Prévia do material em texto

<p>\int (4x - 2) \, dx = 2x^2 - 2x + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 0 \) a \( 1 \):</p><p>\[</p><p>[2(1^2) - 2(1)] - [0] = [2 - 2] = 0</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 0 \).</p><p>59. **Problema 59:** Determine o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x +</p><p>1}{2x^2 + 4} \).</p><p>a) \( \frac{5}{2} \)</p><p>b) \( 3 \)</p><p>c) \( 0 \)</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Dividindo todos os termos por \( x^2 \):</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{4}{x^2}} = \frac{5 + 0 + 0}{2 +</p><p>0} = \frac{5}{2}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( \frac{5}{2} \).</p><p>60. **Problema 60:** Qual é a solução da equação \( y' + 5y = e^{-x} \)?</p><p>a) \( y = Ce^{-5x} + \frac{1}{6} e^{-x} \)</p><p>b) \( y = Ce^{-5x} - \frac{1}{6} e^{-x} \)</p><p>c) \( y = Ce^{5x} + e^{-x} \)</p><p>d) \( y = Ce^{-x} + e^{5x} \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>O fator integrante é \( e^{\int 5 dx} = e^{5x} \):</p><p>Multiplicando a equação:</p><p>\[</p><p>e^{5x}y' + 5e^{5x}y = e^{4x}</p><p>\]</p><p>A parte esquerda se torna:</p><p>\[</p><p>\frac{d}{dx}(e^{5x}y) = e^{4x}</p><p>\]</p><p>Integrando ambos os lados:</p><p>\[</p><p>e^{5x}y = \frac{1}{5} e^{4x} + C \implies y = Ce^{-5x} + \frac{1}{5} e^{-x}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( y = Ce^{-5x} + \frac{1}{5} e^{-x} \).</p><p>61. **Problema 61:** Calcule a integral \( \int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 1 \)</p><p>c) \( 2 \)</p><p>d) \( 3 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A integral é:</p><p>\[</p><p>\int (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 0 \) a \( 2 \):</p><p>\[</p><p>\left[\frac{2^4}{4} - 2^3 + 2(2)\right] - \left[0\right] = \left[4 - 8 + 4\right] = 0</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 0 \).</p><p>62. **Problema 62:** Determine a solução da equação \( y'' + y = 0 \).</p><p>a) \( y = A\cos(x) + B\sin(x) \)</p><p>b) \( y = Ae^{x} + Be^{-x} \)</p><p>c) \( y = A\cosh(x) + B\sinh(x) \)</p><p>d) \( y = A + Bx \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral é:</p><p>\[</p><p>y = A\cos(x) + B\sin(x)</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( y = A\cos(x) + B\sin(x) \).</p><p>63. **Problema 63:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( \frac{1}{6} \)</p><p>c) \( 1 \)</p><p>d) \( -1 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Usando a expansão de Taylor para \( \sin(x) \):</p><p>\[</p><p>\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)</p><p>\]</p><p>Portanto:</p><p>\[</p><p>x - \sin(x) \approx \frac{x^3}{6}</p><p>\]</p><p>Assim, o limite se torna:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( \frac{1}{6} \).</p><p>64. **Problema 64:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \).</p><p>a) \( 1 \)</p><p>b) \( 2 \)</p><p>c) \( 3 \)</p><p>d) \( 4 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A integral é:</p><p>\[</p><p>\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 0 \) a \( 1 \):</p><p>\[</p><p>\left[\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1\right] - \left[0\right] = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( \frac{7}{3} \).</p><p>65. **Problema 65:** Calcule \( \int_1^2 (x^3 - 2x) \, dx \).</p><p>a) \( 2 \)</p><p>b) \( 0 \)</p><p>c) \( 1 \)</p><p>d) \( 3 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A integral é:</p><p>\[</p><p>\int (x^3 - 2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 1 \) a \( 2 \):</p><p>\[</p><p>\left[\frac{2^4}{4} - 2^2\right] - \left[\frac{1^4}{4} - 1^2\right] = \left[4 - 4\right] -</p><p>\left[\frac{1}{4} - 1\right] = 0 - \left[-\frac{3}{4}\right] = \frac{3}{4}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( \frac{3}{4} \).</p><p>66. **Problema 66:** Qual é o valor do determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1</p><p>& 4 \end{pmatrix} \)?</p>