Problema 58: Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}. a) -\frac{1}{6} b) 0 c) 1 d) \frac{1}{6}

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\), podemos usar a série de Taylor para \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] Substituindo isso na expressão, temos: \[ x - \sin(x) = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = \frac{x^3}{6} - O(x^5) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} - O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{6} - O(x^2) \] Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo \(O(x^2)\) se aproxima de 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{6} - O(x^2)\right) = \frac{1}{6} \] Assim, a resposta correta é: d) \(\frac{1}{6}\)