exatidao 56A

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B) \( \frac{2}{(s+k)^3} \) 
C) \( \frac{2}{(s-k)^2} \) 
D) \( \frac{2}{(s+k)^2} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{2}{(s-k)^3} \) 
**Explicação:** A transformada de Laplace de \( t^n e^{kt} \) é dada por \( \frac{n!}{(s-
k)^{n+1}} \). Aqui, \( n = 2 \), logo, \( \mathcal{L}\{t^2 e^{kt}\} = \frac{2!}{(s-k)^{2+1}} = 
\frac{2}{(s-k)^3} \). 
 
**45.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \) 
A) 4 
B) 0 
C) 1 
D) Infinito 
**Resposta:** A) 4 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental, que afirma que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} = 4 \). 
 
**46.** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \). 
A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
C) \( \frac{1}{3(x^3 + 1)} \) 
D) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
**47.** Calcule a integral: \( \int \tan(x) \, dx \) 
A) \( \ln|\sec(x)| + C \) 
B) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
C) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
D) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
**Resposta:** A) \( \ln|\sec(x)| + C \) 
**Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) é \( \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C = \ln|\sec(x)| 
+ C \). 
 
**48.** Determine o valor de \( \int_0^1 (2x + 1) \, dx \). 
A) \( 1 \) 
B) \( 2 \) 
C) \( \frac{3}{2} \) 
D) \( 3 \) 
**Resposta:** C) \( \frac{3}{2} \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^2 + x \right]_0^1 = \left( 1 + 1 \right) = 
2 \). 
 
**49.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(5x)} \) 
A) \( \frac{2}{5} \) 
B) 1 
C) 0 
D) \( \frac{5}{2} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{2}{5} \) 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental, que afirma que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{\sin(mx)} = \frac{k}{m} \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(5x)} = 
\frac{2}{5} \). 
 
**50.** Encontre a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \). 
A) \( 2x e^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \) 
C) \( x e^{x^2} \) 
D) \( 2 e^{x^2} \) 
**Resposta:** A) \( 2x e^{x^2} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{x^2} \cdot (2x) = 2x e^{x^2} \). 
 
**51.** Calcule a integral: \( \int \frac{1}{x(x + 1)} \, dx \) 
A) \( \ln|x| - \ln|x + 1| + C \) 
B) \( \frac{1}{x + 1} + C \) 
C) \( \ln|x + 1| + C \) 
D) \( \frac{1}{x} + C \) 
**Resposta:** A) \( \ln|x| - \ln|x + 1| + C \) 
**Explicação:** Usamos a decomposição em frações parciais: \( \frac{1}{x(x + 1)} = 
\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \). Assim, a integral se torna \( \ln|x| - \ln|x + 1| + C \). 
 
**52.** Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)? 
A) \( 1 \) 
B) \( 2 \) 
C) \( \frac{5}{3} \) 
D) \( \frac{7}{3} \) 
**Resposta:** D) \( \frac{7}{3} \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^3 + 2x \right]_0^1 = \left( 1 + 2 \right) 
= 3 \). 
 
**53.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \) 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Infinito 
**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 
Derivando o numerador e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2 \). 
 
**54.** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
A) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
B) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
C) \( -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
D) \( \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
**Resposta:** A) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
**Explicação:** Usamos a regra do quociente: \( f'(x) = \frac{(0)(x^2 + 1) - (1)(2x)}{(x^2 + 
1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
**55.** Calcule a integral: \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \) 
A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
B) \( \frac{1}{x} + C \) 
C) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
D) \( \frac{1}{2} x + C \) 
**Resposta:** A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
**56.** Determine o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
A) \( 1 \) 
B) \( 2 \) 
C) \( \frac{5}{3} \) 
D) \( \frac{7}{4} \) 
**Resposta:** B) \( 2 \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - 
(0) = 2 \). 
 
**57.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + x^2}{3x^3 + 5} \) 
A) \( \frac{2}{3} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) 0 
D) 1 
**Resposta:** A) \( \frac{2}{3} \) 
**Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \): 
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{3 + \frac{5}{x^3}} = \frac{2}{3}. \] 
 
**58.** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)