Distribuição de Probabilidade

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ESTATÍSTICA APLICADA À 
EDUCAÇÃO FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
O estudo da probabilidade é de grande importância para a tomada de 
decisões em nossa sociedade. Conhecemos como probabilidade a área da 
matemática que estuda a chance de um determinado evento acontecer. 
A probabilidade conta com conceitos importantes, como experimento 
aleatório, evento, espaço amostral e eventos equiprováveis. A distribuição de 
probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da 
variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. 
Nesta aula, você estudará distribuição de probabilidade e suas 
ramificações. 
 
Bons estudos! 
 
 
AULA 5 – ESTATÍSTICA 
E PROBABILIDADE 
 
 
5 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que 
descreve o número de sucessos em uma sequência fixa de experimentos 
independentes, onde cada experimento tem apenas dois resultados possíveis: 
sucesso ou fracasso, mas também podem ser interpretados de várias outras 
maneiras, como "sim" e "não", "1" e "0", etc. 
Os principais requisitos para que um experimento possa ser modelado usando 
a distribuição binomial são: 
1. Os experimentos devem ser independentes: O resultado de um experimento 
não deve afetar o resultado dos outros. 
2. Cada experimento tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. 
3. A probabilidade de sucesso é constante: A probabilidade de sucesso em cada 
experimento é a mesma. 
De acordo com Spiegel e Stephens (2009), se p é a probabilidade de um evento 
acontecer em uma tentativa única (probabilidade de um sucesso) e q = 1 - p é a 
probabilidade de o evento não ocorrer em uma tentativa única (probabilidade de um 
insucesso), então a probabilidade do evento ocorrer exatamente X vezes em N 
tentativas (ou seja, de haver X sucessos e N - X insucessos) é dada por: 
 
𝑝 (𝑋) = [
𝑁
𝑋
] 𝑝𝑥𝑞𝑁−𝑋 =
𝑁!
𝑋!(𝑁−𝑋)!
 𝑝𝑥𝑞𝑁−𝑋 (1) 
 
em que 𝑋 = 0, 1, 2. … 𝑁 𝑒 𝑁! = 𝑛(𝑛 − 1 ) … 1; 𝑒 0! = 1, por definição. 
Exemplo 1 - A probabilidade de obter exatamente 2 caras em 6 lances de uma 
moeda não-viciada é: 
 
(
6
2
) (
1
2
)
2
(
1
2
)
6−2
=
6
2! 4!
(
1
2
)
6
=
15
64
 
 
usando a equação (1) com 𝑁 = 6, 𝑋 = 2 𝑒 𝑝 = 𝑞 =
1
2
. 
Usando o EXCEL, a avaliação da probabilidade de 2 caras em 6 lances é dada 
como a seguir: 
=BINOMDIST (2;6;0;5:0), onde a função BINOMDIST tem 4 parâmetros. 
 
 
O primeiro parâmetro é o número de sucessos, o segundo é o número de 
tentativas, o terceiro é a probabilidade de sucesso e o quarto é 0 ou 1. Um 0 fornece 
a probabilidade do número de sucessos e um 1 fornece a probabilidade acumulada 
(SPIEGEL, 2009). A função =BINOMDIST (2,6,0,5,0) resulta em 0,234375 que é o 
mesmo que 15/64. 
 
Exemplo 2 
A probabilidade de obter ao menos 4 caras em 6 lances de uma moeda não-
viciada é: 
(
6
2
) (
1
2
)
4
(
1
2
)
6−2
+ (
6
5
) (
1
2
)
5
(
1
2
)
6−5
+ (
6
6
) (
1
2
)
6
(
1
2
)
6−6
 =
15
64
+
6
64
+
1
64
 =
11
32
 
 
A distribuição discreta de probabilidade (1) é denominada, frequentemente, 
distribuição binomial, visto que para 𝑋 = 0, 1, 2, … , 𝑁 correspondem os termos 
sucessivos da fórmula binomial ou expansão binomial, 
 
(𝑞 + 𝑝)𝑁 = 𝑞𝑛 + (
𝑁
1
) 𝑞𝑁−1𝑝 + (
𝑁
2
) 𝑞𝑁−2𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑁 
em que 1, (
𝑁
1
) , (
𝑁
2
) , …são denominados coeficientes binomiais. 
 
Usando o EXCEL, a solução é =1- BINOMDIST (3;6;0,5,1) ou 0,34375 que é o 
mesmo que 11/32. Visto que Pr{𝑋 ≥ 4} = 1 − Pr{𝑋 ≤ 3} e BINOMDIST (3;6;0,5,1) = 
Pr{𝑋 ≤ 3} esse cálculo resulta na probabilidade de pelo menos 4 caras (SPIEGEL; 
STEPHENS, 2009). 
Exemplo 3 
 
Algumas propriedades da distribuição binomial estão relacionadas na Tabela 1 
a seguir: 
 
 
 
Tabela 1 - Distribuição binomial 
 
Fonte: SPIEGEL; STEPHENS, 2009. 
Exemplo 4 
Em 100 lances de uma moeda honesta, a média do números de cara é 𝔲 = 𝑁𝑝 =
(100) (
1
2
) = 50. Esse é o número esperado de caras em 100 lances da moeda. O 
desvio padrão é ℴ = √𝑁𝑝𝑞 = √(100) (
1
2
) (
1
2
) = 5. 
5.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição contínua de 
probabilidade é a distribuição ou curva normal, ou a distribuição de Gauss, definida 
pela equação 
𝑌 =
1
ℴ√2𝜋
 𝑒−1/2(𝑋−𝔲)2/ℴ2
 (3) 
 
na qual 𝔲 = média, ℴ = desvio padrão, 𝜋 = 3,14159... e 𝑒 = 2,71828 … A 
área total limitada pela curva (3) e pelo eixo dos X é igual a 1; portanto, a área sob a 
curva, compreendida entre as duas coordenadas X=a e X=b, em que 𝑎sala de emergência tem uma 
distribuição de Poisson e a média é 5. Determine a probabilidade de no máximo 3 
admissões por dia e a probabilidade de pelo menos 8 admissões por dia. A 
probabilidade de no máximo 3 é Pr{𝑋 ≤ 3} = 𝑒−5 − {
50
0!
+
51
1!
 +
52
2!
 +
53
3!
} . Onde, 𝑒−5 =
0,006738 e Pr{𝑋 ≤ 3} = 0,006738 {1 + 5 + 12,5 + 20,8333} = 0,265. Usando o 
MINITAB, o menu pull-down “Calc⟹Probability distribution ⟹Posison” fornece a 
caixa de diálogo da distribuição de Poisson, a qual é preenchida conforme mostra a 
Figura 3. 
A seguinte saída é obtida: 
 
 
 
A probabilidade de pelo menos 8 admissões é Pr{𝑋 ≥ 8} = 1 − Pr{𝑋 ≤ 7}. 
Usando o MINITAB, obtemos: 
Figura 3 - Caixa de diálogo da distribuição de Poisson no MINITAB. 
 
Fonte: Spiegel; Stephens 2009. 
 
 
Algumas propriedades da distribuição de Poisson estão relacionadas na Tabela 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 3 - Distribuições de Poisson 
 
Fonte: Spiegel; Stephens 2009. 
5.4 Relações entre as distribuições binomial e de Poisson 
Na distribuição binomial (1), se N for grande, enquanto a probabilidade p da 
ocorrência de um evento for próximo de zero, de forma que q = (1 - p) tende para 1, o 
evento será́ denominado raro. Na prática, consideramos um evento como raro quando 
o número de tentativas é, pelo menos, igual a 50 (𝑁 ≥ 50), ao passo que Np é menor 
do que 5. Nesses casos, a distribuição binomial (1) é muito aproximada da de Poisson 
(5), com 𝜆 = 𝑁𝑝. Isso é indicado mediante a comparação das Tabelas 1 e 3 porque, 
fazendo 𝜆 = 𝑁𝑝, 𝑞 ≈ 1 e p≈ 0, na Tabela 1, obtemos os resultados da Tabela 3. 
Como há́ uma relação entre as distribuições binomial e normal, concluímos que 
também há́ uma relação entre a de Poisson e a normal. Realmente, podemos 
demonstrar que a distribuição de Poisson se aproxima de uma normal, com a variável 
reduzida (X - 𝜆)/ √𝜆 , quando 𝜆 cresce indefinidamente (SPIEGEL; STEPHENS, 
2009). 
5.5 Funções de distribuição para variáveis aleatórias discretas 
A função de distribuição para uma variável aleatória discreta X pode ser obtida 
da sua função de probabilidade, observando que, para todo x em (−∞, ∞), 
 (6) 
onde a soma é sobre todos os valores u assumidos por X para os quais 𝑢 ≤ 𝑥. 
 
 
Se X assume apenas um número finito de valores 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛, então, a função de 
distribuição é dada por: 
(7) 
Exemplo 2.3 
Encontre a função de distribuição para a variável aleatória X e (b) obtenha o seu 
gráfico (SPIEGEL; SCHILLER; SRINIVASAN, 2013) 
 
Tabela 4 
 
(a) A função de distribuição é: 
 
(b) O gráfico de F(x) é mostrado na Fig. 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Gráfico 
 
Fonte: Spiegel; Schiller; Srinivasan, 2013. 
 
Os seguintes aspectos sobre a função de distribuição acima, que são, em geral, 
verdadeiros, devem ser observados. 
1. As magnitudes dos saltos em 0, 1, 2 são 
1
4
,
1
2
,
1
4
, que são precisamente as 
probabilidades da Tabela 4. Este fato nos permite obter a função de probabilidade da 
função de distribuição. 
2. Em virtude da aparência do gráfico da Figura 4, ele é geralmente chamado de 
uma função em escada ou função degrau. O valor da função em um inteiro é obtido 
do degrau mais alto; portanto, o valor em 1 é 
3
4
 e não 
1
4
. Isto é expresso 
matematicamente declarando que a função de distribuição é contínua à direita em 0, 
1, 2. 
3. À medida que seguimos da esquerda para a direita (isto é, subimos), a função 
de distribuição ou permanece a mesma ou aumenta, assumindo valores de 0 a 1. Por 
causa disto, ela é dita ser uma função monotonicamente crescente. 
Está claro, das observações acima e das propriedades das funções de 
distribuição, que a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta pode 
ser obtida da função de distribuição, observando que: 
 
 
 
5.6 Variáveis aleatórias contínuas 
Uma variável aleatória não discreta X é dita ser absolutamente contínua ou 
simplesmente contínua, se sua função de distribuição pode ser representada como: 
(8) 
onde a função f(x) tem as propriedades: 
 
Segue, das propriedades acima, que se X é uma variável aleatória contínua, 
então a probabilidade de que X assuma qualquer valor em particular é zero, enquanto 
que a probabilidade intervalar de que X está entre dois valores diferentes, digamos, a 
e b, é dada por: 
(9) 
Exemplo 2.4 
Se um indivíduo é selecionado ao acaso de um grande grupo de homens 
adultos, a probabilidade de que sua altura X seja precisamente 68 polegadas (isto é, 
68.000... polegadas) seria zero. Entretanto, existe uma probabilidade maior do que 
zero de que X esteja entre 67.000... polegadas e 68.500... polegadas, por exemplo 
(SPIEGEL; SCHILLER; SRINIVASAN, 2013). 
A função f(x) que satisfaz os requisitos acima é chamada de uma função de 
probabilidade ou distribuição de probabilidade para uma variável aleatória contínua, 
mas ela é mais frequentemente chamada de uma função densidade de probabilidade 
ou simplesmente função densidade. Qualquer função f(x) que satisfaz as 
Propriedades 1 e 2 acima será́ automaticamente uma função densidade, e as 
probabilidades requeridas podem ser obtidas por (9) (SPIEGEL; SCHILLER; 
SRINIVASAN, 2013). 
 
 
 
Exemplo 2.5 
(a) Encontre a constante c tal que a função: 
 
 
seja uma função densidade e (b) calcule 𝑃(1