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Cálculos das medidas de ângulos 
internos de polígonos – Parte 1
Matemática
Ensino Médio
2o bimestre – Aula 14 – Sequência de Atividades 6
● Medidas de ângulos internos 
e externos de polígonos.
● Calcular medidas de ângulos 
internos de polígonos 
regulares;
● Resolver problemas 
envolvendo ângulos internos 
e externos de polígonos 
regulares.
(Portal da Matemática – OBMEP) Dois dos lados não congruentes de 
um paralelogramo medem 2x + 5 e 3x, em centímetros. Se o perímetro 
desse paralelogramo é 100 cm, determine o valor de x.
Aquecendo a memória
Identifique e localize 10 MINUTOS
Aquecendo a memória – Correção 
Chamando de a e b os lados não paralelos e não congruentes, e 
relacionando as expressões, para o lado “a” designaremos a 
expressão 3x, para o lado “b”, a expressão 2x +5, então o perímetro 
do paralelogramo será dado por: 
2 ∙ a+ 2 ∙ b = 100 ⇒ 2 ∙ 3x + 2 ∙ 2x+ 5 = 100 ⇒
⇒ 6x+ 4x+ 10 = 100 ⇒ 10x+ 10 = 100 ⇒ 10x = 100 − 10 ⇒
10x = 90 ⇒ x =
90
10
⇒ x = 9
Portanto, as medidas dos lados a e b serão:
a = 3x ⇒ a = 3 ∙ 9 = 27 cm.
b = 2x+ 5 ⇒ b = 2 ∙ 9+ 5 ⇒ b = 18+ 5 ⇒ b = 23 cm.
Como determinar a soma das medidas dos ângulos 
internos de um polígono regular. 
n lados 
α =
180° − n − 2
n
Soma dos ângulos internos
Ângulo interno 
Sn = n− 2 ∙ 180°
Certo é certo 10 MINUTOS
Demonstração:
Considerando um polígono convexo de n lados e n > 3, podemos 
decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice 
qualquer.
Quadrado
2 
triângulos
Pentágono
3 
triângulos
Hexágono
4 
triângulos
Heptágono
5 
triângulos
Octógono
6 
triângulos
Visualização:
No link a seguir, você verá como podemos verificar a partição de 
polígonos em triângulos. 
https://www.geogebra.org/m/epu5un5d
https://www.geogebra.org/m/epu5un5d
Veja que há uma relação entre o número de lados do polígono e a 
quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo.
Quantidade 
de lados (n)
4 5 6 7 8 ⋯ n
Quantidade 
de triângulos 
2 3 4 5 6 ⋯ n − 2
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 
igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os n − 2
triângulos que o compõem, e ainda, a soma das medidas dos ângulos 
internos de cada triângulo sendo igual a 180º, temos:
S𝛼 = n− 2 ∙ 180°
Se quisermos determinar a medida do ângulo interno do polígono 
regular, basta dividir o valor da soma dos ângulos internos pela 
quantidade de lados (n) do polígono, conforme segue:
α =
n − 2 ∙ 180°
n
A seguir, demonstraremos que em qualquer polígono regular a soma 
das medidas dos ângulos externos é sempre igual a 360º. 
Em qualquer polígono, a soma das 
medidas dos ângulos internos e externos 
é igual a um ângulo raso, assim:
α + β = 180°
Então, para cada par de ângulos 
associados a um lado n do polígono, 
temos: 
α1 + β1 = 180°
α2 + β2 = 180°
α3 + β3 = 180°
⋮ + ⋮ = 180°
αn + βn = 180°
α1 + β1 = 180°
α2 + β2 = 180°
α3 + β3 = 180°
⋮ + ⋮ = 180°
αn + βn = 180°
Somando membro a membro as n igualdades, temos:
Sα + Sβ = n ∙ 180° ൞
Sα Soma dos ângulos internos.
Sβ Soma dos ângulos externos.
n Quantidade de lados do polígono.
Sα + Sβ = n ∙ 180° ⇒ Sβ = n ∙ 180° − Sα (I)
Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por: 
Sα = n− 2 ∙ 180° (II)
Substituindo a equação (II) em (I), temos:
Sβ = 180° ∙ n − n− 2 ∙ 180° ⇒ 180° ∙ n − 180° ∙ n− 360° ⇒
Sβ = 180° ∙ n − 180° ∙ n + 360° ⇒ Sβ = 360°
Uma consequência imediata do resultado obtido seria a determinação 
da medida de um ângulo externo de um polígono regular, dada por: 
𝛃 =
S𝛃
n
ou
360°
n
Analise cada polígono a seguir e determine a medida de cada ângulo 
que falta na figura.
Atividade 1
a. b. c.
Mostre-me 10 MINUTOS
Aprender Sempre, Caderno do Aluno, S.A. 6, Aulas 1 e 2, Ativ. 1 pg. 182.
Atividade 1 – Correção
a.
1
2
No triângulo 1, temos:
30° + 120° + x = 180° ⇒ 150° + x = 180° ⇒
⇒ x = 180° − 150° ⇒ x = 30°
No triângulo 2, temos:
60° + 80° + y = 180° ⇒ 140° + y = 180° ⇒
⇒ y = 180° − 140° ⇒ y = 40°
Atividade 1 – Correção
b.
x + 80° = 180° ⇒ x = 180° − 80° ⇒ x = 100°
y + 125° = 180° ⇒ x = 180° − 125° ⇒ y = 55°
Nesse caso, podemos constatar que a soma das 
medidas dos ângulos internos não adjacentes é 
igual à medida de um dos ângulos externos, por 
exemplo: 
100° + 25° = 125°
55° + 25° = 80°
Atividade 1 – Correção
c.
x + 80° + 110° + 50° = 360° ⇒ x+ 240° = 360° ⇒
⇒ x = 360° − 240° ⇒ x = 120°
Um ângulo da estrela
(Clube da Matemática –
OBMEP) Cinco prédios de 
uma cidade estão 
posicionados de forma que 
cada um pode ser 
representado pelo vértice 
de um pentágono estrelado, 
conforme mostra a figura.
Qual é a medida do ângulo 𝛼, em graus?
Mostre-me 15 MINUTOS
Um ângulo da estrela – Correção 
Como ângulos opostos pelo 
vértice têm a mesma medida, 
podemos destacar as 
seguintes medidas de pares 
de ângulos na figura.
Observe que cada quíntupla a, b, c, d, e corresponde a medidas de uma 
sequência de ângulos externos do pentágono que aparece no centro da 
figura.
Um ângulo da estrela – Correção 
Como a soma das medidas dos 
ângulos externos de um polígono 
convexo é sempre 360º, 
concluímos que:
a+ b+ c+ d+ e = 360°
Um ângulo da estrela – Correção 
Agora, note que em cada triângulo 
que forma uma ponta da estrela, a 
soma das medidas dos ângulos 
internos é 180º.
Logo, somando as medidas de todos os ângulos 
internos de todas as pontas, segue que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )42 e a 38 a b 30 b c 37 c d α d e 180 5 + + +  + + +  + + +  + + + + + =  
( ) ( )42 38 30 37 2 a b c d e α 180 5 +  +  +  +  + + + + + = 
147 2 360 α 900 147 720 α 900 867 α 900
α 900 867 α 33
 +   + =   +  + =   + =  
 =  −   = 
● Resolvemos problemas envolvendo 
ângulos internos e externos de 
polígonos.
Lista de figuras
Slides 4, 5, 6, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19 – Elaboradas pelo autor.
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: 
Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Professor, volume 2, parte 2, Sequência de 
Atividades 6, aulas 5 e 6, 2023.
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	Slide 2
	Slide 3: Aquecendo a memória
	Slide 4: Aquecendo a memória – Correção 
	Slide 5: Como determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular. 
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	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14: Atividade 1
	Slide 15: Atividade 1 – Correção
	Slide 16: Atividade 1 – Correção
	Slide 17: Atividade 1 – Correção
	Slide 18: Um ângulo da estrela
	Slide 19: Um ângulo da estrela – Correção 
	Slide 20: Um ângulo da estrela – Correção 
	Slide 21: Um ângulo da estrela – Correção 
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