5EC desafios 5EC

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54. **Qual é a integral de \( \int \cos^3(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{3} \sin^3(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} \sin(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} \cos^3(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} \sin(x) \cos^2(x) + C \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{1}{3} \sin(x) \cos^2(x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^3(x) = \cos(x)(1 - \sin^2(x)) \) e integramos. 
 
55. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^4 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^4 + 1} \) 
 c) \( \frac{4}{x^4 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{4x^3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^4 + 1} \cdot (4x^3) = 
\frac{4x^3}{x^4 + 1} \). 
 
56. **Qual é a integral de \( \int x^3 \cos(x) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 \sin(x) - 3x^2 \cos(x) + C \) 
 b) \( x^2 \sin(x) + 3x^3 \cos(x) + C \) 
 c) \( x^2 \sin(x) + 3x^3 \sin(x) + C \) 
 d) \( x^3 \sin(x) + 3x^2 \sin(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 \sin(x) - 3x^2 \cos(x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. 
 
57. **Qual é a integral de \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \)?** 
 a) \( e^{x} \sin(x) + C \) 
 b) \( e^{x} \cos(x) + C \) 
 c) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 d) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Resposta:** d) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
58. **Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(x^2) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 b) \( \frac{2x^2}{1 + x^4} \) 
 c) \( \frac{2}{1 + x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
59. **Qual é a integral de \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
 b) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 c) \( \frac{x^2}{2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 + 1 \). 
 
60. **Qual é a integral de \( \int \sin(x^2) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \) 
 b) \( -\frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 d) \( \cos(x^2) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da substituição. 
 
61. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \)?** 
 a) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \) 
 b) \( e^{\sin(x)} \) 
 c) \( e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \) 
 d) \( e^{\sin(x)} \cdot \tan(x) \) 
 **Resposta:** a) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
62. **Qual é a integral de \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição. 
 
63. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \)?** 
 a) \( \cot(x) \) 
 b) \( \frac{1}{\sin(x)} \cos(x) \) 
 c) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 d) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{\sin(x)} \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
64. **Qual é a integral de \( \int \cot(x) \, dx \)?** 
 a) \( \ln(\sin(x)) + C \) 
 b) \( \ln(\cos(x)) + C \) 
 c) \( -\ln(\tan(x)) + C \) 
 d) \( \ln(\tan(x)) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(\sin(x)) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cot(x) \) é \( \ln(\sin(x)) + C \). 
 
65. **Qual é a integral de \( \int \csc^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\cot(x) + C \) 
 b) \( \tan(x) + C \) 
 c) \( \cot(x) + C \)