Calculo IV - Lista de Exercicios Monitoria 04

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Critérios de Convergência para Séries de Termos Não Negativos
(continuação)
Critérios Conclusões Comentários
Critério da Raiz
Para
∞∑
n=0
an com an ≥ 0 para todo
n ≥ N , onde N é um natural fixo,
seja L = lim
n→∞
n
√
an.
Se L 1, então
∞∑
n=0
an di-
verge.
Se L = 1, o critério incon-
clusivo.
Critério da Razão
Para
∞∑
n=0
an com an > 0 para todo
n ≥ N , onde N é um natural fixo,
seja L = lim
n→∞
an+1
an
.
Se L 1, então
∞∑
n=0
an di-
verge.
Se L = 1, o critério incon-
clusivo.
Critério de Convergência para Séries Alternadas
Critério Conclusão Comentário
Critério de Liebniz
Para para séries alternadas
∞∑
n=0
(−1)nan ou
∞∑
n=0
(−1)n+1an,
onde an > 0 para todo natural n.
Se (an) é decrescente e
limn→∞ an = 0, então a série
∞∑
n=0
(−1)nan converge.
Aplica-se apenas a
séries alternadas.
1
Cálculo IV - Exercícios Monitoria 04
Exemplo 1. A série
∞∑
n=1
n
∣∣∣cos (2n+1)π
4
∣∣∣
n!
é convergente. De fato,
L = lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
(n+1)|cos (2n+3)π
4 |
(n+1)!
n|cos (2n+1)π
4 |
n!
= lim
n→∞
n!(n+ 1)
(n+ 1)!n
= lim
n→∞
1
n
= 0.
Logo, pelo critério da razão, a série é convergente.
Exemplo 2. Para quais valores de x ∈ R, a série
∞∑
n=1
|x|n
n!
é convergente?
Solução. Seja an = |x|n
n!
.
Para x = 0, an = 0 para todo natural n; logo a série é convergente.
Para x 6= 0, an > 0 para todo natural n. Assim,
L = lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
|x|n+1
(n+1)!
|x|n
n!
= lim
n→∞
|x|n+1
|x|n
n!
(n+ 1)!
= lim
n→∞
|x|
n+ 1
= 0,
para qualquer x 6= 0. Logo, pelo critério da razão, a série é convergente para qualquer x 6= 0. Juntando
os dois casos, conclúımos que a série é convergente para qualquer que seja x ∈ R.
Exemplo 3. A série
∞∑
n=1
(n2 + 3n)n
(4n2 + 5)n
é convergente ou divergente?
Solução. Seja an = (n2+3n)n
(4n2+5)n
. Para qualquer natural n, an > 0 e
L = lim
n→∞
n
√
an = lim
n→∞
n
√
(n2 + 3n)n
(4n2 + 5)n
= lim
n→∞
n2 + 3n
4n2 + 5
=
1
4
.
Como L 0 para todo natural n. Assim,
L = lim
n→∞
n
√
an = lim
n→∞
n
√
|x|n
n
= lim
n→∞
|x|
n
√
n
=
|x|
1
= |x|.
Pelo critério da raiz, a série convergente se |x| 1.
Se |x| = 1, a série é
∑
n=1
1
n
é divergente.
Portanto, a série é convergente para qualquer que seja x ∈ (−1, 1).
2
Exemplo 5. Para cada uma das seguintes séries alternadas, determine se a série converge ou diverge.
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
b)
∞∑
n=1
(−1)nn
n+ 1
Solução.
a) Como 1
(n+1)2