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<p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{x - \left(x + \frac{x^3}{3}\right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-</p><p>\frac{x^3}{3}}{x^3} = -\frac{1}{3}.</p><p>\]</p><p>53. **Problema 53**: Determine a derivada de \( f(x) = \sin(3x) \).</p><p>a) \( 3\cos(3x) \)</p><p>b) \( 3\sin(3x) \)</p><p>c) \( \cos(3x) \)</p><p>d) \( 3\sin(3) \)</p><p>**Resposta**: a) \( 3\cos(3x) \)</p><p>**Explicação**: Usamos a regra da cadeia:</p><p>\[</p><p>f'(x) = 3\cos(3x).</p><p>\]</p><p>54. **Problema 54**: Calcule a integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx \).</p><p>a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)</p><p>b) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4 + C \)</p><p>c) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x^2 + C \)</p><p>d) \( \frac{1}{2}x^4 + 3x^2 - 4 + C \)</p><p>**Resposta**: a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)</p><p>**Explicação**: Aplicando a regra da potência:</p><p>- \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \)</p><p>- \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \)</p><p>- \( \int -4 \, dx = -4x \)</p><p>Portanto, a integral é \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \).</p><p>55. **Problema 55**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \).</p><p>a) 4</p><p>b) 0</p><p>c) 1</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta**: a) 4</p><p>**Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k \). Portanto:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = 4.</p><p>\]</p><p>56. **Problema 56**: Determine a integral \( \int (3x^2 + 5x - 2) \, dx \).</p><p>a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C \)</p><p>b) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2 + C \)</p><p>c) \( x^3 + 5x - 2 + C \)</p><p>d) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x^2 + C \)</p><p>**Resposta**: a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C \)</p><p>**Explicação**: Aplicando a regra da potência:</p><p>- \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \)</p><p>- \( \int 5x \, dx = \frac{5}{2}x^2 \)</p><p>- \( \int -2 \, dx = -2x \)</p><p>Portanto, a integral é \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C \).</p><p>57. **Problema 57**: Calcule a derivada de \( f(x) = \tan(5x) \).</p><p>a) \( 5\sec^2(5x) \)</p><p>b) \( 5\sin(5x) \)</p><p>c) \( \sec^2(5x) \)</p><p>d) \( 5\tan(5) \)</p><p>**Resposta**: a) \( 5\sec^2(5x) \)</p><p>**Explicação**: Usamos a regra da cadeia:</p><p>\[</p><p>f'(x) = 5\sec^2(5x).</p><p>\]</p><p>58. **Problema 58**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \).</p><p>a) \( -\frac{1}{6} \)</p><p>b) 0</p><p>c) 1</p><p>d) \( \frac{1}{6} \)</p><p>**Resposta**: a) \( -\frac{1}{6} \)</p><p>**Explicação**: Usamos a série de Taylor para \( \sin(x) \):</p><p>\[</p><p>\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).</p><p>\]</p><p>Assim:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{x - \left(x - \frac{x^3}{6}\right)}{x^3} = \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}.</p><p>\]</p><p>59. **Problema 59**: Determine a integral \( \int (4x^2 - 3x + 2) \, dx \).</p><p>a) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)</p><p>b) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + C \)</p><p>c) \( \frac{4}{3}x^3 - 3x + 2 + C \)</p><p>d) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \)</p><p>**Resposta**: a) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)</p><p>**Explicação**: Aplicando a regra da potência:</p><p>- \( \int 4x^2 \, dx = \frac{4}{3}x^3 \)</p><p>- \( \int -3x \, dx = -\frac{3}{2}x^2 \)</p><p>- \( \int 2 \, dx = 2x \)</p><p>Portanto, a integral é \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \).</p><p>60. **Problema 60**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 3</p><p>b) 2</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>**Resposta**: a) 3</p><p>**Explicação**: O limite pode ser simplificado. O numerador \( x^3 - 1 \) pode ser</p><p>fatorado como \( (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Assim, temos:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3.</p><p>\]</p><p>61. **Problema 61**: Determine a derivada de \( f(x) = e^{-2x} \).</p><p>a) \( -2e^{-2x} \)</p><p>b) \( 2e^{-2x} \)</p><p>c) \( -e^{-2x} \)</p><p>d) \( e^{-2x} \)</p><p>**Resposta**: a) \( -2e^{-2x} \)</p><p>**Explicação**: Usamos a regra da cadeia:</p><p>\[</p><p>f'(x) = -2e^{-2x}.</p><p>\]</p><p>62. **Problema 62**: Calcule a integral \( \int (2x^4 - 3x^3 + 5) \, dx \).</p><p>a) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x + C \)</p><p>b) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5 + C \)</p><p>c) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x^2 + C \)</p><p>d) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x^3 + C \)</p><p>**Resposta**: a) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x + C \)</p><p>**Explicação**: Aplicando a regra da potência:</p><p>- \( \int 2x^4 \, dx = \frac{2}{5}x^5 \)</p><p>- \( \int -3x^3 \, dx = -\frac{3}{4}x^4 \)</p><p>- \( \int 5 \, dx = 5x \)</p>