Quadriláteros

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Edson Samuel Manhoso 
Edson Samuel Manhoso 
1. Quadriláteros 
Quadriláteros são todas figuras geométricas com 4 (quatro) lados iguais ou diferentes. 
Isto é, são polígonos com 4 (quatro) lados. 
 Os quadriláteros são as figuras mais utilizadas na criação de estruturas e outros objectos 
que nos cercam, como por exemplo: 
 Na fachada de um edifício; 
 Na construção de uma quadra de tênis; 
 Em estruturas de telhados e coberturas; 
 Em obras artísticas. 
 Quadrilátero é a figura formada por quatro pontos no plano, pelos vértices e pelos 
segmentos que os unem. 
 
 Um quadrilátero tem: 
 
 
 
Fig.1. 
 
Exemplo de quadriláteros: 
a) Rectângulo, 
b) Quadrado, 
c) Trapézio, 
d) Losango, 
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e) Paralelogramo. 
f) e g) são quadriláteros irregulares. 
 
 
 
Figs.2. 
Os quadriláteros podem ser côncavos ou convexos. 
Quadriláteros côncavos – se o prolongamento dos seus lados não se toca ou não se 
intersectam. Ex: As figura a), b), c), d) e e) do exemplo acima. 
Quadriláteros convexos – se o prolongamento dos seus lados intersectam-se. Ex: as 
figuras f) e g), do exemplo acima. Segmentos de rectas – são os lados dos quadriláteros. 
Exemplo: 
3 
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Fig.3. 
Na figura acima os seguimentos são: AB, BC, CD e AD. Vértices – são extremos dos 
segmentos dum quadrilátero. 
Na figura acima os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
Vértices consecutivos são aqueles que pertencem ao mesmo lado. Na figura acima os 
vértices consecutivos são: A e B; B e C; C e D; A e D. 
 Vértices opostos são aqueles que não pertencem ao mesmo lado. Na figura acima os 
vértices opostos são: A e C; B e D. 
Lados consecutivos são aqueles que têm um vértice comum. 
Na figura acima os vértices consecutivos são: A e B; B e C; C e D; A e D. Vértices 
opostos - são aqueles que não pertencem ao mesmo lado. Na figura acima os vértices 
opostos são: A e C; Be D. 
Lados consecutivos – são aqueles que têm um vértice comum. Na figura acima os lados 
consecutivos são: ABe BC, BC e CD, CD e AD. Ângulos consecutivos – são aqueles 
que têm um lado comum. Na figura acima os ângulos consecutivos são: Ae B; Be C, C 
e D, A e D. 
Ângulos Opostos são aqueles que não têm um lado comum. Na figura acima os 
ângulos opostos são: A e C; B e D. 
Diagonais de um quadrilátero são segmentos de rectas que unem dois vértices 
opostos. 
Exemplo: 
4 
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Fig.4. 
No exemplo 2 acima as diagonais do trapézio são: AC e BD. 
1.1.Classificação de quadriláteros 
 Os quadriláteros classificam-se em trapézios e não trapézios. Os quadriláteros 
classificam-se em trapézios e não trapézios. 
Trapézio é um quadrilátero com pelo menos dois lados paralelos. 
Exemplo: 
 
Figs.5. 
Um quadrilátero convexo diz-se não-trapézio quando não possui nenhum par de lados 
opostos paralelos. 
Exemplo: 
 
5 
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Figs.6. 
Assim na classificação geral dos quadriláteros convexos podemos destacar dois grupos: 
os trapézios e os não trapézios. 
Os quadriláteros trapézios subdividem-se em duas classes: os trapézios propriamente 
ditos ou simples (com apenas dois lados opostos paralelos) e os paralelogramos (com os 
lados opostos paralelos. 
Os trapézios propriamente ditos ou simples é aquele que só tem dois lados paralelos. 
Exemplo: 
 
Fig.7. 
 
 
Figs.8. 
Portanto, o lado AB é paralelo ao lado CD.O lado EF é paralelo ao lado GH. 
Definição: Chama-se trapézio ao quadrilátero com pelo menos dois lados opostos 
paralelos. 
Trapézio simples: quadrilátero com dois lados opostos paralelos. Os lados paralelos 
denominados bases do trapézio. 
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Elementos de um trapézio: 
 
Fig.9. 
[ABCD] é um trapézio (AB/CD) AB base maior, CD base menor h altura (segmento 
perpendicular às bases) MN mediana (segmento que une os pontos médios dos lados 
opostos e não paralelos). 
As linhas notáveis de um trapézio são: bases, diagonal, atura e mediana. Bases – são os 
lados opostos e paralelos de um trapézio. Ex: no trapézio acima as bases são: 
Os segmentos AB e CD. Diagonal de um trapézio – é o segmento de recta em que os 
extremos são dois vértices opostos. 
Ex: o segmento BD. 
Altura de um trapézio – é o segmento de recta perpendicular às suas bases e 
compreendidos entre elas. Ex: o segmento AH. 
1.2.Classificação dos trapézios (propriamente ditos) 
Os trapézios classificam-se em: 
 Trapézios isósceles ou simétricos; 
 Trapézios rectângulos; 
 Trapézio escaleno. 
Trapézios isósceles ou simétricos – são aquele em que os lados opostos não paralelos 
são iguais. E os ângulos adjacentes à mesma base são iguais. 
Exemplo: 
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Fig.10. 
 
O lado AD é geometricamente igual ao lado BC. Isto é, AD≅BC. O lado AB é paralelo 
ao lado CD. Isto é, AB//CD. 
O ângulo Aé geometricamente igual ao ângulo B e o ângulo D é geometricamente igual 
à C. isto é, A≅B e D≅C. 
Trapézios rectângulos 
 
 
Figs.11. 
 
Trapézio escaleno é aquele em que os lodos opostos não paralelos são diferentes. 
 A B 
 
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Fig.12. 
P AD f BC I : AD≠BC 
Paralelogramo é um quadrilátero em que os seus lados opostos são paralelos. Ex: a) 
Paralelogramo propriamente dito. 
Exemplo: 
 
Fig.13. 
Portanto o lado AD e paralelo ao lado BC. Isto é, AD//AD; o lado AB é paralelo ao lado 
CD. Isto é, AB//CD. 
Linhas notáveis de um paralelogramo 
 
Fig.14. 
As linhas notáveis de um paralelogramo são: Base, diagonal e altura. 
Base de paralelogramo – é qualquer um dos seus lados na posição horizontal. Ex: 
NaFig.12, a base é o segmento CD. 
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Diagonal de um paralelogramo - é o seguimento de recta cujos extremos são dois 
vértices opostos. Ex: NaFig.12, a diagonal é o seguimento BD. 
Altura de um paralelogramo – é o segmento de recta perpendicular à base 
compreendida entre ela e o lado paralelo oposto à base. 
Ex: Na Fig., a altura é o seguimento AH. 
 
 
1.3.Classificação dos paralelogramos 
Paralelogramo (propriamente dito) os lados paralelos são iguais e os ângulos opostos 
são geometricamente iguais. 
 A B 
 
Fig.15. 
Ex: o lado AB é geometricamente igual ao CDe o lado AD é geometricamenteigual à 
BC. Isto é, AB≅CD e CD≅AD; 
O ângulo𝜶 𝒂𝒍𝒇𝒂 é geometricamente igual à 𝜸 𝒈𝒂𝒎𝒂 e o ângulo 𝜷 𝒃𝒆𝒕𝒂 é 
geometricamente igual à 𝜹 𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂 . Isto é: 𝜶 ≅𝜸 e 𝜷 ≅𝜹. 
Rectângulo – é um quadrilátero com todos os ângulos iguais a 90 graus, e lados iguais 
dois a dois. 
 
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Fig.16. 
Losango ou rombo é um quadrilátero em que todos os lados são geometricamente 
iguais e os seus ângulos opostos também são geometricamente iguais. 
 
Fig.17. 
Portanto, o lado AB é geometricamente igual aos lados BC,CD e AD.Isto é: 
AB ≅BC ≅CD ≅ AD. 
O ângulo 𝜶 é geometricamente igual aoângulo 𝜸 e o ângulo 𝜷é geometricamente igual 
ao ângulo𝜹. Isto é: 𝜶≅ 𝜸 e 𝜷≅𝜹. 
1.4.Propriedades de dos quadriláteros 
1.4.1. Propriedades dos trapézios isósceles 
Propriedade 1. Num trapézio isósceles os ângulos da mesma base são congruentes. Isto 
é, são geometricamente iguais. 
Exemplo: 
 
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Fig.18. 
Portanto, 𝜶 ≅ 𝜷 𝒆 𝜹 ≅ 𝜸. 
Propriedade 2. Num trapézio isósceles as diagonais são congruentes. Isto é são 
geometricamente iguais. 
1.4.2. Propriedades dos paralelogramos 
Propriedade 1. Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 
 
Fig.19. 
Portanto, AB≅DC e AD≅BC. 
Propriedade 2. Cada diagonal do paralelogramo divide-o em dois triângulos 
congruentes. 
 
Fig.20. 
P , Δ𝑨𝑩𝑪Δ𝑨𝑪𝑫. Isto é, 
Δ𝑨𝑩𝑪≅Δ𝑨𝑪𝑫. 
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Propriedade-3. Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. 
 
 
 
 
 A B 
 
Fig.21. 
Portanto, 𝜶≅𝜸 𝑒 𝜷≅𝜹 
Propriedade 4. As diagonais de um paralelogramo bissectam-se. Isto é cortam-se ao 
meio. 
 
Fig.22. 
Portanto, AM≅CM e BM≅DM, então as diagonais AC e BD cortam-se ao meio. 
Propriedade 5 I 
a soma de ângulos que estão no mesmo lado, é igual à 180. 
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Exemplo: Consideremos o paralelogramo da figura 7, cujo ângulo 𝜹mede 𝟒𝟓 . 
Determine o valor dos restantes ângulos de paralelogramo. Portanto, para resolver este 
exercício, vamos colocar os dados no próprio paralelogramo, para facilitar a percepção 
do mesmo, a situação é seguinte: 
 A B 
 
Fig.23. 
Segundo a propriedade 5 de paralelogramo que diz o seguinte:Num paralelogramo a 
soma dos ângulos 
Então, no paralelogramo em causa, o ângulo𝜹 é adjacente à,𝜸. Logo: 
𝜹+𝜸=𝟏𝟖𝟎 ; podemos substituir o valor 𝜹=𝟒𝟓, na fórmula e teremos: 
𝜹+𝜸=𝟏𝟖𝟎↔𝟒𝟓 + 𝜸=𝟏𝟖𝟎 ; resolvemos a equação, passamos o termo independente𝟒𝟓 do 
primeiro membro para o segundo membro e muda de sinal para negativo. Assim: 
↔𝟒𝟓 + 𝜸=𝟏𝟖𝟎 ↔ 𝜸=𝟏𝟖𝟎 −𝟒𝟓 ↔𝜸=𝟏𝟑𝟓 . 
Para determinar os valores dos ângulos 𝜶 𝑒 𝜷, devemos aplicar a propriedade3, que diz 
o seguinte: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. Então, 
partindo da propriedade três, teremos: 
O ângulo𝜹é oposto ao ângulo𝜷, logo: 𝜹 é geometricamente igual à 𝜷. Isto é: 
𝜹≅𝜷↔𝜹=𝜷; substituindo o𝜹=𝟒𝟓 , teremos:𝟒𝟓 =𝜷↔𝜷=𝟒𝟓 ; 
O ângulo 𝜶é oposto ao ângulo𝜸, logo:𝜶é geometricamente igual à 𝜸. Isto é: 
𝜶≅𝜸↔𝜶=𝜸; substituindo o 𝜸=𝟏𝟑𝟓 , já calculado acima, teremos: 𝜶=𝟏𝟑𝟓 . Então: 
 A B 
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Fig.24. 
1.5.Teorema sobre ângulos internos de um quadrilátero e sua aplicação 
O Teorema sobre ângulos internos de um quadrilátero diz o seguinte: a 
 
Consideremos o quadrilátero abaixo: 
 
Fig.25. 
Portanto≮ 𝑨+≮ 𝑩+≮ 𝑪+≮ 𝑫 =, 𝟑𝟔𝟎 . 
Ex: Consideremos o quadrilátero abaixo e determinemos o valor de ângulo A 
sabendoque, ≮B ,≮ C ≮D : 
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 D 
Fig.26. 
Para resolver este problema devemos aplicar o teorema sobre ângulos internos de um 
quadrilátero. Que é o seguinte:≮𝑨+≮𝑩+≮𝑪+≮𝑫=𝟑𝟔𝟎 . 
Vamos substituir na fórmulapelos respectivos valores≮B , ≮C ≮ D , : 
≮𝑨+≮𝑩+≮𝑪+≮𝑫=𝟑𝟔𝟎↔≮𝑨 , A 
 , : ↔≮𝑨+3 
 F : ↔≮𝑨 - ↔≮𝐴 
1.6.Alguns exemplos envolvendo os quadriláteros 
resolver problemas que envolvem quadriláteros, devemos aplicar as propriedades dos 
quadriláteros e o teorema dos ângulos internos de quadriláteros. Ex1: Dado o 
paralelogramo [𝑨𝑩𝑪𝑫] : se representarmos os ângulos𝑨 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝟎 e 𝑩 = 𝒙 − 𝟓 , 
determine a medida de cada um dos ângulos do paralelogramo. Primeiro devemos fazer 
o esboço do paralelogramo, e devemos colocar os dados consoante a dimensão dos 
ângulos, neste caso o ângulo A é maior em relação ao ângulo B, pois no ângulo A temos 
a soma e no ângulo B temos a diferença. Teremos: 
a) 
 A B 
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Fig.27. 
Portanto, agora podemos aplicar as propriedades dos paralelogramos, neste caso será a 
Propriedade-3. Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. 
Então o ângulo A é geometricamente igual à C, isto é:≮𝐴≅≮𝐶, então,≮ A=≮C= 
𝟐𝒙+𝟑𝟎; 
O ângulo B é geometricamente igual à D, isto é: ≮𝑩≅≮𝑫, então, ≮B=≮D= 𝒙−𝟔 . Em 
seguida podemos aplicar o teorema dos ângulos internos. Assim: 
≮A+≮B+≮C+≮D , f : 
≮A+≮B+≮C+≮D ↔ 𝟐𝒙+𝟑𝟎 + 𝒙−𝟔 + 𝟐𝒙+𝟑𝟎 + 𝒙−𝟔 
calcular a equação, eliminamos os parênteses e adicionamos os termos semelhantes, 
assim: 
↔𝟐𝒙+𝟑𝟎 +𝒙−𝟔+𝟐𝒙+𝟑𝟎+𝒙−𝟔 , 
 A : ↔𝟐𝒙+𝒙+𝟐𝒙+𝒙 −𝟑𝟎−𝟑𝟎+𝟔+𝟔; 
↔𝟔𝒙=𝟑𝟏𝟐↔𝒙=𝟑𝟏𝟐𝟔↔𝒙=𝟓𝟐 
Agora podemos substituir o valor de 𝑥 nos valores dos ângulos. Assim: 
≮A=≮𝐶= 𝟐𝒙+𝟑𝟎↔≮𝑨=≮𝑪=𝟐× 𝟓𝟐 +𝟑𝟎↔≮𝑨=≮𝑪=𝟏𝟎𝟒+𝟑𝟎=𝟏𝟑𝟒 
≮B=≮D=𝒙−𝟔 ↔≮𝐁=≮𝐃=𝟓𝟐− ↔≮𝐁=≮𝐃=𝟒𝟔 
b) Se [𝑨𝑩𝑪𝑫] for um trapézio escaleno, 𝜹=𝟓𝟓 , ≮D ADBD, 
um dos ângulos de trapézio? 
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Fig.28. 
Para este caso como ADBD então o ângulo 𝜷 , então podemos calcular 
ovalor de angulo𝜶, pois≮D A :≮𝑫=𝜷+𝜶. Teremos: 
≮𝑫=𝜷+𝜶↔𝟏𝟏𝟓 =𝟗𝟎 +𝜶↔𝜶=𝟏𝟏𝟓 −𝟗𝟎 =𝟐𝟓 . 
Aplicando o teorema dos ângulos internos de triângulo Δ𝑩𝑪, teremos: 
𝜶+𝜹+≮𝑪=𝟏𝟖𝟎 , como o valor de𝜹=𝟓𝟓 e o de𝜶=𝟐𝟓 , substituindo teremos: 
𝜶+𝜹+≮𝑪=𝟏𝟖𝟎↔𝟐𝟓 +𝟓𝟓 +≮𝑪=𝟏𝟖𝟎 ↔≮𝑪=𝟏𝟖𝟎 −𝟐𝟓 −𝟓𝟓 ↔≮𝑪=𝟏𝟎𝟎 . 
Passo seguinte, podemos determinar o ângulo B, para tal, vamos prolongar o lodo BC, 
do trapézio escaleno e vamos determinar o ângulo 𝝋 𝒇𝒊 , pois o ângulo 𝝋 com ≮C são 
 , , A sim: 
Portanto, 𝝋+≮𝑪=𝟏𝟖𝟎 , entao, como≮𝑪=𝟏𝟎𝟎 , entao podemos substituir e teremos: 
𝝋+≮𝑪=𝟏𝟖𝟎 ↔𝝋+𝟏𝟎𝟎 =𝟏𝟖𝟎 ↔𝝋=𝟏𝟖𝟎 −𝟏𝟎𝟎 ↔𝝋=𝟖𝟎 . 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 o angulo𝝋é geometricamente igual ao angulo B, porque são angulos 
correspondentes. Logo𝝋=≮𝑩=𝟖𝟎 . Agora podemos aplicar o teorema dos ângulos 
internos de um quadrilátero, para determinar o ângulo A. Assim: 
≮𝑨+≮𝑩+≮𝑪+≮𝑫=𝟑𝟔𝟎 ; Substituindo pelos respectivos valores,≮𝑩=𝟖𝟎 , ≮𝑪=𝟏𝟎𝟎 e≮ 
 Teremos: ≮𝑨+≮𝑩+≮𝑪+≮𝑫=𝟑𝟔𝟎 ↔≮𝑨+𝟖𝟎 + 
𝟏𝟎𝟎 +𝟏𝟏𝟓 =𝟑𝟔𝟎 ↔≮𝑨=𝟑𝟔𝟎 −𝟐𝟗𝟓 ↔≮𝑨=𝟔𝟓 . 
2. Perímetro e área de figuras planas 
2.1.Perímetro 
O perímetro de uma figura plana é o comprimento da linha, ou fronteira que a limita. O 
perímetro designa-se normalmente por P. para exprimir o perímetro de uma figura deve 
indicar-se sempre a unidade escolhida. 
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Na geometria plana temos algumas figuras que são as principais: triângulo, quadrado, 
rectângulo, trapézio e losango. 
2.1.1. Triângulo 
O triângulo é uma figura plana formada por três lados. O lado com a maior medida é a 
hipotenusa, os outros dois são os catetos oposto e adjacente. Os triângulos são 
classificados em: 
 Triângulo Equilátero: triângulo que possui todos os lados e ângulos congruentes; 
 Triângulo Isósceles: triângulo que possui dois lados e dois ângulos internos 
congruentes; 
 Triângulo Escaleno: triângulo que possui todas as medidas diferentes. 
 Os triângulos também podem ser classificados conforme as medidas dos ângulos 
internos: 
 Triângulo Retângulo: possuem um ângulo reto (90°). 
 Triângulo Obtusângulo: possui dois ângulos agudos (menor que 90°) e um 
ângulo obtuso (maior que 90°). 
 Triângulo Acutângulo: todos os ângulos são menores que 90°. 
Quadrado 
O quadrado é um quadrilátero regular com todos os lados e ângulos congruentes. Os 
ângulos do quadrado são retos, isto é, medem 90°. 
2.1.2. Rectângulo 
O rectângulo é um polígono com quatro lados, sendo os lados opostos paralelos e 
congruentes, e os ângulos medem 90°. 
2.1.3. TrapézioO trapézio possui duas bases paralelas com tamanhos diferentes. A base de medida 
menor é chamada de base menor, a base de medida maior é chamada de base maior. 
2.1.3.1.Tipos de Trapézio 
Os tipos de trapézio são: 
Trapézio Rectângulo: possui dois ângulos retos; 
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/triangulo/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/triangulo-equilatero/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/triangulo-escaleno/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/triangulo-retangulo/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/quadrado/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/retangulo/?amp
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Trapézio Isósceles: possui os lados que não são bases congruentes; 
Trapézio Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes. 
2.1.3.2.Losango 
O losango é um paralelogramo com lados opostos paralelos e congruentes, além disso, 
os ângulos opostos também são congruentes. O losango tem duas diagonais, uma menor 
e a outra maior. As diagonais se cruzam nos seus respectivos pontos médios. 
O perímetro de figuras planas são calculados através da soma das medidas dos lados da 
figura. As figuras que não possuem lados como o círculo, o perímetro é uma medida 
aproximada. 
2.1.4. Perímetro do Triângulo 
O perímetro do triângulo é calculado pela seguinte fórmula: 
P = a + b + c 
Onde: 
 P: é o perímetro; 
 a, b e c: são as medidas dos lados do triângulo; 
2.1.5. Perímetro do Quadrado 
O perímetro do quadrado é calculado pela seguinte fórmula: 
P = 4 . L 
Onde: 
 P: é o perímetro; 
 L: é a medida do lado do quadrado; 
2.1.6. Perímetro do Retângulo 
O perímetro do retângulo é calculado pela seguinte fórmula: 
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/paralelogramo/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/area-do-losango/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/perimetro-do-triangulo/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/perimetro-do-quadrado/?amp
mhtml:file://C:/Users/Manhoso/AppData/Local/Microsoft/Windows/INetCache/IE/JPSHM3X2/Perímetros_de_Figuras_Planas_-_Matemática_Básica%5b1%5d.mhtml!https://matematicabasica.net/perimetro-do-retangulo/?amp
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P = 2 (a + b) 
Onde: 
 P: é o perímetro; 
 a e b: são as medidas dos lados do retângulo; 
2.1.7. Perímetro do Trapézio 
No cálculo do perímetro do trapézio devemos somar as medidas das bases e dos lados. 
Utilizamos a seguinte fórmula: 
P = B + b + L1 + L2 
Onde: 
 P: é o perímetro; 
 B: é a medida da base maior; 
 b: é a medida da base menor; 
 L1: é a medida de um dos lados; 
 L2: é a medida do outro lado. 
2.1.8. Perímetro do Losango 
O perímetro do losango equivale a somar a medida dos lados, a fórmula é igual à 
fórmula do quadrado, pois o losango também tem lados congruentes. 
P = 4 . L 
Onde: 
 P: é o perímetro; 
 L: é a medida do lado. 
Alguns exemplos de calculo do perimetro 
a) Calcula o perimetro do triangulo sabendo que a hipotenusa mede 12cm, o cateto 
oposto 6 cm e o adjacente 8 cm. 
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O perimetro do triangulo é a soma das medidas de seus lados: 
P=12 cm + 8 cm + 6cm= 26 cm 
Calcula o perimetro de um quadrado com 4,2 cm lado 
Dados Pedido Resolução 
l= 4,2 cm P=? p=4.4,2 
 p=4.l p=16,8cm 
b) Um campo de futebol possui medidas de 70 m de largura e 105 metros de 
comprimento. Qual seu perimetro? 
Um campo de futebol tem formato de um retangulo, logo: 
P=2(105+70)=350 m 
c) Calcule o perimero de um losango com 15 cm de lado 
Dados pedido Resolução 
l= 15 cm p=? p=4.15 
 P=4.l p=60 cm 
d) Um dado trpazio com uma base maior de 14 cm e uma base menor de 3 cm, com 
lados de 9 cm e 6 cm, Qual é o perímetro? 
Dados pedido Resolução 
B=14 cm P=? P=14+3+9+6 
b=3 cm P=B+b+l1+l2 P=32 cm 
l1=9 cm 
l2=6 cm 
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3. Área das figuras planas 
Conforme Starepravo [15] (2009), os estudos relacionados com a Geometria Plana atual 
estão directamente relacionados à Geometria Euclidiana, que são os pontos. as retas e os 
planos. 
Conforme os relatos de Noé [7] (2013), ao observarmos a área ou a superfície de uma 
figura plana passamos a analisar o conceito antigo de uma visão bidimensional, ou da 
extensão da figura. Portanto, em uma análise de um quadrado, cuja figura tem os lados 
unitários, chamamos o total dessa área de uma unidade de área. Se os lados dessa figura 
estiver em metros (m), sua área será expressa em metros quadrados (m2). 
Nos estudos de Leonardo [6] (2010), encontramos a geometria plana como uma parte da 
matemática que tem maior utilização no nosso dia a dia, pois precisamos calcular 
medidas de comprimento, área de lugares, distâncias entre pontos, etc. Dentro da 
construção civil muitas fórmulas da geometria são utilizadas para definir a área de 
alguma figura. Para entendermos o funcionamento do cálculo da área das figuras planas 
precisamos buscar informações no decorrer da história, ou seja, segundo Leonardo [6] 
(2010), na antiguidade observava-se a utilização dos ventos como forma de energia, nas 
embarcações à vela, nos processos de irrigação e moagem dos grãos. 
Daí eram feitas análises do tamanho da superfície das pás, pois quanto maior era a 
superfície, maior seria o contacto com o vento, assim gerando maior energia. Esses 
métodos são utilizados em nossos dias atuais nos sistemas aerodinâmicos das turbinas 
reduzindo os custos e melhorando o desempenho da energia Eólica. 
Conforme Ferreira [4] (2010), para o cálculo da área das figuras planas temos que 
analisar o formato dasmesmas como, por exemplo: 
 Área do quadrado; 
 Área do rectângulo; 
 Área do paralelogramo; 
23 
Edson Samuel Manhoso 
 Área do triângulo; 
 Área do losango; 
 Área do trapézio. 
Mas, como expressar ou medir uma área? Expressar ou medir uma área significa 
compará-la com outra de mesma espécie que é tomada por unidade. 
O que é a área de uma figura plana? É uma medida da porção do plano que é cercada 
(ocupada) pela figura. 
Como encontrar a medida da área de uma figura plana? Devemos comparar a sua 
superfície (porção do plano que ela ocupa) com a de outra figura que é tomada como 
unidade. 
Qual uma boa sugestão para a unidade de área? Um quadrado cujo lado mede uma 
unidade de comprimento, será chamado de quadrado unitário. Veja na figura. 
 
33.Figura-Quadrado unitário 
Definição geral de área. Dado um polígono P, associamos a esse polígono um número 
real não negativo, chamado de área de P com as seguintes propriedades: 
 Polígonos congruentes têm áreas iguais; 
 Se P é um quadrado de lado 1, então a área de P é igual a 1 unidade de área; 
 Se P pode ser decomposto como a reunião de n polígonos 𝑃 𝑃 𝑃𝑛, tais 
que dois 
quaisquer deles têm em comum no máximo alguns lados, então a área de P equivale ao 
somatório das áreas de cada poligono decomposto de P. 
Área de 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃𝑛 
24 
Edson Samuel Manhoso 
3.1.Área do Quadrado 
Podemos representar por a a medida do lado do quadrado, assim ao aplicarmos na 
fórmula encontraremos tanto para base (b) e para altura (h) a mesma medida. Então, 
conforme figura 2 teremos que a Área pode ser calculada como A = a
2
: 
 
34.Figura-Quadrado 1 
E se o lado desse quadrado não for unitário, 4 cm por exemplo, teremos sua área 
calculada por A = (4cm) x (4cm) = (4cm)
2
 = 16cm
2
 . Veja na figura 3 que o quadrado 
maior é formado por 16 quadrados unitários. 
 
35.Figura-Quadrado 2 
Exemplo: Qual ê a área de um quadrado com 4cm de lado? 
Dados 
L=4 cm 
Pedido Resolução 
A=? A=4cm.4cm 
A=𝑎 A=16cm2 
O quadrado é 16cm
2 
 
25 
Edson Samuel Manhoso 
3.2.Área do Rectângulo 
Quando indicamos um rectângulo consideramos sua área como A e a medida de sua 
base por b e, respectivamente, sua altura por h, conforme figura 4: 
 
36.Figura- Rectângulo 1 
Tomando um quadrado, cujo lados tenha como medida a = b+h e dividindo-o conforme 
figura 5: 
 
37.Figura- quadrado notável 
 2 𝐴 2 2 
 2 2 𝐴 2 2 
 𝐴 
 𝐴 
𝐴 
Então, podemos concluir que a área de qualquer retângulo é medida por: 
𝐴 
26 
Edson Samuel Manhoso 
Exemplo: qual ê a área de um rectângulo com 7dm de comprimento e de 5 dm de 
largura? 
Dados pedido Resolução 
L=4cm A=? A=7dm.5dm 
 A=b.h A=35dm
2 
O rectângulo é 35dm
2 
 
3.3.Área do Paralelogramo 
Vamos considerar um paralelogramo de base b e altura h, conforme figura 6: 
 
38.Figura-Paralelogramo 1 
Dividindo o paralelogramo conforme figura 7, podemos observar que ele se transforma 
em um rectângulo. 
 
39.Figura – Paralelogramo 2 
Então, podemos calcular a área de um paralelogramo da mesma forma que no 
rectângulo, ou seja: 
𝐴 
Exemplo: calcule a área de paralelogramo, sabendo que a sua altura mede 10cm e a 
base 6 cm. 
27 
Edson Samuel Manhoso 
Dados pedido Resolução 
b=6cm A=? A=6cm.10cm 
h=10m A=b.h A=60cm
2
 
O paralelogramo é 60cm
2
 
3.4.Área do Triângulo 
Se considerarmos um triângulo ABC de base igual a a e altura h, duplicando esse 
triângulo, conforme figura 8, obteremos um paralelogramo ABCD, de mesma base e 
mesma altura. 
 
40.Figura – Triângulo 1 
Podemos perceber que a área desse paralelogramo equivale ao dobro da área do 
triângulo original ABC. Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, então, a área 
do triângulo pode ser calculada por: 
𝑨= 
 
 
 
Exemplo: Sabendo que um triângulo tem 8 cm de altura e a sua base mede 13 cm, 
calcula a sua área. 
Dados Pedido Resolução 
b=13 cm A=? A=
 
 
 
h=8 cm 𝑨= 
 
 
 A=
 
 
 
 A=52cm
2 
28 
Edson Samuel Manhoso 
O triângulo é 52cm
2
 
3.5.Área do Losango 
Vamos considerar um losango ABCE, cujas diagonais medem D (maior) e d (menor). 
Podemos decompor essa figura em dois triângulos congruentes, conforme figura . 
 
41.Figura- Losango 
Então, para o cálculo da área do losango, podemos somar as áreas dos triângulos ABC e 
ACE. Para calcularmos a área de um triângulo usamos a fórmula: 
𝐴 
 𝑎 𝑒 𝐴 𝑡 𝑟𝑎
 
 
e ao substituirmos esses dados no losango na sua fórmula teremos: Base = d (diagonal 
menor) Altura = D/2 (metade da diagonal maior) Portanto como a área do losango é a 
soma das áreas dos triângulos ABC e ACE, concluímos que para o calculo da área do 
losango é: 
𝐴 
 
 
 
Exemplo: Calcula a área de um losango cuja diagonal maior mede 8cm e a diagonal 
menor 6cm 
Dados Pedido Resolução 
D=8 cm A=? A=
 
 
 
29 
Edson Samuel Manhoso 
D=6 cm 𝐴 
 
 
 A=
 
 
 
 A=24cm
2 
A área do losango é 24cm
2
. 
3.6.Área do Trapézio 
Quando tratamos de um trapézio passamos a observar a figura da seguinte maneira: é o 
tipo de figura que possui duas bases B (base maior) e b (base menor) e h que representa 
a sua altura. A área do trapézio é igual à soma das áreas de dois triângulos, um de base 
B e altura h, e outro de base b e altura h, conforme figura. 
 
42.Figura- Trapézio 
Ao calcularmos essas áreas teremos: 
No triângulo MPQ 
AtrianguloMPQ=
 
 
 
AtrianguloMNQ=
 
 
 
Portanto a área do trapézio é dada pela seguinte fórmula: 
A=AtrianguloMPQ+AtrianguloMNQ 
𝐴 
 
 
 
 
 
 
𝐴 
 
 
 
30 
Edson Samuel Manhoso 
Exemplo: Calcule a área de um trapézio cuja base maior mede 5 cm, a base menor 3 cm 
e a altura 4 cm. 
Dados Pedido Resolução 
B=5 cm A=? A=
 
 
 
b=3 cm 𝐴 
 
 
 A=16cm
2
 
a=4 cm 
A área do trapézio ê de 16cm
2
 
O quadrado, rectângulo, trapézio, losango e o triângulo são figuras consideradas básicas 
na geometria plana, portanto elas representam parte de uma estrutura matemática que dá 
início ao estudo da geometria, e podem ser encontradas em várias ocasiões do nosso dia 
a dia. 
Como exemplo, as dimensões de uma trave do gol em um campo de futebol dever ter as 
medições de 7,32m por 2,44m. Estabelecida pela Fifa(Fédération Internationale de 
Football. 
 
43.Figura – Trave do golo. 
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Edson Samuel Manhoso 
 
 
44.Figura-campo de futebol. 
Um campo de futebol, possuem diversos rectângulos,cada u com sua medida, seja 
oficial. 
3.7.Aplicações de áreas 
Nesta seção veremos dois exemplos de problemas geométricos que seriam 
genuinamente difíceis se fossem tratados com métodos usuais de geometria, mas que 
são extremamente simples utilizando-se áreas. Apresentaremos os problemas na forma 
de exercícios resolvidos e, após a resolução, enunciaremos os resultados gerais, 
conforme são conhecidos na literatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
Edson Samuel Manhoso 
 
4. Referencias bibliográficas 
1. LEONARDO, Fábio Martins de. Projecto araribá, obra colectiva - matemática. 
São Paulo; Moderna, 9(3), 2010. 
2. FERREIRA, Marcus Vinícius Reis. Matemática para concurso: teoria completa. 
Barra. 
3. NOÉ, Marcos. Matemática, Geometria plana. www.brasilescola.com.br. 12 set. 
2010. 
4. RIBEIRO, Flávia Dias. Jogos e modelagem na educação matemática. São Paulo: 
Savaiva, 2009 
5. SADOVSKY, Patrícia. O ensino de matemática hoje: enfoques, sentidos e 
desafios. São Paulo: Ática, (1), 2010. 
6. STAREPRAVO, Ana Ruth. Jogando com a matemática: números e operações. 
Curitiba: Aymará, A, B e C, 2009. 
7. Ministério da Educação e Desenvolvimento Humano Instituto Educação Aberta e 
a Distancia- IEDA.