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<p>93</p><p>(A+B)u2 + (2B + C)u+ (2C + A) ≡ 1⇐⇒ A =</p><p>1</p><p>5</p><p>, B = −1</p><p>5</p><p>, C =</p><p>2</p><p>5</p><p>Portanto,∫</p><p>du</p><p>(2 + u)(u2 + 1)</p><p>=</p><p>1</p><p>5</p><p>∫</p><p>du</p><p>2 + u</p><p>− 1</p><p>5</p><p>∫</p><p>u</p><p>u2 + 1</p><p>du+</p><p>2</p><p>5</p><p>∫</p><p>du</p><p>u2 + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>5</p><p>ln (|u+ 2|)− 1</p><p>10</p><p>ln</p><p>(</p><p>u2 + 1</p><p>)</p><p>+</p><p>2</p><p>5</p><p>arctg(u) + C</p><p>Na variável original, temos:</p><p>Resposta:</p><p>1</p><p>5</p><p>ln (| tg(x) + 2|)− 1</p><p>10</p><p>ln(sec2(x)) +</p><p>2</p><p>5</p><p>x+ C</p><p>(f) Tome: u =</p><p>√</p><p>x+ 1⇒ du =</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>dx =</p><p>dx</p><p>2 (u− 1)</p><p>⇒ dx = 2 (u− 1) du</p><p>Assim,</p><p>∫</p><p>dx√√</p><p>x+ 1</p><p>= 2</p><p>∫</p><p>u− 1√</p><p>u</p><p>= 2</p><p>∫ √</p><p>u− 1√</p><p>u</p><p>du = 2</p><p>(</p><p>u3/2</p><p>3</p><p>− 2</p><p>√</p><p>u</p><p>)</p><p>+ C</p><p>Resposta:</p><p>4</p><p>3</p><p>√</p><p>(</p><p>√</p><p>x+ 1)− 4</p><p>√√</p><p>x+ 1 + C</p><p>(g) Tome: u = 2x du = ln(2) 2x dx = ln(2)u dx⇒ dx =</p><p>1</p><p>ln(2)u</p><p>du</p><p>Assim, ∫</p><p>4x + 1</p><p>2x + 1</p><p>dx =</p><p>1</p><p>ln(2)</p><p>∫</p><p>u2 + 1</p><p>u+ 1</p><p>=</p><p>1</p><p>ln(2)</p><p>∫ (</p><p>u− 1 +</p><p>2</p><p>u+ 1</p><p>)</p><p>du</p><p>=</p><p>1</p><p>ln(2)</p><p>(</p><p>u2</p><p>2</p><p>− u+ 2 ln(|u+ 1|)</p><p>)</p><p>+ C</p><p>Resposta:</p><p>1</p><p>ln(2)</p><p>(</p><p>4x</p><p>2</p><p>− 2x + 2 ln(2x + 1)</p><p>)</p><p>+ C</p><p>(h) Seja u = e</p><p>√</p><p>x ⇒ du = e</p><p>√</p><p>x 1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>dx⇒ dx =</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>e</p><p>√</p><p>x</p><p>du = 2</p><p>ln(u)</p><p>u</p><p>du</p><p>Assim: ∫</p><p>e</p><p>√</p><p>x dx =</p><p>∫</p><p>u</p><p>(</p><p>2 ln(u)</p><p>u</p><p>)</p><p>du = 2</p><p>∫</p><p>ln(u) du</p>
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