conhecimento 4d9m5

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51. **Problema 51:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \infty \) 
 D) -1 
 **Resposta correta:** B) 1 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{1/(1 + x)}{1} 
= 1 \). 
 
52. **Problema 52:** Calcule a integral \( \int (3x^2 + 2x) \, dx \). 
 A) \( x^3 + x^2 + C \) 
 B) \( 3x^3 + x^2 + C \) 
 C) \( x^3 + 2x^2 + C \) 
 D) \( \frac{3x^3}{3} + C \) 
 **Resposta correta:** A) \( x^3 + x^2 + C \) 
 **Explicação:** Ao integrar, obtemos \( \int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C \). 
 
53. **Problema 53:** Determine o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 2x + 
1}{2x^2 + x - 3} \). 
 A) 2 
 B) 3 
 C) 1 
 D) -1 
 **Resposta correta:** A) 2 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), temos \( \lim_{x \to \infty} \frac{4 
- \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}} = \frac{4}{2} = 2 \). 
 
54. **Problema 54:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( \frac{2}{3} \) 
 C) \( \frac{1}{3} \) 
 D) 1 
 **Resposta correta:** B) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Temos \( \int (1 - x^2) dx = x - \frac{x^3}{3}\) avaliado de 0 a 1, resultando 
em \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). 
 
55. **Problema 55:** Determine a integral \( \int (5x^4 + 4x^3 - 2x) \, dx \). 
 A) \( x^5 + x^4 - x^2 + C \) 
 B) \( x^5 + x^4 + C \) 
 C) \( x^5 + x^4 + x^2 + C \) 
 D) \( \frac{5x^5}{5} + C \) 
 **Resposta correta:** A) \( x^5 + x^4 - x^2 + C \) 
 **Explicação:** Integrando cada termo: \( \frac{5}{5}x^5 + \frac{4}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 
C = x^5 + x^4 - x^2 + C \). 
 
56. **Problema 56:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 5 
 D) Não existe 
 **Resposta correta:** C) 5 
 **Explicação:** Aplicando a propriedade de limites, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k 
\) com \( k = 5 \). 
 
57. **Problema 57:** Calcule \( \int (3\cos(x) + 4\sin(x)) \, dx \). 
 A) \( 3\sin(x) - 4\cos(x) + C \) 
 B) \( 3\sin(x) + 4\cos(x) + C \) 
 C) \( -3\sin(x) + 4\cos(x) + C \) 
 D) \( 3\sin(x) + 4\cos(x) - C \) 
 **Resposta correta:** A) \( 3\sin(x) - 4\cos(x) + C \) 
 **Explicação:** Integrando, obtemos \( 3\sin(x) - 4\cos(x) + C\). 
 
58. **Problema 58:** Determine o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + 
\frac{1}{x}\right)^x \). 
 A) 0 
 B) \( \ln(1) \) 
 C) \( e \) 
 D) \( e^2 \) 
 **Resposta correta:** C) \( e \) 
 **Explicação:** Esta é a definição clássica do número de Euler \( e \). 
 
59. **Problema 59:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 4 
 D) Não existe 
 **Resposta correta:** C) 4 
 **Explicação:** Usando a regra \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \), temos \( k = 4 \). 
 
60. **Problema 60:** Calcule a integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - 5) \, dx \). 
 A) \( \frac{2x^4}{4} + x^3 - 5x + C \) 
 B) \( \frac{2x^4}{4} + x^3 + C \) 
 C) \( 2x^4 + x^3 - 5x + C \) 
 D) \( x^3 + x^2 + C \) 
 **Resposta correta:** A) \( \frac{2x^4}{4} + x^3 - 5x + C \) 
 **Explicação:** Integrando cada termo, obtemos \( \frac{1}{2} x^4 + x^3 - 5x + C \). 
 
61. **Problema 61:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx \). 
 A) 0 
 B) \( -1 \) 
 C) \( x^4 - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 + C \) 
 D) \( \frac{9}{4} \) 
 **Resposta correta:** A) 0