matricula da aula BZM

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<p>22. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) 6</p><p>**Resposta:** c) 3</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\).</p><p>23. Determine o valor de \(f'(2)\) para \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Então, \(f'(2) = 3(2^2) - 6(2) + 2 = 1\).</p><p>24. Calcule a integral \(\int_0^1 (2x + 1) \, dx\).</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>**Resposta:** b) 2</p><p>**Explicação:** A integral é \(\left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2\).</p><p>25. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta:** d) 3</p><p>**Explicação:** Fatorando: \(\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = x^2 + x + 1\). Assim, o limite é</p><p>\(3\).</p><p>26. Determine a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\).</p><p>a) \(-\frac{1}{x^2}\)</p><p>b) \(\frac{1}{x^2}\)</p><p>c) \(-\frac{2}{x^3}\)</p><p>d) \(\frac{2}{x}\)</p><p>**Resposta:** a) \(-\frac{1}{x^2}\)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = -x^{-2}\).</p><p>27. Encontre a integral \(\int (5x^4) \, dx\).</p><p>a) \(x^5 + C\)</p><p>b) \(5x^5 + C\)</p><p>c) \(\frac{5}{5}x^5 + C\)</p><p>d) \(\frac{5}{6}x^6 + C\)</p><p>**Resposta:** d) \(\frac{5}{5}x^5 + C\)</p><p>**Explicação:** A integral de \(5x^4\) é \(\frac{5}{5}x^5 + C = x^5 + C\).</p><p>28. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \(\infty\)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** Usamos a regra \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1\), então \(\lim_{x \to 0}</p><p>\frac{x^2}{\sin(x)} = 0\).</p><p>29. Determine a segunda derivada de \(g(x) = x^2 + 4x + 4\).</p><p>a) 0</p><p>b) 2</p><p>c) 4</p><p>d) 8</p><p>**Resposta:** b) 2</p><p>**Explicação:** A primeira derivada é \(g'(x) = 2x + 4\) e a segunda derivada é \(g''(x) =</p><p>2\).</p><p>30. Calcule a integral \(\int (2x^3 + 3x^2) \, dx\).</p><p>a) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 + C\)</p><p>b) \(\frac{2}{4}x^4 + x^3 + C\)</p><p>c) \(\frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{3}x^3 + C\)</p><p>d) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 + C\)</p><p>**Resposta:** d) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 + C\)</p><p>**Explicação:** A integral é \(\frac{1}{4}x^4 + x^3 + C\).</p><p>31. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) \(\infty\)</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta em \(1\).</p><p>32. Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).</p><p>a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\)</p><p>c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\)</p><p>**Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\).</p><p>33. Encontre a integral \(\int (4x^3 - 2) \, dx\).</p><p>a) \(x^4 - 2x + C\)</p><p>b) \(x^4 - x + C\)</p><p>c) \(x^4 - 2x^2 + C\)</p><p>d) \(x^4 - 2 + C\)</p><p>**Resposta:** a) \(x^4 - 2x + C\)</p><p>**Explicação:** A integral é \(\frac{4}{4}x^4 - 2x + C = x^4 - 2x + C\).</p><p>34. Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 1}{2x^2 + 4}\).</p><p>a) 0</p><p>b) \(\frac{5}{2}\)</p><p>c) 2</p><p>d) 1</p><p>**Resposta:** b) \(\frac{5}{2}\)</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau \(x^2\), obtemos \(\frac{5 +</p><p>\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{4}{x^2}} \to \frac{5}{2}\).</p><p>35. Determine o valor de \(f'(1)\) para \(f(x) = 3x^2 - 5x + 4\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** \(f'(x) = 6x - 5\). Portanto, \(f'(1) = 6(1) - 5 = 1\).</p><p>36. Calcule a integral \(\int_1^4 (3x^2) \, dx\).</p><p>a) 15</p><p>b) 30</p><p>c) 20</p><p>d) 25</p><p>**Resposta:** b) 30</p><p>**Explicação:** A integral é \(\left[ x^3 \right]_1^4 = 64 - 1 = 63\).</p>