Aula 10 - Múltiplos de Divisores, MMC e MDC

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<p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico</p><p>Matemático</p><p>Autor:</p><p>Equipe Exatas Estratégia</p><p>Concursos</p><p>16 de Maio de 2024</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>Índice</p><p>..............................................................................................................................................................................................1) Múltiplos e Divisores 3</p><p>..............................................................................................................................................................................................2) MMC e MDC 27</p><p>..............................................................................................................................................................................................3) Questões Comentadas - Múltiplos e Divisores - Multibancas 42</p><p>..............................................................................................................................................................................................4) Questões Comentadas - MMC e MDC - Multibancas 107</p><p>..............................................................................................................................................................................................5) Lista de Questões - Múltiplos e Divisores - Multibancas 165</p><p>..............................................................................................................................................................................................6) Lista de Questões - MMC e MDC - Multibancas 182</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>2</p><p>198</p><p>MÚLTIPLOS E DIVISORES</p><p>−Um número inteiro A é múltiplo de um número inteiro B quando A pode ser descrito por B × k, sendo</p><p>k um número inteiro.</p><p>Exemplo: os números da forma A = 7×k são múltiplos de 7 (sendo k inteiro).</p><p>Se B divide A deixando resto zero, então:</p><p>• B é divisor de A;</p><p>• A é divisível por B.</p><p>− Se B é divisor de A, então A é um múltiplo de B. − Se A é um múltiplo de B, então B é divisor de A.</p><p>−Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par, isto é, quando terminar em 0, 2, 4, 6</p><p>ou 8. −Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. −Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos do número forem</p><p>divisíveis por 4. Essa regra inclui o caso em que o número termina em 00. −Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. −Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. −Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos do número forem</p><p>divisíveis por 8. Essa regra inclui o caso em que o número termina em 000. −Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9. −Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando termina em 0. −Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par (𝑝) menos</p><p>a soma dos algarismos de ordem ímpar (𝑖) é um número divisível por 11. Essa regra inclui o caso particular</p><p>em que 𝑝 − 𝑖 = 0, pois 0 é divisível por 11. −Divisibilidade por 12: um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. −Divisibilidade por 15: um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.</p><p>• Números primos são números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores naturais:</p><p>o número 1 e o próprio número primo.</p><p>• Os 15 primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.</p><p>Para determinar se um número N é primo, devemos dividi-lo sucessivamente pelos números primos 2, 3,</p><p>5, 7, 11, 13, ..., e verificar se algum primo é divisor de N. − Se algum primo for divisor de N, então N não é primo; − Se, ao realizar a divisão sucessiva, obtivermos um quociente menor do que o primo pelo qual estamos</p><p>dividindo N, então N é primo.</p><p>Múltiplos e divisores</p><p>Múltiplos e divisores de um número</p><p>Regras de divisibilidade</p><p>Números primos</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>3</p><p>198</p><p>Para decompor um número em fatores primos, devemos dividir o número em questão sucessivas vezes</p><p>pelos números primos na sequência 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc., mudando de número primo sempre que</p><p>o número obtido não for divisível pelo primo selecionado.</p><p>500 = 22 × 53</p><p>• O número 1 é sempre um divisor de qualquer número e é por ele que devemos começar o método;</p><p>• Os divisores são obtidos pela multiplicação de um fator primo por todos os divisores anteriores;</p><p>• Não se deve escrever mais de uma vez um divisor já obtido, pois não é necessário.</p><p>Para saber a quantidade de divisores naturais de um número qualquer, basta decompor o número em</p><p>fatores primos e, em seguida:</p><p>• Obter todos os expoentes dos fatores primos;</p><p>• Somar 1 a cada um desses expoentes e realizar o produto dos números obtidos.</p><p>Se um número apresenta uma quantidade 𝒑 de divisores naturais, com 𝒑 primo, então esse número é</p><p>da forma 𝒒𝒑−𝟏, sendo 𝒒 também um número primo.</p><p>A quantidade de divisores inteiros é sempre o dobro do número de divisores naturais</p><p>Obtenção dos divisores naturais de um número</p><p>Quantidade de divisores naturais de um número</p><p>Divisores inteiros de um número</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>4</p><p>198</p><p>Múltiplos e divisores de um número</p><p>Pessoal, nesse momento precisamos desenvolver alguns conceitos que por vezes geram dúvidas no</p><p>concurseiro.</p><p>Múltiplos de um número</p><p>Considere o número 7. Os múltiplos do número 7 são: 𝟕 × 0 = 𝟎 𝟕 × 1 = 𝟕 𝟕 × 2 = 𝟏𝟒 𝟕 × 3 = 𝟐𝟏</p><p>...</p><p>Perceba que um número qualquer apresenta infinitos múltiplos. O número 462, por exemplo, é múltiplo de</p><p>7, pois: 𝟕 × 66 = 462</p><p>Note que todos os números da forma A = 7 × k são múltiplos de 7 (sendo k um número inteiro).</p><p>Um número inteiro A é múltiplo de um número inteiro B quando A pode ser descrito pelo</p><p>produto B × k, sendo k um número inteiro.</p><p>(SSP AM/2022) Considere uma operação entre números inteiros maiores do que zero, representada pelo</p><p>símbolo & e definida como: 𝑎&𝑏 = 3𝑎 + 𝑏, sendo 𝑎 e 𝑏 números inteiros positivos.</p><p>Considere também o conjunto 𝐶 cujos elementos são os números inteiros 𝑥, maiores do que zero, tais que 𝑥&2 seja múltiplo de 4 e menor do que 40.</p><p>O número de elementos do conjunto 𝐶 é igual a</p><p>a) 1.</p><p>b) 2.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e) 5.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>5</p><p>198</p><p>Comentários:</p><p>Conforme a definição do enunciado, temos: 𝑥&2 = 3𝑥 + 2 𝐶 é o conjunto dos inteiros 𝒙 maiores do que zero tais que 𝟑𝒙 + 𝟐 seja múltiplo de 4 e menor do que 40.</p><p>Para verificar os números inteiros 𝒙 maiores do que zero tais que 𝟑𝒙 + 𝟐 seja múltiplo de 4 e menor do que</p><p>40, vamos igualar 𝟑𝒙 + 𝟐 a todos os múltiplos de 4 maiores do que zero e menores do que 40:</p><p>4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 e 36.</p><p>Se nessa igualdade obtivermos um número 𝑥 inteiro, então esse número pertence ao conjunto 𝐶. 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟒 3𝑥 = 2 𝑥 = 23 → Não é inteiro → Não pertence ao conjunto 𝐶</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟖 3𝑥 = 6 𝒙 = 𝟐 → É inteiro → Pertence ao conjunto 𝑪</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟏𝟐 3𝑥 = 10 𝑥 = 103 → Não é inteiro → Não pertence ao conjunto 𝐶</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟏𝟔 3𝑥 = 14 𝑥 = 143 → Não é inteiro → Não pertence ao conjunto 𝐶</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟎 3𝑥 = 18 𝒙 = 𝟔 → É inteiro → Pertence ao conjunto 𝑪</p><p>Equipe Exatas Estratégia</p><p>Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>51</p><p>198</p><p>a) 42. ERRADO.</p><p>O número 42 apresenta somente os primos 2, 3 e 7. 42 = 2 × 21 = 2 × 3 × 7 = 𝟐1 × 𝟑1 × 𝟕1</p><p>b) 70. CERTO. Esse é o gabarito.</p><p>O número 70 apresenta o primo 5.</p><p>70 = 7 × 10 = 7 × 2 × 5 = 21 × 𝟓1 × 71</p><p>c) 84. ERRADO.</p><p>O número 84 apresenta somente os primos 2, 3 e 7. 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = 𝟐2 × 𝟑1 × 𝟕1</p><p>d) 126. ERRADO.</p><p>O número 126 apresenta somente os primos 2, 3 e 7. 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7 = 𝟐1 × 𝟑2 × 𝟕1</p><p>e) 294. ERRADO.</p><p>O número 294 apresenta somente os primos 2, 3 e 7.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>52</p><p>198</p><p>294 = 2 × 147 = 2 × 3 × 49 = 2 × 3 × 7 × 7 = 𝟐1 × 𝟑1 × 𝟕2</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(CONSULPAM/Pref Irauçuba/2022) Considere o número natural n = 430. A quantidade de divisores</p><p>pares é:</p><p>a) 4.</p><p>b) 8.</p><p>c) 16.</p><p>d) 32.</p><p>Comentários:</p><p>Seria melhor que a questão tivesse especificado de modo mais preciso que se quer buscar a quantidade de</p><p>divisores naturais (positivos) que são pares.</p><p>Quando as questões não especificam se os divisores são inteiros (positivos e negativos) ou naturais</p><p>(positivos), em regra deve-se considerar que a questão pergunta pelos divisores naturais (positivos).</p><p>Ao obter os divisores de 430, temos:</p><p>Os divisores naturais pares de 430 são: 2, 10, 86 e 430.</p><p>Portanto, a quantidade de divisores naturais pares do número 430 é 4.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>53</p><p>198</p><p>Texto para as próximas questões</p><p>Hoje, o quociente e o resto da divisão da idade de Claudiane pela idade de Marina são, respectivamente,</p><p>iguais a 2 e 3. Há treze anos, a idade de Claudiane era o triplo da idade de Marina.</p><p>Com base nesse caso hipotético, julgue os itens.</p><p>(QUADRIX/CRMV-MS/2022) A soma da idade de Claudiane com a idade de Marina possui 12 divisores</p><p>naturais.</p><p>(QUADRIX/CRMV-MS/2022) As idades de Claudiane e Marina são números primos.</p><p>Comentários:</p><p>Antes de responder aos itens da questão, vamos obter as idades de Claudiane e de Marina.</p><p>Suponha que a idade de Claudiane é 𝐶 e que a idade de Marina é 𝑀.</p><p>Sabemos que na divisão de 𝑪 por 𝑴 obtemos quociente 2 e resto 3. Em uma divisão, temos a seguinte</p><p>relação: Dividendo = Divisor × Quociente + Resto</p><p>Logo: 𝐶 = 𝑀 × 2 + 3 𝑪 = 𝟐𝑴+ 𝟑 (Equação 1)</p><p>Além disso, sabemos que, há treze anos, a idade de Claudiane era o triplo da idade de Marina. Note que,</p><p>há treze anos, a idade de Claudiane era (𝐶 − 13) e a idade de Marina era (𝑀 − 13). Como a idade de</p><p>Claudiane era o triplo da idade de Marina, temos: (𝐶 − 13) = 3 × (𝑀 − 13) 𝐶 − 13 = 3𝑀 − 39 𝐶 = 3𝑀 − 39 + 13 𝑪 = 𝟑𝑴− 𝟐𝟔 (Equação 2)</p><p>Igualando as equações 1 e 2, temos: 2𝑀 + 3 = 3𝑀 − 26 3 + 26 = 3𝑀 − 2𝑀 29 = 𝑀</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>54</p><p>198</p><p>𝑴 = 𝟐𝟗</p><p>Substituindo 𝑀 na primeira equação, temos: 𝐶 = 2𝑀 + 3 𝐶 = 2 × 29 + 3 𝐶 = 58 + 3 𝑪 = 𝟔𝟏</p><p>Agora que sabemos que a idade de Claudiane é 𝐶 = 61 e que a idade de Marina é 𝑀 = 29, vamos</p><p>responder aos itens da questão.</p><p>Questão 10</p><p>A soma das idades é: 𝐶 +𝑀 = 61 + 29 = 90</p><p>Para saber a quantidade de divisores naturais (positivos) de um número qualquer, não é necessário obter</p><p>todos os divisores. Basta decompor o número em fatores primos e, em seguida:</p><p>• Obter todos os expoentes dos fatores primos;</p><p>• Somar 1 a cada um desses expoentes e realizar o produto dos números obtidos.</p><p>Vamos fatorar 90: 90 = 9 × 10 = (3 × 3) × (2 × 5) = 2𝟏 × 3𝟐 × 5𝟏</p><p>Logo, a quantidade de divisores naturais (positivos) de 90 é: (𝟏 + 1) × (𝟐 + 1) × (𝟏 + 1) = 2 × 3 × 2 = 12</p><p>O gabarito, portanto, é CERTO.</p><p>Questão 11</p><p>Sabemos que as idades de Claudiane e Marina são, respectivamente, 61 e 29.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>55</p><p>198</p><p>Conforme mostrado na teoria da aula, os números a seguir são os números primos até 47. São esses</p><p>primos que você precisa decorar:</p><p>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47</p><p>Note que 29 é primo, pois está na nossa lista. Precisamos agora descobrir se 61 é primo ou não.</p><p>Conforme mostrado na teoria da aula, para determinar se 61 é primo, vamos dividi-lo sucessivamente</p><p>pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... e verificar se algum primo é divisor de 61:</p><p>• Se algum primo for divisor de 61, então 61 não é primo;</p><p>• Se, ao realizar a divisão sucessiva, obtivermos um quociente menor do que o primo pelo qual estamos</p><p>dividindo 61, então 61 é primo.</p><p>Note que:</p><p>• 61 não é divisível por 2, pois não é par;</p><p>• 61 não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos não é divisível por 3;</p><p>• 61 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5;</p><p>• 61 não é divisível por 7, pois, ao tentar dividir 61 por 7, encontramos quociente 8 e resto 5;</p><p>• 61 não é divisível por 11, pois (6) − (1) = 5 não é divisível por 11. Além disso, veja que, na divisão de 61</p><p>por 11, obtemos quociente 5 e resto 6. Como o quociente 5 é menor do que o primo 11, isso significa que</p><p>o número 61 é primo.</p><p>Logo, as idades de Claudiane (61) e Marina (29) são números primos. O gabarito, portanto, é CERTO.</p><p>Gabarito: 10 - CERTO. 11 - CERTO.</p><p>(QUADRIX/CAU SC/2022) Na matemática, um número inteiro positivo 𝒏 é dito deficiente se a soma</p><p>de todos os seus divisores positivos for menor que o seu dobro. A partir dessa informação, assinale a</p><p>alternativa que apresenta um número deficiente.</p><p>a) 36</p><p>b) 30</p><p>c) 24</p><p>d) 21</p><p>e) 18</p><p>Comentários:</p><p>Vamos verificar as alternativas e assinalar aquela que apresenta um número deficiente, ou seja, um</p><p>número cuja soma de todos os seus divisores positivos é menor do que o seu dobro.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>56</p><p>198</p><p>a) 36. ERRADO.</p><p>Vamos obter os divisores de 36:</p><p>• A soma dos divisores é 1+2+4+3+6+12+8+18+36 = 91.</p><p>• O dobro do número é 2×36 = 72.</p><p>• Logo, a soma dos divisores do número é MAIOR do que o seu dobro.</p><p>b) 30. ERRADO.</p><p>Vamos obter os divisores de 30:</p><p>• A soma dos divisores é 1+2+3+6+5+10+15+30 = 72.</p><p>• O dobro do número é 2×30 = 60.</p><p>• Logo, a soma dos divisores do número é MAIOR do que o seu dobro.</p><p>c) 24. ERRADO.</p><p>Vamos obter os divisores de 24:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>57</p><p>198</p><p>• A soma dos divisores é 1+2+4+8+3+6+12+24 = 60.</p><p>• O dobro do número é 2×24 = 48.</p><p>• Logo, a soma dos divisores do número é MAIOR do que o seu dobro.</p><p>d) 21. CERTO. Esse é o gabarito.</p><p>Vamos obter os divisores de 21:</p><p>• A soma dos divisores é 1+3+7+21 = 32.</p><p>• O dobro do número é 2×21 = 42.</p><p>• Logo, a soma dos divisores do número é MENOR do que o seu dobro.</p><p>e) 18. ERRADO.</p><p>Vamos obter os divisores de 18:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>58</p><p>198</p><p>==1365fc==</p><p>• A soma dos divisores é 1+2+3+6+9+18 = 39.</p><p>• O dobro do número é 2×18 = 36.</p><p>• Logo, a soma dos divisores do número é MAIOR do que o seu dobro.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(QUADRIX/COREN AP/2022) Para fazer um penteado, Jéssica precisa de grampos e de presilhas. Os</p><p>grampos são vendidos em embalagens com 8 unidades e as presilhas, em embalagens com 6 unidades.</p><p>Com base nesse caso hipotético,</p><p>julgue o item.</p><p>Jéssica nunca poderá comprar um número primo de presilhas.</p><p>Comentários:</p><p>Os números primos são números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores naturais:</p><p>• O número 1; e</p><p>• O próprio número primo.</p><p>Note que, ao comprar um número 𝒌 de embalagens de presilhas (sendo 𝑘 um número natural qualquer),</p><p>o total de presilhas que Jéssica terá vai ser 𝟔 × 𝒌.</p><p>Esse número de presilhas nunca será primo, pois, qualquer que seja o número 𝑘 de embalagens, o</p><p>número total de presilhas vai ser divisível por 6. Veja: 6 × 𝑘6 = 𝑘</p><p>Portanto, é CORRETO afirmar que Jéssica nunca poderá comprar um número primo de presilhas.</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>(FUNDATEC/Pref Tramandaí/2021) Ao decompormos o número 7776 em fatores primos, quantos</p><p>números primos distintos encontraremos em sua composição?</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 5.</p><p>d) 6.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos decompor o número 7776 em fatores primos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>59</p><p>198</p><p>Segundo a decomposição, temos: 7776 = 𝟐5 × 𝟑5</p><p>Logo, números primos distintos encontrados na decomposição do número 7776 são dois: 2 e 3.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>60</p><p>198</p><p>FGV</p><p>(FGV/ALEP PR/2024) Mauro tem 23 balas. Ele come 𝒏 balas e divide o restante igualmente entre seus</p><p>três filhos, de modo que cada filho recebe um número inteiro de balas.</p><p>Assinale o valor que 𝒏 não pode assumir.</p><p>a) 2.</p><p>b) 5.</p><p>c) 9.</p><p>d) 11.</p><p>e) 14.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos verificar cada alternativa.</p><p>a) Se 𝑛 = 2, então Mauro come 2 balas e sobram 23−2 = 21 balas para dividir entre seus três filhos. Como</p><p>21 é divisível por 3, cada filho recebe 21 / 3 = 7 balas. Logo, 𝒏 = 2 é um valor possível.</p><p>b) Se 𝑛 = 5, então Mauro come 5 balas e sobram 23−5 = 18 balas para dividir entre seus três filhos. Como</p><p>18 é divisível por 3, cada filho recebe 18 / 3 = 6 balas. Logo, 𝒏 = 5 é um valor possível.</p><p>c) Se 𝑛 = 9, então Mauro come 9 balas e sobram 23−9 = 14 balas para dividir entre seus três filhos. Como</p><p>14 não é divisível por 3, cada filho não pode receber um número inteiro de balas. Logo, 𝒏 = 9 é um valor</p><p>que 𝒏 não pode assumir.</p><p>d) Se 𝑛 = 11, então Mauro come 11 balas e sobram 23−11 = 12 balas para dividir entre seus três filhos.</p><p>Como 12 é divisível por 3, cada filho recebe 12 / 3 = 4 balas. Logo, 𝒏 = 11 é um valor possível.</p><p>e) Se 𝑛 = 14, então Mauro come 14 balas e sobram 23−14 = 9 balas para dividir entre seus três filhos. Como</p><p>9 é divisível por 3, cada filho recebe 9 / 3 = 3 balas. Logo, 𝒏 = 14 é um valor possível.</p><p>Portanto, a única alternativa que apresenta um valor que 𝒏 não pode assumir é a letra C.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(FGV/ALE TO/2024) Um dado é dito comum quando tem a forma de um cubo e suas 6 faces são</p><p>numeradas de 1 a 6, de tal forma que a soma dos números estampados em faces opostas, quaisquer que</p><p>sejam elas, sempre somam 7.</p><p>Quando um dado comum é lançado, diz-se que o resultado do lançamento é o número estampado na</p><p>face voltada para cima.</p><p>Um dado foi lançado 3 vezes seguidas. Se o produto dos resultados obtidos nos lançamentos vale 75, a</p><p>soma desses resultados é igual a</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>61</p><p>198</p><p>a) 12.</p><p>b) 13.</p><p>c) 14.</p><p>d) 15.</p><p>e) 16.</p><p>Comentários:</p><p>Segundo o problema, o produto dos resultados dos três lançamentos é 75. Suponha que os resultados</p><p>sejam os números inteiros 𝑥, 𝑦 e 𝑧, por exemplo. Nesse caso, temos: 75 = 𝑥 × 𝑦 × 𝑧</p><p>Observe que cada um dos números obtidos nos lançamentos é divisor de 75:</p><p>• 75𝑥 = 𝑦𝑧 → 𝒙 é divisor de 75, pois</p><p>75𝑥 resulta em um número inteiro (𝑦𝑧).</p><p>• 75𝑦 = 𝑥𝑧 → 𝒚 é divisor de 75, pois</p><p>75𝑦 resulta em um número inteiro (𝑥𝑧).</p><p>• 75𝑧 = 𝑥𝑦 → 𝒛 é divisor de 75, pois</p><p>75𝑧 resulta em um número inteiro (𝑥𝑦).</p><p>Vamos encontrar os divisores de 75:</p><p>Como o dado em questão é comum, os números possíveis devem ser de 1 a 6. Portanto, para que sejam</p><p>divisores de 75, os três números obtidos no lançamento estão restritos a 1, 3 ou 5.</p><p>Para que o produto dos três números seja 75, é necessário que um dos lançamentos tenha resultado 3 e</p><p>dois lançamentos tenham resultado 5: 3 × 5 × 5 = 75</p><p>Logo, a soma dos três resultados é igual a 3 + 5 + 5 = 13.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>62</p><p>198</p><p>(FGV/DNIT/2024) Considere dois números inteiros positivos 𝒙 e 𝒚, tais que 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝟒 = 𝟎. A</p><p>soma dos possíveis valores de 𝒙 é:</p><p>a) 48.</p><p>b) 40.</p><p>c) 32.</p><p>d) 24.</p><p>e) 16.</p><p>Comentários:</p><p>Pessoal, essa questão é interdisciplinar. Trata-se de uma questão que fundamentalmente envolve ideias</p><p>relacionadas a múltiplos e divisores, mas que também requer conhecimentos de manipulação algébrica.</p><p>Sabemos que 𝑥 e 𝑦 são números inteiros positivos. Para resolver o problema, vamos manipular a equação</p><p>de modo a se chegar em um produto de dois inteiros que resulta em um inteiro: 𝑥𝑦 − 𝑦2 + 24 = 0 24 = 𝑦2 − 𝑥𝑦</p><p>Colocando 𝑦 em evidência, temos: 24 = 𝑦 × (𝑦 − 𝑥)</p><p>Note que:</p><p>• Como 𝑥 e 𝑦 são inteiros positivos, (𝒚 − 𝒙) também é um número inteiro.</p><p>• Como o produto 𝑦 × (𝑦 − 𝑥) é positivo (24) e 𝑦 é um número positivo, (𝒚 − 𝒙) deve ser positivo.</p><p>Logo, podemos concluir que (𝒚 − 𝒙) é um inteiro positivo: 24 = 𝑦⏟Inteiropositivo × (𝑦 − 𝑥)⏟ Inteiropositivo</p><p>Observe que tanto 𝑦 quanto (𝑦 − 𝑥) devem ser divisores de 24:</p><p>• 24𝑦 = (𝑦 − 𝑥) → 𝒚 é divisor de 24, pois</p><p>24𝑦 resulta no número inteiro (𝑦 − 𝑥).</p><p>• 24(𝑦−𝑥) = 𝑦 → (𝒚 − 𝒙) é divisor de 24, pois</p><p>24(𝑦−𝑥) resulta no número inteiro 𝑦.</p><p>Vamos encontrar os divisores de 24:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>63</p><p>198</p><p>Logo, os possíveis valores para 𝑦 e para (𝑦 − 𝑥) são: 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟏𝟐; 𝟐𝟒</p><p>Como 𝑥 e 𝑦 são inteiros positivos, 𝒚 deve ser maior do que (𝒚 − 𝒙). Para que os divisores de 24 𝑦 e (𝑦 −𝑥) tenham produto igual a 24, temos as seguintes possibilidades: 𝒚 𝒚 − 𝒙 𝒚 × (𝒚 − 𝒙)</p><p>24 1 24</p><p>12 2 24</p><p>8 3 24</p><p>6 4 24</p><p>A partir dessas possibilidades para 𝑦 e (𝑦 − 𝑥), podemos encontrar os possíveis valores de 𝑥. Observe que: 𝑦 − (𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 𝑦 + 𝑥 = 𝑥</p><p>Tomando a primeira coluna da tabela anterior (𝑦) e subtraindo a segunda coluna (𝑦 − 𝑥), temos os</p><p>possíveis valores de 𝑥: 𝒚 𝒚 − 𝒙 𝒚 − (𝒚 − 𝒙) = 𝒙</p><p>24 1 24−1 = 23</p><p>12 2 12−2 = 10</p><p>8 3 8−3 = 5</p><p>6 4 6−4 = 2</p><p>Logo, a soma dos possíveis valores de 𝑥 é: 23 + 10 + 5 + 2 = 40</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>64</p><p>198</p><p>(FGV/DNIT/2024) Marcos considera agradáveis os números cuja soma dos dígitos é 10 ou múltiplo de</p><p>10.</p><p>Desde o ano da independência do Brasil (ano de 1822) até hoje o número de anos que, para Marcos, são</p><p>agradáveis é:</p><p>a) 16.</p><p>b) 17.</p><p>c) 18.</p><p>d) 19.</p><p>e) 20.</p><p>Comentários:</p><p>Queremos obter o número de anos desde 1822 até "hoje" (2024) cuja soma seja 10 ou múltiplo de 10. Em</p><p>outras palavras, queremos obter o número de anos do intervalo cuja soma é 10, ou 20, ou 30, etc. Para</p><p>resolver o problema, vamos listar as possibilidades, começando pelos anos no formato 18XX a partir de</p><p>1822:</p><p>1. 1829 → 1 + 8 + 2 + 9 = 20;</p><p>2. 1838 → 1 + 8 + 3 + 8 = 20;</p><p>3. 1847 → 1 + 8 + 4 + 7 = 20;</p><p>4. 1856 → 1 + 8 + 5 + 6 = 20;</p><p>5. 1865 → 1 + 8 + 6 + 5 = 20;</p><p>6. 1874 → 1 + 8 + 7 + 4 = 20;</p><p>7. 1883 → 1 + 8 + 8 + 3 = 20;</p><p>8. 1892 → 1 + 8 + 9 + 2 = 20;</p><p>Agora vamos passar para os anos no formato 19XX:</p><p>9. 1900 → 1 + 9 + 0 + 0 = 10;</p><p>10. 1919 → 1 + 9 + 1 + 9 = 20;</p><p>11. 1928 → 1 + 9 + 2 + 8 = 20;</p><p>12. 1937 → 1 + 9 + 3 + 7 = 20;</p><p>13. 1946 → 1 + 9 + 4 + 6 = 20;</p><p>14. 1955 → 1 + 9 + 5 + 5 = 20;</p><p>15. 1964 → 1 + 9 + 6 + 4 = 20;</p><p>16. 1973 → 1 + 9 + 7 + 3 = 20;</p><p>17. 1982 → 1 + 9 + 8 + 2 = 20;</p><p>18. 1991 → 1 + 9 + 9 + 1 = 20;</p><p>Por fim, temos os anos no formato 20XX até 2024:</p><p>19. 2008 → 2 + 0 + 0 + 8 = 10; e</p><p>20. 2017 → 2 + 0 + 1 + 7 = 10.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>65</p><p>198</p><p>Portanto, temos um total de 20 números agradáveis entre 1822 e 2024.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(FGV/CMSP/2024) O inteiro positivo N é o menor número tal que dividido por 13 deixa resto 12 e</p><p>dividido por 11 deixa resto 10.</p><p>A soma dos algarismos de N é</p><p>a) 6.</p><p>b) 7.</p><p>c) 8.</p><p>d) 9.</p><p>e) 10.</p><p>Comentários:</p><p>Sabemos que N dividido por 13 deixa resto 12. Isso significa que (N−12) dividido por 13 deixa resto zero.</p><p>Assim, (N−12) é divisível por 13. Portanto, (N−12) é múltiplo de 13.</p><p>Como (N−12) é múltiplo de 13, ele pode ser escrito da seguinte forma, sendo k um inteiro qualquer: (𝑁 − 12) = 13 × 𝑘</p><p>Logo: 𝑵 = 𝟏𝟑 × 𝒌 + 𝟏𝟐</p><p>Vamos listar algumas possibilidades para N partindo de 𝑘 = 1:</p><p>• 13 × 1 + 12 = 25;</p><p>• 13 × 2 + 12 = 38;</p><p>• 13 × 3 + 12 = 51;</p><p>• 13 × 4 + 12 = 64;</p><p>• 13 × 5 + 12 = 77;</p><p>• 13 × 6 + 12 = 90;</p><p>• 13 × 7 + 12 = 103;</p><p>• 13 × 8 + 12 = 116;</p><p>• 13 × 9 + 12 = 129;</p><p>• 13 × 10 + 12 = 142;</p><p>• 13 × 11 + 12 = 155;</p><p>• 13 × 12 + 12 = 168;</p><p>• 13 × 13 + 12 = 181;</p><p>• 13 × 14 + 12 = 194;</p><p>• 13 × 15 + 12 = 207;</p><p>• Etc.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>66</p><p>198</p><p>Sabemos também que N dividido por 11 deixa resto 10. Isso significa que (N−10) dividido por 11 deixa resto</p><p>zero. Assim, (N−10) é divisível por 11. Portanto, (N−10) é múltiplo de 11.</p><p>Como (N−10) é múltiplo de 11, ele pode ser escrito da seguinte forma, sendo k um inteiro qualquer: (𝑁 − 10) = 11 × 𝑘</p><p>Logo: 𝑵 = 𝟏𝟏 × 𝒌 + 𝟏𝟎</p><p>Vamos listar algumas possibilidades para N partindo de 𝑘 = 1:</p><p>• 11 × 1 + 10 = 21;</p><p>• 11 × 2 + 10 = 32;</p><p>• 11 × 3 + 10 = 43;</p><p>• 11 × 4 + 10 = 54;</p><p>• 11 × 5 + 10 = 65;</p><p>• 11 × 6 + 10 = 76;</p><p>• 11 × 7 + 10 = 87;</p><p>• 11 × 8 + 10 = 98;</p><p>• 11 × 9 + 10 = 109;</p><p>• 11 × 10 + 10 = 120;</p><p>• 11 × 11 + 10 = 131;</p><p>• 11 × 12 + 10 = 142;</p><p>• 11 × 13 + 10 = 153;</p><p>• 11 × 14 + 10 = 164;</p><p>• 11 × 15 + 10 = 175;</p><p>• Etc.</p><p>Comparando as duas listas, de modo que N satisfaça as duas condições, temos que o menor valor possível</p><p>para N é 142. Logo, a soma dos algarismos de N é: 1 + 4 + 2 = 7</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(FGV/TCE-BA/2023) Sejam 𝑥 e 𝑦 números tais que 6𝑦 − 𝑥 = 18. O número de valores inteiros de 𝑥,</p><p>maiores do que zero e menores do que 2024, para os quais os valores correspondentes de 𝑦 também são</p><p>inteiros é:</p><p>a) 331;</p><p>b) 333;</p><p>c) 335;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>67</p><p>198</p><p>d) 337;</p><p>e) 339.</p><p>Comentários:</p><p>Podemos reorganizar a equação dada pelo enunciado de modo a isolarmos 𝑦 em termos de 𝑥: 6𝑦 − 𝑥 = 18 6𝑦 = 𝑥 + 18</p><p>𝑦 = 𝑥 + 186</p><p>𝑦 = 𝑥6 + 3</p><p>Para que 𝑦 seja um número inteiro,</p><p>𝒙𝟔 deve ser um número inteiro. Portanto, 𝒙 deve ser divisível por 6.</p><p>Logo, 𝒙 deve ser múltiplo de 6.</p><p>Consequentemente, o número de valores inteiros de 𝑥 que satisfazem o enunciado é a quantidade de</p><p>números que são múltiplos de 6 e que estão entre 0 e 2024.</p><p>O maior múltiplo de 6 menor do que 2024 é 2022. Logo, o número de múltiplos de 6 entre 0 e 2024 é: 20226 = 337</p><p>Portanto, temos 337 valores inteiros de 𝑥, maiores do que zero e menores do que 2024, para os quais os</p><p>valores correspondentes de 𝑦 também são inteiros.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FGV/TRT-PB/2022) A soma de 2 números naturais é 22253. Um dos números é divisível por 10 e se</p><p>retirarmos o algarismo das unidades desse número obtém-se o outro número.</p><p>A diferença entre o maior e o menor número é</p><p>a) 13222.</p><p>b) 14644.</p><p>c) 15876.</p><p>d) 17732.</p><p>e) 18207.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>68</p><p>198</p><p>Considere que o número natural divisível por 10 é 𝒙. Sabemos que um número é divisível por 10 quando</p><p>o último algarismo é zero.</p><p>Note que retirar o último algarismo de 𝒙 corresponde a uma divisão por dez. Logo, o outro número</p><p>procurado é</p><p>𝒙𝟏𝟎.</p><p>Sabemos que a soma dos dois números é 22253. Logo:</p><p>𝑥 + 𝑥10 = 22253 10𝑥 + 𝑥10 = 22253 11𝑥10 = 22253</p><p>𝑥 = 22253 × 1011 𝑥 = 20230</p><p>Logo, a diferença entre o maior e o menor número é:</p><p>𝑥 − 𝑥10 = 20230 − 2023010</p><p>= 20230 − 2023 = 18207</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(FGV/PM SP/2022) Um número inteiro positivo N, de 2 algarismos, é tal que exatamente 3 das 4</p><p>afirmações a seguir são verdadeiras:</p><p>• N é um número par;</p><p>• N é um número primo;</p><p>• N é múltiplo de 3;</p><p>• um dos algarismos de N é 5.</p><p>O algarismo das unidades de N é</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>69</p><p>198</p><p>d) 5.</p><p>e) 8.</p><p>Comentários:</p><p>Como exatamente 3 das 4 afirmações são verdadeiras, temos que somente uma afirmação é falsa. Vamos</p><p>procurar a afirmação falsa.</p><p>Sabemos que um número primo é um número natural maior do que 1 que possui somente dois divisores</p><p>naturais:</p><p>• O número 1; e</p><p>• O próprio número primo.</p><p>Note que o número procurado N apresenta dois algarismos.</p><p>Nesse caso, observe que "N é um número primo" deve ser a única afirmação falsa. Caso essa afirmação</p><p>não fosse falsa, teríamos um número de dois algarismos que, além de ser primo, deveria ter como</p><p>verdadeiro ao menos uma das seguintes afirmações (pois apenas uma pode ser falsa):</p><p>• N é um número par (isto é, N é divisível por 2);</p><p>• N é múltiplo de 3 (isto é, N é divisível por 3);</p><p>Veja que isso é inadmissível, pois, sendo um primo de dois dígitos, esse primo não pode ser divisível nem</p><p>por 2 e nem por 3.</p><p>Logo, não sendo um número primo, o nosso número N obedece somente a essas três afirmações:</p><p>• N é um número par;</p><p>• N é múltiplo de 3;</p><p>• um dos algarismos de N é 5.</p><p>Como N é um número de 2 dígitos e como N é par, é necessário que o algarismo 5 seja o algarismo das</p><p>dezenas. Temos as seguintes possibilidades: 50, 52, 54, 56, 58</p><p>Para que N seja múltiplo de 3, o único valor possível para N é 54, pois 54 é o único número dentre os</p><p>possíveis que é divisível por 3.</p><p>Logo, N = 54. Portanto, o algarismo das unidades de N é 4.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>70</p><p>198</p><p>(FGV/Senado Federal/2022) Maria foi desafiada a calcular quantos números naturais que sejam</p><p>múltiplos de 3 ou de 7 existem entre 1000 e 2000. Maria refletiu um pouco e respondeu corretamente:</p><p>a) 47</p><p>b) 284</p><p>c) 369</p><p>d) 428</p><p>e) 512</p><p>Comentários:</p><p>Para o número de múltiplos de 3 ou de 7 entre 1000 e 2000, devemos:</p><p>• Obter o número de múltiplos de 3 entre 1000 e 2000;</p><p>• Somar com o número de múltiplos de 7 entre 1000 e 2000; e</p><p>• Subtrair o número de múltiplos de 21 entre 1000 e 2000.</p><p>Veja que devemos subtrair os múltiplos de 21 porque, ao somar o número de múltiplos de 3 ao número de</p><p>múltiplos de 7, estamos contabilizando duas vezes os múltiplos de 3×7 = 21, pois todo múltiplo de 21 é</p><p>múltiplo de 3 e de 7. −</p><p>Para encontrar o número de múltiplos de 3 entre 1000 e 2000, vamos realizar a seguinte operação:</p><p>(Múltiplo de 3 imediatamente</p><p>inferior a 2000 ) − (Múltiplo de 3 imediatamente superior a 1000 )3 + 𝟏</p><p>Observe que é necessário somar uma unidade na expressão para não deixar de fora um dos extremos.</p><p>Exemplo: quantos múltiplos de 3 existem entre 3 e 9? Ora, claramente existem três: o próprio 3, o 6 e o</p><p>próprio 9. Ocorre que, ao realizar</p><p>9−33 , obteríamos 2 como resultado. Logo, é necessário somar uma</p><p>unidade na expressão: 9 − 33 + 1 = 2 + 1 = 3</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>71</p><p>198</p><p>Voltando ao problema, vamos agora obter o múltiplo de 3 imediatamente inferior a 2000. Note que 2000</p><p>dividido por 3 nos deixa quociente 666 e resto 2. Logo, o múltiplo de 3 imediatamente inferior a 2000 é: 666 × 3 = 1998</p><p>Agora vamos obter o múltiplo de 3 imediatamente superior a 1000. Note que 1000 dividido por 3 nos</p><p>deixa quociente 333 e resto 1. Logo, o múltiplo de 3 imediatamente superior a 1000 é: 333 × 3 + 3 = 999 + 3 = 1002</p><p>Logo, o número de múltiplos de 3 entre 1000 e 2000 é:</p><p>(Múltiplo de 3 imediatamente inferior a 2000 ) − (Múltiplo de 3 imediatamente superior a 1000 )3 + 𝟏 1998 − 10023 + 1</p><p>= 332 + 1 = 𝟑𝟑𝟑 −</p><p>Para encontrar o número de múltiplos de 7 entre 1000 e 2000, vamos realizar a seguinte operação:</p><p>(Múltiplo de 7 imediatamente inferior a 2000 ) − (Múltiplo de 7 imediatamente superior a 1000 )7 + 𝟏</p><p>Vamos agora obter o múltiplo de 7 imediatamente inferior a 2000. Note que 2000 dividido por 7 nos deixa</p><p>quociente 285 e resto 5. Logo, o múltiplo de 7 imediatamente inferior a 2000 é: 285 × 7 = 1995</p><p>Agora vamos obter o múltiplo de 7 imediatamente superior a 1000. Note que 1000 dividido por 7 nos</p><p>deixa quociente 142 e resto 6. Logo, o múltiplo de 7 imediatamente superior a 1000 é: 142 × 7 + 7 = 994 + 7 = 1001</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>72</p><p>198</p><p>Logo, o número de múltiplos de 7 entre 1000 e 2000 é:</p><p>(Múltiplo de 7 imediatamente inferior a 2000 ) − (Múltiplo de 7 imediatamente superior a 1000 )7 + 𝟏</p><p>= 1995 − 10017 + 1</p><p>= 9947 + 1</p><p>= 142 + 1 = 𝟏𝟒𝟑 −</p><p>Para encontrar o número de múltiplos de 21 entre 1000 e 2000, vamos realizar a seguinte operação:</p><p>(Múltiplo de 21 imediatamente inferior a 2000 ) − (Múltiplo de 21 imediatamente superior a 1000 )21 + 𝟏</p><p>Vamos agora obter o múltiplo de 21 imediatamente inferior a 2000. Note que 2000 dividido por 21 nos</p><p>deixa quociente 95 e resto 5. Logo, o múltiplo de 21 imediatamente inferior a 2000 é: 95 × 21 = 1995</p><p>Agora vamos obter o múltiplo de 21 imediatamente superior a 1000. Note que 1000 dividido por 21 nos</p><p>deixa quociente 47 e resto 13. Logo, o múltiplo de 21 imediatamente superior a 1000 é: 47 × 21 + 21 = 987 + 21 = 1008</p><p>Logo, o número de múltiplos de 21 entre 1000 e 2000 é:</p><p>(Múltiplo de 21 imediatamente inferior a 2000 ) − (Múltiplo de 21 imediatamente superior a 1000 )21 + 𝟏</p><p>= 1995 − 100821 + 1</p><p>= 98721 + 1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>73</p><p>198</p><p>= 47 + 1 = 𝟒𝟖 −</p><p>Portanto, o número de múltiplos de 3 ou de 7 entre 1000 e 2000: Múltiplos de 3 + Múltiplos de 7 − Múltiplos de 21 = 𝟑𝟑𝟑 + 𝟏𝟒𝟑 − 𝟒𝟖 = 𝟒𝟐𝟖</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FGV/CBM-RJ/2022) Em um pátio, 240 soldados deverão ser dispostos em formação retangular de</p><p>linhas e colunas. Por exemplo, a figura abaixo mostra 12 soldados em uma formação retangular de 3</p><p>linhas e 4 colunas.</p><p>Para os 240 soldados, a formação deve ter ao menos, 4 linhas e ao menos 4 colunas.</p><p>Assinale a opção que indica o número de maneiras diferentes de realizar essa formação.</p><p>a) 7.</p><p>b) 8.</p><p>c) 12.</p><p>d) 14.</p><p>e) 18.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que na formação dos 240 soldados teremos 𝒙 linhas e 𝒚 colunas. Observe que 𝒙 e 𝒚 devem ser</p><p>números naturais, pois representam linhas e colunas.</p><p>O número de soldados, dado por 240, é o produto do número linhas 𝒙 pelo número de colunas 𝒚: 𝑥 × 𝑦 = 240</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>74</p><p>198</p><p>Veja que</p><p>240𝑥 deve resultar em um número natural, pois corresponde ao número de colunas 𝑦: 𝑥 × 𝑦 = 240</p><p>𝑦 = 240𝑥</p><p>Assim, o número de linhas 𝒙 deve ser um divisor natural de 240. Nesse momento, vamos obter os</p><p>divisores de 240 para obter os possíveis valores de 𝑥.</p><p>Note que, a princípio, teríamos 20 possibilidades para o número de linhas 𝒙. Observe, porém, que o</p><p>enunciado nos diz que a formação deve ter ao menos 𝒙 = 𝟒 linhas. Logo, os divisores 1, 2 e 3 não podem</p><p>corresponder ao número de linhas 𝒙 da formação.</p><p>Sabemos, ainda, que uma vez que temos um número de linhas 𝑥 para a formação, o número de colunas 𝑦 é</p><p>necessariamente:</p><p>𝑦 = 240𝑥</p><p>Como o enunciado nos diz que devemos ter também ao menos 𝒚 = 𝟒 colunas, os divisores 80, 120 e 240</p><p>não podem corresponder ao número de linhas 𝒙 da formação, pois nesse caso teríamos:</p><p>𝑦 = 24080 = 3 colunas</p><p>𝑦 = 240120 = 2 colunas 𝑦 = 240240 = 1 coluna</p><p>Portanto, dentre as 20 possibilidades para o número de linhas 𝒙, é necessário descartar os divisores 1, 2,</p><p>3, 80, 120 e 240. Ficamos com 16 possibilidades para o número de linhas 𝒙.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>75</p><p>198</p><p>Consequentemente, como para cada número de linhas 𝑥 obtemos um único número de colunas 𝑦, temos</p><p>16 maneiras diferentes de realizar essa formação.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FGV/SEAD-AP/2022) O maior fator primo do número 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 é 𝟐, pois 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 = 𝟐𝟏𝟔.</p><p>A soma dos algarismos do maior fator primo de 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟓 é</p><p>a) 3.</p><p>b) 5.</p><p>c) 8.</p><p>d) 11.</p><p>e) 14.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos fatorar o número 65535.</p><p>Perceba que o número 65535 é divisível pelo primo 3, pois a soma dos algarismos é divisível por 3. Ao</p><p>dividir 65535 por 3, obtemos quociente 21845 e resto zero. Logo: 65535 = 3 × 𝟐𝟏𝟖𝟒𝟓</p><p>Já o número 21845 não é divisível pelo primo 3, porém é divisível pelo primo 5, pois esse número termina</p><p>em 5. Ao dividir 21845 por 5, obtemos quociente 4369 e resto zero. Logo: 65535 = 3 × 5 × 𝟒𝟑𝟔𝟗⏟ 21845</p><p>4369 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. Ao tentar dividir 4369 pelos próximos números</p><p>primos, perceba que esse número não é divisível por 7, nem por 11 e nem por 13. Porém, número 4369 é</p><p>divisível pelo primo 17.</p><p>Ao dividir 4369 por 17, obtemos quociente 257 e resto zero. Logo: 65535 = 3 × 5 × 17 × 𝟐𝟓𝟕⏟ 4369</p><p>Vamos agora tentar decompor o número 257. Já sabemos que ele não é divisível pelos primos, 2, 3, 5, 7, 11</p><p>e 13. Ao tentar dividir por 17, obtemos quociente 15 e resto 2.</p><p>Como o quociente obtido (15) é menor do que o primo testado (17), devemos parar a fatoração, pois</p><p>nesse caso o número que está sendo testado (257) é primo. Portanto, a fatoração final é: 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟓 = 𝟑 × 𝟓 × 𝟏𝟕 × 𝟐𝟓𝟕</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>76</p><p>198</p><p>Logo, o maior fator primo de 65535 é 257.</p><p>Graficamente, acabamos de realizar a seguinte fatoração:</p><p>Logo, a soma dos algarismos do maior fator primo de 65535 é: 2 + 5 + 7 = 14</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(FGV/TRT-PB/2022) Carlos considera que um número é agradável quando a soma dos seus algarismos</p><p>é 7 ou múltiplo de 7. Por exemplo, o ano de 2005 foi agradável pois 2 + 0 + 0 + 5 = 7, e o de 2039 será</p><p>também, pois 2 + 0 + 3 + 9 = 14.</p><p>Por esse critério, o número de anos agradáveis do século XX foi igual a</p><p>a) 7.</p><p>b) 10.</p><p>c) 11.</p><p>d) 13.</p><p>e) 14.</p><p>Comentários:</p><p>O século XX começa no ano 1901 e termina no ano 2000.</p><p>Note que o ano 2000 não</p><p>é um número agradável, pois 2+0+0+0 = 2 não é múltiplo de 7.</p><p>Os outros anos do século 20 sempre começam pelos algarismos 1 e 9. Temos os seguintes formatos de</p><p>ano, sendo A e B dígitos de 0 a 9: 𝟏𝟗𝐀 𝐁</p><p>Note que a soma dos dígitos de 19AB deve ser no mínimo 10, pois 1+9 = 10.</p><p>Os múltiplos de 7 maiores do que 10 são: 2 × 7 = 𝟏𝟒</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>77</p><p>198</p><p>3 × 7 = 𝟐𝟏 4 × 7 = 𝟐𝟖 5 × 7 = 35 …</p><p>Veja que a soma dos números de um ano do século XX não pode ser maior nem igual a 35, pois a soma</p><p>máxima ocorre para o ano 1999: 1+9+9+9 = 28.</p><p>Logo, para que um ano do século XX tenha como soma dos dígitos um múltiplo de 7, a soma dos dígitos de</p><p>19AB deve ser igual a 14, 21 ou 28. 1 + 9 + 𝐴 + 𝐵 = 𝟏𝟒 → 𝑨 +𝑩 = 𝟒 1 + 9 + 𝐴 + 𝐵 = 𝟐𝟏 → 𝑨 + 𝑩 = 𝟏𝟏 1 + 9 + 𝐴 + 𝐵 = 𝟐𝟖 → 𝑨 + 𝑩 = 𝟏𝟖</p><p>Note, portanto, que a soma dos dígitos A e B pode ser 4, 11 ou 18. Temos as seguintes possibilidades para</p><p>(A, B):</p><p>• Soma 4: (4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,4).</p><p>• Soma 11: (9,2), (8,3), (7,4), (6,5), (5,6), (4,7), (3,8), (2,9).</p><p>• Soma 18: (9,9).</p><p>Logo, temos um total de 14 anos agradáveis no século XX.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(FGV/SEFAZ AM/2022) Considere uma operação entre números inteiros positivos 𝒂 e 𝒃, representada</p><p>pelo símbolo # e definida por: 𝒂#𝒃 = 𝟐𝒂 + 𝒃</p><p>Considere, agora, o conjunto 𝑴 dos números inteiros 𝒙 tais que 𝒙 # 𝟑 seja múltiplo de 𝟓.</p><p>É correto afirmar que, dos números a seguir, o único que pertence ao conjunto 𝑴 é</p><p>a) 2.</p><p>b) 5.</p><p>c) 13.</p><p>d) 15.</p><p>e) 21.</p><p>Comentários:</p><p>Conforme a definição do enunciado, temos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>78</p><p>198</p><p>𝑥#3 = 2𝑥 + 3</p><p>Logo, devemos determinar dentre as alternativas um possível valor para 𝑥 de modo que 𝟐𝒙 + 𝟑 seja</p><p>múltiplo de 5. Em outras palavras, devemos determinar um possível valor para 𝑥 de modo que 𝟐𝒙 + 𝟑 seja</p><p>divisível por 5.</p><p>a) 2. ERRADO. 2𝑥 + 3 = 2 × 2 + 3 = 7</p><p>Note que 7 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. Logo, 7 não é múltiplo de 5.</p><p>b) 5. ERRADO. 2𝑥 + 3 = 2 × 5 + 3 = 13</p><p>Note que 13 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. Logo, 13 não é múltiplo de 5.</p><p>c) 13. ERRADO. 2𝑥 + 3 = 2 × 13 + 3 = 29</p><p>Note que 29 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. Logo, 29 não é múltiplo de 5.</p><p>d) 15. ERRADO. 2𝑥 + 3 = 2 × 15 + 3 = 33</p><p>Note que 33 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. Logo, 33 não é múltiplo de 5.</p><p>e) 21. CERTO. Esse é o gabarito. 2𝑥 + 3</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>79</p><p>198</p><p>= 2 × 21 + 3 = 45</p><p>Note que 45 é divisível por 5, pois termina em 5. Logo, 45 é múltiplo de 5.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(FGV/SEMSA Manaus/2022) N é o maior número inteiro menor do que 100 que, quando dividido por</p><p>2 ou por 3, deixa resto igual a 1.</p><p>A soma dos algarismos de N é igual a</p><p>a) 18.</p><p>b) 17.</p><p>c) 16.</p><p>d) 15.</p><p>e) 14.</p><p>Comentários:</p><p>Como N deixa resto 1 quando dividido por 2 ou por 3, o número (N-1) deixa resto zero quando dividido por</p><p>2 ou por 3. Isso significa que (N-1) é divisível por 2 e por 3.</p><p>Sendo N o maior número inteiro menor do que 100, (N-1) é o maior número inteiro menor do que 99.</p><p>Vamos testar os possíveis valores para (N-1):</p><p>• 99 → não é divisível por 2, pois não é par;</p><p>• 98 → não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos (9+8 = 17) não é divisível por 3;</p><p>• 97 → não é divisível por 2, pois não é par;</p><p>• 96 → é divisível por 2, por ser par, e também é divisível por 3, pois a soma dos algarismos (9+6 =</p><p>15) é divisível por 3.</p><p>Logo, o maior número inteiro menor do que 99 que é divisível por 2 e por 3 é 96. Assim: 𝑁 − 1 = 96 𝑁 = 97</p><p>A soma dos algarismos de N é: 9 + 7 = 16</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>80</p><p>198</p><p>(FGV/SEMSA Manaus/2022) Considere um número N, inteiro e positivo, tal que 36 e 54 são ambos</p><p>divisíveis por N.</p><p>A soma dos possíveis valores de N é</p><p>a) 27.</p><p>b) 32.</p><p>c) 36.</p><p>d) 39.</p><p>e) 54.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos decompor os números 36 e 54 em fatores primos. 36 = 6 × 6 = (2 × 3) × (2 × 3) = 22 × 32</p><p>54 = 2 × 27 = 21 × 33</p><p>Note que, para que o número N seja divisor de 36 e de 54:</p><p>• N deve apresentar em sua composição somente os fatores primos 2 e 3;</p><p>• O expoente do fator 2 não pode ser maior do que 1, pois nesse caso N não seria divisor de 54; e</p><p>• O expoente do fator 3 não pode ser maior do que 2, pois nesse caso N não seria divisor de 36.</p><p>Portanto, N é da forma 2𝑎 × 2𝑏, em que 𝒂 pode ser 0 ou 1 e 𝒃 pode ser 𝟎, 𝟏 ou 𝟐. Vamos elencar todas as</p><p>possibilidades:</p><p>a b 𝑵 = 𝟐𝒂 × 𝟑𝒃</p><p>0 0 20 × 30 = 1</p><p>0 1 20 × 31 = 3</p><p>0 2 20 × 32 = 9</p><p>1 0 21 × 30 = 2</p><p>1 1 21 × 31 = 6</p><p>1 2 21 × 32 = 18</p><p>Portanto, a soma dos possíveis valores de N é: 1 + 3 + 9 + 2 + 6 + 18</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>81</p><p>198</p><p>= 39</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FGV/PM SP/2021) 180 soldados serão posicionados no pátio do quartel, arrumados em linhas e</p><p>colunas, de maneira a formar um retângulo perfeito. Sabe se que tanto o número de linhas quanto o</p><p>número de colunas do retângulo não podem ser menores que 5.</p><p>O maior número de arrumações possíveis para esse retângulo de soldados é</p><p>a) 4.</p><p>b) 5.</p><p>c) 7.</p><p>d) 10.</p><p>e) 12.</p><p>Comentários:</p><p>Temos que o número de soldados presentes nesse retângulo é o produto do número de linhas pelo</p><p>número de colunas. Logo: (Linhas) × (Colunas) = 180</p><p>Como o número de linhas e o número de colunas devem ser inteiros positivos, tanto o número de linhas</p><p>quanto o número de colunas devem ser divisores de 180.</p><p>Os divisores de 180 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90 e 180.</p><p>Uma vez que se determina um possível valor para a linha dentre os divisores de 180, o número de</p><p>colunas é dado por:</p><p>(Colunas) = 180(Linhas)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>82</p><p>198</p><p>Para que se respeite o fato de que tanto o número de linhas quanto o número de colunas do retângulo</p><p>não podem ser menores que 5, os possíveis números de linhas são: 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30 e 36.</p><p>Esses valores para as linhas geram, respectivamente, os seguintes números de colunas: 36, 30, 20, 18, 15,</p><p>12 ,10, 9, 6 e 5.</p><p>Logo, temos um total de 10 arrumações para os soldados. O gabarito, portanto, é letra D.</p><p>Veja que, se selecionássemos um número de linhas maior do que 36, teríamos um número de colunas</p><p>inferior a 5, violando o comando da questão. Por exemplo, se tivéssemos 45 linhas, o número de colunas</p><p>seria:</p><p>(Colunas) = 18045 = 4</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>83</p><p>198</p><p>Cebraspe</p><p>(CESPE/SERPRO/2021) Suponha que sejam gerados 5 números válidos de CPF para serem atribuídos a</p><p>5 indivíduos distintos. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.</p><p>Suponha que a seja o último dígito de um dos CPFs gerados, que b seja o último dígito de outro desses</p><p>CPFs e que a e b sejam números ímpares consecutivos. Nessa situação, a + b é múltiplo de 4.</p><p>Comentários:</p><p>Para resolver o problema, devemos saber que todo número ímpar pode ser escrito da forma 2𝒌 + 1,</p><p>sendo 𝒌 um número inteiro. Por exemplo:</p><p>• O número 5 pode ser escrito como 2 × 𝟐 + 1;</p><p>• O número 7 pode ser escrito como 2 × 𝟑 + 1;</p><p>• O número 9 pode</p><p>ser escrito como 2 × 𝟒 + 1;</p><p>• Etc.</p><p>E o que é um ímpar consecutivo de um número? É o próximo número ímpar maior do que esse</p><p>determinado número. Por exemplo, o ímpar consecutivo do número 11 é o 13.</p><p>Voltando ao problema, note que, como 𝑎 é um número ímpar, ele pode ser escrito da forma 2𝑘 + 1, sendo 𝑘 um número inteiro.</p><p>Além disso, 𝑏 é um ímpar consecutivo de 𝑎. Logo, ele pode ser escrito como 𝑎 + 2.</p><p>Devemos verificar se 𝑎 + 𝑏 é múltiplo de 4. Temos que: 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + (𝑎 + 2) = 2𝑎 + 2 = 2 × (2𝑘 + 1) + 2 = 4𝑘 + 2 + 2 = 4𝑘 + 4 = 4 × (𝑘 + 1)</p><p>Note que 𝑎 + 𝑏 é igual a 4 × (𝒌 + 𝟏), sendo (𝒌 + 𝟏) um número inteiro.</p><p>A soma 𝑎 + 𝑏, portanto, é um múltiplo de 4, pois 𝑎 + 𝑏 é descrita como o produto do número 4 por um</p><p>número inteiro.</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>84</p><p>198</p><p>(CESPE/PC DF/2021) No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma</p><p>assertiva a ser julgada.</p><p>Um foragido da justiça, que gostava de se exibir perante seus comparsas e conhecia um pouco de</p><p>matemática, ligou para a polícia e passou as seguintes informações: “em 30 minutos, eu estarei na rua</p><p>Alfa, em uma casa, do lado direito da rua, cujo número tem as seguintes características: é inferior a</p><p>1.000, o algarismo das centenas é igual ao número de diagonais de um retângulo e, além disso, a parte</p><p>do número formada só pelos algarismos das dezenas e das unidades é múltiplo de 7”. Uma viatura foi</p><p>deslocada para o intervalo de casas da rua Alfa correspondente ao algarismo das centenas revelado. Lá</p><p>chegando, os policiais verificaram que, nesse trecho da rua Alfa, os números das casas tinham as</p><p>seguintes características: os algarismos das dezenas e das unidades começavam de 01 e de uma casa</p><p>para a próxima eram acrescentadas 8 unidades. Nessa situação, o número da casa informado pelo</p><p>foragido é inferior a 250.</p><p>Comentários:</p><p>Observe que o número deve ser menor do que 1000 e o algarismo das centenas é igual ao número de</p><p>diagonais do retângulo. Como o retângulo tem duas diagonais, o número é da seguinte forma: 2 __ __</p><p>A parte do número formada só pelos algarismos das dezenas e das unidades é múltiplo de 7: 2 __ __⏟Múltiplode 7</p><p>Note que o número das casas começava em 201 e a casas subsequentes apresentavam a numeração</p><p>anterior acrescida de 8 unidades. Temos, portanto, as seguintes numerações: 201, 209, 2017, 255, 233, 241, 𝟐𝟒𝟗, 257,…</p><p>Observe, portanto, que 249 é o número procurado, pois 49 é múltiplo de 7. Logo, o número da casa</p><p>informado pelo foragido é inferior a 250.</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>(CESPE/Pref. São Cristóvão/2019) Julgue o item a seguir, relativo a sequências numéricas.</p><p>A quantidade de números inteiros múltiplos de 19 que estão entre 1.234 e 4.321 é inferior a 160.</p><p>Comentários:</p><p>Para encontrar o número de múltiplos de 19 entre 1.234 e 4.321, vamos realizar a seguinte operação:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>85</p><p>198</p><p>(Múltiplo de 19 imediatamente inferior a 4.321 ) − (Múltiplo de 19 imediatamente superior a 1.234 )19 + 𝟏</p><p>Observe que é necessário somar uma unidade na expressão para não deixar de fora um dos extremos.</p><p>Exemplo: quantos múltiplos de 19 existem entre 19 e 38? Ora, claramente existem dois: o próprio 19 e o</p><p>próprio 38. Ocorre que, ao realizar</p><p>38−1919 , obteríamos 1 como resultado. Logo, é necessário somar uma</p><p>unidade na expressão: 38 − 1919 + 1 = 2</p><p>Voltando ao problema, vamos agora obter o múltiplo de 19 imediatamente inferior a 4.321. Note que</p><p>4.321 dividido por 19 nos deixa quociente 227 e resto 8. Logo, o múltiplo de 19 imediatamente inferior a</p><p>4.321 é: 227 × 19 = 4.313</p><p>Vamos agora obter o múltiplo de 19 imediatamente superior a 1.234. Note que 1.234 dividido por 19 nos</p><p>traz quociente 64 e resto 18. Logo, para não deixar resto na divisão, devemos somar uma unidade ao</p><p>número. Portanto, o múltiplo de 19 imediatamente superior a 1.234 é: 1.234 + 1 = 1.235</p><p>Portanto, o número de múltiplos de 19 entre 1.234 e 4.321 é:</p><p>(Múltiplo de 19 imediatamente inferior a 4.321 ) − (Múltiplo de 19 imediatamente superior a 1.234 )19 + 𝟏 4.313 − 1.23519 + 1 162 + 1 = 163</p><p>Logo, quantidade de números inteiros múltiplos de 19 que estão entre 1.234 e 4.321 é superior a 160. O</p><p>gabarito, portanto, é ERRADO.</p><p>Gabarito: ERRADO.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>86</p><p>198</p><p>(CESPE/SEFAZ RS/2018) Uma assistente administrativa rasgou em n pedaços uma folha de papel que</p><p>continha informação considerada sigilosa. Como ainda era possível ler alguma informação em um desses</p><p>pedaços, ela rasgou-o também em n pedaços. Receosa de que a informação sigilosa pudesse ser</p><p>recuperada de um desses últimos pedaços, rasgou-o também em n pedaços.</p><p>Assinale a opção que indica uma quantidade possível de pedaços em que a folha foi rasgada.</p><p>a) 15</p><p>b) 26</p><p>c) 28</p><p>d) 30</p><p>e) 36</p><p>Comentários:</p><p>Vamos entender passo a passo cada linha do problema.</p><p>"Uma assistente administrativa rasgou em n pedaços uma folha de papel que continha informação</p><p>considerada sigilosa"</p><p>Observe que o valor de 𝒏 é inteiro, pois a assistente administrativa não pode ter rasgado a folha de papel</p><p>em "5,5 pedaços" ou "10,8 pedaços", por exemplo.</p><p>"Como ainda era possível ler alguma informação em um desses pedaços, ela rasgou-o também em n</p><p>pedaços."</p><p>Note que, anteriormente, tínhamos 𝑛 pedaços. Um único desses 𝑛 pedaços foi rasgado novamente, e</p><p>outros 𝑛 − 1 pedaços permaneceram como estavam. Logo, ficamos com:</p><p>• 𝑛 − 1 pedaços que permaneceram como estavam;</p><p>• 𝑛 pedaços provenientes desse único pedaço original que foi rasgado em 𝑛 partes.</p><p>Observe que, nesse momento, o total de pedaços é (𝑛 − 1) + 𝑛 = 𝟐𝒏 − 𝟏</p><p>"Receosa de que a informação sigilosa pudesse ser recuperada de um desses últimos pedaços, rasgou-o</p><p>também em n pedaços."</p><p>Note que, no passo anterior, tínhamos (𝟐𝒏 − 𝟏) pedaços. Um único desses (2𝑛 − 1) pedaços foi rasgado</p><p>novamente. Os outros (2𝑛 − 1) − 1 pedaços permaneceram como estavam. Logo, ficamos com:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>87</p><p>198</p><p>• (2𝑛 − 1) − 1 pedaços que permaneceram como estavam;</p><p>• 𝑛 pedaços provenientes desse único pedaço que, nesse novo passo, foi rasgado em 𝑛 partes.</p><p>Observe que, nesse momento, o total de pedaços é (2𝑛 − 1) − 1 + 𝑛 = 𝟑𝒏 − 𝟐</p><p>A questão pergunta por uma quantidade possível de pedaços em que a folha foi rasgada, isto é, uma</p><p>quantidade que possa ser escrita como 𝟑𝒏 − 𝟐, sendo 𝒏 um número inteiro. Suponha que essa</p><p>quantidade seja 𝑥. Nesse caso: 𝑥 = 3𝑛 − 2 𝑥 + 2 = 3𝑛</p><p>𝒏 = 𝒙 + 𝟐𝟑</p><p>Observe, portanto, que se a quantidade 𝒙 é o número de pedaços em que a folha foi rasgada, 𝒙 + 𝟐 deve</p><p>ser múltiplo de 3 para que 𝒏 = 𝑥+23 seja um número inteiro.</p><p>Logo, devemos assinalar a alternativa em que, ao somar 2, obtemos um múltiplo de 3.</p><p>a) 15. ERRADO. 𝑥 + 2 = 15 + 2 = 17 → 𝒙 + 𝟐 não é múltiplo de 3.</p><p>b) 26. ERRADO. 𝑥 + 2 = 26 + 2 = 28</p><p>→ 𝒙 + 𝟐 não é múltiplo de 3.</p><p>c) 28. CERTO. 𝑥 + 2 = 28 + 2 = 30 → 𝒙 + 𝟐 é múltiplo de 3.</p><p>Logo, 𝒙 = 𝟐𝟖 é uma quantidade possível de pedaços em que a folha foi rasgada</p><p>d) 30. ERRADO. 𝑥 + 2 = 30 + 2 = 32</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>88</p><p>198</p><p>→ 𝒙 + 𝟐 não é múltiplo de 3.</p><p>e) 36. ERRADO. 𝑥 + 2 = 36 + 2 = 28 → 𝒙 + 𝟐 não é múltiplo de 3.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(CESPE/FUB/2018) Paulo, Maria e João, servidores lotados em uma biblioteca pública, trabalham</p><p>na</p><p>catalogação dos livros recém-adquiridos. Independentemente da quantidade de livros a serem</p><p>catalogados em cada dia, Paulo cataloga 1/4, Maria cataloga 1/3 e João, 5/12.</p><p>A respeito da catalogação de livros por esses servidores, julgue o item a seguir.</p><p>Sempre que trabalharem de segunda-feira a sexta-feira, os três servidores catalogarão uma quantidade</p><p>de livros que será um número múltiplo de 12.</p><p>Comentários:</p><p>Note que, todos os dias, independentemente da quantidade de livros a serem catalogados em cada dia,</p><p>João cataloga 5/12 dos livros.</p><p>Suponha que em um dia qualquer temos 𝒍 livros para serem catalogados. Isso significa que João cataloga: 512 𝐝𝐨𝐬 (livros do dia) = 512 × 𝑙 = 𝟓 × 𝒍𝟏𝟐</p><p>Observe, portanto, que se nesse dia qualquer foram catalogados 𝑙 livros, 𝒍 deve ser múltiplo de 12 para</p><p>que o número de livros catalogados por João seja um número inteiro.</p><p>Isso significa que, todos os dias, o número de livros catalogados pelos servidores será múltiplo de 12.</p><p>Como em todos os dias deve ser catalogada uma quantidade múltipla de 12, o total de livros catalogados</p><p>pelos três servidores de segunda-feira a sexta-feira será também múltiplo de 12.</p><p>O gabarito, portanto, é CERTO.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>89</p><p>198</p><p>Mas professor, a gente sabe que todos os dias é catalogada uma quantidade múltipla de 12. Por que a</p><p>soma dos livros catalogados nos 5 dias da semana também será múltipla de 12?</p><p>Excelente pergunta, caro aluno!</p><p>Perceba que, se de segunda a sexta foram catalogadas, todos os dias, quantidades múltiplas de 12, então</p><p>podemos dizer que:</p><p>• Na segunda-feira, foram catalogados 𝟏𝟐 × 𝒌𝟏 livros, sendo 𝒌𝟏 inteiro;</p><p>• Na terça-feira, foram catalogados 𝟏𝟐 × 𝒌𝟐 livros, sendo 𝒌𝟐 inteiro;</p><p>• Na quarta-feira, foram catalogados 𝟏𝟐 × 𝒌𝟑 livros, sendo 𝒌𝟑 inteiro;</p><p>• Na quinta-feira, foram catalogados 𝟏𝟐 × 𝒌𝟒 livros, sendo 𝒌𝟒 inteiro; e</p><p>• Na sexta-feira, foram catalogados 𝟏𝟐 × 𝒌𝟓 livros, sendo 𝒌𝟓 inteiro.</p><p>Logo, no período de segunda-feira a sexta-feira, foram catalogados: 12𝑘1 + 12𝑘2 + 12𝑘3 + 12𝑘4 + 12𝑘5 = 12 × (𝐤𝟏 + 𝐤𝟐 + 𝐤𝟑 + 𝐤𝟒 + 𝐤𝟓)⏟ 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐢𝐫𝐨</p><p>Observe, portanto, que o total de livros catalogados de segunda-feira a sexta-feira é múltiplo de 12, pois</p><p>esse total pode ser escrito da forma "12 vezes um número inteiro".</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>(CESPE/Pref. SL/2017) A quantidade N de pacotes de arroz distribuídos no primeiro trimestre para as</p><p>6 escolas de determinado município é um número de três algarismos que pode ser escrito na forma N =</p><p>X3Y, em que X e Y são dois algarismos entre 0 e 9. Sabe-se que cada escola recebeu a mesma quantidade</p><p>de pacotes das demais e o número N é o maior possível que atende às condições descritas.</p><p>Nessa situação, a quantidade de pacotes de arroz distribuídos no primeiro trimestre para as 6 escolas do</p><p>município foi</p><p>a) superior a 800 e inferior a 900.</p><p>b) superior a 900.</p><p>c) inferior a 600.</p><p>d) superior a 600 e inferior a 700.</p><p>e) superior a 700 e inferior a 800.</p><p>Comentários:</p><p>Note que a quantidade N de pacotes foi distribuída igualmente para 6 escolas. Isso significa que N é</p><p>divisível por 6.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>90</p><p>198</p><p>Lembre-se de que um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.</p><p>Como N é escrito como X3Y, em que X e Y são algarismos, temos que:</p><p>• N é divisível por 2 → N é par → O último algarismo de N, dado por Y, é par.</p><p>Logo, Y pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.</p><p>• N é divisível por 3 → A soma dos algarismos de N é divisível por 3. Logo:</p><p>X + 3 + Y é divisível por 3</p><p>Consequentemente, temos que:</p><p>X + Y é divisível por 3</p><p>Observe, ainda, que N é o maior possível que atende às condições descritas.</p><p>O maior valor para X, que é o algarismo das centenas, é 9. Fazendo 𝑋 = 9, devemos ter que:</p><p>• Y pode ser igual a 0, 2, 4, 6 ou 8;</p><p>• X + Y é divisível por 3.</p><p>Como X + Y = 9 + Y, devemos ter que Y deve ser divisível por 3, pois, nesse caso, 9 + Y automaticamente</p><p>será divisível por 3. Portanto:</p><p>• Y pode ser igual a 0, 2, 4, 6 ou 8;</p><p>• Y é divisível por 3.</p><p>Veja que, para maximizarmos o valor de N = 93Y respeitando as duas condições anteriores, teremos Y = 6.</p><p>Portanto, o número procurado é 936, valor este superior a 900.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(CESPE/SECTI DF/2014) Acerca das propriedades dos conjuntos numéricos, julgue o item a seguir.</p><p>Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração</p><p>𝟏𝟒𝟐𝒓+𝟏 é um número inteiro.</p><p>Comentários:</p><p>Primeiramente, observe que para</p><p>142𝑟+1 ser inteiro, 2𝑟 + 1 deve ser divisor inteiro de 14.</p><p>Vamos obter os divisores inteiros de 14.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>91</p><p>198</p><p>Note que os divisores naturais (positivos) de 14 são 1; 2; 7 e 14.</p><p>Logo, os divisores inteiros de 14 são −14; −7; −2; −1; 1; 2; 7 e 14.</p><p>Sabemos que 2𝑟 + 1 deve ser divisor de 14. Portanto, as possibilidades para 𝑟 são:</p><p>• 2𝑟 + 1 = −𝟏𝟒 → 2𝑟 = −15 → 𝑟 = −7,5</p><p>• 2𝑟 + 1 = −𝟕 → 2𝑟 = −8 → 𝒓 = −𝟒</p><p>• 2𝑟 + 1 = −𝟐 → 2𝑟 = −3 → 𝑟 = −1,5</p><p>• 2𝑟 + 1 = −𝟏 → 2𝑟 = −2 → 𝒓 = −𝟏</p><p>• 2𝑟 + 1 = 𝟏 → 2𝑟 = 0 → 𝒓 = 𝟎</p><p>• 2𝑟 + 1 = 𝟐 → 2𝑟 = 1 → 𝑟 = −0,5</p><p>• 2𝑟 + 1 = 𝟕 → 2𝑟 = 6 → 𝒓 = 𝟑</p><p>• 2𝑟 + 1 = 𝟏𝟒 → 2𝑟 = 13 → 𝑟 = 6,5</p><p>Dentre as 8 possibilidades para 𝑟 que fazem com que</p><p>142𝑟+1 seja inteiro, apenas 4 são números inteiros: −𝟒; −𝟏; 𝟎 e 𝟑</p><p>Portanto, existem exatamente quatro números inteiros 𝒓 para os quais a fração</p><p>𝟏𝟒𝟐𝒓+𝟏 é um número</p><p>inteiro.</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>(CESPE/PC DF/2013) Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em</p><p>locais de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo masculino, julgue o</p><p>seguinte item.</p><p>É impossível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham a mesma</p><p>quantidade de mulheres e a mesma quantidade de homens.</p><p>Comentários:</p><p>Note que, em um grupo com 300 pessoas, uma vez que 175 são homens, temos 300−175 = 125 mulheres.</p><p>Considere que 𝑥 grupos foram formados. Nesse caso, cada um desses 𝑥 grupos terão</p><p>𝟏𝟕𝟓𝒙 homens e</p><p>𝟏𝟐𝟓𝒙</p><p>mulheres.</p><p>É importante perceber que a questão não diz que deve haver uma quantidade igual de homens e</p><p>mulheres em cada grupo. É necessário que todos os grupos tenham a mesma quantidade de homens (175𝑥 )</p><p>e que todos os grupos tenham a mesma quantidade de mulheres (125𝑥 ).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>92</p><p>198</p><p>Observe, portanto, que é possível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham</p><p>a mesma quantidade de mulheres e a mesma quantidade de homens. Para tanto, basta que a quantidade</p><p>de grupos formados (𝒙) seja divisor tanto de 175 quanto de 125.</p><p>Por exemplo, se forem formados 𝑥 = 5 grupos, esses grupos podem ter sempre:</p><p>• 1755 = 35 homens; e</p><p>• 1255 = 25 mulheres</p><p>Por outro lado, se forem formados 𝑥 = 25 grupos, esses grupos podem ter sempre:</p><p>• 17525 = 7 homens; e</p><p>• 12525 = 5 mulheres.</p><p>Como é possível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham a mesma</p><p>quantidade de mulheres e a mesma quantidade de homens, o gabarito é ERRADO.</p><p>Gabarito: ERRADO.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>93</p><p>198</p><p>FCC</p><p>(FCC/TRT 19/2022) O número inteiro x, quando dividido por 6, tem resto 3. O resto da divisão de 4x</p><p>por 6 é:</p><p>a) 4</p><p>b) 0</p><p>c) 2</p><p>d) 1</p><p>e) 3</p><p>Comentários:</p><p>Sabemos</p><p>que o número inteiro x, quando dividido por 6, tem resto 3.</p><p>Note, portanto, que o número (x−3), quando dividido por 6, tem resto zero. Isso significa que (x−3) é</p><p>divisível por 6. Em outras palavras, (x−3) é múltiplo de 6. Logo, sendo k um número inteiro, podemos</p><p>escrever (x−3) da seguinte forma: (𝑥 − 3) = 6 × 𝑘</p><p>Consequentemente, x pode ser escrito da seguinte forma: 𝑥 = 6𝑘 + 3</p><p>A questão pergunta pelo resto da divisão de 4x por 6. Note que 4x pode ser escrito da seguinte forma: 4𝑥 = 4 × (6𝑘 + 3) 4𝑥 = 24𝑘 + 12</p><p>Ao dividir 4x por 6, obtemos: (4𝑥)6 = 24𝑘 + 126 (4𝑥)6 = 24𝑘6 + 126 (4𝑥)6 = 4𝑘 + 2</p><p>Veja que a divisão de 4x por 6 resulta em um número inteiro, pois, sendo k inteiro, 4k+2 também é. Logo, o</p><p>resto da divisão de 4x por 6 é zero.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>94</p><p>198</p><p>(FCC/TRT 19/2022) Maria quer cortar uma corda em 6 pedaços de mesmo tamanho e marca os pontos</p><p>onde deverá efetuar os cortes. José quer cortar a mesma corda em 8 pedaços de mesmo tamanho e</p><p>também marca os pontos onde a corda deve ser cortada. Carlos corta a corda em todos os pontos</p><p>marcados por Maria e José. O número de pedaços de corda resultante é:</p><p>a) 11</p><p>b) 13</p><p>c) 10</p><p>d) 12</p><p>e) 9</p><p>Comentários:</p><p>A questão apresenta uma corda que é dividida em 6 e em 8 pedaços.</p><p>Para resolver o problema de maneira mais didática, é interessante definirmos um comprimento para a</p><p>corda em questão que seja divisível tanto por 6 quanto por 8. Em outras palavras, vamos definir um</p><p>comprimento que é múltiplo de 6 e de 8.</p><p>Vamos supor, por exemplo, que a corda em questão apresenta um comprimento de 6×8 = 48 centímetros.</p><p>Nesse caso, como Maria quer dividir a corda em 6 pedaços iguais, ela fez 6−1 = 5 marcações: 8cm, 16cm,</p><p>24cm, 32cm e 40cm.</p><p>Além disso, como José quer dividir a corda em 8 pedaços iguais, ele fez 8−1= 7 marcações: 6cm, 12cm,</p><p>18cm, 24cm, 30cm, 36cm e 42cm.</p><p>Note que temos uma marcação em comum: 24cm. Portanto, removendo a marcação em comum, temos</p><p>um total de 5+7−1 = 11 marcações. Essas 11 marcações correspondem a 11+1 = 12 pedaços. O gabarito,</p><p>portanto, é letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>95</p><p>198</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FCC/TRT 22/2022) O número 150 foi multiplicado por 2 ou por 3. Em seguida, ao resultado do</p><p>produto, foi somado 1 ou 2. Por fim, o número obtido foi dividido por 3 ou 4. Sabendo-se que a divisão</p><p>teve resto zero, o quociente da divisão foi</p><p>a) 112.</p><p>b) 114.</p><p>c) 113.</p><p>d) 111.</p><p>e) 110.</p><p>Comentários:</p><p>Para que o resto da divisão de um número D (dividendo) por um número d (divisor) seja zero, D deve ser</p><p>divisível por d.</p><p>Para resolver o problema, devemos avaliar a divisibilidade por 3 e por 4 de quatro números: 301, 302, 451</p><p>e 452.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>96</p><p>198</p><p>Para que um número seja divisível por 3, a soma dos dígitos deve ser divisível por 3. Note que, dentre os</p><p>quatro números apresentados, nenhum é divisível por 3:</p><p>• 301 → 3+0+1 = 4 → 4 não é divisível por 3;</p><p>• 302 → 3+0+2 = 5 → 5 não é divisível por 3;</p><p>• 451 → 4+5+1 = 10 → 10 não é divisível por 3;</p><p>• 452 → 4+5+2 = 11 → 11 não é divisível por 3.</p><p>Vamos agora avaliar a divisibilidade por 4.</p><p>Para que um número seja divisível por 4, os dois últimos dígitos do número devem formar um número</p><p>divisível por 4.</p><p>Note que 01, 02 e 51 não são divisíveis por 4. Porém, veja que 52 é divisível por 4. Logo, somente o</p><p>número 452 é divisível por 4.</p><p>Portanto, o número procurado é 452 e esse número foi dividido por 4, obtendo-se resto zero. O quociente</p><p>da divisão foi: 452 ÷ 4 = 𝟏𝟏𝟑</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(FCC/TRT 9/2022) Em uma loja há entre 30 e 50 troféus em miniatura. A funcionária da loja agrupou-</p><p>os de 5 a 5 e sobrou-lhe um troféu. Depois, agrupou-os de 3 a 3 e não sobrou nenhum troféu.</p><p>O número exato de troféus na loja é:</p><p>a) 41.</p><p>b) 39.</p><p>c) 36.</p><p>d) 48.</p><p>e) 42.</p><p>Comentários:</p><p>Os múltiplos de 5 entre 30 e 50 são: 30, 35, 40, 45 e 50.</p><p>Ao agrupar os troféus de 5 em 5, resta 1 troféu. Isso significa que o número de troféus procurado é uma</p><p>unidade superior a um múltiplo de 5. Como o número de troféus está entre 30 e 50, ficamos com as</p><p>seguintes possibilidades: 31, 36, 41 e 46.</p><p>Além disso, sabe-se que ao agrupar os troféus de 3 em 3, não resta nenhum troféu. Isso significa que o</p><p>número de troféus procurado é divisível por 3 (ou seja, é múltiplo de 3).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>97</p><p>198</p><p>Dentre os possíveis candidatos, apenas o número 36 é divisível por 3. Portanto, o número exato de troféus</p><p>na loja é 36.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(FCC/SABESP/2018) O total de 168 lanches foram servidos para x pessoas, sendo que todas receberam</p><p>o mesmo número de lanches e não sobraram lanches sem serem distribuídos entre essas pessoas. Não</p><p>sendo possível servir frações de lanche para as pessoas e sendo x um número entre 5 e 30, o total de</p><p>possibilidades diferentes para x é igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 9</p><p>c) 8</p><p>d) 5</p><p>e) 7</p><p>Comentários:</p><p>Como 168 lanches foram divididos entre 𝒙 pessoas sem sobrar lanches, 𝒙 deve ser divisor de 168. Isso</p><p>porque o total de lanches que cada pessoa recebeu, que deve ser um número inteiro, é dado por: 168𝑥</p><p>Os divisores de 168 são 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84 e 168.</p><p>Pelos dados do problema, além de ser divisor de 168, 𝒙 é um número entre 5 e 30. Logo, as possibilidades</p><p>para 𝑥 são: 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟒, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒 e 𝟐𝟖</p><p>Temos, portanto, oito possibilidades para 𝒙.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>98</p><p>198</p><p>(FCC/METRO SP/2015) A área de um retângulo é 144 m². Sabe-se que as medidas do comprimento e</p><p>da largura desse retângulo, em metros, são número inteiros positivos, e que o comprimento é maior do</p><p>que a largura. Apenas com os dados fornecidos, o total de possibilidades numéricas diferentes para o</p><p>comprimento desse retângulo é igual a</p><p>a) cinco.</p><p>b) seis.</p><p>c) nove.</p><p>d) sete.</p><p>e) oito.</p><p>Comentários:</p><p>Temos que a área de um retângulo é dada pelo produto do comprimento pela largura. Logo: (Comprimento) × (Largura) = 144</p><p>Como o comprimento e a largura devem ser inteiros positivos, tanto o comprimento quanto a largura</p><p>devem ser divisores de 144.</p><p>Os divisores de 144 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72 e 144.</p><p>Note que, caso escolhêssemos o divisor 12 como comprimento, obteríamos a seguinte largura: 12 × (Largura) = 144</p><p>(Largura) = 14412 = 12</p><p>Nesse caso, não teríamos o comprimento maior do que a largura, pois eles seriam iguais.</p><p>Além disso, qualquer número menor do que 12 para o comprimento dos daria uma largura maior do que</p><p>o comprimento. Por exemplo, caso escolhêssemos o divisor 3 como comprimento, obteríamos a seguinte</p><p>largura:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>99</p><p>198</p><p>3 × (Largura) = 144</p><p>(Largura) = 1443 = 48</p><p>Perceba que, para que o comprimento seja maior do que a largura, devemos selecionar os divisores de 144</p><p>maiores do que 12. Logo, 7 possibilidades para o comprimento do retângulo: 𝟏𝟔, 𝟏𝟖, 𝟐𝟒, 𝟑𝟔, 𝟒𝟖, 𝟕𝟐 𝐞 𝟏𝟒𝟒</p><p>O gabarito, portanto, é letra D.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FCC/SABESP/2018) De modo geral, um ano bissexto é todo aquele que é múltiplo de 4. Porém, essa</p><p>regra tem uma exceção: mesmo que o ano seja múltiplo de 4, se ele também</p><p>for múltiplo de 100, ele</p><p>deixa de ser bissexto.</p><p>Essa última regra tem outra exceção: se o ano for múltiplo de 100, mas também for múltiplo de 400, ele</p><p>volta a ser bissexto.</p><p>Considerando essas informações, é correto afirmar que existem anos que são</p><p>a) múltiplos de 400 e não são bissextos.</p><p>b) múltiplos de 100 e são bissextos.</p><p>c) bissextos e não são múltiplos de 4.</p><p>d) ímpares e são bissextos.</p><p>e) bissextos e não são múltiplos de 2.</p><p>Comentários:</p><p>Note que:</p><p>• Em regra, o ano é bissexto quando é múltiplo de 4;</p><p>• Exceção à esta regra ocorre quando o ano é múltiplo de 100: nesse caso, mesmo sendo múltiplo de</p><p>4, o ano não é bissexto;</p><p>• Exceção à esta exceção ocorre quando o ano é múltiplo de 400: nesse caso, mesmo que o ano seja</p><p>múltiplo de 4 e múltiplo de 100, o ano é bissexto.</p><p>Vamos analisar as alternativas.</p><p>a) Existem anos que são múltiplos de 400 e não são bissextos. ERRADO.</p><p>Quando o ano é múltiplo de 400 ele é bissexto, mesmo sendo múltiplo de 100.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>100</p><p>198</p><p>b) Existem anos que são múltiplos de 100 e são bissextos. CERTO.</p><p>Observe que os anos múltiplos de 400 são múltiplos de 100 e são bissextos. Logo, existem anos que são</p><p>múltiplos de 100 e são bissextos.</p><p>c) Existem anos que são bissextos e não são múltiplos de 4. ERRADO.</p><p>Para um ano ser bissexto, necessariamente deve ser múltiplo de 4. Existe uma exceção que faz com que</p><p>um múltiplo de 4 não seja bissexto, porém todo o ano bissexto é múltiplo de 4.</p><p>d) Existem anos que são ímpares e são bissextos. ERRADO.</p><p>Para um ano ser bissexto, necessariamente deve ser múltiplo de 4. Todo múltiplo de 4 é par e, portanto,</p><p>não existem anos que são ímpares e são bissextos.</p><p>e) Existem anos que são bissextos e não são múltiplos de 2. ERRADO.</p><p>Para um ano ser bissexto, necessariamente deve ser múltiplo de 4. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2 e,</p><p>portanto, não existem anos que são bissextos e não são múltiplos de 2.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(FCC/TRT 6/2018) O número natural x possui ao todo três divisores positivos distintos. O número</p><p>natural y possui ao todo três divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior</p><p>que 30 e menor que 40. A soma x + y é igual a</p><p>a) 12.</p><p>b) 14.</p><p>c) 13.</p><p>d) 16.</p><p>e) 19.</p><p>Comentários:</p><p>Lembre-se que se um número apresenta uma quantidade 𝒑 de divisores naturais, com 𝒑 primo, então esse</p><p>número é da forma 𝒒𝒑−𝟏, sendo 𝒒 também um número primo.</p><p>Como 𝑥 e 𝑦, que apresentam 3 divisores positivos, então 𝑥 e 𝑦 são da forma 𝒒𝟑−𝟏 = 𝒒𝟐, com 𝒒 primo.</p><p>Observe que 𝑥 e 𝑦 devem ser distintos, pois apresentam divisores positivos distintos.</p><p>Se 𝑥 e 𝑦 forem 𝟐𝟐 e 𝟑𝟐, então 𝑥𝑦 = 36, que está entre 30 e 40. Para esse caso, 𝑥 + 𝑦 = 4 + 9 = 13.</p><p>Chagamos ao gabarito, alternativa C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>101</p><p>198</p><p>Observe que, se 𝑥 e 𝑦 fossem números mais elevados, obteríamos um produto sempre maior do que 40.</p><p>Exemplo: 𝟑𝟐 e 𝟓𝟐 tem como produto 225.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>102</p><p>198</p><p>Vunesp</p><p>(VUNESP/EsFCEx/2020) Se o número inteiro 𝟐𝒂. 𝟑𝒃. 𝟏𝟏𝒄 (sendo 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ N) divide o número 1056,</p><p>então o número de divisores positivos e negativos de 1056 é igual a</p><p>a) 36.</p><p>b) 24.</p><p>c) 44.</p><p>d) 12.</p><p>e) 48.</p><p>Comentários:</p><p>Vimos na teoria que para saber a quantidade de divisores naturais de um número qualquer, devemos:</p><p>• Obter todos os expoentes dos fatores primos;</p><p>• Somar 1 a cada um desses expoentes e realizar o produto dos números obtidos.</p><p>Portanto, o número de divisores naturais será: (𝑎 + 1) × (𝑏 + 1) × (𝑐 + 1)</p><p>A questão pede o número de divisores inteiros (positivos e negativos). Trata-se do dobro do valor</p><p>anterior, pois os divisores negativos são os divisores positivos (naturais) com sinal trocado. A resposta da</p><p>questão será, portanto: 2 × (𝑎 + 1) × (𝑏 + 1) × (𝑐 + 1)</p><p>Para obter os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, devemos fatorar 1056.</p><p>Logo: 1056 = 25 × 31 × 111</p><p>Isso significa que 𝑎 = 5, 𝑏 = 1 e 𝑐 = 1. Logo, o número de divisores inteiros (positivos e negativos) é:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>103</p><p>198</p><p>2 × (5 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 6 × 2 × 2 = 48</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(VUNESP/ISS Osasco/2019) As tarefas numeradas de 1 a 50 devem ser realizadas no prazo dos cinco</p><p>dias úteis de uma semana. A pessoa que vai realizar as tarefas decidiu fazer aquelas que estão</p><p>numeradas com um múltiplo de 3 na segunda-feira. Das que sobrarem, ela fará as numeradas por</p><p>múltiplo de 4 na terça-feira. Das que sobrarem, ela fará as numeradas por múltiplo de 5 na quarta-feira.</p><p>Seguindo o mesmo padrão, das que sobrarem, ela fará as numeradas por múltiplo de 6 na quinta-feira e,</p><p>por fim, fará as que restarem na sexta-feira. Sendo assim, essa pessoa terá que realizar na sexta-feira um</p><p>total de tarefas igual a</p><p>a) 17.</p><p>b) 18.</p><p>c) 19.</p><p>d) 20.</p><p>e) 21.</p><p>Comentários:</p><p>Na segunda-feira, a pessoa fez as tarefas numeradas com um múltiplo de 3. Logo, ela fez as seguintes</p><p>tarefas: 𝟑, 𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, 𝟐𝟕, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟔, 𝟑𝟗, 𝟒𝟐, 𝟒𝟓, 𝟒𝟖</p><p>Total: 16 tarefas</p><p>Na terça-feira, das tarefas que sobraram, ela fez as numeradas com um múltiplo de 4. Em outras palavras,</p><p>ela fez as tarefas numeradas com um múltiplo de 4 que não é múltiplo de 3. Logo, ela fez as seguintes</p><p>tarefas: 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎, 𝟐𝟒, 𝟐𝟖, 𝟑𝟐, 𝟑𝟔, 𝟒𝟎, 𝟒𝟒, 𝟒𝟖</p><p>Total: 8 tarefas</p><p>Na quarta-feira, das tarefas que sobraram, ela fez as numeradas com um múltiplo de 5. Em outras</p><p>palavras, ela fez as tarefas numeradas com um múltiplo de 5 que não é múltiplo de 3 nem de 4. Logo, ela</p><p>fez as seguintes tarefas: 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟐𝟎, 𝟐𝟓, 𝟑𝟎, 𝟑𝟓, 𝟒𝟎, 𝟒𝟓, 𝟓𝟎</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>104</p><p>198</p><p>Total: 5 tarefas</p><p>Na quinta-feira, das tarefas que sobraram, a pessoa teria feito tarefas numeradas com um múltiplo de 6.</p><p>Ocorre que todo o múltiplo de 6 é múltiplo de 3, de modo que, na quinta-feira, a pessoa não fez nenhuma</p><p>tarefa.</p><p>Observe, portanto, que o total de tarefas feiras até quinta-feira é: 16 + 8 + 5 = 29</p><p>Como na sexta-feira a pessoa fez as tarefas restantes, o total feito nesse dia é: 50 − 29 = 21</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(VUNESP/CM Poá/2016) Seja X um número inteiro, positivo e menor do que 100. O resto da divisão</p><p>de X por 5 é igual a 1, e o resto da divisão de X por 11 é igual a 7. A soma dos algarismos de X é igual a</p><p>a) 6.</p><p>b) 7.</p><p>c) 8.</p><p>d) 9.</p><p>e) 10.</p><p>Comentários:</p><p>Precisamos determinar um número 𝑋 menor do que 100.</p><p>O resto da divisão de 𝑿 por 5 é igual a 1. Logo, 𝑿 − 𝟏 é múltiplo de 5. Isso significa que os múltiplos de 5</p><p>menores que 100 são valores possíveis para 𝑿 − 𝟏: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95</p><p>Ao somar uma unidade nesses números, temos possíveis valores para 𝑿: 𝟏, 𝟔, 𝟏𝟏, 𝟏𝟔, 𝟐𝟏, 𝟐𝟔, 𝟑𝟏, 𝟑𝟔, 𝟒𝟏, 𝟒𝟔, 𝟓𝟏, 𝟓𝟔, 𝟔𝟏, 𝟔𝟔, 𝟕𝟏, 𝟕𝟔, 𝟖𝟏, 𝟖𝟔, 𝟗𝟏, 𝟗𝟔</p><p>O resto da divisão de 𝑿 por 11 é igual a 7. Logo, 𝑿 − 𝟕 é múltiplo de 11. Isso significa que os múltiplos de</p><p>11 menores que 100 são valores possíveis para 𝑿 − 𝟕: 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99</p><p>Ao somar 7 nesses números, temos possíveis valores para 𝑿:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>105</p><p>198</p><p>𝟕, 𝟏𝟖, 𝟐𝟗, 𝟒𝟎, 𝟓𝟏, 𝟔𝟐, 𝟕𝟑, 𝟖𝟒, 𝟗𝟓, 106</p><p>Comparando as duas listas de possibilidades para 𝑋, que devem ser simultaneamente atendidas, temos</p><p>que a única possibilidade é 𝑋 = 51. Portanto, a soma dos algarismos de 𝑋 é 5 + 1 = 6.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(VUNESP/Pref. Araçatuba/2019) Ariel, Gabriel e Rafael frequentam a mesma academia. Ariel vai à</p><p>academia a cada 2 dias, Gabriel, a cada 3 dias, e Rafael, a cada 4 dias. Incluindo o dia primeiro de março,</p><p>quando os 3 estiveram na academia, até o dia 15 de março, o número de dias em que pelo menos dois</p><p>desses garotos estiveram na academia, no mesmo dia, foi</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Comentários:</p><p>Pessoal, o intervalo que deve ser considerado é de apenas 15 dias, do dia primeiro de março ao dia 15 de</p><p>março. Nesse caso, devemos resolver o problema de modo mais "manual".</p><p>Os dias de março em que Ariel foi à academia foram: 𝟏, 3, 𝟓, 7, 9, 11, 13, 15</p><p>Os dias de março em que Gabriel foi à academia foram: 𝟏, 4, 7, 10, 13</p><p>Por fim, os dias de março em que Rafael foi à academia foram: 𝟏, 𝟓, 9, 𝟏𝟑</p><p>Observe que a questão pergunta o número de dias em que pelo menos dois desses garotos estiveram na</p><p>academia. Logo, devemos contabilizar os dias em que dois garotos quaisquer estiveram juntos bem como</p><p>os dias em que os três estavam juntos. Esses dias são: 𝟏, 𝟓, 7, 9, 𝟏𝟑</p><p>Portanto, o número de dias em que pelo menos dois desses garotos estiveram na academia, no mesmo</p><p>dia, foi 5.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>106</p><p>198</p><p>QUESTÕES COMENTADAS - MULTIBANCAS</p><p>MMC e MDC</p><p>Outras Bancas</p><p>(FUMARC/ALMG/2023) Determinada empresa de produção de dados cúbicos pretende realizar uma</p><p>entrega armazenando esses cubos em caixas retangulares de dimensões 18 cm, 30 cm e 48 cm.</p><p>O menor número total de dados cúbicos iguais que enchem totalmente essa caixa é igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 120</p><p>c) 144</p><p>d) 240</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que os lados dos dados cúbicos que devem ser armazenados na caixa retangular medem 𝑥</p><p>centímetros.</p><p>Note que esses dados cúbicos serão inseridos em uma caixa retangular de dimensões 18cm×30cm×48cm.</p><p>Para encher totalmente a caixa, é necessário que o comprimento 𝒙 seja divisor, ao mesmo tempo, de 18,</p><p>30 e 48. Isso porque, no caso em que a caixa está totalmente cheia, teremos:</p><p>• 18𝑥 dados na dimensão que mede 18cm;</p><p>• 30𝑥 dados na dimensão que mede 30cm; e</p><p>• 48𝑥 dados na dimensão que mede 48cm.</p><p>Como o número total de dados cúbicos para encher a caixa deve ser o menor possível, o comprimento 𝒙</p><p>deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙 é o máximo divisor comum (MDC) de 18, 30 e 48.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 18, 30 e 48 em fatores primos: 18 = 2 × 9 = 21 × 32</p><p>30 = 3 × 10 = 3 × 2 × 5 = 21 × 31 × 51 48 = 2 × 24</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>107</p><p>198</p><p>= 2 × 3 × 8 = 2 × 3 × 23 = 24 × 31</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 18 = 21 × 32 30 = 21 × 31 × 51 48 = 24 × 31</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(18; 30; 48) = 21 × 31 = 6</p><p>Note, portanto, que o lado dos dados cúbicos em questão mede 6cm. Vamos obter o número de dados em</p><p>cada dimensão da caixa:</p><p>• 186 = 3 dados na dimensão que mede 18cm;</p><p>• 306 = 5 dados na dimensão que mede 30cm; e</p><p>• 486 = 8 dados na dimensão que mede 48cm.</p><p>Portanto, o menor número total de dados cúbicos iguais que enchem totalmente essa caixa é igual a: 3 × 5 × 8 = 120</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(IBFC/CBM AC/2022) Num caminhão do corpo de Bombeiros, a manutenção dos equipamentos é feita</p><p>da seguinte forma:</p><p>Escada: a cada dois dias.</p><p>Extintores: a cada três dias.</p><p>Mangueiras: a cada cinco dias.</p><p>Hoje, todos esses equipamentos estão sendo revisados ao mesmo tempo. Podemos afirmar que isso irá</p><p>ocorrer novamente em _____ dias. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna.</p><p>a) 10</p><p>b) 30</p><p>c) 40</p><p>d) 15</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>108</p><p>198</p><p>As manutenções dos equipamentos são feitas a cada 2, 3 e 5 dias. Como a manutenção dos três</p><p>equipamentos foi feita hoje, as três manutenções serão feitas ao mesmo tempo novamente sempre que</p><p>transcorrer um número de dias que for múltiplo, ao mesmo tempo, de 2, 3 e 5 dias. Como queremos saber</p><p>próxima vez em que a manutenção será feita ao mesmo tempo, precisamos obter o mínimo múltiplo</p><p>comum (MMC) de 2, 3 e 5.</p><p>Note que os números 2, 3 e 5 já estão decompostos em fatores primos, pois correspondem a 21, 31 e 51,</p><p>respectivamente. Para obter o MMC, devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores</p><p>expoentes e realizar o produto.</p><p>Logo, MMC(2; 3; 5) = 21 × 31 × 51 = 30. Portanto, a próxima vez em que os três equipamentos serão</p><p>revisados ao mesmo ocorrerá em 30 dias.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(FUNDATEC/Pref Flores da Cunha/2022) Pedro e João trabalham no setor de almoxarifado de uma</p><p>empresa e eventualmente trabalham em regime de plantões para atualização do sistema. Sabe-se que</p><p>Pedro realiza seus plantões a cada 6 dias e João a cada 8 dias. Supondo que o último plantão foi realizado</p><p>por Pedro e João juntos, no dia 28 de março, a próxima data em que ambos realizarão o plantão juntos</p><p>corresponde ao dia:</p><p>a) 18 de abril.</p><p>b) 19 de abril.</p><p>c) 20 de abril.</p><p>d) 21 de abril.</p><p>e) 22 de abril.</p><p>Comentários:</p><p>Os plantões de Pedro e João ocorrem a cada 6 e a cada 8 dias, respectivamente. Sabemos que o último</p><p>plantão que foi realizado por Pedro e João juntos ocorreu no dia 28 de março.</p><p>Note que os plantões ocorrerão ao mesmo tempo novamente sempre que transcorrer um número de dias</p><p>que for múltiplo, ao mesmo tempo, de 6 e 8 dias. Como queremos saber próxima vez em que os plantões</p><p>ocorrerão no mesmo dia, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 6 e 8.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 6 e 8 em fatores primos. 6 = 21 × 31</p><p>8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 = 23</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>109</p><p>198</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 6 = 21 × 31 8 = 23</p><p>Logo, MMC(6; 8) = 23 × 31 = 24. Portanto, a próxima vez em que Pedro e João realizarão um plantão</p><p>juntos ocorrerá daqui 24 dias.</p><p>Sabemos que março tem 31 dias. Ao somar 24 dias ao dia 28 de março, obtemos 21 de abril.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FEPESE/FCEE/2022) Um pai se encontra com seu filho a cada 15 meses e com sua filha a cada 12</p><p>meses.</p><p>Se o pai encontra o filho e a filha simultaneamente hoje, em quantos meses ele irá voltar a ver o filho e a</p><p>filha simultaneamente?</p><p>a) 60</p><p>b) 45</p><p>c) 40</p><p>d) 30</p><p>e) 24</p><p>Comentários:</p><p>O pai em questão se encontra com seu filho a cada 15 meses e com sua filha a cada 12 meses. Sabemos</p><p>que hoje o pai encontrou o filho e a filha simultaneamente.</p><p>Note que os encontros ocorrerão ao mesmo tempo novamente sempre que transcorrer um número de</p><p>meses que for múltiplo, ao mesmo tempo, de 15 e 12 meses. Como queremos saber próxima vez em que</p><p>os encontros ocorrerão simultaneamente, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 15 e 12.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 15 e 12 em fatores primos. 15 = 31 × 51</p><p>12 = 4 × 3 = 22 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>110</p><p>198</p><p>15 = 31 × 51 12 = 22 × 31</p><p>Logo, MMC(15; 12) = 22 × 31 × 51 = 60. Portanto, a próxima vez em que os encontros</p><p>Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>6</p><p>198</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟒 3𝑥 = 22 𝑥 = 223 → Não é inteiro → Não pertence ao conjunto 𝐶</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟖 3𝑥 = 26 𝑥 = 263 → Não é inteiro → Não pertence ao conjunto 𝐶</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟑𝟐 3𝑥 = 30 𝒙 = 𝟏𝟎 → É inteiro → Pertence ao conjunto 𝑪</p><p>𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟑𝟔 3𝑥 = 34 𝑥 = 343 → Não é inteiro → Não pertence ao conjunto 𝐶</p><p>Portanto, o conjunto 𝐶 apresenta 3 elementos: 2, 6 e 10.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Divisores de um número</p><p>O que significa dizer que um número é divisor de outro?</p><p>Um número natural B é divisor de um número natural A quando o resultado da divisão</p><p>de A por B deixar resto zero.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>7</p><p>198</p><p>Exemplos:</p><p>• 10 é divisor de 50, pois o resultado da divisão de 50 por 10 deixa resto zero;</p><p>• 33 é divisor de 99, pois o resultado da divisão de 99 por 33 deixa resto zero;</p><p>• 67 é divisor de 469, pois o resultado da divisão de 469 por 67 deixa resto zero.</p><p>Agora que entendemos o que significa dizer que um número é divisor de outro, devemos compreender a</p><p>expressão "divisível por".</p><p>Basicamente, você deve saber que a expressão "A é divisível por B" é uma outra forma de dizer que "B é</p><p>divisor de A". Exemplos:</p><p>• 50 é divisível por 10, pois 10 é divisor de 50;</p><p>• 99 é divisível por 33, pois 33 é divisor de 99;</p><p>• 469 é divisível por 67, pois 67 é divisor de 469;</p><p>Se B divide A deixando resto zero, então:</p><p>• B é divisor de A;</p><p>• A é divisível por B.</p><p>Relação entre múltiplo e divisor</p><p>Os conceitos de divisores e múltiplos estão intimamente relacionados.</p><p>Observe que se B é divisor de A, então A é um múltiplo de B. Veja:</p><p>• 10 é divisor de 50 (a divisão deixa quociente 5 e resto 0).</p><p>Logo, é verdade que 50 é múltiplo de 10 (de fato, pois 10 × 5 = 50).</p><p>• 33 é divisor de 99 (a divisão deixa quociente 3 e resto 0).</p><p>Logo, é verdade que 99 é múltiplo de 33 (de fato, pois 33 × 3 = 99).</p><p>• 67 é divisor de 469 (a divisão deixa quociente 7 e resto 0).</p><p>Logo, é verdade que 469 é múltiplo de 67 (de fato, pois 67 × 7 = 469).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>8</p><p>198</p><p>Observe também que se A é múltiplo de B, então B é divisor de A. Veja:</p><p>• 70 é múltiplo de 7 (pois 7×10 = 70).</p><p>Logo, é verdade que 7 é divisor de 70 (de fato, pois a divisão deixa quociente 10 e resto 0).</p><p>• 168 é múltiplo de 3 (pois 3×56 = 168).</p><p>Logo, é verdade que 3 é divisor de 168 (de fato, pois a divisão deixa quociente 56 e resto 0).</p><p>• 480 é múltiplo de 5 (pois 5×96 = 480).</p><p>Logo, é verdade que 5 é divisor de 480 (de fato, pois a divisão deixa quociente 96 e resto 0).</p><p>Se B é divisor de A, então A é um múltiplo de B.</p><p>Se A é um múltiplo de B, então B é divisor de A.</p><p>(TRT 15/2009) Certo dia, Eurídice falou a Josué:</p><p>− Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e,</p><p>além disso, a diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do</p><p>Trabalho: 18 anos.</p><p>Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué,</p><p>então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número</p><p>a) maior que 100.</p><p>b) quadrado perfeito.</p><p>c) múltiplo de 11.</p><p>d) divisível por 9.</p><p>e) menor que 100.</p><p>Comentários:</p><p>Essa questão é bastante interessante por envolver conceitos do sistema de numeração decimal e o conceito</p><p>de múltiplo.</p><p>Primeiramente, deve-se entender que qualquer número de 2 dígitos XY pode ser escrito pela soma 10X + Y.</p><p>Exemplo: o número 27 pode ser descrito por 10×2 + 7.</p><p>Voltando ao problema, veja que, se a idade de Eurídice for escrita como AB, onde A é o dígito das dezenas e</p><p>B é o dígito das unidades, a idade de Josué deve ser escrita por BA.</p><p>A soma S das idades é dada por:</p><p>S = "AB" + "BA"</p><p>= (10A + B) + (10B + A)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>9</p><p>198</p><p>= 11A + 11B</p><p>=11×(A+B)</p><p>Note que S = 11×(A+B), com (A+B) inteiro.</p><p>A soma, portanto, é um múltiplo de 11, pois S é descrito como o produto de 11 por um número inteiro.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>10</p><p>198</p><p>Regras de divisibilidade</p><p>As regras de divisibilidade são "regras de bolso" que servem para ver se um determinado número é divisível</p><p>por outro sem ser necessário realizar a divisão.</p><p>• Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par, isto é, quando terminar em 0, 2, 4,</p><p>6 ou 8.</p><p>• Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por</p><p>3.</p><p>• Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos do número forem</p><p>divisíveis por 4. Essa regra inclui o caso em que o número termina em 00.</p><p>• Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.</p><p>• Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.</p><p>• Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos do número forem</p><p>divisíveis por 8. Essa regra inclui o caso em que o número termina em 000.</p><p>• Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por</p><p>9.</p><p>• Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando termina em 0.</p><p>• Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par (𝑝) menos</p><p>a soma dos algarismos de ordem ímpar (𝑖) é um número divisível por 11. Essa regra inclui o caso</p><p>particular em que 𝑝 − 𝑖 = 0, pois 0 é divisível por 11.</p><p>Exemplo: o número 5016 é divisível por 11.</p><p>Os algarismos de ordem par são, da direita para a esquerda, o segundo (1) e o quarto (5). A soma dos</p><p>algarismos de ordem par é 𝑝 = 1 + 5 = 6.</p><p>Os algarismos de ordem ímpar são, da direita para a esquerda, o primeiro (6) e o terceiro (0). A soma</p><p>dos algarismos de ordem ímpar é 𝑖 = 6 + 0 = 6.</p><p>Note que 𝑝 − 𝑖 = 0, que é divisível por 11. Logo, o número 5016 é divisível por 11.</p><p>• Divisibilidade por 12: um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo</p><p>tempo.</p><p>• Divisibilidade por 15: um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e por 5 ao mesmo</p><p>tempo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>11</p><p>198</p><p>(Pref. Osasco/2014) O maior número que é múltiplo de 3, é múltiplo de 4 e é menor que 200 é:</p><p>a) 190</p><p>b) 192</p><p>c) 194</p><p>d) 196</p><p>e) 198</p><p>Comentários:</p><p>A questão quer determinar o maior número menor do que 200 que é múltiplo de 3 e de 4 simultaneamente.</p><p>Em outras palavras, quer determinar o maior número menor do que 200 em que 3 e 4 são divisores</p><p>simultaneamente.</p><p>Podemos começar a testar os casos pelo maior número menor do que 200.</p><p>- 199 não é divisível por 3, pois 1 + 9 + 9 = 19 não é divisível por 3;</p><p>- 198 não é divisível por 4, pois 98 não é divisível por 4;</p><p>- 197 não é divisível por 3, pois 1 + 9 + 7 = 17 não é divisível por 3;</p><p>- 196 não é divisível por 3, pois 1 + 9 + 6 = 16 não é divisível por 3;</p><p>- 195 não é divisível por 4, pois 95 não é divisível por 4;</p><p>- 194 não é divisível por 3, pois 1+ 9 + 4 = 14 não é divisível por 3;</p><p>- 193 não é divisível por 3, pois 1+ 9 + 3 = 13 não é divisível por 3;</p><p>- 192 é divisível por 3, pois 1+ 9 + 2 = 12 é divisível por 3. Note também que 192 é divisível por 4, pois 92 é</p><p>divisível por 4.</p><p>Logo,</p><p>ocorrerão</p><p>simultaneamente será daqui 60 meses.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(FEPESE/FCEE/2022) Para seu casamento Bianca compra 900 rosas vermelhas e 120 rosas brancas.</p><p>Com estas rosas, Bianca irá fazer o maior número de buquês que contenham, cada um, o mesmo número</p><p>de rosas de cada cor e ao final nenhuma rosa sobrará.</p><p>Logo, o número de buquês que Bianca irá fazer é:</p><p>a) Maior que 75.</p><p>b) Maior que 65 e menor que 75.</p><p>c) Maior que 55 e menor que 65.</p><p>d) Maior que 45 e menor que 55.</p><p>e) Menor que 45.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que o número de buquês que Bianca irá fazer é 𝑥. Devemos determinar 𝑥.</p><p>Temos um total de 900 rosas vermelhas e 120 rosas brancas. Note que, para que não reste nenhuma rosa, 𝒙 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 900 e 120. Isso porque, em cada buquê, teremos:</p><p>• 900𝑥 rosas vermelhas; e</p><p>• 120𝑥 rosas brancas.</p><p>Como Bianca irá fazer o maior número de buquês, 𝒙 deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙 é o máximo</p><p>divisor comum (MDC) de 900 e 120.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 900 e 120 em fatores primos: 900 = 9 × 100 = 9 × 10 × 10 = 32 × (2 × 5) × (2 × 5) = 22 × 32 × 52</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>111</p><p>198</p><p>120 = 12 × 10 = (3 × 4) × (2 × 5) = 3 × 22 × 2 × 5 = 23 × 31 × 51</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 900 = 22 × 32 × 52 120 = 23 × 31 × 51</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(900; 120) = 22 × 31 × 51 = 60. Portanto, o número de buquês que Bianca irá fazer é</p><p>maior que 55 e menor que 65.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(Instituto Consulplan/Pref Linhares/2022) Durante uma operação da polícia militar, o comandante</p><p>tinha à sua disposição 72 motocicletas e 135 carros para deslocar os seus militares. Após fazer algumas</p><p>contas, decidiu que gostaria de obter equipes igualmente divididas com o mesmo número máximo de</p><p>veículos, não podendo ter carro e moto na mesma equipe. Quantas equipes o comandante formou e com</p><p>quantos veículos?</p><p>a) 3 equipes com 69 veículos.</p><p>b) 9 equipes com 23 veículos.</p><p>c) 23 equipes com 9 veículos.</p><p>d) 69 equipes com 3 veículos.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que cada equipe terá 𝑥 veículos.</p><p>Temos um total de 72 motocicletas e 135 carros. Note que, para que não reste nenhuma motocicleta e</p><p>nenhum carro sem equipe, 𝒙 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 72 e 135. Nesse caso, teremos:</p><p>• 72𝑥 equipes formadas por motocicletas; e</p><p>• 135𝑥 equipes formadas por carros.</p><p>Como as equipes devem ter o mesmo número máximo de veículos, 𝒙 deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙 é o máximo divisor comum (MDC) de 72 e 135.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 72 e 135 em fatores primos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>112</p><p>198</p><p>72 = 2 × 36 = 2 × 6 × 6 = 2 × (2 × 3) × (2 × 3) = 23 × 32</p><p>135 = 5 × 27 = 5 × 3 × 9 = 5 × 3 × 32 = 33 × 51</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 72 = 23 × 32 135 = 33 × 51</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(72; 135) = 32 = 9. Portanto, cada equipe terá 9 veículos. O total de veículos será: 𝐸quipes formadas por motocicletas + Equipes formadas por carros</p><p>= 72𝑥 + 135𝑥</p><p>= 729 + 1359</p><p>= 8 + 15 = 23</p><p>Logo, teremos 9 equipes com 23 veículos.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(FUNDEP/Pref Mariana/2022) Vítor não estava se sentindo bem e, preocupado com sua saúde, foi ao</p><p>médico. Na consulta, o médico prescreveu a ele a ingestão de três remédios: o A de 6 em 6 horas, o B de</p><p>8 em 8 horas, e o C de 12 em 12 horas.</p><p>No dia 13/10/2018, Vítor iniciou o tratamento tomando às 14 horas a primeira dose, simultânea, dos três</p><p>medicamentos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>113</p><p>198</p><p>Considerando a primeira dose ingerida, e que Vítor manteve a frequência e o cumprimento sistemático</p><p>do horário de tomar os medicamentos, quantas vezes ele terá tomado os três remédios ao mesmo</p><p>tempo até as 10 horas do dia 17/10/2018?</p><p>a) 4.</p><p>b) 5.</p><p>c) 6.</p><p>d) 7.</p><p>Comentários:</p><p>Os remédios são tomados por Vítor a cada 6, a cada 8 e a cada 12 horas. No dia 13/10/2018, Vítor ingeriu</p><p>às 14 horas os três remédios simultaneamente. Nesse momento, vamos obter a próxima vez em que os</p><p>remédios são tomados ao mesmo tempo.</p><p>Note que os remédios serão tomados em conjunto novamente sempre que transcorrer um número de</p><p>horas que for múltiplo, ao mesmo tempo, de 6, 8 e 12 horas. Como queremos saber próxima vez em que</p><p>os remédios serão tomados juntos, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 6, 8 e 12.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 6, 8 e 12 em fatores primos. 6 = 21 × 31</p><p>8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 = 23</p><p>12 = 3 × 4 = 3 × 22 = 22 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 6 = 21 × 31 8 = 23 12 = 22 × 31</p><p>Logo, MMC(6; 8; 12) = 23 × 31 = 24. Portanto, a próxima vez em que os remédios serão tomados juntos</p><p>ocorrerá daqui 24 horas. Note, ainda, que sempre que transcorrer 24h horas, os remédios serão tomados</p><p>conjuntamente.</p><p>Queremos saber quantas vezes Vítor tomará os remédios ao mesmo tempo das 14h do dia 13/10/2018 até</p><p>10h do dia 17/10/2018:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>114</p><p>198</p><p>• Primeira vez: 14h do dia 13/10/2018;</p><p>• Segunda vez: 14h do dia 14/10/2018;</p><p>• Terceira vez: 14h do dia 15/10/2018; e</p><p>• Quarta vez: 14h do dia 16/10/2018.</p><p>Note que a próxima possibilidade de tomar os três remédios conjuntamente seria às 14h do dia</p><p>17/10/2018. Ocorre que esse momento ultrapassa o horário de 10h do dia 17/10/2018.</p><p>Logo, no intervalo considerado, Vítor terá tomado os remédios em conjunto por 4 vezes.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(IBADE/SEA SC/2022) Três amigas estão treinando para uma corrida dando voltas em uma quadra de</p><p>futebol, mantendo sempre o ritmo constante. Bruna, Marcela e Ana Júlia completam uma volta na</p><p>quadra em 40, 60 e 70 segundos, respectivamente. Considerando que elas começaram a correr</p><p>simultaneamente a partir do mesmo ponto às 7horas, o próximo horário em que as três passarão juntas</p><p>pelo ponto de partida será às:</p><p>a) 7h20min.</p><p>b) 7h15min.</p><p>c) 7h10min.</p><p>d) 7h14min.</p><p>e) 7h12min.</p><p>Comentários:</p><p>Veja que:</p><p>• Como Bruna dá uma volta na quadra a cada 40 segundos, Bruna estará no ponto de partida sempre</p><p>que o tempo transcorrido for múltiplo de 40 segundos.</p><p>• Como Marcela dá uma volta na quadra a cada 60 segundos, Marcela estará no ponto de partida</p><p>sempre que o tempo transcorrido for múltiplo de 60 segundos.</p><p>• Como Ana Júlia dá uma volta na quadra a cada 70 segundos, Ana Júlia estará no ponto de partida</p><p>sempre que o tempo transcorrido for múltiplo de 70 segundos.</p><p>Note que, sempre que o tempo transcorrido for múltiplo, ao mesmo tempo, de 40, 60 e 70 segundos, as</p><p>três amigas se encontrarão no ponto de partida.</p><p>Como queremos saber o próximo horário em que elas voltarão a se encontrar no ponto de partida,</p><p>devemos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 40, 60 e 70.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 40, 60 e 70 em fatores primos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>115</p><p>198</p><p>40 = 4 × 10 = (2 × 2) × (2 × 5) = 23 × 51</p><p>60 = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) = 23 × 31 × 51</p><p>70 = 7 × 10 = 7 × (2 × 5) = 21 × 51 × 71</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 40 = 23 × 51 60 = 23 × 31 × 51 70 = 21 × 51 × 71</p><p>Logo, MMC(40; 60; 70) = 23 × 31 × 51 × 71 = 840. Portanto, as três amigas se encontrarão novamente</p><p>no ponto de partida após 840 segundos.</p><p>Sabemos que 60 segundos = 1 minuto. Ao dividir 840 por 60, obtemos quociente 14 e resto zero. Logo, as</p><p>três amigas se encontrarão novamente no ponto de partida após 14 minutos.</p><p>Como elas começaram a correr do mesmo ponto de partida às 7 horas, o próximo encontro ocorrerá às</p><p>7h14min.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FEPESE/CELESC/2022) Em um armazém, encontram-se estocados 1800 conectores vermelhos e 3150</p><p>conectores pretos.</p><p>Deseja-se empacotar todos os conectores, de modo que cada pacote contenha somente conectores de</p><p>uma mesma cor e todos os pacotes tenham o mesmo número de conectores.</p><p>Portanto, o número mínimo de pacotes necessários para satisfazer as restrições expostas é:</p><p>a) Maior que 13.</p><p>b) 13.</p><p>c) 12.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>116</p><p>198</p><p>d) 11.</p><p>e) Menor que 11.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que cada pacote tenha 𝑥 conectores.</p><p>Temos um total de 1800 conectores vermelhos e 3150 conectores pretos. Note que, para que não reste</p><p>nenhum conector sem ser empacotado, 𝒙 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 1800 e 3150. Nesse caso,</p><p>teremos:</p><p>• 1800𝑥 pacotes com conectores vermelhos; e</p><p>• 3150𝑥 pacotes com conectores pretos.</p><p>Como queremos o número mínimo de pacotes, devemos maximizar o número 𝒙 de conectores por</p><p>pacote. Logo, 𝒙 deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙 é o máximo divisor comum (MDC) de 1800 e 3150.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 1800 e 3150 em fatores primos: 1800 = 18 × 100 = (2 × 9) × (10 × 10) = (2 × 32) × (2 × 5 × 2 × 5) = 23 × 32 × 52</p><p>3150 = 315 × 10 = 315 × 10 = 5 × 63 × 10 = 5 × (3 × 21) × (2 × 5) = 5 × (3 × 3 × 7) × (2 × 5) = 21 × 32 × 52 × 71</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 1800 = 23 × 32 × 52 3150 = 21 × 32 × 52 × 71</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(1800; 3150) = 21 × 32 × 52 = 450. Portanto, cada pacote deve ter 450 conectores.</p><p>O número mínimo de pacotes será: Pacotes com conectores vermelhos + Pacotes com conectores pretos</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>117</p><p>198</p><p>= 1800𝑥 + 3150𝑥</p><p>= 1800450 + 3150450</p><p>= 4 + 7 = 11</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(Instituto AOCP/ISS Pinhais/2022) Ao receitar 3 medicamentos distintos, o Dr. Manoel disse que</p><p>todos deveriam ser tomados às 7 horas da manhã de segunda-feira. Sabendo que a frequência da</p><p>medicação era de 8 em 8 horas, de 10 em 10 horas e de 12 em 12 horas, em qual horário o paciente</p><p>tomará os 3 remédios juntos novamente?</p><p>a) Sexta-feira às 7 horas.</p><p>b) Sexta-feira às 19 horas.</p><p>c) Sábado às 7 horas.</p><p>d) Sábado às 19 horas.</p><p>e) Domingo às 7 horas.</p><p>Comentários:</p><p>Os três medicamentos devem ser tomados a cada 8, a cada 10 e a cada 12 horas. Sabemos também que os</p><p>medicamentos foram tomados simultaneamente às 7 horas da manhã de segunda-feira. Queremos obter a</p><p>próxima vez em que os medicamentos são tomados juntos.</p><p>Note que os medicamentos serão tomados em conjunto novamente sempre que transcorrer um número</p><p>de horas que for múltiplo, ao mesmo tempo, de 8, 10 e 12 horas. Como queremos saber próxima vez em</p><p>que os medicamentos serão tomados juntos, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 8, 10</p><p>e 12.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 8, 10 e 12 em fatores primos. 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 = 23</p><p>10 = 21 × 51</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>118</p><p>198</p><p>12 = 3 × 4 = 3 × 22 = 22 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 8 = 23 10 = 21 × 51 12 = 22 × 31</p><p>Logo, MMC(8; 10; 12) = 23 × 31 × 51 = 120. Portanto, a próxima vez em que os remédios serão tomados</p><p>juntos ocorrerá daqui 120 horas.</p><p>Sabemos que 24h = 1 dia. Ao dividir 120 por 24, obtemos quociente 5 e resto zero. Portanto, a próxima vez</p><p>em que os remédios serão tomados juntos ocorrerá daqui 5 dias.</p><p>Como os remédios foram tomados pela primeira vez às 7h de segunda-feira, os remédios serão tomados</p><p>juntos novamente sábado às 7h.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(Instituto AOCP/Pref Pinhais/2022) A arrecadação de alimentos não perecíveis em uma campanha da</p><p>Secretaria de Serviço Social foi um sucesso. Foram arrecadados 128 quilos de arroz, 72 quilos de feijão e</p><p>96 quilos de fubá. Esses alimentos foram separados em cestas básicas com a mesma quantidade de peso</p><p>de cada alimento em cada uma delas. Qual é o número máximo de cestas básicas que podem ser feitas</p><p>sem que sobre alimentos?</p><p>a) 6</p><p>b) 12</p><p>c) 14</p><p>d) 10</p><p>e) 8</p><p>Comentários:</p><p>Suponha o número máximo de cestas básicas que podem ser feitas sem que sobre alimentos é 𝑥. Devemos</p><p>determinar 𝑥.</p><p>Temos um total de 128 quilos de arroz, 72 quilos de feijão e 96 quilos de fubá. Note que, para que não</p><p>reste nenhum alimento sem compor uma cesta, 𝒙 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 128, 72 e 96.</p><p>Nesse caso, teremos:</p><p>•</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>119</p><p>198</p><p>• 128𝑥 quilos de arroz por cesta;</p><p>• 72𝑥 quilos de feijão por cesta; e</p><p>• 96𝑥 quilos de fubá por cesta.</p><p>Como queremos o número máximo de cestas básicas, 𝒙 deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙 é o máximo</p><p>divisor comum (MDC) de 128, 72 e 96.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 128, 72 e 96 em fatores primos: 128 = 2 × 64 = 2 × 2 × 32 = 2 × 2 × 2 × 16 = 2 × 2 × 2 × 24 = 27</p><p>72 = 2 × 36 = 2 × 6 × 6 = 2 × (2 × 3) × (2 × 3) = 23 × 32</p><p>96 = 2 × 48 = 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × (3 × 4) = 2 × 2 × 2 × (3 × 22) = 25 × 31</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 128 = 27 72 = 23 × 32 96 = 25 × 31</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(128; 72; 96) = 23 = 8. Portanto, o número máximo de cestas básicas é 8.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>120</p><p>198</p><p>(IBFC/MGS/2022) Um carpinteiro possui duas tábuas cujas medidas são 48 cm e 72 cm e quer dividi-</p><p>las em pedaços iguais, cujas medidas tenham o maior tamanho possível sem que haja sobra. Nessas</p><p>condições, assinale a alternativa que apresenta o total de pedaços que ele terá.</p><p>a) 5</p><p>b) 6</p><p>c) 8</p><p>d) 10</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que cada pedaço que se quer obter tenha 𝑥 centímetros.</p><p>Temos duas tábuas cujas medidas são 48 cm e 72 cm. Note que, para que não haja sobra, o comprimento 𝒙 de cada pedaço deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 48 e 72. Nesse caso, teremos:</p><p>• 48𝑥 pedaços da primeira tábua; e</p><p>• 72𝑥 pedaços da segunda tábua.</p><p>Como queremos que os pedaços tenham a maior medida possível, 𝒙 deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙</p><p>é o máximo divisor comum (MDC) de 48 e 72.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 48 e 72 em fatores primos: 48 = 2 × 24 = 2 × 3 × 8 = 2 × 3 × 23 = 24 × 31</p><p>72 = 2 × 36 = 2 × 6 × 6 = 2 × (2 × 3) × (2 × 3) = 23 × 32</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 48 = 24 × 31 72 = 23 × 32</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(48; 72) = 23 × 31 = 24. Portanto, cada pedaço terá 24 centímetros. O total de pedaços</p><p>será:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>121</p><p>198</p><p>Pedaços da primeira tábua + Pedaços da segunda tábua</p><p>= 48𝑥 + 72𝑥</p><p>= 4824 + 7224</p><p>= 2 + 3 = 5</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(FEPESE/CINCATARINA/2022) Se os alunos da turma A de um colégio forem organizados em grupos de</p><p>4 ou 6 ou 9 alunos, sempre sobrarão 2 alunos.</p><p>Se a escola decide aumentar o número de alunos na turma A para 52, então o número de novos alunos</p><p>que devem entrar na turma A é:</p><p>a) Maior que 24.</p><p>b) Maior que 21 e menor que 24.</p><p>c) Maior que 18 e menor que 21.</p><p>d) Maior que 15 e menor que 18.</p><p>e) Menor que 15.</p><p>Comentários:</p><p>Considere que, originalmente, temos N alunos na turma A. Queremos obter o número de alunos que</p><p>devem ser acrescentados para que tenhamos 52 alunos. Em outras palavras, queremos obter 52−N.</p><p>Note que N deixa resto 2 quanto dividido por 4, por 6 ou por 9. Portanto, (N-2) deixa resto zero quando</p><p>dividido por 4, por 6 e por 9. Isso significa que (N-2) é divisível por 4, por 6 e por 9.</p><p>Como (N-2) é divisível por 4, por 6 ou por 9, (N-2) é múltiplo de 4, de 6 e de 9.</p><p>Nesse momento, vamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) a 4, 6 e 9.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 4, 6 e 9 em fatores primos: 4 = 22 6 = 21 × 31 9 = 32</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>122</p><p>198</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 4 = 22 6 = 21 × 31 9 = 32</p><p>Logo, MMC(4; 6; 9) = 22 × 32 = 36.</p><p>Note que, como (N-2) é múltiplo de 4, de 6 e de 9 ao mesmo tempo, (N-2) deve ser múltiplo de 36, que é</p><p>o MMC entre os três números. Nesse caso, poderíamos ter os seguintes valores para (N−2):</p><p>• 1 × 36 = 36</p><p>• 2 × 36 = 72</p><p>• 3 × 36 = 108</p><p>• Etc.</p><p>Note, porém, que o problema nos diz que devemos adicionar alunos ao número N para obter 52 alunos.</p><p>Isso significa que (N−2) só pode ser 36 pois, caso fosse 72 ou outro múltiplo de 36, obteríamos um valor</p><p>para N superior a 52. Logo: 𝑁 − 2 = 36 𝑁 = 36 + 2 𝑁 = 38</p><p>Portanto, a escola decide aumentar o número de alunos na turma A para 52, então o número de novos</p><p>alunos que devem entrar na turma A é: 52 − 𝑁 = 52 − 38 = 14</p><p>Portanto, o número de novos alunos é menor que 15.</p><p>Gabarito: Letra E</p><p>(QUADRIX/COREN AP/2022) Para fazer um penteado, Jéssica precisa de grampos e de presilhas. Os</p><p>grampos são vendidos em embalagens com 8 unidades e as presilhas, em embalagens com 6 unidades.</p><p>Com base nesse caso hipotético, julgue o item.</p><p>O menor número de embalagens que Jéssica deve comprar para ter o mesmo total de grampos e</p><p>presilhas é igual a 14.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>123</p><p>198</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que Jéssica quer ter um total 𝒙 de grampos e o mesmo total 𝒙 de presilhas.</p><p>Sabemos que os grampos são vendidos em embalagens com 8 unidades, e as presilhas são vendidas em</p><p>embalagens de 6 unidades. Portanto:</p><p>• O número de grampos que Jéssica pode ter é múltiplo de 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...</p><p>• O número de presilhas que Jéssica pode ter é múltiplo de 6: 6, 12, 18, 24, ...</p><p>Para que Jéssica tenha o mesmo total de grampos e de presilhas, esse total 𝒙 deve ser múltiplo, ao mesmo</p><p>tempo, de 8 e de 6. Como queremos o menor número de embalagens, o total de grampos 𝑥 e o total de</p><p>presilhas 𝑥 deve ser o menor possível. Portanto, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 8</p><p>e 6.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 8 e 6 em fatores primos: 8 = 23 6 = 21 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 8 = 23 6 = 21 × 31</p><p>Logo, 𝑥 = MMC(8; 6) = 23 × 31 = 24. Portanto, teremos 24 grampos e 24 presilhas.</p><p>O total de embalagens que Jéssica deve comprar é: Embalagens de grampos + Embalagens de presilhas 24 grampos8 grampos por embalagem + 24 presilhas6 presilhas por embalagem</p><p>= 3 + 4 = 7</p><p>Logo, é ERRADO afirmar que o menor número de embalagens que Jéssica deve comprar para ter o mesmo</p><p>total de grampos e presilhas é igual a 14.</p><p>Gabarito: ERRADO.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>124</p><p>198</p><p>(FUNDATEC/Pref Candelária/2022) Para as lembrancinhas de um aniversário infantil, foram</p><p>comprados 60 balas e 80 pirulitos. Cada criança convidada receberá a mesma quantidade de balas e</p><p>pirulitos. Sabendo que não sobrará nenhuma bala ou pirulito, assinale a alternativa que corresponde</p><p>corretamente ao maior número de lembrancinhas que serão produzidas e a quantidade de balas e</p><p>pirulitos que haverá em cada lembrancinha.</p><p>a) 18 lembrancinhas contendo 6 balas e 4 pirulitos.</p><p>b) 18 lembrancinhas contendo 3 balas e 4 pirulitos.</p><p>c) 20 lembrancinhas contendo 1 balas e 4 pirulitos.</p><p>d) 20 lembrancinhas contendo 3 balas e 4 pirulitos.</p><p>e) 20 lembrancinhas contendo 4 balas e 3 pirulitos.</p><p>Comentários:</p><p>Pessoal, essa questão acaba sendo um pouco mais tranquila de resolver se testarmos as alternativas.</p><p>Sabemos que o total de balas é 60 e o total de pirulitos é 80. Com essa informação, podemos eliminar</p><p>quatro alternativas, restando apenas uma como resposta.</p><p>a) 18 lembrancinhas contendo 6 balas e 4 pirulitos. ERRADO.</p><p>Nesse caso, teríamos 18×6 = 108 balas e 18×4 = 72 pirulitos.</p><p>b) 18 lembrancinhas contendo 3 balas e 4 pirulitos. ERRADO.</p><p>Nesse caso, teríamos 18×3 = 54 balas e 18×4 = 72 pirulitos.</p><p>c) 20 lembrancinhas contendo 1 balas e 4 pirulitos. ERRADO.</p><p>Nesse caso, teríamos 20×1 = 20 balas e 20×4 = 80 pirulitos.</p><p>d) 20 lembrancinhas contendo 3 balas e 4 pirulitos.</p><p>Essa é a única alternativa que condiz com o enunciado e, portanto, deve ser assinalada como CERTA. Note</p><p>que o total de balas é 20×3 = 60 e o total de pirulitos é 20×4 = 80.</p><p>e) 20 lembrancinhas contendo 4 balas e 3 pirulitos. ERRADO.</p><p>Nesse caso, teríamos 20×4 = 80 balas e 20×3 = 60 pirulitos. −</p><p>Para fins didáticos, vamos resolver a questão como se não pudéssemos eliminar as alternativas.</p><p>Suponha que o total de lembrancinhas que serão produzidas é 𝒙.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>125</p><p>198</p><p>Temos 60 balas e 80 pirulitos. Note que, para que não sobre nenhuma bala ou pirulito, 𝒙 deve ser divisor,</p><p>ao mesmo tempo, de 60 e 80. Isso porque, em cada lembrancinha, teremos:</p><p>• 60𝑥 balas; e</p><p>• 80𝑥 pirulitos.</p><p>Como queremos o maior número de lembrancinhas, 𝒙 deve ser o maior possível. Portanto, 𝒙 é o máximo</p><p>divisor comum (MDC) de 60 e 80.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 60 e 80 em fatores primos: 60 = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) = 22 × 31 × 51</p><p>80 = 8 × 10 = 23 × (2 × 5) = 24 × 51</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 60 = 22 × 31 × 51 80 = 24 × 51</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(60; 80) = 22 × 51 = 20. Portanto, o total de lembrancinhas é 20.</p><p>Em cada lembrancinha teremos:</p><p>• 60𝑥 = 6020 = 𝟑 balas; e</p><p>• 80𝑥 = 8020 = 𝟒 pirulitos.</p><p>Portanto, teremos 18 lembrancinhas contendo 6 balas e 4 pirulitos.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>126</p><p>198</p><p>FGV</p><p>(FGV/CMSP/2024) Utilizando apenas pesos de 200g e de 350g, o número mínimo de pesos que devem</p><p>ser reunidos para que se obtenha exatamente 4kg é</p><p>a) 12</p><p>b) 14</p><p>c) 16</p><p>d) 18</p><p>e) 20</p><p>Comentários:</p><p>Fazendo uso apenas de pesos de 200g e de 350g devemos obter exatamente 4.000g (4kg) com a menor</p><p>quantidade de pesos.</p><p>Note que, se quantidade de gramas a ser obtida fosse múltipla de 200g e de 350g ao mesmo tempo,</p><p>utilizaríamos somente pesos de 350g de modo a minimizar o número de pesos utilizados.</p><p>Nesse momento, vamos obter o menor múltiplo (MMC) entre 200g e 350g:</p><p>Logo, MMC (200,350) = 23 × 52 × 71 = 1.400.</p><p>Note, portanto, que para quantidades múltiplas de 1400g:</p><p>• Poderíamos utilizar somente pesos de 200g, utilizando</p><p>1400200 = 7 pesos a cada 1400g; e</p><p>• Poderíamos usar somente pesos de 350g, utilizando</p><p>1400350 = 4 pesos a cada 1400g.</p><p>Como a ideia é minimizar o número de pesos utilizados, vamos utilizar, a cada 1400g, 4 pesos de 350g.</p><p>Note</p><p>que o maior múltiplo de 1.400g menor do que 4.000g é 2×1.400 = 2.800g. Logo, para obter 2.800g,</p><p>vamos utilizar 2×4 = 8 pesos de 350g.</p><p>Observe que ainda faltam 4.000g−2.800 = 1.200g para obtermos os 4kg. Esses 1.200g só podem ser obtidos</p><p>com exatidão por meio de 6 pesos de 200g.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>127</p><p>198</p><p>Logo, o número mínimo de pesos que devem ser reunidos para que se obtenha exatamente 4kg é:</p><p>8 pesos de 350g + 6 pesos de 200g = 14 pesos</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(FGV/TRT-PB/2022) Laura coleciona figurinhas. Ontem ela arrumou suas figurinhas em montinhos de</p><p>6 figurinhas cada e não faltou nem sobrou figurinha alguma. Hoje ela fez uma nova arrumação com as</p><p>mesmas figurinhas, dessa vez em montinhos de 10 figurinhas cada um e também não faltou nem sobrou</p><p>figurinha alguma.</p><p>O número mínimo de figurinhas que Laura pode ter é M.</p><p>A soma dos algarismos de M é</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Comentários:</p><p>Segundo o enunciado, ao arrumar as figurinhas em montinhos de 6 ou de 10 figurinhas, não resta nenhuma</p><p>figurinha. Isso significa que o total de figurinhas é divisível por 6 e por 10. Em outras palavras, o total de</p><p>figurinhas é múltiplo de 6 e de 10.</p><p>Para resolver o problema, devemos determinar o número mínimo de figurinhas M que Laura pode ter.</p><p>Logo, M é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 6 e 10.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 6 e 10 em fatores primos: 6 = 21 × 31 10 = 21 × 51</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 6 = 21 × 31 10 = 21 × 51</p><p>Logo, 𝑀 = MMC(6; 10) = 21 × 31 × 51 = 30.</p><p>Portanto, como M = 30, a soma dos algarismos de M é 3 + 0 = 3.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>128</p><p>198</p><p>(FGV/CBM-RJ/2022) Max e Rubens estão andando de bicicleta em uma pista circular. Eles andam em</p><p>sentidos opostos. Max dá uma volta na pista a cada 6 minutos e Rubens dá uma volta na pista a cada 10</p><p>minutos. Em um determinado momento eles se cruzam em um ponto P da pista.</p><p>Eles voltarão a se cruzar pela primeira vez nesse mesmo ponto P após</p><p>a) 6 minutos.</p><p>b) 10 minutos.</p><p>c) 24 minutos.</p><p>d) 30 minutos.</p><p>e) 60 minutos.</p><p>Comentários:</p><p>Considere que Max e Rubens se encontraram no seguinte ponto P da pista circular:</p><p>Como Max dá uma volta na pista a cada 6 minutos, temos que, a partir do primeiro encontro em P, Max</p><p>estará no ponto P a cada 6 minutos.</p><p>Em outras palavras, Max estará no ponto P sempre que o tempo transcorrido, a partir do primeiro</p><p>encontro em P, for múltiplo de 6 minutos.</p><p>Além disso, como Rubens dá uma volta na pista a cada 10 minutos, temos que, a partir do primeiro</p><p>encontro em P, Rubens estará no ponto P a cada 10 minutos.</p><p>Em outras palavras, Rubens estará no ponto P sempre que o tempo transcorrido, a partir do primeiro</p><p>encontro em P, for múltiplo de 10 minutos.</p><p>Note que, sempre que o tempo transcorrido for múltiplo, ao mesmo tempo, de 6min e 10min, Max e</p><p>Rubens se encontrarão no ponto P.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>129</p><p>198</p><p>Como queremos o momento em que eles voltarão a se cruzar pela primeira vez nesse mesmo ponto P,</p><p>devemos obter o mínimo múltiplo comum a 6min e 10min.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 6 e 10 em fatores primos: 6 = 21 × 31 10 = 21 × 51</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 6 = 21 × 31 10 = 21 × 51</p><p>Logo, MMC(6; 10) = 21 × 31 × 51 = 30.</p><p>Portanto, Max e Rubens voltarão a se cruzar pela primeira vez no ponto P após 30 minutos.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FGV/PM SP/2022) Seja M o menor número inteiro, maior do que 2, que, dividido por 3, por 5, ou por</p><p>7, deixa sempre resto 2.</p><p>A soma dos algarismos de M é</p><p>a) 8.</p><p>b) 9.</p><p>c) 10.</p><p>d) 12.</p><p>e) 15.</p><p>Comentários:</p><p>Como M deixa resto 2 quando dividido por 3, por 5, ou por 7, o número (M-2) deixa resto zero quando</p><p>dividido por 3, por 5, ou por 7.</p><p>Isso significa que (M-2) é divisível por 3, por 5 e por 7. Em outras palavras, (M-2) é múltiplo de 3, de 5 e de</p><p>7. Como estamos procurando o menor número para M, M-2 é o mínimo múltiplo comum a 3, 5 e 7.</p><p>Como 3, 5 e 7 são primos, o MMC entre esses números é 3×5×7 = 105. Portanto: 𝑀 − 2 = 105 𝑀 = 107</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>130</p><p>198</p><p>A soma dos algarismos de 𝑀 é: 1 + 0 + 7 = 8</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(FGV/SEAD-AP/2022) O mínimo múltiplo comum entre A e B é 24 e o mínimo múltiplo comum entre B</p><p>e C é 75.</p><p>O menor valor que o mínimo múltiplo comum entre A e C pode ter é</p><p>a) 100.</p><p>b) 120.</p><p>c) 150.</p><p>d) 180.</p><p>e) 200.</p><p>Comentários:</p><p>Para resolver o problema, vamos concentrar nossos esforços em determinar o número 𝐵, pois ele aparece</p><p>nos dois mínimos múltiplos comuns (MMCs).</p><p>Primeiramente, vamos observar o MMC entre 𝑨 e 𝑩</p><p>Fatorando o número 24, temos: 24 = 2 × 12 = 2 × 3 × 4 = 2 × 3 × 22 = 23 × 3</p><p>Logo: 𝑀𝑀𝐶(𝐴, 𝐵) = 23 × 3</p><p>Lembre-se de que, para se obter o MMC dos números 𝐴 e 𝐵, obteve-se todos fatores primos de maior</p><p>expoente. Portanto, observando-se somente 𝑀𝑀𝐶(𝐴, 𝐵), podemos tirar as seguintes conclusões sobre o</p><p>número 𝐵:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>131</p><p>198</p><p>• 𝑩 não pode apresentar fatores primos diferentes de 2 e de 3;</p><p>• Se o número 2 for um fator primo de 𝐵, o maior expoente que esse fator pode apresentar em 𝐵 é 3;</p><p>• Se o número 3 for um fator primo de 𝐵, o maior expoente que esse fator pode apresentar em 𝐵 é 1.</p><p>Agora, vamos observar o MMC entre 𝑩 e 𝑪</p><p>Fatorando o número 75, temos: 75 = 3 × 25 = 3 × 52</p><p>Logo: MMC(𝐵, 𝐶) = 3 × 52</p><p>Lembre-se de que, para se obter o MMC dos números 𝐵 e 𝐶, obteve-se todos fatores primos de maior</p><p>expoente. Portanto, observando-se somente 𝑀𝑀𝐶(𝐵, 𝐶), podemos tirar as seguintes conclusões sobre o</p><p>número 𝐵:</p><p>• 𝑩 não pode apresentar fatores primos diferentes de 3 e de 5;</p><p>• Se o número 3 for um fator primo de 𝐵, o maior expoente que esse fator pode apresentar em 𝐵 é 1;</p><p>• Se o número 5 for um fator primo de 𝐵, o maior expoente que esse fator pode apresentar em 𝐵 é 2.</p><p>Comparando as conclusões obtidas</p><p>Comparando-se as conclusões obtidas com os dois MMCs, podemos observar que 𝑩 só pode apresentar o</p><p>fator primo 3. Além disso, como o expoente associado a esse fator primo pode ser no máximo 1, bem</p><p>como considerando que se o expoente não for 1 o número 𝐵 não apresentaria o fator primo 3, temos que: 𝐵 = 31</p><p>Logo, sabendo-se que 𝑩 = 𝟑, podemos verificar possíveis valores de 𝐴 e de 𝐶.</p><p>Possíveis valores para 𝑨</p><p>Lembre-se de que, para se obter o MMC dos números 𝐴 e 𝐵 = 3, obteve-se todos fatores primos de maior</p><p>expoente. Sabemos que: MMC(𝐴, 3) = 23 × 3.</p><p>Note, portanto, que o número 𝐴 deve apresentar o fator 23 e pode ou não apresentar o fator 3. Logo, os</p><p>possíveis valores para 𝐴 são: 𝑨𝟏 = 𝟐𝟑 = 𝟖 𝐴2 = 23 × 3 = 24</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>132</p><p>198</p><p>Possíveis valores para 𝑪</p><p>Lembre-se de que, para se obter o MMC dos números 𝐵 = 3 e 𝐶, obteve-se todos fatores primos de maior</p><p>expoente. Sabemos que: 𝑀𝑀𝐶(3, 𝐶) = 3 × 52.</p><p>Note, portanto, que o número 𝐶 deve apresentar o fator 52 e pode ou não apresentar o fator 3. Logo, os</p><p>possíveis valores para 𝐵 são: 𝑪𝟏 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 𝐶2 = 3 × 52 = 75</p><p>Cálculo do menor valor</p><p>para o MMC entre 𝑨 e 𝑪</p><p>O MMC entre 𝐴 e 𝐶 será o mínimo para o caso em que 𝐴 e 𝐶 são os menores números possíveis: 𝑨 = 𝟐𝟑 = 𝟖 𝑪 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓</p><p>Lembre-se de que, para se obter o MMC dos números 𝐴 e 𝐶, deve-se tomar todos fatores primos de maior</p><p>expoente. No caso em questão, como não temos fatores primos em comum, basta multiplicarmos os</p><p>números. Logo: 𝑀𝑀𝐶(𝐴, 𝐶) = 23 × 52 = 8 × 25 = 200</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(FGV/SEFAZ AM/2022) Um pote contém entre 150 e 200 balas. Miguel reparou que separando essas</p><p>balas em grupos de 5 sobravam 2 balas, e que, separando em grupos de 7, sobravam também 2 balas.</p><p>Se Miguel separasse as balas em grupos de 9 balas, sobrariam</p><p>a) 0.</p><p>b) 2.</p><p>c) 4.</p><p>d) 6.</p><p>e) 8.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>133</p><p>198</p><p>Considere que o número de balas é 𝑥. Sabemos que 𝒙 está entre 150 e 200.</p><p>Além disso, perceba que ao dividir 𝑥 por 5 ou por 7, sempre temos resto 2. Isso significa que, ao dividir</p><p>(𝒙−2) por 5 ou por 7, sempre temos resto zero. Em outras palavras, (𝒙−2) é múltiplo comum a 5 e 7.</p><p>Note que o mínimo múltiplo comum a 5 e 7 é o produto 5×7 = 35, pois 5 e 7 são primos.</p><p>Logo, os candidatos para (𝒙−2) são os múltiplos de 35, pois os múltiplos de 35 são os múltiplos comuns a</p><p>5 e 7, sendo 35 o menor múltiplo comum a 5 e 7.</p><p>Como 𝑥 está entre 150 e 200, (𝒙−2), que é múltiplo de 35, está entre 148 e 198. Vamos testar alguns</p><p>múltiplos de 35: 35 × 4 = 140 35 × 5 = 175 35 × 6 = 210</p><p>Veja que o único múltiplo de 35 que está entre 148 e 198 é 175. Logo: 𝑥 − 2 = 175 𝑥 = 177</p><p>Assim, o número de balas é 177. Ao dividir 177 por 9, obtemos quociente 19 e resto 6. Portanto, se Miguel</p><p>separasse as 177 balas em grupos de 9 balas, sobrariam 6 balas.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(FGV/IBGE/2017) João recebeu 32 relatórios verdes e 40 relatórios vermelhos. Ele deve colocar esses</p><p>relatórios em envelopes da seguinte forma:</p><p>• Todos os envelopes devem conter a mesma quantidade de relatórios.</p><p>• Nenhum envelope pode misturar relatórios de cores diferentes.</p><p>Cumprindo essas exigências, o menor número de envelopes que ele precisará utilizar é:</p><p>a) 8;</p><p>b) 9;</p><p>c) 12;</p><p>d) 16;</p><p>e) 18.</p><p>Comentários:</p><p>Considere que a quantidade de relatórios em cada envelope é 𝒙.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>134</p><p>198</p><p>Como nenhum envelope pode misturar relatórios de cores diferentes, temos que 𝒙 deve ser divisor de</p><p>32, que é a quantidade de relatórios verdes, bem como 𝒙 deve ser divisor de 40, que é a quantidade de</p><p>relatórios vermelhos. Isso porque a quantidade de envelopes com relatórios verdes será</p><p>32𝑥 , e a quantidade</p><p>de envelopes com relatórios vermelhos será</p><p>40𝑥 .</p><p>Portanto, 𝑥 é um divisor que é comum a 32 e 40. Como se quer o menor número de envelopes, devemos</p><p>maximizar a quantidade de relatórios em cada envelope (𝒙). Logo, 𝑥 é o máximo divisor comum de 32 e</p><p>40.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 32 e 40 em fatores primos. 32 = 2 × 16 = 2 × 4 × 4 2 × (2 × 2) × (2 × 2) = 25</p><p>40 = 4 × 10 = (2 × 2) × (2 × 5) = 23 × 5</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 32 = 25 40 = 23 × 5</p><p>Logo, MDC(32; 40) = 23 = 8. Portanto, quantidade de relatórios em cada envelope é 𝒙 = 𝟖.</p><p>Note que a questão pergunta pelo menor número de envelopes que João precisará utilizar: (Envelopes com relatórios verdes) + (Envelopes com relatórios vermelhos)</p><p>= 328 + 408</p><p>= 4 + 5 = 9</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>135</p><p>198</p><p>(FGV/TCE-BA/2014) Em uma serraria há dez varas de madeira: cinco de 1,40m de comprimento, três</p><p>de 1,80m e duas de 2,40m. Essas varas devem ser cortadas em pedaços iguais, com o maior comprimento</p><p>possível e aproveitando toda a madeira.</p><p>A quantidade de pedaços que será obtida é</p><p>a) 30.</p><p>b) 43.</p><p>c) 86.</p><p>d) 172.</p><p>e) 344.</p><p>Comentários:</p><p>Para evitar trabalhar com números fracionários, vamos utilizar o centímetro como medida de</p><p>comprimento. Considere que o tamanho dos pedaços seja 𝒙 centímetros.</p><p>Observe que as varas de 140cm, 180cm e de 240cm devem ser cortadas em pedaços de 𝑥 centímetros</p><p>aproveitando toda a madeira. Logo, 𝑥 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 140, 180 e 240.</p><p>Além disso, os pedaços devem apresentar o maior comprimento possível. Portanto, 𝑥 é o máximo divisor</p><p>comum (MDC) de 140, 180 e 240.</p><p>Vamos decompor 140, 180 e 240 em fatores primos: 140 = 14 × 10 = (2 × 7) × (2 × 5) = 22 × 5 × 7</p><p>180 = 18 × 10 = (2 × 9) × (2 × 5) = (2 × 3 × 3) × (2 × 5) = 22 × 32 × 5</p><p>240 = 24 × 10 = (2 × 12) × (2 × 5) = (2 × 3 × 4) × (2 × 5) = (2 × 3 × 2 × 2) × (2 × 5) = 24 × 3 × 5</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>136</p><p>198</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 140 = 22 × 5 × 7 180 = 22 × 32 × 5 240 = 24 × 3 × 5</p><p>Logo, MDC(140; 180; 240) = 22 × 5 = 20. Portanto, o tamanho dos pedaços é 𝒙 = 𝟐𝟎 𝐜𝐦.</p><p>Temos cinco varas de 140cm de comprimento, três de 180cm e duas de 240cm. Logo, a quantidade de</p><p>pedaços que será obtida é:</p><p>𝟓 × 140𝑥 + 𝟑 × 180𝑥 + 𝟐 × 240𝑥</p><p>= 5 × 14020 + 3 × 18020 + 2 × 24020</p><p>= 5 × 7 + 3 × 9 + 2 × 12 = 35 + 27 + 24 = 86</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>137</p><p>198</p><p>==1365fc==</p><p>Cebraspe</p><p>(CESPE/IFF/2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de</p><p>bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8</p><p>dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias.</p><p>Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles</p><p>trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui a</p><p>a) 30 dias.</p><p>b) 74 dias.</p><p>c) 120 dias.</p><p>d) 240 dias.</p><p>e) 960 dias.</p><p>Comentários:</p><p>Os três comissários trabalham a cada 8, 10 e 12 dias. Como os três trabalharam juntos hoje, eles</p><p>trabalharão juntos novamente sempre que transcorrer um número de dias múltiplo, ao mesmo tempo, de</p><p>8, 10 e 12 dias. Como queremos saber próxima vez em que eles trabalharão juntos, precisamos obter o</p><p>mínimo múltiplo comum (MMC) de 8, 10 e 12.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 8, 10 e 12 em fatores primos. 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 = 23</p><p>10 = 2 × 5 12 = 4 × 3 = 22 × 3</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 8 = 23 10 = 22 × 5 12 = 22 × 3</p><p>Logo, MMC(8; 10; 12) = 23 × 3 × 5 = 120. Portanto, a próxima vez em que os três comissários</p><p>trabalharão novamente juntos ocorrerá daqui a 120 dias.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>138</p><p>198</p><p>(CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se</p><p>segue.</p><p>Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e menor que 700.</p><p>Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo com 3 revistas.</p><p>O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em conjuntos de 20 revistas:</p><p>sempre sobrava um conjunto com 3 revistas.</p><p>Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 563 revistas.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos supor que a quantidade de revistas que Carlos possui é 𝒙. Devemos determinar o valor de 𝑥.</p><p>Note que a quantidade</p><p>é maior que 500 e menor que 700. Logo: 𝟓𝟎𝟎</p><p>sincronizados sempre que o tempo transcorrido for múltiplo, ao</p><p>mesmo tempo, de 120 e 200 segundos.</p><p>Nesse momento, vamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 120 e 200 segundos.</p><p>Logo, MMC(120; 200) = 23 × 31 × 52 = 𝟔𝟎𝟎 segundos.</p><p>Note, portanto, que os semáforos estarão sincronizados iniciando a luz verde a cada 600 segundos. Como</p><p>1min = 60s, os semáforos estarão sincronizados iniciando a luz verde a cada 600/60 = 10 minutos.</p><p>Partindo-se de 0h e aproximando-se do final do dia, perceba que às 23h50min do dia em questão os dois</p><p>semáforos estarão sincronizados iniciando a luz verde. Isso porque de 0h até 23h50min transcorre um</p><p>tempo que é múltiplo de 10 minutos.</p><p>Note que o problema pede o último momento em que esses semáforos iniciaram a fase vermelha.</p><p>Observe o próximo encontro iniciando a luz verde ocorre no início do dia seguinte, pois 23h50min +</p><p>10min corresponde a 24h (ou seja, 0h do dia seguinte). Como ambos os semáforos ficam 50 segundos na</p><p>fase vermelha antes de iniciar a verde, se retrocedermos no tempo 50 segundos a partir das 24h,</p><p>obteremos o último momento em que ambos os semáforos estavam na luz vermelha: 24h − 50s</p><p>Como 1h=60min, podemos escrever 24h como 23h60min: 23h 60min − 50s</p><p>Como 1min=60s, podemos escrever 60min como 59min60s: 23h59min 60s − 50s = 23h 59min 10s</p><p>Logo, o último momento em que esses semáforos iniciaram a fase vermelha foi às 23h59min10s.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>151</p><p>198</p><p>(VUNESP/Pref Piracicaba/2023) Um padeiro assa uma fornada de pães salgados, uma de pães doces e</p><p>uma de pães de queijo às 6 horas da manhã. Em seguida, a cada duas horas, ele assa uma fornada de</p><p>pães salgados, a cada três horas uma de pães doces, e, a cada quatro horas, uma de pães de queijo.</p><p>Ele torna a assar as três fornadas juntas às</p><p>a) 12 horas.</p><p>b) 14 horas.</p><p>c) 15 horas.</p><p>d) 16 horas.</p><p>e) 18 horas.</p><p>Comentários:</p><p>As fornadas de pães salgados, pães doces e pães de queijo são feitas a cada 2, 3 e 4 horas.</p><p>Como as fornadas dos três tipos de pães foram feitas conjuntamente às 6 horas da manhã, as três</p><p>fornadas serão feitas ao mesmo tempo novamente sempre que transcorrer um número de horas que for</p><p>múltiplo, ao mesmo tempo, de 2, 3 e 4 horas.</p><p>Como queremos saber a próxima vez em que a as fornadas serão feitas ao mesmo tempo, precisamos</p><p>obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 2, 3 e 4.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 2, 3 e 4 em fatores primos: 2 = 21 3 = 31 4 = 22</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 2 = 21 3 = 31 4 = 22</p><p>Logo, MMC(2; 3; 4) = 22 × 31 = 12. Portanto, a próxima fornada conjunta ocorrerá daqui 12 horas.</p><p>Sabemos que a primeira formada conjunta ocorreu às 06 horas da manhã. Ao somar 12 horas, obtemos o</p><p>horário da próxima formada conjunta: 18 horas.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>152</p><p>198</p><p>(VUNESP/Pref Jaguariúna/2023) Carlos executa duas atividades profissionais, A e B,</p><p>independentemente de ser dia útil, final de semana ou feriado. A cada 3 dias de execução da atividade A,</p><p>ele folga o dia seguinte, e a cada 5 dias de execução da atividade B, ele também folga o dia seguinte.</p><p>Sabendo-se que em 15 de dezembro de 2022 ele folgou o dia, em ambas as atividades, pode-se</p><p>corretamente afirmar que, em fevereiro de 2023, um dos dias em que ele estará de folga, em ambas as</p><p>atividades, será o dia</p><p>a) 24.</p><p>b) 25.</p><p>c) 26.</p><p>d) 27.</p><p>e) 28.</p><p>Comentários:</p><p>Note que:</p><p>• Carlos executa a atividade A por 3 dias e folga o dia seguinte. Logo, para a atividade A, ocorre uma</p><p>folga a cada 3+1 = 4 dias.</p><p>• Carlos executa a atividade B por 5 dias e folga o dia seguinte. Logo, para a atividade B, ocorre uma</p><p>folga a cada 5+1 = 6 dias.</p><p>Sabemos que Carlos folgou o dia de 15 de dezembro de 2022 em ambas as atividades. Note que, para que</p><p>ocorra uma nova folga conjunta, o tempo transcorrido deve ser múltiplo, ao mesmo tempo, de 4 e de 6</p><p>dias.</p><p>Para obtermos a próxima folga conjunta, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 4 e 6.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 4 e 6 em fatores primos: 4 = 22 6 = 21 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 4 = 22 6 = 21 × 31</p><p>Logo, MMC(4; 6) = 22 × 31 = 12. Portanto, a próxima folga conjunta ocorrerá daqui 12 dias.</p><p>O enunciado pergunta por uma folga conjunta que ocorre em fevereiro de 2023. Note que a folga conjunta</p><p>sempre ocorrerá quando o tempo transcorrido a partir de 15 de dezembro de 2022 for múltiplo de 12.</p><p>Logo, ocorrerá a folga conjunta nas seguintes datas:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>153</p><p>198</p><p>• Data inicial: 15 de dezembro de 2022;</p><p>• Ao somar 12 dias, obtemos 27 de dezembro de 2022;</p><p>• Ao somar 12 dias, obtemos 08 de janeiro de 2023;</p><p>• Ao somar 12 dias, obtemos 20 de janeiro de 2023;</p><p>• Ao somar 12 dias, obtemos 01 de fevereiro de 2023;</p><p>• Ao somar 12 dias, obtemos 13 de fevereiro de 2023;</p><p>• Ao somar 12 dias, obtemos 25 de fevereiro de 2023;</p><p>• ...</p><p>Portanto, dentre as alternativas apresentadas, um dos dias em que Carlos estará de folga em ambas as</p><p>atividades é 25 de fevereiro de 2023.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(VUNESP/PM SP/2023) Um entregador de mercadorias faz suas entregas em determinado comércio a</p><p>cada 8 dias e em outro comércio a cada 12 dias, independentemente de o dia ser útil ou não. No último</p><p>dia de 2022, um sábado, o entregador fez suas entregas em ambos os comércios. Logo, em fevereiro de</p><p>2023, ele fará suas entregas nestes comércios, em um mesmo dia, em uma</p><p>a) segunda-feira.</p><p>b) quarta-feira.</p><p>c) terça-feira.</p><p>d) sexta-feira.</p><p>e) quinta-feira.</p><p>Comentários:</p><p>Note que o entregador realiza suas entregas para um comércio a cada 8 dias e para outro comércio a cada</p><p>12 dias.</p><p>Sabemos o entregador realizou as duas entregas conjuntamente em 31 de dezembro de 2022 (sábado).</p><p>Note que, para que ocorra uma nova entrega conjunta, o tempo transcorrido deve ser múltiplo, ao</p><p>mesmo tempo, de 8 e de 12 dias.</p><p>Para obtermos a próxima entrega conjunta, precisamos obter o mínimo múltiplo comum (MMC) de 8 e 12.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 8 e 12 em fatores primos: 8 = 2 × 4 = 2 × (2 × 2) = 23</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>154</p><p>198</p><p>12 = 4 × 3 = 22 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 8 = 23 12 = 22 × 31</p><p>Logo, MMC(8; 12) = 23 × 31 = 24. Portanto, a próxima entrega conjunta ocorrerá daqui 24 dias.</p><p>O enunciado pergunta por uma entrega conjunta que ocorre em fevereiro de 2023. Note que uma entrega</p><p>conjunta sempre ocorrerá quando o tempo transcorrido a partir de 31 de dezembro de 2022 (sábado) for</p><p>múltiplo de 24.</p><p>Para chegarmos em fevereiro, precisamos transcorrer 24+24 = 48 dias.</p><p>Sabemos que uma semana tem 7 dias. Ao dividir 48 por 7, obtemos quociente 6 e resto 6. Isso significa</p><p>que, após 48 dias, temos 6 semanas completas e mais 6 dias.</p><p>Como 31 de dezembro de 2022 era um sábado, devemos somar 6 dias a esse dia da semana para obter o</p><p>dia da semana que ocorreu após 48 dias. Logo, o dia da semana após 48 dias é uma sexta-feira.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(VUNESP/Pref Sertãozinho/2023) Tem-se uma quantidade, menor que 100 unidades, de certo</p><p>produto que pode ser separado em grupos contendo 12 unidades cada, ou em grupos contendo 14</p><p>unidades cada, sem sobras. Para que essa quantidade de produtos possa ser separada em grupos</p><p>contendo 13 unidades cada, o número mínimo de</p><p>unidades que devem ser adicionadas à quantidade que</p><p>se tem deve ser igual a</p><p>a) 5.</p><p>b) 6.</p><p>c) 7.</p><p>d) 8.</p><p>e) 9.</p><p>Comentários:</p><p>Temos uma certa quantidade 𝒙 de um produto que pode ser separada em grupos de 12 unidades ou de 14</p><p>unidades. Note, portanto, que 𝒙 é divisível por 12 e por 14. Em outras palavras, 𝒙 é múltiplo de 12 e 14.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>155</p><p>198</p><p>Nesse momento, vamos obter o menor múltiplo possível que é comum a 12 e 14. Trata-se do mínimo</p><p>múltiplo comum (MMC) de 12 e 14.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 12 e 14 em fatores primos: 12 = 4 × 3 = 22 × 31</p><p>14 = 21 × 71</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 12 = 22 × 31 14 = 21 × 71</p><p>Logo, MMC(12; 14) = 22 × 31 × 71 = 84. Portanto, o menor múltiplo possível que é comum a 12 e 14 é</p><p>84.</p><p>Note que o enunciado nos diz que a quantidade original 𝒙 do produto, que é múltiplo de 12 e de 14, é</p><p>também inferior a 100. Logo, a quantidade deve ser 𝒙 = 𝟖𝟒, pois o próximo múltiplo comum a 12 e 14 é</p><p>84×2 = 168, e esse número é maior do que 100.</p><p>Queremos saber o número mínimo de unidades que devem ser adicionadas às 84 unidades originais para</p><p>que, ao dividir em grupos de 13 unidades, não haja resto.</p><p>Ao dividir 84 por 13, obtém-se quociente 6 e resto 6. Note, portanto, que o múltiplo de 13 imediatamente</p><p>inferior a 84 é 6×13=78.</p><p>O próximo múltiplo de 13, que é imediatamente superior a 84, é 78+13 = 91. É esse número de unidades</p><p>que devemos ter para formar grupos de 13 unidades sem deixar resto.</p><p>Para termos 91 unidades, devemos somar à quantidade original 91−84 = 7 unidades.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(VUNESP/ISS Jaguariúna/2023) Em uma empresa de grande porte, composta por uma matriz e uma</p><p>filial, será feita uma grande admissão de funcionários: 150 funcionários para trabalharem na matriz e 60</p><p>funcionários para trabalharem na filial. Para a primeira semana de treinamento, todos esses novos</p><p>funcionários serão divididos em grupos, todos contendo a mesma quantidade de funcionários, sendo que</p><p>cada grupo terá x funcionários que trabalharão na matriz e y funcionários que trabalharão na filial. Se a</p><p>quantidade de funcionários nos grupos tem que ser a menor possível, então, em cada grupo, a diferença</p><p>x – y será igual a</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>156</p><p>198</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que o número de grupos formados, com 𝒙 funcionários que trabalharão na matriz e 𝒚</p><p>funcionários que trabalharão na filial, seja 𝒈.</p><p>Note que:</p><p>• Como 150 funcionários trabalharão na matriz, 𝑥 = 150𝑔 ; e</p><p>• Como 60 funcionários trabalharão na filial, 𝑦 = 60𝑔 .</p><p>Como 𝑥 e 𝑦 são números inteiros, 𝒈 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 60 e 150.</p><p>Além disso, como a quantidade de funcionários nos grupos tem que ser a menor possível, o número de</p><p>grupos 𝒈 deve ser máximo. Portanto, 𝒈 é o máximo divisor comum (MDC) de 60 e 150.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 60 e 150 em fatores primos: 60 = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) = 22 × 31 × 51</p><p>150 = 15 × 10 = (3 × 5) × (2 × 5) = 21 × 31 × 52</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 60 = 22 × 31 × 51 150 = 21 × 31 × 52</p><p>Logo, 𝑔 = MDC(60; 160) = 21 × 31 × 51 = 30.</p><p>Como o número de grupos é 𝑔 = 30, temos que:</p><p>• 𝑥 = 150𝑔 = 15030 = 5; e</p><p>• 𝑦 = 60𝑔 = 6030 = 2.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>157</p><p>198</p><p>Portanto: 𝑦 − 𝑥 = 5 − 2 = 3</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(VUNESP/Pref. Sorocaba/2023) Suponha que você tenha disponível R$ 18.000,00, em cédulas de R$</p><p>50,00, e R$ 15.000,00, em cédulas de R$ 20,00, e precise dividir toda essa quantia no maior número de</p><p>partes possível, todas contendo o mesmo valor, em reais, sendo nas quantidades de x cédulas de R$</p><p>20,00 e de y cédulas de R$ 50,00, em cada parte. Nesse caso, em cada parte, o valor em notas de R$</p><p>20,00 deverá ser menor que o valor em notas de R$ 50,00 em</p><p>a) R$ 120,00.</p><p>b) R$ 100,00.</p><p>c) R$ 80,00.</p><p>d) R$ 60,00.</p><p>e) R$ 40,00.</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, vamos obter o número total de cédulas de R$ 50,00 e o número total de cédulas de R$ 20,00</p><p>que dispomos para formar as partes. Temos:</p><p>• 15.00020 = 750 cédulas de 20 reais; e</p><p>• 18.00050 = 360 cédulas de 50 reais.</p><p>Devemos dividir essas cédulas em partes contendo o mesmo valor. Nessas partes contendo o mesmo valor,</p><p>teremos 𝒙 cédulas de 20 reais e 𝒚 cédulas de 50 reais.</p><p>Suponha que o total de partes contendo o mesmo valor seja 𝒑. Veja que:</p><p>• O número de cédulas de 20 reais em cada parte é 𝑥 = 750𝒑 ; e</p><p>• O número de cédulas de 50 reais em cada parte é 𝑦 = 360𝒑 .</p><p>Como 𝑥 e 𝑦 devem ser números inteiros, 𝒑 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 360 e de 750. Como o</p><p>número de partes deve ser o maior possível, 𝒑 é o máximo divisor comum (MDC) de 360 e 750.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 360 e 750 em fatores primos: 360 = 36 × 10 = (6 × 6) × (2 × 5)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>158</p><p>198</p><p>= (2 × 3 × 2 × 3) × (2 × 5) = 23 × 32 × 51</p><p>750 = 75 × 10 = (3 × 25) × (2 × 5) = (3 × 5 × 5) × (2 × 5) = 21 × 31 × 53</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 360 = 23 × 32 × 51 750 = 21 × 31 × 53</p><p>Logo, MDC(360; 750) = 21 × 31 × 51 = 30. Portanto, o numero de partes é 𝒑 = 𝟑𝟎. Consequentemente:</p><p>• O número de cédulas de 20 reais em cada parte é 𝑥 = 750𝟑𝟎 = 𝟐𝟓; e</p><p>• O número de cédulas de 50 reais em cada parte é 𝑦 = 360𝟑𝟎 = 𝟏𝟐.</p><p>Portanto:</p><p>• Em cada parte, o valor em notas de 20 reais é 𝟐𝟓 × 20 = 𝐑$ 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎; e</p><p>• Em cada parte, o valor em notas de 50 reais é 𝟏𝟐 × 50 = 𝐑$ 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎.</p><p>Logo, em cada parte, o valor em notas de R$ 20,00 deverá ser menor que o valor em notas de R$ 50,00 em: 600 − 500 = R$ 100,00</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(VUNESP/DPE SP/2023) Um ajudante de uma loja de ferragens precisa distribuir, em saquinhos de</p><p>plásticos, três tipos diferentes de parafusos, de agora em diante identificados com tipo A, B e C. Todos os</p><p>saquinhos devem conter a mesma quantidade de parafusos e sempre parafusos de um mesmo tipo.</p><p>Também foi pedido ao ajudante que cada saquinho tivesse a maior quantidade possível de parafusos.</p><p>Sabendo que são 132 parafusos do tipo A, 180 parafusos do tipo B e 228 parafusos do tipo C, o número</p><p>de saquinhos necessários para cumprir essa tarefa é</p><p>a) 30.</p><p>b) 34.</p><p>c) 42.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>159</p><p>198</p><p>d) 45.</p><p>e) 48.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que o número de parafusos em cada saquinho seja 𝒙.</p><p>Temos 132 parafusos do tipo A, 180 parafusos do tipo B e 228 parafusos do tipo C. Como cada saquinho</p><p>deve apresentar apenas um tipo de parafuso, note que teremos:</p><p>• 132𝑥 saquinhos com parafusos do tipo A;</p><p>• 180𝑥 saquinhos com parafusos do tipo B; e</p><p>• 228𝑥 saquinhos com parafusos do tipo C.</p><p>Como o número de saquinhos com cada tipo de parafuso deve ser um número inteiro, 𝒙 deve ser divisor,</p><p>ao mesmo tempo, de 132, 180 e 228.</p><p>Além disso, como cada saquinho deve conter a maior quantidade possível de parafusos, 𝒙 deve ser</p><p>máximo. Portanto, 𝒙 é o máximo divisor comum (MDC) de 132, 189 e 228.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 132, 189 e 228 em fatores primos: 132 = 2 × 66 = 2 × 6 × 11 = 2 × (2 × 3) × 11 = 22 × 31 × 111</p><p>180 = 18 × 10 = (2 × 9) × (2 × 5) = (2 × 32) × (2 × 5) = 22 × 32 × 51 228 = 2 × 114 = 2 × 2 × 57 = 2 × 2 ×</p><p>3 × 19 = 22 × 31 × 191</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 132 = 22 × 31 × 111 189 = 22 × 32 × 51 228 = 22 × 31 × 191</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>160</p><p>198</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(132; 180; 228) = 22 × 31 = 12. Portanto, o número de parafusos é 𝒙 = 𝟏𝟐.</p><p>Consequentemente, temos:</p><p>• 132𝟏𝟐 = 11 saquinhos com parafusos do tipo A;</p><p>• 180𝟏𝟐 = 15 saquinhos com parafusos do tipo B; e</p><p>• 228𝟏𝟐 = 19 saquinhos com parafusos do tipo C.</p><p>Portanto, o total de saquinhos é: 11 + 15 + 19 = 45</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>(VUNESP/Pref. Sorocaba/2022) Três alarmes sonoros distintos foram programados para tocarem a</p><p>cada intervalo constante de tempo. Um deles foi programado para tocar a cada 6 horas; o outro, a cada 5</p><p>horas; e o terceiro, para tocar a cada 4 horas. Às 8 horas de determinada segunda-feira, os três alarmes</p><p>tocaram juntos.</p><p>A vez imediatamente posterior em que esses três alarmes tocaram em um mesmo horário foi às</p><p>a) 22 horas da terça-feira seguinte.</p><p>b) 13 horas da quarta-feira seguinte.</p><p>c) 20 horas da quarta-feira seguinte.</p><p>d) 6 horas da quinta-feira seguinte.</p><p>e) 14 horas da quinta-feira seguinte.</p><p>Comentários:</p><p>Temos três alarmes programados para tocar a cada 4h, a cada 5h e a cada 6h.</p><p>Sabemos que os três alarmes tocaram juntos às 8 horas de determinada segunda-feira. Note que, para</p><p>que os três alarmes toquem ao mesmo tempo novamente, o tempo transcorrido deve ser múltiplo, ao</p><p>mesmo tempo, de 4, 5 e 6 horas.</p><p>Para obtermos a próxima vez que os alarmes tocaram conjuntamente, precisamos obter o mínimo</p><p>múltiplo comum (MMC) de 4, 5 e 6.</p><p>Primeiramente, devemos decompor 4, 5 e 6 em fatores primos: 4 = 22 5 = 51</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>161</p><p>198</p><p>6 = 21 × 31</p><p>Devemos selecionar todos os fatores primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 4 = 22 5 = 51 6 = 21 × 31</p><p>Logo, MMC(4; 5; 6) = 22 × 31 × 51 = 60. Portanto, os três alarmes tocarão ao mesmo tempo daqui 60h.</p><p>O enunciado diz que os três alarmes tocaram juntos às 8 horas de determinada segunda-feira. Para</p><p>obtermos a vez imediatamente posterior em que esses três alarmes tocaram em um mesmo horário,</p><p>devemos somar 60h a esse momento inicial.</p><p>Sabemos que 1 dia = 24h. Ao dividir 60 por 24, obtemos quociente 2 e resto 12. Portanto, 60h</p><p>correspondem a 2 dias e 12h.</p><p>Ao avançar 2 dias e 12h a partir das 8h de segunda-feira, obtemos 20h da quarta-feira seguinte.</p><p>Gabarito: Letra C.</p><p>(VUNESP/PERUÍBEPREV/2022) Em 2020, no dia 8 de fevereiro, André começou a ler um livro com 288</p><p>páginas; no dia 11 de fevereiro, Bianca começou a leitura de um livro de 279 páginas; no dia 2 de</p><p>fevereiro, Carlos iniciou um livro com 315 páginas. Esses três amigos combinaram antecipadamente que,</p><p>até terminarem seus respectivos livros, leriam um mesmo número de páginas por dia, sendo esse</p><p>número o maior possível. Quando Carlos terminou de ler o seu livro, os números de dias que ainda</p><p>faltavam para André e Bianca terminarem os seus livros eram, respectivamente,</p><p>a) 1 e 2.</p><p>b) 1 e 3.</p><p>c) 2 e 3.</p><p>d) 3 e 3.</p><p>e) 3 e 5.</p><p>Comentários:</p><p>Suponha que o número de páginas por dia que os três amigos combinaram de ler seja 𝒙.</p><p>André, Bianca e Carlos devem ler livros com, respectivamente, 288, 279 e 315 páginas. Como o ritmo de</p><p>leitura dos três é de 𝒙 páginas por dia, temos que:</p><p>• André demorará</p><p>𝟐𝟖𝟖𝒙 dias para ler o seu livro;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>162</p><p>198</p><p>• Bianca demorará</p><p>𝟐𝟕𝟗𝒙 dias para ler o seu livro; e</p><p>• Carlos demorará</p><p>𝟑𝟏𝟓𝒙 dias para ler o seu livro.</p><p>Como o número de dias para ler um livro deve ser inteiro, 𝒙 deve ser divisor, ao mesmo tempo, de 288,</p><p>279 e 315. Além disso, como o número de páginas por dia deve ser o maior possível, 𝒙 deve ser máximo.</p><p>Portanto, 𝒙 é o máximo divisor comum (MDC) de 288, 279 e 315.</p><p>Primeiramente, vamos decompor 288, 279 e 315 em fatores primos: 288 = 2 × 144 = 2 × 12 × 12 = 2 × (3 × 4) × (3 × 4) = 2 × (3 × 22) × (3 × 22) = 25 × 32</p><p>279 = 9 × 31 = 32 × 311</p><p>315 = 5 × 63 = 5 × (3 × 21) = 5 × (3 × 3 × 7) = 32 × 51 × 71</p><p>Devemos selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 288 = 25 × 32 279 = 32 × 311 315 = 32 × 51 × 71</p><p>Logo, 𝑥 = MDC(288; 279; 315) = 32 = 9. Portanto, o número de páginas lidas por dia é 𝒙 = 𝟗.</p><p>Consequentemente:</p><p>• André demorará</p><p>𝟐𝟖𝟖𝟗 = 32 dias para ler o seu livro;</p><p>• Bianca demorará</p><p>𝟐𝟕𝟗𝟗 = 31 dias para ler o seu livro; e</p><p>• Carlos demorará</p><p>𝟑𝟏𝟓𝟗 = 35 dias para ler o seu livro.</p><p>Note que 2020 é um ano bissexto e, portanto, o mês de fevereiro apresenta 29 dias. Com base nisso,</p><p>vamos obter o dia em que cada amigo termina de ler o seu livro somando o número de dias necessários</p><p>para ler o livro à data inicial:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>163</p><p>198</p><p>Nome Início Duração Término</p><p>André 08/fev 32 dias 11/mar</p><p>Bianca 11/fev 31 dias 13/mar</p><p>Carlos 02/fev 35 dias 08/mar</p><p>Logo, quando Carlos terminou de ler o seu livro (08/mar), faltavam 3 dias para André terminar o seu livro</p><p>(11/mar) e 5 dias para Bianca terminar o seu livro (13/mar).</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>164</p><p>198</p><p>LISTA DE QUESTÕES - MULTIBANCAS</p><p>Múltiplos e Divisores</p><p>Outras Bancas</p><p>(CESGRANRIO/BNB/2024) Em uma confraternização de final de ano, os funcionários de um banco</p><p>foram divididos em grupos de cinco funcionários, mas um único funcionário sobrou.</p><p>Em uma nova tentativa, mas agora com exatamente a metade do número de funcionários, o número N</p><p>(sendo N</p><p>192 é o maior número que é múltiplo de 3, é múltiplo de 4 e é menor que 200.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>12</p><p>198</p><p>Números primos</p><p>Conceito de números primos</p><p>Os números primos são números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores naturais:</p><p>• O número 1; e</p><p>• O próprio número primo.</p><p>Isso significa que, se um número natural X é primo, apenas o número 1 e o próprio número X podem dividir</p><p>X deixando resto zero.</p><p>Existem infinitos números primos. É importante que você DECORE os 15 primeiros.</p><p>Os 15 primeiros números primos são:</p><p>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47</p><p>Como determinar se um número é primo</p><p>Para determinar se um número N é primo, devemos dividi-lo sucessivamente pelos números primos 2, 3, 5,</p><p>7, 11, 13, ... e verificar se algum primo é divisor de N:</p><p>• Se algum primo for divisor de N, então N não é primo;</p><p>• Se, ao realizar a divisão sucessiva, obtivermos um quociente menor do que o primo pelo qual estamos</p><p>dividindo N, então N é primo.</p><p>Veja que não é nada prático dividir N por diversos primos até obtermos um quociente menor do que o primo</p><p>pelo qual estamos dividindo N. É justamente por isso que esse método, nas questões de concurso público, é</p><p>mais utilizado para verificar se um dado número não é primo. Para melhor compreensão do método,</p><p>vejamos a questão a seguir:</p><p>(SEE PE/2016) O número de três algarismos: n = 68D é primo.</p><p>O algarismo D, das unidades, é</p><p>a) 1.</p><p>b) 3.</p><p>c) 5.</p><p>d) 7.</p><p>e) 9.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>13</p><p>198</p><p>Comentários:</p><p>Note que, para n ser primo, n só pode ser divisível por 1 e por ele mesmo. Vamos testar as alternativas,</p><p>eliminando aquelas em que n não é primo.</p><p>a) 681 é divisível por 3, pois a soma 6 + 8 + 1 = 15 é divisível por 3. Logo, não é primo.</p><p>c) 685 é divisível por 5, pois termina em 5. Logo, não é primo.</p><p>d) 687 é divisível por 3, pois a soma 6 + 8 + 7 = 21 é divisível por 3. Logo, não é primo.</p><p>Restaram as alternativas B e E. Vamos testar a alternativa E.</p><p>Para verificar se 689 não é primo, vamos tentar dividir o número pelos primos na ordem 2, 3, 5, 7, 11, 13 ....</p><p>- 689 não é divisível por 2, pois não é par;</p><p>- 689 não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos não é divisível por 3;</p><p>- 689 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5;</p><p>- Ao tentar dividir 689 por 7, encontramos resto 3;</p><p>- 689 não é divisível por 11, pois (8) − (9 + 6) = −5 não é divisível por 11 ;</p><p>- Ao tentar dividir 689 por 13, encontramos resto 0. Logo, 689 não é primo, pois é divisível por 13.</p><p>Por exclusão, a alternativa B é a correta, ou seja 683 é primo.</p><p>Para obter diretamente que o número 683 é primo, temos que dividir esse número pelos primos na ordem</p><p>2, 3, 5, 7, 11, 13, etc., e verificar que nenhum desses primos é divisor de 683 até obter um quociente menor</p><p>do que o primo pelo qual estamos dividindo 683.</p><p>Ao dividir o número 683 por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23, nota-se que nenhum desses primos é divisor de</p><p>683 (a divisão sempre deixa resto). Nessas divisões, o quociente obtido é sempre maior do que o primo pelo</p><p>qual estamos dividindo 683.</p><p>Ao dividir 683 pelo primo 29, obtém-se quociente 23 e resto 6. Como o quociente obtido é menor do que o</p><p>primo testado, conclui-se que 683 é primo.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>Decomposição em fatores primos</p><p>Decompor um número qualquer em fatores primos significa escrevê-lo como um produto de números</p><p>primos. Por exemplo, a decomposição em fatores primos do número 60 é: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 60 = 22 × 3 × 5</p><p>Para decompor um número em fatores primos, devemos dividir o número em questão sucessivas vezes pelos</p><p>números primos na sequência 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc., mudando de número primo sempre que o</p><p>número obtido não for divisível pelo primo selecionado.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>14</p><p>198</p><p>Para realizar a decomposição em fatores primos, é muito importante conhecermos as regras de divisibilidade</p><p>para não perdermos tempo tentando dividir um número que não é divisível pelo primo selecionado.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Decomponha o número 500 em fatores primos</p><p>- Ao dividir 500 por 2, obtemos 250.</p><p>- Ao dividir 250 por 2, obtemos 125.</p><p>- Note que 125 não é mais divisível por 2 (não é par). Passemos ao 3.</p><p>- Note que 125 não é divisível por 3 (1+2+5 não é divisível por 3). Passemos ao 5.</p><p>- Ao dividir 125 por 5, obtemos 25.</p><p>- Ao dividir 25 por 5, obtemos 5.</p><p>- Ao dividir 5 por 5, obtemos 1. Nesse momento, devemos parar as divisões sucessivas.</p><p>Logo, a decomposição de 500 em fatores primos é: 500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 500 = 22 × 53</p><p>Decomponha o número 282 em fatores primos</p><p>A decomposição de 282 em fatores primos é: 282 = 2 × 3 × 47</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>15</p><p>198</p><p>Decomponha o número 3960 em fatores primos</p><p>A decomposição de 3960 em fatores primos é: 3960 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 11 3960 = 23 × 32 × 5 × 11</p><p>Decomponha o número 10098 em fatores primos</p><p>A decomposição de 10098 em fatores primos é: 10098 = 2 × 3 × 3 × 3 × 11 × 17 10098 = 2 × 33 × 11 × 17</p><p>Existe uma forma não metodológica de se obter a decomposição em fatores primos. Essa forma costuma</p><p>ser mais rápida especialmente para números mais simples. Por exemplo, vamos decompor o número 500.</p><p>Acompanhe o raciocínio: 500 = 5 × 100 = 5 × 10 × 10 = 5 × (2 × 5) × (2 × 5) = 22 × 53</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>16</p><p>198</p><p>Note que usamos o fato de 500 ser facilmente descrito por 5 × 100 para decompormos o número de uma</p><p>forma não metodológica.</p><p>Veja a questão a seguir, que apresenta uma aplicação interessante da decomposição em fatores primos.</p><p>(MPE RJ/2016) Sejam x e y números inteiros positivos tais que</p><p>𝑥16 = 3𝑦.</p><p>O número de pares ordenados diferentes (𝑥, 𝑦) que podem ser formados é:</p><p>a) 16;</p><p>b) 14;</p><p>c) 12;</p><p>d) 10;</p><p>e) 8.</p><p>Comentários:</p><p>Esta questão apresenta um nível de dificuldade bastante elevado, especialmente para aqueles que nunca</p><p>viram uma questão desse tipo.</p><p>Veja que a igualdade apresentada corresponde a 𝒙𝒚 = 𝟑 × 𝟏𝟔.</p><p>Podemos decompor o produto 𝒙𝒚 em fatores primos: 𝑥𝑦 = 3 × (16) 𝑥𝑦 = 3 × (24) 𝑥𝑦 = 24 × 3</p><p>Como 𝑥 e 𝑦 são números naturais que multiplicados resultam em 24 × 3, 𝒙 e 𝒚 só podem ter em sua</p><p>composição o primo 𝟐 ou o primo 𝟑.</p><p>Note, portanto, que o número 𝒙 pode ser descrito na forma 𝒙 = 𝟐𝒂 × 𝟑𝒃, sendo que 𝑎 pode ser 0, 1, 2, 3</p><p>ou 4 e 𝑏 pode ser 0 ou 1.</p><p>Toda vez que determinarmos 𝑎 e 𝑏, teremos o 𝑥 determinado e o 𝑦 determinado, uma vez que 𝑥 será dado</p><p>por 2𝑎 × 3𝑏 e 𝑦 será dado por 24−𝑎 × 31−𝑏. Veja: 𝑥𝑦 = 24 × 3 (2𝑎 × 3𝑏) × 𝑦 = 24 × 3</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>17</p><p>198</p><p>𝑦 = 242𝑎 × 313𝑏 𝑦 = 24−𝑎 × 31−𝑏</p><p>Logo, toda vez que determinarmos 𝒂 e 𝒃, teremos o par (𝒙, 𝒚) determinado.</p><p>Como existem 5 possibilidades para 𝑎 e 2 possibilidades para 𝑏, o total de possibilidades para se determinar 𝑥 é 5 × 2 = 10. Esse é justamente o número de possibilidades para o par ordenado (𝑥, 𝑦). O gabarito é</p><p>Letra D.</p><p>Para fins didáticos, vamos mostrar todas as possibilidades para o par ordenado (𝑥, 𝑦):</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio</p><p>c) 218 números.</p><p>d) 217 números.</p><p>e) 216 números.</p><p>(FUNDATEC/Pref Cachoeira Sul/2022) A fatoração de um número em fatores primos é muito usada e</p><p>possui inúmeras aplicações em computação. Dentre as alternativas abaixo, a única que possui um</p><p>número com fator primo diferente de 2, 3 ou 7 é a de:</p><p>a) 42.</p><p>b) 70.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>166</p><p>198</p><p>c) 84.</p><p>d) 126.</p><p>e) 294.</p><p>(CONSULPAM/Pref Irauçuba/2022) Considere o número natural n = 430. A quantidade de divisores</p><p>pares é:</p><p>a) 4.</p><p>b) 8.</p><p>c) 16.</p><p>d) 32.</p><p>Texto para as próximas questões</p><p>Hoje, o quociente e o resto da divisão da idade de Claudiane pela idade de Marina são, respectivamente,</p><p>iguais a 2 e 3. Há treze anos, a idade de Claudiane era o triplo da idade de Marina.</p><p>Com base nesse caso hipotético, julgue os itens.</p><p>(QUADRIX/CRMV-MS/2022) A soma da idade de Claudiane com a idade de Marina possui 12 divisores</p><p>naturais.</p><p>(QUADRIX/CRMV-MS/2022) As idades de Claudiane e Marina são números primos.</p><p>(QUADRIX/CAU SC/2022) Na matemática, um número inteiro positivo 𝒏 é dito deficiente se a soma</p><p>de todos os seus divisores positivos for menor que o seu dobro. A partir dessa informação, assinale a</p><p>alternativa que apresenta um número deficiente.</p><p>a) 36</p><p>b) 30</p><p>c) 24</p><p>d) 21</p><p>e) 18</p><p>(QUADRIX/COREN AP/2022) Para fazer um penteado, Jéssica precisa de grampos e de presilhas. Os</p><p>grampos são vendidos em embalagens com 8 unidades e as presilhas, em embalagens com 6 unidades.</p><p>Com base nesse caso hipotético, julgue o item.</p><p>Jéssica nunca poderá comprar um número primo de presilhas.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>167</p><p>198</p><p>(FUNDATEC/Pref Tramandaí/2021) Ao decompormos o número 7776 em fatores primos, quantos</p><p>números primos distintos encontraremos em sua composição?</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 5.</p><p>d) 6.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>168</p><p>198</p><p>FGV</p><p>(FGV/ALEP PR/2024) Mauro tem 23 balas. Ele come 𝒏 balas e divide o restante igualmente entre seus</p><p>três filhos, de modo que cada filho recebe um número inteiro de balas.</p><p>Assinale o valor que 𝒏 não pode assumir.</p><p>a) 2.</p><p>b) 5.</p><p>c) 9.</p><p>d) 11.</p><p>e) 14.</p><p>(FGV/ALE TO/2024) Um dado é dito comum quando tem a forma de um cubo e suas 6 faces são</p><p>numeradas de 1 a 6, de tal forma que a soma dos números estampados em faces opostas, quaisquer que</p><p>sejam elas, sempre somam 7.</p><p>Quando um dado comum é lançado, diz-se que o resultado do lançamento é o número estampado na</p><p>face voltada para cima.</p><p>Um dado foi lançado 3 vezes seguidas. Se o produto dos resultados obtidos nos lançamentos vale 75, a</p><p>soma desses resultados é igual a</p><p>a) 12.</p><p>b) 13.</p><p>c) 14.</p><p>d) 15.</p><p>e) 16.</p><p>(FGV/DNIT/2024) Considere dois números inteiros positivos 𝒙 e 𝒚, tais que 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝟒 = 𝟎. A</p><p>soma dos possíveis valores de 𝒙 é:</p><p>a) 48.</p><p>b) 40.</p><p>c) 32.</p><p>d) 24.</p><p>e) 16.</p><p>(FGV/DNIT/2024) Marcos considera agradáveis os números cuja soma dos dígitos é 10 ou múltiplo de</p><p>10.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>169</p><p>198</p><p>Desde o ano da independência do Brasil (ano de 1822) até hoje o número de anos que, para Marcos, são</p><p>agradáveis é:</p><p>a) 16.</p><p>b) 17.</p><p>c) 18.</p><p>d) 19.</p><p>e) 20.</p><p>(FGV/CMSP/2024) O inteiro positivo N é o menor número tal que dividido por 13 deixa resto 12 e</p><p>dividido por 11 deixa resto 10.</p><p>A soma dos algarismos de N é</p><p>a) 6.</p><p>b) 7.</p><p>c) 8.</p><p>d) 9.</p><p>e) 10.</p><p>(FGV/TCE-BA/2023) Sejam 𝑥 e 𝑦 números tais que 6𝑦 − 𝑥 = 18. O número de valores inteiros de 𝑥,</p><p>maiores do que zero e menores do que 2024, para os quais os valores correspondentes de 𝑦 também são</p><p>inteiros é:</p><p>a) 331;</p><p>b) 333;</p><p>c) 335;</p><p>d) 337;</p><p>e) 339.</p><p>(FGV/TRT-PB/2022) A soma de 2 números naturais é 22253. Um dos números é divisível por 10 e se</p><p>retirarmos o algarismo das unidades desse número obtém-se o outro número.</p><p>A diferença entre o maior e o menor número é</p><p>a) 13222.</p><p>b) 14644.</p><p>c) 15876.</p><p>d) 17732.</p><p>e) 18207.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>170</p><p>198</p><p>(FGV/PM SP/2022) Um número inteiro positivo N, de 2 algarismos, é tal que exatamente 3 das 4</p><p>afirmações a seguir são verdadeiras:</p><p>• N é um número par;</p><p>• N é um número primo;</p><p>• N é múltiplo de 3;</p><p>• um dos algarismos de N é 5.</p><p>O algarismo das unidades de N é</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 8.</p><p>(FGV/Senado Federal/2022) Maria foi desafiada a calcular quantos números naturais que sejam</p><p>múltiplos de 3 ou de 7 existem entre 1000 e 2000. Maria refletiu um pouco e respondeu corretamente:</p><p>a) 47</p><p>b) 284</p><p>c) 369</p><p>d) 428</p><p>e) 512</p><p>(FGV/CBM-RJ/2022) Em um pátio, 240 soldados deverão ser dispostos em formação retangular de</p><p>linhas e colunas. Por exemplo, a figura abaixo mostra 12 soldados em uma formação retangular de 3</p><p>linhas e 4 colunas.</p><p>Para os 240 soldados, a formação deve ter ao menos, 4 linhas e ao menos 4 colunas.</p><p>Assinale a opção que indica o número de maneiras diferentes de realizar essa formação.</p><p>a) 7.</p><p>b) 8.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>171</p><p>198</p><p>c) 12.</p><p>d) 14.</p><p>e) 18.</p><p>(FGV/SEAD-AP/2022) O maior fator primo do número 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 é 𝟐, pois 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 = 𝟐𝟏𝟔.</p><p>A soma dos algarismos do maior fator primo de 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟓 é</p><p>a) 3.</p><p>b) 5.</p><p>c) 8.</p><p>d) 11.</p><p>e) 14.</p><p>(FGV/TRT-PB/2022) Carlos considera que um número é agradável quando a soma dos seus algarismos</p><p>é 7 ou múltiplo de 7. Por exemplo, o ano de 2005 foi agradável pois 2 + 0 + 0 + 5 = 7, e o de 2039 será</p><p>também, pois 2 + 0 + 3 + 9 = 14.</p><p>Por esse critério, o número de anos agradáveis do século XX foi igual a</p><p>a) 7.</p><p>b) 10.</p><p>c) 11.</p><p>d) 13.</p><p>e) 14.</p><p>(FGV/SEFAZ AM/2022) Considere uma operação entre números inteiros positivos 𝒂 e 𝒃, representada</p><p>pelo símbolo # e definida por: 𝒂#𝒃 = 𝟐𝒂 + 𝒃</p><p>Considere, agora, o conjunto 𝑴 dos números inteiros 𝒙 tais que 𝒙 # 𝟑 seja múltiplo de 𝟓.</p><p>É correto afirmar que, dos números a seguir, o único que pertence ao conjunto 𝑴 é</p><p>a) 2.</p><p>b) 5.</p><p>c) 13.</p><p>d) 15.</p><p>e) 21.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>172</p><p>198</p><p>(FGV/SEMSA Manaus/2022) N é o maior número inteiro menor do que 100 que, quando dividido por</p><p>2 ou por 3, deixa resto igual a 1.</p><p>A soma dos algarismos de N é igual a</p><p>a) 18.</p><p>b) 17.</p><p>c) 16.</p><p>d) 15.</p><p>e) 14.</p><p>(FGV/SEMSA Manaus/2022) Considere um número N, inteiro e positivo, tal que 36 e 54 são ambos</p><p>divisíveis por N.</p><p>A soma dos possíveis valores de N é</p><p>a) 27.</p><p>b) 32.</p><p>c) 36.</p><p>d) 39.</p><p>e) 54.</p><p>(FGV/PM SP/2021) 180 soldados serão posicionados no pátio do quartel, arrumados em linhas e</p><p>colunas, de maneira a formar um retângulo perfeito. Sabe se que tanto o número de linhas quanto o</p><p>número de colunas do retângulo não podem ser menores que 5.</p><p>O maior número de arrumações possíveis para esse retângulo de soldados é</p><p>a) 4.</p><p>b) 5.</p><p>c) 7.</p><p>d) 10.</p><p>e) 12.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>173</p><p>198</p><p>Cebraspe</p><p>(CESPE/SERPRO/2021) Suponha que sejam gerados 5 números válidos de CPF para serem atribuídos a</p><p>5 indivíduos distintos.</p><p>Com base nessas informações, julgue o item a seguir.</p><p>Suponha que a seja o último dígito de um dos CPFs gerados, que b seja o último dígito de outro desses</p><p>CPFs e que a e b sejam números ímpares consecutivos. Nessa situação, a + b é múltiplo de 4.</p><p>(CESPE/PC DF/2021) No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma</p><p>assertiva a ser julgada.</p><p>Um foragido da justiça, que gostava de se exibir perante seus comparsas e conhecia um pouco de</p><p>matemática, ligou para a polícia e passou as seguintes informações: “em 30 minutos, eu estarei na rua</p><p>Alfa, em uma casa, do lado direito da rua, cujo número tem as seguintes características: é inferior a</p><p>1.000, o algarismo das centenas é igual ao número de diagonais de um retângulo e, além disso, a parte</p><p>do número formada só pelos algarismos das dezenas e das unidades é múltiplo de 7”. Uma viatura foi</p><p>deslocada para o intervalo de casas da rua Alfa correspondente ao algarismo das centenas revelado. Lá</p><p>chegando, os policiais verificaram que, nesse trecho da rua Alfa, os números das casas tinham as</p><p>seguintes características: os algarismos das dezenas e das unidades começavam de 01 e de uma casa</p><p>para a próxima eram acrescentadas 8 unidades. Nessa situação, o número da casa informado pelo</p><p>foragido é inferior a 250.</p><p>(CESPE/Pref. São Cristóvão/2019) Julgue o item a seguir, relativo a sequências numéricas.</p><p>A quantidade de números inteiros múltiplos de 19 que estão entre 1.234 e 4.321 é inferior a 160.</p><p>(CESPE/SEFAZ RS/2018) Uma assistente administrativa rasgou em n pedaços uma folha de papel que</p><p>continha informação considerada sigilosa. Como ainda era possível ler alguma informação em um desses</p><p>pedaços, ela rasgou-o também em n pedaços. Receosa de que a informação sigilosa pudesse ser</p><p>recuperada de um desses últimos pedaços, rasgou-o também em n pedaços.</p><p>Assinale a opção que indica uma quantidade possível de pedaços em que a folha foi rasgada.</p><p>a) 15</p><p>b) 26</p><p>c) 28</p><p>d) 30</p><p>e) 36</p><p>(CESPE/FUB/2018) Paulo, Maria e João, servidores lotados em uma biblioteca pública, trabalham na</p><p>catalogação dos livros recém-adquiridos. Independentemente da quantidade de livros a serem</p><p>catalogados em cada dia, Paulo cataloga 1/4, Maria cataloga 1/3 e João, 5/12.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>174</p><p>198</p><p>A respeito da catalogação de livros por esses servidores, julgue o item a seguir.</p><p>Sempre que trabalharem de segunda-feira a sexta-feira, os três servidores catalogarão uma quantidade</p><p>de livros que será um número múltiplo de 12.</p><p>(CESPE/Pref. SL/2017) A quantidade N de pacotes de arroz distribuídos no primeiro trimestre para as</p><p>6 escolas de determinado município é um número de três algarismos que pode ser escrito na forma N =</p><p>X3Y, em que X e Y são dois algarismos entre 0 e 9. Sabe-se que cada escola recebeu a mesma quantidade</p><p>de pacotes das demais e o número N é o maior possível que atende às condições descritas.</p><p>Nessa situação, a quantidade de pacotes de arroz distribuídos no primeiro trimestre para as 6 escolas do</p><p>município foi</p><p>a) superior a 800 e inferior a 900.</p><p>b) superior a 900.</p><p>c) inferior a 600.</p><p>d) superior a 600 e inferior a 700.</p><p>e) superior a 700 e inferior a 800.</p><p>(CESPE/SECTI DF/2014) Acerca das propriedades dos conjuntos numéricos, julgue o item a seguir.</p><p>Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração</p><p>𝟏𝟒𝟐𝒓+𝟏 é um número inteiro.</p><p>(CESPE/PC DF/2013) Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em</p><p>locais de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo masculino, julgue o</p><p>seguinte item.</p><p>É impossível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham a mesma</p><p>quantidade de mulheres e a mesma quantidade de homens.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>175</p><p>198</p><p>FCC</p><p>(FCC/TRT 19/2022) O número inteiro x, quando dividido por 6, tem resto 3. O resto da divisão de 4x</p><p>por 6 é:</p><p>a) 4</p><p>b) 0</p><p>c) 2</p><p>d) 1</p><p>e) 3</p><p>(FCC/TRT 19/2022) Maria quer cortar uma corda em 6 pedaços de mesmo tamanho e marca os pontos</p><p>onde deverá efetuar os cortes. José quer cortar a mesma corda em 8 pedaços de mesmo tamanho e</p><p>também marca os pontos onde a corda deve ser cortada. Carlos corta a corda em todos os pontos</p><p>marcados por Maria e José. O número de pedaços de corda resultante é:</p><p>a) 11</p><p>b) 13</p><p>c) 10</p><p>d) 12</p><p>e) 9</p><p>(FCC/TRT 22/2022) O número 150 foi multiplicado por 2 ou por 3. Em seguida, ao resultado do</p><p>produto, foi somado 1 ou 2. Por fim, o número obtido foi dividido por 3 ou 4. Sabendo-se que a divisão</p><p>teve resto zero, o quociente da divisão foi</p><p>a) 112.</p><p>b) 114.</p><p>c) 113.</p><p>d) 111.</p><p>e) 110.</p><p>(FCC/TRT 9/2022) Em uma loja há entre 30 e 50 troféus em miniatura. A funcionária da loja agrupou-</p><p>os de 5 a 5 e sobrou-lhe um troféu. Depois, agrupou-os de 3 a 3 e não sobrou nenhum troféu.</p><p>O número exato de troféus na loja é:</p><p>a) 41.</p><p>b) 39.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>176</p><p>198</p><p>c) 36.</p><p>d) 48.</p><p>e) 42.</p><p>(FCC/SABESP/2018) O total de 168 lanches foram servidos para x pessoas, sendo que todas receberam</p><p>o mesmo número de lanches e não sobraram lanches sem serem distribuídos entre essas pessoas. Não</p><p>sendo possível servir frações de lanche para as pessoas e sendo x um número entre 5 e 30, o total de</p><p>possibilidades diferentes para x é igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 9</p><p>c) 8</p><p>d) 5</p><p>e) 7</p><p>(FCC/METRO SP/2015) A área de um retângulo é 144 m². Sabe-se que as medidas do comprimento e</p><p>da largura desse retângulo, em metros, são número inteiros positivos, e que o comprimento é maior do</p><p>que a largura. Apenas com os dados fornecidos, o total de possibilidades numéricas diferentes para o</p><p>comprimento desse retângulo é igual a</p><p>a) cinco.</p><p>b) seis.</p><p>c) nove.</p><p>d) sete.</p><p>e) oito.</p><p>(FCC/SABESP/2018) De modo geral, um ano bissexto é todo aquele que é múltiplo de 4. Porém, essa</p><p>regra tem uma exceção: mesmo que o ano seja múltiplo de 4, se ele também for múltiplo de 100, ele</p><p>deixa de ser bissexto.</p><p>Essa última regra tem outra exceção: se o ano for múltiplo de 100, mas também for múltiplo de 400, ele</p><p>volta a ser bissexto.</p><p>Considerando essas informações, é correto afirmar que existem anos que são</p><p>a) múltiplos de 400 e não são bissextos.</p><p>b) múltiplos de 100 e são bissextos.</p><p>c) bissextos e não são múltiplos de 4.</p><p>d) ímpares e são bissextos.</p><p>e) bissextos e não são múltiplos de 2.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>177</p><p>198</p><p>(FCC/TRT 6/2018) O número natural x possui ao todo três divisores positivos distintos. O número</p><p>natural y possui ao todo três divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior</p><p>que 30 e menor que 40. A soma x + y é igual a</p><p>a) 12.</p><p>b) 14.</p><p>c) 13.</p><p>d) 16.</p><p>e) 19.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>178</p><p>198</p><p>Vunesp</p><p>(VUNESP/EsFCEx/2020) Se o número inteiro 𝟐𝒂. 𝟑𝒃. 𝟏𝟏𝒄 (sendo 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ N) divide o número 1056,</p><p>então o número de divisores positivos e negativos de 1056 é igual a</p><p>a) 36.</p><p>b) 24.</p><p>c) 44.</p><p>d) 12.</p><p>e) 48.</p><p>(VUNESP/ISS Osasco/2019) As tarefas numeradas de 1 a 50 devem ser realizadas no prazo dos cinco</p><p>dias úteis de uma semana. A pessoa que vai realizar as tarefas decidiu fazer aquelas que estão</p><p>numeradas com um múltiplo de 3 na segunda-feira. Das que sobrarem, ela fará as numeradas por</p><p>múltiplo de 4 na terça-feira. Das que sobrarem, ela</p><p>fará as numeradas por múltiplo de 5 na quarta-feira.</p><p>Seguindo o mesmo padrão, das que sobrarem, ela fará as numeradas por múltiplo de 6 na quinta-feira e,</p><p>por fim, fará as que restarem na sexta-feira. Sendo assim, essa pessoa terá que realizar na sexta-feira um</p><p>total de tarefas igual a</p><p>a) 17.</p><p>b) 18.</p><p>c) 19.</p><p>d) 20.</p><p>e) 21.</p><p>(VUNESP/CM Poá/2016) Seja X um número inteiro, positivo e menor do que 100. O resto da divisão</p><p>de X por 5 é igual a 1, e o resto da divisão de X por 11 é igual a 7. A soma dos algarismos de X é igual a</p><p>a) 6.</p><p>b) 7.</p><p>c) 8.</p><p>d) 9.</p><p>e) 10.</p><p>(VUNESP/Pref. Araçatuba/2019) Ariel, Gabriel e Rafael frequentam a mesma academia. Ariel vai à</p><p>academia a cada 2 dias, Gabriel, a cada 3 dias, e Rafael, a cada 4 dias. Incluindo o dia primeiro de março,</p><p>quando os 3 estiveram na academia, até o dia 15 de março, o número de dias em que pelo menos dois</p><p>desses garotos estiveram na academia, no mesmo dia, foi</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>179</p><p>198</p><p>==1365fc==</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>180</p><p>198</p><p>GABARITO - MULTIBANCAS</p><p>Múltiplos e Divisores</p><p>LETRA B</p><p>LETRA E</p><p>LETRA A</p><p>LETRA B</p><p>LETRA E</p><p>CERTO</p><p>LETRA A</p><p>LETRA B</p><p>LETRA A</p><p>CERTO</p><p>CERTO</p><p>LETRA D</p><p>CERTO</p><p>LETRA A</p><p>LETRA C</p><p>LETRA C</p><p>LETRA B</p><p>LETRA E</p><p>LETRA B</p><p>LETRA D</p><p>LETRA E</p><p>LETRA C</p><p>LETRA D</p><p>LETRA D</p><p>LETRA E</p><p>LETRA E</p><p>LETRA E</p><p>LETRA C</p><p>LETRA D</p><p>LETRA D</p><p>CERTO</p><p>CERTO</p><p>ERRADO</p><p>LETRA C</p><p>CERTO</p><p>LETRA B</p><p>CERTO</p><p>ERRADO</p><p>LETRA B</p><p>LETRA D</p><p>LETRA C</p><p>LETRA C</p><p>LETRA C</p><p>LETRA D</p><p>LETRA B</p><p>LETRA C</p><p>LETRA E</p><p>LETRA E</p><p>LETRA A</p><p>LETRA D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>181</p><p>198</p><p>LISTA DE QUESTÕES - MULTIBANCAS</p><p>MMC e MDC</p><p>Outras Bancas</p><p>(FUMARC/ALMG/2023) Determinada empresa de produção de dados cúbicos pretende realizar uma</p><p>entrega armazenando esses cubos em caixas retangulares de dimensões 18 cm, 30 cm e 48 cm.</p><p>O menor número total de dados cúbicos iguais que enchem totalmente essa caixa é igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 120</p><p>c) 144</p><p>d) 240</p><p>(IBFC/CBM AC/2022) Num caminhão do corpo de Bombeiros, a manutenção dos equipamentos é feita</p><p>da seguinte forma:</p><p>Escada: a cada dois dias.</p><p>Extintores: a cada três dias.</p><p>Mangueiras: a cada cinco dias.</p><p>Hoje, todos esses equipamentos estão sendo revisados ao mesmo tempo. Podemos afirmar que isso irá</p><p>ocorrer novamente em _____ dias. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna.</p><p>a) 10</p><p>b) 30</p><p>c) 40</p><p>d) 15</p><p>(FUNDATEC/Pref Flores da Cunha/2022) Pedro e João trabalham no setor de almoxarifado de uma</p><p>empresa e eventualmente trabalham em regime de plantões para atualização do sistema. Sabe-se que</p><p>Pedro realiza seus plantões a cada 6 dias e João a cada 8 dias. Supondo que o último plantão foi realizado</p><p>por Pedro e João juntos, no dia 28 de março, a próxima data em que ambos realizarão o plantão juntos</p><p>corresponde ao dia:</p><p>a) 18 de abril.</p><p>b) 19 de abril.</p><p>c) 20 de abril.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>182</p><p>198</p><p>d) 21 de abril.</p><p>e) 22 de abril.</p><p>(FEPESE/FCEE/2022) Um pai se encontra com seu filho a cada 15 meses e com sua filha a cada 12</p><p>meses.</p><p>Se o pai encontra o filho e a filha simultaneamente hoje, em quantos meses ele irá voltar a ver o filho e a</p><p>filha simultaneamente?</p><p>a) 60</p><p>b) 45</p><p>c) 40</p><p>d) 30</p><p>e) 24</p><p>(FEPESE/FCEE/2022) Para seu casamento Bianca compra 900 rosas vermelhas e 120 rosas brancas.</p><p>Com estas rosas, Bianca irá fazer o maior número de buquês que contenham, cada um, o mesmo número</p><p>de rosas de cada cor e ao final nenhuma rosa sobrará.</p><p>Logo, o número de buquês que Bianca irá fazer é:</p><p>a) Maior que 75.</p><p>b) Maior que 65 e menor que 75.</p><p>c) Maior que 55 e menor que 65.</p><p>d) Maior que 45 e menor que 55.</p><p>e) Menor que 45.</p><p>(Instituto Consulplan/Pref Linhares/2022) Durante uma operação da polícia militar, o comandante</p><p>tinha à sua disposição 72 motocicletas e 135 carros para deslocar os seus militares. Após fazer algumas</p><p>contas, decidiu que gostaria de obter equipes igualmente divididas com o mesmo número máximo de</p><p>veículos, não podendo ter carro e moto na mesma equipe. Quantas equipes o comandante formou e com</p><p>quantos veículos?</p><p>a) 3 equipes com 69 veículos.</p><p>b) 9 equipes com 23 veículos.</p><p>c) 23 equipes com 9 veículos.</p><p>d) 69 equipes com 3 veículos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>183</p><p>198</p><p>(FUNDEP/Pref Mariana/2022) Vítor não estava se sentindo bem e, preocupado com sua saúde, foi ao</p><p>médico. Na consulta, o médico prescreveu a ele a ingestão de três remédios: o A de 6 em 6 horas, o B de</p><p>8 em 8 horas, e o C de 12 em 12 horas.</p><p>No dia 13/10/2018, Vítor iniciou o tratamento tomando às 14 horas a primeira dose, simultânea, dos três</p><p>medicamentos.</p><p>Considerando a primeira dose ingerida, e que Vítor manteve a frequência e o cumprimento sistemático</p><p>do horário de tomar os medicamentos, quantas vezes ele terá tomado os três remédios ao mesmo</p><p>tempo até as 10 horas do dia 17/10/2018?</p><p>a) 4.</p><p>b) 5.</p><p>c) 6.</p><p>d) 7.</p><p>(IBADE/SEA SC/2022) Três amigas estão treinando para uma corrida dando voltas em uma quadra de</p><p>futebol, mantendo sempre o ritmo constante. Bruna, Marcela e Ana Júlia completam uma volta na</p><p>quadra em 40, 60 e 70 segundos, respectivamente. Considerando que elas começaram a correr</p><p>simultaneamente a partir do mesmo ponto às 7horas, o próximo horário em que as três passarão juntas</p><p>pelo ponto de partida será às:</p><p>a) 7h20min.</p><p>b) 7h15min.</p><p>c) 7h10min.</p><p>d) 7h14min.</p><p>e) 7h12min.</p><p>(FEPESE/CELESC/2022) Em um armazém, encontram-se estocados 1800 conectores vermelhos e 3150</p><p>conectores pretos.</p><p>Deseja-se empacotar todos os conectores, de modo que cada pacote contenha somente conectores de</p><p>uma mesma cor e todos os pacotes tenham o mesmo número de conectores.</p><p>Portanto, o número mínimo de pacotes necessários para satisfazer as restrições expostas é:</p><p>a) Maior que 13.</p><p>b) 13.</p><p>c) 12.</p><p>d) 11.</p><p>e) Menor que 11.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>184</p><p>198</p><p>(Instituto AOCP/ISS Pinhais/2022) Ao receitar 3 medicamentos distintos, o Dr. Manoel disse que</p><p>todos deveriam ser tomados às 7 horas da manhã de segunda-feira. Sabendo que a frequência da</p><p>medicação era de 8 em 8 horas, de 10 em 10 horas e de 12 em 12 horas, em qual horário o paciente</p><p>tomará os 3 remédios juntos novamente?</p><p>a) Sexta-feira às 7 horas.</p><p>b) Sexta-feira às 19 horas.</p><p>c) Sábado às 7 horas.</p><p>d) Sábado às 19 horas.</p><p>e) Domingo às 7 horas.</p><p>(Instituto AOCP/Pref Pinhais/2022) A arrecadação de alimentos não perecíveis em uma campanha da</p><p>Secretaria de Serviço Social foi um sucesso. Foram arrecadados 128 quilos de arroz, 72 quilos de feijão e</p><p>96 quilos de fubá. Esses alimentos foram separados em cestas básicas com a mesma quantidade de peso</p><p>de cada alimento em cada uma delas. Qual é o número máximo de cestas básicas que podem ser feitas</p><p>sem que sobre alimentos?</p><p>a) 6</p><p>b) 12</p><p>c) 14</p><p>d) 10</p><p>e) 8</p><p>(IBFC/MGS/2022) Um carpinteiro possui duas tábuas cujas medidas são 48 cm e 72 cm e quer dividi-</p><p>las em pedaços iguais, cujas medidas tenham o maior tamanho possível sem que haja sobra. Nessas</p><p>condições, assinale a alternativa que apresenta o total de pedaços que ele terá.</p><p>a)</p><p>5</p><p>b) 6</p><p>c) 8</p><p>d) 10</p><p>(FEPESE/CINCATARINA/2022) Se os alunos da turma A de um colégio forem organizados em grupos de</p><p>4 ou 6 ou 9 alunos, sempre sobrarão 2 alunos.</p><p>Se a escola decide aumentar o número de alunos na turma A para 52, então o número de novos alunos</p><p>que devem entrar na turma A é:</p><p>a) Maior que 24.</p><p>b) Maior que 21 e menor que 24.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>185</p><p>198</p><p>==1365fc==</p><p>c) Maior que 18 e menor que 21.</p><p>d) Maior que 15 e menor que 18.</p><p>e) Menor que 15.</p><p>(QUADRIX/COREN AP/2022) Para fazer um penteado, Jéssica precisa de grampos e de presilhas. Os</p><p>grampos são vendidos em embalagens com 8 unidades e as presilhas, em embalagens com 6 unidades.</p><p>Com base nesse caso hipotético, julgue o item.</p><p>O menor número de embalagens que Jéssica deve comprar para ter o mesmo total de grampos e</p><p>presilhas é igual a 14.</p><p>(FUNDATEC/Pref Candelária/2022) Para as lembrancinhas de um aniversário infantil, foram</p><p>comprados 60 balas e 80 pirulitos. Cada criança convidada receberá a mesma quantidade de balas e</p><p>pirulitos. Sabendo que não sobrará nenhuma bala ou pirulito, assinale a alternativa que corresponde</p><p>corretamente ao maior número de lembrancinhas que serão produzidas e a quantidade de balas e</p><p>pirulitos que haverá em cada lembrancinha.</p><p>a) 18 lembrancinhas contendo 6 balas e 4 pirulitos.</p><p>b) 18 lembrancinhas contendo 3 balas e 4 pirulitos.</p><p>c) 20 lembrancinhas contendo 1 balas e 4 pirulitos.</p><p>d) 20 lembrancinhas contendo 3 balas e 4 pirulitos.</p><p>e) 20 lembrancinhas contendo 4 balas e 3 pirulitos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>186</p><p>198</p><p>FGV</p><p>(FGV/CMSP/2024) Utilizando apenas pesos de 200g e de 350g, o número mínimo de pesos que devem</p><p>ser reunidos para que se obtenha exatamente 4kg é</p><p>a) 12</p><p>b) 14</p><p>c) 16</p><p>d) 18</p><p>e) 20</p><p>(FGV/TRT-PB/2022) Laura coleciona figurinhas. Ontem ela arrumou suas figurinhas em montinhos de</p><p>6 figurinhas cada e não faltou nem sobrou figurinha alguma. Hoje ela fez uma nova arrumação com as</p><p>mesmas figurinhas, dessa vez em montinhos de 10 figurinhas cada um e também não faltou nem sobrou</p><p>figurinha alguma.</p><p>O número mínimo de figurinhas que Laura pode ter é M.</p><p>A soma dos algarismos de M é</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>(FGV/CBM-RJ/2022) Max e Rubens estão andando de bicicleta em uma pista circular. Eles andam em</p><p>sentidos opostos. Max dá uma volta na pista a cada 6 minutos e Rubens dá uma volta na pista a cada 10</p><p>minutos. Em um determinado momento eles se cruzam em um ponto P da pista.</p><p>Eles voltarão a se cruzar pela primeira vez nesse mesmo ponto P após</p><p>a) 6 minutos.</p><p>b) 10 minutos.</p><p>c) 24 minutos.</p><p>d) 30 minutos.</p><p>e) 60 minutos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>187</p><p>198</p><p>(FGV/PM SP/2022) Seja M o menor número inteiro, maior do que 2, que, dividido por 3, por 5, ou por</p><p>7, deixa sempre resto 2.</p><p>A soma dos algarismos de M é</p><p>a) 8.</p><p>b) 9.</p><p>c) 10.</p><p>d) 12.</p><p>e) 15.</p><p>(FGV/SEAD-AP/2022) O mínimo múltiplo comum entre A e B é 24 e o mínimo múltiplo comum entre B</p><p>e C é 75.</p><p>O menor valor que o mínimo múltiplo comum entre A e C pode ter é</p><p>a) 100.</p><p>b) 120.</p><p>c) 150.</p><p>d) 180.</p><p>e) 200.</p><p>(FGV/SEFAZ AM/2022) Um pote contém entre 150 e 200 balas. Miguel reparou que separando essas</p><p>balas em grupos de 5 sobravam 2 balas, e que, separando em grupos de 7, sobravam também 2 balas.</p><p>Se Miguel separasse as balas em grupos de 9 balas, sobrariam</p><p>a) 0.</p><p>b) 2.</p><p>c) 4.</p><p>d) 6.</p><p>e) 8.</p><p>(FGV/IBGE/2017) João recebeu 32 relatórios verdes e 40 relatórios vermelhos. Ele deve colocar esses</p><p>relatórios em envelopes da seguinte forma:</p><p>• Todos os envelopes devem conter a mesma quantidade de relatórios.</p><p>• Nenhum envelope pode misturar relatórios de cores diferentes.</p><p>Cumprindo essas exigências, o menor número de envelopes que ele precisará utilizar é:</p><p>a) 8;</p><p>b) 9;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>188</p><p>198</p><p>c) 12;</p><p>d) 16;</p><p>e) 18.</p><p>(FGV/TCE-BA/2014) Em uma serraria há dez varas de madeira: cinco de 1,40m de comprimento, três</p><p>de 1,80m e duas de 2,40m. Essas varas devem ser cortadas em pedaços iguais, com o maior comprimento</p><p>possível e aproveitando toda a madeira.</p><p>A quantidade de pedaços que será obtida é</p><p>a) 30.</p><p>b) 43.</p><p>c) 86.</p><p>d) 172.</p><p>e) 344.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>189</p><p>198</p><p>Cebraspe</p><p>(CESPE/IFF/2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de</p><p>bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8</p><p>dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias.</p><p>Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles</p><p>trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui a</p><p>a) 30 dias.</p><p>b) 74 dias.</p><p>c) 120 dias.</p><p>d) 240 dias.</p><p>e) 960 dias.</p><p>(CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se</p><p>segue.</p><p>Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e menor que 700.</p><p>Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo com 3 revistas.</p><p>O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em conjuntos de 20 revistas:</p><p>sempre sobrava um conjunto com 3 revistas.</p><p>Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 563 revistas.</p><p>Texto para as próximas questões</p><p>Considerando que dois álbuns de fotos, com x e y páginas, sejam montados com o menor número possível</p><p>de capítulos — divisão das fotos por eventos — e que cada capítulo, nos dois álbuns, deva ter o mesmo</p><p>número z de páginas, julgue os itens subsequentes.</p><p>(CESPE/TRT 17/2013) Se x = 96 e y = 128, então z = 32.</p><p>(CESPE/TRT 17/2013) Se x é divisor de y, então z = x.</p><p>(CESPE/TRT 17/2013) z é múltiplo de x.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>190</p><p>198</p><p>FCC</p><p>(FCC/TRT 9/2022) Em uma escola de basquete há 40 rapazes e 32 moças. Para um treino a professora</p><p>quer formar grupos com todos os rapazes e moças. Os grupos deverão ter a mesma composição em</p><p>relação ao número de moças e de rapazes.</p><p>O maior número de grupos com essas condições é:</p><p>a) 6.</p><p>b) 4.</p><p>c) 2.</p><p>d) 8.</p><p>e) 16.</p><p>(FCC/TRT 4/2022) Em um auditório, sabe-se que há entre 300 e 400 cadeiras e que elas podem ser</p><p>arrumadas tanto em 24 fileiras com o mesmo número de cadeiras em cada uma delas, como em 30</p><p>fileiras, também com o mesmo número de cadeiras em cada uma. A soma dos algarismos do número</p><p>total de cadeiras no auditório é igual a:</p><p>a) 6</p><p>b) 8</p><p>c) 7</p><p>d) 9</p><p>e) 10</p><p>(FCC/TRT 4/2022) Cento e oitenta bombons, sendo noventa e seis de chocolate meio amargo e</p><p>oitenta e quatro de chocolate ao leite, devem ser colocados em caixas. As caixas devem ter o mesmo</p><p>número de bombons, e cada caixa deve ter apenas bombons de um mesmo sabor. O menor número de</p><p>caixas a serem compradas é:</p><p>a) 10</p><p>b) 9</p><p>c) 12</p><p>d) 18</p><p>e) 15</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>191</p><p>198</p><p>(FCC/TRT 9/2022) Luciana é professora de italiano e dá aula de 14 em 14 dias, Domingos é professor</p><p>de espanhol e dá aulas de 4 em</p><p>4 dias, e Ana é professora de francês e dá aulas de 7 em 7 dias. Os três</p><p>dão aulas na mesma escola de línguas. Sabendo que deram aula no dia 29 de junho de 2022, a próxima</p><p>data em que se encontrarão na escola para dar aula é</p><p>a) 24 de julho de 2022.</p><p>b) 20 de julho de 2022.</p><p>c) 03 de agosto de 2022.</p><p>d) 10 de agosto de 2022.</p><p>e) 27 de julho de 2022.</p><p>(FCC/MANAUSPREV/2021) O segurança do bloco A de uma empresa precisa registrar sua digital em</p><p>um equipamento de 16 em 16 minutos. Nesse mesmo equipamento, o segurança do bloco B precisa</p><p>registrar sua digital de 48 em 48 minutos. Se os dois seguranças registraram juntos suas digitais às 9h15 e</p><p>terminam seu expediente de trabalho às 16h30, o último horário do expediente que eles irão registrar</p><p>juntos suas digitais no equipamento será às</p><p>a) 16h27.</p><p>b) 15h55.</p><p>c) 16h11.</p><p>d) 16h19.</p><p>e) 15h39.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>192</p><p>198</p><p>Vunesp</p><p>(VUNESP/ISS Santo André/2024) O fluxo de veículos em certo trecho de uma via é controlado por dois</p><p>semáforos que possuem apenas a luz verde (indicando que a passagem está liberada) e a luz vermelha</p><p>(indicando proibição de passagem). Um desses semáforos fica com a luz verde acesa por 1 minuto e 10</p><p>segundos, e outro, por 2 minutos e 30 segundos, e passam, ao fim de cada fase verde, para a fase</p><p>vermelha. Esses dois semáforos ficam 50 segundos na fase vermelha, passando em seguida para a fase</p><p>verde. Considerando que à 0h de certo dia os dois semáforos iniciaram a liberação de passagem, nesse</p><p>dia, o último momento em que esses semáforos iniciaram a fase vermelha foi às</p><p>a) 23h59min10s.</p><p>b) 23h59min20s.</p><p>c) 23h59min30s.</p><p>d) 23h59min40s.</p><p>e) 23h59min50s.</p><p>(VUNESP/Pref Piracicaba/2023) Um padeiro assa uma fornada de pães salgados, uma de pães doces e</p><p>uma de pães de queijo às 6 horas da manhã. Em seguida, a cada duas horas, ele assa uma fornada de</p><p>pães salgados, a cada três horas uma de pães doces, e, a cada quatro horas, uma de pães de queijo.</p><p>Ele torna a assar as três fornadas juntas às</p><p>a) 12 horas.</p><p>b) 14 horas.</p><p>c) 15 horas.</p><p>d) 16 horas.</p><p>e) 18 horas.</p><p>(VUNESP/Pref Jaguariúna/2023) Carlos executa duas atividades profissionais, A e B,</p><p>independentemente de ser dia útil, final de semana ou feriado. A cada 3 dias de execução da atividade A,</p><p>ele folga o dia seguinte, e a cada 5 dias de execução da atividade B, ele também folga o dia seguinte.</p><p>Sabendo-se que em 15 de dezembro de 2022 ele folgou o dia, em ambas as atividades, pode-se</p><p>corretamente afirmar que, em fevereiro de 2023, um dos dias em que ele estará de folga, em ambas as</p><p>atividades, será o dia</p><p>a) 24.</p><p>b) 25.</p><p>c) 26.</p><p>d) 27.</p><p>e) 28.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>193</p><p>198</p><p>(VUNESP/PM SP/2023) Um entregador de mercadorias faz suas entregas em determinado comércio a</p><p>cada 8 dias e em outro comércio a cada 12 dias, independentemente de o dia ser útil ou não. No último</p><p>dia de 2022, um sábado, o entregador fez suas entregas em ambos os comércios. Logo, em fevereiro de</p><p>2023, ele fará suas entregas nestes comércios, em um mesmo dia, em uma</p><p>a) segunda-feira.</p><p>b) quarta-feira.</p><p>c) terça-feira.</p><p>d) sexta-feira.</p><p>e) quinta-feira.</p><p>(VUNESP/Pref Sertãozinho/2023) Tem-se uma quantidade, menor que 100 unidades, de certo</p><p>produto que pode ser separado em grupos contendo 12 unidades cada, ou em grupos contendo 14</p><p>unidades cada, sem sobras. Para que essa quantidade de produtos possa ser separada em grupos</p><p>contendo 13 unidades cada, o número mínimo de unidades que devem ser adicionadas à quantidade que</p><p>se tem deve ser igual a</p><p>a) 5.</p><p>b) 6.</p><p>c) 7.</p><p>d) 8.</p><p>e) 9.</p><p>(VUNESP/ISS Jaguariúna/2023) Em uma empresa de grande porte, composta por uma matriz e uma</p><p>filial, será feita uma grande admissão de funcionários: 150 funcionários para trabalharem na matriz e 60</p><p>funcionários para trabalharem na filial. Para a primeira semana de treinamento, todos esses novos</p><p>funcionários serão divididos em grupos, todos contendo a mesma quantidade de funcionários, sendo que</p><p>cada grupo terá x funcionários que trabalharão na matriz e y funcionários que trabalharão na filial. Se a</p><p>quantidade de funcionários nos grupos tem que ser a menor possível, então, em cada grupo, a diferença</p><p>x – y será igual a</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>194</p><p>198</p><p>(VUNESP/Pref. Sorocaba/2023) Suponha que você tenha disponível R$ 18.000,00, em cédulas de R$</p><p>50,00, e R$ 15.000,00, em cédulas de R$ 20,00, e precise dividir toda essa quantia no maior número de</p><p>partes possível, todas contendo o mesmo valor, em reais, sendo nas quantidades de x cédulas de R$</p><p>20,00 e de y cédulas de R$ 50,00, em cada parte. Nesse caso, em cada parte, o valor em notas de R$</p><p>20,00 deverá ser menor que o valor em notas de R$ 50,00 em</p><p>a) R$ 120,00.</p><p>b) R$ 100,00.</p><p>c) R$ 80,00.</p><p>d) R$ 60,00.</p><p>e) R$ 40,00.</p><p>(VUNESP/DPE SP/2023) Um ajudante de uma loja de ferragens precisa distribuir, em saquinhos de</p><p>plásticos, três tipos diferentes de parafusos, de agora em diante identificados com tipo A, B e C. Todos os</p><p>saquinhos devem conter a mesma quantidade de parafusos e sempre parafusos de um mesmo tipo.</p><p>Também foi pedido ao ajudante que cada saquinho tivesse a maior quantidade possível de parafusos.</p><p>Sabendo que são 132 parafusos do tipo A, 180 parafusos do tipo B e 228 parafusos do tipo C, o número</p><p>de saquinhos necessários para cumprir essa tarefa é</p><p>a) 30.</p><p>b) 34.</p><p>c) 42.</p><p>d) 45.</p><p>e) 48.</p><p>(VUNESP/Pref. Sorocaba/2022) Três alarmes sonoros distintos foram programados para tocarem a</p><p>cada intervalo constante de tempo. Um deles foi programado para tocar a cada 6 horas; o outro, a cada 5</p><p>horas; e o terceiro, para tocar a cada 4 horas. Às 8 horas de determinada segunda-feira, os três alarmes</p><p>tocaram juntos.</p><p>A vez imediatamente posterior em que esses três alarmes tocaram em um mesmo horário foi às</p><p>a) 22 horas da terça-feira seguinte.</p><p>b) 13 horas da quarta-feira seguinte.</p><p>c) 20 horas da quarta-feira seguinte.</p><p>d) 6 horas da quinta-feira seguinte.</p><p>e) 14 horas da quinta-feira seguinte.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>195</p><p>198</p><p>(VUNESP/PERUÍBEPREV/2022) Em 2020, no dia 8 de fevereiro, André começou a ler um livro com 288</p><p>páginas; no dia 11 de fevereiro, Bianca começou a leitura de um livro de 279 páginas; no dia 2 de</p><p>fevereiro, Carlos iniciou um livro com 315 páginas. Esses três amigos combinaram antecipadamente que,</p><p>até terminarem seus respectivos livros, leriam um mesmo número de páginas por dia, sendo esse</p><p>número o maior possível. Quando Carlos terminou de ler o seu livro, os números de dias que ainda</p><p>faltavam para André e Bianca terminarem os seus livros eram, respectivamente,</p><p>a) 1 e 2.</p><p>b) 1 e 3.</p><p>c) 2 e 3.</p><p>d) 3 e 3.</p><p>e) 3 e 5.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>196</p><p>198</p><p>GABARITO - MULTIBANCAS</p><p>MMC e MDC</p><p>LETRA B</p><p>LETRA B</p><p>LETRA D</p><p>LETRA A</p><p>LETRA C</p><p>LETRA C</p><p>LETRA A</p><p>LETRA D</p><p>LETRA D</p><p>LETRA C</p><p>LETRA E</p><p>LETRA A</p><p>LETRA E</p><p>ERRADO</p><p>LETRA D</p><p>LETRA B</p><p>LETRA B</p><p>LETRA D</p><p>LETRA A</p><p>LETRA E</p><p>LETRA D</p><p>LETRA B</p><p>LETRA C</p><p>LETRA C</p><p>CERTO</p><p>CERTO</p><p>CERTO</p><p>ERRADO</p><p>LETRA D</p><p>LETRA D</p><p>LETRA E</p><p>LETRA E</p><p>LETRA A</p><p>LETRA A</p><p>LETRA E</p><p>LETRA B</p><p>LETRA D</p><p>LETRA C</p><p>LETRA B</p><p>LETRA B</p><p>LETRA D</p><p>LETRA C</p><p>LETRA E</p><p>Equipe Exatas Estratégia</p><p>Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>197</p><p>198</p><p>Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>18</p><p>198</p><p>==1365fc==</p><p>Obtenção dos divisores naturais de um número</p><p>Para obter todos os divisores naturais de um determinado número, realizaremos um exemplo completo para</p><p>melhor entendimento.</p><p>Saiba de antemão que, para obter os divisores naturais, é necessário seguir 3 princípios básicos:</p><p>• O número 1 é sempre um divisor de qualquer número e é por ele que devemos começar o método;</p><p>• Os divisores são obtidos pela multiplicação de um fator primo por todos os divisores anteriores;</p><p>• Não se deve escrever mais de uma vez um divisor já obtido, pois não é necessário.</p><p>Obtenha todos os divisores naturais de 500</p><p>Primeiramente, devemos decompor 500 em fatores primos pelo método tradicional:</p><p>Em seguida, delimitamos a área dos divisores e já escrevemos o divisor 1, pois o número 1 sempre divide</p><p>qualquer número sem deixar resto.</p><p>Agora, para cada fator primo, devemos multiplicá-lo por todos os divisores</p><p>Começaremos pelo primeiro fator primo 2. Esse fator primo pode ser multiplicado pelo divisor 1. Nesse caso,</p><p>obtemos o divisor 2.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>19</p><p>198</p><p>Agora vamos para o segundo fator primo 2. Esse fator primo pode ser multiplicado por todos os divisores já</p><p>obtidos: 1 e 2. Observe que não há necessidade de registrar novamente o divisor 2 proveniente do produto</p><p>2×1. Logo, vamos registrar somente o divisor 4 (2×2)</p><p>Agora vamos para o primeiro fator primo 5. Esse fator primo pode ser multiplicado por todos os divisores já</p><p>obtidos: 1, 2 e 4. Nesse caso, obtemos 1×5 = 5; 2×5 = 10 e 4×5 = 20.</p><p>Agora vamos para o segundo fator primo 5. Esse fator primo pode ser multiplicado por todos os divisores já</p><p>obtidos: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Observe, porém, que não há necessidade de multiplicar o segundo fator 5 por 1,</p><p>2 e 4, pois nesses casos obteríamos divisores que já temos. Logo, vamos multiplicar o segundo fator 5</p><p>somente por 5, 10 e 20.</p><p>Por fim, vamos ao terceiro fator primo 5. Esse fator primo pode ser multiplicado por todos os divisores já</p><p>obtidos. Observe, porém, que só há necessidade de multiplicar esse fator 5 pelos divisores 25, 50 e 100, pois</p><p>a multiplicação pelos outros divisores (1, 2, 4, 5, 10, 20) nos retornaria divisores já obtidos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>20</p><p>198</p><p>Logo, temos os seguintes divisores de 500: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 e 500</p><p>Agora que desenvolvemos o método completo, vamos praticar a obtenção dos divisores. Tente fazer sozinho</p><p>antes de consultar a resolução.</p><p>Obtenha todos os divisores naturais de 282</p><p>Logo, temos os seguintes divisores de 282: 1, 2, 3, 6, 47, 94, 141, 282</p><p>Obtenha todos os divisores naturais de 2900</p><p>Logo, temos os seguintes divisores de 2900: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 29, 50, 58, 100, 116, 145, 290, 580, 725, 1450, 2900</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>21</p><p>198</p><p>Quantidade de divisores naturais de um número</p><p>Para saber a quantidade de divisores naturais de um número qualquer, não é necessário obter todos os</p><p>divisores. Basta decompor o número em fatores primos e, em seguida:</p><p>• Obter todos os expoentes dos fatores primos;</p><p>• Somar 1 a cada um desses expoentes e realizar o produto dos números obtidos.</p><p>Obtenha a quantidade de divisores naturais de 500</p><p>A decomposição em fatores primos de 500 corresponde a 2𝟐 × 5𝟑.</p><p>Os expoentes são 2 e 3.</p><p>A quantidade de divisores de 500 é (𝟐 + 1) × (𝟑 + 1) = 3 × 4 = 12.</p><p>Obtenha a quantidade de divisores naturais de 2900</p><p>A decomposição em fatores primos de 2900 corresponde a 2𝟐 × 5𝟐 × 29𝟏.</p><p>Os expoentes são 2, 2 e 1.</p><p>A quantidade de divisores de 2900 é (𝟐 + 1) × (𝟐 + 1) × (𝟏 + 1) = 3 × 3 × 2 = 18.</p><p>Veja como isso pode ser cobrado.</p><p>(Pref. Recife/2019) O número de divisores inteiros positivos de 600 é</p><p>a) 25.</p><p>b) 23.</p><p>c) 22.</p><p>d) 21.</p><p>e) 24.</p><p>Comentários:</p><p>Perceba que não precisamos saber todos os divisores de 600 para determinar a quantidade de divisores.</p><p>Vamos fatorar 600. 600 = 6 × 100 = (2 × 3) × (10 × 10) = 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 = 2𝟑 × 3𝟏 × 5𝟐</p><p>Os expoentes são 3, 1 e 2.</p><p>A quantidade de divisores de 600 é (𝟑 + 1) × (𝟏 + 1) × (𝟐 + 1) = 4 × 2 × 3 = 24 .</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>22</p><p>198</p><p>Algumas bancas costumam "pegar pesado" em problemas que envolvem quantidade de divisores. Para você</p><p>não ficar despreparado para estas questões difíceis, os elaboramos um bizu fortíssimo.</p><p>Se um número apresenta uma quantidade 𝒑 de divisores naturais, com 𝒑 primo, então esse</p><p>número é da forma 𝒒𝒑−𝟏, sendo 𝒒 também um número primo.</p><p>Vamos mostrar como chegamos nesse resultado.</p><p>Considere um número N que tenha uma quantidade p de divisores, com p primo.</p><p>Ao decompormos N em fatores primos, vamos supor que tenhamos obtido a seguinte fatoração, com 𝑞1, 𝑞2, … 𝑞𝑛 os primos obtidos e 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 seus expoentes, que devem ser maiores ou iguais a 1. 𝑁 = 𝑞1𝑒1 × 𝑞2𝑒2 × … × 𝑞𝑛𝑒𝑛</p><p>Obtida essa fatoração genérica, o número de divisores, que deve ser igual a 𝑝, é representado por: (𝑒1 + 1) × (𝑒2 + 1) × … × (𝑒𝑛 + 1) = 𝑝</p><p>Note que na esquerda da equação temos o produto de números naturais da forma (𝑒𝑖 + 1), que devem ser</p><p>maiores ou iguais a 2, e na direita temos um número primo 𝑝. Veja que não podemos decompor esse número</p><p>primo 𝒑 em um produto de números inteiros maiores do que 2. Isso significa que necessariamente temos</p><p>apenas um fator (𝑒𝑖 + 1). Nossa igualdade fica: (𝑒1 + 1) = 𝑝</p><p>Note que, como temos apenas um fator (𝑒𝑖 + 1), a decomposição do nosso número 𝑋 apresenta apenas um</p><p>número primo 𝑞1 com seu expoente 𝑒1. Além disso, 𝑒1 é dado por: (𝑒1 + 1) = 𝑝 𝑒1 = 𝑝 − 1</p><p>Assim, nosso número com 𝑝 divisores pode ser descrito como 𝑁 = 𝑞𝑝−1.</p><p>Veja como isso pode ser cobrado em questões de concurso público.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>23</p><p>198</p><p>(SABESP/2018) Dois números naturais menores que 10 tem três e apenas três divisores. Dentre os números</p><p>naturais maiores que 10 e menores que 30 há outro número com três e apenas três divisores e mais um com</p><p>cinco e apenas cinco divisores. A soma desses quatro números naturais é</p><p>a) 35</p><p>b) 48</p><p>c) 69</p><p>d) 42</p><p>e) 54</p><p>Comentários:</p><p>Esta era para ser muito difícil. Com o bizu que acabamos de apresentar, fica um pouco mais tranquila. −"Dois números naturais menores que 10 tem três e apenas três divisores".</p><p>Veja que esses dois números naturais apresentam um número primo de divisores, dado por 3. Logo, eles</p><p>podem ser escritos da forma 𝑞3−1 = 𝑞2, com 𝑞 primo. Para serem menores do que dez, eles devem ser 22 = 𝟒 e 32 = 𝟗.</p><p>− “Dentre os números naturais maiores que 10 e menores que 30 há outro número com três e apenas três</p><p>divisores e mais um com cinco e apenas cinco divisores."</p><p>Um número apresenta 3 divisores. Como já vimos, esse número pode ser escrito como 𝑞2. Para esse número</p><p>ficar entre 10 e 30, devemos ter 52 = 𝟐𝟓. Perceba que o quadrado do próximo primo, 72, ultrapassa 30.</p><p>O outro número apresenta 5 divisores. Como 5 é primo, esse número pode ser escrito como 𝑞5−1 = 𝑞4, com 𝑞 primo. Para esse número ficar entre 10 e 30, devemos ter 24 = 𝟏𝟔. Perceba que o próximo primo elevado</p><p>ao expoente 4, 34, ultrapassa 30.</p><p>Os quatro números obtidos são 4, 9, 25 e 16. A soma é dada por: 4 + 9 + 25 + 16 = 54</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>24</p><p>198</p><p>Divisores inteiros de um número</p><p>Até agora, tratamos dos divisores naturais de um número. O que aconteceria se quiséssemos os divisores</p><p>inteiros do número?</p><p>Os divisores inteiros do número são os divisores inteiros positivos e negativos. Já sabemos como obter os</p><p>divisores inteiros positivos: são os divisores naturais. Os divisores inteiros negativos são os positivos com</p><p>sinal trocado.</p><p>Vejamos um exemplo:</p><p>Obtenha os divisores inteiros de 282</p><p>Os divisores inteiros positivos (naturais) são 1, 2, 3, 6, 47, 94, 141, 282.</p><p>Logo, os divisores inteiros (positivos e negativos) são: −1, −2, −3, −6, −47, −94, −141, −282, 1, 2, 3, 6, 47, 94, 141, 282.</p><p>Note que o número de divisores inteiros é sempre o dobro do número de divisores naturais.</p><p>(SEDUC AM/2014) Sendo 𝑦 = 48𝑥+5, o número de valores inteiros de x, para os quais o valor de y também é</p><p>inteiro, é:</p><p>a) 12.</p><p>b) 15.</p><p>c) 16.</p><p>d) 20.</p><p>e) 24.</p><p>Comentários:</p><p>Primeiramente, observe que para</p><p>48𝑥+5 ser inteiro, 𝑥 + 5 deve ser divisor inteiro de 48.</p><p>Vamos obter quantos divisores inteiros de 48 temos. Para tanto, vamos fatorar 48.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>25</p><p>198</p><p>Logo, 48 = 2𝟒 × 3𝟏.</p><p>Temos um total de (𝟒 + 1) × (𝟏 + 1) = 𝟏𝟎 divisores naturais. Como o número de divisores inteiros é</p><p>sempre o dobro do número de divisores naturais, temos 20 divisores inteiros.</p><p>Uma vez que temos 20 divisores inteiros para o número 48, temos 20 valores inteiros para 𝑥 + 5 que farão</p><p>com que a divisão</p><p>48𝑥+5 seja inteira.</p><p>Isso significa que temos 20 valores para 𝑥 que, somados com 5, farão com que a divisão</p><p>48𝑥+5 seja inteira.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>26</p><p>198</p><p>MMC E MDC</p><p>Para obter o MMC entre N números, devemos proceder do seguinte modo:</p><p>• Decompor todos os números em fatores primos;</p><p>• Selecionar todos os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto.</p><p>Existe um método prático para determinar o MMC entre N números. Trata-se do método da</p><p>decomposição simultânea em fatores primos.</p><p>Para realizar a decomposição simultânea de N números em fatores primos, devemos dividir</p><p>simultaneamente os números em questão sucessivas vezes pelos números primos na sequência 2, 3, 5, 7,</p><p>11, 13, 17, 19, etc., mudando de número primo sempre que todos os números obtidos não forem divisíveis</p><p>pelo primo selecionado.</p><p>• Quando temos que realizar um MMC de N números e no meio desses números temos que 𝒂 é múltiplo</p><p>de 𝒃, podemos eliminar 𝒃 do cálculo do MMC.</p><p>• Se tivermos N números e um deles é múltiplo de todos os outros, esse número é o MMC.</p><p>Para obter o MDC entre N números, devemos proceder do seguinte modo:</p><p>• Decompor todos os números em fatores primos;</p><p>• Selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto.</p><p>• Quando temos que realizar um MDC de N números e no meio desses números temos que 𝒂 é divisor</p><p>de 𝒃, podemos eliminar 𝒃 do cálculo do MDC.</p><p>• Se tivermos N números e um deles é divisor de todos os outros, esse número é o MDC.</p><p>• Se o resultado procurado deve ser maior do que os dados do problema, use o MMC;</p><p>• Se o resultado deve ser menor do que os dados, use o MDC.</p><p>A relação é inversa:</p><p>• Resultado MAIOR, use o MÍNIMO Múltiplo Comum;</p><p>• Resultado MENOR, use o MÁXIMO Divisor Comum.</p><p>O melhor caminho para acertar as questões é sempre tentar responder à seguinte pergunta:</p><p>Preciso encontrar o menor múltiplo dos números em questão ou o maior divisor desses números?</p><p>Máximo divisor comum (MDC)</p><p>MMC e MDC</p><p>Mínimo múltiplo comum (MMC)</p><p>MMC ou MDC: qual usar?</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>27</p><p>198</p><p>Mínimo Múltiplo Comum (MMC)</p><p>O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre N números é o menor dos múltiplos que é comum a todos os</p><p>números.</p><p>Representaremos o MMC entre os números 𝒂, 𝒃 e 𝒄 por MMC (a; b; c).</p><p>Para obter o MMC entre N números, devemos proceder do seguinte modo:</p><p>• Decompor todos os números em fatores primos; e</p><p>• Selecionar todos os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto.</p><p>Vamos a alguns exemplos:</p><p>Calcule o MMC entre 380, 520 e 550</p><p>Primeiramente, devemos decompor todos os números em fatores primos. 380 = 38 × 10 = (2 × 19) × (2 × 5) = 𝟐𝟐 × 𝟓 × 𝟏𝟗</p><p>520 = 52 × 10 = (2 × 26) × (2 × 5) = 2 × 2 × 13 × 2 × 5 = 𝟐𝟑 × 𝟓 × 𝟏𝟑</p><p>550 = 55 × 10 = (11 × 5) × (2 × 5) = 𝟐 × 𝟓𝟐 × 𝟏𝟏</p><p>Devemos selecionar todos os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 380 = 22 × 5 × 19 520 = 23 × 5 × 13 550 = 2 × 52 × 11</p><p>Logo, MMC (380; 520; 550) = 23 × 52 × 11 × 13 × 19 = 543.400.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>28</p><p>198</p><p>Calcule o MMC entre 3960 10098.</p><p>Primeiramente, devemos decompor todos os números em fatores primos.</p><p>Devemos selecionar todos os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 3960 = 23 × 32 × 5 × 11 10098 = 2 × 33 × 11 × 17</p><p>Logo, MMC (3960; 10098) = 23 × 33 × 5 × 11 × 17 = 201.960.</p><p>Calcule o MMC entre 5, 10, 15, 20 e 50.</p><p>Primeiramente, devemos decompor todos os números em fatores primos. 5 = 5</p><p>10 = 2 × 5</p><p>15 = 3 × 5</p><p>20 = 2 × 10 = 22 × 5</p><p>50 = 5 × 10 = 2 × 52</p><p>Devemos selecionar todos os números primos obtidos com os maiores expoentes e realizar o produto. 5 = 5 10 = 2 × 5 15 = 3 × 5 20 = 22 × 5 50 = 2 × 52</p><p>Logo, MMC (5; 10; 15; 20; 50) = 22 × 3 × 52 = 300.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>29</p><p>198</p><p>Calcule o MMC entre 21, 45 e 50</p><p>Vamos decompor os 3 números em fatores primos, selecionar todos os números primos obtidos com os</p><p>maiores expoentes e realizar o produto. 21 = 3 × 7 45 = 32 × 5 50 = 2 × 52</p><p>Logo, MMC (21; 45; 50) = 2 × 32 × 52 × 7 = 3150.</p><p>Existe um método prático para determinar o MMC entre N números. Trata-se do método da decomposição</p><p>simultânea em fatores primos.</p><p>Para realizar a decomposição simultânea de N números em fatores primos, devemos dividir</p><p>simultaneamente os números em questão sucessivas vezes pelos números primos na sequência 2, 3, 5, 7,</p><p>11, 13, 17, 19, etc., mudando de número primo sempre que todos os números obtidos não forem divisíveis</p><p>pelo primo selecionado.</p><p>Calcule o MMC entre 5, 10, 15, 20 e 50 pelo método da decomposição simultânea em fatores primos</p><p>- Ao dividir os números 5, 10, 15, 20 e 50 por 2, obtemos 5, 5, 15, 10 e 25.</p><p>- Ao dividir os números 5, 5, 15, 10 e 25 por 2, obtemos 5, 5, 15, 5 e 25.</p><p>- Note que nenhum dos números dentre 5, 5, 15, 5 e 25 é divisível por 2. Passemos ao 3.</p><p>- Ao dividir os números 5, 5, 15, 5 e 25 por 3, obtemos 5, 5, 5, 5 e 25.</p><p>- Note que nenhum dos números dentre 5, 5, 5, 5 e 25 é divisível por 3. Passemos ao 5.</p><p>- Ao dividir os números 5, 5, 5, 5 e 25 por 5, obtemos 1, 1, 1, 1 e 5.</p><p>- Ao dividir os números 1, 1, 1, 1 e 5 por 5, obtemos 1, 1, 1, 1 e 1. Nesse momento, devemos parar a divisão</p><p>simultânea.</p><p>Temos a seguinte representação da decomposição simultânea:</p><p>O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o seguinte produto: MMC (5; 10; 15; 20; 50) = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22</p><p>× 3 × 52 = 300</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>30</p><p>198</p><p>Calcule o MMC entre 21, 45 e 50 pelo método da decomposição simultânea em fatores primos</p><p>Temos a seguinte representação da decomposição simultânea:</p><p>O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o seguinte produto: MMC (21; 45; 50) = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 = 2 × 32 × 52 × 7 = 3150</p><p>Uma dica importante que pode economizar um certo tempo em prova é a seguinte: quando temos que</p><p>realizar um MMC de N números e no meio desses números temos que 𝒂 é múltiplo de 𝒃, podemos eliminar 𝒃 do cálculo do MMC.</p><p>Vejamos dois exemplos:</p><p>Calcule o MMC de 40, 30 e 15</p><p>Ao calcular o MMC(40; 30; 15), perceba que 30 é múltiplo de 15. Logo: MMC(40; 𝟑𝟎; 𝟏𝟓) = MMC (40; 𝟑𝟎)</p><p>Calcular o MMC de 40 e 30 é mais rápido, não é mesmo?</p><p>Calcule o MMC de 390, 130 e 75</p><p>Ao calcular o MMC(390; 130; 75), perceba que 390 é múltiplo de 130. Logo: MMC(𝟑𝟗𝟎; 𝟏𝟑𝟎; 75) = MMC (𝟑𝟗𝟎; 75)</p><p>Calcular o MMC de 390 e 75 é mais rápido, não é mesmo?</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>31</p><p>198</p><p>Perceba que se tivermos N números e um deles é múltiplo de todos os outros, esse número é o MMC.</p><p>Calcule o MMC de 3, 6 e 12</p><p>Note que 12 é múltiplo de 3 e de 6. Logo: MMC (3; 6; 12) = 12</p><p>Calcule o MMC de 120, 60 e 15</p><p>Note que 120 é múltiplo de 60 e de 15. Logo: MMC (120; 60; 15) = 120</p><p>Vamos ver como o MMC pode ser cobrado em problemas.</p><p>(AVAREPREV/2020) Dois relógios foram programados para despertar em intervalos de tempo constantes:</p><p>um deles desperta 3 vezes ao dia, e o outro, 4 vezes ao dia. Suponha que em determinado horário x, de um</p><p>dia qualquer, ambos os relógios despertaram, ao mesmo tempo, e funcionaram corretamente, durante as</p><p>50 horas seguintes. Nessas condições, iniciando-se a contagem nesse horário x, e encerrando-a 50 horas</p><p>após, o número total de vezes em que esses dois relógios teriam despertado, em um mesmo horário, será</p><p>igual a</p><p>a) 3.</p><p>b) 4.</p><p>c) 5.</p><p>d) 6.</p><p>e) 7.</p><p>Comentários:</p><p>O relógio que desperta 3 vezes ao dia desperta a cada</p><p>24ℎ3 = 8 horas, e o relógio que desperta 4 vezes ao dia</p><p>desperta a cada</p><p>24ℎ4 = 6 horas.</p><p>A questão pede o número total de vezes em que esses dois relógios teriam despertado, em um mesmo</p><p>horário, em um intervalo de 50 horas. Para isso, precisamos saber a cada quantas horas os dois relógios</p><p>despertam juntos. Trata-se do MMC entre 8h e 6h.</p><p>Vamos decompor 8 e 6 em fatores primos, selecionar todos os números primos obtidos com os maiores</p><p>expoentes e realizar o produto 8 = 23 6 = 2 × 3</p><p>Logo, MMC(8; 6) = 23 × 3 = 24.</p><p>Como os relógios despertam simultaneamente a cada 24h, em um intervalo de 50h eles despertam juntos 3</p><p>vezes: no início das 50h, após 24h e após 48h.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>32</p><p>198</p><p>==1365fc==</p><p>(AFAP/2019) João e Maria correm todos os dias no circuito de 1.500 m de um parque. João faz o percurso</p><p>em 8 minutos e Maria em 10 minutos. Se eles partem juntos do ponto inicial do percurso, a diferença entre</p><p>o número de metros percorridos por João e o número de metros percorridos por Maria, quando se</p><p>encontrarem novamente no ponto de partida, supondo que mantenham o mesmo ritmo durante todo o</p><p>exercício, é</p><p>a) 7.500.</p><p>b) 5.500.</p><p>c) 3.000.</p><p>d) 2.500.</p><p>e) 1.500.</p><p>Comentários:</p><p>Note que, para João e Maria se encontrarem novamente no ponto de partida, é necessário que tenha</p><p>decorrido um tempo determinado que seja múltiplo tanto de 8 minutos quanto de 10 minutos.</p><p>Como a questão pede o próximo encontro, devemos encontrar o menor múltiplo comum entre 8 e 10. Trata-</p><p>se do MMC (8; 10).</p><p>Vamos decompor os 2 números em fatores primos, selecionar todos os números primos obtidos com os</p><p>maiores expoentes e realizar o produto. 8 = 23 10 = 2 × 5</p><p>Logo, MMC(8; 10) = 23 × 5 = 40. Portanto, o novo encontro ocorrerá em 40 minutos.</p><p>Nesse tempo, João terá dado</p><p>408 = 5 voltas e Maria terá dado</p><p>4010 = 4 voltas. A diferença de número de metros</p><p>percorridos entre João e Maria corresponde a 5 − 4 = 1 volta, ou seja, 1.500m.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(SEFAZ AM/2022) Um pote contém entre 150 e 200 balas. Miguel reparou que separando essas balas em</p><p>grupos de 5 sobravam 2 balas, e que, separando em grupos de 7, sobravam também 2 balas.</p><p>Se Miguel separasse as balas em grupos de 9 balas, sobrariam</p><p>a) 0.</p><p>b) 2.</p><p>c) 4.</p><p>d) 6.</p><p>e) 8.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>33</p><p>198</p><p>Considere que o número de balas é 𝑥. Sabemos que 𝒙 está entre 150 e 200.</p><p>Além disso, perceba que ao dividir 𝑥 por 5 ou por 7, sempre temos resto 2. Isso significa que, ao dividir (𝒙−2)</p><p>por 5 ou por 7, sempre temos resto zero. Em outras palavras, (𝒙−2) é múltiplo comum a 5 e 7.</p><p>Note que o mínimo múltiplo comum a 5 e 7 é o produto 5×7 = 35, pois 5 e 7 são primos.</p><p>Logo, os candidatos para (𝒙−2) são os múltiplos de 35, pois os múltiplos de 35 são os múltiplos comuns a 5</p><p>e 7, sendo 35 o menor múltiplo comum a 5 e 7.</p><p>Como 𝑥 está entre 150 e 200, (𝒙−2), que é múltiplo de 35, está entre 148 e 198. Vamos testar alguns</p><p>múltiplos de 35: 35 × 4 = 140 35 × 5 = 175 35 × 6 = 210</p><p>Veja que o único múltiplo de 35 que está entre 148 e 198 é 175. Logo: 𝑥 − 2 = 175 𝑥 = 177</p><p>Assim, o número de balas é 177. Ao dividir 177 por 9, obtemos quociente 19 e resto 6. Portanto, se Miguel</p><p>separasse as 177 balas em grupos de 9 balas, sobrariam 6 balas.</p><p>Gabarito: Letra D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>34</p><p>198</p><p>Máximo Divisor Comum (MDC)</p><p>O Máximo Divisor Comum (MDC) entre N números é o maior dos divisores que é comum a todos os</p><p>números.</p><p>Representaremos o MDC entre os números 𝒂, 𝒃 e 𝒄 por MDC (a; b; c).</p><p>Para obter o MDC entre N números, devemos proceder do seguinte modo:</p><p>• Decompor todos os números em fatores primos;</p><p>• Selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto.</p><p>Mínimo Múltiplo Comum (MMC)</p><p>Selecionar todos os números primos obtidos com os maiores expoentes.</p><p>Máximo Divisor Comum (MDC)</p><p>Selecionar os números primos comuns com os menores expoentes</p><p>Vamos a alguns exemplos:</p><p>Calcule o MDC entre 20, 50 e 65</p><p>Vamos decompor os números em fatores primos: 20 = 2 × 10 = 2 × 2 × 5 = 𝟐𝟐 × 𝟓</p><p>50 = 5 × 10 = 5 × 2 × 5 = 𝟐 × 𝟓𝟐</p><p>65 = 5 × 13</p><p>Devemos selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>35</p><p>198</p><p>20 = 22 × 5 50 = 2 × 52 65 = 5 × 13</p><p>Veja que o único primo comum é o 5 e o seu expoente é 1.</p><p>Logo, MDC(20; 50; 65) = 5.</p><p>Calcule o MDC entre 3960 10098.</p><p>Primeiramente, devemos decompor todos os números em fatores primos.</p><p>Devemos selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 3960 = 22 × 32 × 5 × 11 10098 = 2 × 33 × 11 × 17</p><p>Logo, MDC(3960; 10098) = 2 × 32 × 11 = 198.</p><p>Uma dica importante que pode economizar um certo tempo em prova é a seguinte: quando temos que</p><p>realizar um MDC de N números e no meio desses números temos que 𝒂 é divisor de 𝒃, podemos eliminar b</p><p>do cálculo do MDC.</p><p>Calcule o MDC de 60, 45 e 30</p><p>Ao calcular o MDC(60; 45; 30), perceba que 30 é divisor de 60. Logo: MDC(𝟔𝟎; 45; 𝟑𝟎) = MDC(45; 𝟑𝟎)</p><p>Calcular o MDC de 45 e 30 é mais rápido,</p><p>não é mesmo?</p><p>Calcule o MDC de 580, 290 e 85</p><p>Ao calcular o MDC(580; 290; 85), perceba que 290 é divisor de 580. Logo: MDC(𝟓𝟖𝟎; 𝟐𝟗𝟎; 85) = MDC(𝟐𝟗𝟎; 85)</p><p>Calcular o MDC de 290 e 85 é mais rápido, não é mesmo?</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>36</p><p>198</p><p>Perceba que se tivermos N números e um deles é divisor de todos os outros, esse número é o MDC.</p><p>Calcule o MDC de 90, 30 e 10</p><p>Perceba que 10 é divisor de 90 e 30. Logo: MDC(90; 30; 10) = 10</p><p>Calcule o MDC de 110, 88 e 22</p><p>Perceba que 22 é divisor de 110 e 88. Logo: MDC(110; 88; 22) = 22</p><p>Vamos praticar com alguns problemas de MDC.</p><p>(Pref. Morro Agudo/2020) Tem-se 144 cm de fita na cor vermelha e 168 cm de fita na cor verde. Pretende-</p><p>se cortar essas fitas em pedaços, todos com o mesmo comprimento, sendo este o maior possível, de modo</p><p>a utilizar totalmente essas fitas, sem desperdiçá-las. Nesse caso, o número total de pedaços de fitas que será</p><p>possível obter é</p><p>a) 12.</p><p>b) 13.</p><p>c) 16.</p><p>d) 24.</p><p>e) 26.</p><p>Comentários:</p><p>Veja que, para obter o maior pedaço possível, esse pedaço deve ter um comprimento tal que, ao dividir 144</p><p>e 168, nos deixa resto zero. Logo, estamos diante da necessidade de encontrar um divisor comum a 144 e</p><p>168 que seja o maior possível. Trata-se do MDC(144; 168).</p><p>Vamos fatorar 144. 144 = 12 × 12 = (3 × 4) × (3 × 4) = 24 × 32</p><p>Vamos fatorar 168.</p><p>Devemos selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>37</p><p>198</p><p>144 = 24 × 32 168 = 23 × 3 × 7</p><p>Logo, MDC(144; 168) = 23 × 3 = 24.</p><p>Sabemos agora que o pedaço deve ter 24cm.</p><p>O número de pedaços vermelhos é</p><p>144𝑐𝑚24𝑐𝑚 = 6 e o número de pedaços verdes é</p><p>168𝑐𝑚24𝑐𝑚 = 7. Logo, temos um</p><p>total de 6 + 7 = 13 pedaços.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(SEDF/2017) Julgue o item a seguir, relativo a números naturais, números racionais e regra de três.</p><p>Situação hipotética: Na veiculação de determinado anúncio publicitário em aparelhos de TV digital de</p><p>resolução igual a 1.080 pixels × 720 pixels, a tela aparece dividida em quadrados, todos de mesma área.</p><p>Assertiva: Nesse caso, a menor quantidade de quadrados possível é igual a 6.</p><p>Comentários:</p><p>A tela apresenta 1.080 pixels de comprimento e 720 pixels de largura.</p><p>Se o quadrado apresentar um comprimento e uma largura de L pixels, esse valor L deve ser um divisor tanto</p><p>do comprimento de 1.080 pixels quanto da largura 720 pixels.</p><p>Note que, para obtermos a menor quantidade de quadrados, devemos ter o maior tamanho para L, pois</p><p>quanto maior o tamanho do quadrado, menos quadrados precisaremos para preencher a tela.</p><p>Como L deve ser um divisor comum de 1.080 e 720 e deve ser o maior possível, 𝐿 = 𝑀𝐷𝐶 (1.080; 720).</p><p>Primeiramente, devemos decompor os números em fatores primos. 1080 = 10 × 108 = 10 × 9 × 12 = (2 × 5) × 32 × (3 × 22) = 23 × 33 × 5</p><p>720 = 72 × 10 = (9 × 8) × (2 × 5) = 32 × 23 × 2 × 5</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>38</p><p>198</p><p>= 24 × 32 × 5</p><p>Agora devemos selecionar os números primos comuns com os menores expoentes e realizar o produto. 1080 = 23 × 33 × 5 720 = 24 × 32 × 5</p><p>Logo, MDC(1080; 720) = 23 × 32 × 5 = 360.</p><p>Portanto, lado L do quadrado tem 360 pixels.</p><p>Nesse caso, o comprimento da tela apresenta</p><p>1080360 = 3 quadrados e a largura da tela apresenta</p><p>720360 = 2</p><p>quadrados.</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>39</p><p>198</p><p>MMC ou MDC: qual usar?</p><p>Muitos alunos apresentam certa dificuldade em identificar, em um dado problema, se deve ser utilizado o</p><p>Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou o Máximo Divisor Comum (MDC) para os números apresentados no</p><p>enunciado.</p><p>Primeiramente, deve-se entender que o MMC é um múltiplo dos números em questão. Logo, o MMC é</p><p>necessariamente maior do que todos os números.</p><p>Por outro lado, o MDC é um divisor dos números em questão. Portanto, o MDC é necessariamente menor</p><p>do que todos os números.</p><p>Em resumo: 𝐌𝐌𝐂 > todos os números em questão > 𝐌𝐃𝐂</p><p>Assim, se você estiver em um problema sem saber se deve usar o MMC ou o MDC, utilize a seguinte dica:</p><p>• Se o resultado procurado deve ser maior do que os dados do problema, use o MMC.</p><p>• Se o resultado deve ser menor do que os dados, use o MDC.</p><p>Note que a relação em questão é inversa!</p><p>• Resultado MAIOR, use o MÍNIMO Múltiplo Comum;</p><p>• Resultado MENOR, use o MÁXIMO Divisor Comum.</p><p>Vejamos dois exemplos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>40</p><p>198</p><p>Exemplo 1: Um segurança faz sua ronda a cada 30 minutos, e outro segurança faz sua ronda a cada 40</p><p>minutos. Os dois seguranças iniciaram suas rondas agora. Daqui a quanto tempo eles farão a próxima ronda</p><p>juntos?</p><p>Note que o tempo procurado será maior do que os intervalos do enunciado. Logo, deve-se usar o MMC.</p><p>Exemplo 2: Em uma sala com 40 homens e 24 mulheres, é necessário montar grupos contendo a mesma</p><p>quantidade de pessoas e que tenham apenas homens ou apenas mulheres, de modo que tenhamos o</p><p>número máximo de pessoas em cada grupo. Qual é o número de pessoas de cada grupo formado?</p><p>Note que a quantidade procurada de pessoas em cada grupo será menor do que os dados do enunciado.</p><p>Logo, deve-se usar o MDC.</p><p>Apresentada a dica, ressalto que o melhor caminho para acertar as questões é sempre tentar responder à</p><p>seguinte pergunta:</p><p>Preciso encontrar o menor múltiplo dos números em questão ou o maior divisor desses números?</p><p>Veja que, para responder a pergunta, é necessário ter muito claro os conceitos de múltiplo e de divisor</p><p>aprendidos na presente aula.</p><p>Naturalmente, se você está atrás do menor múltiplo dos números em questão, você deve calcular o Mínimo</p><p>Múltiplo Comum (MMC). Caso contrário, se você está atrás do maior divisor desses números, você deve</p><p>calcular o Máximo Divisor Comum (MDC).</p><p>Vamos verificar novamente os dois exemplos vistos com base nesse entendimento.</p><p>Exemplo 1: Um segurança faz sua ronda a cada 30 minutos, e outro segurança faz sua ronda a cada 40</p><p>minutos. Os dois seguranças iniciaram suas rondas agora. Daqui a quanto tempo eles farão a próxima ronda</p><p>juntos?</p><p>Note que o tempo procurado será múltiplo de 30 e de 40. Como se quer a próxima ronda, esse múltiplo</p><p>procurado deve ser o menor possível. Logo, deve-se usar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC).</p><p>Exemplo 2: Em uma sala com 40 homens e 24 mulheres, é necessário montar grupos contendo a mesma</p><p>quantidade de pessoas e que tenham apenas homens ou apenas mulheres, de modo que tenhamos o</p><p>número máximo de pessoas em cada grupo. Qual é o número de pessoas de cada grupo formado?</p><p>Note que a quantidade procurada de pessoas em cada grupo será divisor dos números 40 e 24. Além disso,</p><p>esse divisor deve ser o maior possível, pois quer-se o número máximo de pessoas em cada grupo. Logo,</p><p>deve-se usar o Máximo Divisor Comum (MDC).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>41</p><p>198</p><p>QUESTÕES COMENTADAS - MULTIBANCAS</p><p>Múltiplos e Divisores</p><p>Outras Bancas</p><p>(CESGRANRIO/BNB/2024) Em uma confraternização de final de ano, os funcionários de um banco</p><p>foram divididos em grupos de cinco funcionários, mas um único funcionário sobrou.</p><p>Em uma nova tentativa, mas agora com exatamente a metade do número de funcionários, o número N</p><p>(sendo N</p><p>a</p><p>a) 4</p><p>b) 3</p><p>c) 2</p><p>d) 1</p><p>e) 0</p><p>Comentários:</p><p>Pessoal, essa questão pode ser resolvida de dois modos:</p><p>• Resolução em que atribuímos um valor para o total de funcionários; ou</p><p>• Resolução para um valor genérico de funcionários.</p><p>Resolução em que atribuímos um valor para o total de funcionários</p><p>Sabemos que:</p><p>• Quando os funcionários são divididos em grupos de 5, resta 1 funcionário sem grupo. Logo, o valor</p><p>que vamos atribuir ao número de funcionários deve deixar resto 1 quando dividido por 5.</p><p>• Na nova tentativa, utiliza-se metade dos funcionários. Logo, o valor que vamos atribuir ao número</p><p>de funcionários deve ser par (divisível por 2).</p><p>Dadas essas restrições do enunciado, podemos, por exemplo, utilizar o número 16 como se fosse o total de</p><p>funcionários. Supondo que temos 16 funcionários, veja que:</p><p>• Ao dividir 16 por 5, obtemos quociente 3 e resto 1. Logo, quando os funcionários são divididos em</p><p>grupos de 5, sobra 1 funcionário, conforme a restrição do enunciado.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>42</p><p>198</p><p>• Na nova tentativa com a metade dos funcionários (8 funcionários), ao dividir 8 por 5, obtemos</p><p>quociente 1 e resto 3. Logo, quando metade dos funcionários são divididos em grupos de 5,</p><p>sobram 3 funcionários.</p><p>Veja que, ao arbitrar o valor para o total de funcionários, nenhuma restrição presente no enunciado foi</p><p>violada e obtivemos que, na nova tentativa, sobraram 3 funcionários. O gabarito, portanto, é letra B.</p><p>Resolução para um valor genérico de funcionários</p><p>Considere que o número total de funcionários seja 𝒙.</p><p>Quando os 𝑥 funcionários são divididos em grupos de 5, resta 1 funcionário. Isso significa que 𝒙 deixa resto</p><p>1 quando dividido por 5. Logo, (𝒙−1) dividido por 5 deixa resto zero.</p><p>Consequentemente, (𝒙−1) é divisível por 5. Portanto, podemos dizer que (𝒙−1) é múltiplo de 5.</p><p>Como (𝑥−1) é múltiplo de 5, podemos escrever (𝑥−1) do seguinte modo, sendo 𝑘1 um número inteiro</p><p>qualquer: (𝑥 − 1) = 5𝑘1</p><p>Logo, o total de funcionários pode ser escrito da seguinte forma: 𝑥 = 5𝑘1 + 1</p><p>Segundo o enunciado, foi feita uma nova tentativa com a metade dos funcionários, ou seja, com</p><p>𝑥2</p><p>funcionários. Observe que a metade dos funcionários pode ser escrita dessa forma: 𝑥2 = 5𝑘1 + 12 𝑥2 = 2,5𝑘1 + 0,5</p><p>Note que, para que a metade dos funcionários (𝒙𝟐) corresponda a um número inteiro, 𝒌𝟏 não pode ser</p><p>par. Caso fosse par, teríamos um número decimal de pessoas para a metade dos funcionários:</p><p>• 𝑘1 = 2 → 𝒙𝟐 = 2,5 × 2 + 0,5 = 5,5</p><p>• 𝑘1 = 4 → 𝒙𝟐 = 2,5 × 4 + 0,5 = 10,5</p><p>• ...</p><p>Logo, 𝒌𝟏 deve ser um número ímpar. Veja que, para valores ímpares, temos um número inteiro para a</p><p>metade dos funcionários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>43</p><p>198</p><p>• 𝑘1 = 1 → 𝒙𝟐 = 2,5 × 1 + 0,5 = 3</p><p>• 𝑘1 = 3 → 𝒙𝟐 = 2,5 × 3 + 0,5 = 8</p><p>• ...</p><p>Como 𝒌𝟏 deve ser um número ímpar, podemos escrevê-lo da forma 𝟐𝒌𝟐 + 𝟏, sendo 𝑘2 um número inteiro</p><p>qualquer. Logo, a metade dos funcionários pode ser escrita da seguinte forma: 𝑥2 = 2,5𝑘1 + 0,5 𝑥2 = 2,5 × (2𝑘2 + 1) + 0,5 𝑥2 = 5𝑘2 + 2,5 + 0,5 𝑥2 = 5𝑘2 + 3</p><p>Logo:</p><p>(𝑥2 − 3) = 5𝑘2</p><p>Portanto, (𝒙𝟐 − 𝟑) é múltiplo de 5. Em outras palavras, (𝒙𝟐 − 𝟑) é divisível por 5.</p><p>Consequentemente, a metade dos funcionários (𝑥2), quando dividida por 5, deixa resto 3.</p><p>Logo, na nova tentativa com exatamente a metade do número de funcionários, o número de</p><p>funcionários que sobrou foi igual a 3.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(AOCP/CM Bauru/2022) Dentre as seguintes alternativas, qual delas apresenta um número Natural que</p><p>seja divisível por 5, 6 e 9, ao mesmo tempo?</p><p>a) 495</p><p>b) 1.240</p><p>c) 956</p><p>d) 3.345</p><p>e) 2.340</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>44</p><p>198</p><p>Da teoria da aula, conhecemos os seguintes critérios de divisibilidade:</p><p>• Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par, isto é, quando terminar em 0, 2, 4,</p><p>6 ou 8.</p><p>• Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por</p><p>3.</p><p>• Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.</p><p>• Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo</p><p>tempo.</p><p>• Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por</p><p>9.</p><p>Com base nesses critérios de divisibilidade, vamos verificar a alternativa que apresenta um número que é</p><p>divisível por 5, 6 e 9 ao mesmo tempo.</p><p>a) 495. ERRADO.</p><p>Como o número 495 não é par, ele não é divisível por 2 e, portanto, não é divisível por 6.</p><p>b) 1.240. ERRADO.</p><p>O número 1240 não é divisível por 9, pois a soma dos algarismos é 1+2+4+0 = 7, que não é um número</p><p>divisível por 9.</p><p>c) 956. ERRADO.</p><p>O número 956:</p><p>• Não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5;</p><p>• Não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos é 9+5+6 = 20, que não é um número divisível por</p><p>3. Consequentemente, o número não é divisível por 6;</p><p>• Não é divisível por 9, pois a soma dos algarismos é 9+5+6 = 20, que não é um número divisível por</p><p>9.</p><p>d) 3.345. ERRADO.</p><p>O número 3.345:</p><p>• Não é par e, portanto, não é divisível por 2. Consequentemente, não é divisível por 6;</p><p>• Não é divisível por 9, pois a soma dos algarismos é 3+3+4+5 = 15, que não é um número divisível</p><p>por 9.</p><p>e) 2.340. CERTO. Esse é o gabarito.</p><p>Note que o número 2.340:</p><p>• É divisível por 5, pois termina em 0;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>45</p><p>198</p><p>• É par e, portanto, é divisível por 2. Além disso, é divisível por 3, pois a soma dos algarismos,</p><p>2+3+4+0 = 9, é um número divisível por 3. Sendo um número divisível por 2 e por 3 ao mesmo</p><p>tempo, o número 2340 é divisível por 6;</p><p>• É divisível por 9, pois a soma dos algarismos, 2+3+4+0 = 9, é um número divisível por 9.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>(AOCP/SED MS/2022) Um repórter entrevistando três atrizes perguntou a idade de cada uma.</p><p>Nenhuma quis revelar a idade, mas uma delas informou que as idades das atrizes mais novas estão entre</p><p>20 e 40 anos e, hoje, ambas são expressas por um número primo, fato que se repetirá daqui a 6 anos.</p><p>Além disso, revelou também que a idade da atriz mais velha, que hoje também é expressa por um</p><p>número primo maior do que 60, é três unidades a mais do que a soma das idades das atrizes mais novas.</p><p>Nessas condições, hoje, a soma das idades das três atrizes é igual a</p><p>a) 139 anos.</p><p>b) 135 anos.</p><p>c) 123 anos.</p><p>d) 111 anos.</p><p>e) 107 anos.</p><p>Comentários:</p><p>A partir da teoria da aula, conhecemos os 15 primeiros números primos. São esses que você precisa</p><p>decorar:</p><p>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47</p><p>Sabemos que as duas atrizes mais novas possuem idades que são números primos entre 20 e 40. Temos</p><p>as seguintes possibilidades: 23, 29, 31 e 37.</p><p>Segundo o enunciado, daqui a 6 anos, as idades das duas atrizes mais novas continuarão sendo números</p><p>primos. Note que:</p><p>• 23 + 6 = 29 (é primo);</p><p>• 29 + 6 = 35 (não é primo);</p><p>• 31 + 6 = 37 (é primo); e</p><p>• 37 + 6 = 43 (é primo).</p><p>Logo, considerando essa informação, as atrizes mais novas podem ter as seguintes idades: 23, 31 ou 37.</p><p>A outra informação dada pelo problema é que a soma das idades das atrizes mais novas mais 3 é igual a</p><p>idade da atriz mais velha, que é um primo maior do que 60. Note que:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>46</p><p>198</p><p>• 23 + 31 + 3 = 57 → É um número menor do que 60 e não é primo, pois é divisível</p><p>por 3;</p><p>• 23 + 37 + 3 = 63 → não é primo, pois é divisível por 3;</p><p>• 31 + 37 + 3 = 71 → 31 e 37 é última possibilidade de idades para as atrizes mais novas. Nesse caso,</p><p>71 tem que ser primo, pois caso contrário não teríamos solução para o problema.</p><p>Portanto, as idades das atrizes mais novas são 31 e 37, e a idade da atriz mais velha é 71. A soma das</p><p>idades é: 31 + 37 + 71 = 139</p><p>O gabarito, portanto, é letra A.</p><p>Observação: conforme mostrado na teoria da aula, para determinar se 71 é primo, vamos dividi-lo</p><p>sucessivamente pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... e verificar se algum primo é divisor de 71:</p><p>• Se algum primo for divisor de 71, então 71 não é primo;</p><p>• Se, ao realizar a divisão sucessiva, obtivermos um quociente menor do que o primo pelo qual estamos</p><p>dividindo 71, então 71 é primo.</p><p>Note que:</p><p>• 71 não é divisível por 2, pois não é par;</p><p>• 71 não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos não é divisível por 3;</p><p>• 71 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5;</p><p>• 71 não é divisível por 7, pois, ao tentar dividir 71 por 7, encontramos quociente 10 e resto 1;</p><p>• 71 não é divisível por 11, pois (7) − (1) = 6 não é divisível por 11. Além disso, veja que, na divisão de 71</p><p>por 11, obtemos quociente 6 e resto 5. Como o quociente 6 é menor do que o primo 11, isso significa que</p><p>o número 71 é primo.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(AOCP/SED MS/2022) O número 1234a7b, em que b é o algarismo das unidades e a é o algarismo das</p><p>centenas, é divisível por 45. Nessas condições, (a + b) é igual a</p><p>a) 2 ou 7.</p><p>b) 1 ou 10.</p><p>c) 5.</p><p>d) 7.</p><p>e) 9.</p><p>Comentários:</p><p>Para que o número 1234a7b seja divisível por 45, ele precisa ser divisível simultaneamente por 5 e por 9,</p><p>pois 5×9 é uma das formas de se fatorar 45.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>47</p><p>198</p><p>Para que 1234a7b seja divisível por 5, esse número deve terminar em 0 ou 5. Logo, b = 0 ou b = 5.</p><p>Para que 1234a7b seja divisível por 9, a soma dos algarismos deve ser divisível por 9.</p><p>• Para b = 0, temos o número 1234a70. A soma é: 1 + 2 + 3 + 4 + 𝑎 + 7 + 0 = 17 + 𝑎</p><p>Note que a soma será divisível por 9 se a = 1, pois nesse caso teremos 17 + 1 = 18.</p><p>• Para b = 5, temos o número 1234a75. A soma é: 1 + 2 + 3 + 4 + 𝑎 + 7 + 5 = 22 + 𝑎</p><p>Note que a soma será divisível por 9 se a = 5, pois nesse caso teremos 22 + 5 = 27.</p><p>Portanto, a soma (a+b) pode ser:</p><p>• b = 0 e a = 1 → (a+b) = 1+0 = 1;</p><p>• b = 5 e a = 5 → (a+b) = 5+5 = 10.</p><p>Logo, (a + b) é igual a 1 ou 10.</p><p>Gabarito: Letra B.</p><p>(FUNDATEC/Pref Candelária/2022) Analise as assertivas a seguir e assinale a alternativa que apresenta</p><p>apenas números primos.</p><p>a) 1, 2, 3, 5 e 8.</p><p>b) 4, 7, 11, 33 e 45.</p><p>c) 1, 3, 5, 18 e 31.</p><p>d) 2, 5, 7, 9 e 17.</p><p>e) 2, 7, 11, 19 e 23.</p><p>Comentários:</p><p>Conforme mostrado na teoria da aula, os números a seguir são os números primos até 47. São esses</p><p>primos que você precisa decorar:</p><p>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47</p><p>Logo, a alternativa que apresenta apenas número primos é a letra E: 2, 7, 11, 19 e 23.</p><p>Gabarito: Letra E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>48</p><p>198</p><p>(QUADRIX/CRF GO/2022) Julgue o item.</p><p>2.022 possui 8 divisores positivos.</p><p>Comentários:</p><p>Para saber a quantidade de divisores naturais (positivos) de um número qualquer, não é necessário obter</p><p>todos os divisores. Basta decompor o número em fatores primos e, em seguida:</p><p>• Obter todos os expoentes dos fatores primos;</p><p>• Somar 1 a cada um desses expoentes e realizar o produto dos números obtidos.</p><p>Vamos fatorar 2022. 2022 = 2 × 1011 = 2 × 3 × 337</p><p>Será que a fatoração acabou? Isto é, será que 337 é primo? Vamos verificar:</p><p>Conforme mostrado na teoria da aula, para determinar se 337 é primo, vamos dividi-lo sucessivamente</p><p>pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... e verificar se algum primo é divisor de 337:</p><p>• Se algum primo for divisor de 377, então 377 não é primo;</p><p>• Se, ao realizar a divisão sucessiva, obtivermos um quociente menor do que o primo pelo qual estamos</p><p>dividindo 337, então 337 é primo.</p><p>Note que:</p><p>• 337 não é divisível por 2, pois não é par;</p><p>• 337 não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos não é divisível por 3;</p><p>• 337 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5;</p><p>• 337 não é divisível por 7, pois, ao tentar dividir 337 por 7, encontramos quociente 48 e resto 1;</p><p>• 337 não é divisível por 11, pois (3) − (3 + 7) = −7 não é divisível por 11.</p><p>• 337 não é divisível por 13, pois, ao tentar dividir 337 por 13, encontramos quociente 25 e resto 12;</p><p>• 337 não é divisível por 17, pois, ao tentar dividir 337 por 17, encontramos quociente 19 e resto 14;</p><p>• 337 não é divisível por 19, pois, ao tentar dividir 337 por 19, encontramos quociente 17 e resto 14. Veja</p><p>que, como o quociente 17 é menor do que o primo 19, isso significa que o número 337 é primo.</p><p>Voltando ao problema, temos que 337 é primo e a fatoração final do número 2022 é: 2022 = 2𝟏 × 3𝟏 × 337𝟏</p><p>Os expoentes são 1, 1 e 1. A quantidade de divisores naturais (positivos) de 2022 é: (𝟏 + 1) × (𝟏 + 1) × (𝟏 + 1)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>49</p><p>198</p><p>= 2 × 2 × 2 = 8</p><p>Gabarito: CERTO.</p><p>(QUADRIX/CRMV PR/2022) Entre os números inteiros de 42 a 2.022, são divisíveis por 9</p><p>a) 220 números.</p><p>b) 219 números.</p><p>c) 218 números.</p><p>d) 217 números.</p><p>e) 216 números.</p><p>Comentários:</p><p>Queremos encontrar a quantidade de números inteiros no intervalo de 42 a 2022 que são divisíveis por 9.</p><p>Ou seja, queremos encontrar a quantidade de números em que 9 é divisor.</p><p>Da teoria da aula, sabemos que se B é divisor de A, então A é um múltiplo de B.</p><p>Logo, em outras palavras, queremos encontrar, no intervalo de 42 a 2022, a quantidade de números</p><p>múltiplos de 9.</p><p>Para encontrar o número de múltiplos de 9 entre 42 e 2022, vamos realizar a seguinte operação:</p><p>(Múltiplo de 9 imediatamente inferior a 2022 ) − (Múltiplo de 9 imediatamente superior a 42 )9 + 𝟏</p><p>Observe que é necessário somar uma unidade na expressão para não deixar de fora um dos extremos.</p><p>Exemplo: quantos múltiplos de 9 existem entre 9 e 27? Ora, claramente existem três: o próprio 9, o 18 e o</p><p>próprio 27. Ocorre que, ao realizar</p><p>27−99 , obteríamos 2 como resultado. Logo, é necessário somar uma</p><p>unidade na expressão: 27 − 99 + 1 = 2 + 1 = 3</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 10</p><p>PRF (Policial) Raciocínio Lógico Matemático</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>50</p><p>198</p><p>Voltando ao problema, vamos agora obter o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 2022. Note que 2022</p><p>dividido por 9 nos deixa quociente 224 e resto 6. Logo, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 2022 é: 224 × 9 = 2016</p><p>Agora vamos obter o múltiplo de 9 imediatamente superior a 42. Note que 42 dividido por 9 nos deixa</p><p>quociente 4 e resto 6. Logo, o múltiplo de 9 imediatamente superior a 42 é: 4 × 9 + 9 = 36 + 9 = 45</p><p>Logo, o número de múltiplos de 9 entre 42 e 2022 é:</p><p>(Múltiplo de 9 imediatamente inferior a 2022 ) − (Múltiplo de 9 imediatamente superior a 42 )9 + 𝟏 2016 − 459 + 1</p><p>= 219 + 1 = 𝟐𝟐𝟎</p><p>Portanto, entre os números inteiros de 42 a 2022, 220 números são divisíveis por 9.</p><p>Gabarito: Letra A.</p><p>(FUNDATEC/Pref Cachoeira Sul/2022) A fatoração de um número em fatores primos é muito usada e</p><p>possui inúmeras aplicações em computação. Dentre as alternativas abaixo, a única que possui um</p><p>número com fator primo diferente de 2, 3 ou 7 é a de:</p><p>a) 42.</p><p>b) 70.</p><p>c) 84.</p><p>d) 126.</p><p>e) 294.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos fatorar os números presentes nas alternativas e assinalar aquela que apresenta um número cuja</p><p>fatoração é composta por um primo diferente de 2, 3 ou 7.</p><p>Equipe</p>Concursos
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