contas e mais contas 57C

Prévia do material em texto

<p>- **Explicação:** \( \nabla \times \vec{F} \) é calculado como \( \left( \frac{\partial</p><p>F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial</p><p>F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial</p><p>F_1}{\partial y} \right) \).</p><p>21. **Problema (Geometria Euclidiana):** Determine o volume de uma esfera de raio 3.</p><p>- **Resposta:** \( 36\pi \)</p><p>- **Explicação:** O volume é dado por \( \frac{4}{3} \pi r^3 \), o que resulta em \( 36\pi \).</p><p>22. **Problema (Teoria dos Grupos):** Quantos elementos de ordem 4 existem no grupo</p><p>cíclico de ordem 12?</p><p>- **Resposta:** 2</p><p>- **Explicação:** Os elementos cuja ordem é 4 são aqueles cujo m.d.c. com 12 é 3,</p><p>resultando em 2 elementos.</p><p>23. **Problema (Análise Real):** Prove se \( \sqrt{2} \) é irracional.</p><p>- **Resposta:** Sim</p><p>- **Explicação:** A demonstração clássica é por redução ao absurdo, assumindo que \(</p><p>\sqrt{2} \) é racional e mostrando uma contradição.</p><p>24. **Problema (Equações Algébricas):** Resolva \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \).</p><p>- **Resposta:** \( x = 1, 2, 3 \)</p><p>- **Explicação:** A fatoração resulta em \( (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 \).</p><p>25. **Problema (Cálculo Integral):** Calcule \( \int_0^1 \ln(x) \, dx \).</p><p>- **Resposta:** \( -1 \)</p><p>- **Explicação:** A integral pode ser resolvida por integração por partes, resultando em \( -</p><p>1 \).</p><p>26. **Problema (Teoria dos Conjuntos):** Quantos subconjuntos tem um conjunto com 4</p><p>elementos?</p><p>- **Resposta:** 16</p><p>- **Explicação:** Um conjunto com \( n \) elementos possui \( 2^n \) subconjuntos, então \(</p><p>2^4 = 16 \).</p><p>27. **Problema (Geometria Analítica):** Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \(</p><p>(1, 2) \) e \( (3, 6) \).</p><p>- **Resposta:** \( y = 2x \)</p><p>- **Explicação:** A inclinação é \( \frac{6-2}{3-1} = 2 \), e a equação da reta é \( y = 2x \).</p><p>28. **Problema (Álgebra Linear):** Determine os autovalores de \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1</p><p>& 0 \end{bmatrix} \).</p><p>- **Resposta:** \( i, -i \)</p><p>- **Explicação:** Resolva o determinante \( \det(A - \lambda I) = 0 \), resultando em \(</p><p>\lambda^2 + 1 = 0 \), cujas raízes são \( \lambda = i \) e \( \lambda = -i \).</p><p>29. **Problema (Teoria dos Números):** Qual é o m.d.c. de 48 e 18?</p><p>- **Resposta:** 6</p><p>- **Explicação:** Use o algoritmo de Euclides: \( 48 = 2 \times 18 + 12 \), \( 18 = 1 \times 12</p><p>+ 6 \), \( 12 = 2 \times 6 + 0 \), então o m.d.c. é 6.</p><p>30. **Problema (Cálculo):** Determine \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \).</p><p>- **Resposta:** 2</p><p>- **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \), avaliada de 0 a \( \pi \) resulta em</p><p>\( -(-1) - (-1) = 2 \).</p><p>31. **Problema (Cálculo Multivariável):** Calcule o laplaciano de \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2</p><p>\).</p><p>- **Resposta:** 6</p><p>- **Explicação:** O laplaciano é \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2</p><p>f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \), o que resulta em \( 2 + 2 + 2 = 6 \).</p><p>32. **Problema (Teoria dos Grupos):** Qual é a ordem do grupo simétrico \( S_4 \)?</p><p>- **Resposta:** 24</p><p>- **Explicação:** A ordem de \( S_n \) é \( n! \), então \( 4! = 24 \).</p><p>33. **Problema (Geometria):** Qual é o perímetro de um círculo de raio 5?</p><p>- **Resposta:** \( 10\pi \)</p><p>- **Explicação:** O perímetro é \( 2\pi r \), resultando em \( 10\pi \).</p><p>34. **Problema (Probabilidade):** Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras ao</p><p>lançar 3 moedas?</p><p>- **Resposta:** \( \frac{3}{8} \)</p><p>- **Explicação:** Existem 3 maneiras de obter exatamente 2 caras (CTC, CCT, TCC), e 8</p><p>possíveis resultados no total, então a probabilidade é \( \frac{3}{8} \).</p><p>35. **Problema (Análise Real):** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).</p><p>- **Resposta:** 1</p><p>- **Explicação:** A série de Taylor de \( e^x \) em torno de 0 é \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} +</p><p>\cdots \), então o limite é 1.</p><p>36. **Problema (Equações Diferenciais):** Resolva \( \frac{dy}{dx} = x^2y \).</p><p>- **Resposta:** \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} \)</p><p>- **Explicação:** Separe as variáveis e integre: \( \int \frac{1}{y} \, dy = \int x^2 \, dx \),</p><p>resultando em \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} \).</p><p>37. **Problema (Cálculo Integral):** Calcule \( \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx \).</p><p>- **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \)</p><p>- **Explicação:** A integral é a função arctangente: \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \tan^{-</p><p>1}(x) \), avaliada de 0 a 1 resulta em \( \frac{\pi}{4} \).</p><p>38. **Problema (Teoria dos Conjuntos):** Qual é o complemento de \( A = \{1, 2, 3\} \) no</p><p>universo \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)?</p><p>- **Resposta:** \( \{4, 5\} \)</p><p>- **Explicação:** O complemento de \( A \) é o conjunto de todos os elementos em \( U \)</p><p>que não estão em \( A \).</p><p>39. **Problema (Geometria Analítica):** Determine o centro da circunferência \( x^2 + y^2 -</p><p>4x + 6y + 9 = 0 \).</p><p>- **Resposta:** \( (2, -3) \)</p><p>- **Explicação:** Complete o quadrado para obter \( (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 \), cujo centro é</p><p>\( (2, -3) \).</p><p>40. **Problema (Álgebra Linear):** Determine os autovalores de \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0</p><p>\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \).</p><p>- **Resposta:** \( 1, 2, 3 \)</p><p>- **Explicação:** Como a matriz é diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal</p><p>principal.</p><p>41. **Problema (Teoria dos Números):** Qual é o menor divisor primo de 91?</p><p>- **Resposta:** 7</p><p>- **Explicação:** 91 é divisível por 7, e o quociente é 13.</p><p>42. **Problema (Cálculo):** Determine \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 - 7} \).</p><p>- **Resposta:** \( \frac{5}{2} \)</p><p>- **Explicação:** Dividindo numerador e denominador por \( x^2 \), o limite é \( \frac{5}{2}</p><p>\).</p><p>43. **Problema (Geometria):** Qual é a área de um triângulo equilátero de lado 4?</p><p>- **Resposta:** \( 4\sqrt{3} \)</p><p>- **Explicação:** A área é \( \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 \), o que resulta em \( 4\sqrt{3} \).</p><p>44. **Problema (Teoria dos Grupos):** Quantos subgrupos normais tem \( \mathbb{Z}_6 \)?</p><p>- **Resposta:** 4</p><p>- **Explicação:** Os subgrupos normais de \( \mathbb{Z}_6 \) correspondem aos divisores</p><p>de 6: \( \{0\}, \{0, 3\}, \{0, 2, 4\}, \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \).</p><p>45. **Problema (Cálculo Integral):** Calcule \( \int e^{2x} \, dx \).</p><p>- **Resposta:** \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \)</p><p>- **Explicação:** A integral de \( e^{ax} \) é \( \frac{1}{a}e^{ax} \), neste caso \( a = 2 \).</p>