coreção de exercicios kzy

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<p>**Resposta:** C) \(\frac{3}{2}\)</p><p>**Explicação:** A soma de uma série geométrica infinita é dada por \(S = \frac{a}{1 - r}\),</p><p>onde \(a\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão. Aqui, \(a = 1\) e \(r = \frac{1}{3}\). Portanto, \(S</p><p>= \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\).</p><p>18. **Qual é a expressão para a série de Maclaurin de \(e^x\)?**</p><p>A) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)</p><p>B) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\)</p><p>C) \(\sum_{n=0}^{\infty} n \cdot x^{n-1}\)</p><p>D) \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^n}{n!}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)</p><p>**Explicação:** A série de Maclaurin para \(e^x\) é dada por \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}</p><p>\frac{x^n}{n!}\), que se origina da função \(e^x\).</p><p>19. **Qual é o resultado de \(\frac{d}{dx}(x^5)\)?**</p><p>A) \(5x^4\)</p><p>B) \(5x^5\)</p><p>C) \(x^4\)</p><p>D) \(4x^5\)</p><p>**Resposta:** A) \(5x^4\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do poder, a derivada de \(x^n\) é dada por \(nx^{n-1}\).</p><p>Assim, \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = 5x^4\).</p><p>20. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (6x^2 - 4x + 1) \, dx\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** A integral pode ser calculada como \(\int (6x^2 - 4x + 1) \, dx = 2x^3 -</p><p>2x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos: \((2(1)^3 - 2(1)^2 + 1) - (0) = 2 - 2 + 1 = 1\).</p><p>21. **Qual é a expressão correta para a série de Taylor de \(f(x) = e^x\) em torno de \(x =</p><p>0\)?**</p><p>A) \(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)</p><p>B) \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots\)</p><p>C) \(1 + 2x + \frac{x^2}{2} + \cdots\)</p><p>D) \(1 + x^2 + x^3 + \cdots\)</p><p>**Resposta:** A) \(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)</p><p>**Explicação:** A série de Taylor de \(e^x\) é dada pela soma dos termos</p><p>\(\frac{x^n}{n!}\), onde \(n\) vai de 0 ao infinito.</p><p>22. **Qual é o valor de \(\int_2^5 (3x^2 - 4) \, dx\)?**</p><p>A) 10</p><p>B) 15</p><p>C) 20</p><p>D) 25</p><p>**Resposta:** A) 10</p><p>**Explicação:** A integral é calculada como \(\int (3x^2 - 4) \, dx = x^3 - 4x\). Avaliando</p><p>de 2 a 5: \((5^3 - 4(5)) - (2^3 - 4(2)) = (125 - 20) - (8 - 8) = 105 - 0 = 105\).</p><p>23. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan(x)\)?**</p><p>A) \(\sec^2(x)\)</p><p>B) \(\sin^2(x)\)</p><p>C) \(\cos^2(x)\)</p><p>D) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\sec^2(x)\)</p><p>**Explicação:** A derivada de \(\tan(x)\) é \(\sec^2(x)\), que é uma identidade</p><p>trigonométrica.</p><p>24. **Qual é o valor da soma dos primeiros \(n\) termos da sequência aritmética onde o</p><p>primeiro termo é 1 e a razão é 3?**</p><p>A) \(\frac{n(3n-1)}{2}\)</p><p>B) \(n^2 + 3n\)</p><p>C) \(\frac{n(3n+1)}{2}\)</p><p>D) \(\frac{n(3n-2)}{2}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{n(3n-1)}{2}\)</p><p>**Explicação:** A soma dos primeiros \(n\) termos de uma PA é dada por \(S_n =</p><p>\frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\). Aqui, \(a = 1\) e \(d = 3\). Portanto, \(S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 1 +</p><p>(n-1)3) = \frac{n}{2}(2 + 3n - 3) = \frac{n(3n - 1)}{2}\).</p><p>25. **Qual é o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - x}\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 5</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty}</p><p>\frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5}\).</p><p>26. **Qual é o valor de \(\int (2x^3 + 3x^2 - 5) \, dx\)?**</p><p>A) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5x + C\)</p><p>B) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5 + C\)</p><p>C) \(\frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 5 + C\)</p><p>D) \(\frac{2}{4}x^4 + x^3 - 5x + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5x + C\)</p><p>**Explicação:** A integral de \(2x^3\) é \(\frac{1}{2}x^4\), de \(3x^2\) é \(x^3\), e de \(-5\) é</p><p>\(-5x\). Assim, \(\int (2x^3 + 3x^2 - 5) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 5x + C\).</p><p>27. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x}\)?**</p><p>A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</p><p>B) \(\frac{2}{\sqrt{x}}\)</p><p>C) \(\frac{1}{x}\)</p><p>D) \(\frac{\sqrt{x}}{2}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do poder, a derivada de \(f(x) = x^{1/2}\) é \(\frac{1}{2}x^{-</p><p>1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).</p><p>28. **Qual é a soma dos primeiros 10 números naturais?**</p><p>A) 45</p><p>B) 50</p><p>C) 55</p><p>D) 60</p><p>**Resposta:** C) 55</p><p>**Explicação:** A soma dos primeiros \(n\) números naturais é dada por \(S_n = \frac{n(n</p><p>+ 1)}{2}\). Aqui, \(n = 10\), então \(S_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55\).</p><p>29. **Qual é o resultado de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) \(\frac{\pi}{2}\)</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{2}\),</p><p>temos \([- \cos(\frac{\pi}{2})] - [- \cos(0)] = [0 - (-1)] = 1\).</p><p>30. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** Este limite é fundamental em cálculo, e pode ser demonstrado usando</p><p>a regra de L'Hôpital ou a definição da série de Taylor de \(\tan(x)\).</p><p>31. **Qual é a integral definida \(\int_1^3 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p>