>1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\).</p><p>47. **Problema 47:** Qual é o valor de \(\int_0^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\)?</p><p>A) 0</p><p>B) \(\frac{1}{3}\)</p><p>C) \(\frac{1}{2}\)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta:** D) 1</p><p>**Explicação:** A integral é \(\left[x^4 - \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2\right]_0^1 = 1 -</p><p>\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1\).</p><p>48. **Problema 48:** Determine a solução para a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} =</p><p>3x^2\).</p><p>A) \(y = x^3 + C\)</p><p>B) \(y = 3x^3 + C\)</p><p>C) \(y = x^2 + C\)</p><p>D) \(y = 2x^3 + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(y = x^3 + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando ambos os lados, obtemos \(y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C\).</p>